学而思高中数学4-最值问题之代数式的最值

微专题13 利用基本不等式求代数式的最值问题基本不等式是高中数学的一个重要知识点，在全国各地的高考考纲中都属于C 级(熟例题：(2017·苏锡常镇二模)已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，求a24－2a ＋b2－1b 的最小值．变式1若x>0，y>0，且x2＋y2＝1，则x 1－x2＋y1－y2的最小值是________________．变式2(2018·苏州调研三)设正实数x ，y 满足xy ＝x ＋9yy －x，则y 的最小值是________________．串讲1已知正实数x ，y 满足x ＋2x ＋3y ＋4y ＝10，则xy 的取值范围为________________．串讲2已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为________________．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________________．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，求4a －1＋16b －1的最小值．答案：16.解析：因为a>0，b>0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，2分则4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1） （b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1又4b ＋16a ＝4(b ＋4a)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4×b a ＋4a b ≥20＋4×2× b a ·4ab＝36，6分 微专题13例题答案：7.解法1a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 2＋4b 24－1，下面只要求a 2＋4b 2的最小值即可．因为a ＋2b ＝ab≥2ab ，所以ab≥8，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号；又a 2＋4b 2≥2(a·2b)≥32，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号，则a 2＋4b24－1≥7.解法2a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 2＋4b 24－1＝（a ＋2b ）2－4ab 4－1＝a 2b 2－4ab 4－1＝（ab －2）2－44－1；因为a ＋2b ＝ab≥2ab ，得ab≥8，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号，所以（ab －2）2－44－1≥7.解法3因为ab －a －2b ＝0，所以a ＝2b b －1.那么a 2＋4b 2＝4b 2＋4b 2（b －1）24⎣⎢⎡⎦⎥⎤（c ＋1）2＋（c ＋1）2c 2＝ 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2＋1c 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ＋2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c≥4(22a 2＋4b24－1≥7.解法4因为ab －a －2b ＝0，有2a ＋1b ＝1，则a 2＋4b 2＝(a 2＋4b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 2≥4ab·⎝ ⎛⎭⎪⎫22ab 2＝32.，则a 2＋4b24－1≥7.解法5因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，则a 2＋4b 2＝(a 2＋4b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 2＝a 2b 2＋16b 2a 2＋4a b ＋16b a a 2＋4b24－1≥7.解法6因为ab －a －2b ＝0，令a ＝m ＋n ，2b ＝m －n ，有m 2－n 2＝4m ，n 2＝m 22＋4b 2＝2(m 2＋n 2)＝2(2m 2－4m)＝4(m －1)2－4≥4(4－1)2a 2＋4b 24－1≥7.解法7因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，设a ＝2cos 2θ，b ＝1sin 2θ；那么a 2＋4b 2＝4cos 4θ＋4sin 4θ＝4·sin 4θ＋cos 4θsin 4θcos 4θ＝ 4·1－2sin 2θcos 2θsin 4θcos 4θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－2t ，其中t ＝ sin 2θcos 2θ＝sin 22θ4≤14，则4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－2t a 2＋4b 24－1≥7. 解法8因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，设a ＝2cos 2θ，b ＝1sin 2θ，那么a 2＋4b 2＝4cos 4θ＋4sin 4θ＝4⎣⎢⎡（sin 2θ＋cos 2θ）2sin 4θ＋ ⎦⎥⎤（sin 2θ＋cos 2θ）2cos 4θ＝4 ⎣⎢⎡sin 4θ＋cos 4θ＋2sin 2θcos 2θsin 4θ＋⎦⎥⎤sin 4θ＋cos 4θ＋2sin 2θcos 2θcos 4θ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋t 4＋2t 2＋2t 2＋1t 4＋1a 2＋4b 24－1≥7. 说明：也可利用幂平均不等式得到如下结果：4cos 4θ＋4sin 4θ＝ 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤13（sin 2θ）2＋13（cos 2θ）2≥4（1＋1）3（sin 2θ＋cos 2θ）2＝32. 变式联想变式1答案：2 2.解析：x 1－x 2＋y 1－y 2＝x y 2＋yx 2≥21xy ＝2xy≥2x 2＋y 22＝ 2 2. 变式2答案：3＋10.解析：由题意可知y －x ＝1y ＋9x ，即y －1y ＝x ＋9x ≥6，当且仅当x ＝3时，取等号；由y>0，y －1y ≥6可知y 2－6y －1≥0，解得y≥3＋10. 串讲激活串讲1答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，83.解析：设xy ＝k ，代入整理得10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k x ＋3k ＋2x ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k （3k ＋2），解得1≤k≤83.串讲2 答案：22. 解法1令a ＝1－x ，b ＝x ＋3，则a 2＋b 2＝4.又由－1≤x≤3可知a ，b ∈[0，2]．由（a ＋b ）24＝a 2＋2ab ＋b 2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2，当ab ＝0时，a ＋b ＝2；当ab≠0，（a ＋b ）24＝1＋2aba 2＋b 2＝1＋2b a ＋a b，由b a ＋a b ≥2得1<（a ＋b ）24≤2，即2<a ＋b≤2 2.综上可知，a ＋b∈[2，22]，m M ＝22.解法2y 2＝4＋24－（x ＋1）2∈[4，8]，∵y ≥0，∴y ∈[2，22]∴m＝α，M ＝22，∴m M ＝22. 解法3设1－x ＝2cos α，3＋x ＝2sin α，α∈[0，π2]，∴y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，∴y ∈[2，22]，下面同解法2. 新题在线答案：14.解析：由a －3b ＋6＝0可知a －3b ＝－6，且2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ，因为对于任意x ，2x>0恒成立，结合均值不等式的结论可得2a＋2－3b≥2×2a ×2－3b＝2×2－6＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2－3b，a －3b ＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，时等号成立．综上可得2a ＋18b 的最小值为14.。

