2020年高中数学必修五全套精品学案(精华版)

课题: §1.1．１正弦定理授课类型:新授课 ●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系,引导学生通过观察，推导，比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1.1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B,使边A Ｃ绕着顶点Ｃ转动。

Ａ 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然，边ＡB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图１．1-１)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。

如图1.1－2，在Rt ∆ＡBC 中,设BC=ａ,A Ｃ＝ｂ，A Ｂ=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1cC c==， A 则sin sin sin a b c c A B C=== ｂ c 从而在直角三角形A ＢC 中,sin sin sin a b cA B C==C a Ｂ (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图１.１－3，当∆A ＢＣ是锐角三角形时,设边AB 上的高是ＣD ，根据任意角三角函数的定义，有ＣD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =, b a从而sin sin abAB=sin cC=A ｃ B(图1.1－3)思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

1．1．1正弦定理（一）教学目标1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin abcABC==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。

教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想 [创设情景]如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

1.1.2 余弦定理学习目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理.2.能运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.学习过程一、已知三角形两边及夹角解三角形例1 在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.总结解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．变式训练1 在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.二、已知三角形三边解三角形例2 已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．总结已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．变式训练2 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．三、利用余弦定理判断三角形形状例3 在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．变式训练3 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．课堂小结1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角． 课堂检测1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 2．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．43．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°4．三角形三边长分别为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________． 5．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1. (1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积．参考答案例1 解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－43，所以c ＝6－2，由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝12，因为b >a ，所以B >A ，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.变式训练1 解：由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19. ∴c ＝19.例2 解：∵c >a ，c >b ，∴角C 最大． 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12，∵0°<C <180°，∴C ＝120°. 所以△ABC 的最大内角为120°.变式训练2 解：由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49， 即x ＝7.所以，AC 边上的中线长为7. 例3 解：∵a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )] ＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ， 由正、余弦定理，即得 a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0， ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴该三角形为等腰三角形或直角三角形．变式训练3 解：因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 所以可令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k >0)． c 最大，cos C ＝(2k )2＋(3k )2－(4k )22×2k ×3k <0，所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形． 课堂检测 1．【答案】B【解析】∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.2．【答案】C【解析】b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ＝2.3．【答案】B【解析】∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° . 4．【答案】120°【解析】易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ， 则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，又θ∈(0°，180°)，∴θ＝120°.5．解：(1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12又∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10. (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×sin 2π3＝32.1.2 应用举例学习目标：1．熟练掌握正、余弦定理．2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解实际问题．学习重难点：1．求解距离、高度和角度问题．(重点)2．从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形)．(难点)学习过程：自学导引测量中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角．如下图①.(2)方位角指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．(3)方向角从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如下图②所示．试一试：如图所示，OA，OB的方位角各是多少？如何表示OA，OB的方向角？名师点睛1．解三角形应用题的一般思路(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．(3)选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算要求．这一思路可描述如下：2．解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．课堂讲练互动：题型一测量距离问题例1：在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．规律方法：解三角形应用问题的一般步骤：(1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；(2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解．变式训练1：如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile，在A 处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东60°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．题型二测量高度问题例2：如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.规律方法：依题意画图是解决三角形应用题的关键．在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角．同时空间图形和平面图形要区分开，然后通过解三角形求解．变式训练2：如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.题型三测量角度问题例3：如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．题后反思：实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．变式训练3：甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？课堂小结：利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．课堂检测：1．若a，b，c是△ABC的三边，且ca2＋b2>1，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是()A．90°B．120°C．135°D．150°3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于() A. 6 B．2C. 3D. 24．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°5.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？参考答案学习过程： 自学导引试一试：OA 的方位角为60°，OB 的方位角为330°，OA 的方向角为北偏东60°，OB 的方向角为北偏西30°. 课堂讲练互动： 题型一 测量距离问题例1：解：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°， 又∠DCA ＝60°，∴∠DAC ＝60°. ∴AD ＝CD ＝AC ＝32a . 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， ∴BC sin 30°＝CDsin 45°， ∴BC ＝64a . 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34a 2＋38a 2－2×32a ×64a ×22＝38a 2. ∴AB ＝64a . ∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a . 变式训练1：解：(1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，由正弦定理得 AD ＝AB sin B sin ∠ADB＝126×2232＝24 (n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile. (2)在△ADC 中，由余弦定理得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°，解得CD ＝8 3 n mile.即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile. 题型二 测量高度问题例2：解：由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin 15°＝AD sin 45°， 得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)． 即山的高度为800(3＋1) m.变式训练2： 解：在△BCD 中，∠BCD ＝α，∠BDC ＝β， ∴∠CBD ＝180°－(α＋β)，∴BC sin β＝s sin[180°－(α＋β)]，即BC sin β＝s sin (α＋β). ∴BC ＝sin βsin (α＋β)·s . 在△ABC 中，由于∠ABC ＝90°，∴AB BC＝tan θ， ∴AB ＝BC ·tan θ＝sin β·tan θsin (α＋β)·s . 题型三 测量角度问题例3：解：设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.∴BC ＝6海里．又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD， ∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．变式训练3：解：如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B得： sin ∠CAB ＝BC sin B AC＝at ·sin 120°3at ＝323＝12. ∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°.∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．课堂检测：1．【答案】D 【解析】∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0， 于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0. ∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．2．【答案】B【解析】设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12. 而0<B <π，∴B ＝π3. ∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°. 3．【答案】D4．【答案】A【解析】由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A. 5.解：如图，连接A 1B 2.由已知A 2B 2＝102， A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2. 又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．2.1 数列的概念与简单表示法学习目标：1．了解数列、通项公式的概念；了解数列是自变量为正整数的一类函数．2．能根据通项公式确定数列的某一项．3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．学习过程：一、利用函数的性质判断数列的单调性例1：已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1.求证：数列{a n }为递增数列．