新人教版八年级数学上册15.3分式方程(1)学案

15．3 分式方程第1课时 分式方程及其解法教学目标1．了解分式方程的概念．2．会解分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解需要对分式方程的解进展检验的原因．教学重点利用去分母的方法解分式方程．教学难点了解产生增根的原因．教学设计 教学过程设计一、创设情景，明确目标一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h ，它沿江以最大航速顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v km/h ，根据“两次航行所用时间一样〞这一等量关系，得到方程9030＋v ＝6030－v. 类似这样的方程是什么方程呢，如何解此方程呢？这就是本课所学习的主要内容．二、自主学习，指向目标1．自学教材第149至151页．2．学习至此：请完成?学生用书?相应局部．三、合作探究，达成目标探究点一 分式方程的概念活动一：方程10020＋v ＝6020－v有何特征，你能说说和整式方程的区别吗？ 展示点评：分式方程的概念；像这样________________________________________________________________________叫分式方程．小组讨论：分式方程与整式方程有何区别？反思小结：分母中含有未知数的方程叫分式方程．针对训练：见?学生用书?相应局部探究点二 分式方程的解法阅读课本：解方程：10020＋v ＝6020－v. (1)解这个方程的根本思想是：____________________，具体做法是____________________．(2)其步骤是：________________________________________________________________________(3)此方程有根吗？阅读课本：解方程：1x －5＝10x 2－25. 展示点评：(1)此方程在检验根的时候出现了什么问题？此时解出的x 的值还是方程的根吗？(2)在解分式方程时，能否和解整式方程一样，验根的步骤可省略不写？例1 解方程2x －3＝3x. 解：x ＝9例2 解方程x x －1－1＝3〔x －1〕〔x ＋2〕. 解：无解小组讨论：解分式方程的一般步骤是什么？与解一元一次方程有什么区别？反思小结：解分式方程和解一元一次的方程有一样的地方，同样可理解为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，但多了一步检验，是必须的步骤．针对训练：见?学生用书?相应局部四、总结梳理，内化目标1．知识小结——(1)了解分式方程的概念，会解分式方程；(2)了解产生增根的原因．区分解分式方程与整式方程过程的异同．2．解分式方程根本思路是什么？应注意什么问题．3．思想方法小结——转化等数学思想．五、达标检测，反思目标1．以下关于x 的方程是分式方程的是( D )A.x ＋25－3＝3＋x 6B.x －17＋a＝3－x C.x a －a b ＝b a －x b D.〔x －1〕2x －1＝1 2．解分式方程x x －2＝2＋3x －2，去分母后的结果是( B ) A ．x ＝2＋3 B ．x ＝2(x －2)＋3C ．x(x －2)＝2＋3(x －2)D ．x ＝3(x －2)＋23．x ＝2y ＋33y －2，用x 的代数式表示y ，那么y ＝__3＋2x 3x －2__． 4．解以下方程：(1)1x －5＝10x 2－25解：无解(2)7x 2＋x ＋1x 2－x ＝6x 2－1●布置作业，稳固目标教学难点1．上交作业课本第154页第1题(1)、(2)、(7)、(8)题．2．课后作业见?学生用书?．第2课时分式方程的应用(一)教学目标1．会根据实际问题，分析题意找出等量关系．2．列出分式方程解决有关工作量的问题．教学重点列分式方程解应用题．教学难点会根据实际问题，分析题意找出等量关系．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标1．列方程(组)解应用题的一般步骤是什么？2．2021年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难．八方支援〞，某厂方案生产1800 t纯洁水支援灾区人民，为尽快把纯洁水发往灾区，，结果比原方案提前3天完成了生产任务．求原方案每天生产多少吨纯洁水？①设原方案每天生产x t纯洁水，根据题意可列出方程：②这是一个什么方程？并解这个方程，解完后应注意什么？如何应用分式方程解应用题，这就是本课所学习的主要内容．二、自主学习，指向目标1．自学教材第152页．2．学习至此：请完成?学生用书?相应局部．三、合作探究，达成目标探究点一工程问题活动一：阅读课本P152例3展示点评：(1)工程问题中有哪几个根本量，其关系是什么？通常把工作总量看作多少？(2)由题意可知，甲队的工作效率是多少？假设设乙队独做x天完成，那么乙队的工作效率是多少？(3)此题中的等量关系是什么？你能用题中的一句话或一个等式来表示吗？小组讨论：工程类问题常用的等量关系是什么？反思小结：工程问题，假设没有告诉总工作量，通常设总工作量为1；工程问题的等量关系通常根据“各分工作量之和等于总工作量〞来找．针对训练：见?学生用书?相应局部探究点二工作量问题活动二：在争创全国卫生城市的活动中，某市一“青年突击队〞决定义务清运一堆重达100吨的垃圾，开工后附近居民主动参加到义务劳动中，使清运垃圾的速度比原方案提高了一倍，结果提前4小时完成，“青年突击队〞原方案每小时清运垃圾多少吨？分析：此题和上例的区别是明确告诉了工作总量，如何根据等量关系设未知数列方程呢？