关于代数式的最值求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可一概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。

一、 配方法例1. 设a 、b 为实数，那么a ab b a b 222++--的最小值是___________。

解：a ab b a b 222++--=+-+-a b a b b 2212()=+-+--()()a b b 12341122 因为()a b +-≥1202，34102()b -≥ 所以当a b +-=120且b -=10即a =0且b =1时，式子a ab b a b 222++--的值最小，最小值为－1。

二、 计算法例2. 已知：a b 221+=，b c 222+=，c a 222+=，则ab bc ca ++的最小值为（）A. 312- B. 123- C. --123 D. 123+解：由a b b c c a 222222122+=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪解得a b c =±=±=±⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪222262因为ab bc ca a b c a b c ++=++-++()()22222 =++-()a b c 2522所以只要||a b c ++最小，ab bc ca ++就最小，通过计算当a b ==2222，，c =-62；或a b c =-=-=222262，，时||a b c ++最小，最小值为262- 所以ab bc ca ++的最小值为()262522212645221232--=-+-=- 故选B注：也可把a 、b 、c 的值直接代入ab bc ca ++通过计算并比较，从而求出其最小值。

三、 消元法例3. 已知：x y 2221+=，则252x y +的最大值是___________，最小值是_________。

解：由x y 2221+=得y x 2212=- 所以1202-≥x 所以-≤≤11x所以25251222x y x x +=+⨯- =-++522522x x =--+522529102()x 所以当x =25时，252x y +的最大值为2910；当x =-1时，252x y +的最小值为－2。

数学最值题的常用解法在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：一. 二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有①若a >0当x ba =-2时，y 有最小值。

y acb amin =-442；②若a <0当x ba =-2时，y 有最大值。

y acb amax =-442。

利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的。

例1. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与x 的关系式分别为R x =+50030，P x =-1702。

（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）根据题意得 1750=-Px R()()1702500301750--+=x x x 整理得x x 27011250-+=解得x 125=，x 245=（不合题意，舍去） （2）由题意知，利润为Px R x x x -=-+-=--+2140500235195022()所以当x =35时，最大利润为1950元。

二. 一次函数的增减性一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

例2. 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？解：设招聘甲种工种的工人为x 人，则乙种工种的工人为()150-x 人，由题意得： 1502-≥x x 所以050≤≤x 设所招聘的工人共需付月工资y 元，则有：y x x x =+-=-+6001000150400150000()（050≤≤x ） 因为y 随x 的增大而减小所以当x =50时，y min =130000（元）三. 判别式法例3. 求x x x x 2211-+++的最大值与最小值。

