考研数学模拟测试题完整版及答案解析数一

考研数学（数学一）模拟试卷480(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知当χ→0时，f(χ)＝arcsinχ－arctanaχ与g(χ)＝bχ[χ－ln(1＋χ)]是等价无穷小，则( )A．a＝b＝1。

B．a＝1，b＝2。

C．a＝2，b＝1。

D．a＝b≠1。

正确答案：A解析：根据等价无穷小的定义，那么1－a＝0，，则有a＝1，b＝1。

故选A。

2．设函数f(χ)在[0，1]上连续，且＝1。

f(χ)＝bnsinπχ，χ∈R，其中bn＝2∫01f(χ)sinnπχdχ，n＝1，2，3…，测＝( )A．0B．1C．－1D．正确答案：C解析：因为＝1，所以可得f(χ)＝1，又因为函数连续，则题目中把f(χ)展开为正弦级数，可知f(χ)为奇函数，可将函数f(χ)奇延拓，得到T＝2，3．设f(χ)是连续且单调递增的奇函数，设F(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则F(χ)是( )A．单调递增的奇函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递减的偶函数正确答案：B解析：令χ－u＝t，则F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt，F(－χ)＝∫0－χ(－χ－2t)f(t)dt，令t＝－u，F(－χ)＝∫0χ(－χ＋2u)f(－u)du＝∫0χ(χ－2u)f(－u)du。

因为f(χ)是奇函数，f(χ)＝－f(－χ)，F(－χ)＝∫0χ(χ－2u)f(u)du，则有F(χ)＝－F(－χ)为奇函数。

F′(χ)＝∫0χf(t)dt －χf(χ)，由积分中值定理可得∫0χf(t)dt＝f(ξ)χ，ξ介于0到χ之间，F′(χ)＝f(ξ)χ－χf(χ)＝[f(ξ)－f(χ)]χ，因为f(χ)单调递增，当χ＞0时，ξ∈[0，χ]，f(ξ)－f(χ)＜0，所以F′(χ)＜0，F(χ)单调递减；当χ＜0时，ξ∈[χ，0]，f(ξ)－f(χ)＞0，所以F′(χ)＜0，F(χ)单调递减。

