广东省佛山市均安中学数学必修五学案 第一章 解三角形的章末总结

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

知识建构一、知识网络二、基本知识、方法归纳整理1.解三角形常见类型及解法已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形,解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理.(1)利用正弦定理讨论:若已知a 、b 、A,由正弦定理A a sin =B b sin ,得sinB=aA b sin . 若sinB>1,无解;若sinB=1,一解;若sinB<1,两解.(2)利用余弦定理讨论:已知a 、b 、A,由余弦定理a 2=c 2+b 2-2cbcosA,即c 2-(2bcosA)c+b 2-a 2=0,这是关于c 的一元二次方程.若方程无解或无正数解,则三角形无解;若方程有唯一正数解,则三角形有一解;若方程有两个同正数解,则三角形有两解.3.三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如:a=2RsinA,a 2+b 2-c 2=2abcosC 等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如sinA=sinB ⇔A=B;sin(A-B)=0⇔A=B;sin2A=sin2B ⇔A=B 或A+B=2π,等等;二是利用正弦定理、余弦定理,化角为边,如:sinA=R a 2,cosA=bca cb 2222-+等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.4.解斜三角形应用题的步骤(1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解应用题中的有关名称、术语.(2)根据题意画出图形.(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理有关知识建立数学模型,然后求解.实践探究1.就三角形的面积计算问题作一探索,你现在已经学习了哪些计算公式,还可发现和证明一些新的计算公式吗?解:已学过的三角形面积公式有(1)已知一边和边上的高:S=21ah a ,S=21bh b ,S=21ch c . (2)已知两边及其夹角:S=21absinC,S=21bcsinA,S=21casinB. 还可以得到如下面积公式:(p=a+b+c)(3)S △ABC =r·p=R·r(sinA+sinB+sinC).(4)S △ABC =))()((c p b p a p p ---. (5)S △ABC =Rabc 4. (6)S △ABC =)sin(2sin sin 2C B C B a +∙∙=)sin(2sin sin 2C A C A b +∙=)sin(2sin sin 2B A B A c +∙. 证明:(3)如图所示.S △ABC =S △OAB+S △OBC+S △OAC =21c·OE+21a·OF+21b·OD =21cr+21ar+21br =21r(a+b+c) =rp.由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴S △ABC =21r(a+b+c)=21r(2RsinA+2RsinB+2RsinC)=R·r(sinA+sinB+sinC). (4)由余弦定理知cosC=abc b a 2222-+,∴S △ABC =21ab·sinC=21ab·C 2cos 1- =21ab·2222)2(1abc b a -+- =4122222)()2(c b a ab -+- =41])([(])[(2222b a c c b a --∙-+ =2222c b a c b a c b a c b a ++-∙+-∙-+∙++ =))()((a p b p c p p --- =))()((c p b p a p p ---.(5)由正弦定理知A a sin =B b sin =Cc sin =2R, ∴S △ABC =21absinC=21ab·R c 2=Rabc 4. (6)由正弦定理知A a sin =B b sin =Cc sin =2R, ∴S △ABC =21absinC=21·a·2R·sinB·sinC =21·a·A a sin ·sinB·sinC=A C B a sin 2sin sin 2∙=)sin(2sin sin 2C B C B a +∙∙. 同理,S △ABC =)sin(2sin sin 2C A C A b +∙=)sin(2sin sin 2B A B A c +∙. 2.设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边,其外接圆半径为1,且(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,b 、c 是方程x 2-3x+4cosA=0的两根(b>c).(1)求角A 的度数及a 、b 、c 的值;(2)判定△ABC 的形状,并求其内切圆的半径.解:(1)由韦达定理b+c=3,b·c=4cosA,由正弦定理b=2RsinB=2sinB,c=2sinC.∴2(sinB+sinC)=3,sinB·sinC=cosA.∵（sinB+sinC+sinA ）(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,利用平方差公式展开为（sinB+sinC ）2-sin 2A=3sinBsinC,把sinB ＋sinC ＝23,sinB·sinC=cosA 代入上式可得49-sin 2A=3cosA.整理得4cos 2A-12cosA+5=0,即(2cosA-5)(2cosA-1)=0,∴cosA=21,cosA=25(舍去).∴∠A=60°.∴⎩⎨⎧=∙=+.2,3c b c b∵b>c,∴b=2,c=1.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA=22+12-2×2×1×21=3,∴a=3.(2)∵b 2=a 2+c 2(由勾股定理).∴△ABC 是直角三角形.如图所示,设内切圆半径是r,则∠OAB=30°,在△OAD 中,AD=rcot30°=3r,∴3r+r=1.∴内切圆半径r=213-.3.在△ABC 中,设=a,=b,=c.(1)当△ABC 为正三角形时,求证:a·b=b·c=c·a;(2)若a·b=b·c=c·a,问△ABC 是否是正三角形?(1)证明:不妨设|BC |=|CA |=||=1,则·=||||cos60°=21,同理可得·=21,·=21,∴b·(-a)=(-b)·c=(-c)·a.∴a·b=b·c=c·a.(2)解:若a·b=b·c=c·a,则·=·=·, ∴·=·=·,即|a||b|cosC=|b||c|cosA=|a||c|cosB,各除以|a||b||c|,得||cos c C =||cos a A =||cos b B,①由正弦定理可得C c sin ||=A a sin ||=Bb sin ||, ② 由①②得C tan 1=A tan 1=B tan 1. ∵A 、B 、C ∈(0,π),∴A=B=C,即△ABC 为正三角形.4.如图所示,有两条相交成60°角的直线xx′、yy′,交点是O,甲、乙分别在Ox 、Oy 上,起初甲离O 点3 km,乙离O 点1 km,后来两人同时以每小时4 km 的速度,甲沿xx′方向,乙沿y′y 方向步行(设甲、乙初始位置分别为A 、B).(1)甲、乙两人之间的初始距离是多少?(2)什么时间两人的距离最短?解:(1)△AOB 中,OA=3,OB=1,∠AOB=60°.∴AB 2=OA 2+OB 2-2×OA×OB×cos60°=7.∴AB=7,即甲、乙两人最初相距7 km.(2)设t 小时后甲由A 到P,乙由B 到Q.①当3-4t≥0,即t≤34时,则△POQ 中,OQ=1+4t,OP=3-4t,∠POQ=60°, ∴PQ 2=(1+4t)2+(3-4t)2-2×(1+4t)×(3-4t)×cos60°. ②当3-4t<0,即t>34时,△POQ 中,OQ=1+4t,OP=4t-3,∠POQ=120°. ∴PQ 2=(1+4t)2+(4t-3)2-2×(1+4t)×(4t-3)×cos120°.综合①②知,当t≥0时,PQ 2=(4t+1)2+(4t-3)2+2×(4t+1)(4t-3)×21=(4t+1)2+(4t-3)2+(4t+1)(4t-3)=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4. ∴当t=41时,PQ min =2, 即41小时后,甲、乙两人的距离最短.。

第一章解三角形一.正弦定理: 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 —=—=—=2R （其中R 是三角形外接圆的半径） sin A sin B sinC a + b + c a b c = = = . sin A + sin B + sin Csin A sin B sin C 2）化边为角： a : b : c = sin A : sin B : sin C . a sin A b sin B a sin Ab sin B ，c sin C ，csin C 3）化边为角：a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin Csin A a sin B b sin A a • —— •sin B b ' sin C c ' sin C c 'abc sin A =——, sin B =——, sin C =—— 2 R 2 R 2 R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理a =空A ;-=把B b sin B c sin C a sin A = ------- ;求出b 与c c sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a =竺4求出角B,由A+B+C=180o 求出角C,再使用正 b sin B弦定理a = sn A 求出c 边 c sin C 4.△ABC 中，已知锐角A,边b,则①a < b sin A 时，B 无解;②a = b sin A 或a > b 时，B 有—个解③b sin A < a < b 时，B 有两个解。

2.变形：1） 4）化角为边: 5）化角为边:如：①已知A :60。

第一章 解三角形1.1 正弦定理(一)1．在△ABC 中，A ＋B ＋C＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c ＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝bsin B＝csin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a 、b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况.A 为锐角a <b sin A a ＝b sin A b sin A<a <b a ≥b无解 一解(直角) 两解(一锐角， 一钝角)一解(锐角)A 为直角或钝角 a ≤b a >b 无解 一解(锐角) 1.2正弦定理(二)1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .1．在△ABC 中，有以下结论： (1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tanC 2. 2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．2.1 余弦定理(一)1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°； (3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．2.2 余弦定理(二)1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.解三角形 复习1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程．2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．。

