数学必修一学案1.2.1集合之间的关系

课题:§1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用V enn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。

教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。

教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2；（3）-1.5 R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn)(A B B A ⊇⊆或（二）A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三） 真子集的概念⊆若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。

记作：A B （或A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四） 空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五） 结论：○1A A ⊆ ○2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆ （六） 例题（1）写出集合{a ，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

1.2 集合的基本关系学习目标核心素养1.理解集合的包含与相等的含义．(难点) 2．能识别集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养．1．Venn图为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．2．子集文字叙述对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集．符号表示若a∈A⇒a∈B，则A⊆B．图形表示性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A．(3)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．思考1：符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：“∈”表示元素与集合的关系，而“⊆”表示集合与集合的关系．3．集合相等对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B．思考2：如何证明集合相等？提示：证明这两个集合互为子集．4．真子集对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作A B.1．设M＝{}1，2，3，N＝{}1，则下列关系正确的是( )A．N∈M B．N MC ．N ⊆MD ．N ⊇MC [由1∈M ，知N ⊆M .]2．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆DB [根据四边形的定义和分类，可知选B.] 3．集合{}0，1的子集有________个．4 [集合{}0，1的子集分别是∅，{}0，{}1，{}0，1.] 4．已知集合{}16⊆{}a 2，a ＋3，7，求实数a 的值．[解] (1)由已知，得16∈{}a 2，a ＋3，7，所以a 2＝16或a ＋3＝16，解得a ＝－4，4或13，当a ＝4时，a ＋3＝7，集合{}a 2，a ＋3，7的元素不满足互异性，所以，实数a 的值为－4，13.集合间的关系的判断【例1】 判断下列各组中集合间的关系．(1)A ＝{} |x x 是等腰三角形，B ＝{x |x 是等边三角形}； (2)A ＝{} |x x ()x －1＝0，B ＝{}0，1； (3)A ＝{} |x －1<x <4，B ＝{} |x x <5；(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝n ＋12，n ∈Z ，B ＝{x ⎪⎪⎪x ＝12n ＋1，n ∈Z }．[解] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故B A .(2)A ＝B .(3)把集合A 与B 在数轴上表示出来，根据定义易得A B . (4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝2n ＋12，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝n ＋22，n ∈Z ，又{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z {} |x x ＝n ＋2，n ∈Z ，所以AB .判断两集合关系的常用方法(1)化简集合，从元素的属性中寻找两集合间的关系； (2)利用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．提醒：在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn 图的应用，它可以直观地帮助我们发现集合间的关系．[跟进训练] 1．设A ＝{}|x x ＝2n －1，n ∈Z ，B ＝{}|x x ＝2n ＋1，n ∈Z ，C ＝{} |x x ＝4n －1，n ∈Z ，判断它们之间的关系．[解] 因为A ＝{} |x x ＝2n －1，n ∈Z ＝{x |x ＝2()n －1＋1，n ∈Z }⊆B ，B ＝{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z ＝{}x |x ＝2()n ＋1－1，n ∈Z ⊆A ，所以A ＝B .因为C ＝{} |x x ＝4n －1，n ∈Z ＝{x |x ＝2×2n －1，n ∈Z }⊆A ，又－3∈A ，但－3C ，所以C A .综上，C A ＝B .子集个数问题【例2】 已知{}1，2M ⊆{}1，2，3，4，5，试写出满足条件的所有集合M . [思路点拨] 先分析集合M 中元素的特点，然后分类列举．[解] 集合M 含有元素1，2，且含有3，4，5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：含有3个元素：{}1，2，3，{}1，2，4，{}1，2，5；含有4个元素：{}1，2，3，4，{}1，2，3，5，{}1，2，4，5； 含有5个元素：{}1，2，3，4，5. 故满足条件的集合M 共有上述7个集合．1．解决此类问题，一般先分析集合元素的特征，然后按集合元素个数分类列举． 2．若一个集合有n 个元素，则它有2n个子集；有2n－1个真子集．[跟进训练]2．已知集合B ＝{}1，2，A ＝{}x |x ⊆B ， (1)写出集合A ；(2)判断B 与A 的关系．[解] (1)集合B 的子集分别是∅，{}1，{}2，{}1，2，所以A ＝{}∅，{}1，{}2，{}1，2；(2)B A .集合间的关系的应用 [探究问题]1．已知{}x |－1≤x ≤1⊆{}x |a ≤x ≤b ，试求a ，b 满足的条件． 提示：a ≤－1且b ≥1.2．已知{}x |a ≤x ≤b ⊆{}x |－1≤x ≤1，试求a ，b 满足的条件． 提示：对集合{}x |a ≤x ≤b 是否为空集讨论， 当{}x |a ≤x ≤b 为空集，即a >b 时，满足题意； 当{}x |a ≤x ≤b 非空时，－1≤a ≤b ≤1， 故a ，b 满足的条件是a >b 或－1≤a ≤b ≤1.【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 将集合间的关系转化为元素间的关系，由于B 可能为空集，故需分B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上得m ≤4.1．对于本例中的集合A ，B ，是否存在实数m 使A ⊆B?[解] 若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<－22m －1>7 ，该不等式组无解，故实数m 不存在．2．若将本例中的“A ＝{x |－2≤x ≤7}”改为“A ＝{}x |x ≤－2，或x ≥7”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，2m －1≤－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，m ＋1≥1，解得m ≥6，综上得x ≤2或m ≥6.1．对于B ⊆A ，在未指明B 非空时，应分B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论．2. 对于B ≠∅这种情况，在确定参数的取值时，可借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，由集合之间的关系，列出关于参数的不等式，解不等式求出参数的取值范围．1．在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn 图的应用，它可以直观的帮助我们发现集合间的关系，这是数形结合思想的应用．2．若一个集合有n 个元素，则它的有2n个子集；有2n－1个真子集． 3．由集合间的关系求参数的取值范围时，要考虑空集是否符合题意．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空集是任何集合的真子集．( )(2)任何一个集合不可能是其自身的真子集． ( ) (3)任何一个集合至少有两个子集．( ) (4)若A 不是B 的子集，则A 中至少存在一个元素不属于B . ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．集合A ＝{}x ∈N |0≤x <3真子集的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8C [因为A ＝{}0，1，2，所以其真子集的个数是23－1＝7.]3．设x ，y ∈R ，A ＝{}()x ，y |y ＝x ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫()x ，y ⎪⎪⎪y x＝1，则集合A ，B 的关系是________．[答案] B A4．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． [解] (1)当A B 时，a >2. (2)当B ⊆A 时，1≤a ≤2.。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。

