(完整版)二次函数知识点复习PPT
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二次函数知识点总结页数:17
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中考二次函数知识点汇总页数:8
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[学习]二次函数知识点复习PPT页数:11
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二次函数复习ppt课件
点坐标是（1/2，1） ； （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n 开口向下，顶点在第四象限，则 a ＜刀
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
第三单元第四课时二次函数复习课件
增减性: 1 当 x 时,y随x的增大而减小
(4) 由图象可知：
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0 y
•
(-3,0)
(1,0) x 0
•
• • • (-1,-2)
3 (0,-– 2)
三、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解 y=ax2+bx+c(a≠0) 析式为________________ 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， y=a(x-h)2+k(a≠0) 通常设抛物线解析式为_______________ 求出表达式后化为一般形式. *3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点 (x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) _____________ 求出表达式后化为一般形式.
画二次函数的大致图象: ①画对称轴 ②确定顶点 x ③确定与y轴的交点 (-2,0) 0 (3,0) ④确定与x轴的交点 ⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点 ⑥连线 (1,-6) 25 (0,-6) 1 （—，- — ） 4 2
25 1 （—，- — 二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________ 4） 2 1 x=— 对称轴是_________ 。 2 1 x= — y 2
四、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定. 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点
c>0
二次函数复习课件PPT
个单位,再向 平移
个单位可
得到抛物线 y=3(x+2)2 -3.
16、将函数y＝－3（x－1）2－1的图象 (1) 沿y轴翻折后得到的函数解析式_____. (2) 沿X轴翻折后得到的函数解析式_____. (3) 沿原点旋转180°后得到的函数解析式
_____. (4) 沿顶点旋转180°后得到的函数解析式
解: y ax2 bx c
a x2 b x c 提取二次项系数
a x2
a a
b x b 2 b 2 a 2a 2a
c a
配方:加上再减去一 次项系数绝对值一 半的平方
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
y的 最值
增减性
在对称 在对称 轴左侧 轴右侧
y=ax2
a＞0 向上 y轴
（0，0）
最小值 是0
y随x的增 y随x的增 大而减小 大而增大
a＜0 向下
y轴
（0，0）
最大值 y随x的增 是0 大而增大
y随x的增 大而减小
y=ax2+c
a＞0 向上 a＜0 向下
y轴 y轴
（0，c）
最小值 是C
y随x的增 y随x的增 大而减小 大而增大
4a
➢当a>0时，抛物线的开口向上，顶点 是抛物线上的最低点；
➢当a<0时，抛物线的开口向下，顶点 是抛物线上的最高点.
二次函数关系式的常见形式：
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x+m)2+k
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
确定二次函数的解析式时，应该根据 条件的特点，恰当地选用一种函数表达式.
二次函数复习-完整版PPT课件
学练优九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十二章 二次函数
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
课后训练
知识网络
二次函数的概念
定义 一般形式
y=a2bc
a,b,c是常数，a≠0
自变量的取值范围 全体实数
图象