展示点评：设原方案每小时清运x 吨100x －1002x针对训练：见?学生用书?相应局部小组讨论：列分式方程应用题的一般步骤是什么？关键是什么？反思小结：列分式方程应用题一般步骤为：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答．解应用题的关键在于找出等量关系，而等量关系就是题目的一句话或几句话的浓缩．四、总结梳理，内化目标1．自主学习时，你的疑问是否得到解决？2．知识小结——(1)列方程解决实际问题的关键是：分析题意找出等量关系．(2)列出分式方程解决有关工作量的问题．3．思想方法小结——方程建模思想解决实际问题．五、达标检测，反思目标1．一个数与6的和的倒数，与这个数的倒数互为相反数，设这个数为x ，列方程得( D )A.1x ＋6＝1xB.1x ＋6＝－x C.1x ＋16＋x ＝0 D.1x ＋6＋1x＝0 2．某化肥厂方案在x 天内生产化肥120 t ，由于采用了新技术，每天多生产化肥3 t ，实际生产180 t 与原方案生产120 t 的时间相等，根据题意列出方程__180120x＋3＝x __． 3．近几年高速公路建立有较大的开展，有力地促进了经济建立．欲修建的某高速公路要招标．现有甲．乙两个工程队，假设甲．乙两队合作，24天可以完成，费用为120万元；假设甲单独做20天后剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样所需费用110万元，问：(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少万元？解：(1)设甲单独完成要x 天20x ＋(124－1x)·40＝1 x ＝30 ∴甲独做要30天，乙独做要120天．(2)设甲独做1天要a 元，乙独做要b 元⎩⎨⎧24〔a ＋b 〕＝12020a ＋40b ＝110 ∴⎩⎨⎧a ＝4.5b ＝ 30a ＝30×＝135(万元) 120b ＝120×＝60(万元)∴甲完成要135万元，乙完成要60万元●布置作业，稳固目标教学难点1．上交作业 课本第154－155页第3、5题．2．课后作业 见?学生用书?．第3课时分式方程的应用(二)教学目标运用分式方程解决行程问题、收费问题、销售问题．教学重点运用分式方程解决行程问题、收费问题、销售问题．教学难点能熟练的运用分式方程解决行程问题、收费问题、销售问题．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标某单位将沿街的一局部房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，，第二年为10.2万元．(你能找出这一情境中的等量关系吗？根据这一情境你能提出哪些问题？你利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少？)二、自主学习，指向目标1．自学教材第153页．2．学习至此：请完成?学生用书?相应局部．三、合作探究，达成目标探究点一行程问题活动一：阅读课本P153例4展示点评：1.完成课本中的填空．2．此题的等量关系是什么？小组讨论：表达题目中的数量关系时，字母表示的意义？反思小结：表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(量)，也可表示数(量)，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数．针对训练：见?学生用书?相应局部探究点二收费与销售问题活动二：某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水上涨25%.小明家去年12月份的水费是18元，而今年3月份的水费是36元，小明家今年3月份比去年12月份多6 m3，求该市今年居民用水价格是多少元/m3?思考：此题的等量关系是什么？如何设未知数列方程？展示点评：设去年居民用水价格是x元/m3，那么有36〔1＋25%〕x －18x＝6解得：x＝1.8.×m3.小组讨论：列分式方程解决实际问题的关键是什么？一般步骤是什么？反思小结：列分式方程解决实际问题的关键是找出题目中的相等数量关系，其一般步骤可概括为：审、找、设、列、解、检验、作答．四、总结梳理，内化目标1．自主学习时，你的疑问是否得到解决？2．知识小结——能熟练的运用分式方程解决行程问题、收费问题、销售问题．3．思想方法小结——方程建模的数学思想．五、达标检测，反思目标1．某校用420元钱到商场去购置“84”消毒液，经过还价，，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x 元，那么可列出方程为( B )A.420x －420x －0.5＝20 B.420x －0.5－420x ＝20 C.420x －420x －20＝0.5 D.420x －20－420x2．小明买软面笔记本共用去12元，小丽买硬面笔记本共用去21元，，小明和小丽能买到一样本数的笔记本吗？不能解：设小明和小丽买到的笔记本均为x 本12x ＝21x－ 解得x ＝，x 不为正整数∴不能3．某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%.请你根据上述信息，就这两个班级的“人数〞或“人均捐款〞提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程．问题：1班人均捐款为多少元？解：设1班人均捐款x 元1800x(1－10%)＝错误! x ＝36答：1班人均捐36元．●布置作业，稳固目标教学难点1．上交作业 课本第155页第6、7题．2．课后作业 见?学生用书?．。

