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《二次函数》知识点解读知识点1 二次函数的概念二次函数的概念：形如y=ax 2+bx+c （a ≠0，a,b,c 为常数）的函数是二次函数。
若b=0，则y=ax 2+c ；若c=0，则y=ax 2+bx ；若b=c=0，则y=ax 2。
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般式。
在二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0，a,b,c 为常数）中，其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项的系数；c 叫做常数项。
为什么要规定二次项的系数a ≠0？当a=0时，函数为y=bx+c 是一次函数，由此可见，一次函数是二次函数的特例。
1）a ≠0是保证y 是x 的二次函数的重要条件，不能缺少。
b 、c 可以为0.（2）因为解析式是整式，所以自变量x 的取值范围是全体实数。
（3）确定二次函数的解析式就是确定待定系数a ，b ，c ，一般需要三个条件。
（4）识别二次函数的条件：必须是整式，自变量的最高次数为2，即必须有二次项。
例1 下列函数中，哪些是二次函数？（1）y=2+5x 2 （2）322+=x y （3）y=3x （x+5） （4）225x y = （5）y=x 2-4（4-x ）2分析：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0，a,b,c 为常数）是整式函数，二次函数不一定是一般式，通过化简变形可以化成一般式，注意隐含条件a ≠0。
解：（1）（3）（4）（5）是二次函数；（2）不是。
例2 已知，函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数，你能确定k 的值吗？请说明理由。
分析：要想确定k 的值，可由二次函数的定义来求解。
解：由题意，得{22022=-≠+k k2 解得k=2。
所以，当k=2时，函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数。
知识点2 二次函数在实际问题中的应用例3 某商场第一个月销售额为50万元，第三个月的销售额y （万元）与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？解析：函数关系式是y=50（1＋x ）2，即y=50x 2+100x+50。
二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：2-32y=3(x+4)22y=3x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题， 如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y=-2(x-3)2A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题， 如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
《二次函数》知识点解读知识点1 二次函数的概念二次函数的概念：形如y=ax 2+bx+c （a ≠0，a,b,c 为常数）的函数是二次函数。
若b=0，则y=ax 2+c ；若c=0，则y=ax 2+bx ；若b=c=0，则y=ax 2。
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般式。
在二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0，a,b,c 为常数）中，其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项的系数；c 叫做常数项。
为什么要规定二次项的系数a ≠0？当a=0时，函数为y=bx+c 是一次函数，由此可见，一次函数是二次函数的特例。
1）a ≠0是保证y 是x 的二次函数的重要条件，不能缺少。
b 、c 可以为0.（2）因为解析式是整式，所以自变量x 的取值范围是全体实数。
（3）确定二次函数的解析式就是确定待定系数a ，b ，c ，一般需要三个条件。
（4）识别二次函数的条件：必须是整式，自变量的最高次数为2，即必须有二次项。
例1 下列函数中，哪些是二次函数？（1）y=2+5x 2 （2）322+=x y （3）y=3x （x+5） （4）225x y = （5）y=x 2-4（4-x ）2分析：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0，a,b,c 为常数）是整式函数，二次函数不一定是一般式，通过化简变形可以化成一般式，注意隐含条件a ≠0。
解：（1）（3）（4）（5）是二次函数；（2）不是。
例2 已知，函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数，你能确定k 的值吗？请说明理由。
分析：要想确定k 的值，可由二次函数的定义来求解。
解：由题意，得{22022=-≠+k k解得k=2。
所以，当k=2时，函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数。
知识点2 二次函数在实际问题中的应用例3 某商场第一个月销售额为50万元，第三个月的销售额y （万元）与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？解析：函数关系式是y=50（1＋x ）2，即y=50x 2+100x+50。
新北师大版九年级数学二次函数的相关概
念梳理
本文主要介绍新北师大版九年级数学中关于二次函数的相关概念。
二次函数的定义
二次函数是指自变量的二次多项式函数，通常表达式为
$f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a\ne0$。
二次函数的图像
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当$a>0$ 时，抛物线开口朝上；当 $a<0$ 时，抛物线开口朝下。
二次函数的顶点
当 $a>0$ 时，二次函数的最小值（即顶点）为 $f\left(-
\dfrac{b}{2a}\right)$；当 $a<0$ 时，二次函数的最大值（即顶点）
为 $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$。
轴对称
二次函数的图像关于垂直于 $x$ 轴的直线 $x=-
\dfrac{b}{2a}$ 对称。
零点
二次函数的零点是指函数值等于$0$ 时，对应的自变量的取值。
二次函数的零点可以通过求解二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 来确定。
总结
二次函数是初中数学中非常重要的一个概念，在应用数学、高
中数学以及大学数学中都有广泛的应用。
通过本文的梳理，相信读
者可以更深入地理解和掌握二次函数的相关概念。
北师大版数学九年级下册：二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax^2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。