求代数式的最值的解题策略田素伟(上海市泥城中学ꎬ上海２０１３００)摘㊀要:求最值与恒成立问题是高中数学中的一类非常重要的问题ꎬ在求某些代数式的最值时ꎬ常用的是二元变量的权方和不等式.关键词:权方和不等式ꎻ最值ꎻ等号成立中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００５２－０４收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:田素伟ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀求代数式的最值问题是高中数学中的一类非常重要的问题ꎬ在求某些代数式的最值时ꎬ特别是对于知和求和型 求最值ꎬ对于解决这类问题的关键是合理选择恰当的方法.在这类问题中如果能正确利用权方和不等式会起到事半功倍的效果ꎬ下面通过具体例题说明权方和不等式在求最值问题上的解题策略[１].１直接利用权方和不等式求最值例１㊀已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ满足２ａ＋ｂ＝４ꎬ则２ａ＋２＋２ｂ的最小值是.分析㊀为了使２ａ＋２＋２ｂ中分母的和为定值ꎬ对所求代数式进行变形使它出现２ａ＋ｂ＝４ꎬ所以变形为４２ａ＋４＋２ｂ就可以使用权方和不等式了.解析㊀由权方和不等式ꎬ得４２ａ＋４＋２ｂȡ(２＋２)２２ａ＋４＋ｂ＝６＋４２８＝３＋２２４ꎬ当且仅当２ａ＋ｂ＝４ꎬ２２ａ＋４＝２ｂꎬìîíïïï即ａ＝６－４２ｂ＝８２－８{时等号成立.所以２ａ＋２＋２ｂ的最小值为３＋２２４.评析㊀权方和不等式作为柯西不等式的分式形式ꎬ在求二元变量最值时有非常广泛的应用ꎬ权方和不等式:设ａꎬｂꎬｘꎬｙ>０ꎬ则ａ２ｘ＋ｂ２ｙȡ(ａ＋ｂ)２ｘ＋ｙꎬ当且仅当ａｘ＝ｂｙ时等号成立.利用权方和不等式求最值时的一般步骤:第一步:先看分式的分母之和是不是定值ꎬ分子之和是不是定值ꎬ若不是定值ꎬ能否通过变形后使之变成定值ꎻ第二步:使用权方和不等式公式ꎬ让分子的指数比分母大１即可ꎻ第三步:检验等号成立的条件.变式１㊀已知ａ>０ꎬｂ>０且满足ａ＋ｂ＝３ꎬ则２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０的最小值是.解析㊀因为已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ所以２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０ȡ(２０２２＋２０２２)２ａ＋２０２１＋ｂ＋２０２０＝４ˑ２０２２４０４４＝２ꎬ当且仅当２０２２ａ＋２０２１＝２０２２ｂ＋２０２０ａ＋ｂ＝３ꎬìîíïïïꎬ即ａ＝１ꎬｂ＝２{时等号成立.所以２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０的最小值为２.变式２㊀已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ且１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬ则２ａ＋ｂ的最小值为.解析㊀因为ａ>０ꎬｂ>０ꎬ１ａ＋２＋２ｂ＝２２ａ＋４＋２ｂȡ(２＋２)２２ａ＋ｂ＋４＝８２ａ＋ｂ＋４ꎬ又因为１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬ所以２３ȡ８２ａ＋ｂ＋４.所以２ａ＋ｂ＋４ȡ１２.即２ａ＋ｂȡ８ꎬ当且仅当２２ａ＋４＝２ｂꎬ１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬìîíïïïï即ａ＝１ꎬｂ＝６{时等号成立.所以２ａ＋ｂ的最小值为８.变式３㊀已知ｘ>０ꎬｙ>０满足１ｘ＋１ｙ＝１ꎬ则３ｘｘ－１＋４ｙｙ－１的最小值为.分析㊀通过变形再利用权方和不等式求最值.解析㊀因为３ｘｘ－１＋４ｙｙ－１＝３１－１/ｘ＋４１－１/ｙȡ３＋２()２１－１/ｘ＋１－１/ｙ＝７＋４３１＝７＋４３ꎬ当且仅当１ｘ＋１ｙ＝１ꎬ３１－１/ｘ＝２１－１/ｙꎬ{即ｘ＝２＋３２ꎬｙ＝２３＋３３{时等号成立.变式４㊀已知正实数ａꎬｂꎬ且ａ＋２ｂ＝２ꎬ求１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１的最小值.解析㊀由ａ＋２ｂ＝２可得ａ＝２－２ｂ.因为１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１＝１ａ＋１＋２－２ｂ＋１２ｂ＋１＝１ａ＋１＋４－(２ｂ＋１)２ｂ＋１＝１ａ＋１＋４２ｂ＋１－１ꎬ因为１ａ＋１＋４２ｂ＋１ȡ(１＋２)２ａ＋１＋２ｂ＋１＝９４ꎬ所以１ａ＋１＋４２ｂ＋１－１ȡ９４－１＝５４ꎬ当且仅当１ａ＋１＝２２ｂ＋１ꎬａ＋２ｂ＝２ꎬ{即ａ＝１３ꎬｂ＝５６ìîíïïïï时等号成立.㊀所以１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１的最小值是５４.变式５㊀已知ａ>０ꎬｂ>０满足２ａ＋ｂ＝３ꎬ则２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２的最小值是.解析㊀因为２ａ＋ｂ＝３ꎬ所以２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋(ｂ２－４)＋２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋ｂ２－４ｂ＋２＋２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋ｂ－２＋２ｂ＋２＝２ａ＋ｂ－２＋１ａ＋２ｂ＋２＝１＋１ａ＋２ｂ＋２＝１＋２２ａ＋２ｂ＋２ȡ１＋２＋２()２２ａ＋ｂ＋２＝１３５ꎬ当且仅当２２ａ＝２ｂ＋２ꎬ２ａ＋ｂ＝３ꎬ{即ａ＝５４ꎬｂ＝１２{时等号成立.所以２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２的最小值是１３５２通过权方和不等式再利用换元和重要不等式求最值㊀㊀例２㊀已知ｘ>１ꎬｙ>１ꎬ则ｘ２ｙ－１＋ｙ２ｘ－１的最小值是.