空间角专题

专题25.1 空间向量方法--空间的角（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,2π．③向量求法：设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有cos|cos|||||||a ba bθϕ⋅==⋅r rr r.【典例1】（2018·全国高考真题（理））在长方体1111ABCD A B C D-中,1AB BC==,13AA则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为( )A．15B5C5D2【典例2】（2019·广西高考模拟（理））在直三棱柱111ABC A B C-中,3,3,32AC BC AB===14AA=,则异面直线1A C与1BC所成角的余弦值为__________．【总结提升】向量法求两异面直线所成角的步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1,v2；(3)代入公式|cos 〈v 1,v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解．提醒：两异面直线所成角θ的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2,两向量的夹角α的范围是[0,π],当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是两异面直线所成的角．热门考点02 直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示,设直线l 的方向向量为e ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为φ,两向量e 与n 的夹角为θ,则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.【典例3】（2018·江苏高考真题）如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AA 1=2,点P ,Q 分别为A 1B 1,BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．【典例4】（2020·天水市第一中学高三月考（理））如图,在三棱柱ABC A B C '''-中,已知CC '⊥平面ABC ,90ACB ∠=o ,3BC =,4AC CC ='=.(1) 求证：AC A B '⊥'；(2) 求直线CC '与平面ABC '所成角的正弦值. 【规律方法】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角．热门考点03 二面角1．求二面角的大小(1)如图1,AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ＝〈AB u u u r ,CD u u ur 〉．(2)如图2、3,12,n n u r u u r分别是二面角α－l －β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．【典例5】（2019年高考全国Ⅲ卷理）图1是由矩形ADEB ,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中AB =1,BE =BF =2,∠FBC =60°,将其沿AB ,BC 折起使得BE 与BF 重合,连结DG ,如图2.（1）证明：图2中的A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【典例6】（2017·北京高考真题（理））如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,平面PAD ⊥平面ABCD ,点M 在线段PB 上,PD P 平面MAC ,6PA PD ==4AB =．（1）求证：M 为PB 的中点； （2）求二面角B PD A --的大小；（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． 【规律方法】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．热门考点04 空间角有关的探索性问题【典例7】（2019·浙江高二期中）如图所示的几何体中,PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面,,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点,12,12PD AB AD CD ====,四边形PDCE 为矩形,线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC P 平面DEF ； （2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ,使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在,求出FQ 的长；若不存在,请说明理由.【典例8】(2019·河北名校联盟模拟)如图所示,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,AD ＝DC ＝CB ＝1,∠BCD ＝120°,四边形BFED 是以BD 为直角腰的直角梯形,DE ＝2BF ＝2,平面BFED ⊥平面ABCD.(1)求证：AD⊥平面BFED.(2)在线段EF上是否存在一点P,使得平面P AB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为5728？若存在,求出点P的位置；若不存在,说明理由．【总结提升】与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题,常利用空间向量法求解．求解时,一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等问题,并注意准确理解和熟练应用夹角公式．其步骤是：(1)假设存在(或结论成立)；(2)建立空间直角坐标系,设(求)出相关空间点的坐标；(3)构建有关向量；(4)结合空间向量,利用线面角或二面角的公式求解；(5)作出判断．热门考点05 利用向量求空间距离1．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则①a±b＝(a1±b1,a2±b2,a3±b3)；②λa＝(λa1,λa2,λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3(λ∈R),a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a,b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23,cos 〈a ,b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1,b 1,c 1),B (a 2,b 2,c 2), 则222212121||()()()ABd AB a a b b c c ==-+-+-u u u r.2. 点面距的求法如图,设AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.【典例9】（2019·安徽高考模拟（理））在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱1AA 、1BB 的中点,M 为棱11A B 上的一点,且1(02)A M λλ=<<,设点N 为ME 的中点,则点N 到平面1D EF的距离为（ ）A.3λB.2C.2λ D.5 【典例10】设正方体的棱长为2,则点到平面的距离是（ ）A. B. C. D.【典例11】（2018·四川省广安石笋中学校高考模拟（理））如图,在棱长为2的正方体中,M是线段AB 上的动点．证明：平面；若点M 是AB 中点,求二面角的余弦值；判断点M 到平面的距离是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由．【总结提升】1.点到平面的距离,利用向量法求解比较简单,它的理论基础仍出于几何法,如本题,事实上,作BH ⊥平面CMN 于H .由BH →＝BM →＋MH →及BH →·n ＝n ·BM →,得|BH →·n |＝|n ·BM →|＝|BH →|·|n |,所以|BH →|＝|n ·BM →||n |,即d ＝|n ·BM →||n |.2.利用法向量求解空间线面角、面面角、距离等问题,关键在于“四破”：①破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”,求出平面的法向量；④破“应用公式关”．巩固提升1．（2019·四川高二期中（文））已知正方体1111ABCD A B C D 中,E ,F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE ,1D F 所成角的余弦值为（ ） A ．45B ．35C ．23D ．572.（2019·福建高二月考）设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上,记11D PD B＝λ.当∠APC 为钝角时,λ的取值范围是________．3.（2019·浙江高三期中）如图,已知三棱台111ABC A B C -,平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=o ,30BAC ∠=o ,11114AA CC BC AC ====,,E F 分别是11,ACBC 的中点.(1)证明：BC EF ⊥(2)求直线EB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.4.（2018·全国高考真题（理））如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点P 的位置,且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.5．（2019·首都师范大学附属中学高二期中）如图,在四棱锥P ABCD -中,PB ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形,AD BC ∥,AD AB ⊥,且3PB AB AD ===,1BC =.(1)若点F 为PD 上一点且13PF PD =,证明：CF P 平面PAB .(2)求二面角B PD A --的大小.6．（2018·北京高考真题（理））如图,在三棱柱ABC −111A B C 中,1CC ⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为1AA ,AC ,11A C ,1BB 的中点,AB=BC =5,AC =1AA =2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ； （2）求二面角B −CD −C 1的余弦值； （3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．7.（2020·江苏淮阴中学高三期中）直三棱柱111ABC A B C -中, AB AC ⊥, 2AB =, 4AC =,12AA =, BD DC λ=u u u r u u u r .（1）若1λ=,求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值；（2）若二面角111B AC D --的大小为60︒,求实数λ的值.8．（2017·江苏高考真题） 如图,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,且AB ＝AD ＝2,AA 1＝3,∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B －A 1D －A 的正弦值．9. （2019·江苏高三期中）如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2,点E 、F 分别在棱1AA 、1BB 上移动,且1AE AA λ=u u u r u u u r ,1(1)BF BB λ=-u u u r u u u r .（1）若12λ=,求异面直线CE 与1C F 所成角的余弦值； （2）若二面角A EF C --的大小为θ,且25sin θ=,求λ的值. 10.（2019·福建高二月考）如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,棱长为2,M ,N 分别为A 1B ,AC 的中点．（1）证明：MN //B 1C ；（2）求A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小．11.（2019·天津高考真题（理））如图,AE ⊥平面ABCD ,,CF AE AD BC ∥∥,,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13,求线段CF 的长. 12．（2018·上海交大附中高二月考）如图,在三棱柱111ABC A B C -中,11AAC C 边长为8的正方形,6AB =,110BC A B ==（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ,使得1AD A B ⊥,并求1BD BC 的值. 13．（2019·湖北高三期中（理））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,//AD BC ,AB AD ⊥,222AD AB BC ===,2PA =,点M 满足2MD PM =u u u u r u u u u r.（1）求证：//PB 平面MAC ；（2）求直线PC 与平面MAC 所成角的正弦值.14．（2019·河北唐山一中高三期中（理））如图,在三棱柱111ABC A B C -中,122AA AB ==,13BAA π∠=,D 为1AA 的中点,点C 在平面11ABB A 内的射影在线段BD 上.(1)求证：1B D ⊥平面CBD ；(2)若BCD ∆是正三角形,求二面角1C BD C --的余弦值.15.（2019·宁夏银川一中高三月考（理））如图,在四棱锥S ABCD -中,侧棱SA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,AD ∥BC ,AB AD ⊥,且2SA AB BC ===,1AD =,M 是棱SB 的中点 ．（Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ；（Ⅱ）求平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段CD 上的动点,MN 与平面SAB 所成的角为θ,求sin θ的最大值．16.（2019·安徽高三期末（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,AC BD ⊥交于点O ,ABC 90=o V ,AD CD =,PO ⊥底面ABCD ．()1求证：AC⊥底面PBD；()2若PBCV是边长为2的等边三角形,求O点到平面PBC的距离．。