一条抛物线
一般式
二
次 解析式形式 顶点式
函
数
交点式
y=a2bca≠0 y=a-h2 y=a-1-2
y=a2bc
1,2）；
y
C’
C
Q
B
OA x
图2
丙1,15
丁
0,1
4,1
1m
甲
2.5m
乙
1m
4m
解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物a线的b 解1析1式.5,为y=a2b1
点（1,15）、（4,1）在抛物线上，得 16a 4b 1 1,
解得：a ， 所1 ,b以抛2 物线解析式为
63
y1x22x1(1≤ x≤ 4） , 63
当=25时，y=1625所以丁同学的身高为1625米
应
用
二次函数的概念 及图象特征
用数形结合 的方法去研 究和运用
建立二次函数模型， 将实际问题数学化， 运用二次函数知识 解决实际问题
课后训练
=-2-523 ，下列说法正确的是（ ）
A
A开口向下，顶点坐标5,3 B开口向上，顶点坐标5,3
C开口向下，顶点坐标-5,3 D开口向上，顶点坐标-5,3
>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=a2bc的是 （ A）
a ≠ 0 性 质 六点、一轴、一方及增减性与最值
第二十二章 二次函数
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
课后训练
知识网络
二次函数的概念
定义 一般形式
y=a2bc
a,b,c是常数，a≠0
自变量的取值范围 全体实数
图象
一条抛物线
一般式
二
次 解析式形式 顶点式
函
数
交点式
y=a2bca≠0 y=a-h2 y=a-1-2
y=a2bc
1,2）；
y
C’
C
Q
B
OA x
图2
丙1,15
丁
0,1
4,1
1m
甲
2.5m
乙
1m
4m
解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物a线的b 解1析1式.5,为y=a2b1
点（1,15）、（4,1）在抛物线上，得 16a 4b 1 1,
解得：a ， 所1 ,b以抛2 物线解析式为
63
y1x22x1(1≤ x≤ 4） , 63
当=25时，y=1625所以丁同学的身高为1625米
应
用
二次函数的概念 及图象特征
用数形结合 的方法去研 究和运用
建立二次函数模型， 将实际问题数学化， 运用二次函数知识 解决实际问题
课后训练
=-2-523 ，下列说法正确的是（ ）
A
A开口向下，顶点坐标5,3 B开口向上，顶点坐标5,3
C开口向下，顶点坐标-5,3 D开口向上，顶点坐标-5,3
>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=a2bc的是 （ A）
a ≠ 0 性 质 六点、一轴、一方及增减性与最值
二次函数总复习总结课件PPT
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
CHENLI
14
y
•0 (0,0)
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
云 影 飘 飘 漾漾 ，滑落 几瓣， 摇曳乞 巧坊。 绿 意 掩 映 的门， 玲珑雕 花的窗 ， 朱 红 的 屏 风穿透 古筝悠 扬，高 山流水 韵，又 一曲， 渔舟晚 唱。 芊 芊 玉 指， 脂 粉 的 面 庞 ，颔首 凝神， 眉如黛 ，双眸 似水， 轻捻指 ，飞针 走线， 满目心 事，落 于 绸 缎 间 徜 徉。 十 指 春 风， 七彩的 丝线盘 绕出戏 水的鸳 鸯，牡 丹嫣红 次第开 放 ， 红 梅 凌 雪，睡 莲静卧 ，兰花 一枝独 自芬芳 。 蜂 蝶 绕 ， 燕呢 喃，凤 飞翱翔 ， 四 海 求 凰 。 丽 华 秀 玉 色， 汉女娇 朱颜。 清歌遏 流云， 艳舞有 馀闲。 墨香点 点 ， 熏 染 墙 面歌悠 扬，笔 意汩汩 ，飞舞 白宣诗 流淌。 荷 包 绣 不 尽，丝 丝缕缕 遥 远 的 牵 挂 ；锦囊 裹幽香 ，缠缠 绵绵前 世的爱 恋。红 丝带系 牢，思 念挂在 心间。 缀 满 心 事 的 流苏， 飞溅经 年的约 定，一 颗颗无 声的珠 玉滴落 ，都脆 响在七 月带露 的 心 上 。 垂 挂 在 空中 ，风干 的往事 ，独倚 雕栏， 寂静张 望。 蓝 花 布 包裹 的 花 枕 ， 香 酥手将 美梦一 一盛放 ，蓝天 白云荞 麦香， 装着故 乡的模 样，花 枕圆、 花 枕 方 ， 情 针意线 绣不尽 。鸳鸯 枕边， 绣花的 棱角稳 稳当当 ，层层 叠叠垒 ，砌成 安 静 的 墙 。 雨过后 ，天微 凉，送 你，去 远方， 心随你 走，他 乡是故 乡，牵 着故乡 月 ， 让 心 去 流浪， 枕边耳 语在， 无论走 多远， 不被遗 忘。 古 色 古 香韵 悠长，
二次函数图像和性质复习PPT课件
二次函数复习
.
1
1.二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数， a≠0）的函数叫做二次函数
自变量x的取值范围是：任意实数
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
.
