《微积分》第二章 函数的极限与连续 2.1数列的极限ppt

1 xn
)
无穷小量的比较：
定义 设 和 是同一过程中的无穷小量，即 lim 0, lim 0 .
① 如果 lim 0 ，则称 是比 较高阶的无穷小量，记为 ( ) .
② 如果 lim C 0 ，则称 是与 同阶的无穷小量.
③ 如果 lim 1 ，则称 与 是等价无穷小量，记为 ~ .
x1 x 1 x1 x 1
x1
一、极限的定义
2 如果当 x 无限地趋于时，函数 f (x)无限地趋于一个确定的
常数 A ，则称当x 时，函数f (x) 的极限(值)为A ，记作
例：lim 1 0 x x
lim f (x) A
x
lim(x 1)
x
x , 1 0
x
x 0, 1
x
f (x) , 1 0 f (x) 0, 1
x 1
x0
lim f (x) e3 .
x3
x2, 练习：设函数 f (x) 1,
log2 x,
x0
0 x 1 ，则 f ( lim f (x) ) 1 . x 2
x 1
2. 分段函数的连续性
3x a, 例：设函数f (x) ex ,
x0
在点 x 0 处连续，则常数a 1 .
x0
例：设函数
④ 如果 lim ，则称 是比 低阶的无穷小量.
例：因为lim x x2 1，所以称：当 x 0 时，x x2 与x 是等价无
x0
到底穷小量.
x
当 x 0 时，2x2 3x 是 x 的__同__阶__无__穷_小__量____.
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
第二章 极限和连续

示例
考虑函数$f(x) = x^2$，在区间 $[0, 1]$上连续且单调增加。如果 $f(0) < c < f(1)$，则可以证明$c < frac{f(0) + f(1)}{2}$。
利用连续性求函数的零点
要点一
总结词
利用函数的连续性可以找到函数的零 点。
要点二
详细描述
如果函数在某区间上连续，且在该区 间上从正变负或从负变正，则可以利 用函数的连续性找到函数的零点。这 是因为函数在这一点上从增加变为减 少或从减少变为增加，的定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
复合函数在复合点连续的定义：如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点 连续。
与其他数学知识的联系
探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他 数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位。
理论严谨性
深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和 完备性，理解数学严密性的重要性。
对后续学习的展望
导数与微分
预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与 极限和连续性的关系。
级数与积分
简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的 重要性和应用。
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
02
03
乘积运算性质
幂运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。

无限趋近于常数A, 则称常数A为当 的极限. 记作: lim f ( x ) A, 或 x 注意
x 时，函数 f ( x)
f ( x) A (x ).
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A,
x x x
从函数极限与左、右极 限的定义，能够得出以 下结论：
x x0
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 x x0
calculus
例4：
x2 2x 3 设f ( x) x 2x 2
x 1
x 1 1 x 2 x2
1
·
0
· 1
x
n 数列{2n}、数列 n sin 即1, 0, 3, 0,5, 0, 7， 2 当n无限增大时，不能接近某个常数。
calculus
为此,引出数列极限的描述定义.
定义1：设有数列x1 , x2 , x3 , , xn , 如果 当n无限增大时，xn无限接近于一个常数A， 则称常数A为n趋于无穷时数列{xn }的极限， 也称数列{xn }收敛于A， 记作： lim xn A
y
解： lim f ( x ) lim （ x 1 ） 1
x 0 x 0 x 0
lim f ( x) lim （ x 1 ） 1
x 0
1
o
1
x
calculus
作业
先看书 再做练习
P22：T3； P52：T9(2);T11(1),(2).
calculus
calculus
若对于一切 xn，存在常数M （或 M 2），使得xn M 1 1 （或xn M 2）成立，则称M 1为数列{xn }的下界, M 2为数列 {xn }的上界.

xX
xX
(1) lim[ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x)] A B;
xX
xX
xX
(2) lim[ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x) A B;
xX
xX
xX
特别地，lim[Cf ( x)] C lim f ( x),
5) lim x 1 1 有理化去零因子
x0
x
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四、函数收敛的性质与准则 (以 x→x0 型函数极限为例)
性质1（唯一性） 略
了解
性质2（局部有界性） 若 lim f ( x) A, x x0 则 0, f ( x)在U 0( x0, )上有界.
性质3（局部保号性） 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), x x0 则 0,当x U 0 ( x0 ,)时, f ( x) 0(或f ( x) 0).
第二章 极限与连续
§ 2.1 数列的极限 § 2.2 函数的极限 § 2.3 无穷小量与无穷大量 § 2.4 连续函数
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§2.1 数列的极限
一、问题的提出 二、数列极限的定义 三、数列极限的运算法则 四、收敛数列的性质 五、数列收敛的准则
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一、问题的提出
定义 按自然数顺序排列的一列数 y1, y2, …,yn, … 称为一个 无穷数列，简称数列，记作{yn}；yn 称为数列的通项.
1
lim
n
n2
ln[
f
(1)
f
(2)
f (n)]
(考研题)
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