2023年高考数学----空间角问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的． （3）计算：在证明的基础上计算得出结果． 简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin hl，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°． 4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【典型例题】例19．（2022·浙江金华·高三期末）已知正方体1111ABCD A B C D −中，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11AC 所成的角为θ，则cos θ的取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】如图1，设1B D 与平面1ACD 相交于点E ，连接BD 交AC 于点O ，连接11B D ， ∵1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥，AC BD ⊥，1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B∴AC ⊥平面11BDD B ，由1B D ⊂平面11BDD B ，则1AC B D ⊥， 同理可证：11AD B D ⊥， 1AD AC A =，1,AD AC ⊂平面1ACD ，∴1B D ⊥平面1ACD ，∵111111AC AD CD AB B D B C =====，由正三棱锥的性质可得：E 为1ACD △的中心， 连接1OD ，∵O 为AC 的中点，∴1OD 交1B D 于点E ，连接PE ，由1B D ⊥平面1ACD ，PE ⊂平面1ACD ，则1B D PE ⊥，即PE 是1PB D 的高，设AB a =，PE d =，则1,B D AC =，且1ACD △的内切圆半径r OE ==，则1112PB D S B D PE =⋅=△，))1212ACD S =⨯=△，∵1113PB DACD S S =△△213=，则13d a r =<， ∴点P 的轨迹是以E 为圆心，13a 为半径的圆.∵1B D ⊥平面1ACD ，1OD ⊂平面1ACD ，则11B D OD ⊥，∴DE ， 故PD 为底面半径为13a，高为=DE 的圆锥的母线，如图2所示，设圆锥的母线与底面所成的角α，则3tan 13a α== 所以π3α=，即直线PD 与平面1ACD 所成的角为π3. 直线AC 在平面1ACD 内，所以直线PD 与直线AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为11AC AC ∥，所以直线PD 与直线11AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以10cos 2θ≤≤. 故选：C.例20．（2022·浙江·效实中学模拟预测）在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===，AC 交BD 于O 点，ABD △沿着直线BD 翻折成1A BD ，所成二面角1A BD C −−的大小为θ，则下列选项中错误的是（ ）A ．1A BC θ∠≤B ．1AOC θ∠≥ C ．1A DC θ∠≤ D ．11A BC A DC θ∠+∠≥【答案】C【解析】等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===,可知：30,ACB ACD BD DC ∠=∠=⊥取BD 中点N ,BC 中点M 连接1,A N NM ,则1A N BD ⊥，NM BC ⊥,所以1A NM ∠为 二面角1A BD C −−的平面角，即1A NM θ∠=设122AB AD CD BC ====，则1111,1,2,2A N MN A B A D ==== 2222211111111cos 1222A N NM A M A M A M A N NM θ+−+−∴===−⋅,2222222111111221cos 122228A B BM A M A M A BC A M A B BM +−+−∴∠===−⋅⨯⨯,因为在[]0,π上余弦函数单调递减，又2211111111cos cos 82A M A M A BC A BC θθ−≥−⇒∠≥⇒∠≤，故A 对. 2222222111111221cos 122228A D DC AC AC A DC AC A D CD +−+−∴∠===−⋅⨯⨯222122221111153cos 2416AC AO OC AC AOC AC AO OC +−+−∴∠===−⋅ 当0θ=时,1A 与M 重合,此时160A DC ∠=,故C 不对. 1A DC ∠在翻折的过程中，角度从120减少到60 1AOC ∠在翻折的过程中，角度从180减少到30BD 选项根据图形特征及空间关系，可知正确.. 故选:C例21．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）如图，ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，BC D 为AB 边上的中点，点M 在线段BD （不含端点）上，将BCM 沿CM 向上折起至'B CM △，设平面'B CM 与平面ACM 所成锐二面角为α，直线'MB 与平面AMC 所成角为β，直线MC 与平面'B CA 所成角为γ，则在翻折过程中，下列三个命题中正确的是（ ）①tan βα，②γβ≤，③γα>. A ．① B ．①② C ．②③ D ．①③【答案】B 【解析】如图，设直线BN 与直线CM 垂直相交于点N ，在折叠图里，线段B T '与平面ACM 垂直相交于点T ，,(0,30)BCM θθ∠=∈，由图像知：;B NT B MT αβ''∠=∠=，B N BN θ=='， ()sin ;/sin 30B T B M θαθθ=*='︒+'，cos NT θα*，()tan 60MN θθ=*︒−，()()2sin 30CM θ=︒+，①tan β==，tan β=≤≤，所以tan βα；② ()Δ1sin 902ACM S CM CA θ=*︒−= 设ACB δ∠'=，则()()()2cos cos cos 90sin sin 90cos cos 0.5sin2δθθθθααθ=*︒−+*︒−=*，Δsin ACB S δ'== 由ΔΔ1133ACM M ACB ACB B T S d S −''**=**'，得M ACB d −'=()sin sin 30sin M ACB d B TMC B M γβθα'−====︒+*''，则()()sin sin 2tan 21sin 2sin 30cos 22sin 30γθθβθθθ=≤=≤︒+︒+， 由sin sin γβ≤得γβ≤； ③sin sin sin γγα=⇒，则sin sin 2tan 2sin 2cos 22γθθαθ≤=<sin γα<，所以sin sin γα<，则γα<.故选：B例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知等边ABC ，点,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足EF BC ∥，将AEF △沿着EF 翻折至P 点处，如图所示，记二面角P EF B −−的平面角为α，二面角P FC B −−的平面角为β，直线PF 与平面EFCB 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．αγβ≥≥C ．βαγ≥≥D ．βγα≥≥【答案】A【解析】在等边ABC 中，取BC 边中点D ，连接AD ，交EF 于O ，连接PO ， 则,EF PO EF DO ⊥⊥，=PO DO O ⋂，PO ⊂平面POD ，DO ⊂平面POD 故EF ⊥平面POD ，又EF ⊂平面EFCB ，则平面POD ⊥平面EFCB 在POD 中，过P 做PM 垂直于OD 于M ，则PM ⊥平面EFCB ，连接MF ， 在等边ABC 中，过M 做MN 垂直于AC 于N ，连接PN.由,EF PO EF DO ⊥⊥，则POM ∠为二面角P EF B −−的平面角即POM α∠=， 由PM ⊥平面EFCB ，MN AC ⊥，则PNM ∠为二面角P FC B −−的平面角即PNM β?由PM ⊥平面EFCB ，则PFM ∠直线PF 与平面EFCB 所成角，即PFM γ?，设AO ，则PO ，=FO a ，sin PM α，cos MO αFM ，)1=cos (1cos )2MN αα+=+， 则有FM OM >，FM NM >由cos MO MN α-(1cos )(cos 1)0αα-+=-<可得MO MN <，则有FM MN OM >>，则111FM MN OM<< 又tan tan ,tan PM PM PMOM NM FMαβγ，=== 故tan tan tan αβγ>>，又0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、故αβγ>> 故选：A例23．（2022·全国·高三专题练习）设三棱锥V ABC −的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B −−的平面角是γ则三个角α，β，γ中最小的角是（ ） A ．α B ．β C ．γD ．不能确定【答案】B【解析】如图，取BC 的中点 D ，作VO ⊥平面ABC 于点O ， 由题意知点O 在AD 上，且AO =2OD .作PE //AC ，PE 交VC 于点E ，作PF ⊥AD 于点F ，连接BF ，则PF ⊥平面ABC 取AC 的中点M ，连接BM ，VM ，VM 交 PE 于点H ， 连接BH ，易知BH ⊥PE ， 作于点G ，连接FG ，由PG ⊥AC ，PF ⊥AC ，PG PF =P ，由线面垂直判定定理可得AC ⊥平面PGF ，又FG ⊂平面PGF ∴ FG ⊥AC , 作FN ⊥BM 于点N . ∵ PG ∥VM ，PF ∥VN∴ 平面PGF ∥平面VMB ， 又 PH ∥FN , 四边形PFNH 为平行四边形， 所以PH =FN因此，直线PB 与直线AC 所成的角=BPE α∠， 直线PB 与平面ABC 所成的角PBF β=∠， 二面角P -AC -B 的平面角PGF γ=∠， 又cos cos PH FN BFPB PB PBαβ==<=又,[0,]2παβ∈，∴ αβ> 因为 tan =tan PF PFGF BF γβ>= ,(0,)2πβγ∈∴ γβ>综上所述，,,αβγ中最小角为β，故选 B.。

