考研数学二模拟题及答案

考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷23(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．当x→0时，x-sinx是x2的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价的无穷小正确答案：B解析：因为所以x-sinx为x2的高阶无穷小，应选(B)．知识模块：函数、极限、连续2．设y=f(x)由cos(xy)+lny-x=1确定，则=( )．A．2B．1C．-1D．-2正确答案：A解析：将x=0代人得y=1，cos(xy)+lny-x=1两边对x求导得将x=0，y=1代入得=1，即f’(0)=1，于是=2f’(0)=2，应选(A)．知识模块：函数、极限、连续填空题3．=__________正确答案：1解析：知识模块：函数、极限、连续4．设f(x)=ax(a＞0，a≠1)，则=_______正确答案：解析：f(1)f(2)…f(n)=a1+2+…+n= 知识模块：函数、极限、连续5．若a＞0，，则a=________正确答案：36解析：知识模块：函数、极限、连续6．=________正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续7．=________正确答案：2ln2-1．解析：知识模块：函数、极限、连续8．=________正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续9．设f(x)=，则f(x)的间断点为x=________正确答案：0解析：当x≠0时，f(x)=当x=0时，f(0)-0，即f(x)=因为，所以x=0为f(x)的间断点，且为第二类间断点．知识模块：函数、极限、连续10．设f(x)在x=0处连续，则A=________正确答案：解析：由知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11．求极限正确答案：由涉及知识点：函数、极限、连续12．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续13．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续14．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续15．求极限正确答案：由涉及知识点：函数、极限、连续16．设f(x)连续，且f(0)=0，f’(0)=2，求正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续17．设F(x)=正确答案：方法一涉及知识点：函数、极限、连续18．设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)≠0，求正确答案：由涉及知识点：函数、极限、连续19．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续20．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续21．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续22．设正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续23．设f(x)在x=0的某邻域内有连续导数，且，求f(0)及f’(0)．正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续24．设f(x)在x=0处连续可导，且，求f’’(0)．正确答案：由涉及知识点：函数、极限、连续25．正确答案：由涉及知识点：函数、极限、连续26．设f(x)在x=x0处可导，且f(x0)≠0，证明：正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续27．设f(x)=，求f(x)．正确答案：f(x)=，则f’(x)=(1+2x)e2x．涉及知识点：函数、极限、连续28．设f(x)=存在，求a．正确答案：f(0-0)=f(0+0)=因为存在，所以f(0-0)=f(0+0)，故a= 涉及知识点：函数、极限、连续29．设f(x)=正确答案：f(0-0)==-1因为f(0-0)≠f(0+0)，所以不存在．涉及知识点：函数、极限、连续30．设f(x)=，求f(x)的连续区间及间断点．正确答案：f(x)=f(x)的连续区间为(-∞，1)∪(1，+∞)．因为=+∞，所以x=1为f(x)的第二类间断点．涉及知识点：函数、极限、连续31．求函数y=的间断点，并进行分类．正确答案：x=0，x=1及x=2为函数的间断点．由得x=0为函数的跳跃间断点；由=0得x=1为函数的可去间断点；由=∞得x=2为函数的第二类间断点．涉及知识点：函数、极限、连续32．设f(x)在(0，1)内有定义，且exf(x)与e-f(x)在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(x)在(0，1)内连续．正确答案：对任意的c∈(0，1)，当x＜c时，由exf(x)≤ecf(c)及e-f(x)≤e-f(c)得f(c)≤f(x)≤ec-xf(c)，令x→c-得f(c-0)=f(c)；当x＞c时，由exf(x)≥ecf(c)及e-f(c)≥e-f(c)得f(c)≥f(x)≥ec-xf(x)，令x→c+得f(c+0)=f(c)，因为f(c-0)=f(c+0)=f(c)，所以f(x)在x=c处连续，由c的任意性得f(x)在(0，1)内连续．涉及知识点：函数、极限、连续33．设f(x)=，若F(x)=f(x)+g(x)在R上连续，求a，b．正确答案：F(-1)=f(-1)+g(-1)=1-1=0，F(-1-0)=f(-1-0)+g(-1-0)=a-1，F(-1+0)=f(-1+0)+g(-1+0)=1-1=0，由F(x)在x=-1处连续，所以a=1；F(1)=f(1)+g(1)=-1+b，F(1-0)=f(1-0)+g(1-0)=-1+1=0，F(1+0)=f(1+0)+g(1+0)=-1+b，由F(x)在x=1处连续得b=1，故a=1，b=1．涉及知识点：函数、极限、连续。

