概率理论的线性局限分析——《生日悖论》是个谬误!

生日悖论是一个在概率论和统计学中的经典问题，指的是一个房间里只要有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率超过一半。

这个悖论看似与直觉相悖，然而通过概率的计算和统计学的分析可以得出证明。

在本文中，我们将通过codeforces评台上的一个例题来深入探讨生日悖论，通过编程和数学计算来验证这一经典问题的成立。

在codeforces评台上，有一道名为"Choosing Capital for Master"的例题，其内容涉及到选择一个首都来最大程度地使得其他城市到首都的距离之和最小。

这个问题实际上可以通过生日悖论来进行类比和解决，通过分析和算法设计来解决这一问题。

我们将通过数学推导来证明生日悖论。

假设有n个人，那么至少有两个人生日相同的概率可以通过以下步骤计算得出：1. 计算出任意两个人生日不重复的概率：第一个人的生日为365天中的任意一天，第二个人的生日不能与第一个人相同，所以概率为364/365。

2. 计算出n个人中都没有人生日相同的概率：依次乘上n个人都没有生日相同的概率，即为(365/365) * (364/365) * ... * (365-(n-1)/365)。

3. 最终得到至少有两个人生日相同的概率为1减去n个人都没有生日相同的概率。

通过以上推导，我们可以得出结论：当n=23时，至少有两个人生日相同的概率超过一半。

接下来，我们将通过编程来验证生日悖论。

我们可以使用C++或Python等编程语言来模拟生成一定数量的随机生日序列，然后判断其中是否存在相同的生日。

通过统计实验次数和相同生日出现的次数，来逼近真实的概率值。

以C++为例，我们可以编写以下伪代码来模拟实验过程：```cpp#include <iostream>#include <vector>#include <cstdlib>#include <ctime>int m本人n() {int n = 23; // 人数int experiments = xxx; // 实验次数int same_birthday_count = 0; // 相同生日次数统计srand(time(0)); // 设置随机种子for (int i = 0; i < experiments; ++i) {std::vector<int> birthdays(n);for (int j = 0; j < n; ++j) {birthdays[j] = rand() 365 + 1; // 随机生成1-365之间的生日}// 判断是否有相同生日bool has_same_birthday = false;for (int j = 0; j < n; ++j) {for (int k = j + 1; k < n; ++k) {if (birthdays[j] == birthdays[k]) {has_same_birthday = true;break;}}if (has_same_birthday) {break;}}if (has_same_birthday) {same_birthday_count++;}}// 输出实验结果std::cout << "实验次数：" << experiments << std::endl;std::cout << "至少有两个人生日相同的次数：" <<same_birthday_count << std::endl;double probability =static_cast<double>(same_birthday_count) / experiments;std::cout << "实际概率：" << probability << std::endl;return 0;}```通过以上代码，我们可以得到实际的概率值。

生日悖论生日悖论（Birthday paradox）生日悖论 (1)什么是生日悖论 (1)生日悖论的理解 (1)概率估计 (2)数学论证(非数字方法) (3)泛化和逼近 (5)N＝365的结果 (5)泛化 (5)反算问题 (6)举例 (6)经验性测试 (7)应用 (7)近似匹配 (8)参考文献 (8)什么是生日悖论生日悖论（Birthday paradox）是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。

这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。

对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。

从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。

大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。

计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。

生日悖论的理解理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。

如在前面所提到的例子，23个人可以产生种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。

从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。

换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是50：50了，而是变得非常低。

原因是这时候只能产生22种不同的搭配。

生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少。

概率估计假设有n个人在同一房间内，如果要计算有两个人在同一日出生的机率，在不考虑特殊因素的前提下，例如闰年、双胞胎，假设一年365日出生概率是平均分布的（现实生活中，出生机率不是平均分布的）。

计算机率的方法是，首先找出p(n)表示n个人中，每个人的生日日期都不同的概率。

假如n> 365，根据鸽巢原理其概率为0，假设n≤ 365，则概率为:因为第二个人不能跟第一个人有相同的生日(概率是364/365),第三个人不能跟前两个人生日相同(概率为363/365),依此类推。