空间角计算专题典型题1、三棱锥P-ABC 中，PA=5，AB=3，BC=4，∠ABC=900，PA ⊥面ABC ，求：（1）PC 与平面ABC 所成角的大小的余弦值；（2）二面角P-BC-A 的大小的正切值。

2、三棱锥P-ABC 中，PA=6，AB=BC=AC=4，PA ⊥面ABC ，求：（1）PC 与平面ABC 所成角的大小余弦值；（2）二面角P-BC-A 的大小的正切值。

3、正三棱锥P-ABC 中，侧棱PA=6，底面AB=4，求：（1）PC 与平面ABC 所成角的大小余弦值；（2）侧面与底面所成二面角的大小的正切值。

4、四棱锥P-ABCD 中，PA=6，底面ABCD 是矩形，且AB=3，BC=4，PA ⊥面ABCD ，求：（1）PB 与CD 所成角的正切值；（2）PC 与平面ABC 所成角的大小的余弦值；（3）二面角P-BC-A 的大小的正切值。

5、正四棱锥P-ABCD 中，PA=6，底面BC=4，求：（1）PB 与CD 所成角的余弦值；（2）PC 与平面ABC所成角的大小的余弦值；（3）二面角P-BC-A 的大小的正切值。

AAA6、正四棱锥P-ABCD 中，每条棱长均为6，取棱PC 的中点E ，求：（1）AE 与BC 所成角的余弦值；（2）PB 与平面BDE 所成角的大小的余弦值；（3）二面角E-BD-C 的大小的正切值。

7、直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面AB=3，BC=4，∠ABC=900，侧棱长为5，求：（1）A 1B 与B 1C 1所成角大小的余弦值；（2）A 1C 与面ABB 1A 1所成角大小的余弦值；（3）二面角A-BC-A1的大小的正切值。

8、直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面AB=3，BC=4，∠ABC=900，侧棱长为5，取A 1C 1中点D 1，求：二面角A-BC-D 1的大小的正切值。

9、正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面AB=3，侧棱长为5，求：（1）A 1B与B 1C 1所成角大小的余弦值；（2）A 1C 与面ABB 1A 1所成角大小的余弦值；（3）二面角A-BC-A 1的大小的正切值。

立体几何专题复习-----空间角的求法（一）异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上理解说明：（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。

（2）异面直线所成的角的范围：]2,0(π（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． （4）求异面直线所成的角的方法：法1：通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求(5).向量法： CDAB CD AB →→=.cos θ（二）直线和平面所成的角1．线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角2、记作：θ；3、范围：[0，2π]； 当一条直线垂直于平面时，所成的角θ＝2π，即直线与平面垂直；1.二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角lαβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 （3）二面角的平面角的特点：1）角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。

2、作二面角的平面角的常用方法：①、点P 在棱上——作垂直于棱的直线（如图1） ；②、点P 在一个半平面——三垂线定理法；（如图2） ③、点P 在二面角内——垂面法。