分式方程〔1〕一、教课目的1．知识目标 :(1)理解分式方程的意义 ;(2)认识解分式方程的根本思路和解法;(3)理解解分式方程时可能无解的原由,并掌握分式方程的验根方法.2.能力目标 :经历“实质问题 --- 分式方程 ---整式方程〞的过程 ,展开学生剖析问题﹑解决问题的能力 ,浸透数学的转变思想 ,培育学生的应意图识 .3.感情目标 :在活动中培育学生乐于研究﹑合作学习的习惯,培育学生努力找寻解决问题的进步心 ,领会数学的应用价值 .二、教课要点和难点1.要点：解分式方程的根本思路和解法．2.难点：理解解分式方程时可能无解的原由.3．疑点及剖析和解决方法：解分式方程的根本思想是将分式方程转变成整式方程 (转变思想 )，根本方法是去分母 (方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中议论进而理解、掌握．三、教课过程(一 )创建情境，导入新课问题：一艘轮船在静水中的最大航速为90 km 所用时间 , 与以最大航速逆流航行30 km/h,它以最大航速沿江顺水航行60 km 所用时间相等 , 江水的流速为多少 ?剖析：设江水的流速为v km/h，那么轮船顺水航行的速度为〔30＋ v〕 km/h，逆流航行的速度为〔 30－v〕 km/h，顺水航行 90 km 所用的时间为90小时，逆流航行 60 km 所用的时间为60 30＋ v30－ v小时。

可列方程90＝60 30＋ v30－ v这个方程和我们从前所见过的方程不一样，它的主要特色是：分母中含有未知数，这类方程就是我们今日要研究的分式方程．(二)研究新知 :1.教师提出以下问题让学生研究:(1)方程90＝60与从前所学的整式方程有何不一样? 30＋ v30－ v(2)什么叫分式方程 ?9060(3)如何解分式方程＝呢?如何查验所求未知数的值是原方程30＋ v30－ v的解 ?(4)你能联合上述研究活动概括出解分式方程的根本思路和做法吗?(学生思虑﹑议论后在全班沟通)2.依据学生研究结果进行概括:(1)分式方程的定义 (板书 ):分母里含有未知数的方程叫分式方程．从前学过的方程都是整式方程练习：判断以下各式哪个是分式方程．在学生回复的根基上指出(1)、(2)是整式方程， (3)是分式， (4)是分式方程．(2)解分式方程90＝60的根本思路是：将分式方程化为整式方程 . 30＋ v30－ v.这也是解分式方程的一般思路和做法 .1103.模仿上边解分式方程的做法,试试解分式方程x5x225,并查验所得的解 ,你发现了什么 ?与你的伙伴沟通 .4.思虑 :上边两个分式方程中,为何90＝60①去分母后所得整式30＋ v30－ v110方程的解就是①的解,而x5x225 ②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢 ?学生疏组议论上述结果产生的原由,并相互沟通 .5.概括 :(1)增根：将分式方程变成整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去分母，有可能产生不合适原方程的解〔或根〕，这类根往常称为增根(2)解分式方程一定进行查验 :将整式方程的解代入最简公分母 ,假如最简公分母的值不为 0,那么整式方程的解是原分式方程的解;否那么 ,这个解不是原分式方程 的解 .(三)牢固练习 : 1.在方程x7 x 156 1 x②2x①3 8268x 81 1③④ x x 021 x 12x中是分式方程的有〔 〕A. ①和②B.②和③C.③和④D.④和①2.解分式方程 :(1) 12(2) 1212xx 3x1 x 2(四)讲堂小结 :1.经过本节课的学习 ,你有哪些收获 ?2.在本节课的学习过程中 ,你有什么领会 ? 与伙伴沟通 .指引学生总结得出 :解分式方程的一般步骤：(1)．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．(2)．解这个整式方程．(3)．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，一定舍去．四 .板书设计 :分式方程〔 1〕一、分式方程的定义二. 解分式方程的一般步骤： 三 、 解 分 式 方 程分母里含有未知数的(1)．在方程的两边都乘以最方程叫分式方程简公分母，约去分母，化为整90＝60式方程．30＋ v30－ v110 x 5 x2 25(2)．解这个整式方程．(3)．把整式方程的根代入最学生饰演区简公分母，看结果是否是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，一定舍去．五 .教课反省1、一孔之见的人，多不谦逊；见多识广有本事的人，必定谦逊。

