(20080619)实变函数期末复习指导(文本)

实变函数期末总结高中一、实变函数的定义及基本性质1. 实变函数的定义实变函数是指定义域和值域都是实数的函数。

一般情况下，实变函数可以用解析式表示，例如：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。

关于实变函数的定义，我们需要注意以下几点：（1）实变函数的定义域是指函数自变量能取到的所有实数的集合。

（2）实变函数的值域是指函数因变量能取到的所有实数的集合。

（3）在实变函数中，自变量和因变量之间存在着一种确定的对应关系。

2. 实变函数的性质（1）有界性：实变函数的定义域上，函数值是否有上界或下界。

（2）单调性：实变函数的增减趋势是递增还是递减。

（3）奇偶性：实变函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称，或者具有某种周期性。

（4）周期性：实变函数在某一区间上是否有重复的特点。

（5）连续性：实变函数在定义域上是否连续。

（6）可导性：实变函数在某一点处是否存在导数。

二、实变函数的常见类型及特点1. 基本初等函数（1）常数函数：f(x) = c，其中c为常数。

常数函数的图像是一条水平直线。

（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数。

当n为偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为奇数时，函数图像关于原点对称，同时具有单调增或单调减的特点。

（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。

指数函数的图像呈现出递增或递减的特点。

（4）对数函数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1。

对数函数的图像关于y=x对称，并且图像从左下到右上递增。

（5）三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的图像具有周期性。

2. 变量变换实变函数的研究常常需要通过变量变换来简化表达式或改变函数的性质。

（1）平移变换：对于函数y=f(x)，平移变换的一般形式为y=f(x-h)+k，其中h表示x轴上的平移量，k表示y轴上的平移量。

平移变换可以改变函数图像的位置。

（2）伸缩变换：对于函数y=f(x)，伸缩变换的一般形式为y=af(bx)+c，其中a表示y轴上的伸缩因子，b表示x轴上的伸缩因子，c表示y轴上的平移量。

实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg ：求1(,)n A n n=的上下极限下极限1111lim inf (,)(,)(0,)n nm n m m A n m n m ∞∞∞======+∞上极限1111lim sup (,)(,)(0,)n nm n mm A n m n m ∞∞∞======+∞P24页 第5题5、设F 是]1,0[上全体实函数所构成的集合,c F 2=.证明：(1)设)(x E χ为E 的示性函数,]}1,0[|{⊂=E E A ,F E x B E ⊂⊂=]}1,0[|)({χ,显然B A ~,于是F B A c ≤==2；(2)设]}1,0[|))(,{(∈=x x f x G f ,}|{F f G C f ∈=,}]1,0[|{R ⨯⊂=P P D ,显然D C F ⊂~,于是cD C F 2=≤=,总之,c F 2=.P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题2.设一元实函数)()(R C x f ∈⇒R ∈∀a ,})(|{a x f x G >=是开集,})(|{a x f x F ≥=是闭集.证明：(1)G x ∈∀0,取0)(0>-=a x f ε,因)()(0x C x f ∈,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δ<-||0x x 时, ε<-|)()(|0x f x f ,即a x f x f =->ε)()(0,从而G x N ⊂),(0δ,所以G 是开集.(2)F x '∈∀0,∃互异点列F x k ⊂}{..t s 0x x k →,显然a x f k ≤)(,因)()(0x C x f ∈,有a x f x f k k ≤=∞→)(lim )(0,即F x ∈0,于是F F ⊂',所以所以F 是闭集.12、设实函数)()(nC x f R ∈⇔O ∈∀G ,O ∈-)(1G f.证明：“⇒”O ∈∀G ,)(10G fx -∈∀,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε, 从而)(1G fx -∈,于是)(),(10G fx N -⊂δ,所以O ∈-)(1G f.“⇐”n x R ∈∀0,0>∀ε,由于O ∈=)),((0εx f N G , 那么O ∈∈-)(10G fx ,这样0>∃δ..t s )(),(10G fx N -⊂δ,从而)(),(10G f x N x -⊂∈∀δ,均有)),(()(0εx f N x f ∈,即)()(nC x f R ∈.P42页 定理4P44页 定理2 定理3定理2：∀非空n E R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .P45页 第5.6题5、设非空n E R ⊂,则),(E P ρ在n R 上一致连续.证明：0>∀ε,取εδ=,n Q P R ∈∀,,只要δρ<),(Q P ,由于),(),(),(E Q Q P E P ρρρ+≤,),(),(),(E P P Q E Q ρρρ+≤,有ερρρ<≤-),(|),(),(|Q P E Q E P ,所以, ),(E P ρ在n R 上一致连续.6、∀非空⊕C ∈21,F F ⇒)()(nC P f R ∈∃..t s 1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.证明：显然)(),(),(),()(211nC F P F P F P P f R ∈+=ρρρ,1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.P54页 定理（3）（4） P57页 第5 7题5、设实函数)(x f 在],[b a 上连续,}),(|),{(b x a x f y y x E ≤≤==,证明0*=E m . 证明：因为],[)(b a C x f ∈,于是)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε, 0>∃δ, ..t s 当δ<-||t s ,时,ε<-|)()(|s f t f .