2
2.二次函数的表达式：
（1 ）二次函数的一般形式:函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)
解这个方程组得
a 1
b
4
c 3
∴这个函数的解析式是：y=x2-4x+3
.
10
练习：根据下列已知条件， 求二次函数的解析式：
(1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)
(2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)
(3)抛物线过原点，且过点(3,－27)
(4)已知二次函数的图象经过点（1，0）， (3，0),(0，6)求二次函数的解析式。
∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3，
-1 B0
∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。
P
3 Q Ax
∴p(2,3)
或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0
x=1±√7，∴p(1+√7,-3),p. (1-√7 ,-3)
12
在对称轴右侧，y随x的增大而. 减小
y x
y x
4
1、下列函数中，是二次函数的是 ① ② ③ ⑦ .
① yx2 4x1 ② y 2x2
③ y1(x1)24
2
④ y 4 ⑤ ym2xnxp ⑥ y 3x
⑦
x
⑧
y 3(x2)x (1)
y(x1)2x2
.
1
1.二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数， a≠0）的函数叫做二次函数
自变量x的取值范围是：任意实数
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
.
2
2.二次函数的表达式：
（1 ）二次函数的一般形式:函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)
解这个方程组得
a 1
b
4
c 3
∴这个函数的解析式是：y=x2-4x+3
.
10
练习：根据下列已知条件， 求二次函数的解析式：
(1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)
(2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)
(3)抛物线过原点，且过点(3,－27)
(4)已知二次函数的图象经过点（1，0）， (3，0),(0，6)求二次函数的解析式。
∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3，
-1 B0
∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。
P
3 Q Ax
∴p(2,3)
或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0
x=1±√7，∴p(1+√7,-3),p. (1-√7 ,-3)
12
在对称轴右侧，y随x的增大而. 减小
y x
y x
4
1、下列函数中，是二次函数的是 ① ② ③ ⑦ .
① yx2 4x1 ② y 2x2
③ y1(x1)24
2
④ y 4 ⑤ ym2xnxp ⑥ y 3x
⑦
x
⑧
y 3(x2)x (1)
y(x1)2x2
二次函数复习课PPT课件
（图3）象将C抛2，物点线PC为1：x轴y=上41的x2一-x个+k动绕点原，点过旋点转P1作80x°轴得的到垂 线，分别与图象C1、C2交于M、N两点，当线段MN 的长度最小时，求点P的坐标；
2020/10/13
7
谢谢您的指导
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
如图所示，下列结论中：①abc＞0；
②b=2a；③a+b+c＜0；④a-b+c＞0；
正确的是 ① ② ③ ④ ；（填序号）
-1 o 1 x
2020/10/13
6
挑战自我
已知抛物线y=
1 4
x2-x+k的图象顶点是（a,1-a2）.
（1）求抛物线解析式；
（2）若抛物线上两点A（x1,y1），B（x2,y2）的横坐 标满足x1<x2<1,比较y1与y2的大小；
汇报人：XXXX 日期：20XX年XX月XX日
8
-1 o 1 x
2020/10/13
5
体验成功
❖ 1、已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过 点（3,0），则图象必经过另一点的坐标为 （1,0）；
❖ 2、请写出一个二次函数关系式，使其图象与y轴的交
点坐标为（0,2），且x>0时y随x的增大而增大
y=x2+x+2 ；
y
❖ 3. 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象
2020/10/13
2
动动手
请画出二次函数y=x2-6x+5的大致图象
2020/10/13
7
谢谢您的指导
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
如图所示，下列结论中：①abc＞0；
②b=2a；③a+b+c＜0；④a-b+c＞0；
正确的是 ① ② ③ ④ ；（填序号）
-1 o 1 x
2020/10/13
6
挑战自我
已知抛物线y=
1 4
x2-x+k的图象顶点是（a,1-a2）.
