第三章 数学悖论 概率论悖论

数学万花筒(1)数学悖论与数学的发展【什么是数学悖论？】“悖论(Paradox)”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比.悖论有三种主要形式.1.一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的(佯谬).2.一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了(似是而非的理论).3.一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾.“悖论是无意义的！”“悖论没有任何作用！”这也许是某些人的看法.但是，请不要小看悖论，它直接导致了——【三次数学危机】祸起萧蔷——古希腊人是一个喜欢思考且善于思考的民族.他们一直以为，任何两条线段，一定存在一把尺子，可以整量这两个线段，称之为可“公度”.这样任何线段的长度，就都可以用有理数来表示.且当时希腊的数学均以此为基础.不料，毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯提出了这样一个问题：边长为1的正方形，其对角线的长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的“风暴”.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.时至今日，还留有当初人们的不解和无奈——称等数为无理数(没有道理的数).这一伟大发现，虽然对当时所有古希腊人的观念是一个极大的冲击.但同时，也极大地激发了他们探讨两线段长度之比含义的浓厚兴趣.古希腊人的这个发现影响至今，是人类文明史上的一个重要里程碑.它推动了人们对实数本质的认识.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这可是为当时人们的经验所确信的，完全符合常识的论断!可现在居然被小小的存在给推翻了！这应该是多么违反常识，多么不可思议的事啊！这场数学史上的风波，史称“第一次数学危机”.过了两千多年，数学家们通过建立实数理论体系，才从根本上平息了这场危机.不明就里——无穷小微积分这一数学利器，也有着艰难的发展历程.第二次数学危机源于微积分.伴随着人们科学理论与实践认识的提高，在十七世纪的几乎同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现.它一经问世，就显示出其非凡威力.许许多多疑难问题运用这一工具后就变得易如反掌.但是，不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的.两人的理论都是建立在无穷小分析之上的.但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的.因而，从微积分诞生之时，就遭到了一些人的反对与攻击.其中最猛烈的是英国大主教贝克莱.贝克莱指责牛顿：为计算x2的导数，先将x取一个不为0的增量Δx ，由(x +Δx)2–x2，得到2xΔx +(Δx)2，后再被Δx除，得到2x +Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x .而无穷小量,在牛顿的理论中一会儿说是0，一会儿又说不是0.就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0.但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾.这一问题的提出，在当时数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的爆发.后来,几代数学家不顾基础的不严格，论证的不严密，更多地依赖于直观去开创新的数学领地.然而粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面不断加剧.无穷级数S＝1－1＋1－1＋1…到底等于什么？当时人们认为一方面S＝(1－1)＋(1－1)＋ 0另一方面，S＝1＋(1－1)＋(1－1)＋ (1)这样一来，就导致了 0＝1这一矛盾等式的出现，而这一矛盾等式竟使像傅立叶这样顶尖的数学家也困惑不已.甚至连被后人称之为数学英雄的欧拉，在此也犯下难以饶恕的错误.他在得到 1 + x + x2+ x3+ …=后，令x=－1，得出S＝1－1＋1－1＋1…＝由此不难看出，当时数学界的混乱局面. 在十八世纪之前，人们对无穷级数的和不知所措.其根本原因是没有建立微积分的坚实理论基础.这次危机与第一次危机之间有着密不可分的联系.说到底，是没能弄清什么是实数.在这之后，柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，重建了微积分学基础.给出了什么是实数的合理解释.微积分学坚实、牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决.难圆其说——罗素问十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论.在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击.但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉.数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦.因而集合论成为了现代数学的基石.1903年，英国数学家罗素指出：集合论是有漏洞的！罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成.然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合.因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的.但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地.如果S属于S，根据S的定义，S 就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S.无论如何都是矛盾的.罗素对此有一个通俗的比喻.人称“理发师悖论”：某理发师声称，他给那些自己不能刮脸的人刮脸，但是，不给那些自己刮脸的人刮脸.有人问“那你自己呢？”理发师沉思良久，仍无言以对.如果他是自己刮脸，他就不应该自己刮脸；如果他自己不刮脸，他就必须自己给自己刮脸.这就陷入了深深的矛盾之中.这一悖论就象在平静的数学湖面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响，则导致了第三次数学危机.后来，数学家们引进了“选择公理”，建立了公理化集合系统，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地化解了第三次数学危机.由此不难看出，数学悖论在推动数学发展过程中的巨大作用.而这或许就是数学悖论的重要意义之所在——不断地使数学精准化化，完美化.趣味问题阿吉利斯悖论（Achilles Paradox）——人龟赛跑这是由古希腊哲人芝诺（Zenon of Eleates）提出的一个经典悖论.阿吉利斯是古希腊神话中善跑如飞的英雄.阿吉利斯悖论：如果乌龟先跑，让阿吉利斯追赶乌龟.他将永远追不上乌龟.因为无论阿基利斯跑得多快，他必须先跑完从他出发的起点到乌龟当下距离的一半，等他赶完这段路程，乌龟又往前挪动了一些，他则必须再追其间的一半，如此一来，永无止境.尽管阿基里斯会离乌龟越来越近，但他始终不可能追上前面的乌龟.比方说，阿吉利斯的速度是乌龟的10倍，龟在前面100米处，当阿吉利斯跑了100米到乌龟出发点时龟已向前走了10米，阿氏追10米，龟又走了1米，阿氏再追1米，龟又向前走了0.1米……这样永远隔一小段距离，所以总也赶不上.真的吗？说说你的看法？。