总结 数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性． 变式训练1：在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围．二、求数列的最大项例2：已知a n ＝9n (n ＋1)10n(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．总结 先考虑{a n }的单调性，再利用单调性求其最值．变式训练2：已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．三、由递推公式求通项公式例3：已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．总结：已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及累加：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1；累乘：a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1等方法． 变式训练3：已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．课堂小结：函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数 的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．课堂检测：1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.583．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，给出的数列{a n }的第34项是( ) A.34103 B ．100 C.1100 D.11044．已知a n ＝32n －11 (n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．135．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.176．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N *)，则使a n >100的n 的最小值是________．7．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第m 项的和最大，则m 的值是________．8．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n ，则a 2 009＝________.9．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2 a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是递减数列．参考答案例1：证明：a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1a n ＋1－a n ＝1n 2＋1－1(n ＋1)2＋1＝[(n ＋1)2＋1]－(n 2＋1)(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]＝2n ＋1(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]. 由n ∈N *，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .∴数列{a n }为递增数列．变式训练1：解：若{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n ≥0.即(n ＋1)3－a (n ＋1)－n 3＋an ≥0恒成立． 即a ≤(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1恒成立，即a ≤(3n 2＋3n ＋1)min ，∵n ∈N *，∴3n 2＋3n ＋1的最小值为7. ∴a 的取值范围为a ≤7.例2：解：因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤(n ＋2)－109(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9，则 当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9>0，当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9＝0， 当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9<0，所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108. 变式训练2：解：(1)a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，当n ＝2,3时，a n <0. ∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5. 又因n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为－2.例3：解：由递推公式得a 1＝1，a 2＝1＋12×1＝32，a 3＝32＋13×2＝53， a 4＝53＋14×3＝74， a 5＝74＋15×4＝95. 故数列的前五项分别为1，32，53，74，95. ∴通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n.变式训练3：解：∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1. ∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 课堂检测：1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C【解析】a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110， 猜想a n ＝13(n －1)＋1，∴a 34＝13×(34－1)＋1＝1100. 4．【答案】B【解析】∵－a 1＝a 10，－a 2＝a 9，－a 3＝a 8，－a 4＝a 7，－a 5＝a 6，∴S 11>0，则当n ≥11时，S n >0，故n 最小为11.5．【答案】C【解析】计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37. 6．【答案】127．【答案】10或11【解析】令a n ＝－n 2＋10n ＋11≥0，则n ≤11.∴a 1>0，a 2>0，…，a 10>0，a 11＝0.∴S 10＝S 11且为S n 的最大值．8．【答案】2 017 036【解析】由a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n 得a n ＝a n －1＋n －1，a n －1＝a n －2＋n －2，⋮a 2＝a 1＋1，a 1＝0，累加可得a n ＝0＋1＋2＋…＋n －1＝n (n －1)2， ∴a 2 009＝2 009×2 0082＝2 017 036.9．(1)解：因为f (x )＝2x －2－x ，f (log 2 a n )＝－2n ，所以2log 2 a n －2－log 2a n ＝－2n ，a n －1a n＝－2n ， 所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. 因为a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明：a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n (n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1. 又因为a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．2.2 等差数列学习目标：1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列的性质.2.能在具体问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.学习过程：一、等差数列的通项公式例1：若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.总结方法一：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式a n＝a m ＋(n－m)d求解．变式训练1：在等差数列{a n}中，已知a m＝n，a n＝m，求a m＋n的值．二、等差数列的性质例2：已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．总结要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1＋a7＝a2＋a6＝2a4问题就简单了．变式训练2：成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．三、等差数列的判断例3：已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1 (n ≥2)，令b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．总结：判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数．变式训练3：若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．课堂小结：1．证明数列{a n }为等差数列的方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ≥1)⇔{a n }为等差数列或a n －a n －1＝d (d 为常数， n ≥2)⇔{a n }为等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列．(3)通项法：a n ＝pn ＋q (p 、q ∈R )⇔{a n }是等差数列，只要说明a n 为n 的一次函数， 就可下结论说{a n }是等差数列．2．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d . 课堂检测：1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－8 2．已知等差数列{a n }中，a 2＝－9，a 3a 2＝－23，则a n 为( )A ．14n ＋3B ．16n －4C ．15n －39D ．15n ＋83．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *) B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *) C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *) D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *)4．等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8等于( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．3005．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．不确定6．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为______． 7．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝______.8．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.9．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．10．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n，设b n ＝1a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．参考答案学习过程：例1：解：设{a n }的公差为d .方法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝6415，d ＝415.所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.方法二 因为a 60＝a 15＋(60－15)d ，所以d ＝a 60－a 1560－15＝20－860－15＝415，所以a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.变式训练1：解：方法一 设公差为d ，则d ＝a m －a n m －n ＝n －mm －n ＝－1，从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二 设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1，b ＝m ＋n .所以a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0. 例2：解：因为a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15， 所以a 4＝5.又因为a 2a 4a 6＝45，所以a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2. 若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3； 若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .变式训练2：解：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40 ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.例3：(1)证明：∵a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝4－4a n (n ∈N *)．∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12.∴b n ＋1－b n ＝12，n ∈N *.∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为12.(2)解：b 1＝1a 1－2＝12，d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2.∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n .变式训练3：证明：∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列，∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a .∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c ) ∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2 ∴a 2＋c 2＝2b 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列． 课堂检测：1．【答案】A2．【答案】C【解析】∵a 2＝－9，a 3a 2＝－23，∴a 3＝－23×(－9)＝6，∴d ＝a 3－a 2＝15，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝－9＋(n －2)·15＝15n －39. 3．【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)(－2)，得a n ＝－2n ＋10. 4．【答案】C【解析】方法一 设{a n }首项为a 1，公差为d ，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＋a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝5a 1＋20d 即5a 1＋20d ＝450，a 1＋4d ＝90，∴a 2＋a 8＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋8d ＝180. 