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静电唯一性定理我们将证明，如果我们得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，那么，这个解是唯一的。
这就是静电唯一性定理。
下面我们证明这一定理并初步介绍它的应用。
在由边界面s 包围的求解区域V 内，若：1) 区域V 内的电荷分布给定；2) 在边界面s 上各点，给定了电势s ϕ，或给定了电势法向偏导数s n ϕ∂∂， 则V 内的电势唯一确定。
以上的表述就是静电唯一性定理。
下面，我们用反证法证明静电唯一性定理。
证: 假定在区域V 内的电荷密度分布为ρ(x )，且有两个不同的解φ1和φ2满足泊松方程及给定边界条件(给定的电势值s ϕ或电势法向偏导数s n ϕ∂∂)。
即： 2212,ρρϕϕεε∇=-∇=- 并有12s s s ϕϕϕ==或12ss s n n n ϕϕϕ∂∂∂==∂∂∂ 式中s ϕ和sn ϕ∂∂为给定的边界条件。
令φ = φ1 – φ2，则在区域V 内各点： 2212()0φϕϕ∇=∇-= (2-2-1)及在边界s 上各点：120s s s φϕϕ=-= (2-2-2)或120s s sn n n ϕϕφ∂∂∂=-=∂∂∂ (2-2-3) 利用公式22d d ()d V V sV V φφφφφ∇+∇=∇⎰⎰⎰s 将式(2-2-1)带入上式得：2d ()d d V ss V s n φφφφφ∇=∇∂=∂⎰⎰⎰s (2-2-4)若在边界s 上各点无论是给定了电势或给定了电势法向偏导数均有：2d 0V V φ∇=⎰ (2-2-5)因|∇φ|2 ≥ 0，满足上式的条件只能是在求解区域V 内各点∇φ = 0。
因此，φ1 - φ2= 常数如果在边界上（或部分边界上）给定了电势φ|s ，则因φ1|s = φ2|s ，此常数为零；若全部边界条件给出的不是电势，而是(∂φ/∂n )|s ，此常数不一定为零。
但由式E = -∇φ，区域V 内的电场唯一确定，一个常数并不改变电场的基本特性，通常为了方便，此常数可选择为零。
关于静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理被称为静电学中的一颗明珠。
说说静电场唯一性定理的重大意义。
静电场的唯一性定理是以库仑定律为基础推导出来的一个极为重要和有用的定理，它是静电学中极有品位和令人赞叹的定理。
静电场的唯一性定理有许多种表述。
其中一种常见的表述是：若区域V 内给定电介质分布和自由电荷分布()r ρ ，在V 的边界面S 上给定电位S ϕ或者电位的法向空间变化率Sn ϕ∂∂，若区域内有导体存在，如果还给定各导体的电位或者各导体所带的自由电量，则V 内的静电场就唯一地确定了。
静电场的唯一性定理表明，一定的空间区域外界的电荷对该区域内静电场的影响，完全体现在该区域的边界面上。
只要一定的空间区域内的电介质的分布和自由电荷的分布给定了，同时该区域边界面上的电位或者电位沿边界面的法线方向的空间变化率的分布给定了，那么不论外界的电荷分布怎样改变，该区域内的静电场都是唯一确定的。
因此，静电场的唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度以及设计静电场指明了方向。
（镜像法就是建立在唯一性定理的基础之上的。
）更重要的是它具有十分重要的实用价值。
无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程、边值关系和给定的边界条件，则该解就是唯一的正确解。
因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足泊松方程、边值关系和边界条件。
满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
如果有人精于设计和求解静电场，那么他已经是一个有名望的专家学者了，并且享有丰厚的报酬。
因此，虽然静电学是电磁场理论中相对比较简单的一门学问，请同学也不要小看它。
一个外行人，有谁会相信上述有名望的专家学者的工作基础就是高中生都明白的库仑定律呢？大理大学工程学院教授罗凌霄2020年3月20日。
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它有助于我们理解电场，研究电磁场，有助于研究一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论的发展。
它指出，当电场的空间和时间的变化都可以完全确定时，其静态状态就是唯一的。
在实际应用中，它为解决复杂的电力电子、光电子和微电子学问题提供了有力的理论支持。
静电场唯一性定理是由19世纪90年代著名物理学家雷诺兹等提出的。
他们提出，电场的动量和能量有相应的定律，可以用来描述其变化，不论是在空间上还是时间上都是这样。
根据它们提出的新定律，假设电场的状态完全确定，不论是在空间上还是时间上，其静态状态都是唯一的。
结合泰勒到的变分原理，可以证明静电场唯一性定理的有效性。
当电场的状态完全确定时，可以用变分原理来证明它的静态态一定是唯一的，这就是静电场唯一性定理的关键性证明过程。
除了可以用于研究电场外，静电场唯一性定理也可以用于研究重力场。
由于重力场是空间和时间变量关系的最简单形式，可以用静电场唯一性定理来分析它，并且可以证明重力场也是唯一的。
总之，静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它对研究电场、重力场以及一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论都有着重要的意义。
通过它，我们可以更加有效率地研究和分析物理现象，从而不断地拓展物理知识面，并进一步深入地研究物理本质。
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