（1）求抛物线解析式；
（2）若抛物线上两点A（x1,y1），B（x2,y2）的横坐 标满足x1<x2<1,比较y1与y2的大小；
汇报人：XXXX 日期：20XX年XX月XX日
8
-1 o 1 x
2020/10/13
5
体验成功
❖ 1、已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过 点（3,0），则图象必经过另一点的坐标为 （1,0）；
❖ 2、请写出一个二次函数关系式，使其图象与y轴的交
点坐标为（0,2），且x>0时y随x的增大而增大
y=x2+x+2 ；
y
❖ 3. 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象
2020/10/13
2
动动手
请画出二次函数y=x2-6x+5的大致图象
二次函数复习(共36张PPT)
y=ax2+bx+c的图 方程ax2+bx+c=0
象和x轴交点
的根
b2-4ac
有两个交点
方程有两个不相等的 b2-4ac>0
实数根
只有一个交点
方程有两个相等的 b2-4ac=0
实数根
没有交点
方程没有实数根 b2-4ac<0
函数的图象
y
.
. ox
y
o
x
y
o
x
根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数 值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
(4)函数的自变量x的取值范围：任意实数
当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范
围.
二次函数的一般形式:
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
向上
直线X=-h
（-h，k）
a ＜ 0 向下
图象的平移规律：
对于抛物线y=a(x+h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、h决定图象沿x轴方向左右平移，左+右— (3)、k决定图象沿y轴方向上下平移，上+下—
知识运用
（坐1标）是抛物线,图(y0象=,0过)x32 第2的开口向一象、,限对上二称；轴是
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2
a ＞ 0 向上 直线X=0 a ＜ 0 向下 （或y轴）
二次函数总复习 [初中数学 讲课教案 ]ppt课件
（1）观察图象，写出A 、B、C三点的坐标，并求出抛物 线解析式，
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴 （3）观察图象，当x取何值时，y<0？y=0？y>0?
y
5
C
AO
-1
4
B
完整编辑ppt
x
25
课后练习：
8、已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象关于直线 x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上. （1）求此二次函数的解析式； （2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上 移动到点M时，图象与x轴交于A 、B两点，且S△ABM=8， 求此时的二次函数的解析式 。
x
Ox
B
y O
x
C
D
完整编辑ppt
19
3、 已知抛物线 y=2x2+2x－4，
x1
则它的对称轴为_________2_，顶点为
( 1 , 9 )
___2___2_，与x轴的两交点坐标为
_(_1,_0_)_,(__2_,_0_)，
与y轴的交点坐标为_（__0_,－_4_）__。
完整编辑ppt
20
练习
完整编辑ppt
30
练一练
5、已知二次函数 y=kx2－7x－7的图象与x轴
有交点，则k的取值范围是
( B)
A、k≥ 7 4
B、k≥ 7 且k 0 4
C、k＞ 7 4
D、k＞ 7 且k 0 4
完整编辑ppt
31
例题
1、已知抛物线y=x2+ax+a-2.
(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;
A .y=x2+2x－2 B. y=x2+2x+1
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴 （3）观察图象，当x取何值时，y<0？y=0？y>0?
y
5
C
AO
-1
4
B
完整编辑ppt
x
25
课后练习：
8、已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象关于直线 x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上. （1）求此二次函数的解析式； （2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上 移动到点M时，图象与x轴交于A 、B两点，且S△ABM=8， 求此时的二次函数的解析式 。
x
Ox
B
y O
x
C
D
完整编辑ppt
19
3、 已知抛物线 y=2x2+2x－4，
x1
则它的对称轴为_________2_，顶点为
( 1 , 9 )
___2___2_，与x轴的两交点坐标为
_(_1,_0_)_,(__2_,_0_)，
与y轴的交点坐标为_（__0_,－_4_）__。
完整编辑ppt
20
练习
完整编辑ppt
30
练一练
5、已知二次函数 y=kx2－7x－7的图象与x轴
有交点，则k的取值范围是
( B)
A、k≥ 7 4
B、k≥ 7 且k 0 4
C、k＞ 7 4
D、k＞ 7 且k 0 4
完整编辑ppt
31
例题
1、已知抛物线y=x2+ax+a-2.
(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;
A .y=x2+2x－2 B. y=x2+2x+1
《二次函数》PPT课件
一次函数 y＝kx＋b(k≠0)
正比例函数
y＝kx (k≠0)
一条直线
反比例函数 y k (k 0).