方法二 ∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8，∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝52(a 2＋a 8)＝450，∴a 2＋a 8＝180. 5．【答案】B【解析】由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，d ＝40n －1为整数．则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个． 6．【答案】43【解析】n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43. 7．【答案】125【解析】1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124.所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125.8．【答案】12【解析】由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d .则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12，∴这4个根依次为14，34，54，74， ∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716，∴|m －n |＝12.9．解：设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11da 1＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7. 10．(1)证明：当n >1，n ∈N *时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5. ∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解：由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N *.∵a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．2.3 等差数列的前n 项和学习目标：1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思 学习过程： 教材拓展1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)； (4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．做一做1：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________． 2．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率． 做一做2：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 3．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)． 当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷． 做一做3：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a m b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶． 当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)做一做4：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．5．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.做一做5：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________． 例题剖析：一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1：数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了． 例2：在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k .三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和) (4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3：(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ， 求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.四、等差数列前n 项和的最值方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4：(1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？ (2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5：已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．例6：下表给出一个“等差数阵”：ij (1)写出a 45的值； (2)写出a ij 的计算公式．课堂检测：1.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值．2.一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．274．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．6635．已知两个等差数列{a n }、{b n }，它们的前n 项和分别是S n 、S ′n ，若S n S ′n ＝2n ＋33n －1，则a 9b 9＝______. 6.一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．参考答案做一做1：【解析】S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)，∵{a n }是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1.【答案】－1做一做2：【解析】由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线，∴a m ＋n －a n(m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －m m －n ＝－1， 易得a m ＋n ＝0.【答案】0做一做3：【解析】设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2) 由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ，∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ，∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1.∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q )＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q )＝－(p ＋q )．【答案】－(p ＋q )做一做4：【解析】S 偶－S 奇＝n 2d ＝5d ， ∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3.【答案】3做一做5：2 009 4 018例题剖析：例1：解：{a n }是等差数列，证明如下：因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)， 所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2， 所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)， 即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0，所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列．例2：解：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5. 解方程组得a 1＝－5，d ＝3，∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44. (2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有：⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4a (a 2－d 2)＝48，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2. ∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2.(3)设公差为d ，则由题意得⎩⎨⎧ a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51舍去.因此，a ＝2，k ＝50. 例3：(1)解：由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16， ∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.(2)证明：①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1. ②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1. 例4：解：(1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大．(2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上．令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0；当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0，于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，则由上面的求解过程知：当1≤n ≤21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－a 1－a 2－…－a n＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n . 当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＝32n 2－1232n ＋1 260.∴数列{|a n |}的前n 项和T n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).例5：解：(1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列． 则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列， ∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23， ∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8. 解得λ＝－1.当λ＝－1时，⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n ＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1] ＝12n ＋1×2n ＋1＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1. 例6：解：(1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)；第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2j ＝7＋5(j －1)；……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列，因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .课堂检测：1.解：因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列，故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k ＝41k ，所以a 9b 9＝8841. 2.解：凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180， 解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°；当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去．所以凸n 边形的边数为9.3．【答案】B【解析】数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45.∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.4．【答案】B【解析】因a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665. 5．【答案】3750【解析】方法一 S n S ′n ＝n 2(a 1＋a n )n 2(b 1＋b n )＝a 1＋a n b 1＋b n ＝2n ＋33n －1， ∴a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝2×17＋33×17－1＝3750. 方法二 由S n S ′n ＝2n ＋33n －1，可知公差d ≠0，设S m ＝km (2m ＋3)， S ′m ＝km (3m －1) (k ∈R ，且k ≠0)，则a m b m ＝S m －S m －1S ′m －S ′m －1＝4m ＋16m －4 (m ≥2)，∴a 9b 9＝4×9＋16×9－4＝3750. 6.解：方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知得⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150， 代入①，得a 1＝1 099100， ∴S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150 ＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.方法二 设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10， 解得⎩⎨⎧ a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n . ∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. 方法三 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ① (p ≠q )S q ＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ② ①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d ＝－(p －q )．又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1， ∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d ＝(p ＋q )(－1)，∴S 110＝－110.方法四 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22， ∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120.∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2. 又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.。

