第18课时 二次函数的应用

二次函数的应用二次函数是一种常见的数学函数类型，它在许多实际问题的建模与解决中具有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的基本概念，以及其在现实生活中的几个具体应用。

一、二次函数的基本概念二次函数是指一个变量的平方项与该变量的一次项的和再加上一个常数项所构成的函数。

一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

二次函数还具有一个特殊的点，称为顶点，它是抛物线的最高点或最低点。

二、1. 几何应用二次函数在几何中广泛应用，如平面几何中的抛物线问题、曲线的拐点问题等。

例如，在研究体育运动的抛体运动过程中，可以通过二次函数来描述运动物体的轨迹，进而计算出最高点、最远距离等重要参数。

2. 物理应用二次函数在物理学中具有重要的应用。

例如，在自由落体运动中，物体的下落距离与时间的关系可用二次函数来表示。

这种关系可以帮助我们计算出物体的速度、加速度等重要物理参数。

3. 经济应用经济学中也广泛使用二次函数进行经济模型的建立与分析。

例如，在市场供求关系的研究中，需求函数和供给函数通常采用二次函数形式，通过求解二次函数的交点可以确定市场均衡价格和数量。

4. 工程应用二次函数在工程中有着广泛的应用。

例如，在桥梁设计中，通过研究桥梁的受力情况，可以建立相应的二次函数模型，以确定桥梁的最佳设计参数，确保桥梁的结构安全可靠。

5. 金融应用金融领域中也经常使用二次函数进行金融模型的建立与分析。

例如，在股票市场中，通过研究股票价格的变化规律，可以建立相应的二次函数模型，以预测未来价格的走势，为投资者提供参考。

综上所述，二次函数在几何、物理、经济、工程和金融等领域中都有着广泛的应用。

通过建立并分析二次函数模型，我们可以更好地理解和解决实际问题，为实际应用提供科学的依据和方法。

二次函数应用的研究还有很大的发展空间，可以进一步拓展其在不同领域中的应用范围，为社会进步与发展做出更大的贡献。

二次函数的应用【教学建议】二次函数是中考数学中最重要的内容之一，属于中考数学的必考内容，也是难点内容，我们可以利用二次函数的模型解决很多实际问题（比如：长度、面积和周长等的最值问题、商品利润问题等等）。

