2019考研数学考前模拟测试题

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2.证明：如果|()|lim 0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时 |()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d a g x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散. 如果0ρ=，则有|()|()f xg x ε<, 显然()d a g x x +∞⎰收敛, 则|()|d a f x x +∞⎰亦收敛. 如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d a g x x +∞⎰发散，则|()|d a f x x +∞⎰亦发散.习题五2．求下列欧拉方程的通解：2(1)0x y xy y '''+-=解：作变换e tx =，即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-= 即 22d 0d y y t-= 特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t t y c c c c x x-=+=+. 23(2)4x y xy y x '''+-=.解：设e t x =，则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d t y y t-= ① 特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e t y A =为①的特解，代入①化简得941A A -=15A =, *31e 5t y = 故 223223121211e e e .55t t t y c c c x c x x --=++=++3．求下列函数的微分：⑴ e x y x =； ⑵ ln x y x=； ⑶y = ⑷ ln tan 5x y =；⑸ 286e x xy x =-； ⑹2(arctan )y x =.解：⑴ d (e )d e (1)d x x y x x x x '==+； ⑵ 221ln ln 1ln d ()d ()d d x x x x xy x x x x x x⋅--'===； ⑶d d (y x x x '==-=； ⑷ ln tan ln tan 21d (5)d (ln 55sec )d tan x x y x x x x '==⋅⋅⋅ ln tan 12ln 55d sin 2x x x=⋅⋅； ⑸ 22d (86e )d [8(1ln )12e ]d x x x x y x x x x x '=-=+-；⑹221d (arctan )]d 2arctan ]d .1y x x x x x '==+⋅+；4．利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差.。

2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________考号：__________一、解答题1．证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2. 证明：如果|()|lim 0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时 |()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d a g x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散. 如果0ρ=，则有|()|()f xg x ε<, 显然()d a g x x +∞⎰收敛, 则|()|d a f x x +∞⎰亦收敛. 如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d a g x x +∞⎰发散，则|()|d a fx x +∞⎰亦发散.习题五2．求下列函数在所示点的导数：(1)()sin cos t f t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在点π4t =； 解：()π4f ⎛⎫⎪'= ⎝ (2)()22,x y g x y x y +⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭，在点()(),1,2x y =；解：()111,224g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)sincosu vuT u vvv⎛⎫⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，在点π1uv⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解：1010101 T-⎛⎫⎛⎫ ⎪'=- ⎪ ⎪π⎝⎭ ⎪⎝⎭(4)2222232u x yv x x yw x y y⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩在点()3,2-.解：62 66362-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭3．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）.⑴21sinlimsinxxxx→；⑵lim(1)xxkx→+∞+；⑶sinlimsinxx xx x→∞-+；⑷e elim.e ex xx xx--→+∞-+解：⑴∵200111sin2sin coslim limsin cosx xx xx x xx x→→-=不存在,（因1sinx，1cosx为有界函数）又2001sin1lim lim sin0 sinx xxx xx x→→==,故不能使用洛必达法则.⑶∵sin1coslim limsin1cosx xx x xx x x→∞→∞--=++不存在,而sin1sinlim lim 1.sinsin1x xxx x xxx xx→∞→∞--==++故不能使用洛必达法则.⑷∵e e e e e e lim lim lime e e e e ex x x x x xx x x x x x x x x------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+利用洛必达法则无法求得其极限.而22e e1elim lim1e e1ex x xx x xx x----→+∞→+∞--==++.故答案选（2）.。

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．逻辑斯谛(Logistic)曲线族,,,,01e cxA y x ABC B -=-∞<<+∞>+ 建立了动物的生长模型. (1) 画出B =1时的曲线()1e cx A g x -=+的图像，参数A 的意义是什么(设x 表示时间，y 表示某种动物数量)？解：2e ()0(1e )cxcx Ac g x --'=>+，g (x )在(－∞，+∞)内单调增加， 222244e e 2(1e )e e (1e )()(1e )(1e )cx cx cx cx cx cx cx cx Ac Ac Ac g x ---------+⋅+⋅--''==++ 当x >0时，()0,()g x g x ''<在(0，+∞)内是凸的.当x <0时，()0,()g x g x ''>在(－∞，0)内是凹的.当x =0时，()2A g x =.且lim ()0,lim ()x x g x g x A →-∞→+∞==.故曲线有两条渐近线y =0，y =A .且A 为该种动物数量(在特定环境中)最大值，即承载容量.如图：(2) 计算g (－x )+g (x )，并说明该和的意义；解：()()1e 1e cx cx A A g x g x A --+=+=++. (3) 证明：曲线1ecx A y B -=+是对g (x )的图像所作的平移.证明：∵()1e 1e e c x T cx cTA A yB B -+--==++ 取e 1cT B -=，得ln B T c =即曲线1e cx A y B -=+是对g (x )的图像沿水平方向作了ln B T c=个单位的平移.习题四2．设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===，求,,w w w x y z∂∂∂∂∂∂. 解：,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂，3．设()f x 在[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =,证明：方程()()f x f x a =+在[0，a ]内至少有一根.证：令()()()F x f x f x a =-+,由()f x 在[0,2]a 上连续知，()F x 在[0,]a 上连续，且(0)(0)(),()()(2)()(0)F f f a F a f a f a f a f =-=-=- 若(0)()(2),f f a f a ==则0,x x a ==都是方程()()f x f x a =+的根，若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a <，由零点定理知，至少(0,)a ξ∃∈,使()0F ξ=, 即()()f f a ξξ=+，即ξ是方程()()f x f x a =+的根，综上所述，方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少有一根.4．设函数2,1,(),1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？解：因211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→=== 11lim ()lim()x x f x ax b a b ++→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续，则有1,a b += 又211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 111(1)lim lim ,11x x ax b ax a f a x x +++→→+--'===--。