性质：当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值（a>0）。
当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值（a<0）。
2.y=ax^2+c的性质：上加下减，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。
性质：当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值c（a>0）。
当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值c（a<0）。
3.y=a(x-h)^2的性质：左加右减，a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。
性质：当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。
当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。
4.y=a(x-h)^2+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。
性质：当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。
当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。
三、二次函数图象的平移平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)^2+k，确定其顶点坐标(h,k)处，具体平移方法如下：保持抛物线y=ax^2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)，向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。
第二章 二次函数 知识点总结
1.定义：一般地，如果
a b c （、、是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2. 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用
(1)a 的正负决定开口方向 ： （2）|a |大小决定开口大小：
a>0，开口向 ； |a |越大，开口反而越 ； a<0，开口向 ； |a |越小，开口反而越 ； 简记为： 简记为：
（3）a 、b 的正负共同决定对称轴的位置： （4）c 的正负决定与y 轴的交点： ab 0>，则对称轴位于y 轴的 侧 ； ，则图像与y 轴的正半轴相交； ab < 0，则对称轴位于y 轴的 侧 ； ，则图像与y 轴的负半轴相交； 简记为： ，则图像一定经过原点
简记为：
4
平移的规律可以简记为：
5.抛物线c bx ax y ++=2的性质：
(1) ∵a b ac a b x a c bx ax y 44222
2-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++=，
∴顶点坐标是（ ， ），对称轴是
当 x= - b 2a 时，2
4ac y =4b a
-（最大或最小值） （2）a>0 当x 在对称轴的左侧， y 随x 的增大而 ；
当x 在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ；
a<0 当x 在对称轴的左侧， y 随x 的增大而 ；
当x 在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ；
6、表示二次函数的三种方式有
7、用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式： .已知图像上三点，通常选择一般式.
(2)顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式： .已知图像与x 轴交点的横坐标1x 、2x ，通常
选用交点式。
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函
数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 8、2y ax bx c =++图象的画法，画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
9、根据图像巧设抛物线的表达式：
（1）当抛物线关于y 轴对称时，即是顶点在y 轴上时，设2y ax c =+
（2）当抛物线经过原点时，设2y ax bx =+
（3）当抛物线的顶点式原点时，设2y ax =
（4）当抛物线的顶点在x 轴上时，设2(h y a x =-）
10、如图，四边形ABCD 是平行四边形，设
A(11, x y ) B(22, x y )C(33, x y )D(44, x y )则有
1324++=
22
x x x x 1324++=22
y y y y
11、二次函数与一元二次方程：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有 个交点。
交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x >，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离12x AB x =-. 对称轴12x +x x 2
=
② 当24=0b ac ∆=-时，图象与x 轴有 个交点；
③ 当2=40b ac ∆-<时，图象与x 轴有 个交点.
12、（1） 当0a >且240b ac -<时，
图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
（2）当0a <且240b ac -<时，
图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
13、抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
14、二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，令y=0,转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或带入公式2
4ac y =4b a
-（最大或最小值）求解 ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
15、求抛物线的顶点、对称轴的方法：
（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422
--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一
失.
16、点P （a ，b ）关于x 轴的对称点是（a ，- b ）关于y 轴的对称点是（- a ，b ），
关于原点的对称点是（- a ，- b ）。