考研数学二模拟392一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 设g(x)可微，f(x)=ln2(1+g(x))+2ln(1+g(x))，f'(1)=1，则g(1)=A．1.B．0.C．2.D．正确答案：B[解析] 按题设令即．选B．方程x=ln(1+x)有唯一解x=0.2. 设[0，4]区间上y=f(x)的导函数的图形如图，则f(x)A.在(0，2)单调上升且为凸的，在(2，4)单调下降且为凹的．B.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凹的，在(2，4)是凸的．C.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凸的，在(2，4)是凹的．D.在(0，2)单调上升且是凹的，在(2，4)单调下降且是凸的．正确答案：B[解析] 当x∈(0，1)或x∈(3，4)时，在(0，1)，(3，4)单调下降；当x∈(1，3)时，在(1，3)单调上升．又f'(x)在(0，2)单调上升在(0，2)是凹的；f'(x)在(2，4)单调下降在(2，4)是凸的．因此，应选B．3.A．π．B．C．D．正确答案：B[解析一] 令[解析二][解析三] 令4. 下列命题中正确的是A.设(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点，则x=x0不是f(x)的极值点．B.设x=x0是f(x)的极小值点，f(x)在x=x0二阶可导，则f'(x0)=0，f"(x0)＞0.C.f(x)在(a，b)只有一个驻点x0，且x0是f(x)的极小值点，则f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值．D.若f'-(b)＜0，则f(b)不是f(x)在[a，b]的最大值．正确答案：D[解析一] 由举例易知A、B、C不正确．如图1所示，(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点且x=x0是f(x)的极小值点．A 是错的．极小值点x0处可以有f"(x0)=0.如f(x)=(x-x0)4，x=x0是f(x)的极小值点，f"(x0)=0.B是错误的．若f(x)不连续，命题C不正确，如图2.f(x)在(a，b)有唯一驻点x0，是f(x)的极小值点，但f(x0)不是f(x)在(a，b)的最小值．因此，选D．图1图1[解析二] 由最值点处导数性质可知D正确．因为，若f(b)是f(x)在[a，b]的最大值且f'-(b)存在，则于是当f'-(b)＜0时，f(b)不可能是f(x)在[a，b]的最大值．选D．①设f(x)在(a，b)可导，若(x0，f(x0))是f(x)的拐点，则x=x0一定不是f(x)的极值点．因为此时若x=x0是f(x)的极值点，则f'(x0)=0，由于f'(x)在x=x0两侧升降性相反，那么f'(x)在x=x0两侧不变号，这与x=x0是f(x)的极值点矛盾了，因此x=x0不可能是f(x)的极值点．②若f(x)在(a，b)连续，x=x0是f(x)在(a，b)的唯一极值点，则x=x0一定是f(x)在(a，b)的相应的最值点．5.A.可导的奇函数．B.连续，但在x=0不可导的奇函数．C.可导的偶函数．D.连续，但在x=0不可导的偶函数．正确答案：A[解析] 因为改变有限个点的函数值，则不改变函数的可积性与积分值，所以e x2+x2是偶函数且处处连续，由变限积分函数的性质知是奇函数且处处可导．因此选A．不是f(x)在含x=0区间上的原函数．事实上，x=0是f(x)的第一类间断点(可去间断点)，它在含x=0的区间上不存在原函数．6. 设常数0＜a＜1，区域D由x轴，y轴，直线x+y=a以及x+y=1围成．记则I，J，K的大小关系是A.J＜K＜I．B.J＜I＜K．C.I＜J＜K．D.I＜K＜J．正确答案：B[解析] 在区域D上有0＜x+y≤1，于是ln3(x+y)≤0≤sin2(x+y)≤(x+y)2≤(x+y)，且它们互不恒等，连续，因此，它们在D上的积分值满足应选B．7. 已知A是3阶矩阵且则A.16.B.-16.C.256.D.-256.正确答案：D[解析] 由(kA)*=k n-1A*知(2A)*=22A*=4A*，又有以及A*=|A|A-1得8. 已知α=(1，-3，2)T，β=(0，1，-1)T，矩阵A=2βαT+7E，则矩阵A的最小特征值的特征向量是A.α．B.β．C.α+β．D.α-β．正确答案：B[解析] B=βαT，则秩r(B)=1.由αTβ=-5，知矩阵B的特征值是-5，0，0.那么矩阵A=2B+7E的特征值是-3，7，7.矩阵B关于λ=-5的特征向量就是矩阵A关于λ=-3的特征向量．而Bβ=(βαT)β=β(αTβ)=-5β，所以应选B．二、填空题1. 设a n＞0(n=1，2，3，…)且则正确答案：1[解析] 记其中2. 已知则f(x)的连续性区间是______．正确答案：(0，+∞)[解析] 当0＜x≤e时当x＞e时显然，x∈(0，+∞)，x≠e时f(x)连续，又f(x)在x=e左连续且右连续，f(x)也在x=e连续．因此f(x)的连续区间是(0，+∞)．3. 已知f(x)(x∈[0，+∞))为非负连续函数，且满足则f(x)=______．正确答案：[解析] 注意于是原方程改写成先求由及Φ(0)=0，积分得最后得4. 设u=u(x，y)满足且u(0，y)=y2+1，则u(x，y)=______．正确答案：[解析] 将y看作常量，这是以x为自变量，函数u=u(x，y)的一阶线性微分方程改写成两边乘e-xy得对x积分得由因此5. 设φ(z)有连续导数，1-yφ'(z)≠0，z=z(x，y)由方程x=x+yφ(z)确定，则dz=______．正确答案：[解析一] 将方程z=x+yφ(z)两边求全微分dz=dx+d(yφ(z))dz=dx+φ(z)dy+yφ'(z)dz移项并解出[解析二] 先求出方程两边分别对x求偏导数并注意x，y为自变量，z=z(x，y)，于是由复合函数求导法得解出同理，方程两边对y求偏导数得因此6. 已知A是3阶非零矩阵，且矩阵A中各行元素之和均为0，又知AB=O，其中B=，则齐次方程组Ax=0的通解是______．正确答案：k1(1，1，1)T+k2(1，-1，1)T，k1，k2为任意常数[解析] 矩阵A各行元素之和均为0，即故(1，1，1)T是齐次方程组Ax=0的一个解．由AB=O，知，故(1，-1，1)T也是Ax=0的一个解．从而Ax=0至少有2个线性无关的解，即n-r(A)≥2，亦即r(A)≤1，又因A是非零矩阵，又有r(A)≥1.故必有r(A)=1，那么齐次方程组Ax=0的基础解系由n-r(A)=2个线性无关的解向量构成，所以其通解为：k1(1，1，1)T+k2(1，-1，1)T，k1，k2为任意常数．