函数的极限与连续性PPT演示文稿

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一、矛盾是事物发展的源泉和动力
(一)、矛盾的同一性和斗争性 （1）什么是矛盾
①含义：
反映事物内部对立和统一的哲学范畴，
简言之，矛盾就是对立统一。
剪之— 你死我亡——一绳系两命 — 统一— 两者的命运统一于一条绳 — 对立— 两者之间随时都可能相斗 —
不剪— 冤家路窄——利益有冲突 —
矛盾：事物自身包含的既对 立又统一的关系
（４）矛盾同一性与斗争性的关系：
区别：
矛盾的同一性是相对的，斗争性是绝对的
联系：
①同一性离不开斗争性，同一以差别和对立为前提。
②斗争性寓于同一性之中，并为同一性所制约。 ③矛盾双方既对立又统一，由此推动事物的运动、变 化和发展。
试一试：
材料一：酿酒窖泥奇臭，酿出的名酒特香，香鲸的 粪便恶臭，燃烧后却香味浓郁。
第四节 函数的连续性 及极限的应用
高三备课组
知识点
1.函数在一点连续的定义:
如果函数f(x)在点x=x0处有定义，xlimx0 f(x)存在，且
lim
x x0
f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.
2．.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三 个条件.
((21))函数xlimfx(0xf)(在x)存点在x=；x0处有定义；
7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x) 在x=x0处有极限的联系与区别。 “连续必有极限，有极限未必连续。”
点击双基
1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有 定义的_________条件.
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分又不必要
２.下列图象表示的函数在x=x0处连

用集合形式可表示为：Rf={f(x)|x∈ D(f)}（通常Rf B）
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例：试求由下列公式定义的函数的自然定义域
f (x) 1 x(x 1)
解: Df {x| x0且 x 1 ,0 1,
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1.1.2 函数的图形
❖ 定义1.2 设f是定义在Df上的函数，它的图形是满足条件y=f(x)
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1.2.2 函数的复合运算
❖ 定义1.8 设函数 y f (u)和 u (x) 是两个已知和函数，对于
函数 的定义域 D 中的一些 x ，如果函数值 u (x) 在
函数f的定义域 D f 中，那么就可以计算得到一个对应的值 f ((x))，于是构成了一个新的函数 yg(x)f((x))，这个新
称函数f是在区间I上的单调增函数（或单调减函数），称I为f 的单调增（或减）区间。 单调增函数和单调减函数统称为单调函数。
从几何意义上看，单调增函数的图形是向右上方上升的 曲线；单调减函数的图形是向右下方下降的曲线。
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（3）函数的奇偶性 ❖定义1.5 设函数f的定义域 D f 关于原点对称，即当 x D f 时，必有 x D f 。若对于任意的 x D f ，总有 f(x)f(x)， 则称f是偶函数；若对任意的x D f ，总有f(x)f(x)，则 称f是奇函数。
从几何意义上看，偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的 图形关于原点中心对称。
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（4）函数的周期性
❖ 定义1.6 设函数f的定义域是D f ，若存在非零数T，使对每个
x D f ，都有 xTDf ，且总有 f(xT)f(x)成立，则
称函数f为周期函数，数T称为周期函数f的周期。

2 7
3
x 4
x
5
x3 1
x3
2. 7
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例4、
求
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3
.
( 0型) 0
解：x 1时,分子,分母的极限都是零.
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
lim
x1
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
yy y x2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
xx
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(3) 函数的有界性:
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
2
2
2
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例3、 设函数 f ( x) 1 , g( x) x 2
x 1
求 f [g( x)] 和g[ f ( x)] 解：f [g(x)] 1 1 ,
g(x) 1 x 2 1 g[ f (x)] f (x) 2 1 2
x 1
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（或n ）的过程中, 对应函数值 f ( x)无限
趋近于一个确定常数 A.
lim
n
an
A
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.

练习题
x x0
1、设函数 f(x) 1 x0
ex 1 x0
讨论⑴、lim f (x)是否存在; x0 ⑵、x0在 f (x) 处是否连续
2、设函数
f
(x)
x2
a
x1试确定常数
2 x1
a的值，使 f (x)在 x 1处连续.
函数、极限、连续
解：1、⑴、lim f (x) lim x 0
x0
xx0
y f(x)在(a,b) 每一点连续 yf(x)在(a,b) 连续
yf(x)在(a,b) 内连续
lifm (x )f(b )l,ifm (x )f(a )
x b
x a
yf(x)在[a, b] 连续
函数、极限、连续
说明：
初等函数在其定义区间内都连续.
【例1 】 讨论函数在指定点处的连续性
为函数的连续点.
函数、极限、连续
注意：
f
(
x)
在点
x
连续，必须要求
0
f
(
x)
在
x 0 点有定义，这是与极限定义不同的.
2、函数在 某一点连续的三要素
函数yf(x)在 1、f (x)在x 0 点有定义；
x 0 处连续
2、lim f (x)存在； xx0
3、xl ixm 0 f(x)f(x0)
例1
已知：函数
f
(x)

sin x
x
x0
0 x 0
讨论函数在 x0的连续性
解：f (x) 的定义域为R , 且 f (0) 0
lim f (x) lim sin x 1
x0
x0 x
又 limf(x)1 f (0) x0