实际生活中的很多问题都可以借助建立二次函数的模型来解决，这属于中考必考题。

解决此类问题一般是根据几何图形的性质，先找变量，再确定变量与该图形周长或面积之间的关系，用变量表示出其他边的长，从而确定二次函数的表达式，再根据题意及二次函数的性质解题即可．1. 如何求关于利润的二次函数表达式(1)若题目给出销售量与单价之间的函数表达式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据：销售利润 ＝销售总额－成本 ＝销售量×销售价－销售量×进价 ＝销售量×(销售价－进价)来解决； (2)若题目中未给出销售量与单价之间的函数表达式，则要先求出销售量与单价之间的函数表达式，表达式一般是一次函数关系，再根据销售利润 ＝销售量×(销售价－进价)来解决． 2. 如何求二次函数的最值(1)可直接利用公式法求顶点的纵坐标，即y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为244ac b a−(a ＜0)或最小值为244ac b a−(a ＞0)；(2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值．3.解决最值应用题要注意两点（1）设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要讲义一、导入 二、知识讲解知识点1 利用二次函数求图形的最大面积知识点2 销售中的最大利润设为函数；（2）求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.知识点3 抛物线形问题常见设问形式和解题策略：(1)抛球运动判断球是否过网：即判断此点的坐标是否在抛物线上方；(2)投篮判断是否能投中：即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上；(3)判断货车是否能通过隧道：即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方；(4)判断船是否能通过拱桥：即判断船的高度是否比桥的最高点到水面的距离小；(5)判断人是否会被喷泉淋湿：即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高大．解题步骤：1.据题意，结合函数图象求出函数解析式；2.确定自变量的取值范围；3.根据图象，结合所求解析式解决问题.注意事项：若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数表达式和之后的计算求解.知识点4 二次函数中的实际应用综合复习回顾：1.二次函数如何配成顶点式？2.如何根据实际问题情境确定自变量的取值范围？三、例题精析例题1【题干】1.如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）．设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，且x＜y．（1）若所用铁栅栏的长为40米，求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求S 与x 的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？ 【答案】（1）y=-2x+44，3445＜x ≤（2）2244S x x =−+，AD=6米，AB=32米． 【解析】（1）由34米的墙，及2米宽的小门，得到平行与墙的边，以及垂直于墙的两条边之和，由AD =x ，AB =y ，所用铁栅栏的长为40米，根据求出的之和表示出y 与x 的关系式；（2）由（1）表示出的y 与x 的关系式，列出S 与x 的函数关系式，根据矩形场地的面积为192平方米，求出AD 与AB 的长即可．试题解析：解：（1）∵y +2x -2×2=40, ∴y =-2x +44, ∴5≤x ＜443； （2）∵y =-2x +44,∴S =xy =x （-2x +44）=-2x 2+44x ； ∵矩形场地的面积为192平方米， ∴-2x 2+44x =192，∴x =6或x =16（不合题意）， ∴AB =y =-2x +44=-2×6+44=32．答：AD =6米，AB =32米才能使矩形场地的面积为192平方米．【题干】2.有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，AB =AE =6，BC =5，∠A =∠B =90°，∠C =135°，∠E ＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE 上，并使所截矩形的面积尽可能大. （1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积；（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由.【答案】见解析【解析】解：(1)截法一：如答图①，S 四边形ABCF ＝AB ·BC ＝6×5＝30. 截法二：如答图②.过点C 作CH ⊥FG 于点H . 则四边形BCHG 为矩形，△CHF 为等腰直角三角形， ∴HG ＝BC ＝5，BG ＝CH ，FH ＝CH ，∴BG ＝CH ＝FH ＝FG －HG ＝AE －HG ＝6－5＝1， ∴AG ＝AB －BG ＝6－1＝5. ∴S 四边形AGFE ＝AE ·AG ＝6×5＝30.(2)如答图③，在CD 上取点F ，过点F 作FM ⊥AB 于点M ，FN ⊥AE 于点N ，过点C 作CG ⊥FM 于点G . 则四边形AMFN ，BCGM 为矩形， △CGF 为等腰直角三角形， ∴MG ＝BC ＝5，BM ＝CG ，FG ＝CG . 设AM ＝x ，则BM ＝6－x ，∴FM ＝GM ＋FG ＝GM ＋CG ＝BC ＋MB ＝11－x ， ∴S 四边形AMFN ＝AM ·FM ＝x (11－x )＝－(x －5.5)2＋30.25， ∴当x ＝5.5时，S 的最大值为30.25. ∵30.25>30，∴能截出此(1)中面积更大的矩形材料．图①图②图③【题干】如图,在矩形ABCD 中,AB =2AD ,线段EF =10.在EF 上取一点M ,分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ,使矩形MFGN ∽矩形ABCD .令MN =x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值，最大值是多少?【答案】252【解析】∵矩形MFGN ∽矩形ABCD ，∴MN ：AD =MF ：AB . ∵AB =2AD ，MN =x ， ∴MF =2x .(2分)∴EM =EF −MF =10−2x (0<x <5). ∴S =x (10−2x )(5分)=−2x 2+10x =−2(x −52)2+252 ∴当x =52时,S 有最大值为252。

高中数学中的二次函数的应用二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是学生们常见的函数类型之一。

它具有广泛的应用，涉及到物理、经济、工程等多个领域。

本文将探讨二次函数在实际问题中的应用，并探讨一些具体的例子。

1. 跳跃问题在物理学中，经常涉及到跳跃问题，例如抛射物体的运动轨迹、跳伞运动员的下降速度等。

这些问题可以用二次函数进行建模和分析。

以抛射物体的运动轨迹为例，假设一个抛射物体的竖直运动满足二次函数的形式，可以使用以下公式来表示：h(t) = -gt^2 + vt + h0其中，h(t)表示抛射物体距离地面的高度，t表示时间，g表示重力加速度，v表示抛射速度，h0表示抛射体的初始高度。

通过解析这个二次方程，我们可以得到抛射物体的最高点、飞行时间以及落地点等信息。

2. 经济问题在经济学中，二次函数可以用来描述成本、利润和收益等与产量或销售量相关的问题。

以成本函数为例，假设某产品的生产成本与产量x 之间存在二次函数的关系，可以使用以下公式来表示：C(x) = ax^2 + bx + c其中，C(x)表示生产成本，x表示产量，a、b、c为常数。