关于数学悖论的探讨摘要：中西方哲学界和数学界对悖论问题的研究已经持续了长达几十年，这个问题牵涉到逻辑和哲学。

具体说来,它还同多种数理逻辑上的实际问题有关。

因此,，对于悖论的研究不仅有着哲学上的意义，对于数学逻辑的养成以及解决实际问题上也有着深远的意义。

许多悖论到如今依旧没有在这篇论文中我希望通过阐述几个世界上较为知名的悖论，并且通过自己的分析得出结论来谈一谈我对悖论的理解。

关键字：悖论罗素悖论说谎者悖论芝诺悖论逻辑正文：一．悖论的基本概念悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。

悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确。

悖论的成因极为复杂且深刻，但深入研究有助于数学、逻辑学、语义学、形而上学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。

其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托尔悖论等等。

悖论，亦称为吊诡、诡局或佯谬，是指一种导致矛盾的命题。

在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。

二．悖论的主要形式悖论的主要形式有以下三种。

1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。

2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。

3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。

三．悖论的分类悖论可大致分为三类：逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论。

时间悖论通常是指因时间旅行或穿梭时空而导致的逻辑上可以推导出互相矛盾的结论，同时假定两个或更多不能同时成立的前提，是一切悖论问题的共同特征。

逻辑悖论总是相对于一个公理系统而言的，如果在一个公理系统中既可以证明公式A又可以证明A的否定元A',则我们说在这个公理系统中含有一个悖论，因为这时A和A'在系统中是可证等价的。

统计悖论可追溯到18世纪，它是一个非传递关系的典型，这种关系是在人们作两两对比选择时可能产生的。

人们也许已经很熟悉传递关系的概念。

高二数学必修3第三章概率知识点归纳聪明出于勤劳，天赋在于积聚。

小编预备了高二数学必修3第三章概率知识点，希望能协助到大家。

一.随机事情的概率及概率的意义1、基本概念：(1)肯定事情：在条件S下，一定会发作的事情，叫相关于条件S的肯定事情; (2)不能够事情：在条件S下，一定不会发作的事情，叫相关于条件S的不能够事情; (3)确定事情：肯定事情和不能够事情统称为相关于条件S确实定事情;(4)随机事情：在条件S下能够发作也能够不发作的事情，叫相关于条件S的随机事情;(5)频数与频率：在相反的条件S下重复n次实验，观察某一事情A能否出现，称n次实验中事情A出现的次数nA为事情A出现的频数;称事情A出现的比例fn(A)=nnA为事情A出现的概率：关于给定的随机事情A，假设随着试验次数的添加，事情A发作的频率fn(A)动摇在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事情A的概率。