考研数学（数学一）模拟试卷469(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设n为自然数，则=( )．A．nB．2nC．3nD．4n正确答案：D解析：由于注意到｜sint｜是以π为周期的函数，则故应选(D)．2．曲面z=+y2上平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程是( )．A．2x+y+z-3=0B．2x+2y-z-3=0C．2x+2y+z-3=0D．2x+2y-z+3=0正确答案：B解析：令F(x，y，z)=+y2-z，则F’x=x，F’y=2y，F’z=-1．由条件知所求平面的法向量n=(F’x，F’y，F’z)=(x，2y，-1)平行于已知平面的法向量，n1=(2，2，-1)，从而有，由此得x=2，y=1，z=+y2=3，即点(2，1，3)为切点，故所求切平面方程为2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0，即2x+2y-z-3=0．故应选(B)．3．设f(0)=0，则f(x)在点x=0处可导的充要条件为( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：排除法．对于(A)选项，取f(x)=｜x｜，则极限存在，但f(x)=｜x｜在x=0处不可导，故排除(A)；对于(C)选项，仍取f(x)=｜x｜，有极限存在，但f(x)在x=0处不可导，故排除(C)项；对于(D)选项，取f(x)=则极限存在，但f(x)在x=0不连续，从而f’(0)也不存在，故排除(D)项．故应选(B)．4．设是正项级数，下列结论中正确的是( )．A．若，则级数an收敛B．若存在非零常数λ，使得C．若级数D．若级数an发散，则存在非零常数λ，使得正确答案：B解析：取an=发散，则排除(A)、(D)项；又取an=，排除(C)．故应选(B)．5．已知n维向量组(i)α1，α2，…，αs和(ii)β1，β2，…，βt的秩都为r，则下列命题中不正确的是( )．A．若s=t，则向量组(i)与(ii)等价B．若向量组(i)是(ii)的部分组，则向量组(i)与(ii)等价C．若向量组(i)能由(ii)线性表示，则向囊组(i)与(ii)等价D．若向量组(iii)：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt的秩为r，则向量组(i)和(ii)等价正确答案：A解析：取向量组(i)：α1=则向量组(i)的秩为2，向量组(ii)的秩也为2．但显然(i)与(ii)不等价．故应选(A)．6．矩阵与( )相似．A．B．C．D．正确答案：D解析：令矩阵A=，则A的特征值为1和2．而(A)选项中矩阵的特征值为-1和-2，故矩阵A不与(A)选项的矩阵相似．又因为=2，而(B)选项中=0，(C)选项中=-2，故矩阵A不与(B)、(C)选项的矩阵相似．所以，矩阵A与(D)选项的矩阵相似．事实上，均与对角阵相似．再由相似的传递性，相似．故应选(D)．7．设随机变量X，Y，Z相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(2，2)，Z～N(3，7)，记a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z)，则( )．A．a＜bB．a＞bC．a=bD．无法确定正确答案：A解析：因为X-Y～N(-1，4)，Y-Z～N(-1，9)，则a=P{X＜Y}=P{X-Y＜0}=b=P{Y＜Z)=P{Y-Z＜0)=由于分布函数Ф(x)单调增加，所以a＞b．故应选(A)．8．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值=20cm，样本标准差S=1cm，则μ的置信度为0．90的置信区间是( )．(其中ta(n是上侧分位点)A．B．C．D．正确答案：C解析：由正态总体抽样分布的性质知，，故μ的置信度为0．90的置信区间是故应选(C)．填空题9．欧拉方程x2y’’+xy’-4y=x3的通解为___．正确答案：y=C1x2+x解析：令x=et，则原方程化为[D(D-1)+D-4]y=e3t，即(D2-4)y=e3t，(*)方程(*)对应的齐次方程的特征方程为r2-4=0，有根r1=2，r2=-2，故齐次方程的通解为Y=C1e2t+C2e-2t=C2x2+因为f(t)=e3t，λ=3不是特征方程的根，故可令y*=ae3t是方程(*)的一个特解，代入原方程x2y’’+xy’-4y=x3中，解得a=，即y*=e3t，因此原方程的通解为y=Y+y*=C1x2+x3．故应填y=C1x2+x3．10．幂级数的收敛半径为________．正确答案：或e-1解析：利用比值法或根值法先求l，再由R=即可．由于则R=11．设数量场，则div(gradu)=________．正确答案：解析：由题可得12．直线L1：x-1=的夹角为_______．正确答案：arccos解析：先利用两向量的向量积求出L2的方向向量，再由数量积便可得．L1的方向向量S1={1，2，1}，L2的方向向量S2为S2==-i-j+2k，因此所求夹角a 满足：则a=arccos故应填arccos13．设Dn=，则Dn中所有元素的代数余子式之和为______．正确答案：n!解析：利用公式Dn=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin，0=ai1Ai1+ai2Aj2+…+ainAjn(i ≠j)．因第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，所以1.A11+1.A12+…+1.A1n=Dn=n!．因第一行元素与第i(i≥2)行对应元素的代数余子式乘积之和等于零，所以 1.Ai1+1.Ai2+…+1.Ain=0．故所有元素代数余子式之和为n!．故应填n!．14．设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，若估计量(Xi+1-Xi)2是总体方差σ2的无偏估计量，则k=________．正确答案：解析：令=σ2，从而得到k．(Xi+1-Xi)2]=E[(Xi+1-Xi)2]={D(Xi+1-Xi)+[E(Xi+1-Xi)]2}= 2σ2=2k(n-1)σ2，令故应填解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一（解答题）模拟试卷135(题后含答案及解析)题型有：1.1．计算n阶行列式Dn=正确答案：当n＞3时，第2行减第1行，然后第4行减第2行，变为分块行列式。