通过研究这个二次函数，我们可以找到使成本最小化的产量，并为生产决策提供依据。

3. 工程问题在工程领域中，二次函数的应用非常广泛。

例如，在桥梁工程中，可以用二次函数模型来构建桥梁的拱形结构，以提高桥梁的稳定性和承重能力。

此外，在建筑工程中，可以利用二次函数的对称性来设计拱形的建筑结构，提供美观和稳定性。

4. 射击问题在射击运动中，二次函数可以用来描述子弹的飞行轨迹和击中目标的位置。

假设子弹的飞行距离与发射角度和初速度有关，可以使用以下公式来建模：y(x) = a(x - h)^2 + k其中，y(x)表示子弹的高度，x表示水平位置，a为常数，(h, k)表示顶点的坐标。

通过解析这个二次方程，我们可以预测子弹击中目标的位置，并进行射击训练。

总结起来，二次函数在高中数学中的应用非常广泛，涉及到物理、经济、工程等多个领域。

专题18二次函数的应用题型知识归纳二次函数的应用题型主要包含求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等。

解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式。

本专题主要对二次函数的应用题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

知识点梳理利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.常考题型专练一、填空题1．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A 距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B 处，则小丁此次投掷的成绩是米．2．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数关系式为y ＝﹣x 2+bx +c ，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为米．3.某商店销售一种销售成本为40元/50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y （单位：元）与售价x （单位：元/千克）之间的函数解析式为.4．某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y （万件）将随计划所定的x 的值而确定，那么y 与x 之间的关系式应表示为________．5.如图，以地面为x 轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是米．二、解答题1.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？2.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝()()821202030mx m xn x⎧-≤<⎪⎨≤≤⎪⎩，x为正整数，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W．（1）m＝，n＝；（2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式；（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？3.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．4．如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．6.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为()2=-+，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．y a x h k(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．7．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元/千克，投放市场后，经过市场调研发现，这种水p（元/千克）与时间t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+160．（0≤t＜80，且t为整数）（1）试求销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数表达式；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？。

第六章 二次函数第18课时 二次函数的应用(1)——经济问题班级 姓名 学号学习目标：1、经历探索有关最优化问题的过程，进一步获得用数学模型解决实际问题的经验，提高数学的应用意识．2、能通过分析表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的知识求出实际问题的最大值和最小值． 问题探索：问题一：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x (100≤x ≤150)亩．预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为(440－2x )元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益最大？最大收益是多少？问题二： 某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话.小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克. 小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元.小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y (千克)与销售单价x (元)之间存在一次函数关系. (1)求y (千克)与x (元)(x ＞0)的函数关系式；(2)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×(销售单价－进价)】练习：某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t (件)与每件的销售价x (元/件)之间的函数关系为3204t x =-+．(1)写出商场每天销售这种服装的毛利润y (元)与每件的销售价x (元)之间的函数关系(每件服装销售的毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差)；(2)商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少元？最大销售毛利润为多少？问题三：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档次)的产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元． (1)当每件利润为16元时，此产品质量在第几档次？(2)由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少4件．若生产第x 档的产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数，且1≤x ≤10)，求出y 关于x 的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该工厂生产的是第几档次的产品？练习：某商店经营T 恤衫，已知成批购进时单价是2.5元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件；而单价每降低1元，就可以多售出200件．当销售单价为多少元时，可以获得最大利润，最大利润是多少元？问题四：我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x (元)，年销售量为y (万件)，年获利为w (万元).(年获利＝年销售额—生产成本—投资成本)(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)求第一年的年获利w 与x 间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？(3)若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利(或最小亏损)后，两年的总盈利不低于1842元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？课后作业：1、已知某人卖盒饭的盒数x (个)与所获利润y (元)满足关系式21200357600y x x =-+-，则当卖出盒饭数量为________盒时，获得最大利润___________元．2、科技园电脑销售部经市场调查发现，销售某型号电脑所获利润y (元)与销售台数x (台)满足24015600y x x =-++，则当卖_________台时，所获利润最大．3、某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获营业额y (元)与旅行团的人员x (人)满足关系式28028400y x x =-++，要使所获营业额最大，则此时旅行团有( )A ．30人B ．40人C ．50人D ．55人4、书店销售儿童书刊，一天可销售20套，每套盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施，若每套书降价2元，则平均每天多销售4套． (1)降价多少元时，书店可获最大利润？ (2)若每天盈利1200元，则降价多少元？(3)要使利润多于1200元，降价应在什么范围？(利用图象直接回答)5、某商场购进一批单价为16元的日用品.若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖出210件.假定每月销售件数y (件)是价格x (元/件)的一次函数.(1)试求y 与x 之间的函数关系式；(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w 最大？每月的最大毛利润是多少？6、某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个但不超过1000个时，每多订购一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元，(1)设销售商一次订购量为x 个，旅行包的实际出厂单价为y 元，写出当一次订购量超过100个但不超过1000个时y 与x 之间的函数关系式 ；(2)销售商一次订购多少个旅行包时，该厂可获得最大利润?最大利润是多少?7、心理学研究发现，某年龄段的学生，30min 内对概念的接受能力y 与提出概念所用时间x 之间满足函数关系：20.1 2.643y x x =-++(0≤x ≤30)．试判断何时学生接受概念的能力最强？什么时段学生接受概念的能力逐步降低？8、某旅社有客房120间，每间客户的日租金为50元，每天都客满．旅社装修后要提高租金，经过市场调查得知，若每间客房的日租金每增加5元，则客房每天的出租量会减少6间．若不考虑其他因素，旅社把每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？9、杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第1个月到第x 个月的维修保养费用累计．．为y (万元)，且2y ax bx =+；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g (万元)，g 也是关于x 的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元．求y 关于x 的解析式； (2)求纯收益g 关于x 的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？。