取δ<-na b ,将],[b a 进行n 等分,其分点为b x x x a n =<<<= 10,记],[1i i i x x I -=,])(,)([εε+-=i i i x f x f J ,显然,)(}),(|),{(11ni i ini i J II x x f y y x E ==⨯⊂∈==,∑∑==⨯=⨯≤≤ni i ini i iJ m Im J Im E m 11*)]()([)(0εε)(2)2(1a b na b ni -=⋅-=∑=,于是,由ε的任意性,知0*=E m .7、0*>E m ,证明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .证明：反证.假设E x ∈∀,0>∃x δ,使得0)),((*=x x N E m δ ,当然存在以有理数为端点的区间x I ..t s ),(x x x N I x δ⊂∈,由于}{x I 至多有可数个,记作}{k J ,有)(1∞=⊂k kJE E 那么0)(01**=≤≤∑∞=k k J E mE m ,这与条件0*>E m 不符,说明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .P65页 定理5 定理6 P68页 第4 5 9 11题4、设M ⊂}{m E ,证明m mm mmE E m inf lim )inf lim (≤.又+∞<∞=)(1m m E m ,证明m mm m mE E m sup lim )sup lim (≥.证明：因m m k k E E ↑⊂∞= ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m inf lim lim)()inf lim (1≤==∞=∞→∞=∞=.又因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<∞=)(1 m m E m ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m sup lim lim)()sup lim (1≥==∞=∞→∞=∞=.5、设M ⊂}{m E ,+∞<∑∞=1)(m m E m ,证明0sup lim =m mmE .证明：因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<≤∑∞=∞=11)()(m mm m Em E m ,有0)(lim)(lim )()sup lim (01=≤==≤∑∞=∞→∞=∞→∞=∞=mk km mk k m m mk km mEm E m E m E m,所以0sup lim =m mmE .P103页 第2题2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11 所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.P104页 第6 11题6、设实函数)()(n C x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈. 证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10nx a x f x G fx R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈,于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f.由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f,所以)()(E x f M ∈.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G gfx --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G gf a x fg x ,所以)()]([E x f g M ∈.P117页 第2题2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时,mK x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m m x f x f x m k k >+≥-≤0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m 所以K x f ≤|)(|..e a E .课件 第四章第四节 倒数第2~5题3、定理：设)()(x f x f mk →,)()(x g x f mk →E x ∈, 则)(~)(x g x f E. 证明： +∈∀N k m ,, 若mx f x f k 21|)()(|<-,mx g x f k 21|)()(|<-,有mx g x f x f x f x g x f k k 1|)()(||)()(||)()(|<-+-≤-,于是 ]1|)()(|;[m x g x f x E ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[m x g x f x E m x f x f x E k k ≥-≥-⊂ ,从而]1|)()(|;[m x g x f x mE ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[mx g x f x mE m x f x f x mE k k ≥-+≥-≤000=+→, 又因∞=≥-=≠1]1|)()(|;[)]()(;[m mx g x f x E x g x f x E ,有 0)]()(;[=≠x g x f x mE ,所以)(~)(x g x f E.1、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f m k →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk k ++→.2、设)()(x f x f mk →,)()(E x g M ∈且几乎处处有限, 证明)()()()(x g x f x g x f mk →. 证明：已知,)()(x f x f mk →,)(x g 在E 上几乎处处有限,那么0>∀σ,0>∀ε,0>∃K ..t s2]|)()(|;[εσ<≥-Kx f x f x m k , 2]|)(|;[ε<≥K x g x m ]|)()()()(|;[σ≥-x g x f x g x f x m k ]]|)(||)()(|;[σ≥-≤x g x f x f x m k]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m K x f x f x m k ≥+≥-≤σεσ<≥+≥-≤]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m Kx f x f x m k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk →.3、设0)(→mk x f ,证明0)(2→mk x f .证明：已知,0)(→mk x f ,那么0>∀σ,0>∀ε,..t s εσ<≥-]|)()(|;[x f x f x m k ,有εσσ<≥=≥-]|)(|;[]|0)(|;[2x f x m x f x m k k ,所以0)(2→mk x f .。

