向量场作图

实验一 曲线绘图【实验目的】1.了解曲线的几种表示方法。

2.学习、掌握MATLAB 软件有关命令。

【实验内容】绘制下列四种曲线：1.以直角坐标方程sin ,cos y x y x ==表示的正、余弦曲线。

2.以参数方程cos ,sin ,[0,2]x t y t t π==∈表示的平面曲线(单位圆)。

3.以参数方程0.20.2cos ,sin ,,[0,20]22t t x e t y e t z t t ππ--===表示的空间曲线。

4.以极坐标方程(1cos ),1,[0,2]r a a ϕϕπ=+=∈表示的心脏线。

【实验准备】1.平面、空间曲线的表示形式2.曲线绘图的MATLAB 命令MATLAB 中主要用plot,fplot,plot3三种命令绘制不同的曲线 matlab 绘图命令比较多,我们选编一些常用命令,并简单说明其作用,这些命令的调用格式,可参阅例题及使用帮助help 查找.表1.1 二维绘图函数表1.2 基本线型和颜色表1.3 二维绘图工具表1.4 axis命令linspace 创建数组命令,调用格式为:x=linspace(x1,x2,n),创建了x1到x2之间有n个数据的数组.funtool 函数工具,在matlab指令窗键入funtool可打开“函数计算器”图形用户界面.【实验重点】1.一维函数的绘制2.各种曲线的实现方法 【实验难点】1.各种曲线的实现方法 【实验方法与步骤】练习１ 作出函数sin ,cos y x y x ==的图形，并观察它们的周期性。

先作函数sin y x =在[4,4]ππ-上的图形，用MATLAB 作图的程序代码为>>x=linspace(-4*pi,4*pi,300); %产生300维向量x >>y=sin(x)>>plot(x,y) %二维图形绘图命令 运行结果如图1.1。

-15-10-551015-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图1.1此图也可以用fplot 命令,相应的 MATLAB 程序代码为 >>clear;close; %clear 清理内存；close 关闭已有窗口． >>fplot('sin(x)',[-4*pi,4*pi]) 运行结果如图1.2。

实验目的1．掌握MATLAB的基本绘图命令。

2．掌握运用MATLAB绘制一维、二维、三维图形的方法.3．给图形加以修饰。

一、预备知识1．基本绘图命令plotplot绘图命令一共有三种形式：⑴plot（y)是plot命令中最为简单的形式，当y为向量时,以y的元素为纵坐标，元素相应的序列号为横坐标,绘制出连线；若y为实矩阵，则按照列绘出每列元素和其序列号的对应关系，曲线数等于矩阵的列数;当y为复矩阵时，则按列以每列元素的实部为横坐标，以虚部为纵坐标，绘出曲线，曲线数等于列数。

⑵ plot（x,y,［linspec］）其中linspec是可选的，用它来说明线型。

当x和y为同维向量时，以x为横坐标，y为纵坐标绘制曲线;当x是向量，y是每行元素数目和x维数相同的矩阵时,将绘出以x为横坐标，以y中每行元素为纵坐标的多条曲线，曲线数等于矩阵行数；当x为矩阵，y为相应向量时，使用该命令也能绘出相应图形。

⑶ plot（x1,y1,x2,y2，x3,y3……）能够绘制多条曲线,每条曲线分别以x和y为横纵坐标，各条曲线互不影响。

线型和颜色MATLAB可以对线型和颜色进行设定，线型和颜色种类如下：线：—实线：点线 -.虚点线——折线点：.圆点 +加号 *星号 x x型 o 空心小圆颜色：y 黄 r 红 g 绿 b 蓝 w 白 k 黑 m 紫 c 青特殊的二维图形函数表5 特殊2维绘图函数[1］ 直方图在实际中,常会遇到离散数据,当需要比较数据、分析数据在总量中的比例时，直方图就是一种理想的选择，但要注意该方法适用于数据较少的情况。

直方图的绘图函数有以下两种基本形式。

·bar(x,y) 绘制m*n 矩阵的直方图.其中y 为m ＊n 矩阵或向量,x 必须单向递增。

·bar(y） 绘制y 向量的直方图，x 向量默认为x=1：m close all; ％关闭所有的图形视窗。

x=1:10；y=rand （size(x ）); bar(x,y ）; ％绘制直方图.123456789100.51Bar(）函数还有barh （）和errorbar （）两种形式，barh()用来绘制水平方向的直方图，其参数与bar()相同，当知道资料的误差值时，可用errorbar （)绘制出误差范围,其一般语法形式为：errorbar （x,y,l,u)其中x,y 是其绘制曲线的坐标,l ，u 是曲线误差的最小值和最大值，制图时，l 向量在曲线下方,u 向量在曲线上方。

三维非调和向量场的数学方法基础Dichen Yu 窦姸 Department of MathematicsChang ’an University 6 Yanta Road, Xi ’an 710054, China内容提要： 我们在《超变函数论与场论的关系》一文中，称滿足散度0div A =、旋度rot A =0、副冲量度A vdbi =0的向量场A 为调和场；在《关于三维调和向量场的完备数学观念》一文中，我们给出了三维调和场中的三个相应的函数---势函数、流函数及副沖量函数，并且构建了由正交的等势面、等流面、等副沖量面围成的“屋式网格”。