验证生日悖论问题引入：一．问题分析生日悖论：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。

这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。

对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。

从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。

大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。

在《著名的生日悖论》中说道： 23个人里有两个生日相同的人的几率有多大呢？居然有50%。

悖论定义：悖论是指一种导致矛盾的命题。

悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。

如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。

生日攻击：生日攻击方法没有利用Hash函数的结构和任何代数弱性质，它只依赖于消息摘要的长度，即Hash值的长度。

这种攻击对Hash函数提出了一个必要的安全条件，即消息摘要必须足够长。

生日攻击这个术语来自于所谓的生日问题，在一个教室中最少应有多少学生才使得至少有两个学生的生日在同一天的概率不小于1/2？这个问题的答案为23。

二．问题求解不计特殊的年月，如闰二月。

先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么第一个人的生日是 365选365第二个人的生日是 365选364第三个人的生日是 365选363: : :第n个人的生日是 365选365-(n-1) 所以所有人生日都不相同的概率是：(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是： 1-(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】所以当n=23的时候，概率为0.507，约等于0.51。

生日悖论：你的生日和其他人的生日有多大的概率相同？生日悖论是一个有趣的概率问题，它的答案可能会让你感到惊讶。

假设在一个房间里有23个人，那么这些人中有两个人生日相同的概率是多少呢？你可能会认为这个概率很小，但实际上它是非常高的。

为什么会这样呢？让我们来看看这个问题的背后。

生日悖论的原理在一个房间里有23个人，每个人的生日都是随机选择的。

那么第一个人的生日可以是任何一天，第二个人的生日可以是除了第一个人生日那一天的任何一天，第三个人的生日可以是除了前两个人生日那两天的任何一天，以此类推。

因此，第23个人的生日可以是除了前22个人生日那22天的任何一天。

我们可以用排列组合的方法来计算这个问题的答案。

假设我们要从365天中选择23个不同的生日，那么我们可以有C(365,23)种不同的选择方式。

其中C(n,m)表示从n个不同的物品中选择m个物品的组合数。

这个数值可以通过数学公式计算得出，也可以使用计算器或者网络上的计算工具来计算。

现在我们来计算一下，如果要保证在一个房间里至少有两个人的生日相同，需要多少人才能满足这个条件。

这个问题可以转化为求解至少有两个人的生日不同的概率，即：P = 1 - C(365,23) / 365^23这个概率的计算结果是0.5073，也就是说，在一个房间里有23个人的时候，至少有两个人的生日相同的概率是50.73%。

这个结果可能会让你感到惊讶，因为我们通常认为需要更多的人才能满足这个条件。

生日悖论的实际应用生日悖论不仅仅是一个有趣的概率问题，它还有着广泛的实际应用。

例如，在计算机科学和密码学中，生日悖论被用来评估哈希函数的强度。

哈希函数是一种将任意长度的消息映射到固定长度的消息摘要的算法，它在计算机安全中扮演着重要的角色。

生日悖论告诉我们，如果哈希函数的输出长度为n位，那么攻击者找到两个具有相同哈希值的消息的概率大约是2^(n/2)。

因此，为了保证哈希函数的安全性，输出长度应该足够长，以确保攻击者无法轻易地找到相同的哈希值。

《生日悖论》是个延续了百余年的谬误——发展非线性经济学的哲学漫谈商与儒这是我在提议发展我国非线性经济学时，用自己的非线性哲学思维审视精确科学——数学的一篇哲学漫谈，我相信诸位很容易判断我的结论是否正确。

欢迎各位批评和指正！《概率理论》是《经济学》的重要分析工具，它真的是那么科学、那么完美、那么无暇可击吗？我们先来看个例子：一个袋子里有9个材质、形状、重量都一样的小球，它们分成3组，分别写着1-3的数字。

我们随机摸3个小球，问：摸到3个数字相同的小球和摸到3个数字都不同的小球，哪个概率大？显然数字相同的小球只有3个组合：111，222，333；而数字都不同的小球有6个排列（123，132，213，231，312，321），所以答案一定是摸到数字都不同的3个小球的概率大。

现在我们用三种不同的颜色分别代替三个不同的数字，给这些小球上涂上红兰棕三色，每种颜色涂3个小球。

我们随机摸3个小球，问：摸到3个颜色相同的小球和3个颜色都不同的小球，哪个概率大？颜色相同的3个小球只有三个组合——红红红、蓝蓝蓝、棕棕棕；颜色都不同的3个小球有6种不同排列（红蓝棕、红棕蓝、蓝红棕、蓝棕红、棕红蓝、棕蓝红），所以答案一定是摸到颜色都不同的3个小球的概率大。

现在我们再在三组颜色相同的小球上分别写上123三个不同的数字：1112 2 233 3于是，如上图所示，9个小球中，颜色相同的小球，数字一定不同；数字相同的小球，颜色一定不同。