三、解答题15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1. 已知曲线在直角坐标系中的参数方程给出：(Ⅰ)证明x=tlnt(t∈[1，+∞))存在连续的反函数t=t(x)(x∈[0，+∞))且该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[0，+∞)；(Ⅱ)求y(x)的单调性区间，极值点，凹凸性区间及拐点．正确答案：[证明] 先证x=tlnt单调，必存在反函数，于是确定y=y(x)．再用参数求导法求出然后求出单调性区间，极值点，凹凸性区间及拐点．(Ⅰ)因为在[1，+∞)单调上升，值域是[0，+∞)x=tlnt反函数，记为t=t(x)，它在[0，+∞)连续，t(x)≥1(单调连续函数的反函数连续)．再由连续函数的复合函数的连续性在[0，+∞)上连续．(Ⅱ)现知y(x)在[0，+∞)连续，再由参数式求导法有因此y(x)的单调增区间为x∈[0，e]，单调减区间为[e，+∞)，x=e为极大值点因此为y(x)的凸区间，为凹区间，拐点的横坐标是[解析] 于是因此y=y(x)有渐近线y=0.抛物线y=x2上任意点(a，a2)(a＞0)处引切线L1，在另一点处引一切线L2，L2与L1垂直．2. 求L1与L2的交点横坐标x1；正确答案：[解] 抛物线y=x2在点(a，a2)处的切线方程为L1：y=a2+2a(x-a)即y=2ax-a2．另一点(b，b2)处的切线方程为L2：y=b2+2b(x-b)即y=2bx-b2．由L1与L2垂直即L1与L2的交点(x1，y1)满足代入得3. 证明：L1，L2与抛物线y=x2所围图形的面积正确答案：[解] L1，L2与y=x2所围图形的面积由x1的表达式知4. 问a＞0取何值时S(a)取最小值．正确答案：[解] 求导解最值问题设函数y=y(x)在(-∞，+∞)有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．5. 试将x=x(y)满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；正确答案：[解] 这实质上是求反函数x=x(y)的一、二阶导数问题，由反函数求导公式知，再由复合函数求导法知，代入原方程得即6. 求满足y(0)=0，y'(0)=1的y=y(x)．正确答案：[解] 求y=y(x)就是求解满足初始条件y(0)=0，y'(0)=1的可降阶微分方程(1)．看作不显含因变量y的类型，令得这是可分离变量的方程，分离变量解得p=1(p=0不合题意)或由p=1得，再由初值得y=x．由(2)式积分得即由初值得C=0，仍然只求得y=x．因此求得y(x)=x．[解析] ①这也是不显含x的一类可降阶的二阶微分方程令并以y为自变量，由方程(3)化为一阶微分方程对于原方程(1)，我们得(P=0不合题意)，于是分离变量得积分得ln|P-1|=y+C1，P-1=Ce y由y=0时，P=1得C=0，因此再由y(0)=1得y=x．②这也是伯努利方程(大纲中不要求，若熟悉)，P=0不合题意，P≠0时改写成两边乘e-x得积分并注意到P(0)=1得由及y(0)=0得y=x．7. 求不定积分正确答案：[解] 方法一而因此方法二8. 求极坐标系中曲线的弧长l．正确答案：[解] 先求按弧长计算公式得9. 设f(u，v)有二阶连续偏导数，且满足又求正确答案：[解] 由复合函数求导法得现将①，②式相加得其中由条件知f"11+f"22=1.10. 求二重积分其中D由直线x=a，x=0，y=a，y=-a及曲线x2+y2=ax，(a＞0)所围成．正确答案：[解法一] 将D1看成正方形区域与半圆形区域的差集，在半圆形区域上用极坐标变换．于是于是如果积分区域关于x轴(或y轴)对称，考察被积函数关于y(或x)的奇偶性，往往会简化计算．[解法二] 在直角坐标系下计算而或因此于是[解法三] 被积函数x对x是奇函数，但积分区域D1关于y轴不对称，但关于对称．作平移变换：则D1变为关于v轴对称，于是[解析] J的积分区域如图阴影部分，设D1为由x=a，x=0，y=a，所围．由于D关于x轴对称，故11. 设P(x)=x3+ax2+bx+c，a，b，c，为常数，方程P(x)=0有三个相异实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，又求证：(Ⅰ)F(x)在(-∞，x3)恰有两个零点；(Ⅱ)F(x)在(x3，+∞)恰有一个零点．正确答案：[证明] 对常数a，b，c均有进一步按题设应有P(x)＜0(x＜x1)，P(x)＞0(x∈(x1，x2))P(x)＜0(x∈(x2，x3))，P(x)＞0(x＞x3)P(x)在(-∞，+∞)连续．(Ⅰ)当x＜x1时时在(-∞，x1)无零点．F(x1)=0.当x∈(x1，x2)时时在(x1，x2]无零点．因F(x)在[x2，x3]连续，又即F(x)在(x2，x3)有零点．又因F'(x)=P(x)＜0(x∈(x2，x3))在在(x2，x3)有唯一零点．因此F(x)在(-∞，x3)恰有两个零点(x1与ξ)．(Ⅱ)由当x＞x*时又因F'(x)=P(x)＞0 (x＞x3)在在(x3，+∞)恰有一个零点．已知矩阵与矩阵等价．12. 求a的值；正确答案：[解] 矩阵A和B等价和B均为m×n矩阵且秩r(A)=r(B)．对矩阵A作初等变换，有由秩r(B)=2，知r(A)=2，故a=6.13. 求可逆矩阵P和Q，使PAQ=B．正确答案：对矩阵A作初等变换化为矩阵B，有把所用初等矩阵写出，得[解析] 本题考查矩阵等价，初等矩阵左乘、右乘问题．把矩阵A化为矩阵B的方法不唯一，因此可逆矩阵P，Q不唯一．设A是各行元素之和均为0的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα=3β，Aβ=3α．14. 证明矩阵A和对角矩阵相似；正确答案：[解] 矩阵A各行元素之和均为0，即知0是矩阵A的特征值，α1=(1，1，1)T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．又A(α+β)=3(α+β)，A(α-β)=-3(α-β)且由α，β线性无关，知α+β，α-β均不是零向量．从而，3和-3都是矩阵A的特征值．α+β，α-β分别是λ=3和λ=-3的特征向量，那么矩阵A有3个不同的特征值，所以A～A．15. 如α=(0，-1，1)T，β=(1，0，-1)T，求矩阵A；正确答案：[解] 当α=(0，-1，1)T，β=(1，0，-1)T时，按已知有A(α1，α，β)=(0，3β，3α)即所以16. 用配方法化二次型x T Ax为标准形，并写出所用坐标变换．正确答案：[解]令即有。

