2022年中考数学压轴题讲义 利用代数求解最值问题

中考数学复习考点知识与题型专题讲义15 二次函数的最值（基础）1．已知二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，记y1、y2的最小值分别为m、n．（1）若m+n＝0，求证：对任意的实数x，都有y1+y2≥0；（2）若m，n均大于0，且mn＝2，记M为m，n中的最大者，求M的最小值．【分析】（1）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据m+n＝0，可以解答本题；（2）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据mn＝2，记M为m，n中的最大者，可以求得M的最小值．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，y1、y2的最小值分别为m、n，∴y1+y2≥m+n，∵m+n＝0，∴y1+y2≥0；（2））∵y1＝ax2+4x+b＝a（x+2a）2+ab−4a，∴m=ab−4 a，∵y2＝bx2+4x+a＝b（x+2b）2+ab−4b，∴n=ab−4 b，∵mn＝2，m，n均大于0，∴ab−4a•ab−4b=2，解得，ab＝2（舍去）或ab＝8，∴{m =4a n =4b ， ∴m =4a ，n =a 2，∵M 为m ，n 中的最大者，∴当0＜a ＜2√2时，M =4a ＞√2，当a ＝2√2时，M =√2，当a ＞2√2时，M =a 2由上可得，M 的最小值是√2．【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是明确题意，可以将函数的一般式化为顶点式，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答问题．2．若一次函数y ＝（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2﹣ax 有最大值还是最小值，并求出其最值．【分析】先根据一次函数的性质得到a +1＞0且a ＜0，则﹣1＜a ＜0，再利用配方法得到y ＝ax 2﹣ax ＝a （x −12）2−14a ，然后利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：∵一次函数y ＝（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，∴a +1＞0且a ＜0，∴﹣1＜a ＜0，∵y ＝ax 2﹣ax ＝a （x 2﹣x ）＝a （x 2﹣x +14−14）＝a （x −12）2−14a ，而a ＜0，∴二次函数有最大值，最大值为−14a ．【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．也考查了一次函数的性质．3．若函数f(x)=−12x 2+133当a ≤x ≤b 时的最小值为2a ，最大值为2b ，求a 、b 的值． 【分析】根据二次函数的增减性以及当a ＜b ≤0时，当a ≤0＜b 时，若0＜a ＜b 时分别得出a ，b 的值即可．【解答】解：函数f(x)=−12x 2+133的顶点是（0，133），对称轴是y 轴，最大值为133，如右图， （1）当a ＜b ≤0时，x ＝a 时有最小值2a ，x ＝b 时有最大值2b ，于是−12a 2+133=2a ， −12b 2+133=2b ，可知a 、b 是方程−12x 2+133=2x 的两个根，即3x 2+12x ﹣26＝0，由于△＞0，x 1x 2=−263，此方程有一正一负两个根，这与a ＜b ≤0矛盾，故此情况舍去；（2）当a ≤0＜b 时，x ＝0时有最大值133=2b ， 解得b =136，x ＝b 时有最小值2a ，即−12×（136）2+133=14372＞0，而2a ≤0，矛盾， 所以只能是x ＝a 时取最小值，（−12）a 2+133=2a ， 3a 2+12a ﹣26＝0 a =−6−√1143＜0，符合条件，（3）若0＜a ＜b ，显然有 （−12）a 2+133=2b ①，−12b 2+133=2a ②，①﹣②得：（−12）（a ﹣b ）（a +b ）＝2（b ﹣a ），则a+b＝4，b＝4﹣a，代入①得：（−12）a2+133=2（4﹣a），3a2﹣12a+22＝0，∵△＜0，∴此方程无实数根，故此情况舍去．故有一组解符合要求：a=−6−√1143，b=136．【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法，根据自变量的取值范围分别将a，b代入求出是解题关键．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），且当x＝﹣1时，y有最小值y＝﹣2．（1）求这个函数的关系式；（2）试判断点（3，14）是否在此函数图象上．【分析】二次函数得最小值出现于对称轴处．因此本题利用二次函数得基本性质便可解题．【解答】解：（1）由题意得，对称轴x=−b2a=−1，代入函数得y＝a﹣b+c＝﹣2将点（1，2）代入函数得a+b+c＝2，解得a＝1，b＝2，c＝﹣1 ∴解析式为y＝x2+2x﹣1（2）当x＝3时，y＝14∴（3，14）在此函数图象上【点评】本题主要考察二次函数得基本性质，熟练掌握二次函数是本题得关键5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？【分析】（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；（2）由S=12•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．【解答】解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴ADAB=AEAC，∴AE=6(8−2x)8=6−32x，∴y关于x的函数关系式为y=−32x+6（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE=12⋅BD⋅AE=12×2x(−32x+6)=−32x2+6x（0＜x＜4）．当x=−62×(−32)=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2．【点评】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．6．已知二次函数y＝一x2+4x+6．（1）当x 为何值时，y 有最值？是多少？（2）当一2≤x ≤1时，求函数的最值．（3）当x ≥4时．求函数的最值．【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式后，根据二次函数的性质即可得；（2）由x ＜2时，y 随x 的增大而增大，结合x 的范围求解可得；（3）由x ＞2时，y 随x 的增大而减小，结合x 的范围求解可得．【解答】解：（1）∵y ＝﹣x 2+4x +6＝﹣（x 2﹣4x +4﹣4）+6＝﹣（x ﹣2）2+10，∴当x ＝2时，y 有最大值，最大值为10；（2）∵当x ＜2时，y 随x 的增大而增大，∴由﹣2≤x ≤1知，当x ＝﹣2时，y 取得最小值，最小值y ＝﹣4﹣8+6＝﹣6，当x ＝1时，y 取得最大值，最大值y ＝﹣1+4+6＝9；（3）∵当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，∴在x ≥4范围内，当x ＝4时，函数取得最大值，最大值y ＝﹣16+16+6＝6，无最小值．【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练将二次函数的一般式配方成顶点式及二次函数的性质．7．对于二次函数f （x ）＝ax 2﹣bx +c ，当a ＞0时，只有最小值为4ac−b 24a ，这个结论一定正确吗？【分析】直接利用配方法求出二次函数的顶点式，即可求得出二次函数的顶点坐标，根据二次函数的性质求得出二次函数的最小值．【解答】解：对于二次函数f （x ）＝ax 2﹣bx +c ，当a ＞0时，只有最小值为4ac−b 24a ，这个结论一定正确；∵二次函数f （x ）＝ax 2﹣bx +c＝a （x −b 2a ）2+4ac−b 24a ； ∴图象的顶点坐标为：（b 2a ，4ac−b 24a ）， ∵a ＞0，∴函数的最小值为：4ac−b 24a ．【点评】此题主要考查了求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．8．求函数y =3x 2+x+2x 2+2x+1的最小值． 【分析】将函数整理成关于x 的一元二次方程，然后利用根的判别式列出不等式求解即可．【解答】解：∵y =3x 2+x+2x 2+2x+1， ∴y （x 2+2x +1）＝3x 2+x +2，整理得，（y ﹣3）x 2+（2y ﹣1）x +（y ﹣2）＝0，∵关于x 的一元二次方程有解，∴△＝b 2﹣4ac ＝（2y ﹣1）2﹣4（y ﹣3）（y ﹣2）≥0，整理得，16y ﹣24≥0，解得y ≤32，所以，函数的最小值为32． 【点评】本题考查了二次函数的最值，题目难度较大，将函数整理成关于x 的一元二次方程并考虑利用根的判别式求解是解题的关键．9．已知：二次函数y ＝﹣x 2+2（α+1）x +1，其中a 为常数．（1）若y 的最大值为2，求a 的值；（2）求y ＝﹣x 2+2（a +1）x +1在0≤x ≤|a |时的最小值；（3）若方程|﹣x 2+2（a +1）x +1|＝2﹣x 的正实数根只有一个，求a 的取值范围．【分析】（1）把y＝﹣x2+2（α+1）x+1配方即可得到结论；（2）根据二次函数的性质即可得到结论；（3）根据题意得到即该方程的一次项的系数为0，判别式△≥0且二次项的系数与常数项的符号相反．解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+2（α+1）x+1＝﹣[x﹣（a+1）]2+a2+2a+2，∵y的最大值为2，∴a2+2a+2＝2解得：a＝0或a＝﹣2即y的最大值为2时，a的值为0或﹣2；（2）∵二次函数y＝﹣x2+2（α+1）x+1＝﹣[x﹣（a+1）]2+（a+1）2+1的图象开口向下，对称轴x ＝a+1，当|a|≤a+1时，解得a≥−1 2当a＞−12时，0≤x≤|a|时，函数值随x的增大而增大，故：函数y＝﹣x2+2（a+1）x+1的最小值为：y min═﹣[0﹣（a+1）]2+（a+1）2+1＝1，当a＜−12时，0≤x≤|a|时，函数值随x的增大而减小，x＝|a|时，有最小值，最小值＝﹣a2﹣2a（a+1）+1＝﹣3a2﹣2a+1．（3）∵方程|﹣x2+2（a+1）x+1|＝2﹣x的正实数根只有一个，判别式△≥0且二次项的系数与常数项的符号相反．∴当方程﹣x2+2（a+1）x+1＝2﹣x时，有：x2﹣（2a+3）x+1＝0，而此时二次项的系数与常数项的符号相同，不符合题意，舍去．∴当方程为：﹣x 2+2（a +1）x +1＝x ﹣2时，化简整理得：x 2﹣（2a +1）x ﹣3＝0，∵△＝[﹣（2a +1）]2﹣4×（﹣3）＝4a 2+4a +13＝（2a +1）2+12＞0，∴a 的取值范围为任意实数．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次方程的判别式，正确的理解题意是解题的关键．10．已知函数y =k 2x k 2﹣2是关于x 的二次函数（1）求满足条件的k 的值；（2）k 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？【分析】（1）根据二次函数的指数是二，可得方程，根据解方程，可得答案；（2）根据函数有最大值，可得二次项系数是负数，根据顶点坐标是函数的最值，可得答案；根据a ＜0时，对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，可得答案．【解答】解：（1）函数y =k 2x k 2﹣2是关于x 的二次函数，得{k 2−2=2k 2≠0， 解得k ＝2或k ＝﹣2；（2）当k ＝﹣2时，函数y ＝﹣x 2有最大值，最大值是0；∴此时函数y =k 2x k 2﹣2是开口向下的，对称轴为x ＝0；∴当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出k 值是解题关键，又利用了二次函数的性质．11．如图．抛物线y ＝ax 2+bx +52与直线AB 交于点A （﹣1，0），B （4，52），点D 是抛物线上位于直线AB 上方的一点（不与点A ，B 重合），连接AD ，BD ．（1）求抛物线的解析；（2）设△ADB 的面为S ，求出当S 取最大值时的点D 的坐标．【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入抛物线解析式即可．（2）设点D 坐标为（m ，−12m 2+2m +52），直线DC ⊥x 轴，与AB 交于点C ，根据S △ABD ＝S △ACD +S △BCD 构建二次函数，利用二次函数的最值问题解决．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +52经过点A （﹣1，0），B （4，52），∴{a −b +52=016a +4b +52=52解得{a =−12b =2， ∴抛物线解析式为y =−12x 2+2x +52．（2）设点D 坐标为（m ，−12m 2+2m +52），直线DC ⊥x 轴，与AB 交于点C ， ∵直线AB 解析式为y =12x +12，∴点C 坐标（m ，12m +12）， ∵S △ABD ＝S △ACD +S △BCD =12（−12m 2+2m +52−12m −12）×（4+1）=−54（m 2﹣3m ﹣4）=−54（m −32）2+12516，∴当m =32时，△ADB 面积最大，此时点D 坐标（32，358）．【点评】本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD＝12，当AC，BD的长分别是多少时，四边形ABCD的面积最大？【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S=12AC•BD，再利用配方法求出二次函数最值．【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝12﹣x，则：S=12AC•BD=12x（12﹣x）=−12（x﹣6）2+18，当x＝6时，S最大＝18；所以AC＝BD＝6时，四边形ABCD的面积最大．【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．13．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE＝CF，AB＝4．（1）设CE＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．【分析】（1）由已知可得，AB＝BC＝CD＝AD＝4，CE＝x，由图形得出y＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S △ADF﹣S△CEF，便可求出x与y的关系式．（2）化成顶点式即可求得结论．【解答】解：（1）∵BC＝DC，CE＝CF，∴BE＝DF＝x，∴y＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF，∴y＝42−12×4×（4﹣x）−12×4×（4﹣x）−12⋅x2∴y=−12x2+4x（0≤x≤4）．（2）∵y=−12x2+4x=−12（x﹣4）2+8，∴当x＝4时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积是8．【点评】本题考查了二次函数的最值，正方形的性质，三角形的面积，正确求得函数的解析式是解题的关键．14．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？【分析】（1）解直角三角形ABC求得EF＝BC＝3，由题意可知CF＝x，可求AQ=√33x，MN=12x，根据三角形面积公式即可求出结论；（2）根据“S重叠＝S△ABC﹣S△AMQ﹣S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可．【解答】解：（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°，∴△AMQ为等边三角形，过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．在Rt△ABC中，AC=√3，BC=AC⋅tanA=3，∴EF＝BC＝3，根据题意可知CF＝x，∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x，CQ=CE⋅tanE=√33(3−x)，∴AQ=AC−CQ=√3−√33(3−x)=√33x，∴AM =AQ =√33x ，而MN =AM ⋅sinA =12x ，∴S △MAQ =12AQ ⋅MN =12×√33x ⋅12x =√312x 2，（2）由（1）知BF ＝CE ＝3﹣x ，PF =BF ⋅tanB =√33(3−x)，∴S 重叠=S △ABC −S △AMQ −S △BPF =12AC ⋅BC −12AQ ⋅MN −12BF ⋅PF=12×3×√3−√312x 2−12（3﹣x ）×√33（3﹣x ） =−√34x 2+√3x =−√34(x −2)2+√3，所以当x ＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是√3．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．15．如图，函数y ＝﹣x 2+12x +c （﹣2020≤x ≤1）的图象记为L 1，最大值为M 1；函数y ＝﹣x 2+2cx +1（1≤x ≤2020）的图象记为L 2，最大值为M 2．L 1的右端点为A ，L 2的左端点为B ，L 1，L 2合起来的图形记为L ．（1）当c ＝1时，求M 1，M 2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A ，B 重合时，求L 上“美点”的个数；（3）若M 1，M 2的差为4716，直接写出c 的值．【分析】（1）当c ＝1时，把函数的解析式化成顶点式即可求得M 1，M 2的值；（2）由已知可得点A，B重合时，c−12=2c，c=−12，L1上有1011个“美点”，L2上有2020个“美点”．则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030；（3）当x=14时，M1=116+c，由于L2的对称轴为x＝c，分两种情况求解：当c≥1时，M2＝c2+1；当c＜1时，M2＝2c；再由已知列出等式即可求c的值．【解答】解：（1）当c＝1时，函数y＝﹣x2+12x+c＝﹣x2+12x+1＝﹣（x−14）2+1716．又∵﹣2020≤x≤1，∴M1=17 16，y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．又∵1≤x≤2020，∴M2＝2；（2）当x＝1时，y＝﹣x2+12x+c＝c−12；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．若点A，B重合，则c−12=2c，c=−12，∴L1：y＝﹣x2+12x−12（﹣2020≤x≤1）；L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．又点A，B重合，则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．（3）y＝﹣x2+12x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x=14时，M1=116+c，y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c，当c≥1时，M2＝c2+1，∴|116+c ﹣c 2﹣1|=4716， ∴c ＝﹣1（舍去）或c ＝2；当c ＜1时，M 2＝2c ，∴|2c −116−c |=4716， ∴c ＝3（舍去）或c =−238；∴c =−238或2． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够根据函数所给的取值范围，通过适当的分类讨论，正确的求函数的最大值是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，已知AB ＝a ，BC ＝b ．（1）若b 3≤a ≤3b 时，求四边形EFGH 的面积的最大值； （2）若a ＝4，b ＝16，求四边形EFGH 的面积的最大值．【分析】（1）由已知可证明△AEH ≌△CGF （SAS ），△BEF ≌△DGH （SAS ），则S 四EFGH ＝S 矩ABCD ﹣2S △AEH ﹣2S △BEF ＝﹣2x 2+（a +b ）x ，由二次函数的性质即可求面积最大值；（2）将a ＝4，b ＝16代入（1）所得的式子即可．【解答】解：（1）设AE ＝x ，∵AE ＝AH ＝CF ＝CG ，∴△AEH ≌△CGF （SAS ），∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴BE＝DG，HD＝BF，∴△BEF≌△DGH（SAS），∴S四EFGH＝S矩ABCD﹣2S△AEH﹣2S△BEF＝ab﹣2×12x2﹣2×12（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣x2﹣（ab﹣ax﹣bx+x2）＝﹣2x2+（a+b）x，当x=a+b4时，S四EFGH有最大值，最大值为(a+b)28；（2）当a＝4，b＝16时，四边形EFGH的面积＝﹣2x2+20x，∴当x＝4时，四边形EFGH的面积的最大值为48．【点评】本题考查矩形的性质；熟练掌握矩形的性质，通过三角形全等求面积，再由二次函数求面积的最大值是解题的关键．17．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB＝6﹣t，BQ＝2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=12BP×BQ，列出表达式，解答出即可；（2）利用三角形面积公式表示S=12×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，利用二次函数的性质解题．【解答】解：（1）设经过t秒后，△PBQ的面积等于8cm2．12×（6﹣t）×2t＝8，解得：t1＝2，t2＝4，答：经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．（2）依题意，得S=12×PB×BQ=12×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2．【点评】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意，列出相应的函数关系式，运用二次函数的性质解题．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？【分析】（1）可设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）可设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，根据三角形的面积公式列出方程求解即可；（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式，根据关系式即可得到结论．【解答】解：（1）设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm，依题意有x2+（12﹣2x）2＝（2√17）2，解得x1＝2，x2＝7.6（不合题意舍去）．答：出发2s时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm；（2）设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，依题意有12y（12﹣2y）＝6，解得y1＝3−√3，y2＝3+√3．答：出发（3−√3）s或（3+√3）s时间时，△PQC的面积为6cm2；（3）依题意有S△PQC=12t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴△PQC面积的有最大值9，此时时间是3．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．19．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y p，求y p的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）把x＝﹣2代入解析式得到P点的纵坐标y P＝4+4m+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，即可得到当m＝﹣2时，y P的最小值＝﹣2，然后根据二次函数的性质即可判断y1与y2的大小．【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2＝1+2m+m2﹣2，∴m＝﹣1，∴抛物线F的表达式是y＝x2+2x﹣1．（2）当x＝﹣2时，y P＝4+4m+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，∴当m＝﹣2时，y P的最小值＝﹣2．此时抛物线F的表达式是y＝（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小．∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a＞0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线y＝x2﹣4x+8于点C，D．（1）若AD＝BC，求a的值；（2）点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值．【分析】（1）将已知点的坐标代入相应的函数解析式，再结合AD＝BC，可得关于a的方程，解得a的值即可；（2）设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，由题意可得M（m，m），从而可用含m的式子表示出EM的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）∵点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，∴A（a，a），B（a+3，a+3）．y＝x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4，将x＝a，代入得：y＝（a﹣2）2+4；将x＝a+3，代入得：y＝（a+1）2+4．∴D（a，（a﹣2）2+4），C（a+3，（a+1）2+4），∴AD＝（a﹣2）2+4﹣a，CB＝（a+1）2+4﹣（a+3）．由AD＝BC得：（a﹣2）2+4﹣a＝（a+1）2+4﹣（a+3），∴a＝1．（2）设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，由题意得：M（m，m），∴EM＝m2﹣4m+8﹣m＝m2﹣5m+8=(m−52)2+74，∴S△ABE＝S△AEM+S△EMB=12EM⋅AG+12EM⋅BF=12EM(AG+BF)=32(m−52)2+218，由32＞0，得S△ABE有最小值．∴当m=52时，S△ABE的最小值为218．【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数与二次函数图象上的点与坐标的关系及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并数形结合是解题的关键．。