1.2 集合间的基本关系学习目标1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2．理解子集、真子集的概念；3．能使用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想.重点难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念；难点：属于关系与包含关系的区别．知识梳理1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 包含于B (或B 包含A ).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A B B A ⊆⊆且），那么我们称这两个集合相等.记作：A =B读作：A 等于B. 图示：2. 真子集 若集合A B ⊆,存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）3．空集不含有任何元素的集合称为空集,记作：∅.规定：空集是任何集合的子集.学习目标探究一子集1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：①A ={1,2,3},B ={1,2,3,4,5};②A 为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合, B 为这个班全体学生组成的集合; ③A ={x |x ＞2},B ={x |x ＞1}.2.子集定义：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中都是集合B 中的元素，我们就说这两个 集合有包含关系，称集合A 为集合B 的.记作：(A B B A ⊆⊇或）读作：(或“”)符号语言：任意有则.3.韦恩图（Venn 图）：用一条封闭曲线（圆、椭圆、长方形等）的内部来代表集合叫集合的韦恩图表示.牛刀小试1：图中A 是否为集合B 的子集？牛刀小试2：判断集合A 是否为集合B 的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×:①A ={1,3,5}, B ={1,2,3,4,5,6} ( )②A ={1,3,5}, B ={1,3,6,9} ( )③A ={0}, B={x | x 2+2=0} ( )④A ={a,b,c,d }, B ={d,b,c,a } ( )探究二集合相等BB A,A1.观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系（1）A ＝{x |x 是两条边相等的三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}；2.定义：如果集合A 的都是集合B 的元素，同时集合B 都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作.牛刀小试3：()(){}{}12012A x x x B A B =++==--，，.集合与什么关系？探究三真子集1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：(1)A ={1,3,5}, B ={1,2,3,4,5,6}；(2)A ={四边形}, B ={多边形}.2.定义：如果集合A ⊆B ,但存在元素，且，称集合A 是集合B 的真子集．记作：（或）读作：“A 真含于B ”（或B 真包含A ）.探究四空集1.我们把的集合叫做空集，记为φ，并规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集.即φB ，（B φ≠） 例如:方程x 2+1=0没有实数根,所以方程 x 2+1=0的实数根组成的集合为φ.问题：你还能举几个空集的例子吗？2.深化概念：（1）包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈有什么区别？（2）集合A B 与集合A B ⊆有什么区别？（3）0，{0}与 Φ三者之间有什么关系?3.结论：由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即.（2）对于集合A 、B 、C ，若,,A B B C ⊆⊆则（类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）. 例1.写出集合{a ，b }的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例2.判断下列各题中集合A 是否为集合B 的子集，并说明理由.(1)A ={1,2,3},B ={x |x 是8的约数}；(2)A ={x |x 是长方形}，B ={x |x 是两条对角线相等的平行四边形}达标检测1．集合A ＝{－1,0,1}，A 的子集中含有元素0的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．已知集合M＝{x|－3<x<2，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为( ) A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤，x∈N}3．①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．44．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是( )A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．——★ 参*考*答*案★——学习过程：探究一1.集合A的元素都属于集合B2.任何一个元素子集集合A含于集合B集合B包含集合Ax∈A，x∈BA⊆B牛刀小试1 集合A不是集合B的子集牛刀小试2 ①√ ②×③×④√探究二集合相等1.（1）中集合A中的元素和集合B中的元素相同．2.任何一个元素任何一个元素A=B牛刀小试3 A=B探究三真子集1.集合A中元素都是集合B的元素，但集合B有的元素不属于集合A.2.x∈Bx AA BB A探究四空集1.不含任何元素2.（1）前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系.（2） A = B或A B（3）{0}与Φ ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合.如Φ{0}不能写成Φ ={0}，Φ ∈{0}3.（1）（2）例1.解：集合{a，b}的子集：，{a},{b} ,{a, b}.集合{a，b}真子集：，{a},{b}.例2.解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集.三、达标检测1.『解析』根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}四个，故选B.『答案』B2.『解析』集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D.『答案』D3.『解析』①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.『答案』B4.『解析』由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，A⊆B，则{a|a≥2}．『答案』D5.『解』因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．。