我们问：随机摸3个小球，概率最小的是哪一种情况时，就形成了一个“悖论”——回答“摸到3球颜色相同的概率最小”，那么这3球的数字一定不同（这是同时发生的必然事件，概率为1），摸到3球数字不同的概率一定不是最小；回答“摸到3球数字相同的概率最小”，那么这3球的颜色一定不同，摸到3球颜色不同的概率一定不是最小。

概率是门严密精确的数学，怎么会得到如此矛盾的结果呢？我们来分析其中的原因：如上图所示，我们先来研究一下，这里颜色和数字的互相关系。

违反直觉的概率问题
首先，人们往往会根据自己的直觉或者经验来判断概率事件，
但有时候直觉并不符合数学规律。

一个经典的例子是“生日悖论”，即在一个房间里只需要23个人就有超过50%的概率至少有两个人生
日相同。

这个结果往往让人感到惊讶，因为直觉上认为至少需要
365人才会出现这种情况。

这种情况的出现是因为人们往往只考虑
了两个人之间的比较，而没有考虑到所有人之间的组合，从而导致
了直觉和实际概率的偏差。

其次，一些概率问题涉及到了条件概率和贝叶斯定理，这也容
易导致违反直觉的情况。

例如著名的蒙提霍尔问题，即在三个门后
面有一辆汽车和两只山羊，参赛者选择一扇门后，主持人会打开另
一扇门，露出一只山羊，然后问参赛者是否要改变选择。

直觉上，
很多人认为换与不换的中奖概率应该是一样的，但实际上根据贝叶
斯定理，换门后的中奖概率更高。

这个问题违反了很多人的直觉，
导致了许多人对概率计算产生了误解。

此外，人们在面对概率问题时往往容易受到信息呈现的方式影响，从而产生直觉上的偏差。

比如赌博广告中常常强调中奖的概率，但很少提及输钱的概率，这容易让人产生错误的直觉，认为中奖的
可能性很高。

这种情况下，人们往往会高估自己的中奖概率，而低估输钱的风险。

综上所述，违反直觉的概率问题往往源于人们的直觉和经验与实际的数学规律不一致，以及对条件概率和信息呈现方式的误解。

要正确理解概率问题，我们需要运用数学知识和逻辑推理，而不是仅仅依靠直觉和经验。

希望这些解释能够帮助你更好地理解这个问题。

从概率论角度解决生活中的悖论生活中有许多经典的悖论，在许多情况下这些悖论会使人感到困惑和尴尬，但是从概率论的角度来看，我们可以更好地理解这些悖论。

悖论1：生日悖论生日悖论是指在一个房间里只有23个人的情况下，至少有两个人的生日是相同的悖论。

这个悖论让人感到困惑的原因是我们通常觉得出现这种情况的概率应该很低。

但是根据概率论，这种情况的概率实际上是非常高的。

假设每个人的生日是随机的、独立的并且均匀分布的（即每一天出生的概率是相等的），那么在23个人中至少有两个人的生日是相同的概率大约是50%。

在一组有57个人的情况下这个概率就超过了99%。

这个悖论的解释是，我们通常很难想到所有可能的情况和排列，我们经常只是根据直观感觉做出判断，并没有考虑到所有的可能性。

悖论2：蒙提霍尔问题蒙提霍尔问题是指在一个游戏中，你面前有三扇门，其中一扇门后面是一辆汽车，另外两扇门后面是羊。

你首先选择其中一扇门，然后主持人告诉你另一扇门后面是一只羊。

你有选择更换原先选择的门吗？这个问题的答案其实是选择更换。

虽然眼前的情形看起来你选择任何一扇门的获胜概率是一样的(1/3)，但你的概率其实更高(2/3)。

为了理解这一点，可以考虑两个可能的情况：一是你一开始选择到了有汽车的那扇门，此时主持人会打开其他两扇门中的一扇门。

二是你选择的是有羊的门，此时主持人必须要打开剩下的那一扇门，因为他不能打开有汽车的那扇门。

在第一个情况中，更换的话你就会输掉，概率为1/3；在第二个情况中，更换的话你就会获胜，概率为2/3。

由于这两个情况的概率分别是1/3和2/3，所以更换的好处是更好的。

孪生船悖论是指两条船在海上相向而行，当它们相距一定距离时，一艘船上的钟比另一艘船上的钟慢，或快，或者两者都有可能。

因为两艘船的速度与方向各不相同，所以很难确定哪艘船的钟会慢一些。

这个悖论的解决其实涉及到了一些相对论和时间理论的知识，但是从概率论的角度来看，我们可以认为两艘船的速度和方向是随机的，那么任何一艘船的钟相对于另一艘船的钟的时间偏差都是等概率的。