二次函数的应用(60分)一、选择题(每题6分，共12分)1．[2015·某某]某某省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图18－1所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为(C)图18－1A．－20 m B．10 mC．20 m D．－10 m【解析】根据题意B的纵坐标为－4，把y＝－4代入y＝－125x2，得x＝±10，∴A(－10，－4)，B(10，－4)，∴AB＝20 m．即水面宽度AB为20 m.2．[2015·某某]图18－2②是图18－2①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－1400(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10 m，则桥面离水面的高度AC为(B)A．16940 m B.174mC．16740 m D.154m图18－2【解析】 ∵AC ⊥x 轴，OA ＝10 m ， ∴点C 的横坐标为－10，当x ＝－10时，y ＝－1400(x －80)2＋16＝－1400(－10－80)2＋16＝－174，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10，－174，∴桥面离水面的高度AC 为174 m.二、填空题(每题6分，共18分)3．[2014·某某]科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度T /℃－4 －2 0 1 4 植物高度增长量l /mm4149494625科学家经过猜想，推测出l 与T 之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__－1__℃.【解析】 设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，选(0，49)，(1，46)， (4，25)代入后得方程组⎩⎪⎨⎪⎧c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，16a ＋4b ＋c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49，所以y 与x 之间的二次函数解析式为y ＝－x 2－2x ＋49， 当x ＝－b2a ＝－1时，y 有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是－1℃.4．[2015·某某]某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图18－3所示的三处各留1 m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m ，则能建成的饲养室面积最大为__75__m 2.【解析】 设垂直于墙的材料长为x m ，则平行于墙的材料长为27＋3－3x ＝30－3x ， 则总面积S ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75，故饲养室的最大面积为75 m 2.图18－35．如图18－4，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么经过__3__s ，四边形APQC 的面积最小．【解析】 S 四边形APQC ＝12×12×24－12(12－2t )×4t ＝4t 2－24t ＋144，∴当t ＝－b 2a ＝－242×4＝3时，S 四边形APQC 最小．三、解答题(共30分)6．(15分)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30 m 的篱笆围成．已知墙长为18 m(如图18－5)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.(1)若平行于墙的一边的长为y m ，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值X 围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值； (3)当这个苗圃园的面积不小于88 m 2时，试结合函数的图象，直接写出x 的取值X 围．图18－5【解析】 (1)用x 表示y ；(2)由矩形面积公式列关系式求最值；(3)令y ＝88，求x 的值，根据图象写出符合要求的x 的取值X 围． 解：(1)y ＝30－2x (6≤x ＜15)； (2)设矩形苗圃园的面积为S ，则S ＝xy ＝x (30－2x )＝－2x 2＋30x ＝－2(x －7.5)2，由(1)知6≤x ＜15；∴当x ，S 最大，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边长为7.5 m 时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 m 2；图18－4(3)图象略.6≤x ≤11.7．(15分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x (元/件)与每天销售量y (件)之间满足如图18－6所示的关系．图18－6(1)求出y 与x 之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w 与销售单价x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．由所给函数图象经过点(130，50)，(150，30)，得⎩⎪⎨⎪⎧130k ＋b ＝50，150k ＋b ＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝180，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋180； (2)w ＝(x －100)y ＝(x －100)(－x ＋180) ＝－x 2＋280x －18 000 ＝－(x －140)2＋1 600，当售价x 定为140元/件时，w 最大＝1 600元，∴当售价定为140元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是1 600元．