考研数学二（解答题）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1.1．设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=，求(1)k的值；(2)X的分布函数F(x)．正确答案：(1)由∫01xdx+∫12k(2一x)dx==1，得k=1．(2)因为F(x)=∫-∞xf(t)dt，所以当x＜0时，F(x)=0；当0≤x＜1时F(x)=∫0xf(t)dt=x2；当1≤x＜2时F(x)=∫0xf(t)dt=∫01tdt+∫1x(2-t)dt=2x一x2-1；当x≥2时，F(X)=1．期F(x)=解析：考查利用概率密度计算分布函数的方法，是基本问题．注意到f(x)是分段函数，可根据x的不同取值范围直接利用公式F(x)=∫-∞xf(t)dt计算．知识模块：概率论与数理统计2．已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．正确答案：方程组(Ⅱ)的未知量个数大于方程的个数，故方程组(Ⅱ)有无穷多个解．因为方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，所以方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩小于3．由此得a=2．此时，方程组(Ⅰ)的系数矩阵可通过初等行变换化为由此得(-1，-1，1)T是方程组(Ⅰ)的一个基础解系．将x1=-1，x2=-1，x3=1代入方程组(Ⅱ)可得b=1，c=2或b=0，c=1．当b=1，x=2时，对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施以初等行变换，有比较(1)式与(2)式右边的矩阵可知，此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵可通过初等行变换化为比较(1)与(3)右边的矩阵可知，此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的解不相同．综上所述，当a=2，b=1，c=2时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．涉及知识点：线性方程组3．设(Ⅰ)求f’(x)；(Ⅱ)f’(x)在点x=0处是否可导?正确答案：(Ⅰ)这是分段函数，分界点x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即x≤0，于是可得当x≤0时，f’(x)=+2cos2x，x=0处是左导数：f’-(0)=2；当x＞0时，又=f(0)，即f(x)在x=0右连续f’+(0)=2．于是f’(0)=2．因此(Ⅱ)f’(x)也是分段函数，x=0是分界点．为讨论f’(x)在x=0处的可导性，要分别求f’+(0)与f’-(0)．同前可得按定义求f’’+(0)，则有因f’’+(0)≠f’’(0)，所以f’’(0)不存在，即f’(x)在点x=0处不可导．涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算4．设向量组的秩为2，求a，b．正确答案：记A=(a3，a4，a1，a2)，并对矩阵A作初等行变换当且仅当a 一2=0且b一5=0时，向量组(a3，a4，a1，a2)的秩为2，即a=2，b=5．涉及知识点：矩阵5．设线性方程组(1)证明：若a1,a2,a3,a4两两不相等，则此线性方程组无解；(2)设a1=a3=k，a2=a4=一k(k≠0)，且β1=(一1，1，1)T，β2=(1，1，一1)T 是该方程组的两个解，写出此方程组的通解．正确答案：(1)方程组的增广矩阵的行列式为=(a4一a3)(a4—a2)(a4—a1)(a3一a2)(a3一a1)(a2—a1)．由a1，a2，a3，a4两两不相等，故｜B｜≠0，即r(B)=4，而系数矩阵A的秩r(A)≤3，故r(A)≠r(B)．即方程组无解．(2)当a1=a3=k，a2=a4=一k(k≠0)时方程组为解析：本题考查线性方程组的解的存在性的判定，解的结构及解的求法．知识模块：线性方程组6．设A=E+ααT，其中α=(α1,α2,α3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．正确答案：由Aα=(E+ααT)α=α+ααTα=3α，于是得A的特征值λ3=3，其对应的特征向量为k1α，k1≠0为常数．又由A=E+ααT，得A—E=ααT，两边取行列式｜A一E｜=｜ααT｜=0，由此知λ2=1是A的另一个特征值．再由矩阵A的特征值的性质，trA=λ1+λ2+λ3=4+λ3，从而λ3=trA一4=3+αTα-4=1．由于λ2=λ3=1，对应的特征矩阵为A-E，由题设条件α=(a1，a2，a3)T≠0，不妨设a1≠0，则由此得方程组(A—E)x=0的同解方程组为a1x1=一a2x2一a3x3，解得λ2=λ3=1对应的特征向量为x=k2(一a2，a1，0)T+k3(一a3，0，a1)T，其中k2，k3，是不同时为零的任意常数．解析：本题考查抽象矩阵求特征值与特征向量的方法．可用定义Ax=λx，特征方程｜λE－A｜=0，trA=λ1+λ2+λ3．求A的特征值与特征向量．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化7．设函数求f(x)的最小值．正确答案：由题意令f’(x)=0，得唯一驻点x=1．当x∈(0，1)时f’(x)＜0，函数单调递减；当x∈(1，∞)时f’(x)＞0，函数单调递增．所以函数在x=1处取得最小值f(1)=1．涉及知识点：一元函数微分学8．已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．正确答案：若α1+α2+α3是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)．又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是(λ－λ1)α1+(λ－λ2)α2+(λ－λ3)α3=0．因为α1，α2，α3线性无关，故λ－λ1=0，λ－λ2=0，λ－λ3=0．即λ1=λ2=λ3．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化9．设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且=e4，求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)．正确答案：1)先转化已知条件．由=e4知从而再用当x→0时的等价无穷小因子替换ln[1+f(x)]～f(x)，可得2)用a(1)表示当x→0时的无穷小量，由当x→0时的极限与无穷小的关系=4+o(1)，并利用xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)．从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f’(0)=0，…，f(n-1)(0)=0，=4，故f(n)(0)=4n!．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用10．设D是由曲线y=sin x+1与三条直线x=0，x=π，y=0所围成的曲边梯形，求D绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积．正确答案：y=π∫0π(sin x+1)2dx=。