专题24空间向量与空间角的计算年份题号考点考查内容2011理18二面角的计算线面、线线垂直的判定与性质、利用向量法求二面角的方法，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力2012理19二面角的计算线面平行、线线垂直、线面垂直的判定定理及二面角的计算，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力2013卷2理18二面角的计算线面平行的判定定理及二面角的计算，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力卷1理18空间线面角的计算空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，空间想象能力、逻辑推论证能力2014卷2理18二面角的计算线面平行的判定、二面角的计算、锥体的体积计算等基础知识，逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力卷2理11空间异面直线所成角的计算异面直线所成的角，空间想象能力和运算求解能力卷1理19二面角的计算空间线线垂直、线面垂直的判定与性质、二面角的计算等基础知识，逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力2015卷1理18空间异面直线所成角的计算主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算异面直线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力．2016卷3理19空间线面角的计算线面平行的判定与性质、利用空间向量计算线面角，逻辑推理能力和运算求解能力卷2理19解答题中的折叠问题与探索性问题二面角的计算折叠问题中线面垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力和运算求解能力卷1理18二面角的计算主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷1理11文11空间异面直线所成角的计算面面平行的性质及线线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力2017卷3理16空间异面直线所成角的计算空间点、线、面位置关系及线线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力卷3理19二面角的计算主要以三棱锥为载体面面垂直的判定与性质、简单几何体体积的计算、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷2理18二面角的计算空间线面角的计算主要以三棱锥为载体线面平行的判定与性质、利用空间向量计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷2理10空间异面直线所成角的计算空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力卷1理18二面角的计算空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力2018卷3文19解答题中的折叠问题与探索性问题空间面面垂直的判定与性质、是否存在点是线面平行的问题，逻辑推理能力与空间想象能力卷2文9空间异面直线所成角的计算空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力卷1文10空间线面角的计算长方体中线面角的计算与长方体体积计算，运算求解能力卷3理19二面角的计算空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角与空间几何体体积的最大值，逻辑推理能力与运算求解能力卷2理20空间线面角的计算二面角的计算主要以三棱锥为载体线面垂直的判定与性质、利用空间向量计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷2理9空间异面直线所成角的计算空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力卷1理18解答题中的折叠问题与探索性问题空间线面角的计算折叠问题中空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算线面角及逻辑推理能力与运算求解能力2019卷3理19解答题中的折叠问题与探索性问题二面角的计算折叠问题中的共面问题的判定、空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角及逻辑推理能力与运算求解能力卷2理17二面角的计算空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力卷1理18二面角的计算空间线面平行的判定及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力2020卷1理16空间角的计算空间角的计算，利用余弦定理解三角形理18二面角的计算空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力卷2理20空间位置关系判定、空间角的计算间线面平行与垂直的证明，线面角的计算卷3理19二面角、点与平面位置关系点在平面的证明，利用空间向量法求二面角探求规律考点82空间异面直线所成角的计算1．(2018•新课标Ⅱ，理9)在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为()A ．15B ．56C．55D．222．(2018•新课标Ⅱ，文9)在正方体1111ABCD AB C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为()A B C ．D3.(2017•新课标Ⅱ，理10)已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为()A B C ．D 4．(2016•新课标Ⅰ，理11文11)平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为()A ．32B ．22C ．33D ．135．(2014新课标Ⅱ，理11)直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为()A ．110B ．25C 3010D 226．(2020全国Ⅰ理16)如图，在三棱锥P ABC-的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．7．(2017•新课标Ⅲ，理16)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角；②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒；④直线AB 与a 所成角的最小值为60︒；其中正确的是．(填写所有正确结论的编号)8．(2015浙江)如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是．9．(2015四川)如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ上，,E F 分别为,AB BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为_________．10．(2015•新课标Ⅰ，理18)如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥．(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面AFC(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．考点83空间线面角的计算1．(2020山东4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为()A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2．(2018•新课标Ⅰ，文10)在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为()A ．8B ．62C ．82D ．833．(2014浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒则tan θ的最大值A 305B 3010C 439D 5394．(2014四川)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．3,1]3B ．63C ．622,33D ．22[,1]35．(2020全国Ⅱ理20)如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．(1)证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；(2)设O 为△111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．6．(2018•新课标Ⅱ，理20)如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．7．(2016•新课标Ⅲ，理19)如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．(1)证明：//MN 平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．8．(2013新课标Ⅰ，理18)如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°．(Ⅰ)证明AB ⊥A 1C ；(Ⅱ)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．9．(2018浙江)如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．10．(2017浙江)如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．