即Dn=Dn-3=-Dn-3，且易求出D1=1，D2=0，D3=-1，于是其中k=0，1，2，…。

涉及知识点：行列式2．求极限。

正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续3．设0＜x1＜3，xn+1=(n=1，2，…)，证明数列{xn}的极限存在，并求此极限．正确答案：涉及知识点：高等数学4．确定常数a，b，c的值，使=4．正确答案：由于当x→0时对常数a，b都有ax2+bx+1一e-2x→0，又已知分式的极限不为零，所以当x→0时必有分母→0，故必有c=0．由于故必有a=4．综合得a=4，b=一2，c=0．涉及知识点：高等数学5．正确答案：涉及知识点：高等数学部分6．设f’(x)=arcsin(x－1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx．正确答案：∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x－1)=x(x－1)f(x)|01－∫01(x－1)f’(x)dx=f(0)－∫01(x－1)f’(x)dx=－∫01(x－1)arcsin(x－1)2dx=－1／2∫01arcin(x－1)2d(x－1)2－1／2∫10arcsintdt=1／2∫01arcsintdt 涉及知识点：高等数学7．设f(x)满足，求f’(x)．正确答案：方程两边同时对x求导得原等式中x换成，得②式两边同时对x 求导得③×2一①得，涉及知识点：一元函数微分学8．已知向量α=(1，k，1)T是矩阵A=的逆矩阵A—1的特征向量，试求常数k的值及α对应的特征值．正确答案：由条件有A—1α=λα，两端左乘A，得λAα=α，即涉及知识点：线性代数9．已知函数y=e2x+(x+1)ex是线性微分方程y’’+ay’+by=cex的一个解，试确定常数a、b、c的值及该微分方程的通解．正确答案：先将函数y代入到微分方程中，比较等式两端同类项前的系数，得a=一3，b=2，c=一1．先求齐次微分方程y’’一3y’+2y=0的通解，得由于非齐次微分方程y’’一3y’+2y=一ex有一个特解y*=e2x+(x+1)ex，于是，原微分方程的通解为y=c1’e2x+c2’ex+e2x+(1+x)ex=c1e2x+c2ex+xex，其中c1=(c1’+1)、c2=(c2’+1)为任意常数．解析：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的通解的结构．10．求μ=x2+y2＋z2在=1上的最小值·正确答案：令F=x2+y2+z2+λ(－1) 涉及知识点：高等数学11．设X与Y为具有二阶矩的随机变量，且设Q(a，b)=E[Y一(a+bX)]2，求a，b使Q(a，b)达到最小值Qmin，并证明：Qmin=DY(1一ρXY2)．正确答案：涉及知识点：概率与数理统计12．已知求An(n≥2)．正确答案：将A分块为则B=3E+J，其中于是Bn=(3E+J)n=3nE+C213n－1+C223n－2J2+…+Jn，而C2=6C，…，CN=6n－1C，所以当n≥2时，涉及知识点：线性代数13．设A是n阶矩阵，A=E+xyT，x与y都是n×1矩阵，且xTy=2，求A 的特征值、特征向量．正确答案：令B=xyT=(y1，y2，…，yn)，则B2=(xyT)(xyT)=x(yTx)yT=2xyT=2B，可见B的特征值只能是0或2．因为r(B)=1，故齐次方程组Bx=0的基础解系由n一1个向量组成，则基础解系是：α1=(一y2，y1，0，…，0)T，α2=(一y3，0，y1，…，0)T，…，αn－1=(一yn，0，0，…，y1)T．这正是B的关于λ=0，也就是A关于λ=1的n一1个线性无关的特征向量．由于B2=2B，对B按列分块，记B=(β1，β2，…，βn)，则B(β1，β2，…，βn)=2(β1，β2，…，βn)，即Bβi=2βi．可见αn求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形．正确答案：二次型xTAx的秩为2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值．又所以3是A的特征值，(1，2，1)T是3的特征向量；一1也是A的特征值，(1，－1，1)T是一1的特征向量．因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是(x1，x2，x3)T，则有即解出λ=0的特征向量是(1，0，一1)T．那么所以因此xTAx=+16x1x2+2x1x3+16x2x3)．令Q=，则经正交坐标变换x=Qy有xTAx=yT = 涉及知识点：二次型15．设A是n阶实矩阵，有Aξ=λξ，ATη=μη，其中λ，μ是实数，且λ≠μ，ξ，η是n维非零向量．证明：ξ，η正交．正确答案：Aξ=λξ，两边转置得ξTAT=λξT，两边右乘η，得ξTATη=λξTη，ξTμη=λξTη，(λ-λ)ξTη=0，λ≠μ，故ξT η=0，ξ，η相互正交．涉及知识点：线性代数设函数f(x，y)=｜x—y｜g(x，y)，其中g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续．试问16．g(0，0)为何值时，偏导数fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在?正确答案：g(0，0)=0 涉及知识点：高等数学17．g(0，0)为何值时，f(x，y)在点(0，0)处的全微分存在?正确答案：g(0，0)=0涉及知识点：高等数学18．某种零件的尺寸方差为σ2=1．21，对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米)：32．56，29．66，31．64，30．00，21．87，31．03．设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32．50毫米(a=0．05)．正确答案：问题是在σ2已知的条件下检验假设H0：μ=32．50．H0的拒绝域为｜Z｜≥za／2，其中z0.025=1．96，故因｜Z｜=6．77＞1．96，所以否定H0，即不能认为平均尺寸是32．5毫米．涉及知识点：概率论与数理统计19．求极限.正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续20．设X的分布函数如第6题所示，求下列概率：P{X>-3)，P{|X|<3)，P{|X+1|>2)．正确答案：涉及知识点：综合。

一、选择题：（1）〜（8）小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.设f（x）的导函数为222)1(1x x +-，则f（x）的一个原函数是（）。

A.x arctan 1+B.xarctan 1-C.)1ln(2112x ++D.)1ln(2112x +-2.设二维随机变量（X，Y）的分布函数为的值依次为和则常数πB A yB x A y x F 2arctan )(arctan 2(),(++=（）。

A.π和π22B.41π和πC.212π和πD.21π和π3.设向量组（Ⅰ）β1，β2，…，βt，（Ⅱ）α1，α2，…，αs，则下列命题：①若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，且s＜t，则必有（Ⅰ）线性相关，②若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，且s＜t，则必有（Ⅰ）线性相关，③若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，且（Ⅰ）线性无关，则必有s≥t，④若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，且（Ⅰ）线性无关，则必有s≥t，正确的是（）。

A.①④B.①③C.②③D.②④4.设当x→0时，tdt x x x x x x x xsin )(,11)(,sin tan )(cos 1022⎰-=--+=-=γβα都是无穷小，将它们关于x 的阶数从低到高排列，正确的顺序为（）。