1.2集合间的基本关系教学设计（人教A版）第一节通过研究集合中元素的特点研究了元素与集合之间的关系及集合的表示方法，而本节重点通过研究元素得到两个集合之间的关系，尤其学生学完两个集合之间的关系后，一定让学生明确元素与集合、集合与集合之间的区别。

课程目标1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2. 理解子集.真子集的概念．3. 能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

数学学科素养1.数学抽象：子集和空集含义的理解；2.逻辑推理：子集、真子集、空集之间的联系与区别；3.数学运算：由集合间的关系求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；4.数据分析：通过集合关系列不等式组，此过程中重点关注端点是否含“=”及 问题；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。

重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．难点：难点是属于关系与包含关系的区别．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、问题导入：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本7-8页，思考并完成以下问题1. 集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间的这些关系？2. 集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符号表示？3. 空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 （一）知识整理 1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A BB A ⊆⊇或读作：A 包含于B(或B 包含A).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A B B A ⊆⊆且），那么我们称这两个集合相等.记作：A =B 读作：A 等于B.图示：2. 真子集若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集。

1.2集合间的基本关系【学习目标】素养目标学科素养1. 理解子集、真子集、空集的概念；(重点)2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系；(难点)3. 掌握列举有限集的所有子集的方法。

1、逻辑推理2、直观想象3、数形结合【自主学习】一. 子集的相关概念1．Venn图表示：在数学中，经常用平面上___ ___ 的_____代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．优点：形象直观。