(Ⅰ)证明：CE ∥平面PAB ；(Ⅱ)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．11．(2014天津)如图四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，BA BD ==2AD =，PA PD ==，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．(Ⅰ)证明：EF ∥平面PAB ；(Ⅱ)若二面角P AD B --为60°，(ⅰ)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ⅱ)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．12．(2013浙江)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==，PA =，120ABC ∠= ，G 为线段PC 上的点．(Ⅰ)证明：BD ⊥面APC ；(Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 与APC 所成的角的正切值；(Ⅲ)若G 满足PC ⊥面BGD ，求PGGC的值．13．(2019浙江19)如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF BC ⊥；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．14．(2018天津)如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；(2)求二面角E BC F --的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60 ，求线段DP 的长．15．(2018江苏)如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点P ，Q 分别为11A B ，BC 的中点．(1)求异面直线BP 与1AC 所成角的余弦值；(2)求直线1CC 与平面1AQC 所成角的正弦值．16．(2017天津)如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．(Ⅰ)求证：MN ∥平面BDE ；(Ⅱ)求二面角C EM N --的正弦值；(Ⅲ)已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长．17．(2017北京)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD //平面MAC ，PA PD ==，4AB =．(Ⅰ)求证：M 为PB 的中点；(Ⅱ)求二面角B PD A --的大小；(Ⅲ)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．18．(2014福建)在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．(Ⅰ)求证：AB ⊥CD ；(Ⅱ)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．19．(2013天津)如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点．(Ⅰ)证明11B C CE ⊥；(Ⅱ)求二面角11B CE C --的正弦值；(Ⅲ)设点M 在线段1C E 上；且直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．考点84二面角的计算1．(2018浙江)已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤2．(2017浙江)如图，已知正四面体D ABC -(所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CR QC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α，β，γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α3．如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成△A CD '，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则()A ．A DB α∠' B ．A DB α∠'C ．A CB α∠'D ．A CB α∠' 4．(2020全国Ⅰ理18)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，66PO =．(1)证明：PA ⊥平面PBC ；(2)求二面角B PC E --的余弦值．5．(2020全国Ⅲ理19)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且112,2DE ED BF FB ==．(1)证明：点1C 在平面AEF 内；(2)证明：若12,1,3AB AD AA ===时，求二面角1A EF A--的正弦值．6．(2020江苏24)在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD 5，BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．7．(2020浙江19)如图，三棱台DEF —ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．(I)证明：EF ⊥DB ；(II)求DF 与面DBC 所成角的正弦值．8．(2020天津17)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．(Ⅰ)求证：11C M B D ⊥；(Ⅱ)求二面角1B B E D --的正弦值；(Ⅲ)求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．9．(2020山东20)如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．10．(2019•新课标Ⅰ，理18)如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．(1)证明：//MN 平面1C DE ；(2)求二面角1A MA N --的正弦值．11．(2019•新课标Ⅱ，理17)如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥．(1)证明：BE ⊥平面11EB C ；(2)若1AE A E =，求二面角1B EC C --的正弦值．12．(2018•新课标Ⅲ，理19)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直，M 是 CD上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．13．(2017•新课标Ⅰ，理18)如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，求二面角A PB C --的余弦值．14．(2017•新课标Ⅱ，理19)如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．(1)证明：直线//CE 平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的余弦值．15．(2017•新课标Ⅲ，理19)如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D AE C --的余弦值．16．(2016•新课标Ⅰ，理18)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=︒，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60︒．(Ⅰ)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；(Ⅱ)求二面角E BC A --的余弦值．17．(2014新课标Ⅰ，理19)如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥．(Ⅰ)证明：1AC AB =；(Ⅱ)若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=BC ，求二面角111A A B C --的余弦值．18．(2014新课标Ⅱ，理18)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(Ⅰ)证明：PB ∥平面AEC ；(Ⅱ)设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD 的体积．19．(2013新课标Ⅱ，理18)如图直棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，1BB 的中点，1AA =AC=CB=22AB ．(Ⅰ)证明：1BC ∥平面1A CD ；(Ⅱ)求二面角D-1A C E -的正弦值．20．(2012•新课标，理19)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥(1)证明：1DC BC ⊥；(2)求二面角11A BD C --的大小．21．(2011•新课标，理18)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，DAB ∠=060，AB =2AD ，PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ)证明：PA BD ⊥；(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A PB C --的余弦值．22．