《实变函数》期末考试试题汇编
目录
《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2)
《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7)
《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13)
《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18)
《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27)
《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30)
《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32)
《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36)
《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41)
《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47)
《实变函数》期末考试题（一） (57)
《实变函数》期末考试题（二） (63)
《实变函数》期末考试模拟试题（一）
（含解答）
一、选择题（单选题）
1、下列集合关系成立的是（ A ）
（A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃= （C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是开集，则（ B ）
（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）
（A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数
5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E
f x x =⎰，则（ A ）
（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）
（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）
（A ）*
m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集
3、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数
4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）
（A ）()f z +和()f z -
有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +
和()f z -
都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积
5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）
（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）
1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B
=C A B ⋂ 。
2、设n E R ⊂，如果E 满足E E '⊂，则E 是 闭 集。
3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ⊂、
,G G
αβ∉∉。
4、设A 是无限集，则A 的基数A
≥ a （其中a 表示可数基数）
。 5、设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\)
m E E ≥
12mE mE -。
6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a > 是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数。
7、设0x 是1E R ⊂的内点，则*
m E >
0。
8、设函数列{()}n f x 为可测集E 上的可测函数列，且()()()n f x f x x E ⇒∈，则由黎斯定理可得，存在{()}n f x 的子列{()}k
n f x ，使得()k
n f x ..
a e →
()()f x x E ∈。
9、设()f x 是E 上的可测函数，则()f x 在E 上的L 积分不一定存在，且()f x 在E 上 不一定 L 可积。
10、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 一定 是 [,]a b 上的有界变差函数。 四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。 （ × ）
2、任何无限集均含有一个可数子集。 （ √ ）
3、设E 是可测集，则一定存在G δ型集G ，使得E G ⊂，且(\)0m G E =。（ √ ）
4、设E 是零测集，()f z 是E 上的实函数，则()f x 不一定是E 上的可测函数。（ × ）
5、设()f z 是可测集E 上的非负可测函数，则()f x 必在E 上L 可积。 （ × ） 五、简答题
1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？ 答：不一定为开集。例如 取1R 上一列开集为11
(1,1)n n
--
+，1,2,3,n
=
而1
11
(1,1)[1,1]n n n
∞
=⋂--
+=-是闭集，不是开集。
2、可测集E 上的可测函数与简单函数有何关系？
答：①简单函数是可测函数；
②可测函数不一定是简单函数；
③可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。 3、[,]a b 上的有界变差函数与单调函数有何关系？
答：①单调函数是有界变差函数；
②有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。
六、计算题 1、设1[0,1]()0
[0,1]x Q D x x Q
∈⋂⎧=⎨
∉⋂⎩，其中Q 是有理数集，求
[0,1]
()d D x x ⎰
。
解： 因为{[0,1]}0m Q ⋂=，所以()0..D x a e =于[0,1]，于是
[0,1]
[0,1]
()00D x dx dx =
=⎰
⎰
2、求0
ln()lim
cos d x
n x n e x x n
+∞
-→∞+⋅⎰
。 解： 因为
ln()ln(11)1)cos (1)x x x
x x n x n x n e x e e x e n n n
----++-+-+≤≤≤+ 而
(1)x x e dx +∞
-+<+∞⎰
所以，由L 控制收敛定理
00
ln()ln()lim cos d lim cos d 0d 0x x
n n x n x n e x x e x x x n n +∞
+∞+∞--→∞
→∞
++⋅=⋅==⎰
⎰⎰
七、证明题
1、证明集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C ⋃=⋃