实变函数知识点总结
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。

以下是实变函数的一些重要知识点总结：
1. 定义域和值域
实变函数的定义域是实数集，即函数可以接受任何实数作为自变量。

而函数的值域则是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

2. 极限
极限是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

当自变量趋近于某一点时，函数的输出值也会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在该点的极限。

3. 连续性
连续性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的连续程度。

如果函数在某一点处的极限等于该点的函数值，那么该函数在该点处是连续的。

4. 导数
导数是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

导数可以用来求函数的最大值、最小值以及函数的凸凹性等。

5. 积分
积分是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间内的面积或体积。

积分可以用来求函数的平均值、总和以及函数的变化趋势等。

6. 奇偶性
奇偶性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的对称性。

如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。

7. 周期性
周期性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的重复性。

如果函数满足f(x+T)=f(x)，那么该函数是周期函数，其中T 为函数的周期。

以上是实变函数的一些重要知识点总结，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用实变函数。

实变函数期末复习指导（文本）实变函数题型比例单选题：5题，每题4分，共20分。

填空题：5题，每题4分，共20分。

计算与证明题：4题，每题15分，共60分。

第1章主要内容本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有：一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律．关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ⊂当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ⊂当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一．还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞=∈1 当且仅当x 属于这一列集合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞=∈1 当且仅当x 属于这一列集合中的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习．二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系．对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法．三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质.四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者.第2章主要内容本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.R中的距离和邻域的概念出发，首先定义了相对于某个给定集一、本章我们从nnE⊂的几种不同类型的点：内点、聚点、孤立点、边界点.它们彼此之间的关系可用图R示如下：其中内点和聚点更常用些.关于聚点，我们还给出几个等价条件(定理2.1.1和定理2.1.2)，读者要熟练的掌握和运用.二、开集、闭集和完备集是本章的重要内容.在开集、闭集和完备集的性质和直线上开集构造的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质和构造也就自然得到了.三、康托集是本章给出的一个重要例子.对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数c，第3章中我们还证明了它的测度为零.正是因为它的巧妙构思和奇特性质常常为构造一些重要的反例提供启示.四、本章中介绍的聚点存在定理，即波尔察诺一维尔斯特拉斯定理(定理2.1.5)，有限覆盖定理(定理2.2.5)和距离可达定理(定理2.4.1)，要弄清定理条件并会灵活运用.第3章主要内容R中点集的测度，它是建立勒贝格积分的基础.本章主要讨论n一、外测度和可测集是本章的两个主要概念，关于可测集的定义，主要使用的是定义3.2.3(即卡氏条件)．因为可测集的测度等于其外测度，所以外测度性质(定理 3.1.1)对可测集都适用．因此对外测的性质要熟练掌握．二、可测集的运算性质是本章的重要内容．可测集类在有限次或可列次并、交、补运算之下是封闭的．可测集的可列可加性(定理 3.2.4)和单调可测集列极限的测度(定理3.2.5和定理3.2.6)的结果在后面的学习中会时常用到．三、关于可测集的构造是本章的又一重要内容. 勒贝格可测集是由波雷尔集和测度为零G 的集的全体所构成的可加集族(定理3.3.8). 我们还讨论了勒贝格可测集同开集、闭集、δF型集之间的关系. 这些关系一方面从不同的角度划了勒贝格可测集，另一方面也型集和σ提供了用较简单的集合近似取代勒贝格可测集的途径.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子.同学们只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.第4章主要内容为了建立勒贝格积分理论的需要，本章讨论一类重要的函数——可测函数.它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数.一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容. 可测函数的定义及给出的一些充要条件(如定理4.2.1和定理4.2.2等)是判断函数可测的有力工具，应该熟练地掌握和应用它们.可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的.可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越性和应用中的方便之处.二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一. 几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两种收敛形式.叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系. 通过这个定理，可以把几乎处处收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用.勒贝格定理(定理4.3.2)告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立.然而，黎斯定理(定理 4.3.3)指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列.三、可测函数的构造是本章的又一重要内容. 一般常见的函数，如连续函数，单调函数等都是可测函数. 然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的(如迪里克雷函数). 所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多.而鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论，从而带来很大的方便.四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的. 如定理4.2.6证明中的构造方法是富有启发性的；叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法以及鲁金定理证明中先考虑简单函数、然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的.第5章主要内容本章的中心内容是建立一种新的积分−− 勒贝格积分理论．它也是实变函数数论研究的中心内容．一、关于勒贝格积分的建立．本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替．一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的．第一步是建立非负函数的积分．它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的．第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数(正部与负部)的差的办法来完成的．二、勒贝格积分的性质．勒贝格积分的性质主要反映在以下几个方面：(1)勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即)(x f 在E 上可积当且仅当)(x f 在E 上可积()(x f 在E 上可测)．这是它与黎曼积分重要区别之一．(2)勒贝格积分的绝对连续性．设)(x f 在E 上可积，则对任意0>ε，存在0>δ，使当E e ⊂且 δ<e m 时，恒有ε<⎰ex x f d )( (3)勒贝格积分的唯一性．即0d )(=⎰E x x f 的充要条件是..0)(e a x f =于E ．由此可知，若)(x f 与)(x g 几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同．(4)可积函数可用连续函数积分逼近．设)(x f 是可积函数，对任意0>ε，存在],[b a 上的连续函数)(x ϕ，使εϕ<-⎰],[d )()(b a x x x f此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较．三、关于积分极限定理．积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义．其中勒贝格控制收敛定理(定理5.4.1)，列维渐升函数列积分定理(定理5.4.2)和法都定理(定理5.4.4)在现代数学中都有广泛的应用．同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处．四、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系．我们知道，若],[b a 上的有界函数)(x f 黎曼可积，则必勒贝格可积且二者积分值相等．值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立．实际上，广义黎曼可积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积．关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化为黎曼积分．五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要),(y x f 在q p R R 上可积即可将重积分化为累次积分．特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒贝格积分较黎曼积分的又一优越之处．六、本章的最后介绍了勒贝格积分理论中的“原函数”存在定理和牛顿—莱布尼兹公式．在这些关系的研究中，有界变差函数和绝对连续函数的概念起着重要作用．。

实变函数知识点实变函数是一种常见的数学函数类型，它在数学分析中有着非常重要的地位。

在这篇文章中，我们将详细探讨实变函数的知识点，包括什么是实变函数、实变函数的定义、实变函数的性质、实变函数的极限和导数、实变函数的应用等内容。

一、什么是实变函数实变函数是指$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的函数，即定义域为实数集$\mathbb{R}$的函数，也称为一元实函数。

它以实数为自变量，实数为函数值。

实变函数主要研究实数集上的性质和变化规律。

二、实变函数的定义实变函数的定义有多种方式，常用的有以下几种：1. 函数图像法根据函数的图像来定义实变函数，即$f(x)$的定义域为实数集$\mathbb{R}$，函数值为其图像上对应点的纵坐标。

