高考数学分类专题复习之2425空间角与距离

高三数学空间角与空间距离的计算通用版【本讲主要内容】空间角与空间距离的计算 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小，直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离的求解【知识掌握】 【知识点精析】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 1. 空间的角的概念及计算方法（1）空间角概念——空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值X 围，如①两异面直线所成的角θ∈（0，2π） ②直线与平面所成的角θ∈[0，2π] ③二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈（0，π）．说明：对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步提高运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．（2）空间的角的计算方法①求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；②求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角； ③求二面角α－l －β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法： （ⅰ）根据定义； （ⅱ）过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面γ，设γ∩α＝OA ，γ∩β＝OB ，则∠AOB ＝θ（图1）；（ⅲ）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A ，分别作另一个平面β的垂线AB （垂足为B ），或棱l 的垂线AC （垂足为C ），连结AC ，则∠ACB ＝θ或∠ACB ＝π－θ（图2）；（ⅳ）设A 为平面α外任一点，AB ⊥α，垂足为B ，AC ⊥β，垂足为C ，则∠BAC ＝θ或∠BAC ＝π－θ（图3）；（ⅴ）利用面积射影定理，设平面α内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面β内的射影图形的面积为S ‘，则cos θ＝SS '．2. 空间的距离问题 （1）空间各种距离是对点、线、面组成的空间图形位置关系进行定量分析的重要概念．空间距离是指两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等，距离都要转化为两点间距离即线段长来计算，在实际题型中，这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离，因线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算出结果的外，都要转化为求点到平面的距离进行计算．（2）空间的距离问题主要是：求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．（3）求距离的一般方法和步骤是： 一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值． 此外，我们还常用体积法或向量法求点到平面的距离．【解题方法指导】例1. 三棱锥P-ABC 中，∠ABC ＝90，PA ＝1，AB ＝3，AC ＝2，PA ⊥平面ABC.（1）求直线AB 与直线PC 所成的角； （2）求PC 和面ABC 所成的角； （3）求二面角A-PC-B 的大小．PA BC解：（1）作矩形ABCD.∴AB 和PC 所成角即为CD 和PC 所成角，且CD ⊥PD ．CD ＝3，AD ＝1，PD ＝2，tanPCD ＝3632=.故AB 和PC 所成角为arctan 36（2）∵PA ⊥面ABC ，PC 和面ABC 所成角即为∠ACP ，求得tanACP ＝21， ∴∠ACP ＝arctan21 （3）∵PA ⊥面ABC ，∴面PAC ⊥面ABC ，过B 作BG ⊥AC 于G ，则BG ⊥面PAC.过G 作GH ⊥PC 于H ，连接BH ，则BH ⊥PC ． ∴∠BHG 为二面角A-PC-B 的平面角． 在Rt △ABC 与Rt △PBC 中，PB ＝2，BC ＝1，AC ＝2，AB ＝3∴PC ＝5∴BH ＝52，BG ＝23． ∴sinBHG ＝4155223==BH BG ∴∠BHG ＝arcsin 45．故二面角A-PC-B 的大小为arcsin 45．例2. 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，D 、E 分别是1AC 、1BB 的中点， （1）求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角C AC E --1的大小； （3）求点1C 到平面AEC 的距离．解：（1）取AC 中点F ，连接DF ．∵ D 是1AC 的中点，F∴DF ∥1CC ，且121CC DF =．又11//CC BB ，E 是1BB 的中点， ∴DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，DE ＝BF ．∵1BB ⊥面ABC ，⊂BF 面ABC ，∴1BB ⊥BF ．又∵F 是AC 的中点，△ABC 是正三角形，∴BF ⊥AC ，a BF 23=． ∵1BB ⊥BF ，1BB ∥1CC ，∴BF ⊥1CC ，∴BF ⊥面11A ACC ， 又∵⊂1AC 面11A ACC ，∴BF ⊥1AC ， ∵DE ∥BF ，∴DE ⊥1AC ，DE ⊥1BB ，∴DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，且a DE 23=． （2）∵11//CC BB ，DE ⊥1BB ， ∴DE ⊥1CC ， 又∵为DE ⊥1AC ，∴DE ⊥面11A ACC ． 又⊂DE 面1AEC ，∴面1AEC ⊥面1ACC ， ∴二面角C AC E --1的大小为90°．（3）连接CE ，则三棱锥1CEC A -的底面面积为221a S CEC =∆，高a h 23=．所以32123232311a a a V CEC A ==⋅⋅-．在三棱锥AEC C -1中，底面△AEC 中，a CE AE 25==，则其高为a ，所以22a S AEC =∆．设点1C 到平面AEC 的距离为d ，由AEC C CEC A V V --=11得32123231a a d =⋅， 所以a d 23=，即点1C 到平面AEC 的距离为a 23【考点突破】【考点指要】空间角是立体几何中的一个重要概念．它是空间图形中的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中，可以在填空题或选择题中出现，更多的在解答题中出现．空间中各种距离都是高考中的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点，考查题型多以选择题、填空题为主，有时渗透于解答题中，所以复习时应引起重视．【典型例题分析】例1. （2003全国卷文）如图，已知正四棱柱2,1,11111==-AA AB D C B A ABCD ，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；（2）求点1D 到平面BDE 的距离．解法1：（1）连结AC 交BD 于点O ，则点O 为BD 中点，连OF ，则可证OCEF 为矩形， 故EF ⊥CC 1 ，EF ∥AC ．又可证AC ⊥平面BD 1 ∴AC ⊥BD 1，∴EF ⊥BD 1， 故 EF 为BD 1与CC 1的公垂线．O（2）连结D 1E ，则有三棱锥D1-DBE 的高d 即为点1D 到平面BDE 的距离． 由已知可证三角形DBE 为边长为2的正三角形，故2331311⋅⋅=⋅⋅=∆-d S d V DBE DBE D ； 又31311111=⋅===∆---DBD DBD C DBD E DBE D S CO V V V∴3123=d ∴332=d ， 即1D 到平面BDE 的距离为332解法2：解（1）以D 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则 )0,0,0(D ，)2,0,0(1D)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)1,1,0(E ，)1,21,21(F ，∴)0,21,21(-=EF ，)2,1,1(1--=BD ，)2,0,0(1=CC∴01=⋅BD EF ，01=⋅CC EF ；∴1BD EF ⊥，1BD EF ⊥ 又EF 与CC 1、BD 1分别交于E 、F ，故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （2）由（1）)0,1,1(--=BD ，)1,0,1(-=BE ，)2,1,1(1--BD ， 设 平面BDE 的法向量为 ),,(z y x n =，则BD n ⊥，BE n ⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BD n ， ∴⎩⎨⎧=+-=--00z x y x ， 即 ⎩⎨⎧=-=z x y x ，∴ 不妨设 )1,1,1(-=n ，则点1D 到平面BDE 的距离为33232||1===n n BD d ， 即为所求．