2.子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A B(或B A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素_________，就称集合A是集合B的真子集A B(或B A)集合相等如果集合A的元素都是集合B的元素，同时集合B的元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A B3.子集的性质(1)任何一个集合是它本身的，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么.二. 空集定义的集合叫做空集符号用符号表示为___规定空集是任何集合的，是任何非空集合的________A【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B.()(4)空集是任何集合的真子集．()2.已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()A．0⊆A B．{0}⊆A C．⊆⊆A D．{0}⊆A【经典例题】题型一集合间关系的判断点拨：判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴．例1 下列各式中，正确的个数是()⊆{0}⊆{0,1,2}；⊆{0,1,2}⊆{2,1,0}；⊆⊆⊆{0,1,2}；⊆⊆＝{0}；⊆{0,1}＝{(0,1)}；⊆0＝{0}．A．1B．2C．3D．4【跟踪训练】1(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是()A．M T B．M⊆T C．M＝T D．M ⊆T(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．题型二子集、真子集的个数问题点拨：公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集.(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集.(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集.(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集.例2 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例2-变式写出集合{a,b,c}的所有子集? 写出集合{a,b,c,d}的所有子集?【跟踪训练】2 满足{a，b}⊆A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是()A．2B．6 C．7D．8题型三根据集合的包含关系求参数点拨：1.分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．2.借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．3.此类问题要注意对空集的讨论．例3 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A．求实数m的取值范围．【跟踪训练】3 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝15，试判定集合A与B的关系；(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．【当堂达标】1.下列说法：⊆空集没有子集；⊆任何集合至少有两个子集；⊆空集是任何集合的真子集；⊆若⊆A，则A≠⊆.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2.已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为()A．2 B．4 C．6 D．83.设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．m>3 B．m≥3 C．m<3 D．m≤34.已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．5.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求由实数a的值组成的集合C.6.已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【课堂小结】1.知识点：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断.(2)求子集、真子集的个数问题.(3)由集合间的关系求参数的值或范围.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点.【参考答案】【自主学习】一．1.封闭曲线内部2.任意一个 ⊆⊇ x ∈B ，且x ∉A 任何一个 任何一个 ＝3.子集 A ⊆C二．不含任何元素 ∅ 子集 真子集 【小试牛刀】1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×2. D 解析：集合A ＝{x |－1－x <0}＝{x |x >－1}，所以0∈A ，{0}⊆A ，D 正确． 【经典例题】例1 B 解析：(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.【跟踪训练】1 (1)A 解析：因为M ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，又T ＝{－1,0,1}，所以M T . (2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn 图．如图例2 解：集合{a,b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a,b}. 真子集为∅，{a}，{b}.例2-变式：集合{a,b,c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}. 集合{a,b,c,d}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}， {b,d}，{c,d}，{a,b,c}，{a,b,d}，{a,c,d}，{b,c,d}，{a,b,c,d}.【跟踪训练】2 C 解析：由题意知，集合A 可以为{a ，b }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，b ，e }，{a ，b ，c ，d }，{a ，b ，c ，e }，{a ，b ，d ，e }．例3 解：(1)因为B ⊆A ，当B ＝⊆时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠⊆时，有⎩⎨⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.【跟踪训练】3 解：(1)由x 2－8x ＋15＝0得x ＝3或x ＝5，故A ＝{3,5}，当a ＝15时， 由ax －1＝0得x ＝5.所以B ＝{5}，所以BA .(2)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时a ＝0；当B ≠∅，a ≠0时，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 得1a ＝3或1a ＝5，所以a ＝13或a ＝15.综上所述，实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15 【当堂达标】1.B 解析：⊆空集是它本身的子集；⊆空集只有一个子集；⊆空集不是它本身的真子集；⊆空集是任何非空集合的真子集．因此，⊆⊆⊆错误，⊆正确．2.B 解析：根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．3.B 解析：因为A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x <m }，A ⊆B ，将集合A ，B 表示在数轴上，如图所示，所以m ≥3.4.A B解析：A ＝{x |x －3>0}＝{x |x >3}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥52. 结合数轴知A B .5.解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2. 所以A ＝{1,2}．因为B ⊆A ，所以对B 分类讨论如下：①若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0； ②若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}． 当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2； 当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}． 6.解：(1)因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1.当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}，满足B ⊆A ，故m ＝1. (2)当B ＝⊆时，只需2a >a ＋3，即a >3； 当B ≠⊆时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎨⎧ a ＋3≥2a a ＋3<－1或⎩⎨⎧a ＋3≥2a 2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.。