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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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课题：§1．1．1正弦定理授课类型：新授课●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较,由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作.情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程Ⅰ。

课题导入如图1．1-1，固定∆ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转动。

A思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ。

讲授新课[探索研究］ (图1．1—1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

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§1。

1.1 正弦定理学习目标1。

掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备∆CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。

如图,在Rt ∆ABC 中，设BC =a ,AC =b ，AB =c ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =,sin b B c =，又sin 1c C c ==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==． (探究2：那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =,则sin sin a b A B =, 同理可得sin sin c b C B=， 从而sin sin a b A B =sin c C=．新知：正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1)在ABC ∆中,一定成立的等式是（ )．A ．sin sin a A bB = B 。

高中数学必修5整套教案教学目标：学生能够区分和应用直线和平面的基本概念，理解直线和平面之间的关系。

教学重点：直线与平面的定义、性质和关系。

教学难点：平面的方程和直线与平面的交点问题。

教学过程：一、导入讨论：通过展示一些实际生活中的直线和平面的例子，引出直线和平面的概念。

二、概念讲解：介绍直线和平面的定义、特点和性质，并让学生做一些相关的练习。

三、直线与平面的关系：讲解直线和平面之间的关系，并通过实际例子辅助理解。

四、实例分析：解决一些直线与平面的交点问题，让学生能够灵活应用所学知识。

五、练习训练：设计一些练习题让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、总结反思：总结本课内容，让学生自主总结所学知识，并提出问题和思考。