考研数学二（解答题）模拟试卷238(题后含答案及解析)题型有：1.1．设a1，a2，…，an是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

正确答案：必要性：a1，a2，…，an是线性无关的一组n维向量，因此(a1，a2，…，an)=n。

对任一n维向量b，因为a1，a2，…，an，b的维数n小于向量的个数n+1，故a1，a2，…，an，b线性相关。

综上所述r(a1，a2，…，an，b)=n。

又因为a1，a2，…，an线性无关，所以n维向量b可由a1，a2，…，an线性表示。

充分性：已知任一n维向量b都可由a1，a2，…，an线性表示，则单位向量组：ξ1，ξ2，…，ξn可由a1，a2，…，an线性表示，即r(ξ1，ξ2，…，ξn)=n≤r(a1，a2，…，an)，又a1，a2，…，an是一组凡维向量，有r(a1，a2，…，an)≤n。

综上，r(a1，a2，…，an)=n。

所以a1，a2，…，an线性无关。

涉及知识点：向量2．已知随机变量X的概率分布为(1)求(X，Y)的概率分布；(2)X与Y 是否相互独立?正确答案：(1)X可能取的值为0，1，2，Y可能取的值为0，1，而P{X=0，Y=0}=P{X+Y=0}=，P{X=2，Y=1}=P{X+Y=3}=，故可得如下表格形式(2)因为pij=pi．p.j(i=1，2，3；j=1，2．)，所以X与Y是相互独立的．解析：考查离散型随机变量的分布与其函数的分布的计算与转化能力．关键是找到与(X，Y)取各值的事件相等的事件．知识模块：概率论与数理统计3．已知线性方程组讨论参数p，t取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．正确答案：涉及知识点：线性方程组4．求函数y=的导数．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学5．设f(x)在[a，b]可积，求证：Ф(x)=在[a，b]上连续，其中x0∈[a，b]．正确答案：x，x+△x∈[a，b]，考察Ф(x+△x)－Ф(x)=由f(x)在[a，b]可积=>f(x)在[a，b]有界．即｜f(x)｜≤M(x∈[a，b])，则｜Ф(x+△x)－Ф(x)｜≤｜∫xx+△x｜f(u)｜du｜≤｜△x｜．因此，x，x+△x∈[a，b]，有[Ф(x+△x)－Ф(x)]=0，即Ф(x)在[a，b]上连续．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用6．设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a)，f’(a)=g’(a)，f’’(x)＞g’’(x)(x＞a)．证明：当x＞a时，f(x)＞g(x)．正确答案：令φ(x)=f(x)-g(x)，显然φ(a)=φ’(a)=0，φ’‘(x)＞0(x＞a)．由得φ’(x)＞0(x＞a)；再由得φ(x)＞0(x＞a)，即f(x)＞g(x)．涉及知识点：一元函数微分学7．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a>0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=ef’(ξ)ln正确答案：令F(x)=lnx，F’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得即，整理得f(b)-f(a)=ξf’(ξ)ln 涉及知识点：高等数学部分8．设矩阵是矩阵A*的特征向量，其中A*是A的伴随矩阵，求a，b的值．正确答案：设A*α=λα，由AA*=｜A｜E，有｜A｜α=λAα，即由(3)一(1)，得λ(a—2)=0．由矩阵A可逆，知A*可逆，那么特征值λ≠0，所以a=2．由(1)×b一(2)，得λ(b2+b—2)=0，因此b=1或b=一2．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量9．设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得ηf′(η)＋f(η)＝0．正确答案：(1)令φ(χ)＝f(χ)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝[f′(χ)－2χf(χ)]且≠0，故f′(ξ)＝2ξf(ξ)．(2)令φ(χ)＝χf(χ)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在η∈(a，b)，使得φ′(η)＝0，而φ′(χ)＝χf′(χ)＋f(χ)，故ηf′(η)＋f(η)＝0．涉及知识点：一元函数微分学10．设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：(1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵；(2)当｜ε｜充分小时，A+εB仍是正定矩阵．正确答案：(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P1，使得P1TAP1=E．作B1=P1TBP1，则B1仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得QTB1Q是对角矩阵．令P=P1Q，则PTAP=QTP1TAP1Q=E，PTBP=QTP1TBP1Q=QTB1Q．因此P即所求．(2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵PTBP对角线上的元素依次为λ1，λ3，…，λn，记M=max{｜λ1｜，｜λ2｜，…，｜λn｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E+εPTBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1+ελi＞0，i=1，2，…，n．于是E+εPTBP正定，PT(A+εB)P=E+εPTBP，因此A+εB也正定．涉及知识点：二次型11．求y”一y=e|x|的通解．正确答案：自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一∞，0)∪[0，+∞)分成两个方程，分别求解．由于y”=y+e|x|在x=0处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在x=0处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解．当x≥0时，方程为y”一y=ex，求得通解y=C1ex+C2e一x+xex．当x ＜0时，方程为y”一y=e一x，求得通解y=C3ex+C4e一x一xe一x．因为原方程的解y(x)在x=0处连续且y’(x)也连续，据此，有其中C1，C1为任意常数．此y在x=0处连续且y’连续．又因y”=y+e|x|，所以在x=0处y”亦连续，即是通解．涉及知识点：微分方程设A，B为同阶方阵。

考研数学二（填空题）模拟试卷50(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设=______正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续2．求极限＝_______．正确答案：1 涉及知识点：函数、极限、连续3．=______正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续4．设A，B为3阶方阵，A可相似于对角矩阵，且A2－A=D，B2+B=E，r(AB)=1．则｜A+2E｜=_________.正确答案：12解析：本题考查求抽象矩阵的特征值和由矩阵的秩确定特征值以及行列式与其特征值的关系．由A2—A=D知A的特征值为1，0，再由B2+E=E知B可逆，从而由r(AB)=1知r(A)=1，又A可对角化，所以A的特征值为1，0，0，因此A+2E的特征值为3，2，2，故｜A+2E｜=3×2×2=12．知识模块：行列式5．对充分大的一切x，给出以下5个函数：100x，log10x100，e10x，，则其中最大的是_____________．正确答案：解析：当x充分大时，有重要关系：eαx＞eβ＞lnγx，其中α，β，γ＞0，故本题填．知识模块：函数、极限、连续6．=__________。