A.)(x α，)(x β，)(x γB.)(x α，)(x γ，)(x β考研《数学一》模考试题＋解析C.)(x γ，)(x α，)(x βD.)(x β，)(x α，)(x γ5.设矩阵).(3E)-A r )r ,~,220210000300000=+--=（（则矩阵E A B A B A.6B.7C.5D.46.设处则在a x a x a f x f ax =-=--→,1)()()(lim2（）。

A.0)()(≠'=a f a x x f 处可导且在B.的极大值（为))(x f a fC.的极值（不是))(x f a fD.处不可导在a x x f =)(7.设⎰=40sin ln πxdx I ，⎰=40cot ln πxdx J ，⎰=40cos ln πxdx K ，则I，J，K 的大小关系为（）。

考研数学一（选择题）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜α1，α2，α3，β1｜＝m，｜α1，α2，β2，α3｜＝n，则4阶行列式｜α3，α2，α1，β1，β2｜等于( )A．m＋nB．－(m＋n)C．n－mD．m－n正确答案：C解析：由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号，得｜α3，α2，α1，(β1＋β2)｜＝｜α3，α2，α1，β1｜＋｜α3，α2，α1，β2｜＝－｜α1，α2，α3，β1｜＋｜α1，α2，β2，α3｜＝n－m 所以应选C．知识模块：行列式2．设有向量组α1=(1，-1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，-2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是A．α1，α2，α3．B．α1，α2，α4．C．α1，α2，α5．D．α1，α2，α4，α5．正确答案：B 涉及知识点：向量3．极限( )．A．等于1B．为∞C．不存在但不是∞D．等于0正确答案：C解析：因为当xn=(n=1，2，…)时，极限不存在但不是∞，选(C)．知识模块：高等数学4．原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+|2|=0对称的点为A．(12，8，3)．B．(一4，1，3)C．(2，4，8)．D．(一12，一4，18)．正确答案：D 涉及知识点：高等数学5．已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，，则在点x=0处f(x)( ) A．不可导。

B．可导且f’(0)≠0。

C．取得极大值。

D．取得极小值。

正确答案：D解析：当x→0时，1-cosx～x2，故极限条件等价于=2。

从而可取f(x)=x2，显然满足题设条件。

而f(x)=x2在x=0处取得极小值，故选D。

知识模块：高等数学6．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．正确答案：A解析：若α1，α2，…，αs线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k2，…，ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0两端左乘矩阵A，得k1α1+k2α2+…+ks αs=0因k1，k2，…，ks不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．知识模块：线性代数7．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs 线性表示，则( )A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关．C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关．正确答案：D解析：因为向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，故r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s．又因为当r＞s时，必有r(Ⅰ)＜r，即向量组Ⅰ的秩小于其所含向量的个数，此时向量组Ⅰ必线性相关，所以应选D．知识模块：向量8．设有三元方程xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐甬数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=z(y，z)和z=z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D 涉及知识点：综合9．已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1＝α1＋α3＋α4，β2＝α2－α4，β3＝α3＋α4，β4＝α2＋α3，β5＝2α1＋α2＋α3．则r(β1，β2，β3，β4，β5)＝( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：将表示关系合并成矩阵形式有(β1，β2，β3，β4，β5)＝(α1，α2，α3，α4)(α1，α2，α3，α4)C．因4个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0．A＝(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵，A左乘C，即对C作若干次初等行变换，故有r(C)＝r(AC)＝r(AC)＝r(β1，β2，β3，β4，β5) 故知r(β1，β2，β3，β4，β5)＝r(C)＝3，因此应选C．知识模块：向量10．曲线y=sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2+y2=2的周长的( )A．1倍．B．2倍．C．3倍．D．4倍．正确答案：A解析：设s1为曲线y=sinx的一个周期的弧长，s2为椭圆2x2+y2=2的周长，由弧长计算公式，有将椭圆2x2+y2=2化为参数方程则由参数方程表示下面曲线的弧长计算公式，有从而s1=s2. 知识模块：高等数学11．设f(x)=，F(x)=∫0xf(t)dt(x∈[0，2])，则( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：当0≤x≤1时，F(x)=∫0xt2dt=；当1＜x≤2时，F(x)=∫0xf(t)dt=∫01t2dt＋∫1x(2－t)dt=，选(B)．知识模块：高等数学12．已知且a与b不平行，则以OA和OB为邻边的平行四边形OACB的对角线OC上的一个单位向量为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由向量加法运算的几何意义，以a，b为邻边的平行四边形对应的对角线向量为a+b，故它的单位向量为应选A．知识模块：向量代数与空间解析几何13．设级数收敛，则必收敛的级数为( )A．B．C．D．正确答案：D解析：因为级数收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数收敛，故选D。