2. 显式函数法显式函数是通过代数式直接给出函数的定义，如$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$。

3. 隐式函数法隐式函数一般是指如下形式的方程：$F(x,y)=0$，其中$x$和$y$都是实数变量。

如果存在实数集上解析的函数$f(x)$，使得$y=f(x)$是$F(x,y)=0$的解，那么就称$y=f(x)$为隐式函数。

4. 参数方程法将$x$表示为参数$t$的函数$x(t)$，将$y$表示为参数$t$的函数$y(t)$，则$f(x)=f(x(t))=f(t)$为参数方程法。

五种定义方式中，显式函数和隐式函数是最常用的方法。

三、实变函数的性质实变函数具有多种性质，下面介绍一些重要的性质：1. 奇偶性若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数；若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若既不是奇函数也不是偶函数，则称$f(x)$为一般实变函数。

2. 周期性若存在正实数$T$，使得$\forall x\in \mathbb{R},f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为以$T$为周期的周期函数。

篇一：实变函数复习提纲实变函数复习提纲第一章集合2006-7-14一、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、一一映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．二、基本理论：1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德一摩根公式；2、集合对等的性质；3、可数集合的性质、基数：n?a、q?a（a＞0）；4、不可数数集合的基数：r?c（c&gt;a&gt;0）．三、基本题目1、集合对等的判定、求基合的基数例证明i=（－1，1）和r=（－∞，+∞）是对等的，并求i. 证：作映射ф：??x??tan因??x??tan?2x，x∈（－1，1），其值域为r=（－∞，+∞）、?2x，在（－1，1）∴?：??x??tan?2x是（－1，1）到r上的一一对应, 即 i= (-1,1)1?1?(x)?tanx2由对等的定义知：i～r.∵i～r∴i?r，又r?c，∴i?c. 2 集合的运算，德。

摩根律的应用 3 可数数集合的判定(??,??)=r第二章点集一、基本概念：距离、度量空间、n维欧氏空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间二、基本理论1、开集的运算性质；2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造；4、直线上闭集的构造三、基本题目1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集例设e为[0，1]上的有理数点的全体组成的集1）求e，e，e； 2）判定e是开集还是闭集，为什么？解：1）对于?x?e，x的任意邻域u(x)内有无数个无理点,∴u(x)?e，∴x不是_e的内点，由x的任意性，知e无内点,∴e??.对于?x??0,1?，?u(x)内都有无数多个有理点，即有无数多个e的点,∴x为e的聚点.又在[0，1]外的任一点都不是e的聚点. ∴e???0,1?. ∵e?e?e??e??0,1???0,1? ，∴2）e 不是开集，也不是闭集.因为e??，而e是非空的，∴e?e, ∴e不是开集.因为e???0,1?，而[0，1]中的无理点不在e内，即e??e，∴由定义知，e不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造__e??0,1?.第三章测度论引入：把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量—测度．一、基本概念：勒贝格外测度，l测度，可测集，可测集类1勒贝格外测度的定义：设e为r中任一点集，对于每一列覆盖e的开区间uii?e，i?1n?作出它的体积和?? ?ii?1?i（?可以等于+∞，不同的区间列一般有不同的?），所有这一切的?组成一个下方有界的数集，它的下确量（由e完全确定）称为e的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为m*e，即：m*e?infe???ii???i??i? ?i?1?注：由定义1知：r 中的任一点集都有外测度（一个非负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设e为r中点集，若对任一点集t都有nnm*t?m*(t?e)?m*(t?ce)（1）则称e为l可测的，这时e的l外测度m*e就称为e的l测度，记为me，条件（1）称为卡拉泰奥多里条件，也简称卡氏条件.l可测集的全体记为?.3可测集类1）零测度集类： 2）一切区间i（开、闭、半开半闭）都是可测集合，且mi?i 3）凡开集、闭集皆可测 4）凡博雷尔集都是可测的二、基本理论1勒贝格外测度的性质（1）m*e≥0，当e 为空集时m*e=0（即m*??0）；（非负性）；（2）设a?b，则m*a≤m*b；（单调性） ??（3）m*(uai)≤m*ai?1?i；（次可数可加性） i?12 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1）（定理1）集合e可测←→对任意的a?e，b?[ce，总有m*(a?b)?m*a?m*b 2）余集的可测性：s可测←→cs可测3）并集的可测性：若s1，s2都可测，则s1∪s2也可测； 4）交集的可测性：若s1，s2都可测，则s1∩s2也可测； 5）差集的可测性：若s1，s2都可测，则s1－s2也可测；6）可列可加性：设?s?i?是一列互不相交的可测集，则u?1si也是可测的，且im(us??i)??msii?i?17）可列交的可测性：设?si??是一列可测集合，则?si也是可测集合；i?18）递增的可测集列的极限的测度：设?si?是一列递增的可测集合：s1?s2???sn?，?令s=?s? 则ms?limi?1ilimn??snn??msn9）递减的可测集列的极限的测度：设?si?是一列递减的，可测集合： s1?s2???sn ??令s??i?1si?limn??sn，则当它ms1＜∞时，ms?limn??msn.三基本题目1、试述l外测度的定义.（答案见第三章1定义1） 2、试给l测度的定义（答案见第三章2定义1）3、设点集e?rn，m*e?0，证明e是可测集，并求me.证：只须证明卡氏条件成立，即对?t?rn，有m*t?m*(t?e)?m*(t?ce)∵t?(t?e)?(t?ce)∴m*t≤m*(t?e)?m*(t?ce) （外测度的次可数可加性）①另一方面：∵(t?e)?e，∴m*(t?e)≤m*e（单调性）∵已知m*e?0，m*(t?e)≥0，∴0≤m*(t?e)≤0，必有m*(t?e)=0 又：t?(t?ce) ∴m*t≥m*(t?ce)（单调性）∴m*t≥m*(t?ce)+m*(t?ce) ②由①、②可知：m*t=m*(t?ce)+m*(t?ce)，此即卡氏条件成立；∴ e是可测的，∴ me?m*e?0.n4、证明可数点集e?r的外测度m*e?0iii证明：e为可数点集，∴e??e1,e2,e3,?,em,? ?，其中ei?(e1i,e2,e3,?,en)?rn，i?1,2,3,?,m,?对于任意给定的?＞0，不妨设? 1，作开区间????ii??(x1,x2,x3,?,xn)eij?i?1ij＜eij?i?1,j?1,2,3,?,n?22??ii?(因?2)n?i?2i,i?1,2,3,?,n?ii?1?i??ei?e，由外测度的单调性及次可列可加性得：i?1?1??m*e?m*(?ii)??m*ii??ii??i????1i?1i?1i?1i?121?2???又由ε的任意性及m*e≥0得：m*e=0，得证.注：本题可当作定理.5、设q为有理数集合，求m*q，mq. 解：∵q为一可数集合，∴m*q=0. 对于?t，∵t?(t?q)?(t?cq)∴m*t?m*(t?q)?m*(t?cq) （外测度的次可列可加性）①另一方面，∵(t?q)?q，∴m*(t?cq)?m*q?0（单调性），m*(t?q)?0，∴m*(t?q)?0。