现在， 对于三维非调和向量场，如何计算其势函数、流函数、副冲量函数？“屋式网格”将是什么样子？对此，在本文中我们只做一些初步的探讨。

在讨论中提供的方法原则，可以作为研究较复杂的三维非调和场的基础。

关键词：、三维调和场、三维非调和场，势函数，流函数，副冲量函数；屋式网格，副沖量度，势量管，流量管，副冲量管。

分类号： 一， 前言我们知道，由于目前的物理学缺少三维流函数的解析表达式，更不知道在三维向量场中尙存在有副沖量度A vdbi 及副冲量函数。

因而，目前物理学在处理三维向量场问题時就缺乏有力的数学基础。

我们在《关于三维调和向量场的完备数学观念》一文中所讨论的是三维调和场的情况；本文将对三维非调和场进行研究。

讨论非调和场是一个庞大的‘工程’，涉及的分类很多，我们只就A =a div （常数），rot A =0及A vdbi =0的情况做出讨论。

但是，讨论中使用的方法、原理己经为讨论各类非调和场提供了原则性的依据。

可以这样说，发生在三维向量场中的诸现象，在本文的基础上已经获得了坚实的数学基础。

往下的讨论需要引用下列材料（见参考文献【3】）： 1． 副沖量度的表达式为A vdbi i j k =z y x z y xx y z A A A A A A ∂∂∂∂∂∂--- （а） 其中场A i j k x y z A A A =++.2． 三维调和场中的势函数、副冲量函数、流函数的表达式设A i j k x y z A A A =++，则由0A rot =可得势函数6Mx y z M u A dx A dy A dz =++⎰； （ь）由vdbi A =0，可得副冲量函数0()()()Mz y x z y x M w A A dx A A dy A A dz =-+-+-⎰；（с） 由u 、w 可得流函数(,,)()()()MM w u u w w u u w w u u wv x y z dx dy dz y z y z z x z x x y x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∴=-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎰ （d ） 二，二维向量场1，二维调和向量场的主要结论设有二维向量場A ＝A x i ＋A y j 在平面某区域内，0A ∂∂=-=∂∂y xA A rot xy时，,可导出向量場A 的势函数(,)x y ϕ=0+⎰Mx y M A dx A dy ；当在该区域内，0A ∂∂=+=∂∂yx A A div x y 时，可导出向量場A 的流函数(,)x y ψ=-+⎰My x M A dx A dy并且势函数(,)x y ϕ、流函数(,)x y ψ 满足下列偏微分方程组x y yx ϕψϕψ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ 于是可知，在无源无旋平面向量场中，有三个重要结论：（1）0rot =A 对应平面向量场的势函数(,)x y ϕ； 0div =A 对应平面向量场的流函数(,)x y ψ。

矢量场的基本概念和算法绪论矢量场，指任意空间位置周围的矢量组成的函数，是现代计算机图形学中重要的研究内容之一。

矢量场通常指的是二维或三维空间中的矢量场，本文主要针对这种情况进行讨论。

矢量场广泛应用于流体力学、电磁学、医学图像处理等领域，因此对其基本概念和算法的理解和掌握是非常重要的。

一、矢量场的基本概念1.1 矢量矢量是指具有大小和方向的物理量，通常用箭头表示。

在二维平面中，矢量可以表示为由其起点 $(x_0,y_0)$ 到终点$(x_1,y_1)$ 的向量 $\vec{v}$，其大小为 $|\vec{v}|=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$，方向为与 x 轴正方向的夹角 $\theta$，即$\theta=\arctan \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$。

在三维空间中，矢量可以表示为由其起点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到终点 $(x_1,y_1,z_1)$ 的向量 $\vec{v}$，其大小为$|\vec{v}|=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2}$，方向为与x 轴正方向、y 轴正方向、z 轴正方向的夹角 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$。

1.2 矢量场矢量场是指在空间任意点上有定义的矢量函数，即将每个位置$(x,y,z)$ 映射到一个矢量 $\vec{v}$ 上的函数$\vec{F}(x,y,z)=(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))$。

矢量场的一个重要性质是：在空间中任意一点上的矢量大小和方向可以确定。

1.3 梯度梯度是指矢量场瞬时变化率的向量，其大小表示矢量场在某个点上的变化率，而方向表示变化的最快方向。

在二维平面中，矢量场 $\vec{F}(x,y)=(F_x(x,y),F_y(x,y))$ 在某个点 $(x_0,y_0)$ 处的梯度可以表示为 $\nabla \vec{F}(x_0,y_0)=(\dfrac{\partialF_x}{\partial x}(x_0,y_0),\dfrac{\partial F_y}{\partial y}(x_0,y_0))$。