考研数学一（高等数学）模拟试卷300(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设常数α＞2，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与α有关．正确答案：C解析：由于设常数p满足1＜p＜α一1，则有由正项级数比较判别法的极限形式知级数收敛，进而知当α＞2时绝对收敛，即(C)正确．知识模块：高等数学2．设a＞0为常数，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与口有关．正确答案：B解析：用分解法．分解级数的一般项知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)因发散，故原级数发散．(Ⅱ)因(Ⅲ)使用比值判别法．因，故原级数收敛．涉及知识点：高等数学4．判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：正确答案：(Ⅰ)由于收敛，利用比较判别法即知收敛，所以此级数绝对收敛．(Ⅱ)由于当n充分大时，0＜＞0，所以此级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的两个条件，这说明原级数(n→∞)，所以，级数条件收敛．是条件收敛的，故原级数条件收敛．涉及知识点：高等数学5．求下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)注意=1，对级数的通项取绝对值，并应用根值判别法，则当＞1，即x＜0时，原级数发散(x=一1除外)，因为一般项不是无穷小量；当x=0时，原级数为收敛的交错级数．因此，级数的收敛域为[0，+∞)．(Ⅱ)使用比值判别法，则有这就说明：当｜x｜＞1时，级数收敛，而且绝对收敛；然而，当｜x｜≤1(x≠—1)时，比值判别法失效．但是，当｜x｜＜1时，=1；当x=1时，un(x)=(n=1，2，…)，都不满足级数收敛的必要条件．所以，级数的收敛域为｜x｜＞1．涉及知识点：高等数学6．求下列幂级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)=3，故收敛半径R=1／3．当x=1／3时，原幂级数为，是一个收敛的交错级数；当x=一1／3时，原幂级数为的收敛域为(一1／3，1／3]．(Ⅱ)使用根值法．由于，的收敛半径R=+∞，即收敛区间也是收敛域为(一∞，+∞)．涉及知识点：高等数学7．求幂级数的收敛域及其和函数．正确答案：容易求得其收敛域为[一1，1)．为求其和函数S(x)，在它的收敛区间(一1，1)内先进行逐项求导，即得S’(x)=，x∈(—1，1)．又因为S(0)=0，因此S(x)=∫0xS’(t)dt=∫0x=一ln(1—x)．注意原级数在x=一1处收敛，又ln(1一x)在x=一1处连续，所以S(x)=一ln(1一x)，x∈[一1，1)．涉及知识点：高等数学8．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)本题可采用比值判别法．由于，所以，当p＜e时，级数收敛；当p＞e时，该级数发散；当p=e时，比值判别法失效．注意到数列{(1+)n}是单调递增趋于e的，所以当p=e时，＞1，即{un}单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的．总之，级数当p＜e时收敛，p≥e时发散．(Ⅱ)本题适宜采用根值判别法．由于=0，所以原级数收敛．这里用到=0．涉及知识点：高等数学9．判别下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)利用比较判别法的极限形式．由于级数发散，而且当n→∞时所以原级数也发散．(Ⅱ)仍利用比较判别法的极限形式．先改写用泰勒公式确定的阶．由于(Ⅲ)注意到0≤收敛，所以原级数也收敛．(Ⅳ)因为函数f(x)=单调递减，所以再采用极限形式的比较判别法，即将=0，所以，级数收敛．再由上面导出的不等式0＜un≤，所以原级数也收敛．涉及知识点：高等数学10．判别级数的敛散性，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．正确答案：首先因为{xn}是单调递增的有界正数数列，所以0≤1—．现考察原级数的部分和数列{Sn}，由于Sn=(xn+1一x1)，又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0为常数)，故所以{Sn}也是有界的．由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛．涉及知识点：高等数学11．判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：正确答案：(Ⅰ)由于发散，所以原级数不是绝对收敛的．原级数是交错级数，易知的单调性，令f(x)=＞0(当x充分大时) →当x充分大时g(x)．这说明级数满足莱布尼兹判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的．(Ⅱ)由于sin(nπ+，所以此级数是交错级数．又由于发散，这说明原级数不是绝对收敛的．由于sinx在第一象限是单调递增函数，而是单调减少的，所以，sin 随着n的增加而单调递减．又显然满足莱布尼兹判别法的两个条件，从而它是收敛的．结合前面的讨论，知其为条件收敛．涉及知识点：高等数学12．判别级数(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．正确答案：为判断其是否绝对收敛，采用极限形式的比较判别法，由于所以，当p＞1时，级数绝对收敛；而当p≤1时，该级数不绝对收敛．下面介绍几种方法讨论0＜p≤1时，是否条件收敛．考察部分和Sn=(n≥2)的极限是否存在．先考虑部分和数列的奇数项，即注意到等式右端的每一项都是正的，所以S2n+1＜0，而且单调递减．又由于亦即S2n+1＞，这就说明{S2n+1}是单调递减有下界的，所以其极限存在，设S2n+1=S．又由于(S2n+1—u2n+1)=S，即Sn=S，亦即级数的部分和数列收敛，所以该级数收敛．特别，这说明0＜p≤1时，该级数条件收敛．解析：对于交错级数先要讨论其是否绝对收敛．这里un≥un+1不总是成立的，也就是说莱布尼兹判别法的条件不满足．这样，当其不是绝对收敛时，莱布尼兹判别法也不能使用，可考虑直接用定义讨论其收敛性或利用收敛级数的性质．知识模块：高等数学13．判断如下命题是否正确：设无穷小un～vn(n→∞)，若级数vn也收敛．证明你的判断．正确答案：对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：vn同时收敛或同时发散．