(2011广东)如图在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的棱形，且DAB ∠=60︒，2PA PD ==2PB =，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(Ⅰ)证明：AD ⊥平面DEF ；(Ⅱ)求二面角P AD B --的余弦值．23．(2019天津理17)如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====．(Ⅰ)求证：BF ∥平面ADE ；(Ⅱ)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(Ⅲ)若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．24．(2018北京)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点，5AB BC ==，12AC AA ==．(1)求证：AC ⊥平面BEF ；(2)求二面角1B CD C --的余弦值；(3)证明：直线FG 与平面BCD 相交．25．(2016年山东)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线．(I)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；(II)已知EF =FB =12AC =23，AB BC =．求二面角F BC A --的余弦值．26．(2016年天津)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==．(Ⅰ)求证：EG ∥平面ADF ；(Ⅱ)求二面角O EF C --的正弦值；(Ⅲ)设H 为线段AF 上的点，且AH =23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．27．(2015福建)如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ^平面BEG ，BE ^EC ，2AB BE EC ===，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．(Ⅰ)求证：GF ∥平面ADE ；(Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．28．(2015山东)如图，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，,G H 分别为,AC BC 的中点．(Ⅰ)求证：BC //平面FGH ；(Ⅱ)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45 ，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小．29．(2014山东)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60,DAB ∠= 22AB CD ==，M 是线段AB 的中点．(Ⅰ)求证：111//C M A ADD 平面；(Ⅱ)若1CD 垂直于平面ABCD 且1=3CD ，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．30．(2014辽宁)如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．(Ⅰ)求证：EF BC ⊥；(Ⅱ)求二面角E BF C --的正弦值．31．(2014浙江)如图，在四棱锥BCDE A -中，平面⊥ABC 平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠= ，2AB CD ==，1DE BE ==，2AC =．(Ⅰ)证明：⊥DE 平面ACD ；(Ⅱ)求二面角E AD B --的大小．32．(2014广东)如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，030DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E ．(Ⅰ)证明：CF ADF⊥平面(Ⅱ)求二面角D AF E --的余弦值．33．(2014湖南)如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，AC BD O = ，11111A C B D O = ，四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形．(1)证明：1;O O ABCD ⊥底面(2)若1160,CBA C OB D ∠=--求二面角的余弦值．34．(2013陕西)如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1AO ⊥平面ABCD ，12AB AA ==．(Ⅰ)证明：1AC ⊥平面11BB D D ；(Ⅱ)求平面1OCB 与平面11BB D D 的夹角θ的大小．35．(2012浙江)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为23的菱形，120BAD ∠=︒，且PA ⊥平面ABCD ，26PA =，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(Ⅰ)证明：//MN 平面ABCD ；(Ⅱ)过点A 作AQ PC ⊥，垂足为点Q ，求二面角A MN Q --的平面角的余弦值．36．(2017山东)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是 DF的中点．(Ⅰ)设P 是 CE上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小；(Ⅱ)当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小．考点85解答题中折叠问题与探索性问题1．(2019•新课标Ⅲ，理19)图1是由矩形ADEB 、Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=︒．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；(2)求图2中的二面角B CG A --的大小．2．(2018•新课标Ⅰ，理18)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．3．(2018•新课标Ⅲ，文19)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧 CD所在平面垂直，M 是 CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由．4．(2016•新课标Ⅱ，理19)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交于BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=．(Ⅰ)证明：D H '⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求二面角B D A C -'-的正弦值．5．(2019北京理16)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，AD BC P ，23PA AD CD BC ====，．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．(Ⅰ)求证：CD PAD ⊥平面；(Ⅱ)求二面角F AE P --的余弦值；(Ⅲ)设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．6．(2016年北京)如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==．(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP 的值；若不存在，说明理由．7．(2015陕西)如图1，在直角梯形ΑΒCD 中，//ΑD ΒC ，2ΒΑD π∠=，1ΑΒΒC ==，2ΑD =，Ε是ΑD的中点，O 是AC 与BE 的交点．将ΑΒΕ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，如图2．(Ⅰ)证明：CD ⊥平面1AOC ；(Ⅱ)若平面1A BE ⊥平面BCDE ，求平面1A BC 与平面1ACD 夹角的余弦值．8．(2013广东)如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，6BC =，,D E 分别是,AC AB上的点，CD BE =，O 为BC 的中点．将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中A O '=．(Ⅰ)证明：A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ)求二面角A CD B '--的平面角的余弦值．9．(2013湖北)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．(Ⅰ)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(Ⅱ)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP = ．记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=．10．(2012福建)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中11AA AD ==，E 为CD 中点．(Ⅰ)求证：11B E AD ⊥；(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ，使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求AP 的行；若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(Ⅲ)若二面角11A B E A --的大小为30°，求AB 的长．。