用古典概型解释“生日悖论”作者：杨情宇来源：《求知导刊》2018年第26期一年有365天（假设不是闰年），如果遇到同一天生日的人，人们会不禁感慨，真是巧合，有缘分啊！然而有名的生日悖论指出，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。

从生日悖论的内容可以看出，两个人生日相同还是很容易发生的。

但是从直观来看，两个人的生日相同是比较稀少的事情。

并且一般来说，可能认为人数起码得达到183，因为182.5是365的一半，至少有两个人的生日相同的概率才能大于50%。

下面我拟用学过的古典概型的知识来解释这个矛盾的现象。

先考虑房间里刚好有23个人的情况。

假设每个人的生日都是独立的，是365天中的某一天，因此23个人的生日情况的基本事件数为36523。

虽然36523是个很大的数，但是仍然是个有限的数，因此符合古典概型要求的只有有限个不同基本事件的条件。

并且23个人的生日情况是这36523种情况里的任何一种，并且可能性是相同的。

因此符合古典概型每个基本事件发生的可能性是均等的条件。

因为不是闰年，因此每个人的生日是且只是一年365天中的一天。

可见这个问题符合古典概型的条件。

我们可以通过古典概型的求解方法来计算23人中至少有两个人的生日相同这一事件的概率。

设事件A为：23人中至少有两个人的生日相同。

在计算事件A包含的基本事件数时，我发现因为情况众多，计算过程非常复杂。

正难则反的思想是求解概率题时经常使用的技巧。

因此我考虑计算A的对立事件的概率。

设事件B为： 23个人生日都不相同这一事件。

通过仔细观察可以发现。

事件A和B为对立事件。

因此有P（A）=1-P（B）。

这样就可以通过计算P（B）来计算P（A）。

下面计算事件B包含的基本事件数。

第一个人的生日有365种可能，第二个人的生日不能和第一个人相同，因此有364种可能。

以此类推，第n个人的生日有365-n+1种可能。

因此23个人生日都不相同的这一事件包含的基本事件数为365×364×…×（365-23+1）=365×364× (343)由古典概型的概率计算公式，可以得到事件B的概率：从而我们可以得到事件A，也即23人中至少有两个人的生日相同这一事件的概率为1-0.4927=0.5073。

从概率论角度解决生活中的悖论
悖论（paradox）在生活中很常见，我们经常会碰到一些看似矛盾或不合逻辑的情况。

例如“库伯利塔斯陷阱（Kobayashi Maru Paradox）”：在星际迷航中，舰队学员需要通
过模拟战斗来测试他们的指挥能力，但是该战斗情境是无法赢得的。

舰队学员要么放弃，
要么试图寻找一种逃避原则来达到使战斗结束的目的。

由于悖论的存在，我们可能会陷入迷茫或困惑之中。

但实际上，从概率论的角度出发，我们可以找到一些解决悖论的方法。

1. 针对生日悖论（Birthday Paradox），我们可以利用概率来解释这个现象。

在一个房间里，如果有23个人，那么至少两个人分享生日的概率约为50%。

这是因为，23个人所构成的组合可能性非常多，同时，每个人分享生日的概率也比我们想象中更高，所以在这
种情况下，至少两个人分享生日的概率较大。

通过从概率论的角度出发，我们可以解释和理解生活中的悖论。

尽管这些悖论仍然可
能会使我们感到困惑和迷惑，但是我们可以通过深入了解数学领域的知识，来解决这些看
似不可思议的现象。

《概率论》案例分析题目生日悖论与生日攻击班级：学号：姓名：一、问题分析生日悖论：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。

这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。

对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。

从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。

大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。

在《著名的生日悖论》中说道： 23个人里有两个生日相同的人的几率有多大呢？居然有50%。

悖论定义：悖论是指一种导致矛盾的命题。

悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。

如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。

生日攻击：生日攻击方法没有利用Hash函数的结构和任何代数弱性质，它只依赖于消息摘要的长度，即Hash值的长度。

这种攻击对Hash函数提出了一个必要的安全条件，即消息摘要必须足够长。

生日攻击这个术语来自于所谓的生日问题，在一个教室中最少应有多少学生才使得至少有两个学生的生日在同一天的概率不小于1/2？这个问题的答案为23。

二、问题求解不计特殊的年月，如闰二月。

先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么第一个人的生日是 365选365第二个人的生日是 365选364第三个人的生日是 365选363:::第n个人的生日是 365选365-(n-1)所以所有人生日都不相同的概率是：(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是：1-(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】所以当n=23的时候，概率为0.507，约等于0.51。

