第1章 函数极限与连续PPT课件

函数的定义域
函数的定义域就是指使函数有意义的自变量x的取值范围。 判断函数有意义的方法有下列几种：
①分式的分母不等于零； ②偶次方根式中，被开方式大于等于零； ③含有对数的式子，真数式大于零； ④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1； ⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ⑥若已知y = f ( x )的定义域是[a,b],求 y= f [φ(x)] 的定义域，
显然，如果把反函数的图像和它的直接函数的图像画在同一个 坐标系中，则它们的图形是关于直线 y＝x 为对称的。
例 求 y＝log3(2x－3) 的反函数。
解： 从方程 y＝log3(2x－3) 中解出x为
x 1 (3y 3) 2
则所求反函数为
y 1 (3x 3) 2
实际上，并不是任何函数都有反函数的。 那么，什么样的函数存在反函数呢？
复合函数的复合过程 u＝φ(x)
y＝f (u)
y＝f [φ(x)]
中间 变量
关于复合函数，需要说明一点=arcsinu与u=x2+8就不能复合成一个函数。 因为由函数u=x2+8确定的u的值域是[8,+∞)，不在 函数y=arcsinu的定义域内。
无限接近常数0（参看右图），
这时就称
以0为极限。
y 1 x
定义1-10 设函数y＝f(x)对绝对值无论怎样大的自变量 都有定义，如果当|x|无限增大（即x→∞ ）时，函数 f (x)无限接近某个常数A ，那么A就称为函数f (x)当x趋 向无穷大时的极限，记为
y (1)x a
(0,1)
y ax (a1)
（4）对数函数 y lo a x( g a 0 ,a 1 )（y ln x）

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定义 2 设函数 f ( x)在U(x0, )内有定义,如果
y
lim f (x) f (x )，
x x0
0
y f (x)
称函数 f ( x)在点 x 连续. 0
如 f ( x) x2，
0
x0
x
lim f ( x) lim x2 4 f (2)，
x2
x2
f ( x) x2在x 2点连续.
说明 y f (x)在x x0点连续 下列三条同时成立 (1) f (x0)有定义；
(2) lim f (x)存在； xx0
（3）lim x x0
f
(x)
f (x0 ).
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例1
试证函数
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
x
sin1 x
,
0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
3、反函数函数的连续性
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsinx 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccosx 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctanx, y arccot x 在(,)上单调且连续.
§1.9 无穷小量的比较与等价代换
例如, 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小.
x2
lim 0,
观
x0 x
x x2比x要快得多;
察 各 极 限
lim sin x x0 x

称为函数y f ( x )的图形 .
1. 几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
o
.
-1
x
x sgn x x
(2) 取整函数 y = [x]
[x] 表示不超过 x 的最大整数
y
-4 -3 -2 -1
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为D, 区间 I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x 2 , 当 x1 x 2时,
恒有 ( 2) f ( x1 ) f ( x2 ),
1 1 x ln . 2 1 x
y ar tanh x
D : ( 1,1)
奇函数,
在 ( 1,1) 内单调增加 .
作业 习题1--1：1（1，4），5 习题1--2：6（2，3），8
思考题1
1 2 设 x 0 ，函数值 f ( ) x 1 x ， x 求函数 y f ( x ) ( x 0)的解析表达式.
例如， y 1 x 2 1 例如， y 1 x2
D : [1,1] D : ( 1,1)
如果自变量在定 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否 则叫做多值函数．
y W
y
( x, y)
x
例如，x y a ．
2 2 2
o
x
D
定义: 平面点集 C {( x , y ) y f ( x ), x D}

W {y y f (x), x D}
为函数的值域。
说明：函数值
f (x0 )
f (x) xx0
y xx0
y(x0 )
1.1.2 函数概念(续二)
【说明】
(1) 对应法则是函数概念的一个重要因素。变量用什 么字母无关紧要。
(2) 定义域是函数概念的另一个重要因素。自然定义 域 实际定义域
A r 2
y x2
(3) 表示函数的方法有多种。解析法（也称公式法）、 图像法、表格法
1.1.2 函数概念(续三)
一元函数 多元函数
A 1 absin
2
实例4：说明由方程 x2 y2 r 2确定的两个变量x和y之 间的相依关系。
多值函数 单值函数
例1-1 某汽车公司规定从甲地运货至乙地的收费标 准是：如果货物重量不超过30千克，则每千克 收费1.5元；如果货物重量超过30千克，则超出 部分每千克收费增至2.5元；试写出货物运费F与 货物重量m之间的函数关系。
1.2 初等函数
1.2.1 常值函数 1.2.2 幂函数 1.2.3 指数函数与对数函数 1.2.4 三角函数 1.2.5 反三角函数 1.2.6 复合函数 初等函数
1.2 初等函数(续)
➢ 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函 数和反三角函数6类是最常见最基本的，这些函数 称为基本初等函数。
➢ 表示集合最常用的方法是描述法：
A {x | p(x)}
➢ 其中x表示A的元素，p(x)代表x满足的条件。
1.1.1 常量与变量 数集(续二)
例如 A {x x t 2 1,t R}
通常省略说明属于实数集R的部分，即
A {x x t 2 1}
➢ 区间是R的一个连续子集。 ➢ 区间分为有限区间和无穷区间两大类，这两类区间