空间角专题复习•知识梳理一、异面直线所成的角及求法(1) 定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的________ 所成的_____________ 为两异面直线所成的角.(2) 取值范围：若B是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是__________ 当9n=时，称异面直线a和 b __________ 记为 _________ .(3) 求法：_______ :将两异面直线中的一条或两条________ 至某特殊点后，构造________ 通过解该三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法(1) ___________ 定义：设I和a分别表示直线与平面.①若I // a或I? a，则称直线I和平面a所成的角为 __________________________________ ；②若I丄a,则称I与a所成的角为 ___ ；③若I与a相交，则I与I在a内的_______ 成的 _________ 直线I与平面a所成的角.⑵取值范围：设9是直线I与平面a所成的角，贝U 9的取值范围是___________ .(3)求法：最常见又重要的方法是定义法：即探寻直线I在平面a内的________ ，(通常由垂直法找射影)构造直线I与平面a所成角对应的 __________ 通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角.三、二面角及求法(1) 定义：在二面角的棱上______ ，分别在二面角的两个面内作棱的_______ ，则这_________ 成的角称为该二面角的________ 且用二面角的平面角的大小作为该______ ■勺大小.(2) 取值范围：规定二面角的取值范围为_________ .(3) 求法：最常见又重要的方法是定义法：即分别在二面角的两个面内作棱的则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角•练习提升1 .设直线与平面所成角的大小范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面直线所成角的大小范围为集合R，贝U P、Q、R的关系为()A. R=P? QB. R? P? QC. P? R? Q D . R? P= Q2 .如图，E 、F 分别是三棱锥 P — ABC 的棱AP 、BC 的中点, 异面直线AB 与PC 所成的角为 （） A . 30°B . 45°C . 60 °D . 90°3.已知长方体 ABCD — A I B I C I D I 中, AB = BC = 4, CC i = 2，则直线 BC i 和平面 DBB I D I 所 3 A <2~ B ， 2C 血 C. 5D 血 D. 10 成的角的正弦值为（） 4•如图，在边长为 1的菱形ABCD 中，/ ABC = 60°,将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD = 1,则二面角B — AC — D 的余弦值为（ ） 1 A3 1 B.1 C 麵 C. 3 5.如图，已知四棱锥 P — ABCD 的底面是正方形, PAB 与平面PCD 所成的二面角的度数为（ ） A . 90 ° B . 60 ° C . 45 ° D . 30 ° PA 丄平面 6 .把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论： ①AC 丄BD :②厶ADC 是正三角形；③AB 与CD 成60°角；④AB 与平面BCD 成60°角.则 其中正确结论的个数是（） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 7.如图所示的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中， 过顶点B 、D 、C 1作截面， 则二面角B — DC 1— C 的平面角的余弦值是 ________Ai APC = 10, AB = 6, EF = 7,则。