本题未限定vn一定收敛．比如，取即un～vn(n→∞)．级数un是收敛的，然而级数vn是不收敛的．涉及知识点：高等数学14．确定下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)使用比较判别法．当x≤1时，由于也发散．当x＞1时，取p∈(1，x)，由于=0，所以的收敛域为(1，+∞)．(Ⅱ)当x＞0时，由于满足莱布尼兹判别法的两个条件，因此是收敛的．而当x≤0时，因该级数通项不趋于零，所以是发散的．故级数的收敛域为(0，+∞)．涉及知识点：高等数学15．求下列幂级数的收敛域或收敛区间：(Ⅲ) anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间)(Ⅳ) ax(x一3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．正确答案：(Ⅰ)有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式计算收敛半径．首先计算所以R=1．再考察两个端点，即x=±1时的敛散性．显然x=1，级数是发散的．而x=一1时，[1*]单调递减，令f(x)=＜1，ln(1+x)＞1，这就说明f’(x)＜0，f(x)单调递减．所以满足莱布尼兹判别法的两个条件，该级数收敛．这样，即得结论：xn—1的收敛域为[一1，1)．(Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a2n—1=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收敛半径公式求收敛半径R．一般有两种方法：它是函数项级数，可直接用根值判别法．由于(Ⅲ)nan(x一1)n+1=(x一1)2[an(x一1)n]’，由幂级数逐项求导保持收敛半径不变的特点知，nan(x一1)n+1与an(x一1)n有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(一2，4)．(Ⅳ)令t=x一3，考察antn，由题设t=一3时它收敛→收敛半径R≥3，又t=3时其发散→R≤3．因此R=3，antn的收敛域是[一3，3)，原级数的收敛域是[0，6)．涉及知识点：高等数学16．求下列幂级数的和函数并指出收敛域：(Ⅰ)n(n+1)xn．正确答案：(Ⅰ)为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和．设=一4ln(1一x)，(一1≤x＜1)，(利用ln(1+t)的展开式)所以S(x)=S1(x)—S2(x)+S3(x)=ln(1—x) =ln(1—x)，x∈(—1，1)，x≠0．当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数看S(0)=a0=1，同时，也容易看出=1．这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质．涉及知识点：高等数学17．将函数arctan展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间．正确答案：由于，利用公式，并以x2代替其中的x，就有(一1)nx2n，一1＜x2＜1即一1＜x＜1．上式两端再进行积分，注意到arctan，所以由f(x)一f(0)=∫0xf’(t)dt即得注意函数arctan在端点x=一1处连续，幂级数在点x=一1处也收敛，从而上式在端点x=一1处也成立，即涉及知识点：高等数学18．将下列函数在指定点处展开为泰勒级数：(Ⅰ)，在x=1处；(Ⅱ)ln(2x2+x 一3)，在x=3处．正确答案：在上述展式中就是以(—1)nxn=1—x+x2—x3+…+(—1)nxn+…，(一1＜x＜1) (11．16)式中的x．类似地，有(Ⅱ)由于ln(2x+x一3)=ln(2x+3)(x 一1)=ln(2x+3)+ln(x一1)，对于右端两项应用公式得解析：使用间接法在指定点x0处作泰勒展开，就要用x—x0或者x一x0的倍数与方幂等代替原来的x．知识模块：高等数学19．将下列函数f(x)展开成戈的幂级数并求f(n)(0)：正确答案：(Ⅱ)应用公式(11．12)，有(一∞＜x＜+∞)．逐项积分得(一∞＜x ＜+∞)．由此又得f(2n)(0)=0 (n=1，2，3，…)，f(2n+1)(0)= (n=0，1，2，…)．解析：在这两个小题中除了作幂级数展开之外还涉及分析运算：一个含有求导，一个含有积分．像这样的题目，到底是应该先展开后做分析运算，还是应该先做分析运算后展开呢?一般来说应该先展开，因为对展开式的分析运算就是逐项求导、逐项积分，比较简便．而且某些题目也必须先展开，第(Ⅱ)小题就是如此．知识模块：高等数学20．求下列级数的和：正确答案：(Ⅰ)S==S1+S2．S2为几何级数，其和为2／3．S1可看作幂级数(一1)(n)n(n一1)x(n)在x=1／2处的值．记直接利用ln(1+x)的展开式得涉及知识点：高等数学21．(Ⅰ)设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(一1，1]上定义为则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于_________；(Ⅱ)设函数f(x)=x2，0≤x＜1，而S(x)=bnsin(nπx)，一∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sin(nπx)dx，n=1，2，3，…，则S(一)=____________．正确答案：(Ⅰ) 3／2；(Ⅱ)—1／4解析：(Ⅰ)根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于[f(1—0)+f(一1+0)]=3／2．(Ⅱ)由S(x)的形式可知：S(x)是奇函数．又f(x)在x=连续，所以知识模块：高等数学22．设周期为2π的函数f(x)=的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，(Ⅰ)求系数a0，并证明an=0，(n≥1)；(Ⅱ)求傅里叶级数的和函数g(x)(一π≤x≤π)，及g(2π)的值．正确答案：(Ⅰ)根据定义注意：奇函数xcosnx在对称区间上的积为零．从另一个角度看，f(x)一(ancosnx+bnsinnx)实际上就是f(x)一a0／2的傅里叶级数，所以an=0．(Ⅱ)根据收敛定理，和函数g(x)=另外，g(2π)=g(0)=π．涉及知识点：高等数学23．设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明。