1 最值问题知识点一：最值问题最值问题分代数最值和几何最值两类，其中代数最值主要考查方程与不等式及函数的性质，而几何最值涉及到图形的性质、图形的变化、图形与坐标多个维度. 解决几何最值问题的通常思路： 1. 两点之间线段最短2. 直线外一点到直线上，垂线段最短3. 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 解决代数最值问题的通常思路： 1. 利用非负数的性质 2. 利用不等式的性质 3. 利用函数的图像与性质【例1-1】 如图，在直线MN 的异侧有A 、B 两点，按要求画图取点，并写出画图的依据． （1）在直线MN 上取一点C ，使线段AC 最短．依据是 ．（2）在直线MN 上取一点D ，使线段AD +BD 最短．依据是 ．【例1-2】如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = ．N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)Oyx【例1-3】 如图，已知AB =10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．A BCDPAB OPxy【例1-4】 在平面直角坐标系中，抛物线()k x k x y --+=12与直线1+=kx y 交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）如图1，当1=k 时，直接写出A ，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点C 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，过点C 作x 轴的垂线，交于直线AB 于点D ，求CD 线段的最大值及此时点C 的坐标；（3）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标.举一反三1. 如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP +PN 的最小值是（ ）A ．21B ．1C ．2D ．2 2. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 .F DCBA xy OE3. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________.若将△ABP 中边PA 的长度改为22，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为_________．4. 如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M （0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标.知识点二：隐形圆借助“隐圆”解决几何最值问题的理论依据有两个：①定圆的所有弦中，直径最长；②圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.这类最值问题，首先要判断动点是否在圆上运动，通常有两种判断方法：①无论动点在何处，动点到某一定点的距离不变，则可判断出该动点在以定点为圆心的圆上运动；②运动轨迹是圆，才能借助“隐圆”求最值.【例2-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．210-2 B.6 C.213-2 D.4【例2-2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝D F，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长是2，则线段DH长度的最小值是.【例2-3】 如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX 、OY 上移动，AB = 2，那么OC 的最大值为 .【例2-4】如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°， AB ＝6，BC ＝8，O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交射线AB 、BC 于E 、F ，则EF 的最小值为 .举一反三1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，P 是直线AB 上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B ′CP ，连接B ′A ，B ′A 长度的最小值是m ，B ′A 长度的最大值是n ，则m +n 的值等于 ．2. 如图，Rt △ABC 中，A B ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）A ．23 B ．2 C ．13138 D ．131312 3. 已知A （2，0），B （4，0）是x 轴上的两点，点C 是y 轴上的动点，当∠ACB 最大时，则点C 的坐标为_____．4. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝6，点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点 (不与点B 、C 重合)，且DA ＝DE ，则AD 的取值范围是 。

中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解目录第 1 讲角为定值的常规解法第 2 讲角为定值的高级解法第3讲边为定值的动点问题第4讲线段的和或差为定值的动点问题第5讲比值为定值的动点问题第6讲乘积为定值的动点问题第7讲面积为定值的动点问题第8讲动点产生的几何最值问题第1讲角为定值的常规解法【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点O,∠MON=90°，点A、B分别在射线O M、ON 上移动，AC是△BAO的角平分线，BD为∠ABN的角平分线，AC与B D的反向延长线交于点P.试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。

、【例】如图所示,O的直径A B=4,点P是A B延长线上的一点,过P点作O的切线,切点为C，连接AC.(1)若∠CPA=30°，求P C的长；(2)若点P在A B的延长线上运动，∠CPA的平分线交A C于点M，你认为∠CMP 的大小是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。

【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。

【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形A BCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段A B，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形A BCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。

PA+PB 最小值模型 ．口诀：异侧和最小2．图形：如图 1 所示，A 、B 为定点，P 为 l 上一动点，试求 PA+PB 的最大值与最小值． 解析 ：“最小值”① 两边之和大于第三边，PA+PB ≤AB ，当 A 、B 、P 三点共线时，取等号② 所以连接 AB 与 l 的交点即为所求点例一: 如图，抛物线243y ax x c =++的图象与x 轴交于(3,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,2)C -，连接AC ．点P 是x 轴上的动点．(1)求抛物线的表达式；(2)过点P 作x 轴的垂线，交线段AC 于点D ，E 为y 轴上一点，连接AE ，BE ，当AD BE =时，求AD AE +的最小值；【分析】(1)将A 、C 两点代入，利用待定系数法求得抛物线的表达式；(2)由AD BE =，将AD AE +转化为BE AE +，通过两点之间线段最短即可得解；【解答】解：(1)将(3,0)A -，(0,2)C -，代入243y ax x c =++得，49(3)032a c c ⎧+⨯-+=⎪⎨⎪=-⎩，解得232a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的表达式为224233y x x =+-； (2)令2242033y x x =+-=，解得3x =-或1， ∴点B 的坐标为(1,0)，当AD BE =时，AD AE BE AE +=+，∴当A 、E 、B 三点共线时，BE AE +最小，最小值为AB 的长，∴当AD BE =时，AD AE +的最小值为1(3)4AB =--=；【点评】本题考查二次函数的综合应用；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．1．如图，抛物线2y x bx c =-+交x 轴于(1,0)A ，B ，交y 轴于点C ，对称轴是直线2x =．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线顶点坐标；(3)点P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使PA PC +最小，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)根据对称轴方程求得b 的值；然后将点A 的坐标代入函数解析式来求c 的值；(2)利用配方法将(1)中的函数解析式转化为顶点式，可以直接写出顶点坐标；(3)利用轴对称-最短路径问题的解决方法解答．【解答】解：(1)抛物线2y x bx c =-+的对称轴是直线2x =，221b -∴-=⨯． 解得4b =．把(1,0)A 代入24y x x c =-+，得2140c -+=．解得3c =．故该抛物线解析式为：243y x x =-+；(2)由(1)中的抛物线解析式243y x x =-+，得2(2)1y x =--．故顶点坐标(2,1)-；(3)存在．理由如下：如图，连接BC 交直线2x =于点P ，此时PA PC PB PC BC +=+=最小，点P 即为所求．(0,3)C ，(3,0)B ，∴直线:3BC y x =-+．把2x =代入，得231y =-+=．(2,1)P ∴．【点评】主要考查了二次函数综合题，着重二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．2．如图，二次函数2=++的图象与x轴交于A，B两点，其中A的坐标为(1,0)y ax bx c-，与y轴交于点C，并经过点(1,8)，M是它的顶点．(0,5)(1)求二次函数的解析式；(2)用配方法将二次函数的解析式化为2=-+的形式，并写出顶点M的坐标；y x h()(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA PC+的值最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)把(1,0)C，(1,8)三点代入二次函数解析式，解方程组即可．A-，(0,5)(2)利用配方法将抛物线方程转化为顶点式，直接写出点M 的坐标．(3)如图中，由A 、B 关于对称轴对称，连接BC 交对称轴于P ，连接PA ，此时PA PC +的值最小．求出直线BC 的解析式，即可解决问题．【解答】解：(1)二次函数2y ax bx c =++的图象经过(1,0)A -，(0,5)C ，(1,8)，则有：085a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴抛物线的解析式为245y x x =-++．(2)22245(44)54(2)9y x x x x x =-++=--+++=--+，∴二次函数的解析式化为2(2)9y x =--+，∴顶点M 的坐标为(2,9)；(3)存在，理由如下：如图，由A 、B 关于对称轴对称，连接BC 交对称轴于P ，连接PA ，此时PA PC +的值最小． 由245(5)(1)y x x x x =-++=--+知(1,0)A -，(5,0)B ，(5,0)B ，(0,5)C ，设直线BC 的解析式为(0)y mx n m =+≠，则有505m n n +=⎧⎨=⎩，解得15m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为5y x =-+．抛物线的对称轴2x =，(2,3)P ∴．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．3．如图1，已知抛物线2y x bx c =-++与一直线相交于(1,0)A -，(2,3)C 两点，与y 轴交于点E ，其顶点为D ．(1)分别求抛物线、直线AC 的函数关系式；(2)设点M 为直线AC 上一个动点，求MD ME +的最小值；(3)如图2，ACD ∆，一直线平行于AD ，交边AC 于点M 、交边CD 于点N ，使得AM CN =．求点M 的坐标．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)设直线AC 交y 轴于点(0,1)H ，作点E 关于直线AC 的对称点F ，连接DF ，交AC 于点M ，则点M 为所求点，此时MD ME +最小，进而求解；(3)求出点M 、N 的坐标，利用AM CN =，即可求解．【解答】解：(1)将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得：01342b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， 故抛物线的表达式为223y x x =-++；设直线AC 的表达式为y kx t =+，则032k t k t =-+⎧⎨=+⎩，解得11k t =⎧⎨=⎩， 故直线AC 的表达式为1y x =+①；(2)由抛物线的表达式知，点(1,4)D ，如图1，设直线AC 交y 轴于点(0,1)H ，作点E 关于直线AC 的对称点F ，连接DF ，交AC 于点M ，则点M 为所求点，此时MD ME +最小，理由：M D M E M F M D DF +=+=为最小，由直线AC 的表达式知，直线AC 与x 轴的倾斜角为45︒，连接HF ，EF AC ⊥，故EFH ∆为等腰直角三角形，则312FH EH ==-=，点(2,1)F ，由点F 、D 的坐标知，FD =故MD ME +最小值DF =(3)由点A 、D 的坐标知，直线AD 的表达式为22y x =+，同理可得，直线CD 的表达式为5y x =-+②，设平行于AD 的直线为l ，则设其表达式为2y x t =+③，联立②③并解得53t x -=，故点5(3t N -，10)3t +， 联立①③同理可得，点(1,2)M t t --，AM CN =，2222510(11)(2)(2)(3)33t t t t -+∴-++-=-+-， 解得54t =或72(舍去7)2， 故54t =， 故点1(4M -，3)4． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性等，有一定的综合性，难度适中．4．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A 、(1,0)B ，与y 轴交于点C ，直线122y x =-经过点A 、C ．抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l ． (1)求抛物线的解析式；(2)设点E 为x 轴上一点，且AE CE =，求点E 的坐标；(3)设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD GB +的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用一次函数的性质求得点A 、C 的坐标，然后把点A 、B 、C 的坐标分别代入二次函数解析式，利用待定系数法求得二次函数解析式；(2)设点E 的坐标为(,0)e ，则4AE e =-，根据勾股定理列方程可得点E 的坐标；(3)利用轴对称-最短路径方法得点G ，先计算B D '的解析式，令0x =可得点G 的坐标．【解答】解：(1)如图1，对于直线122y x =-，令0y =，得4x =，令0x =，得2y =-，∴点(4,0)A ，点(0,2)C -，将(4,0)A ，(1,0)B ，(0,2)C -代入抛物线解析式得：164002a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩， ∴抛物线解析式为215222y x x =-+-； (2)如图2，由点E 在x 轴上，可设点E 的坐标为(,0)e ，则4AE e =-，在Rt COE ∆中， 根据勾股定理得：222222CE OC OE e =+=+， AE CE =，222(4)2e e ∴-=+， 解得：32e =，则点E 的坐标为3(2，0)； (3)存在．如图3，取点B 关于y 轴的对称点B '，则点B '的坐标为(1,0)-，连接B D '，直线B D '与y 轴的交点G 即为所求的点．22151592()22228y x x x =-+-=--+，∴顶点5(2D ，9)8，设直线B D '的解析式为(0)y kx d k =+≠， 则05928k d k d -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：928928k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线B D '的解析式为992828y x =+， 当0x =时，928y =， ∴点G 的坐标为9(0,)28． 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用，轴对称、待定系数法等知识，解题的关键是，学会利用参数构建方程解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．5．如图，已知抛物线23y x mx =-++与x 轴交于点A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点B 的坐标为(3,0)，抛物线与直线332y x =-+交于C ，D 两点，连接BD ，AD ．(1)求m 的值；(2)抛物线上有一点P ，满足4ABP ABD S S ∆∆=，求点P 的坐标；(3)点M 是抛物线对称轴上的点，当MA MC +的值最小时，求点M 的坐标．【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；(2)利用方程组首先求出点D 坐标．由面积关系，推出点P 的纵坐标，再利用待定系数法求出点P 的坐标即可；(3)根据轴对称的最短路径作出点M ：因为A 与B 关于1x =对称，所以连接BC 交直线1x =于点M ，点M 即为所求，先求BC 的解析式，代入1x =可得M 的坐标． 【解答】解：(1)抛物线23y x mx =-++过点(3,0)，9330m ∴-++=， 2m ∴=；(2)由223332y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，得03x y =⎧⎨=⎩或7294x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， (0,3)C ∴，7(2D ，9)4-，4ABP ABD S S ∆∆=，∴119||4224y AB P AB ⨯=⨯⨯， ||9y P ∴=，9y P =±，当9y =时，2239x x -++=，2260x x ∴-+=，△4460=-⨯<，∴此方程无实数解，当9y =-时，2239x x -++=-，解得：11x =+21x =(1P ∴+9)-或(1P 9)-；(3)由(1)知：抛物线的解析式：223y x x =-++，∴抛物线的对称轴是：1x =，点A 与点B 关于直线1x =对称，连接BC 交对称轴1x =于点M ，点M 即为所求， 当0y =时，2230x x -++=，解得：3x =或1-， (3,0)B ∴，设直线BC 的解析式为：y x b =+，把(3,0)B 和(0,3)C 代入得303b b +=⎧⎨=⎩，解得：13b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为：3y x =-+，抛物线的对称轴是：1x =，∴当1x =时，132y =-+=，∴当MA MC +的值最小时，点M 的坐标是(1,2)．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的图象上的点的特征，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 6．如图，已知二次函数26y ax bx =++的图象与x 轴交于(2,0)A -，(6,0)B 两点，与y 轴交于点C ． (1)请求出该二次函数的表达式； (2)请求出图象的对称轴和顶点坐标；(3)在二次函数图象的对称轴上是否存在点P ，使APC ∆的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由于二次函数的图象与x 轴交于(2,0)A -，(6,0)B 两点两点，把A ，B 两点坐标代入26y ax bx =++，计算出a 、b 的值即可求出抛物线解析式；(2)利用配方法将(1)中抛物线解析式转化为顶点式，据此直接得到答案；(3)作点C 关于抛物线对称轴的对称点C '，连接AC '，交抛物线对称轴于P 点，连接CP ，P 点即为所求． 【解答】解：(1)将A ，B 两点的坐标代入26y ax bx =++，得426036660a b a b -+=⎧⎨++=⎩． 解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴二次函数的表达式为21262y x x =-++．(2)221126(2)822y x x x =-++=--+，∴二次函数图象的对称轴为直线2x =，顶点坐标为(2,8)．(3)存在，理由如下：如图，作点C 关于二次函数图象的对称轴的对称点C '，连接AC '，交二次函数图象的对称轴于点P ，此时APC ∆的周长最小．(0,6)C ， (4,6)C ∴'．设直线AC '的表达式为y x n =+，则2046n n -+=⎧⎨+=⎩．解得12n =⎧⎨=⎩．∴直线AC '的表达式为2y x =+．当2x =时，4y =，即(2,4)P ．【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，轴对称-最短路径问题知识解题．7．已知，如图抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点B 的坐标为(1,0)，3OC OB =．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得QBC ∆的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(4)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A ，C ，E ，P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)根据3OC OB =，(1,0)B ，求出C 点坐标(0,3)-，把点B ，C 的坐标代入22y ax ax c =++，求出a 点坐标即可求出函数解析式；(2)根据两点之间线段最短可得Q 点是AC 与对称轴的交点．利用待定系数法求出直线AC 的解析式，将抛物线的对称轴方程32x =-代入求出y 的值，即可得到点Q 的坐标．(3)过点D 作//DE y 轴分别交线段AC 于点E ．设2(,23)D m m m +-，然后求出DE 的表达式，把ABCD S 四边形分解为ABC ACD S S ∆∆+，转化为二次函数求最值；(4)①过点C 作1//CP x 轴交抛物线于点1P ，过点1P 作11//PE AC 交x 轴于点1E ，此时四边形11ACPE 为平行四边形．②平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点2P ，3P ，由题意可知点2P 、3P 的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．【解答】解：(1)B 的坐标为(1,0)， 1OB ∴=．33OC OB ==，点C 在x 轴下方，(0,3)C ∴-．将(1,0)B ，(0,3)C -代入抛物线的解析式，得403a c c +=⎧⎨=-⎩，解得：34a =，3c =-， ∴抛物线的解析式为239344y x x =+-．(2)如图1所示：连结AC 与抛物线的对称轴交于点Q ，此时QBC ∆的周长最小．93432224b x a =-=-=-⨯，(1,0)B ，(4,0)A ∴-．设直线AC 的解析式为：y mx n =+， (4,0)A -，(0,3)C -，∴403m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：343m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为：334y x =--．223y x x =--+的对称轴是直线32x =-，∴当32x =-时，3315()3428y =-⨯--=-， ∴点Q 的坐标是3(2-，15)8-；(3)如图2所示：过点D 作//DE y ，交AC 于点E ．(4,0)A -，(1,0)B ， 5AB ∴=． 11537.522ABC S AB OC ∆∴=⋅=⨯⨯=． 设AC 的解析式为y x b =+．将(4,0)A -、(0,3)C -代入得：403b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：34=-，3b =-，∴直线AC 的解析式为334y x =--．设239(,3)44D a a a +-，则3(,3)4E a a --．2233933(3)(2)34444DE a a a a =---+-=-++，∴当2a =-时，DE 有最大值，最大值为3．ADC ∴∆的最大面积1134622DE AO =⋅=⨯⨯=． ∴四边形ABCD 的面积的最大值为272．(4)存在．①如图3，过点C 作1//CP x 轴交抛物线于点1P ，过点1P 作11//PE AC 交x 轴于点1E ，此时四边形11ACPE 为平行四边形．(0,3)C -，令2393344x x +-=-，10x ∴=，23x =-． 1(3,3)P ∴--．②平移直线AC 交x 轴于点2E ，3E ，交x 轴上方的抛物线于点2P ，3P ，当22AC P E =时，四边形22ACE P 为平行四边形，当33AC P E =时，四边形33ACE P 为平行四边形． (0,3)C -，2P ∴，3P 的纵坐标均为3．令3y =得：2393344x x +-=，解得1x 2x =．2P ∴，3)，3P 3)．综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：1(3,3)P --，23(2P -，3)，33(2P -，3)． 【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，在解答(3)时要注意进行分类讨论.。