PCDBA立体几何空间角 专题空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。

空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。

异面直线所成的角的范围：090θ<≤（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。

【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。

CE BD==PE==∴由余弦定理得222c o s 26PC CE PE PCE PC CE +-∠==-⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC 中点。

求异面直线1AB 与1BC A 1C 1【答案】125直线与平面所成角的范围：090θ≤≤方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上，的角的大小。

【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。

AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。

不妨设2PA =，则1,4OD OP AB===CD OC ∴===在RtOCP ∆中，tan 13OP OCP OC∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。

专题复习六《空间角的计算》【知识点概要】一、异面直线的问题：1.异面直线所成的角的范围：]2,0(π2．异面直线的判定方法：⎧⎪⎨⎪⎩定义法定理法性质法3．异面直线所成的角的求法：①平移法→构造三角形→解三角形→余弦定理⑵平移→⎧⎪⎨⎪⎩转化直接平移例1．如图1，在三棱锥S —ABC 中，∠SAB SB =29，求异面直线SC 与AB练习:1.空间四边形ABCD 中，AB=CD 的 中点，则异面直线EF 和AB A ．150 B ．750 C ．300 D ．1502.已知异面直线a 与b 成800的角，p 为空间一定点，则过点p 与a,b 所成的角都是500的直线有且仅有（ ）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3. 如图，五面体ABCDE 中，面BCD ⊥面ABC ，AC ⊥BC ，ED ∥AC ，且AC ＝BC ＝2ED ＝2，DC ＝DB ＝7，H 、F 分别是BC 、AE 的中点．(1)求证：FH ∥面BED ；(2)求异面直线FH 与AC 所成角的余弦值．二、线面角的问题：1.直线与平面成角的范围：[0o ，90o]. 2求直线与平面所成的角常用方法: (1)几何法：作垂线找射影 （2）用最小角定理：cos θ =cos θ１ cos θ２例2、四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒,2AB =,BC =SA SB ==（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．例3．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且2AB =，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点．（1）求证：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD． ①求PA 的长度；②当H 为PD 的中点时，求异面直线PB 与EH 所成角的余弦值．练习:1.设斜线和平面所成的角为θ，那么斜线和此平面内过谢足的所有直线的夹角中，最大的角 是 ，最小的夹角是αθα1θ2θθDCASOEABCDEPHl 2.PA,PB,PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60o,那么直线PC 与PAB 所成角的余弦值是（ ） A,123. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为AB 的中点，现将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，使平面A ′DE ⊥平面BCDE ，F 为线段A ′D 的中点．(1)证明：EF ∥平面A ′BC ；(2)求直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正切值．三、二面角的平面角的问题： 1. 二面角的平面角的范围：[0,]π 2求二面角的平面角的常用方法①定义法(图1)②三垂线(逆)定理法:（图2） ③垂面法(图3) ④投影法cos s s θ=射影多边形原多边形（图4）例4[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 ­ AB ­ C 的大小．例5.如图,在三棱锥A －BCD 中,侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且ADBD ＝CD ＝1,另一个侧面是正三角形(1)求证：AD ⊥BC (2)求二面角B －AC －D 的大小(3)在直线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD 成30︒角？若存在,确定E 的位置；若不存在,说明理由. 练习:1.如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°， AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ＝2，侧面PBC ⊥底面ABCD ，O 是BC 中点，AO 交BD 于E . (1)求证：P A ⊥BD ；(2)求二面角P －DC －B 的大小；(3)求证：平面P AD ⊥平面P AB .2.[湖北卷] 如图，在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ . (2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．3.四棱锥P －ABCD 底面是菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC = 60°，E 、F 分别是BC 、PC 的中点.(1)求证：平面AEF ⊥平面PAD ；(2)H 是PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成的最大角为45°，求二面C A B OPD EDD角E－AF－C的正切值．。