例2. （2006全国卷Ⅲ文20）如图，12l l ，是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A B ，在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==．（Ⅰ）证明AC NB ⊥；（Ⅱ）若60ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．Ｃ1l2解法一：（Ⅰ）由已知221l MN l l ⊥⊥，，1MNl M =，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN ⊥==，，可知AN NB =且AN NB ⊥． 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影， AC NB ∴⊥．（Ⅱ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB ∠=︒，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心， 连结BH ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ∠===．N1l l解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -．1l令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，．（Ⅰ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥， 2l ∴⊥平面ABN ．2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，．于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， ∵0011=+-=⋅NB AC AC NB ∴⊥． （Ⅱ）(11)AC m =，，，(11)BC m =-，，，AC BC ∴=．又已知60ACB ∠=︒，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===． 在Rt CNB △中，NB =NC =(0C ． 连结MC ，作NH MC ⊥于H ，设(0)(0)H λλ>，．(012)(01HN MC λλ∴=--=，，，，，．∵021=--=⋅λλMC HN ，∴31=λ1033H ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，，可得2033HN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 连结BH ，则1133BH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，∵092920=-+=⋅BH HN ，HN BH ∴⊥，又MC BH H =， HN ∴⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．又(110)BN =-，，， ∴3623234cos =⨯=⋅=∠BN BH BN BH NBH【综合测试】一、选择题1、已知AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，AB ＝2，a 与b 成30°，在直线a 上取AP ＝4，则点P 到直线b 的距离是（ ）A 、22B 、25C 、142D 、5 2、将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A 、a 43B 、a 43C 、a 23 D 、64a 3、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，P 是棱AB 上的垂足，则直线A 1M 与OP 所成的角（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 4、二面角α-AB-β大小为θ（0°≤θ≤90°），AC ⊂α，∠CAB ＝45o ，AC 与平面β所成角为30o ，则θ角等于（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 5、（2005某某卷文4）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ）A 、23 B 、22C 、21 D 、336、已知直线a 及平面α，a 与α间的距离为d ．a 在平面α内的射影为a '，l 为平面α内与a '相交的任一直线，则a 与l 间的距离的取值X 围为（ ）A 、[),d +∞B 、(),d +∞C 、(]0,dD 、{}d二、填空题 7、（2005某某卷理12）如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于____________．8、已知∠60o ，则以OC三、解答题：9. C 点到AB 1ABC DA 1E B 1C10.（2006理17）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：PB ∥平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小．B[参考答案]一、选择题1. 选A 提示：过P 做直线b 的垂线2. 选A 提示：用异面直线距离公式求解3. 选D 提示：过A 1做OP 的平行线4. 选B 提示：过C 做平面β的垂线5. 选B. 提示：转化为求B 1到平面AB C 1D 1的距离6. 选D 提示：转化为a 与α间的距离 二、填空题7.2. 提示：将三角形ABC 补成正方形ACBD. 8. 33- 提示：利用直线与直线所成角的大小求出边长，再求二面角平面角的大小三、解答题：9. 解：由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1，∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段∵CE ＝23，AC ＝1 ，∴CD ＝.22∴21)()(22=-=CD CE DEABC DA 1E B 1C 110. 解法一：（Ⅰ）（Ⅱ）（略 解见第45讲【达标测试】第9题）（Ⅲ）过O 作FG AB ∥，交AD 于F ，交BC 于G ，则F 为AD 的中点．CDAB AC ⊥，OG AC ∴⊥． 又由（Ⅰ），（Ⅱ）知，AC PB EO PB ，⊥∥，AC EO ∴⊥． EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．连接EF ，在EFO △中，1122EF PA FO AB ==，，word11 / 11 又PA AB EF FO =，⊥，45135EOF EOG ∴∠=∠=，，∴二面角E AC B --的大小为135．解法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系A xyz -，如图．y 设AC a PA b ==，，则有(000)(00)(00)(00)A B b C a P b ，，，，，，，，，，，，(00)(0)AC a PB b b ∴==-，，，，，，从而0=⋅PB AC ，AC PB ∴⊥．（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO ．由已知得(0)D a b -，，，002222ab b a E O ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 022b b EO ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，又(0)PB b b =-，，， 2PB EO ∴=，PB EO ∴∥，又PB ⊄平面AEC EO ，⊂平面AEC ， PB ∴∥平面AEC ．（Ⅲ）取BC 中点G ．连接OG ，则点G 的坐标为000222a b b OG ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 又0(00)22b b OE AC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，，00=⋅=⋅∴AC OG AC OE ，．OE AC OG AC ∴，⊥⊥．EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．22cos -=⋅<OGOE OG OE ．135EOG ∴∠=． ∴二面角E AC B --的大小为135．。

