正交曲线坐标系的场论公式及其他性质

2.3、曲线坐标1）.要研究空间场的性质，首先要对空间加以描述，即在空间建立坐标。

坐标的定义：如果以某种方式使空间的每一个点对应一组有序数()321,,q q q ，而每一组有序数也对应于空间的一个点，这样的有序数称为坐标。

如果有两组坐标()321,,q q q 和()321,,p p p ，这两组坐标由于与空间的点一一对应，所以这两组坐标也一一对应，它们可以互相表示，即()321,,q q q p p i i =；()321,,p p p q q i i =。

=i q 常数，对应于空间的一张曲面，不同的常数对应于不同的曲面。

这就构成了三族曲面，这三族曲面称为坐标曲面。

对于空间的每一个点，每族曲面只有一张曲面过该点。

曲面=2q 常数和=3q 常数的交线称为坐标曲线，在这条曲线上只有1q 可以变化，也称之为坐标曲线1q ，或1q 曲线。

如果空间中每一点的坐标曲线都是正交的（坐标曲线的切线相互正交），则称这样的曲线坐标为正交曲线坐标。

如果每一条坐标曲线都是直线，则称为直角坐标或笛卡尔坐标。

一般用()z y x ,,来表示。

如果用321,,e e e表示321,,q q q 曲线在某一点的切向单位矢量，并指向321,,q q q 增加的方向，习惯上让它们构成右手系。

这样的321,,e e e称为坐标的基矢量。

一般地讲，i e的方向是随空间位置的变化而变化的。

在直角坐标中坐标基矢量的方向是不随空间位置变化的，习惯上用k j i,,表示。

因此在直角坐标中矢径可以表示为：k z j y i x r++=。

作为初步，本课程中只介绍正交曲线坐标。

2）.正交曲线坐标系中对弧的微分 考虑一个微元矢径123112233123i i i ir r r r dr dq dq dq dq ds e ds e ds e ds e q q q q ∂∂∂∂=++==++=∂∂∂∂ 因此，由坐标曲线及基矢量的定义可知i q r ∂ 与i e平行，设ii q rH ∂∂=则()i ie H q r=∂∂i H 称为拉梅系数，一般地讲，拉梅系数i H 是空间的函数。

正交曲线坐标系
正交曲线坐标系是一种常用的坐标系，用于描述三维空间中的物
理现象。

在这种坐标系下，坐标轴不再是直线，而是相互交叉的曲线，因此被称为“曲线坐标系”。

正交曲线坐标系通过一组曲线来定义坐标轴，通常是三条互相垂
直的曲线。

这些曲线可以是任意形状的曲线，但是它们必须满足两个
条件：
1.每一组坐标点必须唯一地对应于唯一的位置。

2.在每个坐标点上，这些曲线必须相互垂直。

在三维正交曲线坐标系中，一个点的位置可以用一组数字来表示，这些数字对应于每个轴上与该点相交的曲线的参数值。

例如，在三维
笛卡尔坐标系中，点的位置表示为(x,y,z)，而在三维正交曲线坐标系中，点的位置可能表示为(r,θ,φ)，其中r,θ,和φ是三个互相垂直的曲线的参数值。

正交曲线坐标系可以用于描述许多物理现象，包括电磁场、热力学、量子力学和流体力学等。

例如，在量子力学中，原子轨道可以用
正交曲线坐标系来描述，这些轨道在三维空间中表示为曲线表面。

在
流体力学中，正交曲线坐标系可以用来描述某些复杂的液体流动模式。

正交曲线坐标系也有一些应用限制。

由于曲线定义了坐标轴的形状，因此计算难度较高，而且它们通常只能适用于特定的物理问题。

此外，正交曲线坐标系的变换公式很难推导和应用，因此需要更高的
数学技能和计算机辅助工具才能进行计算和分析。

总之，正交曲线坐标系是一种常用的坐标系，可以用于描述三维
空间中的物理现象，并且在某些情况下可以提供更简单的分析方法，
但由于其特殊性质和较高的计算难度，使用时需要谨慎考虑。