解析㊀设ｘ＋ｙ－２＝ｔ(ｔ>０)ꎬｘ２ｙ－１＋ｙ２ｘ－１ȡｘ＋ｙ()２ｘ＋ｙ－２＝ｔ＋２()２ｔ＝ｔ＋４ｔ＋４ȡ８ꎬ当且仅当ｘ＋ｙ－２＝２ꎬｘｙ－１＝ｙｘ－１ꎬ{即ｘ＝２ꎬｙ＝２{时等号成立.３与三角函数有关的问题求最值例３㊀己知锐角αꎬβ满足α＋β＝π６ꎬ则１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ的最小值为.分析㊀可以观察代数式１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ两个分母之和是一个常数ꎬ所以可用权方和不等式求最小值解析㊀因为己知锐角αꎬβ满足α＋β＝π６ꎬ所以１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβȡ(１＋３)２ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝１６ｓｉｎ(α＋β)＝１６ｓｉｎπ/６＝３２ꎬ当且仅当α＋β＝π６ꎬｃｏｓαｓｉｎβ＝３ｓｉｎαｃｏｓβ时等号成立.所以１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ的最小值是３２.评析㊀本题利用权方和不等式求最小值ꎬ简单明了ꎬ可以起到事半功倍的效果.４与函数性质有关的求最值例４㊀函数ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)的最小值为.解析㊀因为ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)ꎬ又因为０<ｘ<２０ꎬ所以４００－ｘ２>０.所以当０<ｘ<２０时ꎬｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２ȡ(２＋３)２ｘ２＋４００－ｘ２＝１１６ꎬ当且仅当２ｘ２＝３４００－ｘ２ꎬ即ｘ＝４１０时等号成立.所以函数ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)的最小值为１１６.评析㊀本题还可以先用换元法再利用基本不等式求解ꎬ但是计算量比较大.变式题㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)ꎬ若对任意的正数ａꎬｂꎬ满足ｆ(ａ)＋ｆ(３ｂ－１)＝０ꎬ则３ａ＋１ｂ的最小值为.分析㊀先求函数的奇偶性与单调性ꎬ再根据ｆ(ａ)＋ｆ(３ｂ－１)＝０ꎬ得ａ＋３ｂ＝１ꎬ最后根据权方和不等式求最值.解析㊀因为ｘ２＋１－ｘ>０恒成立ꎬ所以函数ｆｘ()的定义域为Ｒ.因为ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)ꎬ所以ｆ－ｘ()＝ｌｏｇ２ｘ２＋１＋ｘ().因为ｆｘ()＋ｆ－ｘ()＝ｌｏｇ２ｘ２＋１－ｘ()＋ｌｏｇ２(ｘ２＋１＋ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１＋ｘ)(ｘ２＋１－ｘ)＝０ꎬ所以ｆｘ()＋ｆ－ｘ()＝０.所以ｆｘ()＝－ｆ－ｘ().所以ｆｘ()为奇函数.又因为ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)在(－¥ꎬ０)单调递减ꎬ所以ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)单调递减ꎬｆ(ｘ)在ｘ＝０处连续ꎬ所以ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)在(－¥ꎬ＋¥)单调递减.因为ｆａ()＋ｆ３ｂ－１()＝０ꎬ所以ｆａ()＝ｆ１－３ｂ().所以ａ＝１－３ｂ.即ａ＋３ｂ＝１.所以３ａ＋１ｂ＝３ａ＋３３ｂȡ(３＋３)２ａ＋３ｂ＝１２１＝１２ꎬ当且仅当３ａ＝３３ｂꎬａ＋３ｂ＝１ꎬìîíïïï即ａ＝１２ꎬｂ＝１６ìîíïïïï时等号成立.所以３ａ＋１ｂ的最小值为１２.评析㊀易错点是利用权方和不等式求最值时ꎬ要注意必须验证等号成立的条件ꎬ若不能取等号则这个定值就不是所求的最值ꎬ这也是最容易发生错误的地方.５与数列有关的问题求最值例５㊀已知正项等比数列ａｎ{}满足ａ３＝ａ２＋２ａ１ꎬ若存在ａｍꎬａｎꎬ使得ａｍ ａｎ＝１６ａ２１ꎬ则１ｍ＋４ｎ的最小值为.分析㊀设等比数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ且ｑ>０ꎬ根据已知条件求出ｑ的值ꎬ由已知条件可得出ｍ＋ｎ＝６ꎬ再利用权方和不等式可求得１ｍ＋４ｎ的最小值.解析㊀设等比数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ则ｑ>０.由ａ３＝ａ２＋２ａ１可得ｑ２－ｑ－２＝０.因为ｑ>０ꎬ所以ｑ＝２.因为ａｍ ａｎ＝１６ａ２１ꎬ则ａ２１ ２ｍ－１ ２ｎ－１＝１６ａ２１.所以ｍ＋ｎ－２＝４.可得ｍ＋ｎ＝６.由已知ｍꎬｎɪＮ∗ꎬ所以１ｍ＋４ｎȡ(１＋２)２ｍ＋ｎ＝９６＝３２ꎬ当且仅当１ｍ＝２ｎꎬｍ＋ｎ＝６ꎬ{即ｍ＝２ꎬｎ＝４{时等号成立.所以１ｍ＋４ｎ的最小值为３２.６与向量有关的问题求最值例６㊀已知ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝ｍＯＢң＋２ｎＯＣң(ｍ>０ꎬｎ>０)ꎬ则２ｍ＋１ｎ的最小值为.分析㊀先根据三点共线ꎬ求出ｍ＋２ｎ＝１ꎬ再利用权方和不等式求最值.解析㊀因为ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝ｍＯＢң＋２ｎＯＣң(ｍ>０ꎬｎ>０)ꎬ所以ｍ＋２ｎ＝１.所以２ｍ＋１ｎ＝２ｍ＋２２ｎȡ(２＋２)２ｍ＋２ｎ＝８ꎬ当且仅当２ｍ＝２ｎꎬｍ＋２ｎ＝１ꎬìîíïïï即ｍ＝１２ꎬｎ＝１４ìîíïïïï时等号成立.所以２ｍ＋１ｎ的最小值为８.评析㊀因为ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝λＯＢң＋μＯＣңꎬ所以λ＋μ＝１.以上各题都是对于 知和求和型 求最值ꎬ是以不等式㊁三角㊁数列㊁向量为载体ꎬ实际上还是考查不等式性质的应用ꎬ可以转化为 １ 的应用来考查基本不等式ꎬ但是如果熟练掌握利用权方和不等式求最值ꎬ可以简化计算ꎬ使解题变得简单.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]。