- 1 - 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++===4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc +-A =等， 8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角）9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ；②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ．11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）12 、请同学们自己复习巩固三角函数中 诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等） 。

第一章 解三角形1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有：2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。

（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。

具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD当无交点则B 无解、当有一个交点则B 有一解、当有两个交点则B 有两个解。

法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a<bsinA ，则B 无解当bsinA<a ≤b,则B 有两解 当a=bsinA 或a>b 时，B 有一解注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。

必修5第一章解三角形 知识总结1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin a b A B =sin cC==2R （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数2R ，即2sin =a R A ， 2sin =b R B ，2sin =c R C ；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =变形：sin sin a Ab B =, （3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的两角及其一边可以求其他边，即先用内角和求第三角，再用正弦定理求另外两边；②已知三角形的两边与一边的对角可以先求另一对角的正弦值，然后用内角和定理求第三角，再用正弦定理求第三边如先求sin sin aA B b=——A ——C ——c2、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+- 或 2222cos b c a bc A +-= 2222cos =+-b a c ac B 或 2222cos a c b ac B +-= 2222cos c a b ab C =+- 或 2222cos a b c ab C +-= 从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-= 222cos 2a b c C ab+-= 在△ABC 中，由222cos 2a b cC ab+-=得：若222a b c +=，则cosC=0, 角C 是直角；若222a b c +<，则cos C <0, 角C 是钝角； 若222a b c +>，则cos C >0, 角C 是锐角．3、三角形面积公式：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．S =12ab sin C =12bc sin A=12ac sin B4、三角形中的三角变换 ，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题（数学教研组）一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C=== （R:外接圆半径） 或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.结论:①定理:在三角形中,α、β为其内角，则α≤β⇔sin sin αβ≤，等号当且当α=β时成立。

②判断三角形大小关系时，可以利用如下原理：sin A ＞ sin B ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ bcos cos A B A B >⇔<⇔a < b③三角形的面积公式: ∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：（1)正弦定理：1、已知两角和一边（如A 、B 、c ）,由A +B +C =π求C ，由正弦定理求a 、b .(ASA 或AAS ）2、已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边,要注意解可能有多种情况。

（SSA ）（2）余弦定理：1、已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C 。

（SSS)2、已知两边和夹角(如a 、b 、C ）,应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C =π，求另一角。

（SAS ）主流思想：利用正、余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式。

5．三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 6。

●教学目标知识与技能：灵活运用正、余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

●教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

●教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

●教学过程Ⅰ.旧知回顾三角形中的边、角之间的关系边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，在ABC ∆中有如下常用结论： （1）a+b>c,b+c>a,a+c>b;(2)A+B+C=π;(3)a>b ⇔A>B;(4)a=b ⇔A=B;(5) A 为直角⇔ ;A 为锐角⇔ ;A 为钝角⇔(7)sin()A B += ;cos()A B += ;sin()2A B += ;cos()2A B += . Ⅱ.讲授新课考查点一：判断三角形形状例1．在ABC ∆中，已知（a+b+c ）(b+c-a)=3bc ，sin 2sin cos A B C =,试判断ABC ∆的形状。

考查点二：利用定理证明恒等式例2：在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，求证：（1）221cos cos ()222C A a c a b c +=++ （2）cos cos a B b A c += 见第16页例6.考查点三：利用定理研究函数问题例3.已知ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，且4cos,4sin .22A A b c == (1)求ABC ∆面积的最大值；（2）求a 的最小值。

练习1：如图，某农场有一块边长为2a 的等边三角形ABC 试验田，D 、E 两点分别在边AB 、AC 上，DE 把这块试验田分成面积相等的两部分作对比试验地，设AD=x,DE=y,求用x 表示y 的函数关系式。