四元数quaternions复数对四则运算,代数运算,极限自封.四元数是复数的扩展.四元数有四个单元:k ,j ,i ,1.四元数定义dk cj bi a +++=α,其中R d ,c ,b ,a ∈ 另一四元数R 'd ,'c ,'b ,'a ,k 'd j 'c i 'b 'a ∈+++=β,则四元数加减法定义对应分量相加减;四元数乘法定义为)k 'd j 'c i 'b 'a )(dk cj bi a (++++++=αβk )'cb 'bc 'da 'ad (j )'bd 'db 'ca 'ac (i )'dc 'cd 'ba 'ab ()'dd 'cc 'bb 'aa (-+++-+++-+++---=四元数的单元间的运算规则: j ik ki ,i kj jk ,k ji ij ,1k j i 222=-==-==-=-===四元数加法适合结合律,交换律;,即)()(βγαγαβ=而一般βααβ≠.(βααβα=⇒∈R ) 对实数有效的运算规则对复数总有效,但对复数有效的运算规则对四元数不总有效,(如上述的乘法的交换律)！！！ 四元数的共轭: dk cj bi a :---=α,若dk cj bi a +++=α 性质:αβαβ=四元数的迹: R a 2:)(S ∈=+=ααα性质: )(S )(S )(S βαβα+=+四元数的模:R d c b a :)(N 2222∈+++==ααα性质: )(N )(N )(N βααβ⋅=,0)(N 0=⇔=αα证明: 0,oder ,00==⇒=βααβ00)(N 00)(N 00,und ,0=⇒⎭⎬⎫≠⇒≠=⇒=⇒≠=βααβαααβαααβ,即00,und ,0=⇒≠=βααβ,同理00,,0=⇒≠=αβαβund证明:若α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根,则α也是其根.因为,α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根0)()(2=++-⇒ααααα⇒=++-⇒0)()(2αααααα也是其根)四元数域内二次方程一般不止两个根,如最简单的方程1x 2-=就最少存在k ,j ,i ±±±6个根,实际上1x 2-=有无穷多个根,因为使1r q p 222=++成立的实数r ,q ,p 有无穷多个,而1)r q p ()rk qj pi (2222-=++-=++Halmiton 四元素体;第一个非交换体,1843 年 W.R.Hamilton 为建立三维复数空间,把复数x+iy 作为有序偶的实数,并定义规则,使i 在有明确意义: 4阶实方阵集H内方阵型如⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------a b c d b a d c c d a b d c b a ,令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110011010011001011001101111K ;J ,E ,I ,则集H 内任意方阵可唯一表为dK cJ bE aI +++,即}R d ,c ,b ,a |dK cJ bE aI {H ∈+++=,H 对矩阵减法封闭;且I K J E -===222,;J KE ,E JK ,K EJ ===J EK ,E KJ ,K JE -=-=-=,矩阵乘法在H 内封闭,故H 对矩阵加,乘法构成环;H 的元素个数>1;I 是H 的单位元,又因I )d c b a ()dK cJ bE aI )(dK cJ bE aI (2222+++=---+++,且当0≠+++dK cJ bE aI 时,d ,c ,b ,a 不全为零,故02222>+++d c b a ,所以H 中非零元在H 内存在逆元,综上所述H 是非交换体,常称H 为四元数环,称H 内的元为四元数Quaterion : t+xi+yj+zk,其中t为数量部分/纯量部分,xi+yj+zk 为向量部分.四元数系构成了以实数域为系数域的有限维可除代数,是向量代数和向量分析基础. 矢量运算规则两矢的内积:)b ,a cos(|b ||a |b a ∧=⋅ R V ,V →两矢的外积: )b ,a sin(|b ||a ||b a |∧=⨯, b ,a )b a ( ⊥⨯ V )V ,V (→ 物理意义: b ,a 两矢内积是功; b ,a 两矢外积的模是以b ,a两矢的为边平行四边形的面积. 故内积可交换,外积可反交换外积和内积的关系:)b ,a (sin |b ||a |))b ,a (cos 1(|b ||a |)b a (|b ||a ||b a |2222222222∧∧=-=⋅-=⨯ 即)b ,a sin(|b ||a ||b a |∧=⨯推论 22b a b b a a )b a ()b a (;b a )b a ()b a (-=⋅-⋅=+⋅-⨯=+⨯-四元数和两重积间的联系:两四元数k a j a i a 321++=α,k b j b i b 321++=β;两矢量)a ,a ,a (a 321=,)b ,b ,b (b 321= 间关系βα↔↔b ,a 两矢内积和四元数间的关系:两量积)Re()Re()(21)(21b a αββαβαβααββα-==+=+=⋅ ,即两矢内积b ,a 对应于四元数βα的实部.两矢外积和四元数间的关系:矢量内积)Im()Re()(21b a αβαβαβαβαβ=-=-=⨯ ,即两矢外积b a ⨯对应于四元数αβ的非实部.