正确答案：secx一tanx+x+C解析：知识模块：一元函数积分学7．设α，β，γ1，γ2，γ3都是4维列向量，且｜A｜=｜α，γ1，γ2，γ3｜=4，｜B｜=｜β，2γ1，3γ2，γ3｜=21，则｜A+B｜=________．正确答案：180解析：因A+B=(α+β，3γ1，4γ2，2γ3)，故｜A+B｜=｜α+β，3γ1，4γ2，2γ3｜=24｜α，γ1，γ2，γ3｜+2｜β，γ1，γ2，γ3｜=24｜A｜+4｜B｜=180．知识模块：行列式8．设=_______.正确答案：12解析：由题设及现利用等价无穷小因子替换知识模块：极限、连续与求极限的方法9．已知=9，则a=______．正确答案：ln3解析：知识模块：极限、连续与求极限的方法10．已知曲线y＝x3－3a2x＋b与x轴相切，则b2________．正确答案：4a6；涉及知识点：一元函数微分学11．设f′(a)存在，则＝_______．正确答案：4f′(a)解析：知识模块：导数与微分12．设=___________．正确答案：0解析：因为知识模块：一元函数微分学13．已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=_________。

考研数学二（微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设非齐次线性微分方程y’＋P(x)y＝Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是A．C[y1(x)－y2(x)]．B．y1(x)＋C[y1(x)－y2(x)]．C．C[y1(x)＋y2(x)]．D．y1(x)＋C[y1(x)＋y2(x)]．正确答案：B 涉及知识点：微分方程2．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”＋p(x)y’＋q(x)y＝f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1＋C2y2＋y3．B．C1y1＋C2y2－(C1＋C2)y3．C．C1y1＋C2y2－(1－C1—C2)y3．D．C1y1＋C2y2＋(1－C1－C2)y3．正确答案：D 涉及知识点：微分方程3．若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于A．exln2．B．e2xIn2．C．ex＋ln2．D．e2x＋ln2．正确答案：B 涉及知识点：微分方程填空题4．微分方程y’＋ytanx＝cosx的通解为________．正确答案：y＝(x＋C)cosx；涉及知识点：微分方程5．微分方程xy’＋y＝0满足初始条件y(1)＝2的特解为_______．正确答案：xy＝2；涉及知识点：微分方程6．微分方程xy”＋3y’＝0的通解为_______．正确答案：y＝C1x－2＋C1；涉及知识点：微分方程7．微分方程y”＝2y’＋2y＝e2的通解为________．正确答案：y＝ex(C1cosx＋C1sinx)＋ex；涉及知识点：微分方程8．设Y＝ex(C1sinx＋C1cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_______．正确答案：y”－2y’＋2y＝0．涉及知识点：微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（填空题）模拟试卷125(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f(x)=则f[f(x)]=_______．正确答案：解析：因为f(x)≥0，知识模块：高等数学2．求极限＝_______．正确答案：0 涉及知识点：函数、极限、连续3．=______正确答案：解析：当x→0时，知识模块：函数、极限、连续4．=__________。

正确答案：解析：令x=sint，则知识模块：一元函数积分学5．设f(χ，y)＝eχysinπy＋(χ－1)arctan，则df(1，1)＝_______．正确答案：dχ－πedy 涉及知识点：多元函数微积分6．若z=f(x，y)可微，且则当x≠0时=______正确答案：涉及知识点：多元函数微积分7．设矩阵A=有一特征值0，则a=_________，A的其他特征值为________。

正确答案：1；2解析：因A有一个零特征值，所以｜A｜=2(a一1)=0，即a=1。

A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ一2)2λ=0，解得A的其他特征值为λ=2(二重)。

知识模块：矩阵的特征值和特征向量8．设f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx=_____.正确答案：解析：由∫0x(2x-t)dt∫2xx(2x-u)f(u)(-du)=∫x2x(2x-u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du.得2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du=arctanx2，等式两边对x求导得2∫2xf(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-4xf(2x)+xf(x)=，整理得2∫x2xf(u)du-xf(x)=取x=1得2∫12f(u)du-f(1)=，故∫12f(x)dx= 知识模块：高等数学9．曲线y2=2x在任意点处的曲率为_________．正确答案：解析：用曲率计算公式K=由知识模块：一元函数积分概念、计算及应用10．cos(2x+y)dx dy=_____，其中D：x2+y2≤r2．正确答案：1解析：由积分中值定理，存在(ξ，η)∈D，使得知识模块：高等数学11．y＝，则y′＝_______．正确答案：解析：lny＝sin2(2χ＋1)lnχ，＝2sin(4χ＋2)lnχ＋，则y′＝知识模块：一元函数微分学12．=_______(其中a为常数)．正确答案：π／4解析：令I=则2I= 知识模块：高等数学部分13．设向量组线性无关，则a，b，c必满足关系式______．正确答案：abc≠0解析：由=2abc≠0得a，b，c满足的关系式为abc≠0．知识模块：线性代数14．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1＋χ2)2＋(χ2－χ3)2＋(χ3＋χ1)2的秩为_______．正确答案：2．涉及知识点：二次型15．若线性方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件________．正确答案：a1＋a2＋a3＋a4＝0；涉及知识点：线性方程组16．设D：x2+y2≤R2，则=_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分17．设A是n阶矩阵，满足A2－2A＋E＝0，则(A＋2E)-1＝_______．正确答案：(4E－A)解析：由(A＋2E)(A－4E)＋9E＝A*－2A＋E＝0有(A＋2E)(4E－A)＝E．所以(A＋2E)-1＝(4E－A)．知识模块：矩阵18．设α=(1，-1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则A*=_______正确答案：解析：βTα=3，An=αβT.αβT=3αβT=3A，则An=3n-1A=3n-1 知识模块：矩阵19．设α=[1，0，1]T，A=ααT，n是正数，则｜aE一An｜=____________．正确答案：a2(a一2n)解析：An=(ααT)n=ααTααT…ααT=α(αTα)(αTα)…(αTα)αT=2n一1A，知识模块：线性代数20．微分方程=y(xy一x+y一1)的通解为________．正确答案：涉及知识点：高等数学21．微分方程(y2+x)dx一2xydy=0的通解为________．正确答案：y2= x(ln|x|+C) 涉及知识点：高等数学22．已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r(A)=n一1，则线性方程组AX=0的通解是______正确答案：k[1，1，…，1]T，其中k为任意常数解析：由r(A)=n一1知AX=0的基础解系有n一(n一1)=1个非零向量组成．A的各行元素之和均为零，即ai1+ai2+…+ain=0，i=1，2，…，n．也就是ai1.1+ai2.1+…+ain.1=0，i=1，2，…，n，即ξ=[1，1，…，1]T是AX=0的非零解，于是方程组AX=0的通解为k[1，1，…，1]T，其中k为任意常数．知识模块：线性代数23．=_____正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续24．f(x1，x2，x3，x4)=XTAX的正惯性指数是2，且A2-2A=O，该二次型的规范形为_______正确答案：y12+y22．解析：A2-2A=Or(A)+r(2E-A)=4A可以对角化，λ1=2，λ2=0，又二次型的正惯性指数为2，所以λ1=2，λ2=0分别都是二重，所以该二次型的规范形为y12+y22．知识模块：线性代数部分25．设则a=____________。