(6)频率与概率的区别与联络：随机事情的频率，指此事情发作的次数nA与实验总次数n的比值nnA，它具有一定的动摇性，总在某个常数左近摆动，且随着实验次数的不时增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事情的概率，概率从数量上反映了随机事情发作的能够性的大小。

频率在少量重复实验的前提下可以近似地作为这个事情的概率二.概率的基本性质1、基本概念：Page 8 of 8(1)事情的包括、并事情、交事情、相等事情(2)假定AB为不能够事情，即AB=ф，那么称事情A与事情B互斥;(3)假定AB为不能够事情，AB为肯定事情，那么称事情A与事情B互为统一事情;(4)当事情A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B);假定事情A与B为统一事情，那么AB为肯定事情，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B) 2、概率的基本性质：1)肯定事情概率为1，不能够事情概率为0，因此01; 2)当事情A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B);3)假定事情A与B为统一事情，那么AB为肯定事情，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=14)互斥事情与统一事情的区别与联络，互斥事情是指事情A 与事情B在一次实验中不会同时发作，其详细包括三种不同的情形：(1)事情A发作且事情B不发作; (2)事情A不发作且事情B发作;(3)事情A与事情B同时不发作，而统一事情是指事情A 与事情B有且仅有一个发作，其包括两种情形;(1)事情A发作B不发作;(2)事情B发作事情A不发作，统一事情互斥事情的特殊情形。

悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。

数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。

按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。

目录历史定义数学悖论第一次数学危机起因经过影响第二次数学危机起因经过影响第三次数学危机起因经过影响悖论一览理发师悖论说谎者悖论跟无限相关的悖论预料不到的考试的悖论电梯悖论硬币悖论谷堆悖论宝塔悖论鸡与蛋问题展开历史定义数学悖论第一次数学危机起因经过影响第二次数学危机起因经过影响第三次数学危机起因经过影响悖论一览理发师悖论说谎者悖论跟无限相关的悖论预料不到的考试的悖论电梯悖论硬币悖论谷堆悖论宝塔悖论鸡与蛋问题展开“……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。

” ——N·布尔巴基编辑本段历史悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。

“悖数学悖论图论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。

在古希腊时代，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。

公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖论”。

在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的撒谎者悖论”。

埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名，至今仍余波未息。

在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辩证的思想内容。

在近代，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。

概率论中的悖论摘自从惊讶到思考——数学悖论奇景《科学美国人》杂志社马丁·加德纳1．赌徒的谬误M：琼斯先生和琼斯太大有五个孩子，都是女儿。

琼斯太大：我希望我们下一个孩子不是女孩。

先生：我亲爱的，在生了五个女儿之后，下一个肯定是儿子。

M：琼斯先生对吗？M：很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转过很多红色数字之后，就会落在黑的上，他们就可以赢了。

事情将是这样进行的吗？M：埃德加·阿兰·坡坚持认为，如果你在一轮掷骰子中已掷出五次两点，你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了。