第一章 解三角形小结和复习(学案)【知识归类】1．正弦定理：在△ABC 中，R Cc B b A a 2sin sin sin === 注意：（1）R 表示△ABC 外接圆的半径；（2）正弦定理可以变形成各种形式来使用；（3）使用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（4）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，具体后面例题再进一步分析.2.余弦定理：在△ABC 中，A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=变形为：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 注意：（1）使用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用；3.△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===. 4.三角形形状的判定方法常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.5.解三角形的使用可大体上把它分成以下三类：（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）； （3）角度问题； （4）面积问题.【题型归类】题型一：正弦定理的使用例1 （1）在△ABC 中， A=030，B=045，a=6,求c ；（2）在△ABC 中，A=030，b=4，a=3,则cosB ；（3）在ΔABC 中，B=030，b=350,c=150,求a. 题型二：余弦定理的使用例2（1）在△ABC 中， a=2，B=060，c=4,求b ；（2）在△ABC 中， a=7，b=3，c=5, 求最大角和sinC ；（3）在△ABC 中， a=3，b=2，045=B ,求c.题型三：判定下列三角形的形状例3（1）在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，判断△ABC 的形状； （2）在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，判断△ABC 的形状； （3）在△ABC 中，若c a b B +==2,600，试判断△ABC 的形状. 变式练习：设12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围？题型四：三角形的面积例4 （1）在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，求△ABC 的面积；（2）在△ABC 中，,32,300==AB B 面积,3=S 求;AC(3) 在△ABC 中，边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根，,600=C 求边C 的长. 题型五：三角形恒等式例5 在ABC ∆中，求证AB A c b B c a sin sin cos cos =--. 例6 如图，港口A 北偏东030方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为nmile 31，该轮船从B 处沿正西方向航行nmile 20后到D 处，测得CD 为nmile 21，问此时轮船离港口A 还有多远？【思想方法】1.数学思想：函数和方程、转化和化归、分类讨论的数学思想.2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化和化归的方法、建模法等.【自主检测】一．选择题1．在△ABC 中，若3:2sin :sin =B A ，则边=a b :（ ）.（A ）492:3：或 （B ）32：（C ） 49：（D ）23：.2．在△ABC 中，已知A=30°，a=8，b=38则三角形的面积为（ ）．（A ）332 （B ）16 （C ）332或16 （D ）332或316．3在△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a,b,c 且bc a c b c b a 3))((=-+++，则A 等于（ ）．（A ）6π （B ）3π （C ）4π （D ）32π 4.在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则∙的值为（ ）．（A ）19（B ）-14 （C ）-18 （D ）-19 5.若cC b B a A cos cos sin ==，则△ABC 的形状为（ ）. （A ）等边三角形 （B ）等腰直角三角形（C ）有一个角为30°的直角三角形 （D ）有一个角为30°的等腰三角形.6. 在直角三角形中，A 、B 为两锐角，则B A sin sin 中（ ）（A ）有最大值21和最小值0 （B ）有最大值21和无最小值 （C ）无最大值也无最小值（D ）有最大值1，但无最小值.二、真空题： 7.在△ABC 中，若B=30°，AB=32，AC=2，则△ABC 的面积为 .8. 已知三角形的三边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为 .9.若以2，3，x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围是 .10.△ABC 中，若AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 .三、解答题：11.已知c b a ,,是ABC ∆中角C B A ,,的对边，且0322,0222=+-+=---c b a c b a a ，求这个三角形的最大内角.12.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，a,b 是方程02322=+-x x 的两个根，且21)cos(=+B A . 求（1）角C 的度数；（2）AB 的长；（3）△ABC 的面积. 第一章 解三角形小结和复习(教案)【知识归类】1．正弦定理：在△ABC 中，R Cc B b A a 2sin sin sin === 注意：（1）R 表示△ABC 外接圆的半径；（2）正弦定理可以变形成各种形式来使用；（3）使用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（4）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，具体后面例题再进一步分析.2.余弦定理：在△ABC 中，A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+= 变形为：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 注意：（1）使用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用；3.△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===. 4.三角形形状的判定方法常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.5.解三角形的使用可大体上把它分成以下三类：（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.【题型归类】题型一：正弦定理的使用例1 （1）在△ABC 中， A=030，B=045，a=6,求c ；（2）在△ABC 中，A=030，b=4，a=3,则cosB ；（3）在ΔABC 中，B=030，b=350,c=150,求a. 【审题要津】这里已知两角和一边或两边和一对角，适合正弦定理解决的类型.解：（1）0000030,4518003045105.A B C ==∴=--=由正弦定理得006sin1053.sin sin sin 30c a c C A =∴== （2）由正弦定理得0sin sin 4sin 302sin .33B A B b a =∴==又由三角函数同角基本关系得cos B ==(3) 由正弦定理得0sinsin sin c b C C B =∴== 0000150,60C C <<∴=或0120.C =当060C =时，0018090,A B C a =--=∴==当0120C =时，0018030,A B C a =--=∴==故a =a =【方法总结】当已知两边和一对角，求其它时，可能有无解、一解或两解，注意讨论.题型二：余弦定理的使用例2（1）在△ABC 中， a=2，B=060，c=4,求b ；（2）在△ABC 中， a=7，b=3，c=5, 求最大角和sinC ；（3）在△ABC 中， a=3，b=2，045=B ,求c.【审题要津】这里已知两边和夹角或三边求其它，适合余弦定理解决的类型；当已知两边和一对角，求其它时也可使用余弦定理.解：（1）由余弦定理得22202cos 416224cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=（2）a c b A >>∴∠为最大角. 由余弦定理得22201cos ,120,22b c a A A bc +-==-∴=又由正弦定理得sin 5sin 7c A C a ===（3）由余弦定理得222202cos 32cos 452b a c ac B c c =+-=+-⨯=，解得c =或c = 【方法总结】正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，注意难易方法的选择.题型三：判定下列三角形的形状例3（1）在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，判断△ABC 的形状； （2）在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，判断△ABC 的形状； （3）在△ABC 中，若c a b B +==2,600，试判断△ABC 的形状. 【审题要津】这里已知边和角判断△ABC 的形状，正确选择正、余弦定理进行解决.解：（1）由正弦定理得222222a b c R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222222,0.a b c a b c ∴+<∴+-<由余弦定理得222cos 02a b c C C ab+-=<∴∠，故△ABC 为钝角三角形. （2）060,21cos =∴=A A , 又.2122cos ,,21cos 222222=-+=-+=∴==bc bc c b bc a c b A bc a A ().,02c b c b =∴=-∴ 故△ABC 为等边三角形.（3）解法1由正弦定理得.sin sin sin 2C A B +=,120,120,60000C A C A B -==+∴= ().sin 120sin 60sin 200C C +-=∴ 展开得.1cos 21sin 23=+C C .609030,1)30sin(0000=∴=+∴=+∴C C C ,600=∴A 故△ABC 为等边三角形.解法2由余弦定理得2222cos .b a c ac B =+- ,60cos 22,2,6002220ac c a c a c a b B -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴+== 整理得()20,.a c a c b -=∴==故△ABC 为等边三角形.【方法总结】常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.变式练习：设12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围？ 解：12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边，⎪⎩⎪⎨⎧>->>+∴0120012a a a 解得,21>a 此时12+a 最大，∴要使12,,12-+a a a 是三角形的三边，还需,1212+>+-a a a得.2>a设最长边12+a 所对的角为θ，则()()0128cos <--=a a a a θ，解得,218>>a 故a 的取值范围为.28>>a题型四：三角形的面积例4 （1）在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，求△ABC 的面积； （2）在△ABC 中，,32,300==AB B 面积,3=S 求;AC (3) 在△ABC 中，边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根，,600=C 求边C 的长.【审题要津】这里已知边和角求△ABC 的面积或变形使用面积公式求解.解：（1）bcc b A 2687,87cos 22-+=∴= . ()().42,02222==∴=+-=--∴c b c b c b c bc b.215,815871sin ,87cos 2=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴=∆ABC S A A (2) ,32,300==AB B ,3=S.2,30sin 3221sin 2130==∴⨯⨯⨯===∴AC a a B ac S (3) 边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根，.2,5==+∴ab b a().19,192122cos 2,6022220=∴=⨯--+=-+=∴=c ab ab b a C ab b a c C 【方法总结】根据三角形的面积A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===知关键在于两邻边的乘积和夹角的正弦值的积，结合条件直接使用或整体求解.题型五：三角形恒等式例5 在ABC ∆中，求证AB A c b B c a sin sin cos cos =--. 【审题要津】由左边看出含有角和边，可由余弦定理将角的余弦值转化为边的比值，再由正弦定理化变为角的正弦；左边中分子、分母的边是齐次式可由正弦定理将边转化为角求的.证明：解法1 化角为边得：左边()()====-+--+-=A B A R B R a b bca cbc b b c a c a sin sin sin 2sin 22222222右边. 故原等式成立.解法2化边为角得：左边AC C A B C C B A C B B C A cos sin )sin(cos sin )sin(cos sin sin cos sin sin -+-+=∙-∙-= ==AB sin sin 右边. 故原等式成立.【方法总结】解决此类题时，既要用到三角形有关的恒等式，又要用到任意角的三角函数的恒等式；证明时注意分析等式两边的形式是边还是角，便于从正余弦定理转化证得.题型六：使用题例6 如图，港口A 北偏东030方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为nmile 31，该轮船从B 处沿正西方向航行nmile 20后到D 处，测得CD 为nmile 21，问此时轮船离港口A 还有多远？【审题要津】要求AD 的长，在ACD ∆中，只要求出ACD ∠即可，可由正弦定理求解；要求ACD ∠，可在CDB ∆中，由余弦定理求解CDB ∠.解：易知060=∠A ，设,,βα=∠=∠CDB ACD 在BCD ∆中，由余弦定理得：,712cos 222-=∙-+=BD CD BC BD CD β .734)71(1sin 2=--=∴β.143560sin cos 60cos sin )60sin(sin 000=-=-=∴βββα 在ACD ∆中，由正弦定理得：,sin sin αAD A CD =).(15sin sin nmile ACD AD ==∴α 故此时轮船离港口A 还有.15nmile 【方法总结】正余弦定理在实际使用中很广泛，常见题有：距离、高度、角度等问题；解决时，首先要认真分析题意，找出各量间的关系，根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形模型（数学建模），然后利用正余弦定理求解，最后将结果转化为实际问题.【思想方法】1.数学思想：函数和方程、转化和化归、分类讨论的数学思想.2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化和化归的方法、建模法等.【自主检测题】一．选择题：1．在△ABC 中，若3:2sin :sin =B A ，则边=a b :（ D ）.（A ）492:3：或 （B ）32：（C ） 49：（D ）23：.2．在△ABC 中，已知A=30°，a=8，b=38则三角形的面积为（D ）（A ）332 （B ）16 （C ）332或16 （D ）332或3163．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a,b,c 且bc a c b c b a 3))((=-+++，则A 等于（ B ）（A ）6π （B ）3π （C ）4π （D ）32π 4.在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则BC AB ∙的值为（ D ）（A ）19（B ）-14 （C ）-18 （D ）-19 5.若cC b B a A cos cos sin ==，则△ABC 的形状为（ B ）. （A ）等边三角形 （B ）等腰直角三角形（C ）有一个角为30°的直角三角形 （D ）有一个角为30°的等腰三角形.6. 在直角三角形中，A 、B 为两锐角，则B A sin sin 中（ B ）（A ）有最大值21和最小值0 （B ）有最大值21和无最小值 （C ）无最大值也无最小值（D ）有最大值1，但无最小值.二、真空题：7.在△ABC 中，若B=30°，AB=32，AC=2，则△ABC 的面积为 8. 已知三角形的三边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为4315 . 9.若以2，3，x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围是()13,5 . 10.△ABC 中，若AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛6,0π . 三、解答题：11.已知c b a ,,是ABC ∆中角C B A ,,的对边，且0322,0222=+-+=---c b a c b a a ，求这个三角形的最大内角.解：0322,0222=+-+=---c b a c b a a ，.0)32(22=++---∴b a b a a ()()()().341,1341324122+=+-=--=∴a c a a a a b .032,02>--∴>a a b ,.3>∴a ().03.21<+-=-∴a c b .c b <∴又()(),01341>--=-a a a c .a c >∴故是△ABC 中最大的边. 由余弦定理得.212))((2cos 2222-=-++=-+=ab c b c b a ab c b a C 0120=∴C12.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，a,b 是方程02322=+-x x 的两个根，且21)cos(=+B A . 求（1）角C 的度数；（2）AB 的长；（3）△ABC 的面积.（1）C=120°（2）AB=10（3）23=∆ABC S。