代数式的最大最小值问题代数式的最大最小值问题，这个名字听起来好像有点儿吓人对吧？别急，今天咱们就轻松聊聊这块儿，保证让你一下子就能懂！其实啊，代数式最大最小值的这个问题，生活中其实到处都能看到。

你看，比如咱们每天出门，总得决定走哪条路吧？假如说你希望最快到达目的地，那你就得找到最快的路，这不就是最大值嘛；要是你为了省点时间，走一条稍微远点的路，也许还会有意外的发现，别有一番风味，这不就是最小值吗？就这么简单！咱得知道“最大值”和“最小值”是什么意思。

想象一下，如果你每天都在做一个选择题，每个选项都代表一个代数式的数值，那个最大值就像是选项中的“大佬”，而最小值呢，就是小小的“鸡肋”——虽然存在，但总是被大家忽视。

所以，所谓的最大最小值，根本就是找出在某个条件下，代数式能够取到的最“牛”的值，或者最“平凡”的值。

你可能会想，这个问题是怎么找的呢？其实也不复杂，真正要学的，关键就是抓住最重要的特征。

比如，给你一个代数式，你想知道它的最大值或者最小值，你得先明白它的形状。

就像你看风景，得知道是山还是水，才能判断风景的高低美丑。

代数式常常有不同的形式，最常见的就是二次函数，那它的图形就是个抛物线。

别担心，我说的是数学上的抛物线，不是你放个苹果下去会掉的那种！这条抛物线，要么开口向上，要么向下。

开口向上的时候，最低点就是最小值，开口向下的时候，最高点就是最大值。

这就好比你要找最值，你得看它向上飞还是向下掉，飞高了是最大，掉到谷底就是最小。

简单吧？更有意思的是，代数式的最大最小值并不总是直接就给你一个数，你得用一定的“技巧”来解开它。

像二次函数那种，解起来很直接。

比如说你有一个像 ( y = ax^2 + bx+ c ) 这样的二次函数，咱只需要看一下这个式子的系数，就能判断它的“性格”了！如果( a > 0 )，抛物线开口朝上，那最小值就出现在顶点；如果 ( a < 0 )，抛物线朝下，那最大值就在顶点。

关于代数式的最值求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可一概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。

一、 配方法例1. 设a 、b 为实数，那么a ab b a b 222++--的最小值是___________。

解：a ab b a b 222++--=+-+-a b a b b 2212()=+-+--()()a b b 12341122 因为()a b +-≥1202，34102()b -≥ 所以当a b +-=120且b -=10即a =0且b =1时，式子a ab b a b 222++--的值最小，最小值为－1。

二、 计算法例2. 已知：a b 221+=，b c 222+=，c a 222+=，则ab bc ca ++的最小值为（）A. 312- B. 123- C. --123 D. 123+解：由a b b c c a 222222122+=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪解得a b c =±=±=±⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪222262因为ab bc ca a b c a b c ++=++-++()()22222 =++-()a b c 2522所以只要||a b c ++最小，ab bc ca ++就最小，通过计算当a b ==2222，，c =-62；或a b c =-=-=222262，，时||a b c ++最小，最小值为262- 所以ab bc ca ++的最小值为()262522212645221232--=-+-=- 故选B注：也可把a 、b 、c 的值直接代入ab bc ca ++通过计算并比较，从而求出其最小值。

三、 消元法例3. 已知：x y 2221+=，则252x y +的最大值是___________，最小值是_________。

解：由x y 2221+=得y x 2212=- 所以1202-≥x 所以-≤≤11x所以25251222x y x x +=+⨯- =-++522522x x =--+522529102()x 所以当x =25时，252x y +的最大值为2910；当x =-1时，252x y +的最小值为－2。

【例1】 若0x >，则423x x++的最小值是_________．【例2】 设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．【例3】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是 ．典例分析代数式的最值【例4】 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【例5】 当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ．【例6】 正数a 、b 满足9a b =，则1a b+的最小值是 ．【例7】 若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．【例8】 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则的最大值为 ．【例9】 已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为【例10】 设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【例11】 设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值是 ．【例12】 已知()23200x y x y+=>>，，则xy 的最小值是 ．【例13】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．【例14】 0,0,4,a b a b >>+=求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【例15】设x，y，z为正实数，满足230x y z-+=，则2yxz的最小值是．【例16】已知x、y+∈R，且2520x y+=，当x=，y=时，xy有最大值为．【例17】若a、b+∈R，且1a b+=，则ab的最大值是，此时a=，b=．【例18】求函数2y=的最小值．【例19】 将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2s =梯形的周长梯形的面积，则s 的最小值是 ．【例20】 设实数x ，y 满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，则34x y的最大值是 ．【例21】 求函数y =的最小值．【例22】 求函数2211()1f x x x x x=++++的最小值．【例23】 已知3x ≥，求4y x x=+的最小值．【例24】 求函数2y =【例25】 函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3-D ．2-【例26】 ⑴求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值．⑵求y =的最大值．【例27】 ⑴求函数211ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．【例28】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值．⑵求2y =⑶求函数2y =的最值．【例29】 ⑴已知54x <，求函数11454y x x=-+-的最小值． ⑵求函数312y x x =--的取值范围．⑶求函数22(2)y x x =-的最大值．【例30】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222()≥a b a b x y x y+++，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0)2，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．【例31】 分别求2213()32(0)g x x x x x x =-++->和2213()32(0)f x x x x x x=+++->的最小值．【例32】 求函数422331x x y x ++=+的最小值．【例33】 函数()f x =的最大值为（ ）A ．25B ．12C D ．1【例34】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【例35】 设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为 ．【例36】设00，a b>>3a与3b的等比中项，则11a b+的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．1 4【例37】已知：0x>，求234xx+的最小值．【例38】已知：,,0,1x y z x y z>++=，求149x y z++的最小值．【例39】已知a、b、c+∈R且1a b c++=【例40】 求1111sin cos y a a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值π02a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．【例41】 若0,0a b >>，且2a b +=，求22a b +的最小值．【例42】 已知0,0a b >>，1a b +=2．【例43】 已知给定正数a ，b 和未知数x ，y ，且0x >，0y >，满足10a b +=，1a b x y+=，x y +的最小值为18，求a ，b 的值．【例44】 若，a b +∈R ，且1ab a b =++，分别求a b +和ab 的最小值．【例45】 若a 是12b +与12b -的等比中项，则22ab a b+的最大值为（ ）A ．1552 B ．42C D。