他说得对不对呢？M：如果你对任何这类问题回答说“对”，你就陷入了所谓“赌徒的谬误”之中。

在掷骰子时，每掷一次都与以前掷出的点数完全无关。

M：琼斯先生和琼斯太太第六个孩子是女孩的概率仍然是1/2。

轮盘赌的下一次赌数是红色的概率仍然是1/2。

掷骰子时，下一次掷出2的概率仍然是1/6。

M：为了让问题更明朗，假定一个男孩扔硬币，扔了五次国徽向上。

这时再扔一次，国徽向上的概率还是完全与以前一样：一半对一半，钱币对于它过去的结果是没有记忆的。

如果事件A的结果影响到事件B，那么就说B是“依赖”于A的。

例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率。

在日常生活中说的“彼此没有关系”的事件称为“独立”事件。

你明天穿雨衣的概率是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。

大多数人很难相信一个独立事件的概率由于某种原因会不受临近的同类独立事件的影响。

比如，第一次世界大战期间，前线的战士要找新的弹坑藏身。

他们确信老的弹坑比较危险，因为他们相信新炮弹命中老弹坑的可能性较大。

因为，看起来不可能两个炮弹一个接一个都落在同一点，这样他们就合理地认为新弹坑在一段时间内将会安全一些。

有一个故事讲的是很多年前有一个人坐飞机到处旅行。

他担心可能哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸弹。

于是他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸了火药的炸弹。

他知道一架飞机上不太可能有某个旅客带着炸弹，他又进一步推论，一架飞机上同时有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。

悖论一、悖论的概念悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。

那么命题B就是一个悖论。

当然非B也是一个悖论。

我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了无法解决的悖论问题，这种情况说明了什么问题？自然在整体上是包含多样性的，而我们却置这些情况于不顾，而专门关注属于我们感兴趣的那一种特殊情况，当特殊情况与其它相反的情况或普遍性存在的一般情况相遇时必然产生某种相悖的结论。

不是数学悖论对数学基础产生大的危机影响，而是对逻辑和认识产生重大影响。

悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。

这就是说它带有强烈的游戏色彩。

然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。

欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。

莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。

希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。

冯·纽曼奠基了博弈论。

最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。

爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。

悖论有三种主要形式。

1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。

2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。

3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。

悖论的分类主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。

古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。

解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

罗素的“悖论”英国现代数理学家、哲学家罗素，是数学中逻辑主义学派的代表人物。

1903年他提出了著名的“悖论”，导致了“集合论”理论的发展。

所谓悖论，是从一些貌似正确的或看来可接受的约定出发，经过简明正确的推理，却得到自相矛盾的结论。

例如，对一个命题，如果假定它为真，经过无懈可击的推理，却推出它为假；但假定它为假，又能推出它为真。

这样的命题就是一个悖论。

下面是罗素提出的一个命题：某理发师规定：他只给那些自己不给自己刮脸的人刮脸。

这个理发师该不该给自己刮脸呢？很显然，如果这个理发师给自己刮脸，那么按规定他就不该给自己刮脸；同时，如果他不给自己刮脸，那么按规定他又应该给自己刮脸。

多尴尬的理发师！这样自相矛盾的命题就是悖论。

聪明的读者，请你分析下面的一句话：安第斯山人迪皮克说：“所有安第斯山人说的话都是谎话。

”你能推出这句话中的悖论吗6参考答案：如果这句是真话，由于迪皮克是安第斯山人，他也是说谎者，因此这句话是谎话。

如果这句话是谎话，那么安第斯山人不都是说谎者，可是他的话说明是在说谎，因此是句真话。

摘要：本文主要通过数学史上的三次危机的产生与消除，针对它们的本质浅谈自己的认识，实际导致这三次危机原因在与人的认识。

第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现，把第一次数学危机度过了。

第二次数学危机是人们对无穷小的误解，微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，分析方法是算和证的结合。

是通过无穷趋近而确定某一结果。

罗素悖论的发现，给数学界以极大的震动，导致了数学史上的第三次危机。

为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。

关键词：危机；万物皆数；无穷小；分析方法；集合一、前言数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。