第二课：圆的基本概念教学目标：学生能够掌握圆的相关概念和性质，理解圆的作图和计算方法。

教学重点：圆的定义、圆周率及相关概念。

教学难点：圆的作图及相关计算题目。

教学过程：一、导入讨论：通过展示圆的相关图片，引入圆的概念。

二、概念讲解：介绍圆的定义、性质和相关概念，并让学生做一些相关的练习。

三、圆的作图：讲解圆的作图方法和相关计算技巧，让学生能够灵活运用。

四、圆周率的应用：介绍圆周率的概念和计算方法，通过实例计算巩固所学知识。

五、练习训练：设计一些练习题让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、总结反思：总结本课内容，让学生自主总结所学知识，并提出问题和思考。

第三课：三角形的基本概念教学目标：学生能够掌握三角形的相关概念和性质，理解三角形的分类和计算方法。

教学重点：三角形的定义、分类及性质。

教学难点：三角形的作图及相关计算题目。

教学过程：一、导入讨论：通过展示三角形的相关图片，引入三角形的概念。

二、概念讲解：介绍三角形的定义、性质和分类，并让学生做一些相关的练习。

三、三角形的作图：讲解三角形的作图方法和相关计算技巧，让学生能够灵活运用。

四、三角形的应用：介绍三角形的应用知识和计算方法，通过实例计算巩固所学知识。

课题 :●教学目标§1．1．1 正弦定理授课类型：新授课知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发, 共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程Ⅰ. 课题导入如图 1． 1-1 ，固定ABC的边 CB及B，使边 AC绕着顶点C 转动。

A思考： C 的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？C BⅡ . 讲授新课[ 探索研究 ](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1． 1-2 ，在 Rt ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a sin A，bsinB，C c, 1c c又s i n c A则a b cc b c sin A sin B sin C从而在直角三角形ABC中，a b cC a Bsin A sin B sin C( 图 1． 1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 1．1-3 ，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD=b sin A , 则a bCa sin B sin A sin B，同理可得c bB，b a sin C sin从而a b cA cB sin A sin B sin C(图 1． 1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题， 从而可以考虑用向量来研究这个问题。

范文2020年高中数学必修五全套精品学案(精华版)1/ 102020 年高中数学必修五全套精品学案（精华版）§1.1.1 正弦定理学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动．思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而用一个等式把这种关系精确地表示出来？．能否二、新课导学※ 学习探究探究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 a sin A ， b sin B ，又 sin C 1 c ， c c c 从而在直角三角形 ABC 中， a b c ． sin A sin B sin C ( 探究 2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= asin B bsin A ，则 a b ， sin A sin B 同理可得 c b ， sin C sin B 从而 a b c ． sin A sin B sin C 类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.3/ 10新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 ab c． sin A sin B sin C 的比相等，即试试：（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（）． A． asin A bsin B B. acos A bcos B C. asinB bsin A D. acos B bcos A （ 2 ）已知△ ABC 中， a ＝4 ， b ＝ 8 ，∠ A ＝30 ° ，则∠ B 等于． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 a k sin A，， c k sinC ；（2） a b c 等价于 sin A sin B sin C （3）正弦定理的基本作用为：，c b ，a c ．sin C sin B sin A sin C ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsin A ； sin B b ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin A a sin B ； sinC ． b （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例 1. 在 ABC 中，已知 A 45o ， B 60o ， a 42cm，解三角形．变式：在 ABC 中，已知 B 45o ， C 60o ， a 12cm，解三角形．例 2. 在 ABC中，c 6, A 45o, a 2,求b和B,C ．5/ 10变式：在 ABC中，b 3, B 60o,c 1,求a和A,C ．三、总结提升※ 学习小结 1. 正弦定理： a b c sin A sin B sin C 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※ 知识拓展 a b c 2R ，其中 2R 为外接圆直径. sin A sin B sin C 学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5 分钟满分：10 分）计分： 1. 在 ABC 中，若 cos A b ，则 ABC 是（）. cosB a A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形D．等边三角形 2. 已知△ABC 中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c 等于（）. A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶ 3 D．2∶2∶ 33. 在△ABC 中，若 sin A sin B ，则 A 与 B 的大小关系为（）.A. A BB. A BC. A ≥ BD. A 、 B 的大小关系不能确定 4. 已知 ABC 中， sin A:sin B:sinC 1: 2:3 ，则 a :b : c = ． 5. 已知 ABC 中， A 60 ， a 3 ，则 abc = ． sin A sin B sin C 课后作业 1. 已知△ABC 中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120，解此三角形．7/ 102. 已知△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数 k 的取值范围为．§1.1.2 余弦定理学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式； 2. 证明余弦定理的向量方法； 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备复习 1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即 = = ．复习 2：在△ABC 中，已知 c 10 ，A=45，C=30，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※ 探究新知问题：在 ABC 中，AB 、 A BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 C b a c B9/ 10b. ∵ uuur AC ，∴ uuur AC ? uuur AC 同理可得：a2 b。