生日悖论的数学原理咱们来聊聊那个有点神奇的生日悖论。

你说奇怪不奇怪，在一个屋子里，如果只要有 23 个人，居然就有超过 50%的概率会有两个人生日相同！这是不是和咱们平常想的不太一样？咱们先来说说为啥会这样。

想象一下，第一个人的生日，那多自由呀，随便哪天都行。

可第二个人呢，要和第一个人生日不同，概率就只有 364/365 啦。

第三个人要和前两个人生日都不同，概率就变成 363/365 。

这么一直算下去，到第 23 个人的时候，所有人生日都不同的概率就变得很小很小啦。

你看啊，咱们平常觉得一年 365 天，23 个人碰上同一天生日好像不太容易。

但实际上，每次多一个人，和前面所有人生日不同的概率都在降低。

这就好像是在一个大抽奖箱里抽奖，抽的次数多了，重复的可能性就越来越大。

再打个比方，假如有一堆五颜六色的糖果，你每次随便拿一颗，刚开始可能不容易拿到一样的颜色。

但是拿的次数多了，是不是就很有可能拿到重复颜色的糖果啦？这和生日悖论是一个道理呀！而且你想想，如果人数更多，比如说 50 个人，那生日相同的概率就高得吓人啦！这是不是有点颠覆你的想象？其实生日悖论也告诉我们，有些事情不能光凭直觉去想。

有时候我们觉得不太可能发生的事情，在数学的计算下，结果可能会让人大吃一惊。

比如说，在生活中，我们可能会觉得中彩票大奖这种事几乎不可能发生。

但从概率的角度来看，只要买的次数足够多，中奖的可能性也会增加哦。

不过可别为了中大奖就拼命买彩票，咱们还是要理性对待哈！回到生日悖论，它真的是个很有趣的现象。

让我们明白了，在看似不可能的背后，可能隐藏着意想不到的可能性。

下次当你参加一个有几十个人的聚会时，不妨猜猜看，会不会有两个人生日相同呢？说不定还真就有呢！这就是生日悖论的奇妙之处啦，是不是很有意思？。

关于⽣⽇悖论问题的验证昨天在⽹上看到⼀个⾮常有意思的问题：数学⽼师和体育⽼师打赌，数据⽼师认为在他们有50个⼈的班级⾥有两个⽣⽇是同⼀天的同学的概率远超没有的概率，反之是体育⽼师的观点。

第⼀次看到的时候我觉得这特数学⽼师才是教体育的吧，我万万没想到在这个po主经过⼀番奇奇怪怪我没有看懂的数学操作之后他告诉我 50个⼈的班级⾥有两个⽣⽇相同的同学的概率是97%以上⽽且他还告诉我他是科学的严谨的正确的我特么.......这⾥就引出了⽣⽇悖论百度百科解释如下⽣⽇，指如果⼀个房间⾥有23个或23个以上的⼈，那么⾄少有两个⼈的⽣⽇相同的要⼤于50%。

这就意味着在⼀个典型的标准⼩学班级(30⼈)中，存在两⼈⽣⽇相同的可能性更⾼。

对于60或者更多的⼈，这种概率要⼤于99%。

从引起逻辑⽭盾的⾓度来说⽣⽇悖论并不是⼀种悖论，从这个数学事实与⼀般直觉相抵触的意义上，它才称得上是⼀个悖论。

⼤多数⼈会认为，23⼈中有2⼈⽣⽇相同的概率应该远远⼩于50%。

计算与此相关的概率被称为⽣⽇问题，在这个问题之后的数学理论已被⽤于设计著名的密码攻击⽅法：。

可我还是不信怎么办? 写段代码跑第⼀次测试100次⼀年内20个随机⽇期出现相同的概率妈呀第⼀次概率居然达到了90%检查代码后发现没问题再来⼀遍这次还是20个⼈测试10000次这次没有那么夸张可也有41.8%于是我测试了⼀下50个⼈的概率还是⼀万次97.7%随后⼜进⾏了⼏次测试发现概率均在90%以上⽽且测试次数越多结果越是趋近于97% - 98%相信你和我⼀样很震惊不过我眉头⼀皱就找到了问题的答案嘿嘿嘿下⾯是科普时间先计算房间⾥所有⼈的⽣⽇都不相同的概率，那么第⼀个⼈的⽣⽇是 365选365第⼆个⼈的⽣⽇是 365选364第三个⼈的⽣⽇是 365选363:::第n个⼈的⽣⽇是 365选365-(n-1)所以所有⼈⽣⽇都不相同的概率是：那么，n个⼈中有⾄少两个⼈⽣⽇相同的概率就是：所以当n=23的时候，概率为0.507当n=100的时候，概率为0.999999692751072对于已经确定的个⼈，⽣⽇不同的概率会发⽣变化。