《实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是( )_________ oo oo oo oo(A) limA = u n A ; (B) lim A = n u A ;n—H=1k=n，?一z?=l k=n00 00 00 00(C) limA" = n u ; (D) lim= A k ;打一＞oo z:=l k=n z?=l k=n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A) ~P= c (B) mP = 0 (C) P = P (D) P=P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设以(4是£上的E有限的可测函数列，则下而不成立的是( )(A)若又(x)=>/(x),则又(x) + /(x) (B)sup{/…Cr)}是可测函数(O inf{//%)}是可测函数；(D)若/T H又⑺=>/U)，则/(X)可测5、设f(X)是上有界变差函数，则卜*面不成立的是()(A) /(X)在［6Z，/7］上有界(B) /(X)在［6/，刎上儿乎处处存在导数c b(C) / (X)在上L 可积(D) J a f\x)cbc=f(b)-f(a)二.填空题(3分X 5=15分)1、(C s AuC v5)n(A-(A-B))= ________________2、设£是［0，1］上有理点全体，则E - ______ , E- ________ , E- _______ .3、设£是/?。

中点集，如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的4、/⑶可测的________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设/(x)为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________ ，则称/(x)为［6Z，/7］上的有界变差函数。

实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则 （ ） A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （ ） A.（-1,1） B.[0,1] C.∅ D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的 （ ）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是 （ ）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是 （ ）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限 6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 （ ）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是 （ ）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上 （ ）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为 （ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有 （ ）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1; （D ）以上都不对 13设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。