人教版数学八年级上册教学设计《15-3分式方程》（第1课时）一. 教材分析《15-3分式方程》是人教版数学八年级上册的教学内容，本节课的主要内容是让学生掌握分式方程的定义、解法以及应用。

分式方程是初高中数学的重要衔接点，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

教材通过引入实际问题，让学生在解决问题的过程中自然地接触到分式方程，并逐步引导他们理解和掌握分式方程的解法。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式方程的解法，对代数式有一定的了解。

但由于分式方程与整式方程在形式和思想上都有较大的区别，学生可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知差异，针对不同学生的学习情况，进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.理解分式方程的定义，掌握分式方程的解法。

2.能够应用分式方程解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.分式方程的定义及解法。

2.分式方程在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生自然地接触到分式方程。

2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生主动思考，发现分式方程的解法，培养学生的逻辑思维能力。

3.案例教学法：通过分析实际问题，让学生学会将分式方程应用于解决实际问题。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实际问题、解题步骤和应用案例的教学PPT。

2.教学素材：准备一些实际问题，作为课堂练习和拓展应用的材料。

3.板书设计：设计清晰、简洁的板书，帮助学生理解和记忆分式方程的解法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题，让学生尝试解决。

在解答过程中，引导学生发现这是一个分式方程。

通过这个问题，引出本节课的主题——分式方程。

2.呈现（10分钟）讲解分式方程的定义，让学生了解分式方程的基本形式。

接着，介绍分式方程的解法，包括去分母、求解、检验等步骤。

在这个过程中，引导学生积极参与，发现问题、解决问题。

分式方程15.3分式方程(1)学习目标：1、了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2、掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 课前预习1、前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？ （1）前面我们已经学过了 方程。

（2）一元一次方程是 方程。

（3）一元一次方程解法 步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。

如解方程：163242=--+x x2、探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程： vv -=+206020100.像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。

分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。

未知数在分母的方程是分式方程。

未知数不在分母的方程是整式方程。

前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，我们又将如何解？解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。

如解方程：v +20100=v-2060…………………… ①去分母：方程两边同乘以最简公分母（20+v ）（20-v ），得 100（20-v ）=60（20+v ）……………………② 解得 v=5观察方程①、②中的v 的取值范围相同吗？① 由于是分式方程v ≠±20,而②是整式方程v 可取任何实数。

这说明，对于方程①来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求。

15.3分式方程（一）【学习目标】：1．理解分式方程的定义．2．掌握分式方程的一般解法．并理解验根的重要性。

【学习重点】：解分式方程【学习难点】：会解可化为一元一次方程的分式方程一、自主学习2、如何来解一元一次方程？有哪些步骤？（1）去_________； （2）去__________；（3）移项； （4）合并___________； （5）系数化为1。

3、独立思考后我还有以下疑惑：二、合作交流探究与展示：1.辨一辨: 下列方程是否是分式方程？为什么？2121)1(=-+x x 2112)2(-=+y y 12141)3(=--+x x 21)4(=+-x x π x 1)5( 05)6(=+x y2.下列方程中哪些是分式方程?指出各分式方程的最简公分母。