从概率论角度解决生活中的悖论概率论是数学中一个重要的分支，它研究的是随机现象的概率规律。

在生活中，我们常常会遇到一些看似悖论的情况，但通过概率论的角度来分析，可以得到一些合理的解释。

一个经典的悖论是“生日悖论”。

生日悖论指的是，在一个房间里只要有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率超过50%。

这个结果常常让人感到困惑，因为23个人中，生日相同的可能性看起来并不高。

但通过概率论的分析，我们能够得到一个相对合理的解释。

假设每个人的生日是在一年中的任意一天，并且每一天出生的人数是相同的。

那么第一个人的生日无论在哪一天，都不会与其他人的生日相同，概率为1。

第二个人的生日与第一个人不同的概率为364/365，即除去第一个人的生日。

以此类推，第三个人的生日与前两个人不同的概率为363/365，第四个人的生日与前三个人不同的概率为362/365，依次类推。

那么23个人中没有任意两个人生日相同的概率就是(365/365) * (364/365) * (363/365) * … * (343/365)。

这个概率约为0.4927，即23个人中至少有两个人生日相同的概率超过50%。

由此可见，生日悖论的解释在于我们往往低估了事件发生的概率。

在这个例子中，虽然每个人生日相同的概率很低，但是要考虑到每个人都与其他人进行比较，而不只是与我们自己的生日进行比较。

尽管每个人生日相同的概率看似低，但当多个人同时比较时，这个概率就会增加。

除了生日悖论，还有许多其他的悖论可以通过概率论来解释。

“碰巧遇到熟人”的悖论。

当我们在陌生的地方偶然遇到一个熟人时，我们会感到非常惊讶。

但从概率论的角度来看，这并不是一个稀奇的事件。

如果我们考虑到每个人可能会在不同的地方出现，那么在一个较大的人群中遇到一个熟人的概率并不低。

通过概率论的分析，我们能够更好地理解生活中的一些悖论。

概率论告诉我们，看似不可能或者非常罕见的事件在较大的概率空间中是有可能发生的。

什么是生日悖论？开动脑筋，想想生日中有趣的数学现象。

例如，四年才出现一次2月29日，也意味着这一天出生的人四年才能过上一次生日。

此外，如果在街上偶遇一人，你们同一天生日的可能性有多大？似乎很渺茫，对吧？366天，遇到同一天生日的概率为1/366，或0.0027%！概率极小，这就是为什么当你遇到一个和你同一天生日的人，你会不禁感慨，天啊，这好神奇啊，好巧啊！那么，考虑一下这样的问题，在一个房间里，至少有多少人，才能使其中两个人的生日是同一天的可能性超过50%？有人可能认为房间人数起码得达到183，因为183是366的一半。

其实这是错误的！你相信这仅仅只需要23个人吗？听起来似乎不可能，但这是真的！这个有趣的数学现象被称为生日悖论。

当然，这不是一个真正的逻辑悖论，因为它不是自相矛盾的。

它只是非常地不可思议、难以置信。

那么，这背后的数学原理是怎样的呢？在开始解释这个原因之前，先假设一年只有365天，每一天的生日概率相同。

虽然假设不完全准确，但使我们计算起来更加方便，而且不会影响到最终结果。

生日悖论会令人感到难以置信，因为人类倾向于从自己的角度看待问题。

人们通常这样想，如果一个房间里加上自己共有23人，你会觉得在这22人里跟你同一天生日的可能性太低了。

365天，现在却只有22个人，你可能会想概率只有22/365，所以很难在这22个人中遇上跟自己同一天生日的。

其实，这是一种错误的思考方式——只是站在你自己的角度来思考有谁与你生日是一样的。

事实上，生日问题指的是在任何23个人中，两人生日相同的概率是多少。

而不是你进入了一个有着22个人的房间，房间里有人会和你有相同生日的概率。

我们需要挨个比较房间里每个人之间的生日。

把第一个人与其他22个比较，把第二个人与21个人比较，第三个人与其它20个人比较......直到最后第二个人与最后一个人比较。

将23个人之间的所有这些比较加起来，产生22 + 21 + 20 ... + 1 = 23 × 22/2 = 253种不同的搭配，所以产生一对成功匹配的生日并非不可思议。

