电磁场 边值问题 唯一性定理(完美解析)

时变电磁场唯一性定理下面我们讨论由多种媒质所组成的场域V 。

为叙述方便，先引入内边界面和外边界面的概念。

内边界面是指边界面两侧区域都是场域的边界面，内边界面位于场域V 内。

外边界面是指边界面两侧区域中有一侧属于场域V 而另一侧不属于场域V 的边界面，外边界面是场域最外侧的边界面。

内边界面的两侧区域都是未知的待求场域；而外边界面的两侧区域中有一侧是待求场域而另一侧是常量为已知的场域。

唯一性定理 假设：1)形状不随时间t 变化的场域V 是由m 个线性媒质1V , 2V ,...,m V 所组成，i V 的边界面i Γ是由分片光滑曲面所组成的闭曲面，V 的外表面是Γ，1,2,...,i m =。

2）外部电流源s J 和K 分布在有限区域内，矢量,,,,,s e h e h J K G G F F 和标量ρ是不全为零的有界的已知量。

3）媒质i V 的介电常量0i ε>，磁导率0i μ>，电导率0i γ≥，1,2,...i m =。

4) i V 中的电场强度i E 和磁场强度H i 在闭如果区间i i V +Γ上存在连续偏导数，1,2,...,i m =。

在上述条件下，如果由以下初边值（2.79）—（2.90）所确定的场量E 和H 存在，那么它们分别有唯一的有界非零解。

1. 约束方程()()()(),(),,s M t M M M t M t t γε∂⎛⎫∇⨯-+= ⎪∂⎝⎭H E J (2.79)()()(),,0M t M M t tμ∂∇⨯+=∂E H (2.80) M V ∈, 0t >2．初始条件 ()()0,|t e M t M ==E G , M V ∈ (2.81)()()0,|t h M t M ==H G , M V ∈ (2.82)()0,|0t M t μ=∇=⎡⎤⎣⎦H ， M V ∈ (2.83)()()0,|t M t M ερ=∇=⎡⎤⎣⎦E , M V ∈ (2.84)3.内边界面上得边界条件在内边界面ij Γ上场量应同时满足以下两式：()()(),,0ij j i p p t p t ⎡⎤⨯-=⎣⎦n E E (2.85)()()()(),,,ij j i ij p p t p t p t ⎡⎤⨯-=⎣⎦n H H K (2.86)以上两式中，各个场量的含义为()(),,lim j j j p p p t p t →=E E ， ()(),,lim i i i p pp t p t →=E E()(),,lim j j j p p p t p t →=H H ，()(),,lim i i i p pp t p t →=H Hi i p V ∈，j j p V ∈， ij p ∈Γ, i j <, 0t >1,2,...,1i m =-;2,3,...,j m =4.外边界面上的边界条件在外变截面out Γ上，场量仅需满足以下两式的其中之一：()()(),,e Q Q t Q t ⨯=n E F (2.87)或()()(),,h Q Q t Q t ⨯=n H F (2.88)以上两式中，场量的含义为()(),,lim M Q Q t M t →=E E ，()(),,lim M QQ t M t →=H HM V ∈, out Q ∈Γ， t o >5. 无限远条件当场域是无界区域时，在无限远处场量应同时满足以下两式: lim er r →∞=E D (2.89) lim h r r →∞=H D(2.90)符号说明：ij Γ是i V 和j V 的公共变截面，由于ij Γ位于V 内，所以ij Γ为内边界面；Γ是整个区域V 的外表面，当V 是有界区域时Γ就是外边界面out Γ，当V 是无界区域时out in Γ=Γ+Γ，这里in Γ是无界区域中无限假想的光滑曲面；ij n 是ij Γ上从i V 指向j V 的单位法向矢量；s J 和ij K 分别是外源的电流密度和电流面密度；n 是外边界面out Γ上得单位法向矢量；e G ，h G ，e F ，h F 均为已知的矢量函数；ρ是分布在有限区域内的外源电荷密度；r 是坐标原点o 到场点p 之间的距离；e D 和h D 分别是与坐标无关的有界常矢量。