邢台学院数学系《实变函数》复习手册 前言本课程是数学专业的一门重要的基础课程，在数学教学中具有承上启下的作用。

通过本课程的学习，希望学生能够掌握集合之间的一些基本运算，点集的一些性质，测度、可测函数及L 积分的定义及性质；熟悉并会运用积分序列的极限定理。

为以后学习其它课程打下良好的基础。

第一章 集合本章讨论了集合的基本性质及运算，主要讨论了可数集及不可数集的性质及基数的定义。

为以后引入L 积分打下了基础。

§1 集合的概念理解集合的性质、集合与元素的关系、集合与集合的关系。

§2 集合的运算深刻理解并集或和集、交集或积集、差集、余集、集合列的上下极限的定义，并且会求。

§3 对等与基数1 掌握有限集、无限集、一一映照、对等的定义；会建立常见集合间的对等关系；了解对等的性质。

2 了解基数概念，会比较两个集的基数大小。

§4 可数集合与自然数集合N 对等的集合称为可数集合。

1 任何无限集包含一个可数子集。

2 若A 是一个可数集合，B 是一个有限集合，则A ∪B 是可数集合。

3 有限个或可数个可数集合的并集是可数集合。

4 有理数全体是一个可数集，代数数全体是一个可数集。

§5 不可数集合1 实数集全体R 不是可数集。

其基数记为c ，称与R 对等的集合具有连续基数。

2 任何区间具有连续基数，可数个c 集的并是c 集，实数列全体E ∞的基数是c 。

3 不存在基数最大的集合，也不存在最大基数。

练习题 一、选择题1、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体自然数B 、0，1之间的实数全体C 、[0，1]上的实数全体D 全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、全体小个子D 、{x ：x>1} 3、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体胖子 4、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体瘦子 5、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体小孩子B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体实数 6、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体大人C 、{x ：x>1}D 、全体整数 7、设{}:1A x x ααα=-<≤，I 为全体实数，则IA αα∈= （）A 、()1,1-B 、(]1,0-C 、(),-∞+∞D 、()1,+∞8、设11:11i A x x i i ⎧⎫=-+≤≤-⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、(]1,0-C 、[]0,1D 、[]1,1-9、设1:01i A x x i ⎧⎫=≤<+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、（0，1）B 、[]0,1C 、[)0,1D 、()0,+∞10、设11:12i A x x i i ⎧⎫=-<<+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、[1，2]B 、（1，2）C 、（0，3）D 、(]1,211、设3:2i A x i x i ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、[]0,1C 、∅D 、{0}12、设11:i A x x i i ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、[]0,1C 、∅D 、{0}13、设2110,221n A n -⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，210,12n A n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、[0，2] B 、[)0,2 C 、[0，1] D 、[)0,114、设2110,221n A n -⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，210,12n A n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、[0，2] B 、[)0,2 C 、[0，1] D 、[)0,1 15、设(0,)n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（）A 、∅B 、[]0,nC 、RD 、()0,+∞ 16、设1(0,)n A n=，n N ∈，则lim n n A →∞=（）A 、（0，1）B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、{0}D 、∅ 17、设2110,n A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20,n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、∅ B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、()0,nD 、()0,+∞ 18、设2110,n A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20,n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、∅ B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、()0,nD 、()0,+∞ 19、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(A-B)=（） A 、B B 、A C 、A ∩B D 、A ∪B20、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B ∪C)=（）A 、(A-B)∩(A-C)B 、(A-B)∪(A-C)C 、A ∩BD 、A ∩C 21、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B ∩C)=（）A 、(A-B)∩(A-C)B 、(A-B)∪(A-C)C 、A ∩BD 、A ∩C22、设A 、B 、S 是三个集合，且,A S B S ⊂⊂，则()s C A B -=（） A 、s s C A C B ⋃ B 、s s C A C B ⋂ C 、s C A B ⋃ D 、s C A B ⋂ 23、设A 、B 、S 是三个集合，()s C A B ⋃=（）A 、s s C A CB ⋃ B 、s sC A C B ⋂ C 、s C A B ⋃D 、s A C B ⋃ 24、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B-C)=()A 、A ∪C-B B 、A-B-C C 、(A-B)∪(A ∩C)D 、C-(B-A) 二、填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A n =，则B =（）2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集，则B =（）3、若A c =，B c =，则A B ⋃=（）4、若A c =，B 是一可数集，则A B ⋃=（）5、若A c =，B n =，则A B ⋃=（）6、若{}n A 是一集合列，且n A c =，则1nn A∞= =（）7、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则IA αα∈ =（） 8、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则IA αα∈ =（） 9、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()s IC A αα∈ =（） 10、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()s IC A αα∈ =（） 11、若{}n A 是任意一个集合列，lim n n A →∞=（）12、若{}n A 是任意一个集合列，lim n n A →∞=（）三、判断题1、{0,1}={1,0}。

实变函数综合练习题《实变函数》综合训练题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃= （C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若nE R ⊂是开集，则（ B ）（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ）（A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是nR 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ） （A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ⋂ 。

《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的就是( )(A)1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; (B)1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;(C)1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; (D)1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的就是( ) (A)=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的就是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集与闭集都就是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 就是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的就是( )(A)若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 就是可测函数(C){}inf ()n nf x 就是可测函数;(D)若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)就是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的就是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数(C))('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二、 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 就是[]0,1上有理点全体,则'E =______,oE =______,E =______、 3、设E 就是n R 中点集,如果对任一点集T 都_________________________________,则称E 就是L 可测的4、)(x f 可测的________条件就是它可以表成一列简单函数的极限函数、(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

实变函数复习提纲实变函数复习提纲2006-7-14第⼀章集合⼀、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、⼀⼀映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．⼆、基本理论：1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德⼀摩根公式；2、集合对等的性质；3、可数集合的性质、基数：a N =、a Q =（a ＞0）；4、不可数数集合的基数：c R =（c >a>0）．三、基本题⽬1、集合对等的判定、求基合的基数例证明I =（－1，1）和R =（－∞，+∞）是对等的，并求I . 证：作映射ф：()x x 2tan πφ=，x ∈（－1，1），其值域为R =（－∞，+∞）、因()x x 2tanπ=，在（－1，1）是严格单调增的，∴?：()x x 2tanπ=是（－1，1）到R上的⼀⼀对应, 即 I= (-1,1)xx 2tan)(11π=-(),+∞∞-=R由对等的定义知：I ～R .∵I ～R ∴R I =，⼜c R =，∴c I =. 2 集合的运算，德。

