代数题用几何求解的最值问题例子

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题【例1】求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少？初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。

绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。

绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。

绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。

众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。

设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜，由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜，由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。

一般说来，设f(x)=｜x-a₁｜+｜x-a₂｜+｜x-a₃｜+•••+｜x-a n｜，其中a₁≤a₂≤…≤a n，那么：当n为偶数时，f min(x)=f(a)，其中a n/2≤a≤a n/2+1；且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+•••+(a n/2+1-a n/2)=(a n+a n-1+••• a n/2+1)-(a1+a2+•••+a n/2)当n为奇数时，f min(x)=f(a（n+1）/2)；且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+•••+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】=【a n+a n-1+••• a(n+1）/2+1】-【a1+a2+•••+ a(n+1）/2-1】也就是说，偶数个绝对值相加，当x处于最中间的两个点所表示的数之间时，其值为最小，x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加，当x等于最中间那个点所表示的数时，其值为最小，x只有一个取值。

代数法求几何最值题目：代数法求几何最值导语：代数法是数学中的一种常用技巧，可以通过代数运算和方程求解的方法来求解几何问题中的最值。

在解决几何问题时，我们可以通过使用代数法，将几何问题转化为代数问题，从而更方便求解。

本文将详细介绍代数法在求解几何最值问题中的应用，并给出具体的步骤和例子，旨在帮助读者全面理解和掌握代数法求几何最值的方法。

一、代数法求几何最值的基本思想几何最值问题是指在几何图形中，求解与某个特定条件相关的最大值或最小值的问题。

通过使用代数法，可以将几何问题转化为代数问题，通过代数运算和方程求解的方法，找到与几何问题等价的数学表达式，从而求解几何最值问题。

代数法求几何最值的基本思想是：1. 确定几何问题中所涉及的变量和条件；2. 将几何问题转化为代数问题，建立数学模型；3. 使用代数运算和方程求解的方法，解决从而获取几何问题的最值。

二、代数法求几何最值的具体步骤代数法求几何最值的具体步骤如下：1. 分析几何问题，确定所涉及的变量和条件；2. 根据问题的几何特征，建立相应的数学模型；3. 将几何问题转化为代数问题，通过变量和条件建立数学表达式；4. 根据代数表达式，利用代数运算和方程求解的方法，找到与几何问题等价的数学表达式的最值；5. 根据最值问题的定义，解释最值对应的几何特性。

三、代数法求几何最值的例子例（1）：求给定周长条件下，矩形面积的最大值。

分析：假设矩形的长为x，宽为y，周长为2x+2y=C（C为常数）。

步骤：1. 建立数学模型：矩形的面积A为xy，周长为2x+2y=C；2. 转化为代数问题：建立方程2x+2y=C，将y表示为x的函数，得到y=C/2 - x；3. 代入面积表达式：将y代入A=xy，得到A=x(C/2 - x)=Cx/2-x^2；4. 求导数：对A求导数，得到A'=(C-2x)/2；5. 解方程：令A'=0，解得x=C/4；6. 确定最值：代入x=C/4到面积表达式A=C^2/16，得到最大面积。