专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【例1】（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．【分析】（1）将（0，3）和（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c可得；（2）①求出△PCD的面积，设Q（a，3﹣a）利用S△QAB＝2S△PCD求得；②利用AQ＝AG列出方程，求出G点的坐标，根据联立直线BC和QF的关系式，求出F 的坐标，从而求得GF．【解答】解（1）由题意得，，∴b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（（x﹣1）2+4，∴P（1，4）．（2）①如图1，作CE⊥PD于E，∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC：y＝﹣x+3，∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a），∴CE＝PE＝DE，∴△PCD是等腰直角三角形，∴S△PCD＝PD•CE＝×2×1＝1，∴AB•|3﹣a|＝2，∴×4•|3﹣a|＝2，∴a＝2或a＝4．∴Q（2，1）或（4，﹣1）．②如图2，设G（m，m﹣），由AG2＝AQ2得，（m+1）2+＝（2+1）2+12，化简，得5m2+2m﹣16＝0，∴m1＝﹣2，m2＝，∴G1（﹣2，﹣3），G2（，﹣），作QH⊥AB于H，∵AQ⊥QF，∴△AHQ∽△QHM，∴QH2＝AH•HM，即：12＝3•HM，∴HM＝，∴M（，0），设直线QM是：y＝kx+b，∴，∴k＝﹣3，b＝7，∴y＝﹣3x+7，由得，x＝，y＝﹣∴F（，﹣）∴G1F＝＝，G2F＝＝．【例2】（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．【分析】（1）根据点A、B的横坐标分别为﹣3、，可以先求的点A和B的坐标，平行线分线段成比例定理可以得到EC＝ED，然后即可得到点P的坐标；（2）根据点B的横坐标为4，可以求得点B的坐标，然后根据相似三角形的判定与性质，可以求得点A的坐标，再根据（1）求中点坐标的方法可以求得点P的坐标；（3）根据相似三角形的判定与性质，可以求得点A和点B的坐标与点P坐标的关系，从而可以得到y与x的关系；（4）将y＝6代入（3）中的函数关系式，可以求得点P的横坐标的平方，然后根据勾股定理可以得到OP的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到线段AB的长．【解答】解：（1）∵点A、B在抛物线y＝x2上，点A、B的横坐标分别为﹣3、，∴当x＝﹣3时，y＝×（﹣3）2＝×9＝，当x＝时，y＝×（）2＝×＝，即点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（，），作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，作PE⊥x轴于点E，如右图1所示，则AC∥BD∥PE，∵点P为线段AB的中点，∴P A＝PB，由平行线分线段成比例，可得EC＝ED，设点P的坐标为（x，y），则x﹣（﹣3）＝﹣x，∴x＝＝﹣，同理可得，y＝＝，∴点P的坐标为（﹣，）；（2）∵点B在抛物线y＝x2上，点B的横坐标为4，∴点B的纵坐标为：y＝×42＝8，∴点B的坐标为（4，8），∴OD＝4，DB＝8，作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图2所示，∵∠AOB＝90°，∠ACO＝90°，∠ODB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∠BOD+∠OBD＝90°，∠ACO＝∠ODB，∴∠AOC＝∠OBD，∴△AOC∽△OBD，∴，设点A的坐标为（a，a2），∴CO＝﹣a，AC＝a2，∴，解得a1＝0（舍去），a2＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，），∴中点P的横坐标为：＝，纵坐标为＝，∴线段AB中点P的坐标为（，）；（3）作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图3所示，由（2）知，△AOC∽△OBD，∴，设点A的坐标为（a，a2），点B的坐标为（b，b2），∴，解得，ab＝﹣4，∵点P（x，y）是线段AB的中点，∴x＝，y＝＝＝，∴a+b＝2x，∴y＝＝x2+2，即y关于x的函数解析式是y＝x2+2；（4）当y＝6时，6＝x2+2，∴x2＝4，∵OP＝＝＝2，△AOB是直角三角形，点P时斜边AB的中点，∴AB＝2OP＝4，即线段AB的长是4．【例3】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC 交于点F．（1）点F的坐标为（4，2）；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E 出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．【分析】（1）先求出B（6，0），C（0，6），再求出直线BC的解析式为y＝﹣x+6，联立即可求F点坐标；（2）过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，证明△PMF∽△QNF，得＝，再由FH∥PG，得＝，可求PG＝，即为P点纵坐标为，则可求P（1，）或P（3，）；（3）过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，证明△ODE是等腰直角三角形，△EHL为等腰直角三角形，则有LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，EL＝t，EH＝LH＝t，OH＝t+2，SH＝3t，求出S（t+2，3t），求出t＝2，则可得点G的运动时间为2s．【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+2x+6中，令y＝0，则﹣x2+2x+6＝0，∴x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），令x＝0，则y＝6，∴C（0，6），在直线y＝x﹣2，令y＝0，则x＝2，∴E（2，0），令x＝0，则y＝﹣2，∴D（0，﹣2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+6，联立，解得，∴F（4，2），故答案为（4，2）；（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，∵PM⊥BC，QN⊥BC，∴∠PMF＝∠QNF，∴△PMF∽△QNF，∴＝，∵＝，∴＝，∵FH∥PG，∴＝＝，∵FH＝2，∴PG＝，∴P点纵坐标为，∴﹣x2+2x+6＝，∴x＝1或x＝3，∴P（1，）或P（3，）；（3）如图2，过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，由题意得，EG＝4t，∵SE＝SG，∴EK＝GK＝EG＝2t，在Rt△SEK中，tan∠SEG＝＝，∴SK＝t，∵E（2，0），D（0，﹣2），∴OE＝OD，∴△ODE是等腰直角三角形，∴∠OED＝45°，∴∠KEH＝∠OED＝45°，∴△EHL为等腰直角三角形，∴LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，∴EL＝EK﹣LK＝t，∴EH＝LH＝t，∴OH＝OE+EH＝t+2，SH＝SL+LH＝3t，∴S（t+2，3t），∴﹣（t+2）2+2（t+2）+6＝3t，∴t＝2或t＝﹣8（舍），∴点G的运动时间为2s．【例4】（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；（2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF ∥AE，可得＝，则求的最大值即可；（3）分三种情况讨论：当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，可证明△DBG∽△BCH，求出D（3，6）；当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，可证明△OBC∽△KCD，求出D（3，﹣9）；当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），设D（3，m），由DT＝BC，可求D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴＝，设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴，∴，∴y＝x﹣3，设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，∵A（﹣2，0），∴E（﹣2，﹣4），∴AE＝4，∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，∴当t＝3时，有最大值，∴P（3，﹣）；（3）∵P（3，﹣），D点在l上，如图2，当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴＝，即＝，∴BG＝6，∴D（3，6）；如图3，当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴＝，即＝，∴KC＝6，∴D（3，﹣9）；如图4，当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，设D（3，m），∵DT＝BC，∴|m+|＝，∴m＝﹣或m＝﹣﹣，∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．【例5】（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：A（﹣3，0），B（﹣1，0），C（0，18），D（﹣2，﹣6）；（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=43，求a的值和CE的长；（3）如图2，在（2）的条件下，若点N 为OC 的中点，动点P 在第三象限的抛物线上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，交AN 于点F ；过点F 作FH ⊥DE ，垂足为H ．设点P 的横坐标为t ，记f ＝FP +FH ． ①用含t 的代数式表示f ；②设﹣5＜t ≤m （m ＜0），求f 的最大值．【分析】（1）当a ＝6时，抛物线的表达式为：y ＝6x 2+24x +18，即可求解；（2）由点C 、D 的坐标得，直线CD 的表达式为：y ＝2ax +4a ﹣6，进而求出点E （3a −2，0），利用tan ∠AED =OC OE =4a−63a−2=43，即可求解； （3）①证明△FJH ∽△ECO ，故FH OE=FJCE，则FH =OECE ×FJ =−t +1，即可求解； ②f =−23（t +3）2+263（﹣5＜t ≤m 且m ＜0），即可求解． 【解析】（1）当a ＝6时，抛物线的表达式为：y ＝6x 2+24x +18，令y ＝0，则x ＝﹣1或﹣3；当x ＝0时，y ＝18，函数的对称轴为x ＝﹣2， 故点A 、B 、C 、D 的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）； 故答案为：（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；（2）y ＝ax 2+4ax +4a ﹣6，令x ＝0，则y ＝4a ﹣6，则点C （0，4a ﹣6）， 函数的对称轴为x ＝﹣2，故点D 的坐标为（﹣2，﹣6）， 由点C 、D 的坐标得，直线CD 的表达式为：y ＝2ax +4a ﹣6， 令y ＝0，则x =3a −2，故点E （3a−2，0），则OE =3a −2，tan ∠AED =OCOE =6−4a 3a −2=43，解得：a =23， 故点C 、E 的坐标分别为（0，−103）、（52，0），则CE =√(103)2+(52)2=256；（3）①如图，作PF 与ED 的延长线交于点J ，由（2）知，抛物线的表达式为：y =23x 2+83x −103， 故点A 、C 的坐标分别为（﹣5，0）、（0，−103），则点N （0，−53）， 由点A 、N 的坐标得，直线AN 的表达式为：y =−13x −53； 设点P （t ，23t 2+83t −103），则点F （t ，−13t −53）；则PF =−23t 2﹣3t +53，由点E （52，0）、C 的坐标得，直线CE 的表达式为：y =43x −103，则点J （t ，43t −103），故FJ =−53t +53， ∵FH ⊥DE ，JF ∥y 轴，故∠FHJ ＝∠EOC ＝90°，∠FJH ＝∠ECO ， ∴△FJH ∽△ECO ，故FH OE=FJ CE，则FH =OECE ×FJ =−t +1，f ＝PF +FH =−23t 2﹣3t +53+（﹣t +1）=−23t 2﹣4t +83； ②f =−23t 2﹣4t +83=−23（t +3）2+263（﹣5＜t ≤m 且m ＜0）； ∴当﹣5＜m ＜﹣3时，f max =−23m 2﹣4m +83； 当﹣3≤m ＜0时，f max =263．【例6】（2020•恩施州）如图1，抛物线y =−14x 2+bx +c 经过点C （6，0），顶点为B ，对称轴x ＝2与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=√2（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．【分析】（1）根据点C在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B及已知点C的坐标，证明△ABC是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF与x轴的夹角为45°，因此设直线EF的解析式为y＝x+b，设点M的坐标为（m，0），推出点F（m，6﹣m），直线EF与抛物线y=−14x2+x+3只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m的方程，解方程得点M的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，设点M的坐标为（m，0），由PC=√2及旋转的性质，证明△EHM≌△MGP，得到点E的坐标为（m﹣1，5﹣m），再根据两点距离公式证明EA＝ED，注意分两种情况，均需讨论；②把E（m﹣1，5﹣m）代入抛物线解析式，解出m的值，进而求出CM的长．【解析】（1）∵点C（6，0）在抛物线上，∴0=−14×36+6b+c，得到6b+c＝9，又∵对称轴为x＝2，∴x=−b2a=−b2×(−14)=2，解得b＝1，∴c ＝3，∴二次函数的解析式为y =−14x 2+x +3； （2）当点M 在点C 的左侧时，如图2﹣1中：∵抛物线的解析式为y =−14x 2+x +3，对称轴为x ＝2，C （6，0） ∴点A （2，0），顶点B （2，4）， ∴AB ＝AC ＝4，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠1＝45°；∵将△MPC 逆时针旋转90°得到△MEF ， ∴FM ＝CM ，∠2＝∠1＝45°， 设点M 的坐标为（m ，0）， ∴点F （m ，6﹣m ）， 又∵∠2＝45°，∴直线EF 与x 轴的夹角为45°， ∴设直线EF 的解析式为y ＝x +b ，把点F （m ，6﹣m ）代入得：6﹣m ＝m +b ，解得：b ＝6﹣2m ， 直线EF 的解析式为y ＝x +6﹣2m ，∵直线EF 与抛物线y =−14x 2+x +3只有一个交点， ∴{y =x +6−2m y =−14x 2+x +3， 整理得：14x 2+3−2m =0， ∴△＝b 2﹣4ac ＝0，解得m =32， 点M 的坐标为（32，0）．当点M 在点C 的右侧时，如下图：由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线y =−14x 2+x +3不可能只有一个交点．综上，点M 的坐标为（32，0）．（3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵PC =√2，由（2）知∠BCA ＝45°， ∴PG ＝GC ＝1， ∴点G （5，0），设点M 的坐标为（m ，0），∵将△MPC 逆时针旋转90°得到△MEF ， ∴EM ＝PM ，∵∠HEM +∠EMH ＝∠GMP +∠EMH ＝90°， ∴∠HEM ＝∠GMP ，在△EHM 和△MGP 中，{∠EHM =∠MGP∠HEM =∠GMP EM =MP，∴△EHM ≌△MGP （AAS ），∴EH ＝MG ＝5﹣m ，HM ＝PG ＝1，∴点H （m ﹣1，0），∴点E 的坐标为（m ﹣1，5﹣m ）；∴EA =√(m −1−2)2+(5−m −0)2=√2m 2−16m +34，又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0），∴点D （4，2），∴ED =√(m −1−4)2+(5−m −2)2=√2m 2−16m +34，∴EA ＝ED ．当点M 在点C 的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为（m ﹣1，5﹣m ），因此EA ＝ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线y =−14x 2+x +3上时，把E （m ﹣1，5﹣m ）代入，整理得：m 2﹣10m +13＝0，解得：m =5+2√3或m =5−2√3，∴CM =2√3−1或CM =1+2√3．【题组一】1．（2021•青山区模拟）已知抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣12a 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且OC ＝OA ．设抛物线的顶点为M ，对称轴交x 轴于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当P A＝2PE时，求EF+BF的最小值．（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．【分析】（1）令y＝0可得A坐标，由OC＝OA得OC，即可得C的坐标，代入y＝ax2﹣4ax﹣12a求出a，即可得抛物线解析式；（2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，Rt△BOC中，可得sin ∠CBO＝＝，Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，可得FQ＝BF，要求EF+ BF的最小即是求EF+BF的最小值，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，求出E点坐标即可得到答案；（3）将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，分别求出Q 移动到Q1、Q2处时的t值，即可得到答案．【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴OA＝2，∵OC＝OA，∴OC＝3，即C（0，3），将C（0，3）代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，如图：∵y＝﹣x2+x+3对称轴为直线x＝2，∴P横坐标为2，即ON＝2，∴AN＝2﹣（﹣2）＝4，∵AP＝2PE，∴AN＝2NH，∴NH＝2，∴E横坐标为4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3，∴E（4，3），由（1）可知：OC＝3，OB＝6，Rt△BOC中，BC＝＝3，∴sin∠CBO＝＝＝，∵EH⊥x轴，∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，∴FQ＝BF，而EF+BF＝（EF+BF），∴EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，∵EH＝|y E|＝3，∴EF+BF的最小值为3，∴EF+BF的最小值为；（3）将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，如图：∵y＝﹣x2+x+3顶点M（2，4），又C（0，3），∴CM的解析式为y＝x+3，由MQ⊥CM，设MQ解析式为y＝﹣2x+b，将M（2，4）代入得：4＝﹣2×2+b，∴b＝8，∴MQ解析式为y＝﹣2x+8，在y＝﹣2x+8中令y＝0得x＝4，∴Q（4，0），而C（0，3），∴CQ解析式为y＝﹣x+3，将线段CQ向上平移t个单位长度，与C1Q1重合时，则Q1（4，t），代入y＝﹣x2+x+3得：t＝﹣×16+4+3＝3，将线段CQ向上平移t个单位长度，与C2Q2重合时，C2Q2解析式为y＝﹣x+3+t，由只有一个解，可得﹣x2+x﹣t＝0的判别式Δ＝0，即（）2﹣4×（﹣）•（﹣t）＝0，解得t＝，∴将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，3≤t＜．2．（2021•赣州模拟）已知抛物线C1：y＝x2﹣4x+3m和C2：y＝mx2﹣4mx+3m，其中m≠0且m≠1．（1）抛物线C1的对称轴是直线x＝2，抛物线C2的对称轴是直线x＝2；（2）这两条抛物线相交于点E，F（点E在点F的左侧），求E、F两点的坐标（用含m 的代数式表示）并直接写出直线EF与x轴的位置关系；（3）设抛物线C1的顶点为M，C2的顶点为N；①当m为何值时，点M与点N关于直线EF对称？