高考专题：空间角和空间距离的求法一． 直线和平面所成的角1.定义：直线和平面所成的角，应分三种情况（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为。

90（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角为。

由此可知，直线和平面所成角的范围是]2,0[π，斜线和平面所成的角的范围是]2,0π（ 2.求斜线和平面所成角的方法方法一：定义法或几何法： 斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角，它的三边分别是平面的垂线、斜线和斜线在平面上的射影，通过斜线上的某个点作出平面的垂线、垂足和斜足的连线是斜线在平面上的射影，这里引平面的垂线，确定垂足的位置是产生线面角的关键。

常借助以下两个方法确定垂足：A: 借助面面垂直的性质：若两个平面垂直，则在第一个平面内的一点在第二个平面内射影在两平面的交线上且垂直于交线。

B ：用二面角的平面角的性质：平面角的一边上任意一点到另一边的距离都垂直于第二边所在的平面；方法二：三弦公式法：如图，已知PA 与PB 分别是平面α的垂线和斜线，在平面α内过斜足B 任意引一直线BC ，设θθθ=∠=∠=∠PBC ABC PBA ,,21，有21cos cos cos θθθ⋅=。

方法三：虚拟高法：不需要做出所求线面角，而是先确定出斜线上的某点到斜足的距离L,再求出该点到已知平面的距离d （可用转化法或向量法求得）；设斜线与平面所成的角为θ，则Sin θ=Ld.一般的当线面角不易做出时常用该法。

方法四：空间向量法：建立恰当的空间直角坐标系，设直线的方向向量为，平面的法向量为，所求线面角为θ；则=θsin二． 二面角1.定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，二面角的大小是通过其平面角来度量的，而二面角的平面角需要具有以下三个特点： （1）顶点在棱上；（2）两边分别在两个面内；（3）角的两边都与棱垂直。