【方法技巧】用绝对值的几何意义解题大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍．一、求代数式的最值例1 已知a是有理数，| a－2007|+| a－2008|的最小值是________．.解：由绝对值的几何意义知，| a－2007|+| a－2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和，要使和最小，则这点必在2007～2008之间（包括这两个端点）取值（如图1所示），故| a－2007|+| a－2008|的最小值为1.例2 |x－2|－| x－5| 的最大值是_______，最小值是_______．解：把数轴上表示x的点记为P．由绝对值的几何意义知，|x－2|－| x－5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差，当P点在2的左边时，其差恒为－3；当P点在5的右边时，其差恒为3；当P点在2～5之间（包括这两个端点）时，其差在－3～3之间（包括这两个端点）（如图2所示），因此，|x－2|－| x－5|的最大值和最小值分别为3和－3．二、解绝对值方程例3 方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为__________．解：把数轴上表示x的点记为P，由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1时，|x－1|+|x＋2|恒有最小值3，所以要使|x－1|+|x＋2|＝4成立，则点P必在－2的左边或1的右边，且到表示数－2或1的点的距离均为个单位（如图3所示），故方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为：x＝－2－＝－，x＝ 1+＝．三、求字母的取值范例4 若 |x+1|+|2－x|＝3，则x的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x－2|的最小值为3，此时x在－1～2之间（包括两端点）取值（如图4所示），故x的取值范围是－1≤x≤2．例5 对于任意数x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，则a 的取值范围是___________．解：由绝对值的几何意义知，|x＋2|+|x－4|的最小值为6，而对于任意数x，|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，所以a的最值范围是a＜6．四、解不等式例6 不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是__________．解：由绝对值的几何意义知，|x＋2|+|x－3|的最小值为5，此时x在－2～3之间（包括两端点）取值，若|x＋2|+|x－3|＞5成立，则x必在－2的左边或3的右边取值（如图5所示），故原不等式的解集为x＜－2或x＞3．五、判断方程根的个数例7 方程|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996共有（）个解．A.．4； B． 3； C． 2； D．1解：当x在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|＝98，|x＋2|＜98．此时，|x+1|+|x+99|+|x＋2|＜1996，故|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996时，x必在－99～－1之外取值，故方程有2个解，选（C）．六、综合应用例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+ y最大值与最小值．解：原方程变形得|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1||＝9，∵ |x＋2|+|x－1|≥3，|y－5|+|y+1|≥6，而|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1|＝9，∴|x＋2|+|x－1|＝3，|y－5|+|y+1|＝6，∴－2≤x≤1，－1≤y≤5，故x+ y的最大值与最小值分别为6和－3．。

高中数学：几何最值问题求法最值问题是平面解析几何中的一个既典型又综合的问题．求最值常见的方法有两种：代数法和几何法．若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目条件和结论能明显体现某种函数关系，则可先建立目标函数，再求函数的最值，这就是代数法．一、几何法利用平面几何性质求解最值问题，这种解法若运用得当，往往显得非常简洁明快．例1、已知P（x,y）是圆上的一点，求的最大值与最小值。

分析：，于是问题就可以转化为在以A（2，0）为圆心，以为半径的圆上求点P，使它与原点连线的斜率为最大或最小。

由示意图可知，当OP与此圆相切时，其斜率达到最大值或最小值。

由OA=2，AP1=AP2=，且AP1⊥OP1，AP2⊥OP2，OP1=OP2=1，且∠AOP1=∠AOP2=60°，得。

二、代数法用代数法求最值常用的方法有以下几种：1、利用判别式法求最值、利用此法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0所指的是在（）范围内方程有解，这一点应切记．例2、（同例1）分析：设，将y=kx代入圆方程得。

x为实数，方程有解，，解得，故。

即。

2、利用二次函数性质求最值．用此法求最值时，必须注意变量的取值范围．例3、已知椭圆及点P（0，5），求点P到椭圆上点的距离的最大值与最小值．分析：以（0，5）为圆心，若内切于椭圆的圆半径为r1，则r1为点P到椭圆上点的距离的最小值；若外切于椭圆的圆半径为r2，则r2为点P到椭圆上点的距离的最大值．因，故点P（0，5）在椭圆内部．设以（0，5）为圆心的圆方程为，与椭圆方程联立消去x2，得。