双曲线
x
课时导入
导入新知 正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正 方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的 每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数， 它们的具体关系可以表示为 y＝6x2.
课堂小结
二次函数
(2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函 数关系式化为一般形式．
(3)二次项系数不为0.
感悟新知
知2－练
方法点拨：在实际问题中建立二次函数模型时，关键 要找出两个变量之间的数量关系，用类似建立一元二 次方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的关 系式.
解：(1) y=300+30 ( 60-x ) =-30x+2 100 ( 40 ≤ x ≤ 60 ). ( 2 ) W= ( x-40 ) ( -30x+2 100 ) =-30x2+3 300x-84 000.
课时导入
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变 量x的最高次数是2.
这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学 习的二次函数．
感悟新知
知识点 1 二次函数的定义
问题1
知1－讲
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，
比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
比赛的场次数
m＝ 1 n(n－1)，
即m＝
1
2 n2－
感悟新知
总结
知2－讲
1. 建立二次函数模型的一般步骤： (1)审清题意：找出问题中的已知量（常量）和
未知量（变量），把问题中的文字或图形语言转化 成数学语言.
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图象与X轴的交点个数 • 当Δ=b2-4ac>0时，函数与X轴有两个交点； • Δ=b2-4ac <0时，函数与X轴没有交点； • Δ=b2-4ac =0时；函数与X轴只有一个交点；
• （1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只 有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则 Δ=b2-4ac=0；
b 2a
，y最小值
•
4a
当a<0时，函数有最大值，并且当x=
b 2a
= 4ac b2
y最大值
4a
二次函数 图像的平移：
• 规律：左加右减，上加下减 • 思考：y=ax2 如何变换到y=ax2+bx+c？ • 方法：1.先将一般式化为顶点式
2.采用顶点平移法
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 中
二次函数的应用：
• 1 根据实际问题，建立二次函数模型，解决 实际问题（如例1：求利润，面积等最值）
• 2 已知模型，利用待定系数法，求出解析 式，解决实际问题。 （如例2）
• 3建立直角坐标系，求解析式，解决实际问 题（能否通过问题）。 （如例3）
a、b、c的符号判别：
• ①a的符号判别由开口方向确定：当开口 向上时，a＞0；当开口向下时，a＜0；
• ②c的符号判别由与Y轴的交点来确定：若 交点在X轴的上方，则c＞0；若交点在X轴 的下方，则C＜0；
• ③b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴 的左侧，则a、b同号；若对称轴在Y 轴的 右侧，则a、b异号；(a与b左同右异)
• （2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在 Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则 b=0；
• （3）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点， 则c=0；
二次函数与一元二次方程的关系：
• 方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个不相等的实数根判别 式Δ＞０对应的二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的开口 向上且顶点在x轴下方；
（二次函数）
知识点小结：
• 二次函数解析式 • 二次函数图象与性质 • 二次函数 图像的平移 • 二次函数a、b、c的符号判别 • 图象与X轴的交点个数 • 二次函数与一元二次方程的关系 • 二次函数的应用
解析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c（a≠0），
对称轴：直线x= b
2a
b 4ac b2
1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；
当a<0时，函数开口方向向下；
2、增减性：
• 当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大 而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；
• 当a<0时，在对称轴左侧，y随着x的增大 而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；
3、最大或最小值：
•
当a>0时，函数有最小值，并且当x= = 4ac b2
• 方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个相等的实数根判别式 Δ＝０对应的二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的开口向 上且顶点在x轴上；
• 方程ax2+bx+c=0(a>0)没有实数根判别式Δ＜０对 应的二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的开口向上且顶 点在x轴上方．
• 也就是说，判断一个方程是否有解以及解的个数 的问题，可以转化为讨论对应的二次函数的图象 开口方向以及顶点与x轴的位置问题
顶点坐标：( 2a , 4a
)
（2）顶点式：y=a（x+m）2+k（a≠0）， 对称轴：直线x=－m； 顶点坐标为（－m，k）
（3）两根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,
对称轴:直线x= x1x2 2
(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横 坐标).
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质