悖论与数学悖论摘要：悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。

数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。

按照悖论的广义定义，所有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。

简述数学悖论的三次危机，以及相关悖论的介绍。

关键词：悖论数学悖论数学危机罗素悖论正文：一、悖论与数学悖论的概念悖论，亦称为吊诡或诡局，是指一种导致矛盾的命题。

通常从逻辑上无法判断正确或错误称为悖论，似非而是称为佯谬；有时候违背直觉的正确论断也称为悖论。

悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。

悖论的成因极为复杂且深刻，对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。

其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托悖论等等。

数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。

按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。

数学中有许多著名的悖论，除前面提到的伽利略悖论、贝克莱悖论外，还有康托尔最大基数悖论、布拉里——福蒂最大序数悖论、理查德悖论、基础集合悖论、希帕索斯悖论等。

二、悖论的形式和类型悖论有三种主要形式：1、一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。

2、一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。

3、一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。

类型：悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。

三、悖论原理同时假定两个或更多不能同时成立的前提，是一切悖论问题的共同特征。

一般地说，由于悖论是一种形式矛盾，即是某些特殊的思想规定的产物，它们就不可能是事物辩证性质的直接反映；进而，人们也就不能把它们说成是“特殊的客观真理”，而只能说它们是“歪曲了的真理”。

因此，悖论实质上是客观实在的辩证性与主观思维的形而上学性及形式逻辑化的方法的矛盾的集中表现。

悖论的探索常识和科学都告诉我们：假如说一个论断是正确的，那么，无论作怎样的分析、推理，总不会得出错误的结论；同样，假如说某个论断是错误的，那么，无论作怎样的分析、推理，总不会得出正确的结论。

数学作为建筑在逻辑推理基础上的科学，总是严密的、可靠的。

像几何学，就是从几条公理出发，推演出一整套严密的科学体系，其中任何一条定律，在条件满足时总是正确的。

例如，平面上的两条直线，要么相交，要么平行。

这个论断是正确的，因为平面上不可能有两条既不平行也不相交的直线。

再如，不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面，只有两个点就不行。

无论任何人都不可能在某种条件下，仅用两个点或者用任意三点就可决定一个平面。

但是，早在2 000多年前的古希腊，人们就发现了这样的矛盾:用公认的正确的推理方法，证明了这样两个“定理”，承认其中任何一个正确，都将推证出另一个是错误的。

甚至有这样的命题：如果承认它正确，就可以推出它是错误的；如果承认它不正确，又可以推出它是正确的。

到底哪个正确哪个错误，使人们难以判断。

这种情况看来十分荒唐，而事实上它是客观存在的。

这种现象科学家称为“悖论”。

“悖”就是相违背、谬误或混乱的意思。

千百年来，科学家一再发现这样的悖论。

今天，虽然数学家还不能合理地解释悖论，但正是在这种解释的努力中，数学家作出了一系列的发现，导致了大量新学科的建立，推动了数学科学的发展。

例如无穷级数S＝1－1＋1－1＋1………到底等于什么？当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。

他在得到1 + x + x2 + x3 + ···= 1/(1- x)后，令 x = －1，得出S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。

悖论一、什么是数学悖论悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。

笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。

悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。

悖论的成因极为复杂且深刻，常见的悖论的三种形式：１、命题表面上看是不可能的,或者是自相矛盾的,然而它们却是真的，如根据康托的理论,奇数的数目与自然数的数目一样多。

２、当一个论证看上去似乎是完全可靠的,然而却得到一个荒谬的结论，如芝诺悖论。

３、根据似乎完全可靠的推理能够证明某种东西必定为真而且也能够证明它必定为假，这也就是通常所说的二律背反。

（注：在康德的哲学概念中，二律悖反指对同一个对象或问题所形成的两种理论或学说虽然各自成立但却相互矛盾的现象）。

数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。

按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。

说到这里，我们不得不谈谈数学史中最著名的三个悖论，它们分别引起了数学史上的三次危机。

二、数学史中的著名悖论与三大危机希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！面对这一荒谬人们竟然毫无办法。

这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。

到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。