1 高中数学必修5 第一章 解三角形复习一、知识点总结 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R ABC===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩或222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos,cossin,tancot222222A B C A B C A B C +++===.、已知条件 定理应用 一般解法一边和两角（如a 、B 、C ） 正弦定理由A+B+C=180˙，求角A ，由正弦定理求出b 与c ，在有解时 有一解。

两边和夹角 (如a 、b 、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c ，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边(如a 、b 、c) 余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。

二、巩固练习 一、选择题1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinAB ．cosA<sinB 且cosB<sinA2 C ．cosA>sinB 且cosB<sinA D ．cosA<sinB 且cosB>sinA4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形二填空题5、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形.6、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.7、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.三、解答题8、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=BA B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).9. (本小题共14分) 一缉私艇发现在北偏东45方向,距离12 nmile 的海面上有一走私船正以 10 nmile/h 的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追 上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+45的方向去追,.求追及所需的时间和α角的正弦值.ABC北 东。

人教版数学必修5知识点总结第一章　解三角形—正余弦定理及其混合应用必备知识:1．正弦定理：＝＝＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：asin A bsin B csin C （1）a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；（2）a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .（3），，sin 2a A R =sin 2b B R =sin 2c C R=2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．变形：cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝.b 2＋c 2－a 22bca 2＋c 2－b 22aca 2＋b 2－c 22ab3．射影定理（源自人教版必修5《1.2应用举例》课后练习）：A 中，，，．ABC ∆B c C b a cos cos +=A c C a b cos cos +=B a A b c cos cos +=4．三角形中常见的结论：（1）A ＋B ＋C ＝π.（2）在三角形中大边对大角，反之亦然．（3）在△ABC 中，；sin sin A B A B >⇔>（4）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（5）三角形内的诱导公式：sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin ＝cos ；cos ＝sin .A ＋B2C2A ＋B2C2第2页，共45页（6）在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .（7）在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60° .（8）△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列．5．三角形中常用的面积公式：（1）S ＝ah （h 表示边a 上的高）；12（2）S ＝bc sin A ＝ac sin B ＝ab sin C ；121212（3）S ＝r (a ＋b ＋c )（r 为三角形的内切圆半径）．12知识点分类解析：一、正弦定理(一)直接套用定理1.在中，已知三个内角为A ，B ，C 满足：：：5：4，则（ ）△ABC sinA sinB sinC =6sinB =A. B. C. D.743457169162.已知中，A ：B ：：1：4，则a ：b ：c 等于（ ）△ABC C =1A. 1：1： B. 2：2： C. 1：1：2 D. 1：1：4333.设的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 若，，，则（ ）△ABC a =3b =3A =π3B =A. B. C. 或 D.π65π6π65π62π34.在中，，，，则（ ）△ABC c =3B =45∘C =60∘b =A. B. C.D. 223232225.已知中，，，，则B 等于（ ）△ABC a =1b =3A =30∘A. B. 或 C. D. 或30∘30∘150∘60∘60∘120∘6.在中，，，，则△ABC a =3b =32A =30∘B =（ ）A. B. C. 或 D. 或45∘135∘45∘135∘75∘105∘7.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则角A 等于（ ）△ABC sinC =23,a =3,c =4A. B. C. D.π6π4π35π68.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，，则______．△ABC C =60∘b =6c =3A =9.在中，若，，，则△ABC ∠A =60∘∠B =45∘BC =32AC =（ ）A. B. C. D. 432333210.设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，若，，，则______．△ABC c.a =3sinB =12C =π6b =11.在中，，，，则________．△ABC a =3b =1∠A =π3cosB =12.在中，，，则______．△ABC ∠A =2π3a=3c bc=13.在中，已知，， ，则 B 等于（ ）△ABC b =2a =3cos A =‒513sin A. B. C. D.81391310131113(二)边角互化14.在中，若，，则 ______ ．△ABC a =1∠A =π42bsinC +cosC =第4页，共45页15.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若，则的值为（ ）△ABC 3a =2b 2sin 2B ‒sin 2Asin 2AA.B.C. 1D.‒19137216.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则______．△ABC 2bcosB =acosC +ccosA B =17.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中，，且满足△ABC a =2c =3，则______．(2a -c)⋅cosB =b ⋅cosC ⃗AB ⋅⃗BC =18.设的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若，则△ABC bcosC +ccosB =2acosA A =（ ）A. B. C. D.或π6π3π4π32π319.在中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，且，则△ABC c.asinBcosC +csinBcosA =12ba >b ∠B =（ ）A. B. C. D.5π6π32π3π620.已知的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，则等于（ ）△ABC cosC =55b=atanC sinBsinA A. 2B.C. D. 1255521.的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知，，求B ．△ABC 3acosC =2ccosA tanA =1322.在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量，．△ABC ⃗m =(a,c)⃗n =(cosC,cosA)若，，求角A ；若，，求的值．(1)⃗m//⃗n a =3c (2)⃗m⋅⃗n=3bsinBcosA =35cosC 23.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．△ABC asin2B =3bsinA 求B ；已知，求的值．(1)(2)cosA =13sinC (三)面积问题24.在中，，，，则的外接圆面积为（ ）△ABC c =3A =75∘B =45∘△ABC A.B. C. D. π4π2π4π25.在中，，，，则的值等于（ ）△ABC ∠A =60∘b =1S △ABC =3a ‒2b +csinA ‒2sinB +sinC A.B.C.D. 2393263383323第6页，共45页26.内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则的面积△ABC a =5,B =π3,cosA =1114△ABC S =（ ）A.B. 10C. D. 103310320327.在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，△ABC c =2a =27，则的面积为（ ）sin 2B ‒sin 2A =12sin⁡A ⋅sin⁡C△ABC A. B.C. D. 74774732728.在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知，，且，则的面积△ABC b =2c =22C =π4△ABC 为______．29.在中，，△ABC ∠A =60∘c =37a.求的值；若，求的面积．(1)sinC (2)a =7△ABC 二、余弦定理(一)直接套用定理30.在中，若，，，则△ABC AB =13BC =3∠C =120∘AC =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 431.在中，，，，则a 的值为（ ）△ABC b =3c =3B =30∘A. 3B. 23C. D. 23332.在中，已知，，，则角C 为（ ）△ABC a =3b =4c =13A. B. C. D. 90∘60∘45∘30∘33.已知中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC a 2=b 2+c 2‒bc ∠A =（ ）A. B. C. D. 30∘45∘60∘75∘34.已知的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，则的值为（ ）△ABC A =π3b 2+c 2‒a 2bc A.B. C. 1D. 1232335.在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且，△ABC a 2+ac =c 2+ab 则∠C =（ ）A. B. C. D.π3π62π35π636.在中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC 2(a 2+c 2)‒ac =2b 2sinB =（ ）A.B.C.D. D141215437.设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，则______．△ABC (a +b +c)(a ‒b +c)=ac B =38.中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知，，则△ABC b =c a 2=2b 2(1‒sinA)A =（ ）A.B.C.D.3π4π3π4π639.已知锐角三角形三边分别为3，4，a ，则a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 1<a <51<a <77<a <57<a <7第8页，共45页(二)面积问题40.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若，，则的面积△ABC c 2=(a ‒b )2+6C =π3△ABC 是（ ）A.B.C. D. 33293233341.已知三角形的三条边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为32______ ．42.若的周长为20，面积为，，则a 的值为（ ）△ABC 103A =60∘A. 5B. 6C. 7D. 843.的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，向量与平行．△ABC c.