当时，，即；当y=7时，，即。

注：这里将距离的最大值、最小值的探求转化为半径r的函数，利用函数的性质求得定义域内的最大值、最小值．值得注意的是因为r的定义域的限制，这里不适合利用判别式法．3、利用基本不等式求最值．利用基本不等式求最值时，必须注意应用基本不等式的条件，特别要注意等号的条件以及“和”（或“积”）是不是常数，若连续应用不等式，那么要特别注意同时取等号的条件是否存在．若存在，有最值；若不存在，无最值．例4、过点A（1，4）作一直线，它在两坐标轴上的截距都为正数，且其和为最小，求这条直线的方程．分析：可用截距式设所求直线方程为。

最大值与最小值在数学问题中的应用在数学中，最大值和最小值是两个重要的概念，它们在各种数学问题中都有广泛的应用。

无论是在代数、几何还是概率统计等领域，最大值和最小值都扮演着重要的角色。

本文将探讨最大值和最小值在数学问题中的应用，并通过具体的例子来说明它们的重要性。

一、最大值和最小值在代数问题中的应用在代数中，最大值和最小值通常与方程和不等式相关。

考虑一个简单的方程问题：求解方程f(x) = 0的最大值和最小值。

在这种情况下，我们需要找到使得f(x)= 0的x值，其中f(x)是一个给定的函数。

最大值和最小值的概念可以帮助我们确定方程的解集。

例如，考虑方程x^2 - 4 = 0。

我们可以将f(x) = x^2 - 4表示为一个二次函数。

通过求导数，我们可以找到函数的极值点。

在这种情况下，极值点就是最大值和最小值。

通过求导数，我们可以得到f'(x) = 2x。

令f'(x) = 0，我们可以解得x = 0。

将x = 0代入f(x) = x^2 - 4，我们得到f(0) = -4。

因此，方程的最小值为-4。

类似地，我们可以通过求导数找到方程的最大值。

在这个例子中，方程的最大值为4。

通过求解方程f(x) = 0的最大值和最小值，我们可以得到方程的解集为{-2, 2}。

二、最大值和最小值在几何问题中的应用在几何中，最大值和最小值通常与图形的特征相关。

考虑一个简单的几何问题：求解一个矩形的最大面积。

在这种情况下，我们需要找到一个矩形的尺寸，使得它的面积最大。

假设矩形的长为L，宽为W。

矩形的面积可以表示为A = L * W。

我们可以通过求导数的方法找到矩形面积的最大值。

通过求导数，我们可以得到A' = W + L =0。

解这个方程，我们可以得到W = L。

因此，当长和宽相等时，矩形的面积最大。

这意味着一个正方形具有最大的面积。

通过求解矩形的最大面积问题，我们可以得到一个有趣的结论：在所有具有相同周长的矩形中，正方形具有最大的面积。

运用两点间的距离公式求最值两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式．根据题设条件，构设点的坐标，利用两点间的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答．现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明．一、求函数的最值例１求函数的最小值．分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数y的最小值，因为这两个根式各自的最小值是在不同的x处取得的．如果从代数的角度考虑，其解答将会比较繁琐，仔细观察式子的结构，改变式子的表示形式：，易联想到两点间的距离公式，从而将代数问题转化为几何问题来解决．解：如图1，在平面直角坐标系内，设点Ｍ（2，3），，．则即y≥5（其中等号在Ｍ，Ｐ，Ｎ三点共线时成立），∴．评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点间的距离公式，就会茅塞顿开．例2 求函数的最小值．分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点间的距离公式，则可简化解答过程．解：如图2，表示在平面直角坐标系中的动点到定点，，，的距离之和．而中，，当且仅当点P在线段AD上时等号成立；中，，当且仅当点P在线段BC上时等号成立，所以，当且仅当点Ｐ为与的交点时， f（x，y）取得最小值，此时点P的坐标为．二、求距离的平方和的最值例3 已知点，，点满足y=2x，求取得最小值时点P的坐标．分析：利用两点间距离公式将表示为的形式，再消元得一个关于x（或y）的二次函数，最后求值．解：由已知点满足，结合两点间的距离公式，得，当时，取得最小值3，此时点P的坐标为（1，2）．评注：对于几何中的平方和的最值问题，常是先由两点间的距离公式建立二元函数，然后通过消元转化为关于x（或y）的函数f（x）（或f（y）），再求解．一般地，对于根式内能化成两个完全平方式之和的问题，均可借助于两点间的距离公式，利用数形结合的思想来解决，这也是这类题型解法的创新之处．以上仅介绍了两点间的距离公式在求最值中的应用，而两点间的距离公式的应用是十分广泛的，随着学习的深入，它在其他方面的应用将会逐渐展现求函数的最值1．已知P(－2, －2), Q(0, 1), R(2, m)，若|PR|+|RQ|最小，则m的值为（A）（B）0 （C）－1 （D）－2．已知A(8, 6), B(2, －2)，在直线3x－y+2=0上有点P，可使|PA|+|PB|最小，则点P坐标为（A）(2, 0) （B）(－4, －10) （C）(－10, －4) （D）(0, 2)3．已知点A(1, 3), B(5, －2)，在x轴上取点P，使||PA|－|PB||最大，则点P坐标为 .4．函数y=的最小值为 .5求函数y＝＋的最小值．。