两矢内积,外积和四元数间的关系:αβ=⋅-⨯b a b a三矢内积)c b (a c )b a (:]c ,b ,a [ ⨯⋅≡⋅⨯=,R V ,V ,V → 物理意义: c ,b ,a 三矢的内积是以c ,b ,a三矢为边的平行六面体的体积性质:b )c a (a )b c (c )a b (b )a c (a )c b (c )b a (⋅⨯-=⋅⨯-=⋅⨯-=⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯推论:0]q c ,p b ,r a []p c ,r b ,q a []r c ,q b ,p a [=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯2]c ,b ,a []a c ,c b ,b a [ =⨯⨯⨯ 三矢外积c )b a ()c a (b )c b (a⋅-⋅=⨯⨯V )V ,V ,V (→c)b a (b )c a (c c c )b a b a b a (b b b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a ()c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a c b c b c b c b c b c b a a a )c b (a 321332211321332211333221133322112332211233221113322111332211233223113112211233233113312212122131132332321⋅-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++++-++++-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯推论0)b a (c )a c (b )c b (a=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯四矢内积:)c b )(d a ()d b )(c a (db cb d a ca )d c ()b a (⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⨯⋅⨯R )V ,V ,V ,V (→)c b )(d a ()d b )(c a (a )d )c b (c )d b ((a ))d c (b ()d c ()b a (三矢外积三矢内积 ⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅=⋅⨯⨯=⨯⋅⨯四矢外积:a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [)d c ()b a (-=-=⨯⨯⨯ V )V ,V ,V ,V (→ a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [a )b )d c ((b )a )d c (()d c ()b a (;d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [d )c )b a ((c )d )b a (()d c ()b a (三矢外积三矢外积 -=⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯-=⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯推论c ]c ,b ,a []d ,b ,a [b ]c ,b ,a []c ,d ,a [a ]c ,b ,a []c ,b ,d [d 0]c ,b ,a [ ++=→≠ )d a )(c b ()c a )(d b ()}d c (b {a ⨯⋅-⨯⋅=⨯⨯⨯流线 等X 面/线 通量 环流量 散度 旋度 方向导数 梯度为形象描述矢量场)z ,y ,x (f 定义)z ,y ,x (f 的流线f.为形象描述标量场)z ,y ,x (ϕ定义)z ,y ,x (ϕ的等X 面/线.S d 为开/闭有向曲面S 上一面元,矢量f 在面元S d 上的元通量S d f d f⋅=Φ,面积分得矢量场)z ,y ,x (f 在曲面S 上的通量(标)⎰⋅=ΦSf S d fl d 为开/闭有向曲线l 上一面元,矢量f 在线元l d 上的元环量l d f d f⋅=Θ,线积分得矢量场)z ,y ,x (f 在曲线l 上的环量(标)⎰⋅=Θlfl d f 矢量场)z ,y ,x (f的散度(标):描述有源场源/汇强度. 正/负/零散度对应于源/汇/无源无汇闭合曲面S 包围体积V ∆,0V →∆时f 在S上的通量与V ∆比的极限称为矢量场)z ,y ,x (f 的散度V /S d f lim f div S 0V ∆⋅=⎰→∆矢量场)z ,y ,x (f的旋度(矢):描述有旋场旋涡强度和旋涡法矢方向. 旋度的法向分量的模的大小顺比于涡旋场旋涡程度.闭合曲线l 包围有向曲面S ∆,0S |S |→∆=∆ 时f 在l 上的环量与S ∆的比的极限称为矢量场)z ,y ,x (f 的旋度f rot 沿S∆法向的分量S /l d f lim )f rot (l 0S n ∆⋅=⎰→∆ 等效于0S →∆时S )f rot (l d f ∆⋅=⋅⎰标量场)z ,y ,x (ϕ的梯度(矢):描述标量场各点空间变化率及方向.