⃗m =(a,3b)⃗n =(cosA,sinB)Ⅰ求A ；Ⅱ若，，求的面积．()()a =7b =2△ABC44.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．△ABC acosC +ccosA =2bcosA 求角A 的值；若，求的面积S ．(1)(2)b +c =10 , a =2△ABC 45.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，的面积为S ，．△ABC △ABC asinB =3bcosA 求角A 的大小；若，的值．(1)(2)a =3S =32b +c 46.在中，已知a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 所对应的边长，且．△ABC b 2+c 2‒a 2=bc Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ若，且的面积为，求c ．()()b =1△ABC 334第10页，共45页47.在中，，，．△ABC AC =6cosB =45C =π4求AB 的长；求的值．(1)(2)cos(A ‒π6)三、正余弦定理混合应用(一)判定三角形解的个数48.在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）△ABCA. ，，b =10A =45∘C =60∘B. ，，a =6c =5B =60∘C. ，，a =7b =5A =60∘D. ，，a =14b =16A =45∘49.满足条件，，的的个数是（ ）a =4b =52A =45∘△ABC A. 1 B. 2 C. 无数个 D. 不存在50.在中，若，，，则此三角形解的个数为（ ）△ABC A =30∘a =2b =23A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定51.中，已知，，，如果有两组解，则x 的取值范围（ ）△ABC a =2b =x B =60∘△ABC A. B. x >23<x <2C.D.2<x <4332<x ≤433(二)外接圆问题52.已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于______．△ABC 53.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，则的外接△ABC cosC =223bcosA +acosB =2△ABC 圆的面积为（ ）A. B. C. D. 4π8π9π36π(三)混合应用54.已知的三个内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则（ ）△ABC 2cosBsinAsinC =sin 2B A. a ，b ，c 成等差数列第12页，共45页B. ，，成等比数列a b cC. ，，成等差数列a 2b 2c 2D. ，，成等比数列a 2b 2c 255.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，若，，，则 ，△ABC c.a =7b =2A =60∘sinB = ．c =56.在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，，则△ABC a 2‒b 2=3bc sinC =23sinB ______．A =57.在中，已知，，．△ABC AB =2AC =3A =60∘求BC 的长；求的值．(1)(2)sin2C 58.如图，在中，，，点D 在边BC 上，且，．△ABC ∠B =π3AB =8CD =2cos∠ADC =17求；求BD ，AC 的长．(1)sin∠BAD (2)59.在中，，，．△ABC a =7b =8cosB =‒17Ⅰ求；Ⅱ求AC 边上的高．()∠A ()60.在中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，且，．△ABC c =2C =60∘求的值；若，求的面积．(1)a +bsinA +sinB (2)a+b =ab △ABC S △ABC第14页，共45页61.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 已知，，．△ABC b =4c =5A =60∘求边长a 和的面积；求的值．(1)△ABC (2)sin2B 62.如图，在中，，D 是BC 边上一点，，，，为锐角．△ABC ∠B =45∘AB =526AC =53AD =5∠ADB求角的大小；求CD 的长．(1)∠ADC (2)63.中，已知点D 在BC 边上，且，．△ABC ⃗AD⋅⃗AC=0,sin∠BAC =223AB =32,BD =3Ⅰ求AD 的长；Ⅱ求．()()cosC 64.在中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且．△ABC b 2+c 2‒a 2=bc 求A ；若，，求的周长．(1)(2)a =2sinBsinC =sin 2A △ABC第16页，共45页65.如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，BD 交AC 于E ，△ABC △ACD ∠ACD =90∘AB =2Ⅰ求的度数；Ⅱ求BD 及AE 的长．()∠BEA ()66.如图，在平面四边形ABCD 中，，，．AD =1CD =2AC =7Ⅰ求的值；Ⅱ若，，求BC的长．()cos∠CAD ()cos∠BAD =-714sin∠CBA =21667.在中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且．△ABC cosAa+cosB b=sinC c Ⅰ证明：；Ⅱ若，求．()sinAsinB =sinC ()b 2+c 2‒a 2=65bctanB 68.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，已知，，，．△ABC c.a >b a =5c =6sinB =35Ⅰ求b 和的值；Ⅱ求的值．()sinA ()sin(2A +π4)69.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，已知，△ABC c.asinA =4bsinB ac =5(a 2‒b 2‒c 2)Ⅰ求的值；Ⅱ求的值()cosA ()sin(2B ‒A)第18页，共45页70.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，已知△ABC c.bsinA =acos(B ‒π6).Ⅰ求角B 的大小；Ⅱ设，，求b 和的值．()()a =2c =3sin(2A ‒B)71.在中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且，已知，，，求：△ABC a >c ⃗BA⋅⃗BC=2cosB =13b =3Ⅰ和c 的值；Ⅱ的值．()a ()cos(B ‒C)72.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．△ABC 2a ‒cb=cosCcosBⅠ求B 的大小；Ⅱ若点M 为BC 的中点，且，求的值．()()AM =AC sinCsinA 73.设的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知，．△ABC b +acosC =0sinA =2sin(A +C)求角C的大小；求的值．(1)(2)ca第20页，共45页74.中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC (acosB +bcosA)cosC =2acos 2C2‒a判断的形状；若，点D 为AB 边的中点，，求的面积．(1)△ABC (2)B =2π3CD =7△ABC 四、判定形状75.设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）△ABC A,B,C a,b,c b 2+c2<a 2△ABC A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定△ABC sin2A>sin2B+sin2C△ABC76.在中，若，则的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定△ABC acosC+ccosA=bsinB77.在中，若，则此三角形为（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形△ABC c=2bcosA78.已知的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则此三角形必是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形△ABC sinC+sin(B‒A)=sin2A△ABC79.在中，若，则的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形△ABC sinA=2cosB·sinC△ABC80.在中，已知，则的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不确定△ABC a2tanB=b2tanA△ABC81.在中，，则是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形△ABC.b=2acosC△ABC82.在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边若，则的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形△ABC c.83.在中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成△ABC等比数列，则的形状为______．第22页，共45页84.在中，，，的对边分别为a ，b ，c ，，则的形状一定是 （ ）△ABC ∠A ∠B ∠C cos 2A2=b +c2c △ABC A. 正三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形85.已知a ，b ，c 分别为的内角A ，B ，C 所对的边，且，则△ABC 3a 2+3b 2‒c 2=4ab △ABC （ ）A. 可能为锐角三角形B. 一定不是锐角三角形C. 一定为钝角三角形D. 不可能为钝角三角形86.已知中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则是（ ）△ABC asinB+bsinA =2c△ABC A. 等边三角形 B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形人教版数学必修5知识点总结（教师版）第一章　解三角形—正余弦定理及其混合应用必备知识:1．正弦定理：＝＝＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：asin A bsin B csin C （1）a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；（2）a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .（3），，sin 2a A R =sin 2b B R =sin 2c C R=2．余弦定理：第24页，共45页a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．变形：cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝.b 2＋c 2－a 22bca 2＋c 2－b 22aca 2＋b 2－c 22ab3．射影定理（源自人教版必修5《1.2应用举例》课后练习）：A 中，，，．ABC ∆B c C b a cos cos +=A c C a b cos cos +=B a A b c cos cos +=4．三角形中常见的结论：（1）A ＋B ＋C ＝π.（2）在三角形中大边对大角，反之亦然．（3）在△ABC 中，；sin sin A B A B >⇔>（4）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（5）三角形内的诱导公式：sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin ＝cos ；cos ＝sin .A ＋B2C2A ＋B2C2（6）在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .（7）在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60° .（8）△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列．5．三角形中常用的面积公式：（1）S ＝ah （h 表示边a 上的高）；12（2）S ＝bc sin A ＝ac sin B ＝ab sin C ；121212（3）S ＝r (a ＋b ＋c )（r 为三角形的内切圆半径）．12知识点分类解析：一、正弦定理(一)直接套用定理1.在中，已知三个内角为A ，B ，C 满足：：：5：4，则（C ）△ABC sinA sinB sinC =6sinB =A. B.C. D.743457169162.已知中，A ：B ：：1：4，则a ：b ：c 等于　A △ABC C =1()A. 1：1：B. 2：2：C. 1：1：2D. 1：1：4333.设的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 若，，，则　A △ABC a =3b =3A =π3B =()A. B. C. 或 D.π65π6π65π62π34.