阿尔弗雷德·诺贝尔与生日悖论If I have a thousand ideas and onlyone turns out to be good, I am satisfied.——Alfred Nobel他是化学家、工程师、发明家、军工装备制造商和炸药的发明者。

他也是诺贝尔奖的发起者。

他就是阿尔弗雷德·诺贝尔（Alfred Nobel, 1833.10.21－1896.12.10）。

今天是他的183岁诞辰。

（? /alfred_nobel/）我是世界的公民，应为人类而生。

——诺贝尔他留给这个世界的太多，不仅仅是知识和精神，还有丰富的遗产以奖励那些对社会做出卓越贡献，或做出杰出研究、发明以及实验的人士。

今天，借着诺贝尔的诞辰我们来了解一下“生日悖论”。

假设在诺贝尔的钢铁厂有23个人，包括诺贝尔在内。

现在，我的问题是，在这23个人当中，至少有两个人是同一天过生日的概率有多大，是10%，30%，还是50%？（为了解决这个问题，我们忽略掉2月29日这一天。

）在告诉你答案之前，我们先上个蛋糕：答案是：在23个人当中出现相同生日的概率大于50%。

大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。

而对于57或者更多的人，这个概率高达到99%。

这个数学事实与一般直觉相抵触，因此该问题被称为“生日悖论（Birthday Paradox）”。

如果仅从逻辑矛盾的角度来说，生日悖论并不是一个严格的悖论。

还要记住一个事实，当人数达到366人的时候，在统计意义上肯定会有两个人是同一天生日的，因为只有365个可能的生日。

现在我们来简单解释这怎么可能。

我们首先要计算逆概率，即这23个人中没有人是同一天生日的概率。

想要直接找出至少有两个人生日的概率是很困难的。

而先找出没有人是同一天生日的概率要简单的多的多。

两个人不是同一天生日的概率是：三个人不是同一天生日的概率是：四个人不是同一天生日的概率是：23个人不是同一天生日的概率是：这是什么意思？这就意味着如果没有人是同一天生日的概率是49.3%，那么就有50.7%的概率至少有两个人是同一天生日。

用古典概型解释“生日悖论”一年有365天（假设不是闰年），如果遇到同一天生日的人，人们会不禁感慨，真是巧合，有缘分啊！然而有名的生日悖论指出，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。

从生日悖论的内容可以看出，两个人生日相同还是很容易发生的。

但是从直观来看，两个人的生日相同是比较稀少的事情。

并且一般来说，可能认为人数起码得达到183，因为182.5是365的一半，至少有两个人的生日相同的概率才能大于50%。

下面我拟用学过的古典概型的知识来解释这个矛盾的现象。

先考虑房间里刚好有23个人的情况。

假设每个人的生日都是独立的，是365天中的某一天，因此23个人的生日情况的基本事件数为36523。

虽然36523是个很大的数，但是仍然是个有限的数，因此符合古典概型要求的只有有限个不同基本事件的条件。

并且23个人的生日情况是这36523种情况里的任何一种，并且可能性是相同的。

因此符合古典概型每个基本事件发生的可能性是均等的条件。

因为不是闰年，因此每个人的生日是且只是一年365天中的一天。

可见这个问题符合古典概型的条件。

我们可以通过古典概型的求解方法来计算23人中至少有两个人的生日相同这一事件的概率。

设事件A为：23人中至少有两个人的生日相同。

在计算事件A包含的基本事件数时，我发现因为情况众多，计算过程非常复杂。

正难则反的思想是求解概率题时经常使用的技巧。

因此我考虑计算A的对立事件的概率。

设事件B为：23个人生日都不相同这一事件。

通过仔细观察可以发现。

事件A和B为对立事件。

因此有P（A）=1-P（B）。

这样就可以通过计算P（B）来计算P（A）。

下面计算事件B包含的基本事件数。

第一个人的生日有365种可能，第二个人的生日不能和第一个人相同，因此有364种可能。

以此类推，第n个人的生日有365-n+1种可能。

因此23个人生日都不相同的这一事件包含的基本事件数为365×364×...×（365-23+1）=365×364× (343)由古典概型的概率计算公式，可以得到事件B的概率：从而我们可以得到事件A，也即23人中至少有两个人的生日相同这一事件的概率为1-0.4927=0.5073。