1、阅读课本P149 ～ 150页，思考下列方程哪些是一元一次方程?353)1(=-x 52)2(=+y x 5)3(2=-x x 1312)4(=+-x x 295-=x x 0925=--x x 32121---=-x x x 01722=-++xx x x13(2)2x x =-3、解下列分式方程：4、归纳：解分式方程的基本思路：三、当堂检测：（1、2必做 3选做）1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.2、p150练习3、解方程：(1)623-=x x （2）1613122-=-++x x x 2(1)23x x -=3(3)2x x π-=(1)(4)1x x x -=-105126=-+x x 2131x x x ++=437x y +=1533+=-x x 2323--=-xx x四、学习反思1、这节课你学到了什么？。

2、还有什么疑惑？。

第1课时 分式方程及其解法1.理解分式方程的意义.2.了解分式方程的基本思路和解法.3.理解分式方程可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法.自学指导：阅读教材P149-151，完成下列问题.1.填空：(1)分母中不含有未知数的方程叫做整式方程(2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.判断下列说法是否正确： ①232x +=5是分式方程；②4x -43=3x 4+是分式方程; ③x x 2=1是分式方程;④1x 1+=1-y 1是分式方程. 解：①不是分式方程，因为分母中不含有未知数.②是分式方程.因为分母中含有未知数.③是分式方程.因为分母中含有未知数.④是分式方程.因为分母中含有未知数.自学反馈1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ ①22-x =3x ;②x 4+y 3=7; ③2-x 1=x 3;④x1)-x(x =-1; ⑤πx -3=2x ；⑥2x+51-x =10； ⑦x-x 1=2；⑧x 12x ++3x=1. 解：①⑤⑥是整式方程，因为分母中没有未知数.②③④⑦⑧是分式方程，因为分母中含有未知数.判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.2.解分式方程的一般步骤是：(1)去分母;(2)解整式方程;(3)验根;(4)小结.活动1 小组讨论例1 解方程:3-x 2=x3. 解：方程两边乘x(x-3)，得2x=3(x-3).解得x=9.检验：当x=9时，x(x-3)≠0.所以,原分式方程的解为x=9.例2 解方程:1-x x -1=2)1)(x -(x 3+. 解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0.所以x=1不是原方程的解.所以，原方程无解.活动2 跟踪训练1.解方程： (1)2x 1=3x 2+； (2)1x x+=33x 2x++1； (3)1-x 2=1-x 42； (4)x x 52+-x -x 12=0.解：(1)方程两边乘2x(x+3),得x+3=4x.去分母：x+3=4x.化简得：3x=3.解得x=1. 检验：将x=1代入2x(x+3)≠0.所以x=1是方程的解.(2)方程两边乘3(x+1)，得3x=2x+3x+3.解得x=23-.检验：将x=23-代入(3x+3)≠0.所以x=23-是方程的解.(3)方程两边乘x 2-1,得2(x+1)=4.解得x=1.检验：将x=1代入x 2-1=0，所以x=1不是方程的解.所以，原方程无解.(4)方程两边乘x(x+1)(x-1),得5(x-1)-(x+1)=0.解得x=23.检验：将x=23代入x(x+1)(x-1)≠0.所以x=23是原方程的解.方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.2.解分式方程：(1)1-x x =2-2x 3-2; (2)2-x 3-x +1=x -23; (3)1-2x 2x =1-2x 2+.解：(1)方程两边乘2x-2，得2x=3-2(2x-2).解得x=67.检验：当x=67时，2x-2≠0.所以x=67是原方程的解.(2)方程两边乘x-2,得x-3+x-2=-3.解得x=1.检验：当x=1时，x-2≠0.所以，x=1是原方程的解.(3)方程两边乘(2x-1)(x+2),得2x(x+2)=(2x-1)(x+2)-2(2x-1).解得x=0.检验：当x=0时，(2x-1)(x+2)≠0.所以，x=0是原方程的解.课堂小结解分式方程的思路是：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。

八年级数学下册：第十五章分式
课题：15.3 分式方程（1）课型：新授教材内容：149-151页总序第51课时主备人：副备人：审核：使用时间：
学习提示：
1、课标要求：能解可化为一元一次方程的分式方程。

2、结合前面所学，阅读课本149-151页内容，了解分式方程的定义，掌握解分式方程的一般
解法和分式方程可能产生增根的原因，解分式方程必须，学习中体会转化的数学思想。