考研数学二（高等数学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设，其中a，b为常数，则( )．A．a=1，b=1B．a=1，b=1C．a=-1，b=1D．a=-1，b=-1正确答案：B解析：因为，所以，即a=1，又，选(B) 知识模块：高等数学部分2．设f(x)二阶连续可导，且=2，则( )．A．x=0为f(x)的极大点B．x=0为f(x)的极小点C．(0，f(0))为y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由=2得f”(1)=0，由极限保号性，存在δ>0，当0>0，当x∈(1-δ，1)时，f”(x)>0；当x∈(1，1+δ)时，f”(x)，则f(x，y)在(0，0)处( )．A．取极大值B．取极小值C．不取极值D．无法确定是否取极值正确答案：A解析：因为，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，＜0．因为当0＜＜δ时，｜x｜+y2>0，所以当0＜＜δ时，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处取极大值，选(A) 知识模块：高等数学部分填空题4．设f(x)=sinx，f[φ(x)]=1-x2，则φ(x)=_______，定义域为_______．正确答案：arcsin(1-x2)，解析：φ(x)=arcsin(1-x2)，知识模块：高等数学部分5．设函数f(x)在[0，1]上连续，且f(x)>0，则=_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分6．设f(x)在x=2处可导，且=2，则f(2)=_______，f’(2)=_______．正确答案：0，8解析：因为=2，所以=0，再由f(x)在x=2处的连续性得f(2)=0．由=2，得f’(2)=8．知识模块：高等数学部分7．=_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分8．=_______正确答案：π／2解析：知识模块：高等数学部分9．设z==_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分10．计算=_______正确答案：1-sin1解析：改变积分次序得知识模块：高等数学部分11．以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_______．正确答案：y”+y’-2y=-sinx-3cosx解析：特征值为λ1=-2，λ2=1，特征方程为λ2+λ-2=0，设所求的微分方程为y”+y’-2y=Q(x)，把y=cos代入原方程，得Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y”+y’-2y=-sinx-3cosx．知识模块：高等数学部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（线性代数）模拟试卷50(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．A，B是n阶可逆方阵，则下列公式正确的是( )A．(A2)-1=(A-1)2B．(A+B)-1=A-1+B-1C．(A+B)(A—B)=A2一B2D．(kA)-1=kA-1(k≠0)正确答案：A解析：(A)中，(A2)-1=(AA)-1=A-1A-1=(A-1)2；(B)不成立，例：B=一A，A+B不可逆；(C)中，若AB≠BA，则BA一AB≠O；(D)中，不一定等于kA-1．涉及知识点：线性代数2．设A是n阶方阵，且A3=O，则．( )A．A不可逆，且E一A不可逆B．A可逆，但E+A不可逆C．A2一A+E及A2+A+E均可逆D．A不可逆，且必有A2=O正确答案：C解析：因A3=O，有E3+A3=(E+A)(A2一A+E)=E，E3一A3=(E—A)(A2+A+E)=E，故A2-A+E及A2+A+E均可逆，(C)正确．由以上两式知，E-A，E+A也均可逆，故(A)，(B)不成立．(D)不成立，例有但知识模块：线性代数3．A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则|A*|= ( )A．|A|B．|A-1|C．|A-1|D．|An|正确答案：C解析：由AA*=|A|E，两边取行列式，得|A||A*|=|A|n 若|A|≠0，|A*|=|A|n-1=|An-1|；若|A|=0，则|A*|=0，故选(C)．知识模块：线性代数4．设A是n阶可逆方阵(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则(A*)*= ( ) A．|A|n-1AB．|A|n+1AC．|A|n-2AD．|A|n+2A正确答案：C解析：由AA*=|A|E，得A*(A*)*=|A*|E，(A*)*=|A*|(A*)-1，其中故知识模块：线性代数5．A是n阶矩阵，|A|=3．则|(A*)*|= ( )A．3(n-1)2B．3n2-1C．3nn2一nD．3n-1正确答案：A解析：因|A|=3，A可逆，则A*(A*)*=|A*|E，所以|(A*)*|=||A|n-2A|=|A|n-2n|A|=|A|n2-2n+1=3(n-1)2．知识模块：线性代数6．设An×n是正交矩阵，则( )A．A*(A*)T=|A|EB．A*TA*=|A*|EC．A*(A*)T=ED．(A*)TA*=一E正确答案：C解析：因为A是正交矩阵，则有，A*(A*)T=|A|AT(|A|AT)T=|A|2ATA=E．知识模块：线性代数7．设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是( )A．(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2B．(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2C．(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2D．(A+E)2=A2+2AE+E2正确答案：B解析：由矩阵乘法的分配律可知：(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，因此，(A+B)2=A2+2AB+B2的充要条件是BA=AB，也即A，B的乘积可交换．由于A与A-1，A与A*以及A与B都是可交换的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的．故选(B)．知识模块：线性代数8．设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij 的代数余子式，则下列结论：①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；④A是正交矩阵．其中正确的个数为( ) A．lB．2C．3D．4正确答案：B解析：由aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A*=AT，那么|A*|=|AT|，也即|A|2=|A|，即|A|(|A|一1)=0．又由于A为非零矩阵，不妨设a11≠0，则|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132>0，故|A|=1．因此，A可逆．并且由AAT=AA*=|A|E=E，可知A是正交矩阵，故①，④正确，③错误．从题目中的条件无法判断A是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选(B)．知识模块：线性代数9．设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且m＞n，则必有( )A．|AB|=0B．|BA|=0C．|AB|=|BA|D．||BA|BA|=|BA||BA|正确答案：A解析：由于m>n，则有r(AB)≤r(A)≤nP为3阶非零矩阵，且满足PQ=O，则( )A．