②是否存在实数m，使得MN＝2EF？若存在，直接写出实数m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）对于C1：y＝x2﹣4x+3m，函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，同理可得：抛物线C2的对称轴是直线x＝2，即可求解；（2）联立C1、C2的表达式并解得或，进而求解；（3）①点M与点N关于直线EF对称，则3m＝（3m﹣4﹣m），即可求解；②由MN＝2EF得：|3m﹣4+m|＝8，即可求解．【解答】解：（1）对于C1：y＝x2﹣4x+3m，函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，同理可得：抛物线C2的对称轴是直线x＝2，故答案为：直线x＝2，直线x＝2；（2）联立C1、C2的表达式并解得或，故点E、F的坐标分别为（0，3m）、（4，3m），∵点E、F的纵坐标相同，∴EF∥x轴；（3）①当x＝2时，y＝x2﹣4x+3m＝3m﹣4，即点M的坐标为（2，3m﹣4），同理可得，点N的坐标为（2，﹣m），∵点M与点N关于直线EF对称，故3m＝（3m﹣4﹣m），解得m＝﹣1；②由①知，MN＝|3m﹣4+m|，而EF＝4﹣0＝4，∵MN＝2EF，∴|3m﹣4+m|＝8，解得m＝3或﹣1．3．（2021•桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H 为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．【分析】（1）将点A、B的坐标代入即可求出抛物线解析式；（2）过点P作PE⊥y轴，垂足为E点，连接PC，证明△PEH≌△HOB（AAS），由全等三角形的性质得出PE＝OH，EH＝OB，由直角三角形的性质可得出结论；（3）作点O关于直线PC的对称点F，连接BF，直线PC交x轴于点Q，连接FQ，由轴对称的性质及勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x+；（2）M（1，3）．∵矩形OBDC中，CO＝OB＝3．∴四边形OBDC是正方形，过点P作PE⊥y轴，垂足为E点，连接PC，如图2，∵∠PHB＝90°，∴∠PHE+∠BHO＝90°，∵∠OBH+∠BHO＝90°，∴∠PHE＝∠OBH，又HP＝HB，∴△PEH≌△HOB（AAS），∴PE＝OH，EH＝OB，∵OB＝OC，∴OC＝EH，∴EC＝OH，∴EC＝EP，∴∠ECP＝45°，∴∠PCD＝45°；（3）如图3，由（2）可知，点P在直线PC上运动，作点O关于直线PC的对称点F，连接BF，直线PC交x轴于点Q，连接FQ，∵CD‖x轴，∴∠PCD＝∠PQO＝45°，∴OQ＝OC＝OB＝3，由作图知，∠FQC＝∠PQO＝45°，FQ＝OQ＝3，∴∠FQB＝90°，∴BF＝，∴OP+BP的最小值为．4．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F 作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，得方程组，解得b与c的值，则可得出抛物线的解析式；（2）①先求出点C的坐标，用待定系数法求得直线BC的解析式，作FK⊥y轴于点K，可得：FH＝KF＝OE，由线段的和差可得：DF+HF＝DE﹣EF+OE，代入数据得到关于m的二次函数，由二次函数的性质可得DF+HF的最大值；②作GM⊥y轴于点M，记直线FH与x轴交于点N，由等腰三角形的判定可知EF＝EN，OH＝ON，由抛物线的性质可得MG＝1，继而求得HG的值；判定△EHG∽△FHE，得出比例式，代入数据可得关于m的方程，解方程即可．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）①当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，∴点C（0，3），又∵B（3，0），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，作FK⊥y轴于点K，又∵FH⊥BC，∴∠KFH＝∠KHF＝45°，∴FH＝KF＝OE，∴DF+HF＝DE﹣EF+OE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）+m＝﹣m2+（3+）m，由题意有0＜m＜3，且0＜﹣＜3，﹣1＜0，∴当m＝时，DF+HF取最大值，DF+HF的最大值为：﹣（）2+（3+）×＝；②作GM⊥y轴于点M，记直线FH与x轴交于点N，∵FK⊥y轴，DE⊥x轴，∠KFH＝45°，∴∠EFH＝∠ENF＝45°，∴EF＝EN，∵∠KHF＝∠ONH＝45°，∴OH＝ON，∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，∴MG＝1，∵HG＝MG＝，∵∠GEH＝45°，∴∠GEH＝∠EFH，又∠EHF＝∠GHE，∴△EHG∽△FHE，∴HE：HG＝HF：HE，∴HE2＝HG•HF＝×m＝2m，在Rt△OEH中，OH＝ON＝|OE﹣EN|＝|OE﹣EF|＝|m﹣（﹣m+3）|＝|2m﹣3|，∵OE＝m，∴HE2＝OE2+OH2＝m2+（2m﹣3）2＝5m2﹣12m+9，∴5m2﹣12m+9＝2m，解得：m＝1或．【题组二】5．（2021•攸县模拟）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图所示，已知抛物线C：y＝ax2﹣4ax的图象与x轴交于O、A两点，且过点．（1）求抛物线C的解析式和点A的坐标；（2）若将抛物线C的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C'的图象．①求抛物线C'的焦点坐标和准线方程．②设M为抛物线C'位于第一象限内图象上的任意一点，MN⊥x轴于点N，求MN+MA的最小值，并求出取得这个最小值时点M的坐标．【分析】（1）将代入y＝ax2﹣4ax，列方程求a的值；（2）①将抛物线C的解析式配成顶点式，求出平移后得到的抛物线C′的解析式，再由焦点和准线的定义求出焦点坐标和准线方程；②设抛物线C'的焦点为F，延长MN交直线y＝﹣1于点P，设AF交抛物线C′于点Q，由抛物线焦点及准线的性质可知，当点M与点Q重合时，MN+MA的值最小，由勾股定理求出AF的长，由直线AF的解析式与抛物线C′的解析式联立方程组，解方程组求出此时点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax经过点，∴，解得，∴抛物线C的解析式为；当y＝0时，由x2﹣x＝0，得x1＝0，x2＝4，∴A（4，0）．（2）∵＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线C平移后得到的抛物线C′的解析式为．①由题意，得，整理，得，∴，∴抛物线C′的焦点坐标为（0，1），准线方程为y＝﹣1．②如图，设抛物线C'的焦点为F，延长MN交直线y＝﹣1于点P，连结AF、MF，AF交抛物线C′于点Q．由抛物线焦点和准线的性质可得MP＝MF，∴PN+MN+MA＝MF+MA，∵PN＝1，∴MN+MA＝MF+MA﹣1；∵MF+MA≥AF，∴当点M与点Q重合时，MF+MA的值最小，此时MN+MA＝MF+MA﹣1＝AF﹣1的值最小．∵∠AOF＝90°，OF＝1，OA＝4，∴AF＝＝，∴AF﹣1＝，∴MN+MA的最小值为．设直线AF的解析式为y＝kx+b，把A（4，0）、F（0，1）代入y＝kx+b，得，解得，∴y＝x+1，由，得，（不符合题意，舍去），∴M（，）．∴MN+MA的最小值为，此时点M的坐标为（，）．6．（2021•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x 轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．（1）求m的值和直线AC的解析式．（2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值．（3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值．【分析】（1）利用待定系数法将A（﹣4，0）代入y＝mx2+x﹣4m，求出m的值，即可抛物线解析式，令x＝0，求出点C的坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A，C的坐标代入即可求出答案；（2）在x轴上方作射线AM，使∠MAO＝30°，过点D作DK⊥AM于K，当C、D、K 在同一条直线上时，CD+DK最小，即AD+CD取得最小值时，∠CDO＝∠ADK＝60°，应用三角函数定义即可求得答案；（3）根据△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6，可得出DN＝3DM，建立方程求出n的值，在y轴上取一点R，使得OR＝，连接AR，在AR上取一点E使得OE＝OD，构造相似三角形，可以证明AR就是AE+CE的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0），∴m•（﹣4）2+×（﹣4）﹣4m＝0，解得：m＝，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣3，令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣4，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3.（2）∵A（﹣4，0），D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，∴AD＝n﹣（﹣4）＝n+4，在x轴上方作射线AM，使∠MAO＝30°，过点D作DK⊥AM于K，∴∠AKD＝90°，∴DK＝AD，∠ADK＝60°，当C、D、K在同一条直线上时，CD+DK最小，即AD+CD取得最小值时，∠CDO＝∠ADK＝60°，∵OD＝﹣n，∠COD＝90°，∴＝tan∠CDO＝tan60°，即＝，∴n＝﹣．（3）∵DM⊥x轴，NP⊥AC，∴∠ADM＝∠NPM＝90°，∵∠AMD＝∠NMP，∴△AMD∽△NMP，∵△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6，∴＝，∵＝sin∠DAM＝＝，∴＝，∴DN＝3DM，∵DM＝n+3，DN＝﹣n2﹣n+3，∴﹣n2﹣n+3＝3（n+3），解得：n1＝﹣2，n2＝﹣4（舍去），∴D（﹣2，0），∴OD＝2，如图2中，在y轴上取一点R，使得OR＝，连接AR，在AR上取一点E使得OE＝OD＝2．∵OE＝2，OR•OC＝×3＝4，∴OE2＝OR•OC，∴＝，∵∠COE＝∠ROE，∴△ROE∽△EOC，∴＝＝，∴RE＝CE，∴当A、R、E共线时，AE+CE＝AE+ER＝AR，此时AE+CE最小，∴AE+CE的最小值＝AR＝＝＝．7．（2021•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物线解析式；（2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；（3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP+BQ的最小值并求此时点P的坐标．【分析】（1）根据点A，B的坐标设出抛物线的交点式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）过点A作AG⊥x轴交BM的延长线于G，则＝，设ON＝t，则AG＝4t，CN＝3﹣t，进而得出＝或2，进而建立方程求解，即可得出结论；（3）先判断出△PCD∽△OBQ，进而得出PC＝OQ，再判断出点A，P，C在同一直线上时，BP+BQ的最小，再求出直线AC的解析式，即可得出结论．【解答】解：（1）∵二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵点C（0，3）在抛物线上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过点A作AG⊥x轴交BM的延长线于G，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，设点M（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），∴S△BCM＝CN（1﹣m），S△ABM＝S△ABG﹣S△AMG＝AG[（1+3）﹣（m+3）]＝AG（1﹣m），∴＝＝，∵ON∥AG，∴＝，设ON＝t，则AG＝4t，CN＝3﹣t，∵BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，∴＝或2，∴，∴，∴t＝1或，∴N（0，1）或N（0，），当N（0，1）时，∵B（1，0），∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1①，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）②，联立①②解得，或，∴M（﹣2，3）；当N（0，）时，∵B（1，0），∴直线BM的解析式为y＝﹣x+③，联立②③解得，或，∴M（﹣，）；即M（﹣2，3）或（）；（3）如图2，连接PC，CD，过点C作CH⊥DP于H，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2m+3＝﹣（m﹣1）2+4，∴D（﹣1，4），∵C（0，3），∴CD＝，DH＝1，CH＝1，∴DH＝CH，∴∠CDP＝45°，∵点Q为直线y＝x第一象限上的动点，∴∠BOQ＝45°＝∠CDP，∵DP＝OQ，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴△PCD∽△OBQ，∴，∴PC＝OQ，∴BP+OQ＝BP+PC，连接AP，∵点P是抛物线的对称轴上的点，∴PC＝P A，∴BP+OQ＝BP+PC＝BP+P A，∴当点A，P，C在同一条直线上时，BP+OQ最小，最小值为AC＝＝，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝2，∴点P（﹣1，2）．8．（2021•茶陵县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；（3）如图②，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），分别代入y＝ax2+bx+3求解即可得表达式；（2）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G，设P（m，﹣m2+2m+3），利用PG∥OC，△PDG∽△ODC，用含m的代数式表示，配方即可得当的值最大时m的值，从而得到答案；（3）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，过E作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K，设P（m，﹣m2+2m+3），利用PD与BC的解析式用含m代数式表示E的坐标，再由△PEI∽△CAO，△BEK∽△BCO，对应边成比例，用含m的代数式表示BE，配方即可得最大值及点m的值，从而得到P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），分别代入y＝ax2+bx+3（a≠0）中得：，解得∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G，如图：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；设P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），∴PG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵PG∥OC，∴△PDG∽△ODC，∴，当时，有最大值，此时点P（）；（3）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，过E作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K，如图：由（2）知直线BC解析式为y＝﹣x+3；设直线AC解析式为y＝px+3，则﹣p+3＝0，解得p＝3，∴直线AC：y＝3x+3，设P（m，﹣m2+2m+3），∵PD∥AC，∴设直线PD解析式为y＝3x+n，则﹣m2+2m+3＝3m+n，解得n＝﹣m2﹣m+3，∴直线PD解析式为：y＝3x﹣m2﹣m+3，由得，∴E，∵∠CAO＝∠PDB＝∠PEI，∠COA＝∠PIE，∴△PEI∽△CAO，而AC＝＝，BC＝＝3，∴EI：PI：PE＝OA：OC：AC＝1：3：，∴PE＝EI，∴PE＝10EI＝10（OH﹣OK）＝10（m﹣）＝m﹣m2，∵∠BOC＝∠BKE＝90°，∠EBK＝∠CBO，∴△BEK∽△BCO，∴EK：BK：BE＝CO：BO：BC＝3：3：3＝1：1：，∴BE＝BK，∴BE＝2BK＝2（3﹣）＝6﹣﹣，∴BE＝m﹣m2﹣（6﹣﹣）＝﹣2m2+8m﹣6＝﹣2（m﹣2）2+2，∴当m＝2时，BE的最大值，最大值为2，此时P（2，3）．【题组三】9．（2021•东莞市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当P A+PC的值最小时，求P A+PC长；（3）已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得C（0，3）．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入可求得a的值；（2）依据轴对称图形的性质可知P A＝PB，则P A+PC＝PB+PC，则当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值，P A+PC的最小值＝BC，接下来，依据勾股定理求解即可；（3）当△BMC∽△NQM时，则，即，解得QN＝，当△BMC∽△NMQ时，同理可解．【解答】解：（1）把x＝0代入得：y＝3，∴C（0，3）．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图所示：∵点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上，∴P A＝PB．∴P A+PC＝PC+PB．∵两点之间线段最短，∴当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值，P A+PC的最小值＝BC．∵OC＝3，OB＝3，∴BC＝3．∴P A+PC的最小值＝3．（3）存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，则点M（1，0），由点M、C、B的坐标知，BM＝2，BC＝3、CM＝，由点M、N的坐标知，∠ONM＝45°，MN＝，当△BMC∽△NQM时，则，即，解得QN＝，则点Q的坐标为（0，﹣）；当△BMC∽△NMQ时，同理可得，点Q的坐标为（0，2），综上，点Q的坐标为（0，﹣）或（0，2）．10．（2021•怀化模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣1，0）．（1）直接写出点B的坐标并求出抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①当∠PCB＝∠OCB时，求点P的坐标；②当点P在B、C两点之间运动时，连接AP，交BC于点Q，设t＝，求当t值最大时点P的坐标．【分析】（1）由点B与点A（﹣1，0）关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，得B（3，0），把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，列方程组求a、b的值；（2）①由（1）可得，OB＝OC＝3，所以∠OCB＝45°，可得∠OCP＝60°或30°，再求PC与x轴的交点坐标及PC的解析式并且与抛物线的解析式组成方程组求得点P的坐标；③过点P作x轴的平行线交射线BC于点L，设点P的横坐标为r，用r表示PL的长，由相似三角形的性质列出t关于r的函数解析式，再利用二次函数的性质求出当t的值最大时r的值及点P的坐标．【解答】解：（1）∵点B与点A（﹣1，0）关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴B（3，0），把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3.（2）①如图1，当点P在BC上方时，延长CP交x轴于点D．∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠PCB＝∠OCB＝15°，∴∠OCP＝60°，∴OD＝OC•tan60°＝3，∴D（3，0）．设直线CP的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝，∴y＝x+3.由，得，，∴P（，）；如图2，当点P在BC下方时，设PC交x轴于点E．则∠OCP＝45°﹣15°＝30°，∴OE＝OC•tan30°＝，∴E（，0）．设直线CP的解析式为y＝mx+3，则m+3＝0，解得m＝，∴y＝x+3．由，得，∴P（2+，）.综上所述，点P的坐标为（，）或（2+，）．②如图3，过点P作PL∥x轴，交射线BC于点L．设直线BC的解析式为y＝nx+3，则3n+3＝0，解得n＝﹣1，∴y＝﹣x+3；设P（r，﹣r2+2r+3）（0＜r＜3），则L（r2﹣2r，﹣r2+2r+3），∴PL＝r﹣（r2﹣2r）＝﹣r2+3r；∵△PQL∽△AQB，∴t＝＝（r﹣）2+，∴当r＝时，t的值最大，。