二次函数与代数式的最值二次函数是一种常见的数学函数，其代数式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a不等于0。

在二次函数中，最值是指函数的最大值或最小值，也就是函数图像所能达到的最高点或最低点。

在本文中，我们将探讨二次函数与代数式的最值，并进一步探究其应用和意义。

我们需要了解二次函数的图像特点。

对于二次函数y = ax^2 + bx + c，当a大于0时，函数图像开口向上，最值为最低点；当a小于0时，函数图像开口向下，最值为最高点。

因此，我们可以通过观察二次函数的a值来确定最值的性质。

接下来，我们来研究如何求解二次函数的最值。

对于开口向上的二次函数，最值为最低点，也就是函数图像的顶点。

顶点的横坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 求得，将该横坐标代入函数中即可得到最值的纵坐标。

同理，对于开口向下的二次函数，最值为最高点，也可以通过类似的方式求解。

在实际应用中，二次函数的最值具有广泛的应用。

例如，在物理学中，二次函数可以用来描述抛物线的轨迹，其中最值代表了抛物线的最高点或最低点的位置。

在经济学中，二次函数可以用来描述成本、利润等与数量之间的关系，最值则表示了最大利润或最小成本所对应的数量。

二次函数的最值还可以帮助我们解决一些实际问题。

例如，假设我们要建造一个长方形的围墙，给定一定的材料，我们需要确定围墙的长和宽，使得围墙的面积最大。

可以使用二次函数来建立面积与长和宽之间的关系，然后求解函数的最值，从而确定最佳的长和宽。

二次函数与代数式的最值在数学中具有重要的意义和应用。

通过研究二次函数的图像特点，我们可以确定最值的性质，并通过求解顶点来确定最值的具体数值。

在实际应用中，二次函数的最值可以帮助我们描述曲线的特征、解决实际问题等。

因此，深入理解二次函数与代数式的最值对于数学的学习和实际应用都具有重要的意义。

希望通过本文的介绍，读者能够对二次函数与代数式的最值有更深入的理解，并能将其运用到实际问题中去。

【例1】 若0x >，则423x x++的最小值是_________．【例2】 设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．【例3】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是 ．典例分析代数式的最值【例4】 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【例5】 当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ．【例6】 正数a 、b 满足9a b =，则1a b+的最小值是 ．【例7】 若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．【例8】 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则的最大值为 ．【例9】 已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为【例10】 设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【例11】 设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值是 ．【例12】 已知()23200x y x y+=>>，，则xy 的最小值是 ．【例13】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．【例14】0,0,4,a b a b >>+=求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【例15】 设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ．【例16】 已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x = ，y = 时，xy 有最大值为 ．【例17】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是 ，此时a = ，b = ．【例18】 求函数2y =的最小值．【例19】 将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2s =梯形的周长梯形的面积，则s 的最小值是 ．【例20】 设实数x ，y 满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，则34x y的最大值是 ．【例21】 求函数y =的最小值．【例22】 求函数2211()1f x x x x x=++++的最小值．【例23】 已知3x ≥，求4y x x=+的最小值．【例24】 求函数2y =的最小值．【例25】 函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3-D ．2-【例26】 ⑴求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值．⑵求y =的最大值．【例27】 ⑴求函数211ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．【例28】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值．⑵求2y =的最小值．⑶求函数2y =的最值．【例29】 ⑴已知54x <，求函数11454y x x=-+-的最小值． ⑵求函数312y x x =--的取值范围．⑶求函数22(2)y x x =-的最大值．【例30】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222()≥a b a b x y x y+++，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0)2，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．【例31】 分别求2213()32(0)g x x x x x x =-++->和2213()32(0)f x x x x x x=+++->的最小值．【例32】 求函数422331x x y x ++=+的最小值．【例33】 函数()f x =的最大值为（ ）A ．25B ．12C D ．1【例34】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【例35】 设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为 ．【例36】 设00，a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14【例37】 已知：0x >，求234x x +的最小值．【例38】 已知：,,0,1x y z x y z >++=，求149x y z ++的最小值．【例39】 已知a 、b 、c +∈R 且1a b c ++=【例40】 求1111sin cos y a a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值π02a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．【例41】 若0,0a b >>，且2a b +=，求22a b +的最小值．【例42】 已知0,0a b >>，1a b +=2．【例43】 已知给定正数a ，b 和未知数x ，y ，且0x >，0y >，满足10a b +=，1a b x y+=，x y +的最小值为18，求a ，b 的值．【例44】 若，a b +∈R ，且1ab a b =++，分别求a b +和ab 的最小值．【例45】 若a 是12b +与12b -的等比中项，则22ab a b+的最大值为（ ）A ．1552B ．42 C。

求函数最值问题及代数式最值问题（1）陕西省西乡二中 王仕林一、高中数学求最值问题分类：1、一次函数求最值；2、二次函数求最值；3、指、对数函数求最值；4、幂函数求最值；5、分式函数求最值；6、分段函数求最值；7、双沟函数求最值； 8、线性规划求最值； 9、；三角函数求最值；10、数列函数求最值； 11、含绝对值函数求最值； 12、超越性函数求最值；13、抽象函数求最值；二、求最值问题常用方法：1、单调性法；2、图象法；3、配方法；4、换元法；5、公式法；6、几何意义法；7、判别式法；8、线性规划法；三、求最值问题基本题型：1、求不含参的函数的最值问题；2、求含参数的函数的最值问题；3、已知含参函数的最值，求参数的值或范围；4、已知关于某两个变量的不等式恒成立问题，求另一个变量的值或范围； 下面将按照基本题型进行讲练：(一)求不含参函数的最值问题：例1、（一次函数求最值）①求函数()36(13)f x x x =-+-≤≤的最值。