matlab快速⼊门（15）：绘制向量图（1）可以使⽤plot函数在⼀张图上绘制两个相同长度的向量。

plot(x,y)任务：创建⼀个绘图，其中sample位于 x 轴，mass1位于 y 轴。

(2)plot函数接受⼀个附加参数。

使⽤该参数，您可以通过在引号中包含不同符号的⽅式来指定与之对应的颜⾊、线型和标记样式。

plot(x,y,"r--o")以上命令将会绘制⼀条红⾊ (r) 虚线 (--)，并使⽤圆圈 (o) 作为标记。

任务:绘制mass2（y 轴）对sample（x 轴）的图。

在绘图中使⽤红⾊ (r) 星号 (*) 标记，并且不使⽤线条。

（3）请注意，每个绘图命令都创建了⼀个单独的绘图。

要在⼀张图上先后绘制两条线，请使⽤hold on命令保留之前的绘图，然后添加另⼀条线。

任务：输⼊hold on命令。

然后绘制mass1（y 轴）对sample（x 轴）的图，并带有⿊⾊ (k) ⽅形 (s) 标记，不带线条。

(4)启⽤保留状态时，将继续在同⼀坐标区上绘图。

要恢复默认绘图⾏为，即其中每个绘图都有⾃⼰的坐标区，请输⼊hold off。

任务:输⼊hold off命令。

(5)当您单独绘制⼀个向量时，MATLAB 会使⽤向量值作为 y 轴数据，并将 x 轴数据的范围设置为从1到n（向量中的元素数⽬）。

任务:使⽤以下命令绘制向量v1。

plot(v1)(5)plot函数接受可选的附加输⼊，这些输⼊由⼀个属性名称和⼀个关联的值组成。

plot(y,"LineWidth",5)以上命令将绘制⼀条粗线。

任务:绘制v1，线宽为3。

(7)使⽤plot函数时，您可在绘图参数和线条设定符之后添加属性名称-属性值对组。

plot(x,y,"ro-","LineWidth",5)任务:绘制v1（y 轴）对sample（x 轴）的图，使⽤红⾊ (r) 圆圈 (o) 标记，线宽为4。

第6章 Maple 中作图6.1 二维函数作图命令plot6.1.1 二维函数作图用plot 命令可以画出一元函数在指定区间上的二维函数图形。

其用法有plot （函数，变量名） plot （函数，范围，选项)范围和选项均可省略，缺省时系统自动选取最佳设置。

最简单的plot 语句为plot(f(x),x=a..b) 画出f(x)在区间[a,b]上的图像，其中f 可为过程或表达式。

例：画出函数x x f sin )(1=在区间),(∞−∞上的图形。

> plot(sin(x)/x,x=-infinity..infinity);例：画出分段函数⎪⎩⎪⎨⎧>−≤≤−−<−−=ππππππx x x x x x x f )(sin )(21在区间]6,6[−上的图像。

> f:=x->piecewise(x<-Pi,-x-Pi,x<=Pi and x>=-Pi,sin(x),x>Pi,(x-Pi)/2):plot(f(x),x=-6..6);6.1.2 plot 选项 6.1.3 参数方程作图用plot 函数画参数曲线的一般形式为plot （[x(t),y(t),t=a..b]，选项） 或plot （[[x(t),y(t),t=a..b],[u(t),v(t),t=c..d]]，选项）在一个坐标系中同时画两条参数曲线。

例 ：画参数曲线]2,0[sin cos 1π∈⎩⎨⎧=+=t t y tx ，。

> plot([1+cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]);6.1.4 特殊坐标系下作图plot 通常画的是直角坐标下的函数图像，通过设置coords 选项，plot 也可以画出特殊坐标下的函数图像。

例如，画出极坐标下函数b t a t r r ≤≤=，)(的图形可用命令plot(r(t),t=a..b,coords=polar) 或 plot([r(t),t,t=a..b],coords=polar)在6.3小节中，还将给出plots 程序包中画特殊坐标系下的函数图像的命令，例如polarplot(r(t),t=a..b)例 ：特殊坐标系下的函数图像。

向量场知识
向量场是一个定义在某个区域上的向量函数。

在三维空间中，向量场可以用三个分量函数来表示，即f(x,y,z)=[F1(x,y,z),
F2(x,y,z), F3(x,y,z)]，其中F1、F2、F3分别表示向量场在x、y、z方向的分量。

向量场可以用箭头来表示，箭头的方向表
示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

向量场可以描述物理学中的力场，电场，磁场等等。

在物理中，力场指的是某些物体受到的力的分布情况。

例如，地心吸引力可以用一个力场向量场来表示，力场的方向是指向地心的，力场的大小与距离地心的距离成反比。

在数学中，向量场的性质可以通过研究它的梯度，散度和旋度来研究。

梯度是向量场的变化率，可以表示向量场的方向和速率。

散度是向量场的发散程度，表示向量场的流量进出一个孤立的曲面的情况。

旋度则是向量场的旋转程度，表示向量场在某一点的旋转情况。

向量场的研究在物理学和工程学中非常重要，它们可以用来描述流体力学，天气预报，电磁场等问题。

通过研究向量场的性质，可以更好地了解和预测实际问题的行为。