2023考研数学模拟卷（一）数学一答案考题分析本次考试主要围绕数学一的基本概念、定理和方法展开，涵盖了高等数学中的微积分、线性代数和概率统计等内容。

共计包含8个小题，覆盖了整个考纲，难度适中。

1. 选择题1.1 题目已知函数f(f)=2f3−3f2−12f+5，则使得f(f)在区间[−2,3]上递减的f的个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 31.2 答案答案：C. 21.3 解析函数的递减区间对应于一阶导数小于零的区间，因此需要先求出函数f(f)的一阶导数：f′(f)=6f2−6f−12然后求出f′(f)的零点，即：6f2−6f−12=0解得f1=−1,f2=2。

将f1,f2代入函数f(f)中可得：f(−1)=−20,f(2)=−11可见f(−1)和f(2)均小于零，因此使得f(f)在区间[−2,3]上递减的f的个数为 2，故选 C。

2. 填空题2.1 题目已知向量 $\\mathbf{a} = (1, 2, 3)^T$，$\\mathbf{b} = (2, -1, 4)^T$，则 $\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}$ 等于 \\\\。

2.2 答案答案：142.3 解析向量的点积（内积）定义为两个向量对应分量的乘积之和，即：$$ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 +a_3b_3 $$代入已知向量的值可得：$$ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot (-1) + 3 \\cdot 4 = 14 $$故答案为 14。

3. 判断题3.1 题目正态分布是一个离散概率分布。

A. 正确B. 错误3.2 答案答案：B. 错误3.3 解析正态分布是连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线。

在实际问题中，许多现象都服从正态分布，例如测量误差、身高体重等。

【考研】考研数学一全真模拟卷及解析考研数学一是众多考研学子面临的一大挑战。

为了帮助大家更好地备考，我们精心准备了这份全真模拟卷及详细解析，希望能对大家的复习有所助益。

一、选择题（共 8 小题，每题 4 分，共 32 分）1、设函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛1 ＋ x^2}＼），则＼（f(f(x)）＼）为（）A ＼（＼frac{1}｛1 ＋ 2x^2 ＋ x^4} ＼）B ＼（＼frac{1}｛1 ＋2x^2} ＼） C ＼（＼frac{1}｛1 ＋ x^2} ＼） D ＼（＼frac{x^2}｛1＋ x^2} ＼）解析：因为＼（f(x) ＝＼frac{1}｛1 ＋ x^2}＼），所以＼（f(f(x)）＝＼frac{1}｛1 ＋（＼frac{1}｛1 ＋ x^2}）＾2} ＝＼frac{1}｛1 ＋＼frac{1}｛（1 ＋ x^2)＾2}｝＝＼frac{1 ＋ x^2}｛1 ＋ x^2 ＋ 1} ＝＼frac{1 ＋ x^2}｛2 ＋ x^2} ＼neq\）选项中的任何一个，此题无正确选项。

2、设＼（y ＝ y(x)＼）是由方程＼（e^y ＋ xy e ＝ 0\）所确定的隐函数，则＼（y'（0)＼）的值为（）A －1B 0C 1D 2解析：对方程两边同时对＼（x\）求导，得＼（e^y ＼cdot y' ＋ y＋ x ＼cdot y' ＝ 0\）。

当＼（x ＝ 0\）时，代入原方程得＼（e^y e＝ 0\），解得＼（y ＝ 1\）。

将＼（x ＝ 0\），＼（y ＝ 1\）代入＼（e^y ＼cdot y' ＋ y ＋ x ＼cdot y' ＝ 0\），得＼（e ＼cdot y' ＋ 1 ＝0\），解得＼（y'（0) ＝＼frac{1}｛e}＼）。