§1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系自主学习学习目标了解子集、真子集、空集的概念，掌握用V enn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义．自学导引1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中________________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作________(或________)，读作“____________”(或“____________”)．2．如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且________________________，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作________．3．如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的__________，记作________(或________)．4．________是任何集合的子集，________是任何非空集合的真子集．对点讲练知识点一写出给定集合的子集例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；(2)填写下表，并回答问题．原集合子集子集的个数∅{a}{a，b}{a，b，c}由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？规律方法(1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．(2)集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集．变式迁移1 已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M.知识点二 集合基本关系的应用例2 (1)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围；(2)本题(1)中，若将“B ⊆A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．规律方法 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．变式迁移2 已知A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＝1}，若B A ，求实数m 所构成的集合M .知识点三 集合相等关系的应用例3 已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值．规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，求a ，b .1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“＝”或“”等表示．2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则此时{1}∈B ，而不能是{1}B .3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：(1)当A ⊆B 时，A ＝B 或A B .(2)判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论．(3)解数集问题学会运用数轴表示集合．(4)集合与集合间的关系可用V enn 图直观表示.课时作业一、选择题1．下列命题①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A 时，则A ≠∅，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅3．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A4．若集合A ＝{x |x ＝n ，n ∈N }，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n 2，n ∈Z ，则A 与B 的关系是( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝B D ．A ∈B5．在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅{0}；③{0，－1,1}⊆{－1,0,1}；④0∈∅；⑤Z ＝{正整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，其中错误写法的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题6．满足{0,1,2}A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数是________．7．设M ＝{x |x 2－1＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，则a 的取值集合为________．8．若{x |2x －a ＝0，a ∈N }⊆{x |－1<x <3}，则a 的所有取值组成的集合为________________．三、解答题9．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a 、b 的值．10．已知集合A ＝{x |－2k ＋3<x <k －2}，B ＝{x |－k <x <k }，若A B ，求实数k 的取值范围．【探究驿站】11．已知集合M＝{x|x＝m＋16，m∈Z}，N＝{x|x＝n2－13，n∈Z}，P＝{x|x＝p2＋16，p∈Z}，请探求集合M、N、P之间的关系．§1.2集合之间的关系与运算1．2.1集合之间的关系答案自学导引1．任意一个A⊆B B⊇A A包含于BB包含A2．集合B是集合A的子集(B⊆A)A＝B3．真子集A B B A4．空集空集对点讲练例1 解(1)不含任何元素的集合：∅；含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；含有两个元素的集合：{0,1}，{0,2}，{1,2}；含有三个元素的集合：{0,1,2}．故集合{0,1,2}的所有子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．其中除去集合{0,1,2}，剩下的都是{0,1,2}的真子集．(2)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8这样，含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n －1，非空真子集的个数是2n－2.变式迁移1解由已知条件知所求M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．例2 解(1)∵B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1m ＋1≤42m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.(2)显然A ≠∅，又A ⊆B ，∴B ≠∅，如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1<m ＋12m －1<－3m ＋1>4，解得m ∈∅.变式迁移2 解 由x 2－5x ＋6＝0得x ＝2或x ＝3.∴A ＝{2,3}由B A 知B ＝∅或B ＝{2}或B ＝{3}若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{2}，则m ＝12；若B ＝{3}，则m ＝13. ∴M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13. 例3 解 方法一 ∵A ＝B∴集合A 与集合B 中的元素相同∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x y ＝y 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 2y ＝2x ， 解得x ，y 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝14y ＝12验证得，当x ＝0，y ＝0时，A ＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．∴x ，y 的取值为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12. 方法二 ∵A ＝B ，∴A 、B 中元素分别对应相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x ＋y 2，x ·y ＝2x ·y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y (y －1)＝0， ①xy (2y －1)＝0. ② ∵集合中元素互异，∴x 、y 不能同时为0.∴y ≠0.由②得x ＝0或y ＝12. 当x ＝0时，由①知y ＝1或y ＝0(舍去)；当y ＝12时，由①得x ＝14. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧ x ＝14，y ＝12.变式迁移3 解 由集合相等得：0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，易知a ≠0， ∴b a＝0，即b ＝0，∴a 2＝1且a 2≠a ，∴a ＝－1. 综上所述：a ＝－1，b ＝0.课时作业1．B [仅④是正确的．]2．B [∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3a ＋2≥5∴3≤a ≤4.]3．D [∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A .]4．A 5.B6．7解析 本题即求集合{3,4,5}的非空子集个数，共23－1＝7个．7．{－1,1,0}8．{0,1,2,3,4,5}9．解 ∵A ＝B 且1∈A ，∴1∈B .若a ＝1，则a 2＝1，这与元素互异性矛盾，∴a ≠1.若a 2＝1，则a ＝－1或a ＝1(舍)．∴A ＝{1，－1，b }，∴b ＝ab ＝－b ，即b ＝0.若ab ＝1，则a 2＝b ，得a 3＝1，即a ＝1(舍去)． 故a ＝－1，b ＝0即为所求．10．解 ∵A B ，①若A ＝∅，且B ≠∅，则k >0，且－2k ＋3≥k －2⇒0<k ≤53； ②若A ≠∅，且B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ k >0－2k ＋3<k －2－k ≤－2k ＋3k ≥k －2且－k ＝－2k ＋3与k ＝k －2不同时成立，解得53<k ≤3. 由①②可得实数k 的取值范围为{k |0<k ≤3}．11．解 M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }． N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }． P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }． ∵3n －2＝3(n －1)＋1，n ∈Z ，∴3n －2,3p ＋1都是3的整数倍加1，从而N ＝P .而6m ＋1＝3×2m ＋1是3的偶数倍加1，∴M N ＝P .。