在中，，，，则　D △ABC c =3B =45∘C =60∘b =()A. B. C.D. 223232225.已知中，，，，则B 等于　D △ABC a =1b =3A =30∘()A. B. 或 C. D. 或30∘30∘150∘60∘60∘120∘6.在中，，，，则　A △ABC a =3b =32A =30∘B =()A. B. C. 或 D. 或45∘135∘45∘135∘75∘105∘7.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则角A 等于　A △ABC sinC =23,a =3,c =4()A. B. C. D.πππ5π8.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，，则______．△ABC C =60∘b =6c =3A =【答案】75∘第26页，共45页【解析】根据正弦定理可得，，，，bsinB=csinC C=60∘b =6c =3∴sinB =6×323=22，，，故答案为：．∵b <c ∴B =45∘∴A =180∘‒B ‒C =180∘‒45∘‒60∘=75∘75∘9.在中，若，，，则　B △ABC ∠A =60∘∠B =45∘BC =32AC =()A. B. C. D. 432333210.设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，若，，，则______．△ABC c.a =3sinB =12C =π6b =【答案】1【解析】，或∵sinB =12∴B =π6B =5π6当时，，，，由正弦定理可得，则B =π6a=3C =π6A =2π33sin 2π3=b12b =1当时，，与三角形的内角和为矛盾，故答案为：1B =5π6C =π6π11.在中，，，，则________．【答案】△ABC a =3b =1∠A =π3cosB =32【解析】，，，由正弦定理可得：，∵a =3b =1∠A =π3∴sinB =bsinA a=1×33=12，B 为锐角，．∵b <a ∴cosB =1‒sin 2B =3312.在中，，，则______．【答案】1△ABC ∠A =2π3a=3c bc=【解析】解：在中，，，△ABC ∠A =2π3a=3c 由正弦定理可得：，，，，则．asinA=csinC 3csin 2π3=csinCsinC =12C =π6B =π‒2π3‒π6=π6三角形是等腰三角形，，则，则．故答案为：1．B =C b =c bc=113.在中，已知，， ，则 B 等于　A △ABC b =2a =3cos A =‒513sin ()A. B. C. D.81391310131113【解析】，，∵cos A =-513∴sinA =1-cos 2A =1213，，由正弦定理可得，故选：∵b =2a =3sinB =bsinA a=23×1213=813(二)边角互化14.在中，若，，则 ______ ．【答案】△ABC a =1∠A =π42bsinC +cosC =215.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若，则的值为　D △ABC 3a =2b 2sin 2B ‒sin 2Asin 2A()A.B.C. 1D.‒19137216.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则______．△ABC 2bcosB =acosC +ccosA B =【答案】π3【解析】，由正弦定理可得，∵2bcosB =acosC +ccosA ，2cosBsinB =sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)=sinB ，，，，故答案为．∵sinB ≠0∴cosB =12∵0<B <π∴B =π3π317.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中，，且满足△ABC a =2c =3，则______．【答案】(2a ‒c)⋅cosB =b ⋅cosC ⃗AB ⋅⃗BC =‒3【解析】根据正弦定理得：可化为：(2a ‒c)cosB =bcosC (2sinA ‒sinC)cosB =sinBcosC 2sinAcosB =sinBcosC +sinCcosB ⇒2sinAcosB =sin(B +C)⇒2sinAcosB =sinA 故答案为：∴cosB =12∴B =60∘∴⃗AB ⋅⃗BC=‒|⃗AB|⋅⃗|BC|cosB =‒(2×3×12)=‒3‒318.设的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若，则　B △ABC bcosC +ccosB =2acosA A =()A.B.C.D.或π6π3π4π32π319.在中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，且，则△ABC c.asinBcosC +csinBcosA =12b a >bD ∠B =()A.B.C.D.5π6π32π3π6第28页，共45页【解析】由，可把asinA=c sinC =bsinB =2RasinBcosC +csinBcosA =12b化为sinAsinBcosC +sinCsinBcosA =12sinB，，即，∵sinB ≠0∴sinAcosC +sinCcosA =12⇒sin(A +C)=12sinB =12，为锐角.故选：D∵a >b ∴B .∴B =π620.已知的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，，则等于　A △ABC cosC =55b =atanC sinBsinA ()A. 2B.C. D. 1255521.的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知，，求B ．△ABC 3acosC =2ccosA tanA =13【解析】，由正弦定理可得，∵3acosC =2ccosA 3sinAcosC =2sinCcosA ，，，解得．∴3tanA =2tanC ∵tanA =13∴2tanC =3×13=1tanC =12，，∴tanB =tan[π‒(A +C)]=‒tan(A +C)=‒tanA +tanC1‒tanAtanC=‒13+121‒13×12=‒1∵B ∈(0,π)∴B =3π422.在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量，．△ABC ⃗m=(a,c)⃗n =(cosC,cosA)若，，求角A ；(1)⃗m //⃗n a =3c 若，，求的值．(2)⃗m⋅⃗n=3bsinBcosA =35cosC 【解析】，，，(1)∵⃗m//⃗n ∴acosA =ccosC ∴sinAcosA =sinCcosC ，或，舍去或，，∴sin2A =sin2C ∴2A =2C 2A +2C =π∴A =C()A +C =π2∴B =π2中，，；Rt △ABC tanA =3A =π3，，(2)∵⃗m ⋅⃗n=3bsinB∴acosC +ccosA =3bsinB 由正弦定理可得，sinAcosC +sinCcosA =3sin 2B ，，∴sin(A +C)=3sin 2B ∴sinB =13，，，，∵cosA =35∴sinA =45∵sinA >sinB ∴a >b ．∴cosB =223∴cosC =‒cos(A +B)=‒35×223+45×13=4‒621523.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．△ABC asin2B =3bsinA 求B ；已知，求的值．(1)(2)cosA =13sinC 【解析】，(1)∵asin2B =3bsinA ，，．∴2sinAsinBcosB =3sinBsinA ∴cosB =32∴B =π6，，(2)∵cosA =13∴sinA =223∴sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =223×32+12×13=26+16．(三)面积问题24.在中，，，，则的外接圆面积为（B ）△ABC c =3A =75∘B =45∘△ABC A. B. C. D. π4π2π4π25.在中，，，，则的值等于　A △ABC ∠A =60∘b =1S △ABC =3a ‒2b +csinA ‒2sinB +sinC ()A.B.C.D. 2393263383323【解析】，，，∵∠A =60∘b =1S △ABC =3=12bcsinA =12×1×c ×32∴c =4，，∴a 2=b 2+c 2‒2bccosA =1+16‒2×1×4×12=13∴a =13．故选A ．∴a ‒2b +csinA ‒2sinB +sinC =asinA =1332=239326.内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则的面积　C △ABC a =5,B =π3,cosA =1114△ABC S =()A.B. 10C. D. 1033103203【解析】若，可得，a =5,B =π3,cosA =1114sinA =1‒cos 2A =5314由正弦定理可得，b =asinBsinA =5×325314=7sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =5314×12+1114×32=437则的面积为．故选C ．△ABC S =12absinC =12×5×7×437=103第30页，共45页27.在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，△ABC c =2a =27，则的面积为( B )sin 2B ‒sin 2A =12sin⁡A ⋅sin⁡C△ABC A. B.C. D. 74774732728.在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知，，且，则的面积△ABC b =2c =22C =π4△ABC 为______．【答案】3+1【解析】由正弦定理，bsinB=csinC ⇒sinB =bsinC c=12又，且，所以，所以，c >b B ∈(0,π)B =π6A =7π12所以．故答案为．S =12bcsinA =12×2×22sin 7π12=12×2×22×6+24=3+13+129.在中，，△ABC ∠A =60∘c =37a.求的值；若，求的面积．(1)sinC (2)a =7△ABC 【解析】，，由正弦定理可得，(1)∠A =60∘c =37asinC =37sinA =37×32=3314，则，，(2)a =7c =3∴C <A ，又由可得，∵sin 2C +cos 2C =1(1)cosC =1314∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =32×1314+12×3314=437．∴S △ABC =12acsinB =12×7×3×437=63二、余弦定理(一)直接套用定理30.在中，若，，，则　A △ABC AB =13BC =3∠C =120∘AC =()A. 1B. 2C. 3D. 431.在中，，，，则a 的值为　C △ABC b =3c =3B =30∘()A. 3B. 23C. D. 23332.在中，已知，，，则角C 为　B △ABC a =3b =4c =13()A. B. C. D. 90∘60∘45∘30∘33.已知中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则　C △ABC a 2=b 2+c 2‒bc ∠A =()A. B. C. D. 30∘45∘60∘75∘34.已知的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，则的值为　C △ABC A =π3b 2+c 2‒a 2bc ()A.B. C. 1D. 1232335.在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且，△ABC a 2+ac =c 2+ab 则　A ∠C =()A.B.C.D.π3π62π35π636.在中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则　C △ABC 2(a 2+c 2)‒ac =2b 2sinB =()A. B. C.D. D141215437.设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，则______．△ABC (a +b +c)(a ‒b +c)=ac B =【答案】2π338.中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知，，则　C △ABC b =c a 2=2b 2(1‒sinA)A =()A. B. C. D.3π4π3π4π6【解析】，，∵b =c ∴a 2=b 2+c 2‒2bccosA =2b 2‒2b 2cosA =2b 2(1‒cosA)，，则，即，即，故选：C ．∵a 2=2b 2(1‒sinA)∴1‒cosA =1‒sinA sinA =cosA tanA =1A =π439.已知锐角三角形三边分别为3，4，a ，则a 的取值范围为C ()A. B. C. D. 1<a <51<a <77<a <57<a <7【解析】分两种情况来考虑：当a 为最大边时，设a 所对的角为，由锐角，αα根据余弦定理可得：，cosα=32+42‒a 22×3×4>0可知只要即可，可解得：；32+42‒a 2>00<a <5第32页，共45页当a 不是最大边时，则4为最大边，同理只要保证4所对的角为锐角就可以了，则有，可解得：，32+a 2‒42>0a >7所以综上可知x 的取值范围为．故选C ．7<a <5(二)面积问题40.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若，，则的面积△ABC c 2=(a ‒b )2+6C =π3△ABC 是　A ()A.B.C. D. 33293233341.