某场点的梯度的方向是标量场变化最快的方向,其模是标量场单位长度的变化率.场)z ,y ,x (ϕ沿l d 向改变ϕd ,称dl d ϕ为ϕ沿l d 向的方向导数,dl d ϕ等于ϕ的梯度的l d 向分量l d )grad (d dld )grad (l ⋅=⇔=ϕϕϕϕ积分变换公式Gauss 定律: ⎰⎰∂⋅=⋅∇VV dS f n dV f(f 的散度对体积V 体积分 ←转换→ f 对V 的包面的闭面积分)Stokes 定律: ⎰⎰∂⋅=⋅⨯∇SS l d f dS n )f ((f 对有向曲线S ∂的闭线积分 ←转换→ f 的旋度对以S∂为边的有向曲面S 的面积分)Green 恒等式:⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂=⋅∇=⋅∇=∇⋅∇=∇+∇⋅∇V V V V V 2dS ndS n )(S d )(dV )(dV )(ψφψφψφψφψφψφ (n ∂∂:外法线方向导数)Green 定理:⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂-∂∂=⋅∇-∇=⋅∇-∇=∇-∇⋅∇=∇-∇VV V V V 22dS )n n (dS n )ˆˆ(S d )ˆˆ(dV )ˆˆ(ˆdV )ˆˆ(φψψφφψψφφψψφφψψφφψψφ ⎰⎰⨯∇=⨯∂V V dV A A S d (⎰⎰⎰⎰⎰⎰⨯∇⋅=⨯⋅⇔⨯∇⋅=⨯⋅∇=⨯⋅=⨯⋅∂∂∂VV V V V V dV )A (C )A S d (C dV )A (C dV )C A ()C A (S d )A S d (C) ⎰⎰∇=∂VVdV S d ψψ (⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅=⋅⇔∇⋅=⋅∇=⋅=⋅∂∂∂VVVVVVdV C )S d (C dV C dV )C (S d C )S d (C ψψψψψψ)⎰⎰∂=∇⨯SSl d S d ψψ(⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂⋅=⋅∇⨯⇔⋅=⋅⨯∇=⋅⨯∇=⋅∇⨯SSSSSSl d C C )S d (l d C S d )C (S d )C (C )S d (ψψψψψψ)并矢 及其运算标量是零阶张量,矢量是一阶张量,二阶三维张量借助于直角坐标转动矩阵定义:矢量i T 在坐标架转动满足变换关系i mi m T R T =,坐标转动矩阵miR 即二阶张量.二阶张量ij T 满足变换关系ij nj mi mn T R R T =.由两矢B A ,并列放置且之间无运算则构成并矢B A,含9个分量,记为j i B A ,由于i A 和j B 分别满足:i mi m A R A =,j nj m B R B =,故并矢B A满足j i nj mi B A R R B A = ,故并矢是二阶张量的一种形式,显然三个矢量的并矢具有三阶张量的变换关系. ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡><≡⊗≡z z z z z z y y y y y y x x x x x x z y x z y x v v g f g f g f g f g f g f g f g f g f g g g f f f g f g f g f g f || , 单位并矢(单位二阶张量)ij ij kk jj ii r δ=I =++=∇=I,性质:X X X =⋅I =I ⋅;(X 为矢量或算符); 2:∇=∇∇ I ; ϕϕ∇=⋅∇)(I ; )(:T Spur T T I ii ==; g f g f I ⋅=:;并矢-矢量点乘区分左右:右点乘p g f p g f )(⋅=⋅;左点乘)(f p g f p g⋅=⋅,这样,三矢外积可用并矢表示)()(p g g p f p g f -⋅=⨯⨯两二阶张量B A ,间的双点乘:ji ij B A B A = :(或))(()(:)(q f p g q p g f⋅⋅=)双点乘得到的标量是两矩阵积的迹.并矢的微分运算要注意是对那个张量进行的,一般需加括号.g f f g g f)()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇g f g f g f)()()(∇⨯-⨯∇=⨯∇f r f r r f ⋅+⋅∇=⋅∇2)(22f r f r f +⋅∇=⋅∇)()(f r r f r r f r r f++⋅∇=⋅∇)()( ⎰⎰⎰∂∂⋅I =I ⋅=I ⋅∇VV V S d dS n dV⎰⎰∂I ⨯=I ⨯∇VV dS n dV⎰⎰∂=∇V V dS f n dV f⎰⎰∂⋅=⋅∇VVS d g f dV g f)()(根据以上矢量运算定理,可把Gauss 定理⎰⎰∂=∇VV n S d dV 和Stokes 定理⎰⎰∂=∇⨯SS l d n dS 的运算推广到对标量,矢量,张量的各种运算∇算符具有:矢量性和算符性.