重难点 填空压轴题(代数篇)目录题型01 求值类类型一 代数式求值类型二 方程、不等式求值类型三 函数求值题型02 规律探究类类型四 数字规律探究类型五 图形规律探究类型六 函数规律探究题型03 函数最值类类型七 一次函数的最值问题类型八 二次函数的最值问题类型九 反比例函数与其它函数的最值问题题型04 函数临界点类类型十 一次函数的最值问题类型十一 二次函数的最值问题类型十二 反比例函数的最值问题题型01求值类类型一代数式求值1已知，a+b=x+y=2，ax+by=5，则a2+b2=xy+ab x2+y22如图，正方形ABCD内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S，则正方形ABCD的边长为．(用含S的式子表示)3若a <112011+12012+12013+12014+12015<a +1，则自然数a =．4下列说法正确的有．(选序号)①若(x -1)x -1=1，则满足条件x 的值有3个．②若x =32m -2，y =3-9m ，则用含x 的代数式表示y 为y =-9x +3．③已知(x -20)2+(x -28)2=100，则(x -24)2的值是34．④1，2，3，⋯，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个．5四个互不相等的数a ，b ，c ，m 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，M ，其中a =4，b =8，m =0.5(a +b +c )．(1)若c =2，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为；(2)若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，则符合条件的点C 所表示的数c 的取值范围为．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“佳佳数”．如：532，因为5=3+2，所以532是“佳佳数”；又如，432，因为4≠3+2，所以432不是“佳佳数”．已知M 是一个“佳佳数”，则M 最大值是；交换M 的百位数字与十位数字得到一个新三位数N ，在N 的末位数字后加2得到一个新的四位数P ，在M 的十位数字与个位数字之间添加M 的十位数字得到一个新四位数Q ，若Q -P 能被7整除，则满足以上条件的“佳佳数”的最大值为．6若一个四位自然数M ，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于M 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：4952，满足5+2 2=49；若一个四位自然数N ，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于N 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：7239，满足92-32=72；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是．如果一个“和数”M 与一个“差数”N 的个位数字均为a 、十位数字均为b ，且F M ,N =M +N +18a -22811，若F M ,N 为整数时，记G M ,N =aba +b，则G M ,N 的最大值是．7对于任意一个三位自然数M ，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k 倍(k 为整数)，则称M 为“k 阶比例中项数”此时，记去掉其个位数字后剩余的两位数为m 1，去掉百位数字后剩余的两位数为m 2，规定F M =m 1+5m 2，则最大的“4阶比例中项数”是；若N =100m +10n +1(其中1≤m ≤4，2≤n ≤8，m ，n 均为正整数)是一个“k 阶比例中项数”，且F N 能被8除余3，则满足条件的N 之和是．类型二方程、不等式求值8已知方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=3，则方程组2a1x-1+3b1y+1=6c12a2x-1+3b2y+1=6c2的解为．9如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“星星数”，如果一个五位数的千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“月亮数”；一个五位数A，规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为F A；若M=10020+10000a+ 2010b+100c+d为“星星数”，N=10000a+1000b+10c+512+d为“月亮数”(其中1≤a≤8，0≤b≤4，0≤c≤8，0≤d≤7，且a，b，c，d为整数)，则a+2b+d的值为；在此条件下，若F M+F N 的值能被13整除，则满足条件的M的值为．定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有a⊕b=a+3b 2．(1)若a=-2，b=6，则a⊕b的立方根是；(2)若不等式4⊕x≥5成立，则该不等式的解集是．10关于x的一元一次不等式组x-32≥2x+13-32x-m>5至少有3个整数解，且关于y的分式方程myy-2+2=-3y2-y有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为．11(2024·浙江宁波·模拟预测)已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足1<x1<x2<2．记t=a+b，则t的取值范围是．12已知，数轴上从左到右有三点A，B，C，它们在数轴上对应的数分别为a，b，c(a，b，c均不为整数)，且6<c-a<7，k<b<k+1(k为正整数)为正整数．在点A与点B之间的所有整数依次记为p1，p2，p3⋯，p m；在点B与点C之间的所有整数分别记为q1，q2，q3，⋯，q n．若p21+p22+p23+⋯+p2n=q21+q22+q23 +⋯+q2n，则k的值为．13如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为ts t>0．(1)当t=s时，PB=4；(2)若点P表示的数是x，当2x+4+2x-6的值最小时，则t的取值范围是．14已知a，b，c为正整数，且a>b>c若b+c，a+c，a+b是三个连续正整数的平方，则a2+b2+c2的最小值为．15如果p，q是非零实数，关于x的方程||2023x-2024|-p|=-q始终存在四个不同的实数解，则p+q |p+q|+p-q|p-q|+pq|pq|+p|p|+q|q|的值为．16已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当S=60时，t=．类型三函数求值17如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 在双曲线y =3x上，且0<x 1<x 2，分别过点A ，点B 作x 轴的平行线，与双曲线y =9x 分别交于点C ，点D ．若△AOB 的面积为94，则ACBD的值为．18如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，B -6,0 ，CB 与y 轴交于点D ，CD BD=14，点C 在反比例函数y =kxx >0 的图象上，且x 轴平分∠ABC ，则k 的值为．19如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点P m ,-14m 2+12m +2 ，定点A 4,0 、B 0,2 ，连结AB ．(1)点A 是否在点P 的运动路径上：；(填“是”或“否”)(2)若点P 只是在第一象限内运动，过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，当PQ 取得最大值时，点P 的坐标是．20如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x =AD ，y =AE +CD，y关于x的函数图象如图2，图象过点0,2．则：(1)BC=．(2)y关于x的函数图象的最低点的横坐标是．21(2024·浙江宁波·一模)如图，点A为反比例函数y=k1x(x>0)上一点，连结AO并延长交反比例函数y=k2x(x<0)于点B，且k2=9k1．点C在y轴正半轴上，连结CA并延长交x轴于点E，连结BC交x轴于点F，若ACAE=4，SΔCOB=10，则△COF的面积为．22如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A，OA=2，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数的图象于点A₁；过点A₁作A₁B₁⊥A₁B，交x轴于点B₁；再作B1A2∥BA1，交反比例函数的图象于点A₂，依次进行下去⋯根据以上信息，解答下列问题．(1)k的值为．(2)点A101的横坐标为．23给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点M x,y在反比例函数y1=1x上，若点A绕着M点旋转180°后得到点B，我们称B是A关于M的“伴随点”．若A2,t关于M的“伴随点”为B，由A、B和坐标原点构成的三角形是以OA为直角边的等腰直角三角形，则t的值是．24(2023·浙江温州·三模)如图1，为世界最大跨度铁路拱桥--贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度OA=400米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点E为抛物线最高点，立柱AB，CD，GH都与x轴垂直，BN∥OA，BC=120m，HF=40m，若F，G，O和B，D，O均三点共线．则立柱比HGCD =，以及EFAB=．25如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以3cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧作△PQH，且QH⊥AB，点H在射线AB上．设点P的运动时间为t(s)．△PQH与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2)，则当t=(s)时S最大；当t=(s)时S的值为38cm2．26一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中的x与y的部分对应值如下表：下列结论中一定正确的是(填序号即可)．①当n>0时，k<0；②当y的值随x值的增大而增大时，n<0；③当S△AOB=9时，n=-5或n=7；④当k<0时，直线AB与y轴相交于点C，则OC=3n+6 4．题型02规律探究类类型四数字规律探究27将实数-1,2,-3,4,-5⋅⋅⋅按图所示方式排列．若用m,n表示第m排从左向右第n个数，则4,3与23,20 表示的两数之和是．28小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：①从左至右按从小到大的顺序排列：②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是．29将正偶数按下表排列5列：第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224⋯⋯2826根据上面规律，则2000应在．30下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为．142638⋯a 1829320435bx31我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，14，18，⋯，12n 的长方形彩色纸片(n 为大于1的整数)，运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出12+14+18+⋯+12100=．32定义一种对正整数n 的“F 运算”：(1)当n 为奇数时，结果为3n +5；(2)当n 为偶数时，结果为n 2k(其中k 是使n2k为奇数的正整数)，并且运算重复进行．例如，取n =30，则：若n =420，则第2023次“F 运算”的结果是．33记S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，令T n =S 1+S 2+⋯+S nn，称T n 为a 1,a 2,⋯,a n 这数列的“理想数”．已知a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为2505，那么24，a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为．34观察下列算式：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；⋯⋯．用你所发现的规律，化简：(n +12)(n +13)(2n +25)6-(n +10)(n +11)(2n +21)6=(n 为正整数)．35斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第n 个数记为a n ，则1+a 3+a 5+a 7+a 9+⋅⋅⋅+a 2021与斐波那契数列中的第个数相同．类型五图形规律探究36如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，⋅⋅⋅⋅⋅⋅依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为．37如图，图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，⋯，按此规律排列下去，第⑧个图形中菱形的个数为．38如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为a 1，第2幅图形中“•”的个数为a 2，第3幅图形中“•”的个数为a 3，以此类推，则1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 18的值为.39如图，第一个正方形后，是用大小相等的小正方形拼成的大正方形，若第n 个、第m 个图形中正方形的个数分别记为S m 、S n ，m -n =a ，1<a <5，(-3)a <S m -S n <(-5)a ，则满足条件的所有n 值的和为．类型六函数规律探究40如图，在平面直角坐标系中，A 1,0 ，D 0,2 ，第1个正方形ABCD 面积记为S 1，第2个正方形A 1B 1C 1C 面积记为S 2，第3个正方形A 2B 2C 2C 1面积记为S 3，，以此规律，则第2023个正方形的面积S 2023=．41如图所示，已知直线与x 、y 轴交于B 、C 两点，A 0,0 ，在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，⋯则第n 个等边三角形的边长等于．42如图，在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A 1，A 2，A 3在x 轴上，延长A 3C 2交射线OB 1与点B 3，以A 3B 3为边作正方形A 3B 3C 3A 4；延长A 4C 3，交射线OB 1与点B 4，以A 4B 4为边作正方形A 4B 4C 4A 3；⋯按照这样的规律继续作下去，若OA 1=1，则正方形A 2021B 2021C 2021A 2022的面积为．43如图，已知点A 1，A 2，，A 2020在函数y =x 2位于第二象限的图象上，点B 1，B 2，，B 2020在函数y =x 2位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，，C 2020在y 轴的正半轴上，若四边形OA 1C 1B 1、C 1A 2C 2B 2，，C 2021A 2022C 2022B 2022都是正方形，则正方形C 2021A 2022C 2022B 2022的对角线长为．44如图所示，抛物线y =x 2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，将抛物线y =x 2沿直线l ：y =x 向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，⋯，M n 都在直线y =x 上；②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，则顶点M 2021的坐标为．45如图，在函数y=4xx>0的图象上有点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，点P1的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3、⋯，S n，则S n=．(用含n的代数式表示)46如图，点A1，A2，A3⋯在反比例函数y=1xx>0的图象上，点B1，B2，B3，⋯B n在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3⋯，则B n(n为正整数)的坐标是．题型03函数最值类类型七一次函数的最值问题47如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的中点．若动点C在x轴上，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP，则DP长度的最小值是．48如图，直线y=3x+3分别交x轴、y轴于点B、A，点M在x轴，将AM绕点A按逆时针旋转60°得到AN，连接BN，则BN的最小值为．49直线y=x+3与y轴和x轴分别交于A、B两点，点C是OB的三等分点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是．50在平面直角坐标系中，A2,0，C在直线y=x上运动，存在一点P，满足∠POA+∠OPA，B3,0OP的最小值为．=∠APB，则CP+1351已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为-1，如果△ABC为直角三角形，那么△ABC的面积的最大值为．类型八二次函数的最值问题52(23-24九年级上·浙江·期末)已知Rt△ABC的直角顶点C与原点O重合，点A，B都落在抛物线y=4x2上，则AB与y轴的交点为；若OD⊥AB于点D，则点D到点1,0的最大距离为．53已知关于x的二次函数y=-x-k2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为．54(2024·浙江杭州·模拟预测)若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点，面积的最小值为．55如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则PA+PO的最小值是．56(23-24九年级上·浙江嘉兴·期中)如图，抛物线y=x2-2x-3与轴交于两点，抛物线的顶点为，点为AB的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为．类型九反比例函数与其它函数的最值问题57如图，一次函数y=-x+b与反比例函数的图像相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为4，8．(1)k的值是；(2)将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C，连接并延长交x轴正半轴于点D，则的最大值是．58如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．线段的中点在反比例函数的图象上．若一次函数的图象与的图象有且只有一个第三象限的公共点，且与轴、轴分别交于、两点，试求出四边形的面积最小为．59如图，曲线是二次函数y=-x2+6x+3图像的一部分(其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点)，曲线是反比例函数()图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点是波浪线上的点，则；若点和是波浪线上的点，则的最大值为．60如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为．类型十一 一次函数的最值问题61如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一动点，现连接．记线段所围成的封闭区域(不有6个整点时，m的取值范围是．62在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是．63把a、b、c三个数按照从小到大排列，最大的数记作，例如，若直线与函数的图象有且只有1个交点，则k的取值范围是．64如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么△AOB内(含边界)的整点共有个．65某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是．类型十二二次函数的最值问题66若抛物线y=x2-x+m与轴交于不同的两点、，且，则的取值范围是．67已知点，，若抛物线y=ax2-2ax+4a≠0与线段恰有一个公共点，则a 的取值范围为．68(23-24九年级上·浙江金华·期末)定义：若x，y满足：，(k为常数)且x≠y，则称点为“好点”．(1)若是“好点”，则．(2)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为．69如图函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0图象是由函数y=ax2+bx+c a>0,b2-4ac>0的图像x轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是．；将图像向上平移个单位后与直线有个交点．70在平面直角坐标系中，为抛物线y=x2+4x+2上一点，为平面上一点，且位于点右侧．(1)此抛物线的对称轴为直线；(2)若线段与抛物线有两个交点，则的取值范围是．类型十三反比例函数的最值问题71在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．例如都是“黎点”．(1)当时，双曲线上的“黎点”为；(2)若抛物线(为常数)上有且只有一个“黎点”，则当时，的取值范围为．72定义新运算：，即的取值为a，b，c的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为．73对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和直线m ，给出如下定义：若图形M 上有点到直线m 的距离为d ，那么称这个点为图形M 到直线m 的“d 距点”．如图，双曲线C ：y =4x(x >0)和直线l ：y =-x +n ，若图形C 到直线l 的“2距点”只有2个，则n 的取值范围是．74如图是6个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作(为的整数)．函数的图象为．()若过点，则．()若过，则一定过另一点，则．()若使得这些点分布在它的两侧，且一侧个点一侧个点，请写出符合要求的的所有整数值：．75定义：在平面直角坐标系xOy 中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“n 阶积点”．例如，点为一次函数y =-32x +3图象的“92阶积点”．若y 关于x的一次函数y =nx +4n -6图象的“n 阶积点”恰好有3个，则n 的值为．76定义：平面直角坐标系xOy 中，点，点，若，，其中k 为常数，且k≠0，则称点是点的“k 级变换点”．例如，点-2,4 是点1,2 的“-2级变换点”．(1)若函数y =-4x的图象上存在点1,2 的“k 级变换点”，则k 的值为；(2)若关于x 的二次函数y =nx 2-4nx -5n (x ≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围是．77如图，在第一象限，反比例函数y =k 1x x >0 和y =k 2x x >0 的图象分别与直线l :y =25x 交于点，，过点A ，B 分别作轴，轴，垂足分别为C ，D ．(1)①k 1的值为．②图中阴影部分的面积为．(2)已知反比例函数y =m x x >0 的图象与直线l :y =25x 交于点，与抛物线y =-x 2+992x 交于点，，将点M ，N 之间的抛物线(不含端点)记为图象G ，则图象G 上的整点(横、纵坐标都是整数的点)有个．78定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．(1)在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有(填序号)；(2)若y 关于x 的一次函数y =ax -3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，则；(3)若y 关于x 的二次函数图象的“n 阶方点”一定存在，则n 的取值范围为．。