(25分)8．(10分)[2014·某某]如图18－7，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y (m)与运行的水平距离x (m)满足关系式y ＝a (x－6)2＋h .已知球网与O 点的水平距离为9 m ，高度为2.43 m ，球场的边界距O 点的水平距离为18 m.图18－7(1)当h ，求y 与x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值X 围)； (2)当h ，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值X 围．解：(1)∵h ，球从O 点正上方2 m 的A 处发出，∴抛物线y ＝a (x －6)2＋2.6过(0，2)点， ∴2＝a (0－6)2，解得a ＝－160， 故y 与x 的关系式为y ＝－160(x －6)2＋2.6； (2)当x ＝9时，y ＝－160(x －6)2，∴球能越过球网；当y ＝0时，－160(x －6)2＋2.6＝0，解得x 1＝6＋239＞18，x 2＝6－239(舍去)， ∴球会出界；(3)由题意，抛物线y ＝a (x －6)2＋h 过点(0，2)， 代入点(0，2)的坐标得a (0－6)2＋h ＝2， 即36a ＋h ＝2且a ＜0，∴a ＝2－h36，且h ＞2.若球一定能越过球网，则当x ＝9时，y ≥， 即9a ＋h ，①若球不出边界，则当x ＝18时，y ≤0，即144a ＋h ≤0，②将a ＝2－h 36代入①②解得h ≥83.故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值X 围是h ≥83.9．(15分)[2015·某某]某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x (m)，与桌面的高度为y (m)，运动时间为t (s)，经过多次测试后，得到如下部分数据：t (s) 0… x (m) 012… y (m)…(1)当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？(2)乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？ (3)乒乓球落在桌面上弹起后，y 与x 满足y ＝a (x －3)2＋k . ①用含a 的代数式表示k ；②球网高度为0.14 m ，球桌长(1.4×2)m.若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A ，求a 的值．图18－8解：以点A 为原点，以桌面中线为x 轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系． (1)由表格中的数据，可得t ＝0.4(s)． 答：当t 为0.4 s 时，乒乓球达到最大高度；(2)由表格中数据，可画出y 关于x 的图象，根据图象的形状，可判断y 是x 的二次函数，设y ＝a (x －1)2＋0.45. 将(0，)代入，可得a ＝－0.2. ∴y ＝－0.2(x －1)2＋0.45.当y ＝0时，x 1＝52，x 2＝－12(舍去)，即乒乓球与端点A 的水平距离是52m ；(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.代入y ＝a (x －3)2＋k ，得a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－32＋k ＝0，化简整理，得k ＝－14a ； ②由题意，可知扣杀路线在直线y ＝110x 上．由①得y ＝a (x －3)2－14a .令a (x －3)2－14a ＝110x ，整理得20ax 2－(120a ＋2)x ＋175a ＝0.当Δ＝(120a ＋2)2－4×20a ×175a ＝0时符合题意． 解方程，得a 1＝－6＋3510，a 2＝－6－3510.当a 1＝－6＋3510时，求得x ＝－352，不符合题意，舍去；当a 2＝－6－3510时，求得x ＝352，符合题意．答：当a ＝－6－3510时，能恰好将球沿直线扣杀到点A .(15分)10．(15分)[2015·某某]某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图18－9中的折线ABD ，线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)，销售价y 2(单位：元)与产量x (单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝k 1x ＋b 1，图18－9∵y 1＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1，b 1＝60，∴这个一次函数的表达式为y 1x ＋60(0≤x ≤90)； (3)设y 2与x 之间的函数关系式为y 2＝k 2x ＋b 2， ∵y 2＝k 2x ＋b 2的图象过点(0，120)与(130，42)．∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝120，130k 2＋b 2＝42， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2，b 2＝120，∴这个一次函数的表达式为y 2x ＋120(0≤x ≤130)， 设产量为x kg 时，获得的利润为w 元，当0≤x ≤90时，w ＝xxx ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2 250， ∴当x ＝75时，w 的值最大，最大值为2 250；当90≤x ≤130时，w ＝xx ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2 535， 当x ＝90时，w ＝－0.6(90－65)2＋2 535＝2 160，由－0.6＜0知，当x ＞65时，w 随x 的增大而减小，∴90≤x ≤130时，w ≤2 160， 因此当该产品产量为75 kg 时，获得的利润最大，最大利润为2 250元．。