∇对矢量左/右/点/叉乘不可交换,矢量运算规则也适于∇,但需调整∇在结果中的位置,使等式左右量同型. f )g (g )f ()g f ( ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ (第一式点和叉换位,取正;第二式交换第一式中的两矢量次序,取负)f )f ()f (2 ∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ (按c )b a ()c a (b )c b (a⋅-⋅=⨯⨯写结果,再调整次序,使右端得矢量)ψϕϕψϕψ∇+∇=∇ )( f f )()f ( ⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕf f )()f (⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕ 2f 21f )f ()f f (f )f (f )f ( ∇-⋅∇=⋅∇-⋅∇=⨯⨯∇]g )f ()f (g []f )g ()g (f [)g f (∇⋅+⋅∇-∇⋅+⋅∇=⨯⨯∇ )f (g )g (f f )g (g )f ()g f (⨯∇⨯+⨯∇⨯+∇⋅+∇⋅=⋅∇3r =⋅∇ ; I r r =⊗∇≡∇; r e r r r ==∇;0e r r =⨯∇=⨯∇; r 2e r =⋅∇ 2r 3re r r r 1 -=-=∇ r e dr df r ˆdr df )r (f ˆ =∇=∇ ⎩⎨⎧=∞≠=-=-∇=-∇=∇)0(,)0(,0)(4ˆˆ1ˆ232r r r r e r r r r πδ Coulomb 定理的微分式:Green 函数|'r r |141)'r ,r (G ),r (4r e ˆ02r -==∇πεπδ标量场的梯度场无旋0)(≡∇⨯∇ϕ无旋场必可表为一标量场的梯度ϕ∇=⇒=⨯∇f 0f矢量场的旋度场无源0)f (≡⨯∇⋅∇ 涡旋场必可表为一矢量场的旋度A f 0f⨯∇=⇒=⋅∇a,0E ,k 为常矢a r )a ()r a ( =∇⋅=⋅∇ r r a r a ⋅=∇⋅ r a]e )e a (a [r 1e )a (r r r ⊥=⋅-=∇⋅ 533r r )r a (3r a r r )a ( ⋅-=∇⋅ 0a )r (r )a ()r a (=⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇a 2r )a ()r (a )a (r a )r ()r a ()r a ()r a (r a =∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇+⨯⨯∇=⨯⨯∇ 5333333r r )r a (3r a a )r r ()a (r r r r )a ()r r (a )r r a ( ⋅-=∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ 0a )rr (r r )a ()r r a (333=⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ 35333333r a r )r a (3r r )a (a )r r ()a (r r r r )a ()r r (a )r r a ( -⋅=∇⋅-=∇⋅+⋅∇-∇⋅-⋅∇=⨯⨯∇33rr a )r r (a r 1a ⋅-=-⋅=∇⋅ r k i 0e E E ⋅=:E k i E ⋅=⋅∇;E k i )k i (e E )]r k i (e [E e E )e E (E r k i 0r k i 0r k i 0r k i 0⨯=⨯-=⋅∇⨯-=⨯∇-=⨯∇=⨯∇⋅⋅⋅⋅其中1:=⋅=r r r r e e I e e 故r r e e I r r I r r :'':''22==.Taylor 展开:...)(...'...''!)(...)(''!)('|'|,...,,+∂∂∂∂-++∂∂∂+∂∂-=-∑∑∑kj i k j i nk j i ji j i j i ii i rx x x x x x n r x x x x r x x r r r 111211112 其中k j i ,...,,取1,2,3; i x 代表直角坐标系的三个分量,注意:1 上式是对'r 展开; 2 对'r 的展开和对'r的展开相差一个负号. 曲线正交坐标系(Krummlinigen Koordinaten)三维空间里确定一点P 的位置需3个坐标321u ,u ,u .若P 点坐标在直角坐标系中表为)u ,u ,u (z ),u ,u ,u (y y ),u ,u ,u (x x 321321321===,则)z ,y ,x (u u ),z ,y ,x (u u ),z ,y ,x (u u 332211===,两坐标系等价.=i u 常数)3,2,1i (=的曲面是坐标面,他们的单位法向矢量为)3,2,1i (,e i =,其指向为iu 增加的方向.当过P 点的三坐标曲面两两垂直时,三坐标面的三交线也两两垂直,称此类坐标系为正交曲线坐标系.正交条件)j i (,0)u z )(u z ()u y)(u y ()u x )(u x (h ji j i j i 2ij≠=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=.