方法1： 方法2：（二次函数求最值）②求函数()3)f x x =≤≤的最值。

方法：例2、（分式类函数求最值）①求函数12()(13)2x f x x x -=-≤≤+的最值。

方法1： 方法2：变式：ⅰ、求函数2()(13)2x f x x x =--≤≤+的最大和最小值。

方法1：图像法 方法2：斜率的几何意义ⅱ、求数列函数())f n n N *=∈的最大和最小值。

方法：图像法： ⅲ、求函数2cos 1cos +-=x x y 的最大和最小值。

ⅳ、求xx y cos 2sin 2--=的最大值和最小值．②求函数2()(0)2x f x x x =>+的最大值。

方法1：图像法； 方法2：斜率的几何意义变式：ⅰ、求函数22()(0)x f x x x+=>的最小值。

ⅱ、求函数1()(2)1f x x x x =+≥-的最小值。

ⅲ、求函数()f x = ⅳ、求函数2()f x =例3、（分式类函数求最值）设x 0,y 0,>>且21x y +=， ①求11x y +的最小值。

当涉及到代数式的最值问题时，我们通常需要找到使代数式达到最大或最小值的变量值。

这类问题可以通过以下步骤来解决：
1. 理解问题：仔细阅读问题并确保对所给信息有清晰的理解。

了解我们需要找到代数式的最大值还是最小值。

2. 定义变量：为问题中涉及的未知量或变量定义符号。

这将有助于建立代数式。

3. 建立代数式：使用定义的变量来建立与问题相关的代数式。

这可以涉及单个方程式或多个方程式的组合。

4. 求导（可选）：如果代数式是一个多项式或可导函数，我们可以通过对其求导来找到驻点（导数为零的点）。

这些驻点可能对应于最值点。

5. 解方程（可选）：如果我们有一个或多个方程式，我们可以使用代数方法来解方程组，找到方程式的解，这些解可能对应于最值点。

6. 分析边界：检查变量的取值范围。

例如，如果变量是实数，确定是否存在无界的情况，或者是否存在最大或最小的限制。

7. 使用数学工具：使用代数、图形或数值方法来找到代数式的最大或最小值。

这可能涉及求解方程，使用图形方法（例如绘制函数图像）或使用数值计算（例如迭代或优化算法）。

8. 验证答案：找到最大或最小值后，将其代入原始问题中，确保它们满足给定条件。

这些步骤将帮助您解决代数式的最值问题。

请提供具体的问题或代数式，以便我可以为您提供更详细的指导。

一年级寒假班第一讲突破加减竖式第二讲巧填算符初步第三讲剪拼图形第四讲图文代换第五讲巧移物体第六讲左右脑开发3（逻辑推理）第七讲期末测评二年级寒假班第一讲认识倍第二讲带余除法初步第三讲有趣的自然数串第四讲分割图像第五讲枚举法的妙用第六讲鸡兔同笼初步第七讲期末测评三年级寒假班第一讲角度初识第二讲速算与巧算之四则运算第三讲字母表示数第四讲和差倍第五讲倒退与图示第六讲方阵第七讲期末测评三年级春季班第一讲巧填算符第二讲小数的认识第三讲平行四边形与梯形第四讲年龄问题第五讲带余除法初步第六讲简单统计第七讲图形计数初步第八讲组合中的点线关系第九讲等差数列初步第十讲页码问题第十一讲标数法第十二讲简易方程—第十三讲简易方程应用第十四讲路程速度与时间第十五讲期末测评四年级暑假班第一讲简单抽屉原理第二讲奇数和偶数第三讲二次相遇问题第四讲应用题：假设法和还原法（鸡兔同笼，还原问题，方阵综合应用）第五讲应用题：图示法和对应法（年龄，盈亏，平均数综合）第六讲图形计数进阶第七讲余数和周期第八讲四边形中的基本图形第九讲体育比赛中的数学第十讲期末测评四年级秋季班第一讲定义新运算第二讲体育比赛中的数学问题第三讲图形计数进阶第四讲多位数计算第五讲等积变型第六讲一半模型第七讲最值问题初步第八讲数阵图初步—从幻方谈起第九讲平均数进阶第十讲破译乘除法竖式第十一讲方程和方程组第十二讲方程组解应用题第十三讲环形跑道第十四讲火车过桥第十五讲期末测评四年级寒假班第一讲小数巧算第二讲格点与割补第三讲数表从日历谈起第四讲第五种运算（乘方的认识，运算性质，平方差认识）第五讲质数合数初步第六讲包含与排除第七讲期末测评—四年级春季班第一讲等积变形第二讲整数与数列第三讲统筹和最优化第四讲加乘原理进阶第五讲最值问题进阶第六讲抽屉原理初步第七讲流水行船第八讲方程与方程组第九讲一半模型第十讲相遇与追及综合第十一讲平移、选择和对称第十二讲破译横式（奇偶分析，枚举试算）第十三讲进位制初步第十四讲数阵图进阶第十五讲期末测评五年级暑假班第一讲分数乘除第二讲分数加减第三讲棋盘中的数学第四讲枚举法进阶第五讲排列组合初步第六讲质数合数进阶（因数个数、因数个数的正反应用）第七讲列方程组解应用题第八讲牛吃草第九讲数阵图综合第十讲比和比例第十一讲比例模型第十二讲分组和配对（高斯求和，分组和配对思想）第十三讲容斥原理第十四讲必胜策略第十五讲期末测评五年级秋假班第一讲因数和倍数初步第二讲循环小数第三讲鸟头模型第四讲分数应用题第五讲电梯和发车—第六讲神奇的9第七讲蝴蝶模型第八讲排列组合进阶第九讲工程问题初步第十讲几何计数