Chapter 3-2 一维定态问题(下)
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第二章 一维定态问题一 内容提要1 几个重要的一维定态问题[1] 一维无限深势阱 {0,00)(≤≥<<∞=x a x a x x V ,3,2,122222=μπ=n a n E n∞≥≤<<π⎩⎨⎧=ψx x a x a x n a x n ,000s i n 2)( [2] 一维线性谐振子2221)(x x V μω= ,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H e N x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] [3] 定轴转动子IL H2ˆˆ2ϕ=Im E n 222 =),3,2,1,0(21 =π=ψϕm e im n2 一维定态问题的性质 设)()(*x V x V =[1] 如果)(x ψ是定态S.eq 的解,那么)(x *ψ也是定态S.eq 的解。
[2] 如果)()(x V x V -= 则)(x -ψ也是定态S.eq 的解。
[3] 如果)(x V 是x 的连续函数,那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的;如果)(x V 为阶梯形方势⎩⎨⎧><=a x V a x V x V 21)(且12V V -有限,那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的; 如果∞→-12V V 时,那么)(x ψ连续而)('x ψ不连续;二 例题讲解 1 设粒子处于一维无限深势阱中,{0,00)(≤≥<<∞=x a x a x x V , 证明处于能量本征态)(x n ψ的粒子,)61(12)(2/2222π-=-=n a x x a x讨论∞→n 的情况,并与经典力学计算结果比较。
证明:2sin2)(0202a dx a x n x a dx x x x aan =π=ψ=⎰⎰ )61(124)()(2220222222π-=-ψ=-=-⎰n a a dx x x x x x x an 经典情况下,在区域),0(a 中粒子处于dx 范围中的几率为adx则 20a a dx x x a==⎰ 32022a a dx x x a==⎰ 1243)(222222a a a x x x x =-=-=- 2 设粒子处于一维无限深势阱中,粒子的波函数为)()(x a Ax x -=ψ,A 为归一化常数。
第三章一维定态问题3.1)设粒子处在二维无限深势阱中,⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(by a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如b a = ,能级的简并度如何? 解:能量的本征值和本征函数为m E y x n n 222π =)(2222bn an y x +,2,1, ,sinsin2==y x y x nn n n byn axn abyx ππψ若b a =,则 )(222222y x n nn n ma E yx +=πayn axn ay x nn yx ππψsinsin2=这时,若y x n n =,则能级不简并;若y x n n ≠,则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况,如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n )3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动,即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(cz b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如c b a ==,讨论能级的简并度。
解:能量本征值和本征波函数为)(222222222cn bn an mnn n Ez y x zyx++=π ,,3,2,1,, ,sinsinsin8==z y x z y x n n n czn byn axn abcn n n zy x πππψ当c b a ==时,)(2222222z y x n n n mann n Ezyx++=πayn ayn axn a n n n z y x zy x πππψsinsinsin223⎪⎭⎫⎝⎛=z y x n n n ==时,能级不简并;z y x n n n ,,三者中有二者相等,而第三者不等时,能级一般为三重简并的。
z y x n n n ,,三者皆不相等时,能级一般为6度简并的。
如 ⎩⎨⎧→++=++→++=++)9,6,3()10,5,1(2086161210)11,3,1()9,7,1(10438652222222222223.3)设粒子处在一维无限深方势阱中,⎩⎨⎧><∞<<=ax 0, ,0 ,0),(x ax y x V 证明处于定态)(x n ψ的粒子)61(12)x -(x ,22222πn aa x -==讨论∞→ n 的情况,并于经典力学计算结果相比较。
§第三章 一维问题§3.1 一维定态的一些特例1, 一维方势阱问题,Landau 与Pauli 的矛盾《无限深方势阱》这是本章第一个例题,也是最简单的对一类物理问题的数学近似模型。
但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论,甚至导致严重误解:“量子力学的数学是错的”。
研究一维 Schrodinger 方程,其中位势为(3.1a) 于是定义在整个x 轴上的 Schrodinger 方程现在分为三个区域:第I 区a x -≤,第II 区a x <,第III 区a x ≥。
由于I 区和III 区中()+∞=x V (无穷位势问题见讨论i,),为使 Schrodinger 方程成立,这两个区域中的波函数()x ψ必须为零 —— 即有边界条件()0=x ψ()a x ≥。
说明微观粒子即便具有波动性,也难以渗透进非常高的势垒区里。
于是坐标波函数求解只须对第II 区进行,(3.1b)有时,这里的边界条件被简单地写作()()ψx =0x =a 1。
但由于对阱外情况未作规定,这种提法是含混的。
参见下面有关讨论。
显然,在第II 区x <a 内方程通解为1 这种用法见泡利《物理学讲义》第五卷,详见下面讨论v 的脚注。
()()122ψx =Asin kx +α2mE k =⎧⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩这里出现两个待定系数A 、α和一个待定参数k (它的数值将决定阱中粒子的能量)。
为了确定它们,利用两个边界条件()ψ±a =0(加上总几率归一条件,一共也是三个),即()()sin ka +α=0sin -ka +α=0⎧⎪⎨⎪⎩ 由此得n α=ka =π2,n =1,2,3, 。
最后,阱中粒子的能级和波函数分别为(3.2a)(3.2b)这虽然是一个最简单的例子,鉴于存在不少观点分歧,需要作一些讨论说明:i, 无限深方阱的势函数是对实际物理情况作出的近似的数学模写。
因为第一,介质中势能不可能真是无限大;第二,势函数也不可能是严格的阶跃。