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1x2
x
都是初等函数。
8
第二节 函数的极限
极限概念的引入:
例1 . 有一变量其变化趋势为:1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , . . .,1/n , . . . 则该变量的极限是0.(数列极限)
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一.函数的极限:
对于函数 y = f (x) , 我们将分别考察以下两种情况的极限:
1 . 自变量 x →x0 时函数的极限. 2 . 自变量 x →∞ 时函数的极限.
x
y A
o
x
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▲. 极限 lim f (x) A存在的充要条件: (当且仅当) x
lim f (x) lim f (x) A
x
x
例 : 对于函数 f (x) = arctgx , x→∞时极限是否存在?
Y
解 : 当 x →+∞时 , f (x) = arctgx →π/2 ,
π
当 x →-∞时 , f (x) = arctgx →-π/2 .
limf(x)A limf(x)B A
xx00
xx00
∵A≠B, 即左极限≠右极限
B
∴此函数 f (x)在 x0处的极限不存在. o
x0
y
14
2 . x →∞ 时函数的极限 :
⑴函数在正无限处极限:
limf(x)A
x
⑵函数在负无限处极限:
limf(x)A
x
⑶函数在正负无限处极限:
limf (x) A
π/2
lim f(x)lim f(x)
x
x
∴函数极限不存在 (当 x→∞ 时).
O
x
-π/2
π
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极限不存在的几种情形式 :
1 . 当 x→ x0 (x →∞) 时 , f (x) →∞ , 极限不存在 . 这时虽然 f (x) 的极限不存在 , 但也可记作 :
lifm (x ) lifm (x )
定理: 设在某变化过程中有 lim f (x)=A , lim g (x)=B ,则有: ① lim [ f (x)±g (x)]=lim f (x) ±lim g (x) =A±B. ② lim [f (x) g (x)] =lim f (x) lim g (x) =AB ③ lim f (x) / g(x) =lim f (x) / lim g (x) =A / B (B≠0)
①
lim y 0
x0
(其中△x=x-x0 , △y=f(x)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0)
3．初等函数
定义：由基本初等函数经过有限次加，减，乘，除四则运算和
有限次复合运算而构成的仅用一个解析式表达的函数，
称为初等函数．个函数.
（注：不用一个式子表示的函数就不是初等函数）
例： yln co 2x， sy1a2x， yarcx stign . x
记作：y=f(x)，x X．
ｘ称为自变量，ｙ称为因变量．Ｘ称为函数的定义
而所有对应的ｙ值组成的数集Ｙ则称为函数的值域． 3
３．函数的表示方法：
√ 解析法 (如 y = f (x))
函数的表示法
列表法 图象法
其他 解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:
cosx -π≤x≤0
f (x) =
1
注 : ① 称一个函数是无穷小量时 , 必须指出其自变量的变化趋势. ②无穷小量是变量而不是常数 0 , 也不是很小的数 ( 如 10-10000) 但0可以看成是无穷小量。
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2 . 无穷大定义 : 在变化过程中其绝对值无限变大 ,
(无穷大量的变化趋势和无穷小的变化趋势相反) 例 : 当 x → 0 时 , 1/x 的值无限增大 ;
y =arctgx , y =arcctgx .
5
2．复合函数：形如：ｙ= f [(φ(x)] ( u =φ(x) )
定义:设变量 y 是变量 u 的函数 , 变量 u 又是变量 x 的函数即 y = f (u) , u =φ(x) , 如果变量x的某些值通过中间变量u 可以确定变量 y 的值时 , 则称 y 是 x 的复合函数 , 记作
若 lx i 0 m y lx i 0 [fm (x 0 x ) f(x 0 ) ] 0
则称函数y=f (x)在点x0处连续(并称x0为函数的连续点)
若以x=x0+△x代入上式,则有△x→0.则有 xl ixm 0 f(x)f(x0)
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于是函数的连续性定义可用以下三种不同的形式给出:
A 为极限 . 记作 : xlimx0 f (x) A
注: ①仅要求函数在点x0 附近有定义 ,但在 x0 处可以没有定义. ②“自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0”是指左趋近和 右趋近 (对于一元函数) .