进阶第十一讲数字谜中的最值第十二讲燕尾模型第十三讲定义新运算进阶第十四讲方程法解行程第十五讲期末测评五年级寒假班第一讲长方体正方体第二讲数表—从杨辉三角谈起第三讲比例应用题第四讲时钟问题第五讲圆与扇形初步第六讲因数倍数进阶第七讲期末测评五年级春季班第一讲勾股定理第二讲分数四则混合运算第三讲带余除法进阶第四讲同余第五讲不定方程第六讲浓度问题第七讲圆与扇形进阶（弓，镰刀，谷子形，环形）第八讲完全平方数第九讲比较和估算第十讲比例法解行程第十一讲位值原理第十二讲立体图形和空间想象第十三讲概率初识第十四讲从反面情况考虑（几何，数论，计数中的反面情况考虑）第十五讲期末测评六年级暑假班第一讲分数列项第二讲归纳和递推（找规律计数，斐波那契数列，汉诺塔）第三讲切片与染色—第四讲韩信点兵第五讲应用题综合选讲（和差、年龄、盈亏、鸡兔、牛吃草）第六讲整数列项与通项归纳第七讲弦图第八讲逻辑推理综合第九讲数论中的组合（最值与计数）第十讲特殊图形（正六边形正十二边形的特征与性质）第十一讲从整体考虑（由换元发引出整体打包思想）第十二讲多次相遇和追及第十三讲应用题综合（分百、比例）第十四讲最值问题综合（最值定理、构造中的最值）第十五讲期末测评六年级秋假班第一讲数形结合（平方和公式、立方和公式、代数公式的几何表示）第二讲圆柱和圆锥第三讲复合图形分拆（模型复习、添加辅助线技巧）第四讲经济问题第五讲数论中的规律第六讲旋转与轨迹（圆柱和圆锥的旋转，圆中的滚动扫过面积）第七讲算两次（方程思想；综合其他模块，行程和计数）第八讲从极端考虑（几何、数论、行程中的极端思想）第九讲数字谜中的计数第十讲工程问题进阶第十一讲变速问题第十二讲进位制进阶第十三讲应用题综合三（复习经济、工程、浓度，方程思想）第十四讲抽屉原理进阶第十五讲期末测评六年级寒假班第一讲计算问题综合选讲（一）第二讲图形问题综合选讲（一）第三讲整数问题综合选讲（一）第四讲组合问题综合选讲第五讲应用题问题综合选讲第六讲行程问题综合选讲第七讲期末测评六年级春季班第一讲计算问题综合选讲（二）第二讲图形问题综合选讲（二）—第三讲整数问题综合选讲（二）第四讲计算问题综合选讲（三）第五讲图形问题综合选讲（三）第六讲整数问题综合选讲（三）第七讲计数数问题综合选讲第八讲小升初代数衔接第九讲小升初几何衔接第十讲小升初分班模拟考。

a b 2中学问题最值问题是历年高考的热点，也是学生学习的难点。

对于中学数学的常见最值问题，可归纳为以下几大块： 一、用函数的单调性求代数函数的最值（1）对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如x ∈[m ，n],则f （m ），与f （n ）中较大者为最大值，较小者为最小值。

（2）求二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在[m,n]上的最值时，先判定对称轴x= - 是否属于[m,n]，若x=- ∈[m,n],则f(m) , f(n) ,f(- 中较大者是最大值，较小者是最小值，若- [m,n]，则f(m)与f(n)中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数f(x)2ax 2+bx+c 的定义域为R ，当a>0时，有最小值y mn = ,岂a<0时，有最大值y max = ,例1、求函数y=x 2-2x-3在[ ， ]上的最值。

解：≧对称轴x=1∈[ , ]f ，而f( )= ,f(1)=-4, f( ∟ )= - . ≨f(x)max= f(x)min=-4 例2、（2004年北京卷） f(x)=ax2+bx+c 中，若a 、b 、c 成等比数列，且f(0)=-4,则f(x)有最________值（填“大”或“小”）且该值为_______。

解： ≧f(0)=-4 ≨c=-4ab 2a b 2ab ac 442-212521415-2547abac 442-212547-2≧a 、b 、c 成等比数列 ≨b2=ac=-4a 而b ≠0 则有a<0从而函数f(x)=ax2+bx+c 的图象的开口向下，故有最大值，其最大值为：f(x)max= = =-3. （3）对定义在[n,m]上的函数f(x)还可借助导函数值的符号判定其单调性，从而求得函数f(x)在[n,m]上的最值。

例3、已知函数f(x)= x ∈[1,+≦]当a= 时，求函数f(x)的最小值 （2004年上海）解：当a= 时， f(x)=x+ +2 ≧f / (x)=1- ≧x ∈[1,+≦] ≨f /(x)>0 ≨f(x)在[1，+≦]上是增函数 ≨f(x)在区间[1，+≦]上的最小值是 f(x)min =f(1)=二、有关三角函数最值的求法 （1）用三角函数的有界性求最值由于正弦函数，余弦函数均是有界函数，即： -1≤sinx ≤1 -1≤cosx ≤1,故在求三角函数有关的函数的最值时，可考虑把它转化为同一三角函数，然后运用三角函数的有界性求其最值。