多元函数的极限与连续性

第十六章 多元函数的极限与连续1． 证明: 对任何n R E ⊂, 它的导集d E 必为闭集.2． 设B A ,是n R 中两个不相交的开集, 证明∅=B A I .3． 证明: 对任何n R E ⊂, 它的边界E ∂必为一闭集.4． 证明闭域必为闭集.5． 讨论下列函数在)0,0(),(→y x 时的极限不存在:(1) 242),(y x y x y x f +=; (2) y x xy y x g +=),(; (3) 2322),(yx y y x y x h ++-=. 6. 设),(y x f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U ο内有定义, 且满足:(1) 在)(0P U ο中, 对每个0y y ≠, 存在)(),(lim 0y y x f x x ψ=→; (2) )(),(lim 0x y x f y y ϕ=→, 关于)(0P U ο中的x 一致. 试证明:),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x x y y y y x x →→→→=. 7. 设)(),(y x yx y x y x f ≠-+=. 证明: (1) m k ∃∀,, 使得在mx y = 或 my x =上, 有k y x f y x =→),(lim )0,0(),(;(2) ),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→≠. 8. 设22222)(),(y x y x y x y x f -+=. 证明: (1) ),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→=; (2) ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在.9. 证明: 22y x r +=在2R 上一致连续.10. 设),(y x f 是2R 上的实值函数. 证明: ),(y x f 在2R 上连续的充要条件是对于R 中的每个开集G , 集合}),(),{()(21G y x f R y x G f∈∈=-亦必为开集. 11. 证明: 若n R E ⊂为一有界开集, 则m R E f →:在E 上一致连续的充要条件是:f 在E 上连续, 且对任何点E x ∂∈0, 极限)(lim 0x f Ex x x ∈→都存在(即f 在E 上的连续性能延拓到E ∂). 12. 设R R f n →:为连续函数. 试证: A x f r =∞→)(lim 存在(x r =), 则f 在n R 上一致连续. 13. 设n R E ⊂, R E f →:. 试证f 在E 上一致连续的充要条件是: 对E 中每一对点列}{k x , }{k y , 如果0lim =-∞→k k k y x , 便有 0)()(lim =-∞→k k k y f x f .。

二元函数的极限二元极限存在常用夹逼准则证明例1 14)23(lim 212=+→→y x y x 例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x yx y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略.上述二元函数极限)(lim 00y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限：累次极限定义 若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ϕ也存在极限，设B y x f y ax b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，ϕ， 则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即C y x f by a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如：1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3.2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2.多重极限与累次极限之间的关系定理 若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则)(lim lim (lim 0000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=.二元函数的连续性定理 若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，)()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续定理 若二元函数)(y x u ，ϕ=，)(y x v ，ψ=在点)(000y x P ，连续，并且二元函数)(v u f ，在点[])()()(000000y x y x v u ，，，，，ψϕ=连续，则复合函数[])()(0000y x y x f ，，，，ψϕ 在点)(000y x P ，连续.1. 用极限定义证明下列极限：1)19)34(lim 212=+→→y x y x ； 2）01sin 1sin )(lim 00=+→→yx y x y x ； 3）0lim 22200=+→→y x y x y x . (提示：应用.1222≤+y x xy ） 2. 证明：若)0()(≠++-=y x yx y x y x f ，，，则 1)(lim lim 00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→y x f y x ， 与 []1)(lim lim 00-=→→y x f x y ，. 3. 设函数32444)()(y x y x y x f +=，，证明：当点)(y x ，沿通过原点的任意直线 )(mx y =趋于（0,0）时，函数)(y x f ，存在极限，且极限相等. 但是，此函数在原点不存在极限. （提示：在抛物线2x y =上讨论.) 4. 若将函数2222)(y x y x y x f +-=，限制在区域{}2)(x y y x D <=，，则函数)(y x f ，在原点（0，0）存在极限（关于D).5. 求下列极限：1）2221lim y xy x y x y x +-+→→； 2）x xy y x sin lim 40→→； 3）)()(lim 2200y x In y x y x ++→→； （提示：设ϕϕsin cos r y r x ==，）4）222200321)61)(41(lim y x y x y x +-++→→.。