2021-2022学年第二学期人教版必修一数学第2课《集合的基本关系》教案第一章集合与常用逻辑用语（1.2集合的基本关系教案）*课程数学 *课题集合的基本关系*教材人教版 *授课对象高一（18）班 *课时 2一、课标要求1.理解集合的之间的包含与相等关系。

2.能识别给定集合的子集和真子集。

3.在具体情境中了解空集的含义并会应用。

二、学情分析知识储备熟练掌握集合的相关概念及表示。

能力目标养成自主学习、合作交流、归纳总结的学习习惯，培养学生从具体到抽象、从一般到特殊的数学思维能力。

素养目标感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识。

落实学科养成学会分析问题、解决问题的良好习惯。

四、教学重难点教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．教学难点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．五、教学策略教法案例教学、情境教学法、启发式教学。

教学策略以解决现实问题为导向，分小组进行探究，并将结果分享交流，激发学生学习兴趣。

学习过程全程渗透职业教育理念，融入思政元素。

六、教学准备教学环境借助信息技术制作课件进行多媒体教学。

教学资源导学案、PPT、相关案例素材。

七、教学过程教学思路如图一图一教学思路课前体验导学教学内容：阅读课本7-8页，思考以下问题1. 集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间的这些关系？2. 集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符号表示？3. 空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？教师活动准备教学用到的素材。

学生活动设计意图培养学生的自学能力可有利于学生数学抽象思维能力的提高。

课中导入与分析（引入新课）教师活动问题l ：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；（2）设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；（3）设C={x|x 是两边相等的三角形}，D={x|x 是等腰三角形}； （4）{2,4,6},{6,4,2}E F ==；学生活动学生分小组讨论后自由发言。

1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的子集的个数是( )A.9B.8C.7D.6解析:∵x∈N,n∈N,∴集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}={1,3,5}.∴其子集的个数是23=8.答案:B2.已知P={0,1},M={x|x⊆P},则P与M的关系为( )A.P⫋MB.P∉MC.M⫋PD.P∈M解析:M={x|x⊆P}={⌀,{0},{1},{0,1}},故P∈M.答案:D3.设集合A={x∈Z|x<-1},则( )A.⌀=AB.∈AC.0∈AD.{-2}⫋A解析:A中⌀与集合A的关系应为⌀⊆A或⌀⫋A,B中∉A,C中0∉A,D正确.答案:D4.已知集合A=,集合B={m2,m+n,0},若A=B,则( )A.m=1,n=0B.m=-1,n=1C.m=-1,n=0D.m=1,n=-1解析:由A=B,得m2=1,且=0,且m=m+n,解得m=±1,n=0.又m≠1,∴m=-1,n=0.答案:C5.设集合M=,集合N=,则(A.M=NB.M⫋NC.N⫋MD.M不是N的子集,N也不是M的子集解析:集合M中的元素x=(k∈Z),集合N中的元素x=(k∈Z),当k∈Z时,2k+1代表奇数,k+2代表所有整数,故有M⫋N.答案:B6.若非空数集A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A⊆B成立的所有a的集合是( )A.{a|1≤a≤9}B.{a|6≤a≤9}C.{a|a≤9}D.⌀解析:∵A为非空数集,∴2a+1≤3a-5,即a≥6.又∵A⊆B,∴∴1≤a≤9.综上可知,6≤a≤9答案:B7.已知A={y|y=x2-2x-6,x∈R},B={x|4x-7>5},那么集合A与B的关系为.解析:对于二次函数y=x2-2x-6,x∈R,y最小==-7,所以A={y|y≥-7}.又B={x|x>3},由图知B⫋A.答案:B⫋A9.已知集合A={x|x=1+a2,a∈R},B={y|y=a2-4a+5,a∈R},试判断这两个集合之间的关系.解:因为x=1+a2,a∈R,所以x≥1.因为y=a2-4a+5=(a-2)2+1,a∈R,所以y≥1,故A={x|x≥1},B={y|y≥1},所以A=B.10.已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.(1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A⊆B?若存在,求出相应的a值;若不存在,试说明理由;(2)若A⊆B成立,求出相应的实数对(a,b).解:(1)不存在.理由如下:若对任意的实数b都有A⊆B,则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能.因为A={a-4,a+4},所以这都不可能,所以这样的实数a不存在.(2)由(1)易知,当且仅当时A⊆B.解得所以所求的实数对为(5,9),(6,10),(-3,-7),(-2,-6).。