t=6时，P的秩必为1B．t=6时，P的秩必为2C．t≠6时，P的秩必为1D．t≠6时，P的秩必为2正确答案：C解析：“AB=O”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为：①Am×sBs×n=Or(A)+r(B)≤s；②Am×sBs×n=O组成B的每一列都是Am×sX=0的解向量．对于本题，PQ=Or(P)+r(Q)≤31≤r(P)≤3一r(Q)．当t=6时，r(Q)=11≤r(P)≤2r(P)=1或2，则(A)和(B)都错；当t≠6时，r(Q)=21≤r(P)≤1r(P)=1．故选(C)．知识模块：线性代数11．设若r(A*)=1，则a= ( )A．1B．3C．1或3D．无法确定正确答案：C解析：由r(A*)=1，得r(A)=3，则|A|=0，即得a=1或3，且此时均满足r(A)=3，故选(C)．知识模块：线性代数填空题12．已知A，B为3阶相似矩阵，λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，行列式|B|=2，则行列式正确答案：解析：设λ3为A的另一特征值．则由A～B知，|A|=|B|=2，且又λ1λ2λ3=|A|=2，可见λ3=1，从而A，B有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=1．于是有|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=12，|(2B)*|=|22B|=43|B|=43|B|2=256，故知识模块：线性代数13．已知AB—B=A，其中则A=_________．正确答案：解析：知识模块：线性代数14．设A为奇数阶矩阵，AAT=ATA=E，且|A|＞0，则|A—B|=_____________．正确答案：0解析：由题知|A—E|=|A—AAT|=|A(E-AT)|=|A||(E-A)T|=|A||E-A|．又由于AAT=ATA=E，可知|A|2=1．又由|A|>0，可知|A|=1．又A为奇数阶矩阵，故|E 一A|=|一(A—E)|=一|A—E|，从而有|A—E|=一|A—E|，可知|A—E|=0．知识模块：线性代数15．设α=[1，2，3]，A=αTβ，则An=__________．正确答案：解析：因故An=(αTβ)n=(αTβ)(αTβ)…(αTβ)=αT(βαT)(βαT)…(βαT)β=3n-1A．知识模块：线性代数16．设则Bn=__________．正确答案：解析：因故Bn=(αTα)n=(αTα)(αTα)…(αTα)=αT(ααT)…(ααT)α=14n-1B．知识模块：线性代数17．设n≥2为正整数，则An-2An-1=__________．正确答案：O解析：因故An=2An-1，An一2An-1=O．知识模块：线性代数18．A，B均为n阶矩阵，|A|=一2，|B|=3，则||B|A-1|=____________．正确答案：解析：因|A|=一2，|B|=3，故知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（行列式）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是m×n矩阵，B是n ×m矩阵，则A．当m>n时，必有行列式｜AB ｜≠0．B．当m>n时，必有行列式｜AB ｜=0．C．当n>m时，必有行列式｜AB ｜≠0．D．当n>m时，必有行列式｜AB ｜=0．正确答案：B 涉及知识点：行列式2．其次方程组的系数矩阵A，若存在三阶矩阵B≠0，使得AB=0，则______. A．λ=-2且｜B ｜=0．B．λ=-2且｜B ｜≠0．C．λ=1且｜B ｜=0．D．λ=1且｜B ｜≠0．正确答案：C 涉及知识点：行列式3．微分方程y”+y=x2+1+sinx的特解形式可设为A．y* =ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y* =x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y* =ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：行列式4．设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．正确答案：B 涉及知识点：行列式5．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A 涉及知识点：行列式6．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A 涉及知识点：行列式7．若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B 涉及知识点：行列式8．设an＞0(n=l，2，…)，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：解决数列极限问题的基本方法是：求数列极限转化为求函数极限;利用适当放大缩小法(夹逼定理);利用定积分定义求某些和式的极限. 知识模块：行列式9．“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n>N时，恒有｜xn-a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分条件又非必要条件正确答案：C解析：函数与极限的几个基本性质：有界与无界，无穷小与无穷大，有极限与无极限(数列的收敛与发散)，以及它们之间的关系，例如，有极限→(局部)有界，无穷大→无界，还有极限的不等式性质及极限的运算性质等．知识模块：行列式10．设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛正确答案：B 涉及知识点：行列式11．当x→0时，（1-cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn 是比ex2-1高阶的无穷小，则正整数n=________.A．1B．2C．3D．4正确答案：B 涉及知识点：行列式12．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则A．a=1,b=-1/6B．a=1,b=1/6C．a=-1,b=-1/6D．a=-1,b=1/6正确答案：A 涉及知识点：行列式13．设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且，(φ)≠0，f(x)有间断点，则A．φ[f(x)]必有间断点B．[φ(x)]2必有间断点C．f[φ(x)]必有间断点D．φ(x)/f(x)必有间断点正确答案：D 涉及知识点：行列式填空题14．若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=正确答案：n-m 涉及知识点：行列式15．设a1，a2，a3均为3维列向量，记矩阵A=(a1，a2，a3)，B=(a1+a2+a3，a1+2a2+4a3a1+3a2+9a3)．如果｜A｜=1，那么｜B ｜=___________．正确答案：2 涉及知识点：行列式16．设a=(1，0，-1)T，矩阵A=aaT，n为正整数，则｜aE-An｜=___________．正确答案：a2(a-2n) 涉及知识点：行列式17．设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式｜2A ｜=-48，则λ=________.正确答案：-1 涉及知识点：行列式18．设A，B为3阶矩阵，且｜A ｜=3，｜B ｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1 ｜=_____________.正确答案：3 涉及知识点：行列式19．设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．正确答案：-27 涉及知识点：行列式20．设u=e-x sinx/y,则э2 u/эxэy 在点（2,1/π）处的值________。