多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。

本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。

一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。

在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。

我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。

即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。

二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。

具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。

三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。

其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。

四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。

但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。

根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。

五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。

具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。

多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。

本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。

一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。

2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。

(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。

二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。

多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。

一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。

因此，我们需要重新定义多元函数的极限。

1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。

可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。

在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。

数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§ 1 平面点集与多元函数一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E .1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1||||),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.外点：存在)(A U 使φ=E A U )(界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。

E 的边界表示为E ∂集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.确定集E 的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。

多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。

本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。

一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。

对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。

我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。

类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。

多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。

2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。

但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。

3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。

4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。

对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。

类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。

多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。

第十六章 多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数1. 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出他们的聚点与界点。

(1)[,)[,);a b c d ´ (2){(,)0};x y xy ¹(3){(,)|0};x y xy = (4)2{(,)|}x y y x > (5){(,)|2,2,2}x y x y x y <<+> (6)22{(,)|10,01}x y x y y x +==＃或； (7)22{(,)|10,12};x y x y yx +?＃或(8){}N +Î（x,y）|x,y ; (9)1{(,)|sin };x y y x=解：（1）有界集、区域，其聚点为{(,)|,}.E x y a x b c y d =＃＃(2)开集，聚点为2,E R =界点为{(,)|0};x y xy = (3)闭集，{(,)|0},E x y xy ==界点为{(,)|0}.EE x y xy ?==（4）区域，开集，其聚点为2{(,)|},E x y x y = 界点为2{(,)|}.x y y x = （5）有界集，区域，开集，其聚点为{(,)|2,2,2},E x y x yxy =＃?界点为{(,)2,02{(,)|2,02}{(,)|2,02}x y x yx y y xx y x y x=＃=＃+=＃（6）有界集，闭集，其聚点为22{(,)10,01},E x y x y y x =+==＃或界点为EE ?。

（7）有界集、闭集，其聚点为22{(,)|10,12};E x y x y yx =+?＃或界点为22{(,)|10,12}.Ex y x y y x ?+==＃或（8）闭集，其聚点是空集，界点为{(,)|,}.x y x y z Î （9）闭集1{(,)|sin ,0}{(0,)1}E x y y x y y x==> ，界点为.EE ?2.试问集合{(,)|0,0}x y x a y b d d <-<<-<与集合{(,)|,},(,)(,)x y x a y b x y a b d d -<-< 是否相同？ 解：不相同，第一个点集为第二个点集的子集。

多元函数极限与连续性的性质及求解方法在数学中，多元函数极限与连续性是非常重要的概念。

了解多元函数的极限与连续性的性质，以及相关的求解方法，对于深入理解和应用多元函数的数学知识具有重要意义。

一、多元函数极限的性质与求解方法1.1 多元函数极限的定义多元函数极限是指当自变量趋于某个确定值时，函数变量的极限。

对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，如果存在常数L，对于任意给定的ε>0，总存在另一个正数δ，当0<(|x1−a1|+|x2−a2|+⋯+|xn−an|)<δ时，总有|f(x1, x2, ..., xn)−L|<ε成立，则称L是函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限。

1.2 多元函数极限的性质(1) 多元函数极限存在性：如果多元函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限存在，那么它是唯一的。

(2) 多元函数极限的局部性：如果多元函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限存在，那么它在点(x1, x2, ..., xn)的某个邻域内必然存在。

(3) 多元函数极限与一元函数极限之间的关系：多元函数可以分解为一元函数，所以多元函数极限可以通过一元函数极限的方法来求解。

1.3 多元函数极限的求解方法(1) 代数运算法：利用多元函数的代数运算性质，如加减乘除、乘幂、复合函数等，将多元函数转化为一元函数，然后利用一元函数的极限求解方式来求解多元函数的极限。