3、结合自学将学案中的问题独立解决，将学习中的疑问和联想到的与本节有关的知识写在“学
学习之旅学习拓展
一、自主学习：
1、回忆一元一次方程的解法，
解方程1
6
3
2
4
2
=
-
-
+x
x
（完成后同组展示）
2、（1）方程
v
v-
=
+30
60
30
90
，观察它的特征，想一想和以前所学的方
程一样吗？区别在哪里？
（2）归纳：分式方程的概念________________ _.
3、自学检测：
判断下列各式哪个是分式方程．
二、合作探究：
1、阅读课本149页思考以上部分.
2、思考：（小组内说说自己的看法）
（1）分式方程的特征？能否转化为我们熟悉的会解的方程的形式？
（2）如何进行转化？关键是什么？
3、试解方程：
1）
v
v-
=
+20
60
20
100
2)
25
10
5
1
2-
=
-x
x。

15.3 分式方程15.3 分式方程（第1课时）教学目标1.理解分式方程的意义，了解解分式方程的基本思路和方法，理解解分式方程时可能无解的原因，会解分式方程.2.经历“实际问题—分式方程—整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，感悟数学的转化思想，培养学生的应用意识.教学重点难点重点：解分式方程的基本思路和方法. 难点：理解分式方程可能无解的原因.教学过程导入新课导入一：西天取经路上，唐僧给徒弟们出了一道数学题目：某项工程要在规定的期限内完成，甲卫队单独做正好能够按期完成，乙卫队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后，再由乙卫队单独做，也正好按期完成.如果设规定的期限是x 天，工程总量为1，如何列方程呢？三个徒弟都给出了自己的答案：孙悟空：2x +3x x +＝1；猪八戒：2x +23x +＝1；沙和尚：1123x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+23x x -+＝1.师傅表扬徒弟积极动脑，并说道：有一个徒弟的结论是错误的.你知道谁的错了吗？请同学们分析一下，解决这个问题所列出的方程还是整式方程吗？该如何解呢？导入二：某公司打字员小刚为了提高打字速度，决定到某电脑培训班培训，半个月后，打字速度相当于原来的3倍.现在打80字所用的时间比原来少用100秒，则小刚现在每分钟能打多少个字？如果设小刚现在每分钟打x 个字，你能列出方程吗？你列出的这个方程和我们学过的一元一次方程有什么不同？你会解这个方程吗？快跟我来学习本节吧，学了本节后问题就迎刃而解了.学生思考讨论，教师引入课题.引导学生分析：设小刚现在每分钟打x 个字，则小刚原来每分钟打3x个字，根据“现在打80字所用的时间比原来少用100秒”可以建立方程为803x -80x ＝10060. 导入三：教师提出问题，引入课题（出示多媒体课件） 活动一：教学反思问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用的时间与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速是v km/h.填空：（1）轮船顺流航行速度为（30+v）km/h，逆流航行速度为（30-v）km/h；（2）顺流航行90 km所用时间为9030v+h；（3）逆流航行60 km所用时间为6030v-h；（4）根据题意可列方程为9030v+＝6030v-.在学生完成填空的过程中，教师应关注学生能否把实际问题转化成数学问题，能否找到相等关系列出方程，对于基础较差的学生应加以指导.探究新知活动二：1.议一议：方程9030v+＝6030v-的特征.教师提出问题，学生思考、讨论后全班进行交流.学生归纳出：该方程的特征是分母中含有未知数.教师板演出分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程.2.想一想：方程x+13（x+1）＝16是不是分式方程？如何区分分式方程和整式方程？学生交流讨论，教师点拨归纳：上式不是分式方程.主要是看分母中是否含有未知数，含未知数的是分式方程，不含未知数的是整式方程.3.做一做：在方程①73x-＝8+152x-，②1626x-＝x，③281x-＝81xx+-，④x-112x-＝0中，是分式方程的有（）A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④由学生代表回答：C.4.解一解：解方程24x+-236x-＝1.由一位学生代表板演，其余学生独立完成，教师和学生一起得出答案. 解：方程两边同时乘12，得3（x+2）-2（2x-3）＝12，去括号，得3x+6-4x+6＝12，合并同类项，得-x＝0，系数化为1，得 x＝0.5.讨论：怎样解方程9030v+＝6030v-？学生分小组讨论，让学生讨论后得出：通过去分母.教师继续问：怎么去分母？学生继续讨论得出：方程两边同乘各分式的最简公分母.