1.1.2集合间的基本关系教案【教学目标】(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

(2)理解子集.真子集的概念。

(3)能使用venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.【教学重难点】重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.难点：难点是属于关系与包含关系的区别．【教学过程】一、导入新课问题l ：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断。

而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察.研探.二、新知探究问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；(2)设A 为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；(3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形(4){2,4,6},{6,4,2}E F ==.组织学生充分讨论.交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系:①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 含于B(或B 包含A).②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。

并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。

如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图.问题3：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论?教师引导学生通过类比，思考得出结论: 若,,A B B A A B ⊆⊆=且则.3、核对预习学案的答案 学生发言、补充，教师完整归纳。

⾼⼀数学必修⼀导学案及答案课题：1．1．1集合的含义与表⽰(1)⼀、三维⽬标：知识与技能:了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；掌握常⽤数集及其记法、集合中元素的三个特征。

过程与⽅法:通过实例了解,体会元素与集合的属于关系。

情感态度与价值观:培养学⽣的应⽤意识。

⼆、学习重、难点：重点：掌握集合的基本概念。

难点：元素与集合的关系。

三、学法指导：认真阅读教材P1-P3，对照学习⽬标，完成导学案，适当总结。

四、知识链接：军训前学校通知：8⽉13⽇8点，⾼⼀年级在操场集合进⾏军训动员；试问这个通知的对象是全体的⾼⼀学⽣还是个别学⽣？初中时你听说过“集合”这⼀词吗？你在学习那些知识点中提到了“集合”这⼀词？（试举⼏例）五、学习过程：1、阅读教材P2页8个例⼦问题1：总结出集合与元素的概念：问题2：集合中元素的三个特征：问题3：集合相等：问题4：课本P3的思考题，并再列举⼀些集合例⼦和不能构成集合的例⼦。

2、集合与元素的字母表⽰：集合通常⽤⼤写的拉丁字母A，B，C…表⽰，集合的元素⽤⼩写的拉丁字母a,b,c,…表⽰。

问题5：元素与集合之间的关系？A例1：设A表⽰“1----20以内的所有质数”组成的集合，则3、4与A的关系？B 例2：若+∈N x ，则N x ∈，对吗？六、达标检测：A 1.判断以下元素的全体是否组成集合：（1）⼤于3⼩于11的偶数；（）（2）我国的⼩河流；（）（3）⾮负奇数；（）（4）本校2009级新⽣；（）（5）⾎压很⾼的⼈；（）（6）著名的数学家；（）（7）平⾯直⾓坐标系内所有第三象限的点（）A 2.⽤“∈”或“?”符号填空：（1）8 N ；（2）0 N ；（3）-3 Z ；（4；（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A ； B 3.下⾯有四个语句:①集合N 中最⼩的数是1;②若N a ?-，则N a ∈;③若N a ∈，N b ∈，则b a +的最⼩值是2;④x x 442=+的解集中含有2个元素；其中正确语句的个数是（）A.0B.1C.2D.3B 4.已知集合S 中的三个元素a,b,c 是?ABC 的三边长，那么?ABC ⼀定不是（）A 锐⾓三⾓形B 直⾓三⾓形C 钝⾓三⾓形D 等腰三⾓形B 5. 已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当A a ∈，有6-a ∈A ，那么a 为（）A ．2 B.2或4 C.4 D.0B 6. 设双元素集合A 是⽅程x 2-4x+m=0的解集,求实数m 的取值范围。