2021-2022年度重庆中考数学专题复习——二次函数线段最值问题基础篇1.如图，已知：抛物线l1：y＝－x2＋bx＋3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，其对称轴为x＝1，抛物线l2经过点A，与x轴交于另一），点E（5，0），交y轴于点D（0，−52（1）直接写出抛物线l2的解析式________；（2）点M为抛物线l2上一动点．作MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A 运动至点E的过程中，线段MN的最大值．2.如图，抛物线y＝x2-2x-3与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，C，F，G这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．3.已知顶点为A（2,4）的抛物线y=ax2 +bx+c经过点B（4,2）。

⑴求抛物线的解析式；⑵如图，设C、D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；⑶如图，直线CD交抛物线于另一点H，点Q为直线DH上方抛物线上的一个动点（点Q与D、H不重合），作QM⊥x轴，交直线DC为点M，求线段QM长度的最大值。

4.如图，抛物线C1：y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．点P为线段BC上一点．过点P作直线l⊥x轴于点F，交抛物线C1于点E．(1)求A、B、C三点的坐标．(2)当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值．(3)当PE取最大值时，把抛物C1向右．．平移得到抛物线C2，抛物线C2与线段BE交于点M，若直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，则抛物线C1应向右．．平移几个单位长度可得到抛物线C2?5.如图，二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）D是线段BC上的一个动点，过D点作y轴的平行线交抛物线于点N，求线段DN长度的最大值；（3）该抛物线的顶点为M，探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物y=-√33+2√33x+√3与x轴交于A，D两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解折式；（2）点P是BC上方抛物线上的一个动点，过P作PQ平行于x轴交BC于点Q，求线段PQ的最大值；（3）如图2，在（2）的条件下，当线段PQ的长度最大时，连接AC，将△AOC绕点O逆时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿x轴平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C”，连接A′P和C”P，在平移过程中，△A″PC″是否能为等腰三角形，若能，请直接写出所有符合条件的O′的坐标，若不能，请说明理由．7.已知：如图，抛物线y=ax2+4x+c经过原点O(0,0)和点A(3,3)，P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B(m,0)，并与直线OA交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；(3)过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．8.已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．9.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．10.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值；（3）如图2，设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．11.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，-3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC 交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当▵PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bc+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，5），过点D作DC⊥x轴，垂足2为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O，C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，NE⊥AD于点E，求NE的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t．是否存在t，使以点M，C，D，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．13.如图①，已知抛物线y=ax2+2√3x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左3侧），与y轴交于点C，点A坐标为（-1，0），点C坐标为（0，√3），点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求a，c的值；（2）求线段DE的长度；（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？14. 如图，直线y =x +2与抛物线y =ax 2+bx +6（a ≠0）相交于A （12，52）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．15. 如图，已知抛物线y =ax 2+bx +4（a ≠0）的对称轴为直线x =3，抛物线与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，已知点B 的坐标为（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 为线段BC 上方抛物线上的一点，点N 为线段BC 上的一点，若MN ∥y 轴，求MN 的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使得△ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出符合点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第11页，共1页。