由i 31i i i 31i i i 31i i du u z dz ,du u ydy ,du u x dx ∑∑∑===∂∂=∂∂=∂∂=得2222)dz ()dy ()dx ()ds (++=232322222121j,i j i 2ij )du (h )du (h )du (h du du h ++==∑,其中2i 2i 2i 2ii 2i )u z ()u y()u x (h h ∂∂+∂∂+∂∂==,称)3,2,1i (,h i =为Lame 系数或度量因子.Delta 函数定义)a (f )x (f )a x (=-δ⎰性质1 偶函数)x ()x (δ=-δ2 采样性)a (f )x (f )a x (=-δ⎰3 函数下的面积⎩⎨⎧∉∈=-δ⎰])b ,c [a (,])b ,c [a (,dx )a x (bc 01; ⎩⎨⎧=∞≠=-δ)a x (,)a x (,)a x (04 缩放 )x (|a |)ax (δ=δ1证明)x (|a |)ax ()a (,|a |dz )z (|a |dz )z ()a (,a dz)z (dx )ax (|a ||a |a a a a δ=δ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<δ=-δ>δ=δ⎰⎰⎰⎰∆∆-∆∆-∆∆-∆∆-100 5 若)(x f 为连续函数,且∆为包含a 电的任意长度区间,则a )x (g |)]x ('g /)x (f [dx ]a )x (g [)x (f =∆=-δ⎰证明dy a y g g dx dy x g dx dx x g dy a x g y a y g x a x g y )](['1)('1)(')()()(11+=→⎪⎭⎪⎬⎫=→=→-=+=→-=-- 若)x (f 为单值连续函数,且有N 个过零点N ,...,,i ,x i 321=,则a x g x g x f a g g a g f dy a y g g y a y g f dx a x g x f =--∆--∆==++=-⎰⎰)(1111|)('1)()](['1)]([)](['1)()]([])([)(δδ 6 复合函数∑-δ=δii i )x x (|x /)x (df |)]x (f [1 证明: )x (f y =单值连续,则)x (f 在每个过零点的邻域内可逆;且)x (g 为任意品优(gutartig)函数,则dy )]y (f ['f 'x dy )x ('f 'x dy )]'y (f ['x )y (f x )x (f y 11111---=→=→=→=→=⎰∑∑∑∑⎰⎰+∞∞---∆+∆---+∞∞--δ===δ=δii i ii i iix x dx )x x (|)x ('f |)x (g |)x ('f |)x (g )](f ['f )](f [g dy )]y (f ['f ]y [)]y (f [g dx )]x (f [)x (g i i1101011111 被积函数须相等,再由)x (g 的任意性,得∑-δ=δii i )x x (|x /)x (df |)]x (f [1 6 导数x)a x (:)a x ('∂-δ∂=-δ则)a ('f dx )a x (')x (f -=-δ⎰∆证明)a ('f dx )x ('f )a x ()x (df )a x (|)]a x ()x (f [)a x (d )x (f dx )a x (')x (f =-δ-=-δ--δ=-δ=-δ⎰⎰⎰⎰∆∆=+∆-∆∆∆ 07)a (f )(dx )a x ()x (f )n (n )n (1-=-δ⎰∆证明)a (f )(dx )x (f )a x ()(dx )x (f )a x ()(...dx )x (''f )a x ()x ('df )a x (|)]a x ()x ('f [)a x (d )x ('f dx )x ('f )a x ()x (df )a x (|)]a x ()x (f [)a x (d )x (f dx )a x ()x (f )n (n )n (n)m ()m n (m)n ()n ()n ()n ()n ()n ()n ()n ()n (1112202211011-=-δ-=-δ-==-δ=-δ+-δ-=-δ-=-δ-=-δ--δ=-δ=-δ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆∆-∆-∆-=+∆-∆-∆-∆-∆-=+∆-∆-∆-∆⎰∆=-=-δa)x (g |]})x ('g )x (f [dx d )x ('g {dx ]a )x (g [')x (f 1 三维δ函数⎩⎨⎧=≠=-δ-δ-δ=-δ)r r (,)r r (,)z z ()y y ()x x ()r r (00000010曲线系下的三维δ函数3213020103020100h h h )u u ()u u ()u u (|)u ,x (J |)u u ()u u ()u u ()r r (i i -δ-δ-δ=-δ-δ-δ=-δ ,(其中)u ,x (J i i 为Jacobi 行列式)柱坐标系下)z z ()()()r r (00001-δϕ-ϕδρ-ρδρ=-δ球坐标系下)()()r r (sin r )r r (000201ϕ-ϕδθ-θδ-δθ=-δ注意:n 维δ函数的量纲为n m -,即n -米δ函数的逼近钟形曲线: 2201xa a lim )x (a +π=δ→ Gauss 曲线;)x n exp(n lim )x (n 220π-=δ→sinc 函数: )kx (c sin k lim x kx sin lim )x (k k π=π=δ∞→∞→1sinc 函数平方: )kx (c sin k lim kx kx sin lim )x (k k 2221π=π=δ∞→∞→ 复指函数:⎰⎰+∞∞-+∞∞-π=±π=δdk )kx cos(dk )ikx exp()x (121盒子函数:∑+∞-∞==δn )L /inx exp(L )x (21*********************.cn。

