Chapter 3-2 一维定态问题(下)

(23)
k 又因 k1 和 k3同数量级， 3 a >> 1 时，
e
2 k3 a
>> 4
(24)
a + b ≥ a b , ( a > 0 , b > 0 ) li m (∵ x→ ∞ 2 k3 k1 ∴ + ≥ 2 k3 k1 k3 ⎞ 1 ⎛ k1 e 2 k3a ≥ e 2 k3a > > 4 ) + ⎜ ⎟ k1 ⎠ 4 ⎝ k3
贯穿U(x)的总D为所有小方势垒 Ddx 之乘积
D = ∏ D dx = D 0 e
dx − 2
∫
a
b
2 m (U ( x ) − E )dx
(27)
§3.3 一维谐振子
一般说来，间断型的势场并非严格意义下的 物理势场。在物理上 V ( r ) 应该是 r 的连续函 数。特别是在物理的实际问题中，经常需要 处理连续振动体系，它们都可等价地看成无 穷多个谐振子的集合。
而要级数含有限项的条件是 λ 为奇数：
λ = 2 n + 1, n = 0,1, 2...
由此可求得线性谐振子之能级为
(10)
⎛ 1⎞ E = ω ⎜ n + ⎟ , n = 0,1,2... ⎝ 2⎠
(11)
即具有零点能，能级间隔 ∆E = En+1 − En = ω ， 这是量子力学的结果，它与经典谐振子及 Planck 量子论结果均不同。经典谐振子能量 连续，按Planck量子论有 En = n ω ，∆E = ω ， 但 E0 = 0 ，无零点能存在。
相比可略去，因而在 ξ → ∞ 时，上面的方 程(6)可写为：
d ψ dξ 2
2
= ξ
2
ψ
(7)
其解为 ψ ~ e ，此即渐近解。由波函数标 ψ 准条件要求（ ξ → ±∞ ， 保持有限），只取 1 − ξ 解为 ψ ~ e 2
2
1 ± ξ2 2
于是（7）的解可表示为如下形式
−
ψ (ξ ) = e
i − Et
在x > a 区域，没有从右向左的波回来，即没 有向左运动的粒子，所以 C ′ ≡ 0 ，这在物理 上相应于在 x = ∞ 处有一接收装置。利用波 函数及其一阶微商在 x = 0, x = a 处的连续性 可得:
ψ1(0) =ψ2 (0) ⇒ A + A′ = B + B′ dψ1 dψ 2
dx |x=0 = dx
(6) (7)
|x=0 ⇒ k1( A − A′) = k2 (B − B′)
′ −ik2a = Ceik1a ψ2 (a) =ψ3(a) ⇒ Be + Be
ik2a
(8)
dψ3 dψ2 ′ |x=a = |x=a ⇒ k2 (Beik2a − Be−ik2a ) = k1Ceik1a (9) dx dx
§3.2.4 一维散射问题（势垒贯穿）
在前面两例中，共同 的特点是:在无穷远处 体系的波函数为零， 这个条件意味着粒子 被限制在空间有限区 域，利用这个条件， 我们定出了能级是分 立的，这就是所谓的 束缚态问题的共同特 征。
在本例中，体系在无穷远处势能为零，这时 粒子可以在无限远处出现，波函数在无限远 处不为零。由于没有无限远处波函数为零的 约束(与经典驻波条件对照)，体系能量可以取 任意值，组成连续谱。这类问题属于粒子被 势场散射问题，粒子从无限远处来，经势场 散射后又到无限远处去。在这类问题中，粒 子能量是预先给定的。
ik1 x − ik1 x
( x < 0) (0 < x < a ) ( x > a)
(5)
将 ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 分别乘上含时因子 e 后，容易看 出，上面三式右边第一项表示由左向右传播 的平面波，而第二项是由右向左传播的平面 波。特别是在 x < 0 区域的解中，第一项即入 射波，而第二项是反射波。
(2) 再考虑 E < U 0 情形: 这时
K2 = 2m
2
(E − U0 )
1 2
为虚数，可设 k2 ≡ ik3 ，
⎡ 2m ⎤ k 3 = ⎢ 2 (U 0 − E ) ⎥ ⎣ ⎦
为实数。将上述计算 k2 中代
换为 ik3 ，其结果仍成立。因此有：
ψ 2 = Be
k3 x
+ B′e
− k3 x
x = a sin (ω.t + ϕ )
式中 ω
⎛ k ⎞ = ⎜ ⎟ m ⎠ ⎝
1 2
(3)
a 是谐振子的固有角频率， 和 ϕ 分别是谐振动 的振幅和初相位。在量子力学中，则应用薛 定谔方程来解微观的一维谐振子问题。
一维谐振子体系的定态薛定谔方程是