2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________ 考号：__________一、解答题1．证明：（1） 10lim 0;n n x →∞=⎰ 证明：当102x ≤≤时，0,n n x ≤≤ 于是111200110d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰⎰ 而111lim ()0,12n n n +→∞⋅=+ 由夹逼准则知：10lim 0.n n x →∞=⎰ (2) π40lim sin d 0.n n x x →∞=⎰证明：由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤ 故π40πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰2．计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)()222222,,y z z x x y =+++A ；解：()0,2,,y z z x x y ---(2)()222,,x yz x y z x yz =A ；解：()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x ---(3),,y x z y z z x x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．试证：方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根，其中0,0a b >>. 证：令()sin f x x a x b =--，则()f x 在[0,]a b +上连续，且 (0)0,()(1sin )0f b f a b a x =-<+=-≥,若()0f a b +=，则a b +就是方程sin x a x b =+的根.若()0f a b +>，则由零点定理得.(0,)a b ξ∃∈+,使()0f ξ=即sin 0a b ξξ--=即sin a b ξξ=+，即ξ是方程sin x a x b =+的根，综上所述，方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.4．(1) 设1()f x x=，求00()(0);f x x '≠ 解：00021()().x x f x f x x =''==- (2) 设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-求(0).f ' 解：00()(0)(0)lim lim(1)(2)()0(1)!x x n f x f f x x x n x n →→-'==--⋅⋅--=-5．设函数2,1,(),1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？解：因211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→=== 11lim ()lim()x x f x ax b a b ++→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续，则有1,a b += 又211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 111(1)lim lim ,11x x ax b ax a f a x x +++→→+--'===-- 要使()f x 在1x =处可导，则必须(1)(1)f f -+''=，即 2.a =故当2,1a b ==-时，()f x 在1x =处连续且可导.6．求下列函数在0x 处的左、右导数，从而证明函数在0x 处不可导.(1) 03sin ,0,0;,0,x x y x x x ≥⎧==⎨<⎩。

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．求下列函数的最大值、最小值：254(1) (), (,0)f x x x x=-∈-∞； 解：y 的定义域为(,0)-∞，322(27)0x y x +'==，得唯一驻点x =－3 且当(,3]x ∈-∞-时，0y '<，y 单调递减；当[3,0)x ∈-时，0y '>，y 单调递增, 因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27. 又lim ()x f x →-∞=+∞，故f (x )无最大值.(2) () [5,1]f x x x =+∈-；解：10y '==，在(5,1)-上得唯一驻点34x =，又 53,(1)1,(5)544y y y ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ,故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为545. 42(3) 82, 13y x x x =-+-≤≤.解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，而 y (－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11,故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14.2．设在半平面x >0中有力()3k F xi yj r=-+构成力场，其中k 为常数，r ，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关．证：场力沿路径L 所作的功为．33d d L k k W x x y y r r =--⎰ 其中3kx P r =-，3ky Q r =-，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数，并且53(0)P kxy Q x y r x∂∂==>∂∂因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．3．用函数极限定义证明：22222102sin 314(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.21x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+ 证：(1)0ε∀>,要使1sin sin 0x x x x xε=≤<-, 只须1x ε>,取1X ε>，则当x X >时，必有sin 0x xε<-, 故sin lim 0x x x→+∞=. (2)0ε∀>,要使22221313313||44x x x x ε-=<<-++,只须x >取X =X x >时，必有223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使24(4)22x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则 当02x δ<<+时，必有24(4)2x x ε-<--+, 故224lim 42x x x →--=-+. (4) 0ε∀>,要使21142221221x x x x ε-==<+-++,。

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．把长为10m ，宽为6m ，高为5m 的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间[x ，x +d x ]上的一个薄层水，有微体积d V =10·6·d x(19)设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为d w =x ·60g d x =60gx d x ．于是将水全部抽出所作功为w =⎠⎛0560gx d x=60g 2x 2⎪⎪5=750g (KJ) ．2．证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5).证明：略3．一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解： d d d e e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=4．计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的曲率. 解：cos ,sin y x y x '''==- . 当π2x =时，0,1y y '''==- ，故 23/2 1.(1)y k y ''=='+5．国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？ 解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.习题三6．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（ ）.⑴ 201sinlim sin x x x x →； ⑵ lim (1)x x k x →+∞+； ⑶ sin lim sin x x x x x→∞-+； ⑷ e e lim .e e x x x x x --→+∞-+ 解：⑴ ∵200111sin2sin cos lim lim sin cos x x x x x x x x x →→-=不存在,（因1sin x ，1cos x 为有界函数） 又2001sin1lim lim sin 0sin x x x x x x x →→==, 故不能使用洛必达法则.⑶ ∵sin 1cos lim lim sin 1cos x x x x x x x x→∞→∞--=++不存在, 而sin 1sin lim lim 1.sin sin 1x x xx x x x x x x →∞→∞--==++ 故不能使用洛必达法则.⑷ ∵e e e e e e lim lim lim e e e e e ex x x x x xx x x x x x x x x ------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+ 利用洛必达法则无法求得其极限. 而22e e 1e lim lim 1e e 1e x x xx x xx x ----→+∞→+∞--==++. 故答案选（2）.7．证明下列不等式:(1) 当π02x <<时， sin tan 2;x x x +>。