3、设＼（f(x)＼）具有二阶连续导数，且＼（f(0) ＝ 0\），＼（f'（0) ＝ 1\），则＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2}＼）等于（）A ＼（0\）B ＼（＼frac{1}｛2} ＼）C ＼（1\）D 不存在解析：利用泰勒公式，将＼（f(x)＼）在＼（x ＝ 0\）处展开：＼（f(x) ＝ f(0) ＋ f'（0)x ＋＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2) ＝ x ＋＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2)＼），则＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2} ＝＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2)｝｛x^2} ＝＼frac{1}｛2}f'＇（0)＼）。

考研数学一（线性代数）模拟试卷96(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．一24C．48D．－48正确答案：D解析：=－48，选(D)．知识模块：线性代数2．设n维行向量α=，A=E－αTα，B=E＋2αTα，则AB为( )．A．OB．－EC．ED．E+αTα正确答案：C解析：由ααT=，得AB=(E－αTα)(E+2αTα)=E，选(C)．知识模块：线性代数3．设A为n阶矩阵，且｜A｜=0，则A( )．A．必有一列元素全为零B．必有两行元素对应成比例C．必有一列是其余列向量的线性组合D．任一列都是其余列向量的线性组合正确答案：C解析：因为｜A｜=0，所以r(A)＜n，从而A的n个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) A．α1，α3B．α2，α3，α4C．α1，α2，α4D．α3，α4正确答案：C解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1，因为A*A=｜A｜E=O，所以，α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为一α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)．知识模块：线性代数5．设三阶矩阵A的特征值为λ1=－1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是( )．A．矩阵A不可逆B．矩阵A的迹为零C．特征值一1，1对应的特征向量正交D．方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量正确答案：C解析：由λ1=一1，λ2=0，λ3=1得｜A｜=0，则r(A)＜3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)．知识模块：线性代数6．设，则m，n可取( )．A．m=3，n=2B．m=3，n=5C．m=2，n=3D．m=2，n=2正确答案：B解析：P1mAP2n=经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1==E13，且Eij2=E，P1mAP2=P1AP2，则m=3，n=5，即选(B)．知识模块：线性代数7．若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是( )．A．α1，α2，α3线性无关B．α1，α2，α3线性相关C．α1，α2，α4线性无关D．α1，α2，α4线性相关正确答案：B解析：若α1，α2，α3线性无关，因为α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α4线性无关，矛盾，故α1，α2，α3线性相关，选(B)．知识模块：线性代数8．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)=r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：(A)不对，如A=，A的两个特征值都是0，但r(A)=1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；知识模块：线性代数填空题9．若矩阵A=，B是三阶非零矩阵，满足AB=0，则t=________．正确答案：1解析：由AB=O得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2．又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≤2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数10．设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3线性相关，则a=_______．正确答案：5解析：(α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3)=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，而α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3线性相关，所以=0，解得a=5．知识模块：线性代数11．设二次型2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3的秩为2，则a=_______．正确答案：解析：该二次型的矩阵为A=，因为该二次型的秩为2，所以｜A｜=0，解得a=±．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学（数学一）模拟试卷501(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．f(x)﹦则f(x)在x﹦0处( )A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续但不可导D．可导正确答案：C解析：f﹢’(0)，f－’(0)都存在，则f(x)在x﹦0点处右连续和左连续，所以f(x)在x﹦0处连续；但f﹢’(0)≠f－’(0)，所以f(x)在x﹦0处不可导。

故本题选C。

本题考查函数的极限、连续与可导。

函数在某点极限存在当且仅当函数在该点的左、右极限均存在且相等；函数在某点连续当且仅当函数在该点的左、右极限均存在且等于函数在该点的函数值；函数在某点可导当且仅当函数在该点左导数等于右导数。

2．设I﹦，则I，J，K的大小关系为( )A．I＜J＜KB．I＜K＜JC．J＜I＜KD．K＜J＜I正确答案：B解析：当0＜x＜时，因为0＜sin x＜cos x，所以ln(sin x)＜ln(cos x)，因此综上可知，I＜K＜J。

故本题选B。

本题考查定积分大小的比较。

本题在计算过程中会用到定积分的比较定理，即设a≤b，f(x)≤g(x)(a≤x≤b)，则∫abf(x)dx ≤abg(x)dx。

3．具有特解y1＝e－x，y2﹦2xe－x，y3﹦3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．－y”－y’﹢y﹦0B．﹢y”－y’－y﹦0C．－6y”﹢11y’－6y﹦0D．－2y”－y’﹢2y﹦0正确答案：B解析：由y1﹦e－x，y2﹦2xe－x，y3﹦3ex是所求三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解可知，λ1﹦－1，λ2﹦一1，λ3﹦1是所求方程的三个根，其特征方程为(λ－1)(λ﹢1)2﹦0，即λ3﹢λ2－λ－1﹦0，其对应的微分方程为﹢y”－y’－y﹦0。

故本题选B。

本题考查高阶常系数齐次线性微分方程。

本题已知特解求三阶常系数齐次线性微分方程，考生可由题目已知的特解得到齐次微分方程的特征根，进而得到其特征方程，从而得到结果。