第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论上一章讨论了张量的代数运算，而连续介质力学要求研究连续介质微元体之间的关系，这就要求把微积分引入张量的运算中，从而形成了张量分析与场论。

本章我们将重点介绍正交曲线坐标系中的张量分析及一些有关场论的知识，关于一般曲线坐标系中张量分析的知识不在我们课程讲授的范围之内，我们在第三章中给出有关内容的简单介绍，供有兴趣者参考。

相对于一般曲线坐标系，有些文献和教科书上也把正交曲线坐标系称为非完整系物理标架。

2.1、矢量函数、及其导数与微分1）.如果一个矢量A 随着某一参数q 在变化，则称这个矢量()q A为矢量函数，在直角坐标，也称笛卡尔坐标中()q A可表示为()()()()k q A j q A i q A q A z y x++=如果把矢量A 的起点放在原点，随着q 的变化，A的端点将在空间描述出一条曲线，这条曲线称为A的矢端曲线，矢端曲线是以参数形式给出的。

矢端曲线上一点M ，矢量叫做点M 的矢径，用r表示。

矢端曲线的参数方程为A r=，即其分量满足的方程为()q A x x =； ()q A y y =； ()q A z z = 例：圆柱螺旋线。

参数方程为：()k a j a i a rθθθθ++=sin cos其中θ为参数。

2）.矢量函数的导数矢量函数的导数的定义为：如()()qq A q q A q A q q ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 00lim lim存在，则称为()q A 在q 点的导数或导矢，记为qA ∆∆或A '。

在直角坐标中，由于i e是常矢量，因此导数的表达式为()()()()i i i i i q i i i i q q e qA e q q A q q A q e q A e q q A q Adq A d∂∂=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆000lim lim lim即k dqdA j dq dA i dq dA dq A d z y x++=s导矢()q A '的几何意义：如果导矢A ' 存在，且0≠'A ，则A '的方向表示矢端曲线的切线方向，并指向q 增加的方向。

第五章曲线坐标系矢量分析与场论第一节曲线坐标的概念第二节拉梅（Lame）系数第三节坐标变换第四节正交曲线坐标系中的三度矢量分析与场论xyzo M1q 2q 3q 第一节曲线坐标的概念如果空间里的点，其位置不是用直角坐标（x , y ,z ）来表示，而是用另外三个有序数（q 1，q 2，q 3）来表示。

就是说，每三个有序数（q 1, q 2, q 3）就确定一个空间点；反之，空间里的每一点都对应着三个这样的有序数（q 1, q 2, q 3），则称（q 1, q 2, q 3），为空间点的曲线坐标。

矢量分析与场论xyz oM1q 2q 3q 显然，每个曲线坐标（q 1, q 2, q 3）都是空间点的单值函数，由于空间点又可用直角坐标（x , y ,z ）来确定，所以每个曲线坐标（q 1, q 2, q 3）也都是直角坐标（x , y ,z ）的单值函数：112233(,,)(,,)(,,)q q x y z q q x y z q q x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩第一节曲线坐标的概念反过来，每个直角坐标与都是曲线坐标的单值函数：123123123(,,)(,,)(,,)x x q q q y y q q q z z q q q =⎧⎪=⎨⎪=⎩矢量分析与场论第一节曲线坐标的概念容易看出，下面的三个方程112233(,,)(,,) (,,)q x y z c q x y z c q x y z c =⎧⎪=⎨⎪=⎩（c 1，c 2，c 3为常数）分别表示三个函数的等值曲面；给c 1，c 2，c 3以不同的数值，就得到三族等值曲面，这三族等值曲面，称为坐标曲面。

由于函数是单值函数，所以在空间的各点，每族等值曲面都只有一个曲面经过。

2q 曲线3q 曲线1q 曲线xyzo 11q c =M 22q c =33q c =1e G 2e G 3e G矢量分析与场论此外，在坐标曲面之间，两两相交而成的曲线，称为坐标曲线。