2 ⎛ d2 1 2 2 ⎞ + mω x ⎟ψ ( x ) = Eψ ( x ) ⎜− 2 2 ⎝ 2 m dx ⎠
ik1x
J
D
=
k1 C m
2
(14)
−ik1x
′ 相应于反射波ψR = Ae JR 为
JR k1 2 A′ = m
的入射几率流密度
(15)
定义透射系数D和反射系数R为
JD 4k k = 2 = D= 2 2 2 J in A k1 − k2 ) sin 2 ak2 + 4k12 k2 2 ( A′ ( k − k2 ) sin ak2 JR R= = 2 = 2 2 2 J in A k1 − k2 ) sin 2 ak2 + 4k12 k2 2 (
2
故上式可写成
D = D0e
−2 k3 a
= D0e
−
2
2 m (U 0 − E ) . a
(25)
其 中 D0 为 常 数 ， D 0 ~ 1 。 显 然 ， 由 于 E < U 0 ，D ≠ 0 ，即粒子可贯穿势垒， 1 1 且 D∝ ，D ∝ ，即透射系数D随势垒加 a U0 高加宽而减小。
(4)
引入无量纲常数
ξ =
mω x ≡ α .x , α ≡ mω ,λ ≡ 2E
ω
(5)
于是薛定谔方程改写成
d 2ψ + (λ − ξ 2 dξ )ψ = 0
2
(6)
这是变系数的二阶常微分方程。通常采用级 数法求解，并将解用一些特殊函数表之。
ξ2 λ 首先考察解的渐近行为：当 ξ → ±∞时， 与
2 2 1 2 2 2
C
2
1− D
于是
R + D =1
(18)
由此可见， R、D 均小于 1 。这表明，即使， 在量子情况下，也不是所有粒子均能通过势 垒。入射粒子中只有百分比为D的粒子可贯穿 势垒，而只有百分比为R的粒子被势垒反射回 去。
而C及D分别为
− ik1a
(19)
当粒子能量很小时，以致 k 3 a >> 1, 则 e k3a >> e − k3a ，于是：
⎛e sh k3 a = ⎜ ⎝
2 k3 a
−e 2
− k3 a
⎞ 1 2 k3a ⎟ ≈ e 4 ⎠
2
(22)
故有
D ≅ 4
2 ⎡1 ⎛ k ⎤ k 3 ⎞ 2 k3 a ⎢ ⎜ 1 + + 4⎥ ⎟ e k1 ⎠ ⎢ 4 ⎝ k3 ⎥ ⎣ ⎦
辐射场可以看成是无穷多个谐振子振动发出 的简谐波的迭加。固体中的晶格振动，原子 核的表面振动，分子与分子之间的相互作用 势等在平衡点附近展开准确到二阶后，都涉 及谐振子。
总之，谐振动往往可以作为复杂运动的初级 近似，在此基础上，作各项改进，可以模拟 出一些复杂的相互作用。因此，对谐振子运 动的研究在量子力学中是非常重要的。由于 谐振子运动在选择适当的坐标后，常常可分 解为若干彼此独立的一维谐运动，故我们首 先研究一维谐振子运动。
(1) 先考虑 E > U 0 情形: 粒子的波函数ψ 在势垒里外可满足的 Schrodinger 方程分别为：
d 2ψ + k12ψ = 0 (x < 0, x > a) dx 2 d 2ψ + k 22ψ = 0 (0 < x < a) dx 2
(1) (2)
式中
⎛ 2mE ⎞ k1 = ⎜ 2 ⎟ , ⎝ ⎠
由以上五个系数满足的四个关系，我们可以 消去 A′ ，并将 B, B′和C皆表示为A的关系(而 A可由归一化条件来确定)。于是得:
4k1k2e C= A 2 −ik2a 2 ik2a (k1 + k2 ) e − (k1 − k2 ) e 2i(k − k ) sin ak2 A′ = A 2 −ik2a (k1 − k ) e − (k + k2 ) e
1 显然谐振子能级是量子化的，且E0 = 2 ω不为零，
然而在量子力学中，谐振子的零点能不为零， 表明量子谐振子仍然在振动着，这种振动被 称为零点振动，它所造成的可观测效应已为 许多实验所证实。以后将证明它也是测不准 原理所要求的最小能量。
对于不同的 n，方程(9)有不同的解 Hn (ξ ) 。
ξ2
2
H (ξ )
(8)
式中 H (ξ ) 为待求函数，且当 ξ → ±∞ 时，它仍 应为有限。将 （ 8 ） 式代入 （ 6 ） 式后，经过 简单的推导，可得出H (ξ ) 满足的方程为
d H dH − 2ξ + ( λ − 1) H = 0 2 dξ dξ
2
(9)
这一方程称为Hermite方程式，通常是用级数 解法，将H展为 ξ 的幂级数来求该方程的解。 λ 进一步的分析表明，这个级数必须只含有限 项，即在某一项时截断，才能在 ξ → ±∞ 时， 使 ψ (ξ ) 为有限；
(1)