1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O的最大距离为【 】A ．21+B ．5C ．1455 5D ．522.在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 。

3.如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm 。

4. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范围是 ．5.如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm6.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最小值是 ．7.如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 A ． 1 B ．3C ． 2D ．3＋18. 如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为【 】A.（0，0） B.（21-，21-） C.（22，22-） D.（22-，22-）9. 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．10.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．11. 如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．12. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）13.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．（1）求证：△MDC是等边三角形；（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD 交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．14.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【】15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．16. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．17. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【】A．130° B．120° C．110° D．100°18. 点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得-的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最PA PB⋅＝．小的点，则OP OQ19. 阅读材料：例：说明代数式 22x 1(x 3)4++-＋的几何意义，并求它的最小值． 解： 222222x 1(x 3) 4 (x 0)1(x 3)2++-+=-++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则22(x 0)1-+可以看成点P 与点A （0，1）的距离，22(x 3)2-+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA ＋PB 的最小值，只需求PA′＋PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′＋PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32。

2020年第3期中学数学研究•51•综合上述探究，得出正确结论共有(2)(3)(4).点评：以上解题方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、四利用构造新的函数来达到消元的目的，方法二、三则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.3.解法反思含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元冋严2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.通过上述解法探究，可知用构造函数法求解极值点偏移问题大致可以分为以下三步：(1)求导，获得函数的单调性，极值情况，作出图像，由题意得知冋严2的范围(数学结合思想)；(2)构造函数：①幻+%2>(<)2x0型的结论构造函数/'(%)-/(2%-x);②t=x2-x x,t=竺换元构造函数；久1③替换函数法构造函数；④对数平均不等式构造函数；(3)求导，限定范围，判断符号，获得不等式，证明得出结论.构造直角三角形解代数最值问题江苏省泰州中学附属初中(225300)刘兴龙构造法是一种重要的数学思想方法，它可以根据问题的条件结构，构造出一个载体把所给的数学元素及其关系全面准确地载入，实现将已知问题转化的目的.此法新颖独特，对培养学生的联想、迁移、转化等思维有着十分重要的作用.本文主要介绍如何构造直角三角形解代数最值问题，供师生教学参考■例1设m、n、p是正数，且+n=p',求巴土2的最大值.p解：由已知条件知m、n、p均为正数，且rn2+n=p2,故可构造RtAABC如图1.在RtAABC中,sinA=—,cos4p(sinA+cos4)P二#sin(A+45°).而sin(A+45°)W1,二P #.故空土2的最大值为P评注：本题难度较大，用一般方法不易求解，且过程十分繁琐.于是考虑构造直角三角形将数转化为形，其构思精巧，令人耳目一新.例2求二次根式y=V%2-8%+25-Vx+1的最大值.解：如图2,将已知函数变形为y=y(4-X)2+323 -启+］，作佃=4,在二同侧作CA丄AB于A且CA=丄于B且DB=3.在图2AB上取点P,令AP=x,易知PD=7(4-x)2+32,PC=W+1.由CD3：1PD-PC I可知y的最大值为CD=/(3-I)2+42= 275.由少血5“呦,得(阳)：(旳)=1：3,解得PA=2.但AP与AP在4点异侧，与AP方向相反.所以％=-P'A=-2.即y取最大值时％的值为-2.评注:本题是一道数形结合的综合题,解题关键是应用勾股定理,相似三角形及不等知识，通过构造•52•中学数学研究2020年第3期直角三角形，使代数问题得以转化，从而化复杂为简单，化抽象为直观.例3已知实数a,6满足条件a>0,6>0,且a+b=4,求代数式+1+/>2+4的最小值.解：因为两个根号内都是岂p 平方和的形式，所以考虑构造直角三角形求解.如图3,作/AE丄丄AB,P是线段AP上的一个动点，设=4,AP=a,BP=b,AE=1,BD=2.过点E作EE丄于F,图3连接DE.根据勾股定理得PE=Va+1,PD=后+4.所以7a2+1+后+4=PE+PDMDE =^32+42=5.故+1+Vb2+4的最小值是5.评注：有些代数题，用代数方法很难解决，但如果抓住“数”与“形”之间的内在联系，就可赋“数”以“形”意，把抽象的数学关系转化为构造直角三角形.用几何图形的直观性，可使已知和结论间的关系变得更明确、更形象,从而使问题变得简单明了.例4求二次根式//+4+7(12-%)2+9的最小值.解:构造直角三角形2UPP和ADCP，使CP+ BP=12丄BC,CD丄BC,AB=2,CD=3.并设BP=力，则PC=12-x,由图44得AP+PD=囲+4+27(12-^)2+9，显然，当仲直+PD=AD时为最小值.为此，延长DC至E,使CE=连结AE.在直角三角形ADE中，AP+PD=AD=7122+52=13,故J/+4+最小值为13.评注：因为W+4、丿(12-%)2+9均与直角三角形的边相关联，故设想用勾股定理解之.又考虑到力与(12-%)之和为12,为此将这两线段放置在同一条线段上，构造出两个直角三角形(如图4).然后通过变形，合二为一，使问题得以转化.综上所述,构造直角三角形求代数式的最大值和最小值问题，其关键在于要从问题的背景出发，根据题设的结构特征，构造出相应的图形求解,有助于培养逻辑推理和直观想象能力.并且这种数形结合的方法，充分体现了数学的和谐美，实现了抽象思维与形象思维之间的转换，符合新课程改革的理念要求，对于启迪学生思维，开拓学生视野，提高综合解题水平大有益处•运用数形结合思想，不仅能直观发现解题捷径，而且能避免大量的计算和复杂的推理，大大简化解题过程，因此，在平常解题过程中，要多给学生渗透这种思想方法，多加强这方面的训练，以提高解题能力和速度，从而开拓学生的思维和视野.利用“同解方程”简化解析几何的运算江苏省海安市实验中学解析几何是指借助笛卡尔坐标系，利用方程来研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支•高中阶段所学曲线都是用方程来表示的，曲线上所有的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，即曲线的方程、方程的曲线.本文重点关注利用“同解方程”以减少解析几何的运算量.(226600)潘新峰—、同解原理原理：已知二次函数/(%)=a^2+b A x+C［、g(力)=a2x2+b2x+c2,若f(x1)=/(x2)=0且g(衍)=g(x2)=0,其中％#%2,则存在入e R且A MO,使得a】=Xa2^b1=Xb2^c1=Ac2-证明：因为g(%)=a2x2+b2x+c2,若/(冋)= /(%2)=0且g(%i)=g(%)=0,所以根据因式分解。