叶齐政，2014,5§7.6 定解条件与唯一性定理
麦克斯韦方程组的微分形式、电荷守恒方程的微分形式以及分界面上的边界条件是时变电磁场必须满足的基本方程，但这组方程的解是通解，要想得到具体物理问题的定解——特解，还必须给定初始条件和边界条件，这些条件称为定解条件，与此相关的问题称为定解问题。

唯一性定理：在t >0的所有时刻，闭区域V内的电磁场是由整个V内的电和磁矢量的初始值，以及t ≥0时边界上电矢量（或磁矢量）的切向分量的值所唯一确定。

线圈
磁极
F
E
磁极
r 'r
()()
1875年法拉第给麦克斯韦的信
我亲爱的先生，我接到你的论文，为此深为感谢。

我并不是说我要感谢你是因为你谈论“力线”，因为我知道你已经在哲学真理的意义上处理了它；但你必然以为这项工作使我感到愉快，并给予我很大的鼓励去进一步思考。

起初当我看到你用这样的数学威力来针对这样的主题，我几乎吓坏了。

后来我才惊讶地看到这个主题居然处理得如此之好。

5ξ电磁场的边值关系一．引言当介质分布均匀时，出现了界面，→D ,→B 有跃变，界面两侧场值的关系 1.边值关系：描述介质界面两侧的场矢量与界面上电荷，电流的关系 2.麦氏方程组的微分形式要求→E ,→D ,→B ,→H 在介质中连续麦氏方程组的积分形式在场量不连续时不成立。

故不能用微分形式导出边值关系，而用积分形式讨论边值关系。

⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∙=∙⎰⎰⎰→→→→s s v S d B dv S d D 0ρ⇒导出法向关系⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∙∂∂+∙=∙∙∂∂-=∙⎰⎰⎰⎰⎰→→→→→→→→→→s s l l S d t DS d j l d H S d tB l d E ⇒导出切向关系二．边值关系（法向关系证明从略,切向关系讲一例后推论） 1.→D 的法向有跃变⎰⎰=∙→→vsdv S d D ρ⇒σfD D n =-∙→→→)(12 （1）推论：εσσρρε0120)()(1pf v pf sE E n dv S d E +=-∙⇒+=∙→→→→→⎰⎰ （2）dv S d P ps⎰⎰-=∙→→ρ→⇒n )(12→→-∙P P =-σP（3）2．→B 的法向连续0)(0)(0112212=-∙−−−−→−=-∙⇒=∙→→→→→→→→⎰H u H u B B n n S d B s线性各向同性(4) 3.的→E 切向连续→→→→∙-=∙⎰⎰S d B dt d l d E s l 0)(12=-⨯⇒→→→E E n E Et t12= (5)4.的切向跃变→H→→→→→→→→→→=-⨯⇒∙∂∂+∙=∙⎰⎰⎰αf sflH H jn s d t DS d l d H )(12 （6）0)(012=-⨯=→→→→H H n f时，αH Ht t12= (7)线性各向同性：uB uBtt 1122=（8）推论：→→→→→→→→=-⨯⇒∙=∙⎰⎰αm s Ml M M jn S d l d M )(12 (9)5.→jf的法向跃变⎰⎰-=∙→→dv dt dS d sfjρtn f f f jj ∂∂-=-∙⇒→→→σ)(12 （10）0=∂∂t时，0)(12=-∙→→→jj f f n （11）三．说明1.上述关系在介质界面静止时导出，运动时，D ,B 法向关系仍成立，但E ,H 切向改变2.规定：界面法向n 从介质1指向介质2，否则差一负号3.具普遍意义：对任意矢量场，只要场方程与麦式方程组形式相同，其边值关系亦相同。