（一）课标要求第一章解三角形章节总体设计本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1.数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2.注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。

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课题：§1．1．1正弦定理授课类型：新授课●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.过程与方法:让学生从已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用.●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.●教学过程Ⅰ.课题导入如图1．1—1，固定∆ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转动。

A思考:∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然,边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大.能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课［探索研究］ (图1．1—1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a ，AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c=，sin b B c =，又sin 1c C c==， A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2）思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =，则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a 从而sin sin abAB=sin cC=A c B（图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

新人教版高中数学必修五精品教案全册新人教版高中数学必修五精品教案全册(第一章在后面) 课题进位制1 课型新授课课时备课时间理解进位制的概念，了解一个数能够作不同进位制之间的知识与技能转换;根据对进位制的理解，体会计算机的计数原理;能设计不同进位制之间转换的算法程序框图及程序。

学生经历由探究算理，到抽象算法步骤，绘制程序框图，再到设计并优化程序的全过程，使学生明确教学过程与方法自己是在学数学而不仅仅是在编程序或玩计算机，目标这一过程的主要目的是使学生得到算法思想的熏陶与提升。

以问题引导学习，体现数学知识的形成与学生认知情感态度与价值观的过程性，加强数学知识间的联系性，促使学生主动探究，培养学生的创新意识和应用意识。

重点“十进制转k进制”与“k 进制转十进制”的算理分析难点“十进制转k进制”与“k进制转十进制”的算理分析教学方法教学过程情景步骤师生活动设计意图1(“猜生月生日游戏”: 教师给出生月生日表～这个游戏中用到的“生月生日“请先依次指出表格并同时讲清游戏规则～表”的制作原理是二进制记数,见附注1,中哪些行然后请一位或两位学法～它需要掌握“十进制转二有你的生月～然后再依生根据表格回答～教师进制”的方法,计算生月生日次指出表格中哪些行记录学生的回答～并立的程序1的算理是“二进制转有你的生日～便知道你即给出学生的生月生十进制”的算理～这一过程可的生月生日(” 日( 以引起学生对游戏的算法的兴趣～从而引入本节课( 2(提出进位制的定义、教师在学生阅读课文让学生体会十进制记数法及不表示法及进制的一般的基础上介绍进位制同的进位制实质。