已知三角形的三条边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为32______ ．【答案】1534【解析】解：由题意可设三边为，a ，a ‒2a +2(a >0)则为最大边，根据三角形的大边对大角可知其对的角为最大角a +2最大角的正弦值为，则最大角为 ∵32120∘由余弦定理可得，整理可得，cos 120∘=(a ‒2)2+a 2‒(a +2)22a(a ‒2)=‒12a 2‒5a =0 解可得，即三角形的三边为3，5，7 ∵a >0a =5代入三角形的面积公式可得故答案为：S =12×3×5sin 120∘=1534153442.若的周长为20，面积为，，则a 的值为　C △ABC 103A =60∘()A. 5B. 6C. 7D. 8【解析】，，∵A =60∘S =103，即，解得∴S △ABC =12bcsinA =10334bc =103bc =40由余弦定理，得a 2=b 2+c 2‒2bccosA a 2=(b +c )2‒3bc =(b +c )2‒120的周长∵△ABC a +b +c =20，得，解得故选C ．∴b +c =20‒a a 2=(20‒a )2‒120a =743.的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，向量与平行．△ABC c.⃗m =(a,3b)⃗n =(cosA,sinB)Ⅰ求A ；Ⅱ若，，求的面积．()()a =7b =2△ABC【解析】Ⅰ因为向量与平行，()⃗m =(a,3b)⃗n =(cosA,sinB)所以，由正弦定理可知：，因为，asinB ‒3bcosA =0sinAsinB ‒3sinBcosA =0sinB ≠0所以，可得；tanA =3A =π3Ⅱ，，由余弦定理可得：，可得，解得，()a =7b =2a 2=b 2+c 2‒2bccosA 7=4+c 2‒2c c =3的面积为：．△ABC 12bcsinA=33244.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．△ABC acosC +ccosA =2bcosA 求角A 的值；若，求的面积S ．(1)(2)b +c =10 , a =2△ABC 【解析】在中，，(1)△ABC ∵acosC +ccosA =2bcosA ，∴sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosA ，，，可得：．∴sin(A +C)=sinB =2sinBcosA ∵sinB ≠0∴cosA =12A =π3，，(2)∵cosA =12=b 2+c 2‒a 22bc b+c =10 , a =2，可得：，可得：．∴b 2+c 2=bc +4(b +c )2=3bc +4=10bc =2．∴S =12bcsinA =3245.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，的面积为S ，．△ABC △ABC asinB =3bcosA 求角A 的大小；若，的值．(1)(2)a =3S =32b +c 【解析】，由正弦定理可得，(1)asinB =3bcosA sinAsinB =3sinBcosA 是三角形内角，，∵B ∴sinB ≠0，A 是三角形内角，．∴tanA =3∴A =π，，(2)∵S =12bcsinA =32∴bc =2由余弦定理，可得，a 2=b 2+c 2‒2bccosA 3=b 2+c 2‒bc =(b +c )2‒3bc =(b +c )2‒6．∴b +c =346.在中，已知a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 所对应的边长，且．△ABC b 2+c 2‒a 2=bc Ⅰ求角A 的大小；()Ⅱ若，且的面积为c ．()b =1△ABC 334【解析】Ⅰ在中，由余弦定理得，()△ABC cosA =b 2+c 2‒a 22bc 又因为，，，．b 2+c 2‒a 2=bc ∴cosA =12∵0<A <π∴A =π3第34页，共45页Ⅱ，，的面积为()∵sinA =32b =1△ABC 334，．∴S =12bcsinA =34c =334∴c =347.在中，，，．△ABC AC =6cosB =45C =π4求AB 的长；求的值．(1)(2)cos(A ‒π6)【解析】中，，，，；(1)∵△ABC cosB =45∴sinB =35∵AB sinC =ACsinB∴AB =6×223=52(2)cosA =‒cos(C +B)=sinBsinC ‒cosBcosC =‒210为三角形的内角，．∵A ∴sinA =7210∴cos(A ‒π6)=32cosA +12sinA =72‒620三、正余弦定理混合应用(一)判定三角形解的个数48.在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是　D △ABC ()A. ，，B. ，，b =10A =45∘C =60∘a =6c =5B =60∘C. ，，D. ，，a =7b =5A =60∘a =14b =16A =45∘【解析】，由正弦定理可得，唯一；A.B =75∘10sin 75∘=a sin 45∘∴a B .利用余弦定理可得，有唯一解；C .由正弦定理可得，，有唯一解；7sin 60∘=5sinB∴sinB =5314∵B <A ∴D .由正弦定理可知，有两解．故选：D ．49.满足条件，，的的个数是D a =4b =52A =45∘△ABC ()A. 1B. 2C. 无数个D. 不存在50.在中，若，，，则此三角形解的个数为　C △ABC A =30∘a =2b =23()A. 0个B. 1个C. 2个D. 不能确定【解析】在中，，，，∵△ABC A =30∘a =2b =23∴bsinA =23×12=3而，三角形解的个数为2，故选：C ．3<a =2<b =23∴51.中，已知，，，如果有两组解，则x 的取值范围　B △ABC a =2b =x B =60∘△ABC ()A. B. C.D.x >23<x <22<x <4332<x ≤433【解析】 有两组解， 由余弦定理得，，∵△ABC a 2=b 2+c 2‒2bccosA ∴2sin 60∘<x <2解得．故选：B ．3<x <2(二)外接圆问题52.已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于______．【答案】△ABC 733【解析】解：可设的三边分别为，，，△ABC a =3b =5c =7由余弦定理可得，，cosC =a 2+b 2‒c 22ab=9+25‒492×3×5=‒12可得，sinC =1‒cos 2C =1‒14=32可得该三角形的外接圆半径为．故答案为：．c 2sinC=72×32=73373353.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，则的外接△ABC cosC =22bcosA +acosB =2△ABC 圆的面积为　C ()A. B. C. D. 4π8π9π36π【解析】，∵bcosA +acosB =2由余弦定理可得：，整理解得：，∴b ×b 2+c 2-a 22bc+a ×a 2+c 2-b 22ac=2c =2又，可得：，∵cosC =223sinC =1-cos 2C =13设三角形的外接圆的半径为R ，则，可得：，∴2R =c sinC =213=6R =3的外接圆的面积．故选：C ．∴△ABC S =πR 2=9π(三)混合应用54.已知的三个内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则　C △ABC 2cosBsinAsinC =sin 2B ()第36页，共45页A. a ，b ，c 成等差数列B. ，，成等比数列a b cC. ，，成等差数列D. ，，成等比数列a 2b 2c 2a 2b 2c 2【解析】由题意知，，根据正弦、余弦定理得，，2cosBsinAsinC =sin 2B 2⋅a 2+c 2‒b 22ac⋅a ⋅c =b 2化简可得，，即，所以、、成等差数列，故选：C ．a 2+c 2‒b 2=b 2a 2+c 2=2b 2a 2b 2c 255.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，若，，，则 ，△ABC c.a =7b =2A =60∘sinB = ．c =【答案】；3217【解析】在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．，，，∵△ABC a =7b =2A =60∘由正弦定理得：，即，解得∴asinA=bsinB 7sin 60∘=2sinB sinB=2×327=217由余弦定理得：，解得或舍，，．cos 60∘=4+c 2‒72×2c c=3c =‒1()∴sinB =217c =3故答案为：3．21756.在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，，则△ABC a 2‒b 2=3bc sinC =23sinB ______．A =【答案】30∘57.在中，已知，，．△ABC AB =2AC =3A =60∘求BC 的长；求的值．(1)(2)sin2C 【解析】由余弦定理可得：，(1)BC 2=AB 2+AC 2‒2AB ⋅ACcosA =4+9‒2×2×3×12=7因为，所以．BC >0BC =7由正弦定理可得：，则，(2)ABsinC=BCsinA sinC=ABBC ⋅sinA =2sin 60∘7=217，，，角，在三角形ABC 中，大角对大边，大边对大角，∵AB <BC BC =7AB =2A =60∘，7>2角角A ，角C 为锐角，则．∴C <.sinC >0cosC >0cosC =1‒sin 2C =1‒37=277因此sin2C =2sinCcosC =2×217×277=43758.如图，在中，，，点D 在边BC 上，且，△ABC ∠B =π3AB =8CD =2．cos∠ADC =17求；求BD ，AC 的长．(1)sin∠BAD (2)【解析】在中，，(1)△ABC ∵cos∠ADC =17，∴sin∠ADC =1‒cos 2∠ADC =1‒(17)2=4849=437则．sin∠BAD =sin(∠ADC ‒∠B)=sin∠ADC ⋅cosB ‒cos∠ADC ⋅sinB =437×12‒17×32=3314在中，由正弦定理得，(2)△ABD BD =AB ⋅sin∠BAD sin∠ADB=8×3314437=3在中，由余弦定理得，△ABC AC 2=AB 2+CB 2‒2AB ⋅BCcosB =82+52‒2×8×5×12=49即．AC =759.在中，，，．△ABC a =7b =8cosB =‒17Ⅰ求；Ⅱ求AC 边上的高．()∠A ()【解析】Ⅰ，，即A 是锐角，()∵a <b ∴A <B ，，∵cosB =‒17∴sinB =1‒cos 2B =1‒(‒17)2=437由正弦定理得得．asinA=bsinB sinA =asinB b=7×4378=32A =π3Ⅱ由余弦定理得，()b 2=a 2+c 2‒2accosB 即，即，得或舍，64=49+c 2+2×7×c ×17c 2+2c ‒15=0c =3c =‒5()则AC 边上的高．ℎ=csinA =3×32=33260.在中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，且，．△ABC c =2C =60∘求的值；若，求的面积．(1)a +bsinA +sinB (2)a+b =ab △ABC S △ABC 【解析】由正弦定理可设，(1)a sinA=b sinB =c sinC =2sin 60∘=232=433所以，所以 分a =433sinA,b =433sinB a +bsinA +sinB=433(sinA +sinB)sinA +sinB =433.…(6)由余弦定理得，即，(2)c 2=a 2+b 2‒2abcosC 4=a 2+b 2‒ab =(a +b )2‒3ab第38页，共45页又，所以，解得或舍去a +b =ab (ab )2‒3ab ‒4=0ab =4ab =‒1()所以分S △ABC =12absinC =12×4×32= 3. (14)61.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 已知，，．△ABC b =4c =5A =60∘求边长a 和的面积；求的值．(1)△ABC (2)sin2B 【解析】，，．(1)∵b =4c =5A =60∘由余弦定理可得：，，∴a 2=b 2+c 2‒2bccosA =16+25‒4×5=21∴a =21由正弦定理可得：，可得：∴S △ABC =12bcsinA =12×4×5×32=53(2)∵b sinB =asinA sinB =bsinAa=421×32=27，B 为锐角，可得：，∵b <c cosB =37∴sin2B =2sinBcosB =2×27×37=43762.如图，在中，，D 是BC 边上一点，，，，为锐角．△ABC ∠B =45∘AB =526AC =53AD =5∠ADB求角的大小；求CD 的长．(1)∠ADC (2)【解析】在中，，(1)△ABC ∵∠B =45∘,AB =562由正弦定理可得，，即，分∴ABsin∠ADB=ADsin∠B QUOTE 562sin∠ADB=5sin 45∘ (2)，为锐角，分分E ∴sin∠ADB =32∵∠ADB ∴∠ADB =60∘....(4)∴∠ADC =120∘. (5)在中，设，由余弦定理可得，分(2)△ADC CD =x AC 2=AD 2+CD 2‒2AD ⋅CD ⋅cos∠ADC...(7)，即，分∴(53)2=52+CD 2‒2×5⋅CD ⋅cos∠120∘x 2+5x ‒50=0 (9)，，即分(x +10)(x ‒5)=0∴x =5CD =5 (10)63.中，已知点D 在BC 边上，且，△ABC ⃗AD⋅⃗AC=0,sin∠BAC =223．Ⅰ求AD 的长；Ⅱ求．AB =32,BD =3()()cosC 【解析】Ⅰ由得到：，()⃗AD ⋅⃗AC =0AD ⊥AC 所以，所以分sinBAC =sin (π2+∠BAD)=cosBADcosBAD =223.(2)。