(2) 两变量函数的二次折线法：对于两个变量的多元函数，可以采用二次折线法来求解。

具体步骤是：首先取一个路径，沿该路径逼近极限点，然后通过二次折线逼近法构造两个逼近值，如果这两个逼近值相等，则可得到极限值；如果不等，则重新选择路径再进行逼近。

(3) 极坐标法：对于特定形式的多元函数，可以采用极坐标法来求解。

具体步骤是：将自变量用极坐标表示，然后将多元函数转化为单变量极坐标函数，再利用一元函数的极限求解方法来求解。

多元函数极限与连续在汽车专业中的应用实例引言随着社会发展和科技进步，汽车工业在当今社会扮演着重要的角色。

为了提高汽车的性能和安全性，理解多元函数极限与连续的概念对汽车专业的应用来说至关重要。

本文将通过介绍多元函数极限与连续的基本概念以及在汽车专业中的实际应用示例，探讨其重要性和实用性。

二级标题1：多元函数极限与连续的基本概念三级标题1：多元函数极限的定义多元函数极限是指当自变量趋于某一点时，函数的值趋于某一特定的数值。

对于一个二元函数，其极限可以表示为：f(x,y)=Llim(x,y)→(x0,y0)其中(x0,y0)表示自变量的趋近点，L表示函数极限的值。

三级标题2：连续函数的定义连续函数是指函数在其定义域内的任意一点都满足极限存在且与函数值相等的性质。

f(x,y)对于一个二元函数，其连续性可以表示为：f(x0,y0)=lim(x,y)→(x0,y0)二级标题2：多元函数极限与连续在汽车制造中的应用示例三级标题3：燃油效率的优化在汽车制造中，燃油效率是一个重要的指标。

通过对多元函数极限的研究和应用，可以优化发动机调整参数，以提高汽车的燃油效率。

通过对不同参数的极限分析，可以找到最佳的发动机调整组合，从而降低燃油消耗，减少对环境的影响。

三级标题4：液压系统的设计液压系统在汽车制造中被广泛应用于悬挂系统、刹车系统等。

通过对多元函数极限与连续的研究和应用，可以优化液压系统的设计，以提高汽车的操控性和稳定性。

通过对不同参数的极限分析，可以确定合适的液压阻尼系数和工作压力，从而提高悬挂的减震效果和制动的响应速度。

三级标题5：车身结构的安全性分析在汽车制造中，保证车身结构的安全性是一项至关重要的任务。

通过对多元函数极限与连续的研究和应用，可以对车身结构进行安全性分析和优化设计。

通过对不同外部力的极限分析，可以确定车身结构的强度和刚度，从而保证车辆在碰撞等意外情况下的安全性。

三级标题6：车辆的悬挂系统设计车辆的悬挂系统对行驶的舒适度和稳定性有着重要影响。

多元函数的极限与连续性在数学分析中，多元函数的极限与连续性是十分重要的概念，它们在研究函数性质和解决实际问题时起到了关键作用。

本文将对多元函数的极限与连续性进行详细探讨，并给出相应的定义和性质。

一、多元函数的极限对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，当自变量(x1, x2, ..., xn)接近某一点(a1, a2, ..., an)时，如果函数值f(x1, x2, ..., xn)趋于某个常数L，那么我们就说f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处收敛于L，记作：lim(f(x1, x2, ..., xn)) = L (当(x1, x2, ..., xn) → (a1, a2, ..., an))多元函数的极限与一元函数的极限类似，但需要考虑多个自变量同时趋于某个特定值。

在计算多元函数极限时，可以使用极限的定义、夹逼定理、两个变量夹逼定理等方法。

多元函数的极限性质包括唯一性、局部有界性、局部保号性、极限的四则运算等。

这些性质的证明与一元函数类似，但需要注意多个变量同时进行推导。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在该点处的函数值相等。

具体而言，对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处连续，需要满足以下条件：1. 函数在点(a1, a2, ..., an)存在；2. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限存在；3. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限等于函数在该点的函数值。

在多元函数中，我们可以使用分量函数的连续性来判断函数的连续性。

分量函数是将多元函数中的每个自变量固定，其他自变量视为参数得到的一元函数。

如果分量函数都连续，那么多元函数在该点处连续。

多元函数的连续性性质包括局部连续性、全局连续性、复合函数的连续性等。

这些性质的证明需要使用到一元函数连续性的基本性质，并进行适当的推导和运算。