表现形式。

的意义及发展历程。

3(以3721为例～探究教师启发～学生观察了解进位制的基本特点～为学32十进制数的含义( 习k 进制的含义做准备 3721,3，10，7，10，2，10，1通过实例体会“二进制转十进9(以1011001为例～师生一起将“情景步骤，，2制”的算理～为得到“k进制转4”中的“师生活动”探究“二进制化十进十进制”的算法程序作铺垫( 所得到的算式由后往制”的算理(前代入并整理得到:61011001,1×2，0，，2543×2，1×2，1×2，210×2，0×2 0，1×2,89(6(从操作过程中提炼教师让学生先思考上得出“二进制转十进制”的算出“二进制转十进制”述操作中的算法结构～法步骤～并推广到“k进制转十新人教版高中数学必修五精品教案全册(第一章在后面) 算法步骤～并推广到然后写出算法步骤并进制”的算法步骤,见附注4,( “十进制转k进制”的进行交流～最后由教师算法步骤( 评析并给出正确的算法步骤(7. 由“k进制转十进让学生写出程序框图得出“k进制转十进制”的程序制”的算法步骤写出程并进行交流～随后教师框图,见附注5,～进一步领会序框图评析并给出正确的算法结构(程序框图(10(编写计算机程序并使学生掌握“十进制转k进制”让学生在编写程序并上机运行“十进制转k的算法程序,见附注7,～促使运行～以1011001、，，2进制”程序( 学生积极主动并有效地学习(324分别转十进制～，，5检查学生的程序是否正确(4(以十进制数89为例～让学生模仿得出: 得出“除2取余”的二进探究“除2取余”的过制记数法则( 89 = 44×2 ，1，程( 44 = 22×2 ，0，22 = 11×2 ，0，11 = 5×2 ，1，5 = 2×2 ，1，2 = 1×2 ，0，1 = 0×2 ，1.5(以89为例～实现“除师生一起进行下述操探究“十进制化二进制”算法2取余”的过程( 作: 中的主要算法结构:条件结构89? 与循环结构(,取余,,取商,重复进行上述取余与取商的操作～直至商为0(6(从操作过程中提炼教师让学生先思考上得出“十进制转二进制”的算出“十进制转二进制”述操作中的算法结构～法步骤～并推广到“十进制转k算法步骤～并推广到然后写出算法步骤并进制”的算法步骤,见附注4,( “十进制转k进制”的进行交流～最后由教师算法步骤( 评析并给出正确的算法步骤(7. 由“十进制转k进让学生写出程序框图得出“十进制转k进制”的程制”的算法步骤写出程并进行交流～随后教师序框图,见附注5,～进一步领序框图评析并给出正确的会算法结构(程序框图(8(根据“十进制转k让学生在TI,92PLUS这是本节课的一个重要环节～新人教版高中数学必修五精品教案全册(第一章在后面) 进制”的程序框图～在图形计算器上编写程不仅能使学生正确掌握“十进TI,92PLUS图形计算序并运行～以89分别制转k进制”的算法程序,见器上编写程序并运行( 转二进制、五进制～检附注6,～还能使学生积极主动查学生的程序是否正并有效地学习(确(通过实例体会“二进制转十进9(以1011001为例～师生一起将“情景步骤，，2制”的算理～为得到“k进制转4”中的“师生活动”探究“二进制化十进十进制”的算法程序作铺垫( 所得到的算式由后往制”的算理(前代入并整理得到:61011001,1×2，0，，2543×2，1×2，1×2，210×2，0×2 0，1×2,89(10(在TI,92PLUS图使学生掌握“k进制转十进制”让学生在TI,92PLUS形计算器上编写并运的算法程序,见附注7,～促使图形计算器上编写程行“k进制转十进制”学生积极主动并有效地学习( 序并运行～以程序( 1011001、324分别，，2转十进制～检查学生的程序是否正确(体会任意两种进位制的11(把二让学生先利用“k进制转十进制”的程序得出:1011001,89～，，2数之间的转化方法:先进制数“k进制转十进制”～再1011001先利用“十进制转k进制”的程序得出: “十进制转s进制”( 89,324～化为五进制数( 所以～1011001,324( ,5,，，2使学生体会教学任务中12(讨论让学生讨论、交流对算法的认识及利用算法思想解决问题的基本步所期望的学习目标( 与小结( 骤～教师进行归纳小结(新人教版高中数学必修五精品教案全册(第一章在后面)课题 ?2.1数列的概念与简单表示法2 课型新授课课时备课时间了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项;理解数列的前知识与技能n项和与的关系 a教学n目标过程与方法经历数列知识的感受及理解运用的过程。

学习目标 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
知识点一基本不等式及变形
思考使用基本不等式证明：≤(a>0，b>0)，并说明什么时候等号成立．
梳理以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．
当a>0，b>0时，有________________________ ；
当且仅当________时，以上三个等号同时成立．
知识点二用基本不等式求最值
思考因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2.
以上说法对吗？为什么？
梳理基本不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是________；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为________；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为________；
(3)等号成立的条件是否满足．
类型一基本不等式与最值
例1 (1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；。