多元函数的极限与连续性

第十六章 多元函数的极限与连续1． 证明: 对任何n R E ⊂, 它的导集d E 必为闭集.2． 设B A ,是n R 中两个不相交的开集, 证明∅=B A I .3． 证明: 对任何n R E ⊂, 它的边界E ∂必为一闭集.4． 证明闭域必为闭集.5． 讨论下列函数在)0,0(),(→y x 时的极限不存在:(1) 242),(y x y x y x f +=; (2) y x xy y x g +=),(; (3) 2322),(yx y y x y x h ++-=. 6. 设),(y x f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U ο内有定义, 且满足:(1) 在)(0P U ο中, 对每个0y y ≠, 存在)(),(lim 0y y x f x x ψ=→; (2) )(),(lim 0x y x f y y ϕ=→, 关于)(0P U ο中的x 一致. 试证明:),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x x y y y y x x →→→→=. 7. 设)(),(y x yx y x y x f ≠-+=. 证明: (1) m k ∃∀,, 使得在mx y = 或 my x =上, 有k y x f y x =→),(lim )0,0(),(;(2) ),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→≠. 8. 设22222)(),(y x y x y x y x f -+=. 证明: (1) ),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→=; (2) ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在.9. 证明: 22y x r +=在2R 上一致连续.10. 设),(y x f 是2R 上的实值函数. 证明: ),(y x f 在2R 上连续的充要条件是对于R 中的每个开集G , 集合}),(),{()(21G y x f R y x G f∈∈=-亦必为开集. 11. 证明: 若n R E ⊂为一有界开集, 则m R E f →:在E 上一致连续的充要条件是:f 在E 上连续, 且对任何点E x ∂∈0, 极限)(lim 0x f Ex x x ∈→都存在(即f 在E 上的连续性能延拓到E ∂). 12. 设R R f n →:为连续函数. 试证: A x f r =∞→)(lim 存在(x r =), 则f 在n R 上一致连续. 13. 设n R E ⊂, R E f →:. 试证f 在E 上一致连续的充要条件是: 对E 中每一对点列}{k x , }{k y , 如果0lim =-∞→k k k y x , 便有 0)()(lim =-∞→k k k y f x f .。

二元函数的极限二元极限存在常用夹逼准则证明例1 14)23(lim 212=+→→y x y x 例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x yx y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略.上述二元函数极限)(lim 00y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限：累次极限定义 若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ϕ也存在极限，设B y x f y ax b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，ϕ， 则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即C y x f by a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如：1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3.2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2.多重极限与累次极限之间的关系定理 若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则)(lim lim (lim 0000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=.二元函数的连续性定理 若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，)()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续定理 若二元函数)(y x u ，ϕ=，)(y x v ，ψ=在点)(000y x P ，连续，并且二元函数)(v u f ，在点[])()()(000000y x y x v u ，，，，，ψϕ=连续，则复合函数[])()(0000y x y x f ，，，，ψϕ 在点)(000y x P ，连续.1. 用极限定义证明下列极限：1)19)34(lim 212=+→→y x y x ； 2）01sin 1sin )(lim 00=+→→yx y x y x ； 3）0lim 22200=+→→y x y x y x . (提示：应用.1222≤+y x xy ） 2. 证明：若)0()(≠++-=y x yx y x y x f ，，，则 1)(lim lim 00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→y x f y x ， 与 []1)(lim lim 00-=→→y x f x y ，. 3. 设函数32444)()(y x y x y x f +=，，证明：当点)(y x ，沿通过原点的任意直线 )(mx y =趋于（0,0）时，函数)(y x f ，存在极限，且极限相等. 但是，此函数在原点不存在极限. （提示：在抛物线2x y =上讨论.) 4. 若将函数2222)(y x y x y x f +-=，限制在区域{}2)(x y y x D <=，，则函数)(y x f ，在原点（0，0）存在极限（关于D).5. 求下列极限：1）2221lim y xy x y x y x +-+→→； 2）x xy y x sin lim 40→→； 3）)()(lim 2200y x In y x y x ++→→； （提示：设ϕϕsin cos r y r x ==，）4）222200321)61)(41(lim y x y x y x +-++→→.。

多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。

本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。

一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。

在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。

我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。

即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。

二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。

具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。

三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。

其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。

四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。

但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。

根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。

五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。

具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。

多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。

本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。

一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。

2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。

(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。

二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。

多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。

一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。

因此，我们需要重新定义多元函数的极限。

1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。

可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。

在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。