12
⑵ . 函数的单侧极限 :
左极限 ：x从左侧趋近于x0时产生的极限.
记作 : limf(x)A xx00
例:当x→0时,
(在同一变化过程中).
1/x 为无穷大量 ,
而 x 为无穷小量 .
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4 . 无穷小定理 :
定理1 . 函数 f (x) 以A为极限的充分必要条件是函数 f (x)与常数A 之差是一个无穷小量 . 即 lim f (x) =A 成立的充要条件是 : lim [ f (x) -A] = 0 亦即 , 若函数 f (x)以A为极限 , 若设 f (x) -A =α, 则α为该极限过程中的无穷小量 .
(lim x)32(lim x)21
x 2
x 2
8811
27
例2.求lim 5x x1 x2 1
解:原式 li（ lm x ix1m25x1）52 x1
28
例3.求limx3 1 x1 x1
解 : (当x 1时, 分母的极限为0,故不能用极限的商定理)
原式 lim (x 1)(x 2 x 1) 3
x1
x 1
29
例 5:求lim3x36x2 x2x35x21
解:lim3x3
6x2
3 6 lim x2
2 x3
x2x3 5x2 1 x 25xx13
36lim 1
x x 2
2lim 1 x x 3
3
25lim1 lim 1 2
x x x x 3
30
四 . 两个重要极限 :
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第三节 函数的连续性
性质: ① lim C=C ( C为常量) . ② limC f (x) = C lim f (x) ③ lim[ f (x)]n =[ lim f (x)]n (n为正整数).
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例 1：l求 i（ mx32x21） x 2
解 :原式 lix m 3li2 m x2li1 m
x 2 x 2
x 2
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函
y
数
增
量
f(x1)
的
几 何
f(x0)
意
义
y=f (x)
B △y
A
△x
o
x0
x1=x0+△x
x
:
记作: △y= f (x1) -f (x0) 或 △y= f (x0+ △x) -f (x0)
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二.函数的连续点与间断点:
1.连续性定义: 设函数y=f (x)在点x0及其附近有定义,当x0有一增量△x时,相应地 函数也有一增量:△y=f (x0+△x)-f (x0),
例 :lim 11 li（ m 11） 0 x 2x 2 x 2 x 2
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定理2 .有限个无穷小的代数和仍为无穷小量 . 定理3 . 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小量 .
(有界函数 : 若函数 f(x) 在某个区间 X内满足 : A≤f(x)≤B , 其中 A , B 是两个定数 , 则称 f (x)在区间X内有界 , A—下界 ,
函数的连续性反映在图形上就是：函数曲线是连续而不间断的
y y=f(x)
y
y=f(x)
o （连续的）
xo
x0
x
（在x0处间断）
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一 . 函数的增量 :
函数 y =f (x) , 当自变量 x 从 x0 变到 x1 时 , 函数 y 就从 f (x0)变到 f (x1) , 这时称 △x=x1-x0为自变量 x的增量 , 称△y= f (x1) -f (x0)或△y= f (x0+ △x) -f (x0)为函数 在 x=x0处的增量.
B—上界). 例： limsinx 0 x x
推论1. 常数与无穷小量之积仍为无穷小量 . 推论2. 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量 .
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5 . 无穷小的比较 : 设α,β为两个无穷小 .
① 若 lim α/ β= 0 (或 lim β / α=∞) , 则称α是比β高阶的无穷小 或称β是比α低阶的无穷小 .
那么拆成什么形式好呢?
或: y = cos2x , x =t+π/6
▲.一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是基本初等
函数或是它们的和,差,积,商.
例： yasi3 n x2 (1 )可分 y 解 au ， u 为 siv， n ： v3 x2 1 .
例： y 2 s in 2 1 x 可 分 解 为 ： y 2 u ， u v 2 ， v s in, 1 . x 7
x→x0-0 时,函数的极限 x→x0+0 时,函数的极限
x→-∞ 时,函数的极限 x→+∞时,函数的极限
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1 . x →x0 时函数的极限:
⑴定义: 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义 (但在 x0 处可以没有定义) , 当自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0 时 , 若函数 f (x) 无限趋近于一个常数 A ,就说当 x 趋近于 x0时 , 函数 f (x)以