（教师可帮助学生回忆最简公分母的定义）请学生代表板演，其余学生独立完成，教师点拨，对学习有困难的学生给予一定的帮助.解：方程的两边同乘（30+v）（30-v），得90（30-v）＝60（30+v）.解得v＝6.（教师提醒学生注意检验）检验：将v＝6代入原方程中，左边＝右边，因此v＝6是原分式方程的解.由以上可知，江水的流速为6 km/h.6.试一试：解方程15x-＝21025x-.教师引导学生观察两个分母，x2-25能分解因式，这个方程的最简公分母是（x+5）（x-5）.师生共同解这个分式方程，教师板书：解：方程的两边同乘（x+5）（x-5），得x+5＝10，解得x＝5.检验：将x＝5代入原方程中，发现这时分母x-5和x2-25的值都为0.相应的分式是无意义的.因此，这个分式方程无解.7.再议一议：为什么分式方程有时会无解？学生先独立思考问题，然后提出自己的看法并在小组内讨论.在学生讨论期间，教师应到学生当中，参与学生的数学活动，鼓励学生勇于探索、实践，解释产生这一现象的原因，并懂得在解分式方程时一定要进行检验.师生合作达成共识：明确因为x＝5使原方程没有意义，因此x＝5不是原分式方程的根，所以原方程无解（提示：方程的解也可称为方程的根）.①增根：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去分母，有可能产生不适合原方程的根（或解），这种根通常称为增根.②解分式方程时必须进行检验.③为什么会产生增根呢？对于原分式方程来说，方程中各分式的分母的值均不为零，但方程变形后得到的整式方程则没有这个要求，如果所得的整式方程的某个根使原分式方程中至少一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式的值为零，那么它就不适合原方程，即是原方程的增根.④怎样检验？将方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，如果为零，即为增根.8.你能结合解法，归纳出解分式方程的基本步骤吗？学生独立思考后，请学生代表回答，老师帮忙总结出解分式方程的一般步骤：（1）去分母（方程两边同乘最简公分母，化为整式方程）.（2）解这个整式方程.（3）检验.把整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使最简公分母为零的值是原方程的增根，须舍去.可简单记作：一化、二解、三检验.新知应用例1 解方程：23x -＝3x. 由学生在练习本上独立完成，同时找两名学生板演.教师巡视指导，对学习有困难的学生及时帮助指点.学生做完后，同桌互相批阅.解：方程两边同乘x （x-3），得 2x ＝3（x-3）. 解得x ＝9.检验：将x ＝9代入x （x-3）得x （x-3）＝54≠0， 因此x ＝9是分式方程的解.例2 解方程：1xx --1＝3(1)(2)x x -+.由学生在练习本上独立完成，同时找两名学生板演.教师巡视指导，对学习有困难的学生及时帮助指点.学生做完后，同桌互相批阅.解：方程两边同乘（x+2）（x-1），得 x （x+2）-（x+2）（x-1）＝3. 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，（x+2）（x-1）＝0，所以x ＝1不是原分式方程的解，原分式方程无解.解完例题后，教师和学生共同总结解分式方程需要注意的问题. 总结：1.解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘同一个整式，把分式方程转化为整式方程来解的过程，所乘的整式通常是方程中出现的各分式的最简公分母.2.解分式方程时必须进行检验，检验时，可将转化成的整式方程的根代入所乘的整式（即最简公分母）中，看它的值是否为零，如果为零，即为增根，应舍去.3.一个未知数的值是分式方程的增根应具备两个条件：一是该值应是去分母后所得到的整式方程的根，二是该值应使最简公分母的值为零.课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案1.D2.B3.D4.C5.B6.A7.解：（1）方程变形为13x ++23x -＝2129x -. 两边同时乘（x 2-9），得x-3+2x+6＝12， 解得x ＝3，经检验x ＝3是原方程的增根， 故原方程无解.（2）原方程去分母，得2+3（x-2）＝-（1-x ）， 解得x ＝32.经检验x＝32是原分式方程的解，所以原分式方程的解为x＝32.（3）方程两边乘x（x2-1），得5x-2＝3x，解得x＝1，经检验x＝1是原方程的增根，故原方程无解.8.a<5且a≠3解析：去分母得1-（a-2）＝x-2，整理得x＝5-a.因为分式方程的解为正数，所以5-a>0，解得a<5.又因为x≠2，所以5-a≠2，即a≠3.所以a的取值范围是a<5且a≠3.课堂小结今天我们学习了：1.什么是分式方程.2.解分式方程的基本思路和一般步骤是什么.解分式方程应该注意什么问题.布置作业教材154页习题15.3第1题.板书设计。