摩根律的应⽤3 可数数集合的判定第⼆章点集⼀、基本概念：距离、度量空间、n 维欧⽒空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间⼆、基本理论1、开集的运算性质；2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造；4、直线上闭集的构造三、基本题⽬1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集例设E 为[0，1]上的有理数点的全体组成的集1）求0E ，'E ，E ； 2）判定E 是开集还是闭集，为什么？解：1）对于E x ∈?，x 的任意邻域)(x U 内有⽆数个⽆理点,∴)(x U E _，∴x 不是E 的内点，由x 的任意性，知E ⽆内点,∴φ=0E .对于[]1,0∈?x ，)(x U ?内都有⽆数多个有理点，即有⽆数多个E 的点,∴x 为E 的聚点.⼜在[0，1]外的任⼀点都不是E 的聚点.∴[]1,0='E . ∵[][]1,01,0=?='?=E E E E ，∴[]1,0=E .2）E 不是开集，也不是闭集.因为?=0E ，⽽E 是⾮空的，∴,0E E ≠ ∴E 不是开集.因为[]1,0='E ，⽽[0，1]中的⽆理点不在E 内，即E E __'，∴由定义知，E 不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造第三章测度论引⼊：把区间的长度、平⾯图形的⾯积、空间⽴体图形的体积推⼴到点集的度量—测度．⼀、基本概念：勒贝格外测度，L 测度，可测集，可测集类1勒贝格外测度的定义：设E 为nR 中任⼀点集，对于每⼀列覆盖E 的开区间E I U i i ?∞=1，作出它的体积和∑∞==1i iIµ（µ可以等于+∞，不同的区间列⼀般有不同的µ），所有这⼀切的µ组成⼀个下⽅有界的数集，它的下确量（由E 完全确定）称为E 的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为E m *，即：=∑∞=?∞=1inf1*i i E I I E m i iY注：由定义1知：nR 中的任⼀点集都有外测度（⼀个⾮负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设E 为nR 中点集，若对任⼀点集T 都有)(*)(**CE T m E T m T m ?+?=（1）则称E 为L 可测的，这时E 的L 外测度E m *就称为E 的L 测度，记为mE ，条件（1）称为卡拉泰奥多⾥条件，也简称卡⽒条件.L 可测集的全体记为µ.3可测集类1）零测度集类：2）⼀切区间I （开、闭、半开半闭）都是可测集合，且I mI = 3）凡开集、闭集皆可测 4）凡博雷尔集都是可测的⼆、基本理论1勒贝格外测度的性质（1）E m *≥0，当E 为空集时E m *=0（即0*=?m ）；（⾮负性）；（2）设A ?B ，则A m *≤B m *；（单调性）（3）)(*1∞=i i UA m ≤∑∞=1*i iAm ；（次可数可加性）2 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1）（定理1）集合E 可测←→对任意的A ?E ，B ?[CE ，总有B m A m B A m **)(*+=?2）余集的可测性：S 可测←→CS 可测3）并集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∪S 2也可测； 4）交集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∩S 2也可测； 5）差集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1－S 2也可测；6）可列可加性：设{}i S 是⼀列互不相交的可测集，则i i S U ∞=1也是可测的，且∑∞=∞==11)(i i i i mS US m7）可列交的可测性：设{}i S 是⼀列可测集合，则i i S ∞=?1也是可测集合；8）递增的可测集列的极限的测度：设{}i S 是⼀列递增的可测集合：s s 21…sn…，令S=ss nn i ilim 1∞→∞==Y 则n n mS mS ∞→=lim9）递减的可测集列的极限的测度：设{}i S 是⼀列递减的，可测集合： S 1?S 2?…?Sn…令n n i i S S S ∞→∞==?=lim 1，则当它1mS ＜∞时，n n mS mS ∞→=lim . 三基本题⽬1、试述L 外测度的定义.（答案见第三章§1定义1）2、试给L 测度的定义（答案见第三章§2定义1）3、设点集n R E ?，0*=E m ，证明E 是可测集，并求mE .证：只须证明卡⽒条件成⽴，即对nR T ??，有)(*)(**CE T m E T m T m ?+?=∵)()(CE T E T T I Y I =∴T m *≤)(*)(*CE T m E T m ?+? （外测度的次可数可加性）①另⼀⽅⾯：∵E E T ?)(I ，∴)(*E T m I ≤E m *（单调性）∵已知0*=E m ，)(*E T m I ≥0，∴0≤)(*E T m I ≤0，必有)(*E T m I =0 ⼜：)(CE T T I ? ∴T m *≥)(*CE T m I （单调性）∴ T m *≥)(*CE T m I +)(*CE T m I ②由①、②可知：T m *=)(*CE T m I +)(*CE T m I ，此即卡⽒条件成⽴；∴ E 是可测的，∴ 0*==E m mE . 4、证明可数点集n R E 的外测度0*=E m证明：E 为可数点集，∴{}?=,,,,,321m e e e e E Λ，其中ni n i i i i R e e e e e ∈=),,,,(321Λ，ΛΛ,,,3,2,1m i =对于任意给定的ε＞0，不妨设ε?1，作开区间=+-=++n j ＜e ＜x e x x x x I i i j i j i i j n i ,,3,2,1,22),,,,(11321ΛΛεεn i I inii ,,3,2,1,2)2(Λ=≤=εε因E e i i i iI=?∞=∞=11Y Y ，由外测度的单调性及次可列可加性得：εεε=-=≤=≤≤∑∑∑∞=∞=∞=∞=211212*)(**1111i i i i i i i i I I m I m E m Y⼜由ε的任意性及E m *≥0得：E m *=0，得证.注：本题可当作定理.5、设Q 为有理数集合，求Q m *，mQ . 解：∵Q 为⼀可数集合，∴Q m *=0. 对于T ?，∵)()(cQ T Q T T I Y I =∴ )(*)(**cQ T m Q T m T m I I +≤ （外测度的次可列可加性）①另⼀⽅⾯，∵Q Q T ?)(I ，∴0*)(*=≤Q m cQ T m I （单调性），0)(*≥Q T m I ，∴0)(*=Q T m I 。