专题11二次函数与单线段最值问题【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中,直线y＝mx﹣2m与x轴,y轴分别交于A,B两点,顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图,当m＝2时,点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A,B,C,D四点的坐标；②当△P AB面积最大时,求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0,m）,当点C在线段MB上时,①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．【例2】（2022•湖州）如图1,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是边长为3的正方形,其中顶点A,C 分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A,C两点,与x轴交于另一个点D．（1）①求点A,B,C的坐标；②求b,c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点,连结AP,过点P作PM⊥AP,交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC 上运动时,点M也随之运动．设BP＝m,CM＝n,试用含m的代数式表示n,并求出n的最大值．【例3】（2021•青海）如图,在平面直角坐标系中,直线y＝x+2与坐标轴交于A,B两点,点A在x轴上,点B在y轴上,C点的坐标为（1,0）,抛物线y＝ax2+bx+c经过点A,B,C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点,过点P作直线AB的垂线段,垂足为Q点．当PQ＝时,求P点的坐标．【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1,0）,B（3,0）,且与y轴交于点C（0,﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E,使△ACE为Rt△,若存在,试求点E的坐标,若不存在,请说明理由；（3）在平面直角坐标系中,存在点P,满足P A⊥PD,求线段PB的最小值．1．（2020•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0,c＜0）的对称轴为x＝4,C为顶点,且A（2,0）,C（4,﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2,作点C关于x轴的对称点C′,连接BC′,作直线x＝k交BC′于点M,交抛物线C于点N．①连接ND,若四边形MNDC′是平行四边形,求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时,请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4,作矩形HGOE,且E（﹣3,0）,H（﹣3,4）,现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移,设运动时间为t,得到矩形H′G′O′E′,连接AC′,若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分,请求出t的取值范围．2．（2018秋•宁城县期末）已知,如图,抛物线与x轴交点坐标为A（1,0）,C（﹣3,0）,（1）如图1,已知顶点坐标D为（﹣1,4）或B点（0,3）,选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2,在抛物线的对称轴DH上求作一点M,使△ABM的周长最小,并求出点M的坐标；（3）如图3,将图2中的对称轴向左移动,交x轴于点P（m,0）（﹣3＜m＜﹣1）,与抛物线,线段BC的交点分别为点E、F,用含m的代数式表示线段EF的长度,并求出当m为何值时,线段EF最长．3．（2021•桥西区模拟）如图1,抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1,0）,B两点,与y轴交于点C,且CO＝BO,连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,求线段DE的长度；（3）如图3,垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,连接CP,CD,抛物线上是否存在点P,使△CDE∽△PCF,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由．4．（2022•和平区二模）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2,4）,且经过坐标原点,与x轴负半轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C,若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合）,过点D作DE⊥x轴于点E,连接AO,DO,当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,求点D的坐标；（3）在（2）的条件下,当点D在第二象限时,在平面内存在一条直线,这条直线与抛物线在第二象限交于点F,在第三象限交于点G,且点A,点B,点D,到直线FG的距离都相等,请直接写出线段FG的长．5．（2022•鹿城区校级二模）如图,抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1,0）,B（5,0）,与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．（2）连结AD,点E是对称轴与x轴的交点,过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧）,过点F作FG ∥x轴交ED于点H,交AD于点G,求HF的长．6．（2021•南岗区模拟）如图,抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3,0）,B（4,0）,交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点,过点P作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,连接CG交x轴于点N,设点P的横坐标为t,ON的长为d,求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下,连接PB,将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD,点D恰好落在y轴上,点E在线段OB上,连接PE,点Q在EB的延长线上,且EQ＝PE,连接DQ交PE于点F,若PE＝3PF,求QN的长．7．（2021•凉山州模拟）如图1,在平面直角坐标系中,已知B点坐标为（1,0）,且OA＝OC＝3OB,抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A,B,C三点,其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2,点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点,过P点作PE⊥AC于E点,当PE的值最大时,求此时P点的坐标及PE的最大值．8．（2022•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,且OB＝3OA．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点,且△BCN的面积总小于△BCM的面积,求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点,P为第二象限的抛物线上的一点,连接BP、DP,分别交y轴于点E、F,若EF＝OC,求点P的坐标．9．（2021•乳源县三模）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5,0）,B（﹣1,0）两点,与y轴交于点C（0,）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点,连接AM,CM,求△AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点,过点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为点F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标．10．（2021•河池）在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A,B两点（A在B的右侧）,与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；（2）如图,直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D,交CA于点E,交x轴于点F,DG⊥CA于点G,若E为GA 的中点,求m的值．（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1,y1）,N（x2,y2）两点,其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0,结合函数图象,探究n的取值范围．11．（2021•桂林）如图,已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1,5）和点B（﹣5,m）,与x轴的正半轴交于点C．（1）求a,m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点,连接PB,P A,当＝时,求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M,使A,B两点到直线MC的距离相等？若存在,求出满足条件的点M的横坐标；若不存在,请说明理由．12．（2021•吉林）如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0,﹣）,点B（1,）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时,求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点,其横坐标为m,过点P作PQ∥x轴,点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P 与点Q不重合,且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时,直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．13．（2020•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点（点A在点B的左边）,交y轴负半轴于点C．（1）则点A的坐标为,点B的坐标为．（2）如图1,过点A的直线y＝ax+a交y轴正半轴于点F,交抛物线于点D,过点B作BE∥y轴交AD于E,求证：AF＝DE．（3）如图2,直线DE：y＝kx+b与抛物线只有一个交点D,与对称轴交于点E,对称轴上存在点F,满足DF＝FE．若a＝1,求点F坐标．14．（2020•哈尔滨模拟）如图,抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点,连接AC,tan C＝,5OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t,连接BQ交y轴于点E,连接CQ、CB,△BCQ的面积为S,求S 与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点,连接CQ,DH所在直线是抛物线的对称轴,连接QH,若∠BQC＝45°,HR∥x 轴交抛物线于点R,HQ＝HR,求点R的坐标．15．（2019•衡阳）如图,二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1,0）和点B（3,0）,与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时,线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在,求出此时点M的坐标；若不存在,请说明理由．16．（2020•天津）已知点A（1,0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a,b,m为常数,a≠0,m＜0）与x轴的一个交点．（Ⅰ）当a＝1,m＝﹣3时,求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m,0）,与y轴的交点为C,过点C作直线l平行于x轴,E是直线l 上的动点,F是y轴上的动点,EF＝2．①当点E落在抛物线上（不与点C重合）,且AE＝EF时,求点F的坐标；②取EF的中点N,当m为何值时,MN的最小值是？17．（2020•凉山州）如图,二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0,0）、A（1,0）、B（,）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD 的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQ⊥x轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长最大时,求点P的坐标．18．（2020•滨州）如图,抛物线的顶点为A（h,﹣1）,与y轴交于点B（0,﹣）,点F（2,1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0,﹣3）且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点P（m,n）到直线l的距离为d,求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4,3）,请在抛物线上找一点Q,使△DFQ的周长最小,并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．19．（2016•巴彦淖尔）如图所示,抛物线y＝ax2﹣x+c经过原点O与点A（6,0）两点,过点A作AC⊥x轴,交直线y＝2x﹣2于点C,且直线y＝2x﹣2与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式,并求出点C和点D的坐标；（2）求点A关于直线y＝2x﹣2的对称点A′的坐标,并判断点A′是否在抛物线上,并说明理由；（3）点P（x,y）是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA′于点Q,设线段PQ的长为l,求l与x的函数关系式及l的最大值．20．（2018•葫芦岛）如图,抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1,0）,点E（4,5）,与y轴交于点B,连接AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABO绕点O旋转,点B的对应点为点F．①当点F落在直线AE上时,求点F的坐标和△ABF的面积；②当点F到直线AE的距离为时,过点F作直线AE的平行线与抛物线相交,请直接写出交点的坐标．【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中,直线y＝mx﹣2m与x轴,y轴分别交于A,B两点,顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图,当m＝2时,点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A,B,C,D四点的坐标；②当△P AB面积最大时,求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0,m）,当点C在线段MB上时,①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A,B,C,D的坐标；①当m＝2时,代入上述坐标即可得出结论；②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E,设点P的横坐标为t,所以P（t,﹣t2+4t﹣2）,E（t,2t﹣4）．根据三角形的面积公式可得△P AB的面积,再利用二次函数的性质可得出结论；（2）由（1）可知,B（0,﹣2m）,C（0,﹣m2+2）,①y轴上有一点M（0,m）,点C在线段MB上,需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时,分别得出m 的取值范围即可；②根据①中的条件可知,分两种情况,分别得出BC的长度,利用二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴,y轴分别交于A,B两点,∴A（2,0）,B（0,﹣2m）；∵y＝﹣（x﹣m）2+2,∴抛物线的顶点为D（m,2）,令x＝0,则y＝﹣m2+2,∴C（0,﹣m2+2）．①当m＝2时,﹣2m＝﹣4,﹣m2+2＝﹣2,∴B（0,﹣4）,C（0,﹣2）,D（2,2）．②由上可知,直线AB的解析式为：y＝2x﹣4,抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．如图,过点P作PE∥y轴交直线AB于点E,设点P的横坐标为t,∴P（t,﹣t2+4t﹣2）,E（t,2t﹣4）．∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2,∴△P AB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3,∵﹣1＜0,∴当t＝1时,△P AB的面积的最大值为3．此时P（1,1）．（2）由（1）可知,B（0,﹣2m）,C（0,﹣m2+2）,①∵y轴上有一点M（0,m）,点C在线段MB上,∴需要分两种情况：当m≥﹣m2+2≥﹣2m时,可得≤m≤1+,当m≤﹣m2+2≤﹣2m时,可得﹣3≤m≤1﹣,∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．②当≤m≤1+时,∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3,∴当m＝1时,BC的最大值为3；当m≤﹣m2+2≤﹣2m时,即﹣3≤m≤1﹣,∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3,当m＝﹣3时,点M与点C重合,BC的最大值为13．∴当m＝1时,BC的最大值为3；当m＝﹣3时,BC的最大值为13．【例2】（2022•湖州）如图1,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是边长为3的正方形,其中顶点A,C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A,C两点,与x轴交于另一个点D．（1）①求点A,B,C的坐标；②求b,c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点,连结AP,过点P作PM⊥AP,交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时,点M也随之运动．设BP＝m,CM＝n,试用含m的代数式表示n,并求出n的最大值．【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A,B,C的坐标；②利用待定系数法求函数解析式解答；（2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA,列比例式可得n与m的关系式,配方后可得结论．【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形,∴A（3,0）,B（3,3）,C（0,3）；②把A（3,0）,C（0,3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：,解得：；（2）∵AP⊥PM,∴∠APM＝90°,∴∠APB+∠CPM＝90°,∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°,∴∠BAP＝∠CPM,∵∠B＝∠PCM＝90°,∴△MCP∽△PBA,∴＝,即＝,∴3n＝m（3﹣m）,∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3）,∵﹣＜0,∴当m＝时,n的值最大,最大值是．【例3】（2021•青海）如图,在平面直角坐标系中,直线y＝x+2与坐标轴交于A,B两点,点A在x轴上,点B在y轴上,C点的坐标为（1,0）,抛物线y＝ax2+bx+c经过点A,B,C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点,过点P作直线AB的垂线段,垂足为Q点．当PQ＝时,求P点的坐标．【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标,然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；（3）作PE⊥x轴于点E,交AB于点D,根据函数图象点P的位置分三种情况分别计算出P点的坐标即可．【解答】解：（1）当x＝0,y＝0+2＝2,当y＝0时,x+2＝0,解得x＝﹣2,∴A（﹣2,0）,B（0,2）,把A（﹣2,0）,C（1,0）,B（0,2）代入抛物线解析式,得,解得,∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）方法一：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2,即﹣x2﹣2x+2＞2,当函数y＝﹣x2﹣2x+2＝2时,解得x＝0或x＝﹣2,由图象知,当﹣2＜x＜0时函数值大于2,∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；方法二：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2,即﹣x2﹣x+2＞x+2,观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值,∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；（3）作PE⊥x轴于点E,交AB于点D,作PQ⊥AB于Q,①如图1,当P在AB上方时,在Rt△OAB中,∵OA＝OB＝2,∴∠OAB＝45°,∴∠PDQ＝∠ADE＝45°,在Rt△PDQ中,∠DPQ＝∠PDQ＝45°,∴PQ＝DQ＝,∴PD＝＝1,设点P（x,﹣x2﹣x+2）,则点D（x,x+2）,∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x,即﹣x2﹣2x＝1,解得x＝﹣1,∴此时P点的坐标为（﹣1,2）,②如图2,当P点在A点左侧时,同理①可得PD＝1,设点P（x,﹣x2﹣x+2）,则点D（x,x+2）,∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x,即x2+2x＝1,解得x＝±﹣1,由图象知此时P点在第三象限,∴x＝﹣﹣1,∴此时P点的坐标为（﹣﹣1,﹣）,③如图3,当P点在B点右侧时,在Rt△OAB中,∵OA＝OB＝2,∴∠OAB＝45°,∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°,在Rt△PDQ中,∠DPQ＝∠PDQ＝45°,∴PQ＝DQ＝,∴PD＝＝1,设点P（x,﹣x2﹣x+2）,则点D（x,x+2）,∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x,即x2+2x＝1,解得x＝±﹣1,由图象知此时P点在第一象限,∴x＝﹣1,∴此时P点的坐标为（﹣1,）,综上,P点的坐标为（﹣1,2）或（﹣﹣1,﹣）或（﹣1,）．【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1,0）,B（3,0）,且与y轴交于点C（0,﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E,使△ACE为Rt△,若存在,试求点E的坐标,若不存在,请说明理由；（3）在平面直角坐标系中,存在点P,满足P A⊥PD,求线段PB的最小值．【分析】（1）设二次函数的表达式为交点式,将点C坐标代入,进而求得结果；（2）先把AC,CE,AE的平方求出或表示出来,然后分为∠CAE＝90°,∠ACE＝90°及∠AEC＝90°,然后根据勾股定理逆定理列出方程,解方程,进而求得结果；（3）根据∠APD＝90°确定点P在以AD的中点为圆心,为半径的圆上,进一步求得结果．【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：y＝a（x+1）•（x﹣3）,∴a•（﹣3）＝﹣3,∴a＝1,∴y＝（x+1）•（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4,∴D（1,﹣4）；（2）存在点E,使△ACE是直角三角形,过程如下：设点E（1,m）,∵A（﹣1,0）,C（0,﹣3）,∴AC2＝10,AE2＝4+m2,CE2＝1+（m+3）2,当∠EAC＝90°时,AE2+AC2＝CE2,∴14+m2＝1+（m+3）2,∴m＝,∴E1（1,）,当∠ACE＝90°时,AC2+CE2＝AE2,∴11+（m+3）2＝4+m2,∴m＝﹣,∴E2（1,﹣）,当∠AEC＝90°时,AE2+CE2＝AC2,∴5+m2+（m+3）2＝10,∴m＝﹣1或﹣2,∴E3（1,﹣1）,E4（1,﹣2）,综上所述：点E（1,）或（1,﹣）或（1,﹣1）或（1,﹣2）；（3）设AD的中点为I,∵A（﹣1,0）,D（1,﹣4）,∴AD＝＝2,I（0,﹣2）,∴P A⊥PD,∴∠ADP＝90°,∴点P在以AD的中点I为圆心,为半径的圆上,∵BI＝＝,∴PB最小＝﹣．1．（2020•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0,c＜0）的对称轴为x＝4,C为顶点,且A（2,0）,C （4,﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2,作点C关于x轴的对称点C′,连接BC′,作直线x＝k交BC′于点M,交抛物线C于点N．①连接ND,若四边形MNDC′是平行四边形,求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时,请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4,作矩形HGOE,且E（﹣3,0）,H（﹣3,4）,现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移,设运动时间为t,得到矩形H′G′O′E′,连接AC′,若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分,请求出t的取值范围．【分析】【问题背景】A（2,0）,对称轴为x＝4,则点B（6,0）,则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x ﹣6）,将点C的坐标代入上式即可求解；【尝试探索】①四边形MNDC′是平行四边形,则MN＝DC′＝2,即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2,解得：k＝3或3,②MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k,即可求解；【拓展延伸】（Ⅰ）当t＝2时,矩形过点A,此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分；（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时,此时y＝H′E′＝4,即x2﹣4x+6＝4,解得：x＝4（舍去4﹣2）,即可求解．【解答】解：【问题背景】A（2,0）,对称轴为x＝4,则点B（6,0）,则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6）,将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a（4﹣2）•（4﹣6）,解得：a＝,故抛物线的表达式为：…①；【尝试探索】①点C′（4,2）,由点B、C′的坐标可得,直线BC′的表达式为：y＝﹣x+6…②,四边形MNDC′是平行四边形,则MN＝DC′＝2,设点N的坐标为：（x,k2﹣4k+6）,则点M（k,﹣k+6）,即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2,解得：k＝3或3,故k的值为：；②联立①②并解得：x＝0或6,故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6,MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k,∵0,故MN有最大值,最大值为；【拓展延伸】由点A、C′的坐标得,直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③,联立①③并解得：x＝2或8,即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8,（Ⅰ）当t＝2时,矩形过点A,此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分,（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时,此时y＝H′E′＝4,即x2﹣4x+6＝4,解得：x＝4（舍去4﹣2）,即x＝4+2,则t＝3+4+2＝7+2,故t的取值范围为：2≤t≤．2．（2018秋•宁城县期末）已知,如图,抛物线与x轴交点坐标为A（1,0）,C（﹣3,0）,（1）如图1,已知顶点坐标D为（﹣1,4）或B点（0,3）,选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2,在抛物线的对称轴DH上求作一点M,使△ABM的周长最小,并求出点M的坐标；（3）如图3,将图2中的对称轴向左移动,交x轴于点P（m,0）（﹣3＜m＜﹣1）,与抛物线,线段BC 的交点分别为点E、F,用含m的代数式表示线段EF的长度,并求出当m为何值时,线段EF最长．【分析】（1）根据顶点D坐标设其顶点式,再将点C（2）连接BC,交DH于点M,使△ABM周长最小,即AM+BM最小,先求出BC直线解析式,再令x＝﹣1,求得M（﹣1,2）；（3）由题意得出E（m,﹣m2﹣2m+3）,F（m,m+3）,据此可知EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）,再根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（﹣1,4）可设其解析式为y＝a（x+1）2+4,将点C（﹣3,0）代入,得：4a+4＝0,解得a＝﹣1,则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）连接BC,交DH于点M,此时△ABM的周长最小,当y＝0时,﹣（x+1）2+4＝0,解得x＝﹣3或x＝1,则A（1,0）,C（﹣3,0）,当x＝0时,y＝3,则B（0,3）,设直线BC的解析式为y＝kx+b,将B（0,3）,C（﹣3,0）代入得,解得：,∴直线BC解析式为y＝x+3,当x＝﹣1时,y＝﹣1+3＝2,所以点M坐标为（﹣1,2）；（3）由题意知E（m,﹣m2﹣2m+3）,F（m,m+3）,则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+,∴当m＝﹣时,线段EF最长．3．（2021•桥西区模拟）如图1,抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1,0）,B两点,与y轴交于点C,且CO＝BO,连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,求线段DE的长度；（3）如图3,垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,连接CP,CD,抛物线上是否存在点P,使△CDE∽△PCF,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由．【分析】（1）根据题意可求得点C,B的坐标,将A,B坐标代入抛物线解析式求出a,b的值,即可得到抛物线解析式；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b,将点C,B的坐标代入求得k,b的值,即可求得直线BC的解析式,再求DE即可；（3）根据△CDE∽△PCF,DE∥PF,可得：＝,设点P坐标为（t,﹣t2+2t+3）,点F坐标为（t,﹣t+3）,建立关于t的方程求解即可．【解答】解：（1）在抛物线y＝ax2+bx+3中,令x＝0,得y＝3,∴C（0,3）,∴CO＝3,∵CO＝BO,∴BO＝3,∴B（3,0）,∵A（﹣1,0）,∴,解得：,∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b,∵B（3,0）,C（0,3）,∴,解得：,∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3,∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点D坐标为（1,4）,∴当x＝1时,y＝﹣1+3＝2,∴E（1,2）,∴DE＝2；（3）∵PF∥DE,∴∠CED＝∠CFP,当＝时,△PCF∽△CDE,由D（1,4）,C（0,3）,E（1,2）,利用勾股定理,可得CE＝＝,DE＝4﹣2＝2,设点P坐标为（t,﹣t2+2t+3）,点F坐标为（t,﹣t+3）,∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t,CF＝＝t,∴＝,∵t≠0,∴t＝2,当t＝2时,﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3,∴点P坐标为（2,3）．4．（2022•和平区二模）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2,4）,且经过坐标原点,与x轴负半轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C,若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合）,过点D作DE⊥x轴于点E,连接AO,DO,当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,求点D的坐标；（3）在（2）的条件下,当点D在第二象限时,在平面内存在一条直线,这条直线与抛物线在第二象限交于点F,在第三象限交于点G,且点A,点B,点D,到直线FG的距离都相等,请直接写出线段FG的长．【分析】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0）,把点（0,0）代入,即可求解；（2）根据题意得OC＝2,AC＝4,设点D（x,﹣x2﹣4x）,则DE＝|﹣x2﹣4x|,OE＝﹣x,根据∠ACO＝∠DEO＝90°,可得当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE,分两种讨论,即可求解；（3）求出直线BD的解析式y＝x+14,直线BD与y轴交于（0,14）,可得过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11,交y轴于（0,11）,可得直线FG的的解析式为y＝x+,联立方程组,得到点F．G的坐标,即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线顶点的坐标为（﹣2,4）,∴设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0）,把点（0,0）代入得：0＝a（x+2）2+4．解得：a＝﹣1,∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x．令y﹣0,则﹣x2﹣4x＝0,解得：x1＝﹣4,x2＝0,∴点B（﹣4,0）,∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x．点B（﹣4,0）；（2）∵AC⊥x轴,点A（﹣2,4）,∴点C（﹣2,0）,∴OC＝2,AC＝4,∵∠ACO＝∠DEO＝90°,∴当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE,设D（x,﹣x2﹣4x）,①当∠AOC＝∠ODE时,△AOC∽△ODE,如图：∵∠AOC＝∠ODE,∴tan∠AOC＝tan∠ODE,∴＝＝2,∴＝2,∴﹣x＝2（x2+4x）或﹣x＝﹣2（x2+4x）,∴x1＝0（舍去）,x2＝﹣或x3＝0（舍去）,x4＝﹣,∴点D的坐标为（﹣,﹣）或（﹣,）；②当∠AOC＝∠DOE时,△AOC∽△DOE,如图：∵∠AOC＝∠DOE,∴tan∠AOC＝tan∠DOE,∴＝＝2,∴＝2,∴﹣2x＝x2+4x或2x＝x2+4x,∴x1＝0（舍去）,x2＝﹣6或x3＝0（舍去）,x4＝﹣2（舍去）,∴点D的坐标为（﹣6,﹣12）；点D（﹣6,﹣12）；综上所述,当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,点D的坐标为（﹣6,﹣12）或（﹣,﹣）或（﹣,）；（3）∵在（2）的条件下,点D在第二象限,∴点D的坐标为（﹣,）,直线BD的解析式y＝kx+m,∴,解得,∴直线BD的解析式y＝x+14,直线BD与y轴交于（0,14）,∴过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11,交y轴于（0,11）,∵点A,点B,点D,到直线FG的距离都相等,∴直线FG的的解析式为y＝x+,联立得,解得,,∴F（﹣,）,G（﹣5,﹣5）,∴FG＝＝．5．（2022•鹿城区校级二模）如图,抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1,0）,B（5,0）,与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．（2）连结AD,点E是对称轴与x轴的交点,过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧）,过点F作FG∥x轴交ED于点H,交AD于点G,求HF的长．【分析】（1）把点A（﹣1,0）,B（5,0）代入抛物线解析式即可求解；（2）延长FG交y轴于点I,根据A,E,D坐标求出AE＝3,DE＝9,在Rt△EAD中,tan∠EAD＝3,再根据四边形AGFE是平行四边形,得出tan∠EFH＝tan∠EAD＝3,设HF＝m,EH＝3m,易证四边形OIHE是矩形,把点F（m+2,﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5,求出m即可．【解答】解：（1）把点A（﹣1,0）,B（5,0）代入抛物线解析式,得：,解得：,∴y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9,∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5,顶点D坐标为（2,﹣9）；（2）延长FG交y轴于点I,∵A（﹣1,0）,E（2,0）,D（2,﹣9）,∴AE＝3,DE＝9,∴在Rt△EAD中,,∵EF∥AD,FG∥x轴,∴四边形AGFE是平行四边形,∴tan∠EFH＝tan∠EAD＝3,∴在Rt△EHF中,EH＝3HF,设HF＝m,EH＝3m,易证四边形OIHE是矩形,把点F（m+2,﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5,得,﹣3m＝（m+2）2﹣4（m+2）﹣5,解得：或m＝（舍去）,∴．6．（2021•南岗区模拟）如图,抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3,0）,B（4,0）,交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点,过点P作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,连接CG 交x轴于点N,设点P的横坐标为t,ON的长为d,求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下,连接PB,将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD,点D恰好落在y 轴上,点E在线段OB上,连接PE,点Q在EB的延长线上,且EQ＝PE,连接DQ交PE于点F,若PE＝3PF,求QN的长．【分析】（1）运用待定系数法即可得出答案；（2）设P（t,t2﹣t﹣4）,则G（1﹣t,t2﹣t﹣4）,利用tan∠GCH＝＝,求出CN,即可得出答案；（3）过点P作PT⊥x轴于点T,可证得△PDH≌△PBT（AAS）,过点F作x轴的垂线,垂足为K,过点D作KF的垂线,垂足为R,KR与PH交于点M,再证得△DRF≌△QKF（ASA）,过点Q作QW∥PD,可证得△DPF≌△QWF（AAS）,过点Q作QZ⊥PE于点Z,再证明△EQZ≌△EPT（AAS）,再利用HL证明Rt△QWZ≌Rt△PBT,设EB＝m,运用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3,0）,B（4,0）,∴,解得：,∴抛物线的解析式为；（2）如图1,设P（t,t2﹣t﹣4）,∵抛物线的对称轴为直线,PG∥x轴,∴点G与点P是抛物线上的一对对称点,∴G（1﹣t,t2﹣t﹣4）,设PG与y轴交于点H,则H（0,t2﹣t﹣4）,在抛物线中,令x＝0,得y＝﹣4,∴C（0,﹣4）,∴OC＝4,又CH＝t2﹣t﹣4﹣（﹣4）＝t2﹣t,GH＝t﹣1,∵tan∠GCH＝＝,∴,解得：,∴d与t之间的函数解析式为d＝；（3）如图2,过点P作PT⊥x轴于点T,∵∠DPB＝∠PHO＝∠HOB＝∠PTO＝∠PHD＝90°,∴四边形PHOT为矩形,∴∠HPT＝90°,∴∠DPH＝∠BPT,∵PD＝PB,∴△PDH≌△PBT（AAS）,∴DH＝BT,PH＝PT,∴,解得：t1＝6,t2＝﹣2（舍）,∴P（6,6）,∴DH＝BT＝2,ON＝d＝2,过点F作x轴的垂线,垂足为K,过点D作KF的垂线,垂足为R,KR与PH交于点M,∵PE＝3PF,∴EF＝2PF,∵cos∠PFM＝cos∠EFK,∴,∴FK＝2FM,∵∠MPT＝∠PTK＝∠TKM＝90°,∴四边形PMKT为矩形,∴MK＝PT＝6,∴FM＝2,FK＝4,同理四边形DHMR为矩形,∴DH＝RM＝2,RF＝FK＝4,∠R＝∠FKQ＝90°,∵∠DFR＝∠KFQ,∴△DRF≌△QKF（ASA）,∴DF＝QF,过点Q作QW∥PD,∴∠DPF＝∠QWF∵∠DFP＝∠WFQ,DF＝FQ,∴△DPF≌△QWF（AAS）,∴DP＝QW＝PB,PF＝WF,∴,过点Q作QZ⊥PE于点Z,∴∠EZQ＝∠PTE＝90°,∵∠PET＝∠QEZ,EP＝EQ,∴△EQZ≌△EPT（AAS）,∴PT＝QZ,EZ＝ET,∵QW＝PB,∴Rt△QWZ≌Rt△PBT（HL）,∴EW＝EB．设EB＝m,则EW＝WF＝FP＝m,∴EP＝3m,∵BT＝2,∴ET＝m+2,PT＝6,在Rt△EPT中,∵PE2＝ET2+PT2,∴（3m）2＝（m+2）2+62,解得：,m2＝﹣2（舍）,∴,∴BQ＝2BE＝5,∵OB＝4,∴OQ＝9,∵ON＝2,∴QN＝OQ+ON＝11．7．（2021•凉山州模拟）如图1,在平面直角坐标系中,已知B点坐标为（1,0）,且OA＝OC＝3OB,抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A,B,C三点,其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2,点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点,过P点作PE⊥AC于E点,当PE的值最大时,求此时P点的坐标及PE的最大值．【分析】（1）根据B点坐标为（1,0）,且OA＝OC＝3OB,得出B,C点的坐标,用待定系数法求解析式即可；（2）根据坐标求出三角形各边的长,利用勾股定理判断其为直角三角形,再用三角形面积公式求面积即可；（3）求出直线AC的解析式,过点P作PH∥y轴交AC于H,设出P点和H点坐标,用含x的代数式求出PE的值,根据二次函数性质求最值即可．【解答】解：（1）∵B点坐标为（1,0）,∴OB＝1,又∵OA＝OC＝3OB,∴OA＝OC＝3,∴A（﹣3,0）,C（0,﹣3）,将A,B,C三点代入解析式得,,解得,∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3,∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1,当x＝﹣1时,y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4,∴D点的坐标为（﹣1,﹣4）,∴|AD|＝＝2,|AC|＝＝3,|CD|＝＝,∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2,∴△ACD是直角三角形,S△ABC＝|AC|•|CD|＝×＝3；（3）设直线AC的解析式为y＝sx+t,代入A,C点坐标,得,解得,∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3,如右图,过点P作y轴的平行线交AC于点H,∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA＝45°,∵PH∥y轴,∴∠PHE＝∠OCA＝45°,设点P（x,x2+2x﹣3）,则点H（x,﹣x﹣3）,∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x,∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）×＝﹣（x+）2+,∴当x＝﹣时,PE有最大值为,此时P点的坐标为（﹣,﹣）．8．（2022•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,且OB＝3OA．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点,且△BCN的面积总小于△BCM的面积,求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点,P为第二象限的抛物线上的一点,连接BP、DP,分别交y轴于点E、F,若EF＝OC,求点P的坐标．【分析】（1）设A（x1,0）,B（x2,0）,因为OB＝3OA,所以x2＝﹣3x1,又由于x1,x2是方程mx2﹣2mx+3＝0的两根,所以x1+x2＝2,从而求出x1的值,得到A点坐标,代入到解析式中,求出m,即可解决问题；（2）由题意可得,只要求得第一象限内M点,使△BCM面积最大,过M作y轴平行线交BC于G点,设M（a,﹣a2+2a+3）,先求出直线BC的解析式,可以得到G（a,﹣a+3）,从而得的MG＝﹣a2+3a,利用S△MBC＝S△MGC+S△MGB,得到S△MBC＝,当a＝时,△MBC面积最大,从而求得M点坐标；（3）由EF＝得EF＝1,过D作DQ∥y轴交BP于Q点,设出P点坐标,求出D点坐标和直线BP解析式,从而表示出DQ的长度,由△PEF∽△PQD,利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比,。