二次函数在生活中的应用
二次函数是一种常见的数学函数，它在我们的生活和工作中有许多应用。

以下是二次函数在生活中的几个应用：
1. 抛物线运动
当一个物体以一定的初速度开始运动，并且受到重力的影响而向下运动时，它的运动轨迹就是一条抛物线。

这个运动过程可以用二次函数来描述。

例如，当你抛出一颗球时，它的高度会随着时间的推移而不断降低，形成一条抛物线。

2. 建筑设计
在建筑设计中，二次函数可以用来描述建筑物的结构和形状。

例如，在建造一座拱形桥时，设计师需要使用二次函数来确定桥的最高点和曲线的形状。

3. 经济学
在经济学中，二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系。

例如，当一家企业决定生产某种产品时，它需要考虑生产成本和销售收益之间的平衡点，这个平衡点可以用二次函数来计算。

4. 电子技术
在电子技术中，二次函数可以用来描述电路中的电压和电流之间的关系。

例如，在设计一条放大电路时，工程师需要使用二次函数来确定电路的增益和频率响应。

总之，二次函数在我们的生活和工作中有许多应用，这些应用涉及到不同的领域，包括物理学、工程学、经济学和电子技术等。

熟练
掌握二次函数的概念和应用可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

二次函数在生活中的运用二次函数是一个具有形式为y=ax^2+bx+c的二次多项式函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

它是数学中一个重要的函数类型，其在现实生活中有许多广泛的应用。

下面将介绍一些二次函数在生活中的运用。

1.物体的自由落体运动：当物体从静止的位置开始自由下落时，其高度与时间的关系可以用二次函数来描述。

根据物体下落的加速度和初速度，我们可以建立二次函数模型来预测物体的高度随时间的变化。

2.弹性力的计算：弹性力是恢复力的一种，其大小与物体偏离平衡位置的距离成正比。

当物体被施加一个力使其偏离平衡位置时，恢复力的大小可以用二次函数描述。

3.抛物线的建模：抛物线是二次函数的图像，它在很多领域中都有应用。

例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶可以提供更好的排水系统。

在桥梁设计中，抛物线形状的拱桥可以提供更好的结构稳定性。

4.投射物体的路径预测：当一个物体以一定的初速度和角度被抛出时，它的轨迹可以用二次函数模型来预测。

例如，在棒球运动中，球员可以通过分析投球的初速度和角度来预测球的落点。

5.音乐乐器的调音：乐器的音高可以通过改变乐器弦的张力来调节。

根据弦的拉紧程度，可以建立一个二次函数模型来描述音高与弦长的关系。

这使得乐器演奏者能够根据需要调整乐器的音高。

6.经济中的成本与产出关系：在经济学中，成本与产出的关系经常可以用二次函数来描述。

例如，生产一定数量的商品所需的成本与产出之间可能存在一个最优点，通过求二次函数的极值，可以确定最大化利润的产量。

7.变量与值的关系：二次函数可以用来描述两个变量之间的关系。

例如，员工的工资与工作经验之间可能存在一个二次函数模型，随着工作经验的增加，工资可能会呈现先上升后下降的趋势。

8.交通流量的模拟：交通流量的变化可以用二次函数来建模。

例如，小时交通流量随时间的变化可能呈现一个钟形曲线，交通高峰期的交通流量较大，而其他时间段的交通流量相对较小。

以上仅列举了二次函数在生活中的一些应用，其中还有许多其他的应用。