【金版学案】2014-2015学年高中数学第一章解三角形章末知识整合新人教版必修5一、本章的中心内容是如何解三角形．正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标：1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题．3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”．“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广．二、学数学的最终目的是应用数学．能把实际问题抽象成数学问题，把所学的数学知识应用到实际问题中去，通过观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题，确定解决问题的科学思维方法，学会把数学知识应用于实际．1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦越大所对的边就越长．2．由正弦值得出角的大小时特别要注意是一个解还是两个解．一般地，解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．4．把a＝k sin A，b＝k sin B代入已知等式可将边角关系全部转化为三角函数关系．5．余弦定理是三角形边角之间的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．6．余弦定理的应用范围是：①已知三边，求三角；②已知两边及一个内角，求第三边．7．已知两边及其中一边所对的角用余弦定理时可能有两个解，注意用三边特点取舍．解决实际测量问题一般要充分理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解．8．解斜三角形应用题的一般步骤．(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否有实际意义，从而得出实际问题的解．9．平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况：(1)A 、B 两点都在河的两岸，一点可到达，另一点不可到达．方法是可到达一侧再找一点进行测量．(2)A 、B 两点都在河的对岸(不可到达)．方法是在可到达一侧找两点进行测量．(3)A 、B 两点不可到达(如隔着一座山或建筑)．方法是找一点可同时到达A 、B 两点进行测量．10．利用正弦定理和余弦定理来解高度问题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．11．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用解三角形的方法进行计算．12．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．13．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解决复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系．14．许多试题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．15．本章问题的高考要求不高，学习时要立足基本问题，熟练掌握测量的一般技巧，正确使用定理列方程求解，无须过多延伸与拓广．题型1 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．解斜三角形包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．在△ABC 中，c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 长为72，求a .解析：如图，设CD ＝DB ＝x ，在△ACD 中，cos C ＝72＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x ，在△ACB 中，cos C ＝72＋2x 2－422×7×2x，所以72＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x ＝72＋2x 2－422×7×2x .解得x ＝92.所以a ＝2x ＝2×92＝9.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：由余弦定理得BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12， ∴BD ＝2 3.∵BC ＝CD ＝2，C ＝120°，∴∠CBD ＝30°，∴∠ABD ＝90°， ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23sin 90°＋12×2×2×sin 120°＝5 3. 答案：5 3题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ，sin(A －B )＝0⇔A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 解析：解法一：由正弦定理可得2sin B ＝sin A ＋sin C ，∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，A ＝120°－C ，将其代入上式，得2s in 60°＝sin(120°－C )＋sin C ，展开整理，得32sin C ＋12cos C ＝1，∴sin(C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°. ∴C ＝60°，故A ＝60°， ∴△ABC 是正三角形．解法二：由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∵B ＝60°，b ＝a ＋c2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°. ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为正三角形．题型3 三角形解的个数的确定(1)利用正弦定理讨论：若已知a ，b ，A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa.若sin B ＞1，则无解；若sin B ＝1，则有一解；若sin B ＜1，则可能有两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a ，b ，A ，由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cos A )c ＋b 2－a 2＝0.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，则b 为何值时，三角形有一解，两解，无解？解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B得：①当b sin A ＜a ＜b 时，有两解，此时23＜b ＜43；②当a ≥b 时或B 为90°(b 为斜边)时，有一解，此时b ≤23或b ＝43； ③当a ＜b sin A 时无解，此时b ＞4 3.题型4 正、余弦定理在实际问题中的应用如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解析：如下图，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130， EF ＝BE －FC 2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理得：cos∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.。