1.2 集合间的基本关系课标要求素养要求理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养.教材知识探究草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.问题(1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？(2)集合A与集合B又存在什么关系？提示(1)集合A中的元素都是B的元素.(2)A是B的子集.1.子集的相关概念(1)子集、真子集、集合相等概念都是很重要的概念，一定要认真理解①子集的概念文字语言符号语言图形语言一般地，对于两个集合A ，B，如果集合AA B(或B A)中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集Venn图：我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.②集合相等一般地，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A B，且B A，则A＝B.③真子集的概念如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A).(2)空集注意区分与空集有关的符号：，0，{}，{0}一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集2.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.(2)对于集合A，B，C：①若A B，且B C，则A C；②若A B，B C，则A C；③若A B，A≠B，则A B.教材拓展补遗『微判断』1.1{1，2，3}.(×)提示“”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系.2.任何集合都有子集和真子集.(×)提示空集只有子集，没有真子集.3.和{}表示的意义相同.(×)提示是不含任何元素的集合，而集合{}中含有一个元素.『微训练』1.已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6}A，则m＝________.解析∵{6}A，∴6m－6＝6，∴m＝2.答案 22.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.解析由两个集合相等可知b＝0，a＝－1.答案－1，03.若{1，2}B{1，2，4}，则B＝________.解析由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}或{1，2，4}.答案{1，2}或{1，2，4}『微思考』1.A B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？提示A B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A ＝，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.2.符号“∈”与“”的区别是什么？提示符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系；而符号“”用于表示集合与集合之间的关系.3.集合A中有n(n∈N*)个元素，则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少？提示①由n个元素组成的集合有2n个子集；②由n个元素组成的集合有(2n－1)个真子集；③由n个元素组成的集合有(2n－1)个非空子集；④由n个元素组成的集合有(2n－2)个非空真子集.题型一集合关系的判断『例1』指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.解(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N M.规律方法判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.『训练1』 (1)集合A ＝{x |(x －3)(x ＋2)＝0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x x －3x ＋2＝0，则A 与B 的关系是( ) A.ABB.A ＝BC.A BD.B A(2)已知集合A ＝{x |x <－2或x >0}，B ＝{x |0<x <1}，则( ) A.A ＝B B.A B C.B AD.AB解析 (1)∵A ＝{－2，3}，B ＝{3}，∴B A .(2)在数轴上分别画出集合A ，B ，如图所示，由数轴知B A .答案 (1)D (2)C题型二 子集、真子集个数问题 通常采用一一列举的办法求解『例2』 (1)集合{a ，b ，c }的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.解析 集合{a ，b ，c }的子集有：，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，其中除{a ，b ，c }外，都是{a ，b ，c }的真子集，共7个. 答案，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c } 7(2)写出满足{3，4}P{0，1，2，3，4}的所有集合P .解 由题意知，集合P 中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P 为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}. 规律方法 1.假设集合A 中含有n 个元素，则有： (1)A 的子集有2n 个；(2)A 的非空子集有(2n －1)个； (3)A 的真子集有(2n －1)个； (4)A 的非空真子集有(2n －2)个. 2.求给定集合的子集的两个注意点：(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写； (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.『训练2』 已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集. 解 ∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，∴A ＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. ∴A 的子集有：，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.题型三 由集合间的包含关系求参数 此类题型中空集是常见的“雷区”『例3』 (1)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且BA .求实数m 的取值范围.(2)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B A ，求实数m 的取值集合. 解 (1)∵B A ，①当B ＝时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.(2)由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. ∴集合A ＝{1，3}.①当B ＝时，此时m ＝0，满足B A .②当B ≠时，则m ≠0，B ＝{x |mx －3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m .∵BA ，∴3m ＝1或3m ＝3，解之得m ＝3或m ＝1.综上可知，所求实数m 的取值集合为{0，1，3}.规律方法 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：①不能忽视集合为的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.『训练3』 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，集合B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}. (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若BA ，求a 的取值范围.解 (1)若A B ，由图可知a >2.(2)若BA ，由图可知1≤a ≤2.一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象和直观想象素养.2.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断AB 的常用方法.(2)不能简单地把“AB ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A＝时，则A 中不含任何元素；若A ＝B ，则A 中含有B 中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但xA.二、素养训练1.集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个解析根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 四个；故选B.答案 B2.已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为()A.P＝{－3，0，1}B.Q＝{－1，0，1，2}C.R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D.S＝{x||x|≤3，x∈Z}解析集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{－1，0，1}，不难发现集合P中的元素－3M，集合Q中的元素2M，集合R中的元素－3M，而集合S＝{－1，0，1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S M.故选D.答案 D3.①0∈{0}，②{0}，③{0，1}＝{(0，1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}，上面关系中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析①正确，0是集合{0}的元素；②正确，是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含有两个元素0，1；{(0，1)}含有一个元素点(0，1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等.∴正确的个数是2.故选B.答案 B4.设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则a的取值范围是()A.{a|a≤2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≥2}解析画出数轴可得a≥2.答案 D5.已知集合A＝{x|x－7≥2}，B＝{x|x≥5}，试判断集合A，B的关系.解A＝{x|x－7≥2}{x|x≥9}，又B＝{x|x≥5}，∴A B.。