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题例1．（2023•海曙区一模）对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，3）．①求顶点坐标；②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为；（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．例2．（2023春•上城区校级月考）设二次函数y＝ax2+4ax+4a+1，a为常数，且a＜0．（1）写出该函数的对称轴和顶点坐标．（2）若该函数图象经过点P（n，y1），Q（n+1，y2），当n≥1时，试比较y1和y2的大小关系．（3）若该函数图象经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1，当x2≥3时均有y1≥y2，请求出实数n的取值范围．例3．（2023春•顺义区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t﹣1＜x1＜t且t+1＜x2＜t+2时，存在y1＝y2，求t的取值范围．例4．（2023春•柯桥区月考）如图，已知二次函数y＝x2+ax+a+1的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值．②当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象直接写出m的值．1．（2023•深圳模拟）对于“已知x+y＝1，求xy的最大值”这个问题，小明是这样求解的：∵x+y＝1，∴y＝1﹣x，∴xy=x(1−x)=x−x2=−(x−12)2+14；∴xy≤14，所以xy的最大值为14．请你按照这种方法计算：当2n+m＝4（m＞0，n＞0）时，2m +1n的最小值．2．（2022秋•诸暨市期末）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．（1）求b，c的值；（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．3．（2022秋•漳州期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）．（1）求b、c的值；（2）当3≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值．4．（2023•来安县一模）已知关于x的二次函数y1＝（x+2a）（x﹣2b）（其中a，b为常数）．（1）若a＝1，该二次函数的图象经过点（﹣1，3），求b；（2）若a＝b﹣2．①若（﹣1，m）和（3，n）是该二次函数图象上的点，比较m和n的大小；②设一次函数y2＝﹣x+2b，当函数y＝y1+y2的图象经过点（c，0）时，探索b与c之间的数量关系，并加以推理．5．（2023•北仑区一模）抛物线y＝（x+1）（x﹣t）（t为常数）经过点A（4，5），B（m，n）．（1）求t的值；（2）若n＜5，求m的取值范围．6．（2023•秦皇岛一模）已知y ＝ax 2+bx +c 过点A （2，0），B （3n ﹣4，y 1），C （5n +6，y 2）三点，对称轴是直线x ＝1，关于x 的方程ax 2+bx +c ＝x 有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若B 点在直线x ＝1的左侧，C 点在直线x ＝1的右侧，且y 1＞y 2，求n 的取值范围；（3）若n ＜﹣5，试比较y 1与y 2的大小．7．（2022•无为市三模）已知抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 经过点A （1，y 1），B （2，y 2），C （3，y 3），连接AB 、BC ，令AB BC =λ．（1）若a ＞0，h ＝2，求λ的值；（2）若h ＝1，λ=√55，求a 的值．8．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy 中，点（﹣1，y 1）、（1，y 2）、（3，y 3）是抛物线y ＝x 2+bx +1上三个点．（1）直接写出抛物线与y 轴的交点坐标；（2）当y 1＝y 3时，求b 的值；（3）当y 3＞y 1＞1＞y 2时，求b 的取值范围．9．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．10．（2022•海淀区校级模拟）二次函数y＝ax2﹣2atx+c（a≠0）的图象经过A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C （1，y3），D（3，y4）四点．（1）求二次函数的对称轴（用含的代数式表示）；（2）已知t＝﹣1，若y2y3＜0，请直接判断y1y4的正负性，即y1y40（填“＞”或“＜”）；（3）若y3＞y2＞y4，求t的取值范围并判断y1，y2的大小关系．11．（2021•西湖区校级二模）已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）．（1）求b的值；（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）均在该函数图象上，①当m＝4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．12．（2021•安徽二模）二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求a，b的值；（2）点P为二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象上一动点，且位于第一象限，设△ABP的面积为S1，△CBP的面积为S2，记w＝S1﹣2S2+1，求w的最小值．13．（2023•龙湾区一模）如图，已知点C为二次函数y＝x2﹣4x+1的顶点，点P（0，n）为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B（点A在点B的左侧）．点M在射线PB上，且满足PM ＝1+n．过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为y N．（1）求顶点C的坐标．（2）①若n＝3，求MB的值．②当0＜n≤4时，求y N的取值范围．14．（2022•香洲区校级三模）直线y=−12x+1与x，y轴分别交于点A，B，抛物线的解析式为y＝2x2﹣4ax+2a2+a．（1）求出点A，B的坐标，用a表示抛物线的对称轴；（2）若函数y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；（3）取a＝﹣1，将线段AB平移得到线段A'B'，若抛物线y＝2x2﹣4ax+2a2+a与线段A'B'有两个交点，求直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围．＜0）上．（1）若m＝4，n＝﹣12，求抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）已知点A（1，y1），B（4，y2）在该抛物线上，且mn＝0．①比较y1，y2，0的大小，并说明理由；②将线段AB沿水平方向平移得到线段A'B'，若线段A'B'与抛物线有交点，直接写出点A'的横坐标x的取值范围．16．（2022•博望区校级一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0）．（1）求a的值；（2）若点B（m，n）与点C（m+1，n+1）都在抛物线y＝x2﹣2ax﹣3上，求m+n的值；（3）若一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1+y2的最小值．17．（2022•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0），（1）求二次函数对称轴；（2）若当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标．（3）抛物线上两点M（x1，y1），N（x2，y2）若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，求t的取值范围．﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．19．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x2，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．20．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．。

考向35 最值问题（“胡不归”和“阿氏圆”）【考点梳理】模型一：“胡不归”问题分析从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型展示：如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V +的值最小．121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．2驿道2MM将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．最值解法：在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．模型二：“阿氏圆”问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA:PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

模型展示：如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DB AC DC．MFED CB A证明：ABD ACD S BD S CD =V V ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC ⨯==⨯V V ，即AB DB AC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB AC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB AC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA k MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA k NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．模型最值技巧：计算PA k PB +g 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +g 的值最小，解决步骤具体如下：① 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OBA B C DE② 计算出这两条线段的长度比OP k OB=③ 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB =g ④ 则=PA k PB PA PC AC ++≥g ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值【题型探究】题型一：胡不归模型1．如图，在ABC V 中，90,60,4BAC B AB ∠=︒∠=︒=，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．122．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ．则PA +2PB 的最小值为 _____．3．抛物线2y ax bx =+x 轴于点()1,0A ，()3,0B -，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D ，点M 为线段OC 上的动点，点N 为线段AC 上的动点，且MN AC ⊥．(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN ，NC 在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M ，N 移动的过程中，DM ＋12MC 是否有最小值，如果有，请写出理由．题型二; “阿氏圆”模型4．如图，正方形ABCD 的边长为4，B e 的半径为2，P 为B e PD -的最大值是______．5．如图所示，60ACB ∠=︒，半径为2的圆O 内切于ACB ∠．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于ACB ∠的两边，垂足为M 、N ，则2PM PN +的取值范围为 ___________．6．如图1，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于AB 、两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()1,0-，抛物线的对称轴是直线32x =．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是直线BC 下方的抛物线上一个动点，是否存在点P 使四边形ABPC 的面积为16，若存在，求出点P 的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点B 作BF BC ⊥交抛物线的对称轴于点F ，以点C 为圆心，2为半径作C e ，点Q 为C e 上的一个动FQ +的最小值．【必刷好题】一、单选题7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（ ）A ．7B ．C ．4D ．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x ＋c 的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD PD ＋PC 的最小值是（ ）A ．4B ．2＋C ．D ．329．如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，=60B ∠︒，2AB =，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值（ ）A ．6+B ．6C 3D ．4二、填空题10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =x 轴、y 轴于A 、B 两点，若C 为x 轴上的一动点，则2BC +AC 的最小值为__________．11．如图，▱ABCD 中60A ∠=︒，6AB =，2AD =，P 为边CD 2PB +的最小值为______．12．如图，在ACE △中，CA CE =，30CAE ∠=︒，半径为5的O e 经过点C ，CE 是圆O 的切线，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，则12OD CD +的最小值为______．13．如图，在△ACE 中，CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，半径为5的⊙O 经过点C ，CE 是圆O 的切线，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），则OD 12+CD 的最小值为 _____．14．如图所示的平面直角坐标系中，(0,4)A ，(4,0)B ，P 是第一象限内一动点，2OP =，连接AP 、BP ，则12BP AP +的最小值是 ___________．15．如图，在O e 中，点A 、点B 在O e 上，90AOB ∠=︒，6OA =，点C 在OA 上，且2OC AC =，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则2CM DM +的最小值为 ___________．16．如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．17．如图，在Rt ABC V 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的»EF 上任意一点，连接BP ，CP ，则12BP +CP 的最小值是_____．18．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则PD ﹣12PC 的最大值为_____．三、解答题19．如图1，抛物线()()2330y ax a x a =+++≠与x 轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点(),0E m （04m <<），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．(1)求a 的值和直线AB 的函数表达式：(2)设△PMN 的周长为1C ，△AEN 的周长为2C ，若1265C C =求m 的值．(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为α（090α︒<<︒），连接E A '、E B '，求23E A E B ''+的最小值．20．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =108°，DE 垂直平分AB ，且交BC 于点D ，连接AD ．(1)证明直线AD 是△ABC 的自相似分割线；(2)如图2，点P 为直线DE 上一点，当点P 运动到什么位置时，PA +PC 的值最小？求此时PA +PC 的长度．(3)如图3，射线CF 平分∠ACB ，点Q 为射线CF上一点，当AQ 取最小值时，求∠QAC 的正弦值．21．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ACE∆面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA+的最小值．参考答案：1．D【分析】过点C 作射线CE ，使30BCE ∠=︒，再过动点D 作DF CE ⊥，垂足为点F ，连接AD ，在t R DFC △中，1130,,22()2()22DCF DF DC AD DC AD DC AD DF ∠=︒=+=+=+当A ，D ，F 在同一直线上，即AF CE ⊥时，AD DF +的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．【详解】解：过点C 作射线CE ，使30BCE ∠=︒，再过动点D 作DF CE ⊥，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在t R DFC △中，30DCF ∠=︒，∴12DF DC =，∵122()2AD DC AD DC +=+＝2()AD DF +，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF CE ⊥时，AD DF +的值最小，最小值等于垂线段AF 的长，此时，60B ADB ︒∠=∠=，∴ABD △是等边三角形，∴4===AD BD AB ，在t R ABC V 中，90,60,4A B AB ∠=∠=︒=︒，∴8BC =，∴4DC =，∴12,2DF DC ==，∴426AF AD DF =+=+=，∴2()212AD DF AF +==，∴2()AD DC +的最小值为12，故选：D ．【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．2．【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝21 2PA PB⎛⎫+⎪⎝⎭＝()12PF PB+＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝11301522BAC∠=⨯︒=︒，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝12 PA，∴PA+2PB＝212PA PB⎛⎫+⎪⎝⎭＝()12PF PB+＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4=∴（PA+2PB）最大＝2BF＝故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．3．(1)2y x=(2)NC=，见解析(3)【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）在Rt AOC V中，OC ，1OA =，根据MN AC ⊥，有90MNC ∠=︒，即可得tan OA MN OCA OC NC∠==，问题得解；（3）先求出30OCA ∠=︒，即60OAC ∠=︒，即有12MN CM =，则12DM MC +的最小值是DM MN +的最小值，即点D 到AC 的垂线段DN 的长，问题随之得解．【详解】（1）把点()1,0A ，()3,0B -代入抛物线2y ax bx =+0930a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为：2y x x =+（2）NC =，理由是：如图1，令0x =，则y =(C ，∵()1,0A，(C ，∴，OC =1OA =，在Rt AOC V中，OC =1OA =，∵MN AC ⊥，∴90MNC ∠=︒，∴tan OA MN OCA OC NC ∠==，MN NC=，∴NC =；（3）在M ，N 移动的过程中，12DM MC +由（2）知：tan OA OCA OC ∠===∴30OCA ∠=︒，即60OAC ∠=︒，∴12MN CM =，∴12DM MC +的最小值是DM MN +的最小值，即D 、M 、N 三点共线时，点D 到AC 的垂线段DN 的长，如图2，抛物线解析式为：2y x =∴对称轴是：=1x -，即()1,0D -，∴112AD OA OD =+=+=，在Rt ADN △中，60DAN ∠=︒，∴sin DN AD DAN =⨯∠=即12DM MC DM MN DN +=+==∴在M ，N 移动的过程中，12DM MC +【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．4．2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形PDM △，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得)PD PC PD PC PM ⎫-==-⎪⎪⎭，因为PC PM MC -≤，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP =连接MP ，证明BMP V:BPD △，在BC 上做点N ，使1=2BN BP ，连接NP ，证明BNP △:BPC △，接着推导出PD -，最后证明BMN V :BCD △，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形PDM △，连接MC ，BD ，∴45PDM ∠=，DM PM ==， 四边形ABCD 正方形∴45BDC ∠=︒，DB DC=又 PDM PDB MDB ∠=∠+，BDC MDB MDC∠=∠+∴PDB MDC∠=∠在BPD △与MPC V 中PDB MDC ∠=∠，DB DP DC DM==∴BPD △:MPCV∴PB MC = 2BP =∴MC =)PD PC PC PM ⎫-==-⎪⎪⎭PC PM MC-≤∴)2PD PC PM -=-≤=故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，B e 的半径为2∴=2BP ，BDBP BD在BD 上做点M ，使BM BP BM MP 在BMP V 与BPD △中=MBP PBD ∠∠，=BP BM BD BP∴BMP V :BPD△∴PM PD PD 21==42BP BC 在BC 上做点N ，使1=2BN BP ，则=1BN ，连接NP 在BNP △与BPC △中=NBP PBC ∠∠，=BN BP BP PC∴BNP △:BPC△∴1=2PN PC ，则=2PC PN ∴如图所示连接NM∴)2PD PN PN PM --- PN PM NM-≤∴)PD PN PM --≤在BMN V 与BCD △中=NBM DBC ∠∠，BM BC BN BD∴=BM BN BC BD∴BMN V :BCD△∴MN CD =4CD∴MN∴∴2PD -≤=故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．5．626PM PN -++…【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MH NP ⊥于H ，作MF BC ⊥于F ，如图所示，通过代换，将2PM PN +转化为12PN PM PN HP NH +=+=，得到当MP 与O e 相切时，MF 取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作MH NP ⊥于H ，作MF BC ⊥于F ，如图所示：PM AC ⊥ ，PN CB ⊥，90PMC PNC ∴∠=∠=︒，360120MPN PMC PNC C ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，18060MPH MPN ∴∠=︒-∠=︒，1cos cos 602HP PM MPH PM PM ∴=⋅∠=⋅︒=，12PN PM PN HP NH ∴+=+=，MF NH = ，∴当MP 与O e 相切时，MF 取得最大和最小，①连接OP ，OG ，OC ，如图1所示：可得：四边形OPMG 是正方形，2MG OP ∴==，在Rt COG V 中，tan 60CG OG =⋅︒=2CM CG GM ∴=+=+在Rt CMF △中，sin 603MF CM =⋅︒=3HN MF ∴==，即122262PM PN PM PN HN ⎛⎫+=+==+ ⎪⎝⎭；②连接OP ，OG ，OC ，如图2所示：可得：四边形OPMG 是正方形，2MG OP ∴==，由上同理可知：在Rt COG V 中，tan 60CG OG =⋅︒=2CM CG GM ∴=-=-，在Rt CMF △中，sin 603MF CM =⋅︒=3HN MF ∴==，即122262PM PN PM PN HN ⎛⎫+=+==- ⎪⎝⎭，626PM PN ∴-++…故答案为：626…PM PN-++【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．。