实变函数（复习资料,带答案）《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分X 5=15分)1、下列各式正确的是( )(A)limA n A k；(B) lim 代A；n nlkn n nlkn(C)limA n ik A k；( D) l imA n 人；n nikn n nikn2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A)P c (B) mP 0 (C) P' P (D) P P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n(x)是E上的ae?有限的可测函数列,则下面不成立的是()(A)若f n(x) f(x),则f n(x) f (x) (B)sup f n(x)是可测函数(C) inf f n(x)是可测函数；(D)若nnf n(x) f(x),则f(x)可测5、设f(x)是［a,b］上有界变差函数，则下面不成立的是( )(A) f(x)在［a,b］上有界(B) f(x)在［a,b］上几乎处处存在导数b (C) f'(x)在［a, b］上L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a)a二.填空题(3分X 5=15分)E f(x)1、 ___________________________________ (C s A C s B) (A (A B))2、设E是0,1上有理点全体，则' o—E = _____ , E = _____ , E = _____3、设E是R n中点集，如果对任一点集T都___________________________________ 则称E是L可测的4、f(x)可测的_________ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f (x)为a,b上的有限函数，如果对于a, b的一切分划，使 _______________________________________ 则称f (x)为a,b上的有界变差函数。

实变函数（复习资料,带答案）《实变函数》试卷⼀⼀、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=??;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===??; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=??;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成⽴的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何⼦集都可测(C) 开集和闭集都是波雷⽿集（D ）波雷⽿集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下⾯不成⽴的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下⾯不成⽴的是（）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上⼏乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)-=b aa fb f dx x f )()()('⼆. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任⼀点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成⼀列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的⼀切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

（2008.06.19）实变函数期末复习指导（文本）中央电大教育学院陈卫宏2008年07月01日陈卫宏：大家好！这里是“实变函数”教学活动。

考试时间实变函数期末考试时间:7月12 I 1,8： 30〜10： 00.期末考试题型比例单选题5 （20分）填空题5 （20分）证明题4 （60分）第1章考核要求⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念；⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限；⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用；⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理；⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集；⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。

第2章考核要求⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件；⑵掌握波尔查诺一维尔斯特拉斯定理的条件和结论；⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论；⑸理解康托集的构造及其性质。

第3章考核要求⑴理解勒贝格外测度的定义及其性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积;⑵理解可测集的（卡拉皆屋铎利）定义，了解可测集的充分必要条件以及可测集的运算性质；⑶熟练掌握单调可测集列极限的测度；⑷知道G5型集、Fo型集以及波雷尔集的定义，了解常见的勒贝格可测集，掌握可测集同开集、闭集和可测集同G5型集、Fo型集之间的关系。

第4章考核要求⑴知道点集上连续函数的定义和点集上连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，了解函数列上、下极限的概念，理解“几乎处处”的概念；⑵熟练掌握可测函数的定义及其等价条件，掌握可测函数的判定方法，理解可测函数关于四则运算和极限运算的封闭性、连续函数和简单函数皆可测以及可测函数可表示为简单函数列的极限；⑶了解叶果洛夫定理，理解依测度收敛的定义，知道依测度收敛与几乎处处收敛二者互不包含，理解刻划依测度收敛和几乎处处收敛之间关系的勒贝格定理和黎斯定理，知道依测度收敛的极限函数是惟一的（把几乎处处相等的函数视为同一函数）；⑷理解刻划可测函数同连续函数之间关系的鲁金定理（两种形式）。

实变函数解题指南实变函数是数学中的一种重要分支,涉及到函数在给定区间内的变化规律和性质。

以下是一些常用的实变函数解题技巧和公式:1. 导数和微分:导数和微分是实变函数中最基础的概念,也是解题的关键。

下面是一些常见的导数和微分公式:- 函数的导数:f(x)导数=f"(x),g(x)导数=g"(x),h(x)导数=h"(x)- 常数的导数为零,幂函数的导数为1,指数函数的导数为-1,对数函数的导数为1/(1+q),函数的导数可以通过求导法则进行计算:f(x)导数=(f(x+h)-f(x))÷(h-x),其中h为导数的计算式。

- 函数的微分:f(x)微分=f(x+h)-f(x),g(x)微分=g(x+h)-g(x),h(x)微分=h"(x)。

2. 积分:积分是实变函数中另一个重要的概念,它是将函数在某个区间内的面积乘以该区间内的函数值。

下面是一些常见的积分公式:- 常数的积分等于0,幂函数的积分等于函数值,指数函数的积分等于函数在该区间上的面积。

- 对数函数的积分和对数函数的极限存在的情况下,积分等于1/1+q,其中q为函数的导数。

- 幂函数的积分和对数函数的积分存在的情况下,积分等于函数在该区间上的面积。

- 不定积分可以通过求导法则进行计算:∫f(x)dx=f(x)+C,其中C为积分常数。

3. 级数:级数也是实变函数中的一个基本概念,它是一组连续函数的求和公式。

下面是一些常见的级数公式:- 泰勒级数:x=x0+x0*u(x),其中u(x)=x/a,a为无穷小量。

泰勒级数为:∫[0,1]f(x)dx=f(x0)+f"(x0)(x-x0)+f"(x0)(u(x)-x0)+O(|x-x0|^2),其中f(x)是奇函数。

- 洛必达法则:设u(x)=x/a,v(x)=x^a,则(uv)^n=u"v^n+u"v^n+...,其中n为无穷大,当且仅当u"v^n=nuv^(n-1),即当u和v的斜率相同时,n uv^(n-1)才等于斜率乘积。