概率论的局限性分析引言概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。

概率论在发展的过程中有许多的流派，对于概率本身也有许多不同的解释，各有自身的缺陷，造成了学术界的争论。

概率论的公理化方面也存在一定的争议，目前的概率论是以柯尔莫哥洛夫（kolmogorov）公理系统为基础的[1]。

该公理系统具有一定的局限性，比如菲纳特和熊大国等学者指出了该公理系统的一些缺点和不足[2]。

目前的概率理论要解决许多问题都是有前提条件的，并非可以解决所有的概率问题，比如对事件的概率，可能不同的条件，或者不同的人会给出不同的概率，那么应当如何来综合和折衷，概率论并没有解决。

而笔者在研究中发现，概率论本身在许多时候也是有前提的，并不能解决所有的概率问题，而其中有一个根源在于概率值完全可能是随机变量，而不是一个固定的值，而这种随机不确定性如果在概率论模型中推演下去，其中的许多参数、变量和方法都可能是不确定的，这就意味着一种自由的、不受限的概率表达方式可能需要更多的参数，乃至于无限参数。

这一问题可以说明现有概率论的局限性，乃至于类似的问题可能存在于数学的其他领域，而这也将对其他的学科产生影响。

1 概率定义反映出的问题关于概率的定义，重要存在古典概型、几何概型和统计概率三种定义，它们在解决实际问题中起着十分重要的作用，但是一直存在争议，各种定义各有自己的优势和缺陷。

古典概率定义要求试验的可能总是有限的、互不相容及等可能性的，几何概率虽然克服了试验结果的有限性，但同样要求某种等可能性，而许多实际问题是不具备这些条件的，所以这两种定义都带有局限性。

统计概率虽然没有前面两种定义那种局限性，但却建立在大量重复试验的基础上，况且，试验次数n应大到什么程度，频率究竟在什么意义下趋近于概率，没有确切的说明。

因此，它在数学上是不严密的[3,4]。

所以，这三种定义都不能作为概率的一般定义，这就促使人们考虑，作为数学的一个分支，也应像代数、几何一样，通过建立公理化系统给出概率的定义，使其具有一般性。

10个令人惊异的数学结论作者，Sean Li 。

翻译，伯努利数，哆嗒数学网翻译组成员。

数学中有许多非常枯燥的事情。

例如谁会关心(半径为r的)圆的面积是πr²，或者“负负得正”呢？为什么？也许我们可以在最出乎意料的结果上找到答案，反直觉的事实有时候甚至骗过了最好的数学家。

1、生日悖论生日悖论是说如果一个房间里有23个人，那么有两个人生日是同一天的概率将大于50%。

这事实看起来很违反直觉，我们都知道在任何一个特定的日子里某人过生日的概率是1/365。

这种差异源于我们只要求两个人彼此拥有同一天生日即可。

不然，若我们考虑的是在某人在某个特定的日子过生日，例如3月14日，那么23个人中，出现这种事的概率是6.12%。

换句话说，如果一个房间有23个人，而你又选择了某人X，并问他：“有人和你是同一天生日吗？”，答案很可能是否定的。

但如果对其他22个人重复同样的行为，每问一次，你会更有机会得到肯定答复，最终我们会看到，这个概率将会超过50%（准确的说是50.7%）2、曼德勃罗集德勃罗集是一个复数集，考虑函数f(z)=z² c，c为复常数，在这为参数。

若从z=0开始不断的利用f(z)进行迭代，则凡是使得迭代结果不会跑向无穷大的c组成的集合被称为曼德勃罗集。

规则不复杂，但你可能没预料到会得到这么复杂的图像。

当你放大曼德勃罗集时，你会又发现无限个小的曼德勃罗集，其中每个又亦是如此...（这种性质是分形所特有的）这真的很契合那句俗话“大中有大，小中有小”，下面有一个关于放大他的视频，我想这绝对令人兴奋不已。

如果你看了这些视频后仍然不觉得这些纯数学令人感到惊讶，那我也不知说什么好了。

3、巴拿赫-塔尔斯基悖论巴拿赫-塔尔斯基悖论是说，你可以将一个图形拆分后拼成两个各自和原先大小完全相同的图形。

更特别的，它声称，对于一个3维实心球，可以将其分成有限份，而后拼成各自与原先的实心球大小完全相同的实心球。

很明显，这可是高度反直觉的。