第一章矢量分析与场论基础 内容提要 1）正交曲线坐标系：设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义:q ! =qdx, y,z ）q ?二q 2（x,y,z ） q ? =q 3（x,y,z ）在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为dl i =hi dq idh ph j dq j■卡FdS i =dl j dl k = ?h j h k dq j dq kdv 二 dh dl j dl^ h i h j h k dq i dq j dq k式中 i 、 j 、 k 代表循环量 1、2、3， q? = ?jc?k ， （?i （?j （?k =1 ,的-sin 日 0 cos 日］=cos 。

0 si n 日■0 1 0 一球坐标与柱坐标球坐标与直角坐标2）矢量及其运算：直角坐标中算符I 的定义:-cos®sin ®= -s in ® cos®1 -0 0 oe y柱坐标与直角坐标sin 二 cos：cos 日sin 二sin ： cos ^sin :cos 日 1 @x Ih i称拉梅系数。

三种坐标系中坐标单位矢量间的关系:一个标量函数u 的梯度为:梯度给出了一点上函数 u 随距离变化的最大速率，它指向u 增大的方向。

一个矢量F 穿过一个曲面S 的通量’-：为屮=[F dSS对一个闭合曲面而言， ds 向外为正。

直角坐标系中F 的散度表示在这一点上每单位体积向外发散的F 的通量。

散度定理：' Fdv F dsV-S其中v 是由S 所包围的体积。

斯托克斯定理：f F) ds — F dl其中s 是由I 所包围的面积。

直角坐标系中F 的旋度拉普拉辛是梯度的散度e x.:x-y.:F y ■:y:z@.£cz Lr0?◎一 e xVx F =— u _u c'心二ex»e y散度的体积分=矢量的面积分旋度的面积分=矢量的线积分一个矢量的拉普拉辛定义为:'、2F 八乍x ?x• '、2F y ?y\ 2F z e Z其它坐标也可写成:于F x =可(可F)—可XV X F柱坐标系中r 二zZ?zdr 二 d T ?!：亠 ed g ： dze zdv 二-:d :d :dz球坐标系中dv 二 r 2 sin ^drd 巾‘f▲r~\Ar~\"弋耳1寺？乔岂？在直角坐标系中: 2■■ ?u -u2 2；：u j u~~2:x:y—F -匕壬丄壬圭P cP.:zVx\2u J-：u P cP ?pFp:?:F ::?z .z F z-2-?21 ：：2u ：：2u尹戸TZ7dr = dr?rd r sin 刃?r 2sin日V F =c rF rr sin 日rEc0r F日r sin0F(p2赴(•口£U 1 d u(sin E —) * —2 2 2&日r2sin2日砂2矢量场F可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和F 二F e F l其中F=F l C ・F e =0）可x F =可汇F e（可汇F| = 0）因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究4）二函数宀勺I 0（r式r'）疋乂：6（r —r）=丿' -一'迂（r=r）⑹甘）d-」0（F在v#）v J（r在v内）性质a）偶函数:、（x）—（-x）b）取样性：__ f（X）、（x-a）dx 二f （a）有机会用到的表达式:1-1.证明：A B =($9 e y2 -e z®($2 色3 e z4)=18+6-24----------------r2 sin v ：r3）亥姆霍兹定理:=0说明A 与B 相互垂直1-2.空白 1-3.证明：A B = A x B x A y B y A z B z = 0说明A 与B 相互垂直1-4.解：当坐标变量沿坐标轴由 u i 增至u i dm 时，相应的线元矢量dl i 为:dl i =(5 duj - (U i )3其中二？1X 1 X 2X 2 X 3X 3 二' ?j ?j11-5.解：(1)据'算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有=?其中弧长则dl i 二 hdu i'、、(A B)二'、(A c B) '、(A B e)其中A c、B e暂时视为常矢，再根据二重矢量积公式a (b c) = (a c)b -(a b)c将上式右端项的常矢轮换到' 的前面，使变矢都留在 ' 的后面A c二a 、(Ac B)二A c C B) (A c \ )BB e = a I (A ・B c) = B c (* ■：A) ■ (B e )A则、 A) (B c ' )A l (A B)二A c C B) (A c h)B B c ('除去下标c即可、(A B)=A C B) (A )B B C A) (B 人)A⑵利用⑴式的结果即可。