第二讲空间位置关系、空间角与空间距离——小题备考微专题1空间位置关系常考常用结论1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.保分题1.[2022·山东烟台三模]若a和α分别为空间中的直线和平面，则“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．[2022·北京东城三模]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，D1C1的中点，则下列直线中与直线BE相交的是()A．直线A1F B．直线AD1C．直线C1D1D．直线AA13．[2022·福建福州三模]在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是BĈ的中点，F是AB的中点，则()A．AE＝CF，AC与EF是共面直线B．AE≠CF，AC与EF是共面直线C．AE＝CF，AC与EF是异面直线D．AE≠CF，AC与EF是异面直线提分题例1 (1)[2022·山东淄博一模](多选)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的有()A．若α∥β，m⊂α，则m∥βB．若α⊥β，m⊥α，则m∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m⊥n，m∥α，则n∥α(2)[2022·全国乙卷]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D听课笔记：【技法领悟】1．根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；2．必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．巩固训练11.[2022·湖南衡阳二模]设m、n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nD．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β2．[2022·广东广州三模]一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PB、PC的中点，在此几何体中，下面结论错误的是()A．直线AE与直线BF异面B．直线AE与直线DF异面C．直线EF∥平面P ADD．直线EF∥平面ABCD微专题2 空间角与距离常考常用结论1．直线与直线的夹角若n 1，n 2分别为直线l 1，l 2的方向向量，θ为直线l 1，l 2的夹角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|n 1||n 2||. 2．直线与平面的夹角设n 1是直线l 的方向向量，n 2是平面α的法向量，直线与平面的夹角为θ.则sin θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n2|n 1||n 2||.3．平面与平面的夹角若n 1，n 2分别为平面α，β的法向量，θ为平面α，β的夹角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n2|n 1||n 2||.4．点到直线的距离：已知A ，B 是直线l 上任意两点， P 是l 外一点，PQ ⊥l ，则点P 到直线l 的距离为PQ ＝ √|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＝√|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||2. 5．求点到平面的距离已知平面α的法向量为n , A 是平面α内的任一点，P 是平面α外一点，过点P 作平面α的垂线l ，交平面α于点Q ，则点P 到平面α的距离为|PQ |＝|AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n ||.保 分 题1.[2022·辽宁辽阳二模]在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AB ，AD ＝3AB ，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为( )A ．13 B ．3 C ．√1010D ．√102．[2022·广东茂名二模]正三棱锥S - ABC 的底面边长为4，侧棱长为2√3，D 为棱AC 的中点，则异面直线SD 与AB 所成角的余弦值为________.3．已知正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是________．提 分 题例2 (1)若正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的底边长为2，∠B 1AB ＝π3，E 是D 1D 的中点，则A 1C 1到平面EAC 的距离为( )A．√5B．2√5C．2√305D．2√303(2)[2022·全国甲卷]在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B 所成的角均为30°，则()A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°听课笔记：【技法领悟】1．用几何法求空间角时，关键要找出空间角，再在三角形中求解．2．用向量法求空间角和空间距离时，要熟记公式，还要正确建立空间直角坐标系．巩固训练21.在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，P A＝4√35，则平面ABD与平面PBD的夹角为()A．30° B．45°C．60° D．75°2．如图，在长方体中，AD＝AA1＝2，AB＝3，若E为AB中点，则点B1到平面D1EC 的距离为________.第二讲空间位置关系、空间角与空间距离微专题1空间位置关系保分题1．解析：若a⊥α，则a垂直α内所有直线，因此，命题“若a⊥α，则a垂直α内无数条直线”正确，a垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a可以在平面α内，即不能推出a⊥α，所以“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的充分不必要条件．答案：ACD1，2．解析：连接EF，CD1，A1B，则EF∥CD1，EF＝12由A1D1∥BC，A1D1＝BC，可得四边形A1D1CB为平行四边形，∴A1B∥CD1，A1B＝CD1，A1B，即四边形EF A1B为梯形，所以EF∥A1B，EF＝12故直线A1F与直线BE相交，直线AD1与直线BE为异面直线，直线C1D1与直线BE为异面直线，直线AA1与直线BE为异面直线．答案：A3．解析：由题意，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是BĈ的中点，F是AB的中点，所以AC⊂平面ABC，EF与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线；又CF＝√12+22＝√5，AE＝√22+(√2)2＝√6，所以AE≠CF.答案：D提分题[例1]解析：(1)对于A，由面面平行性质：两平面平行，在一平面内的任意直线与另一平面平行．而α∥β，m⊂α，故m∥β，A正确；对于B，α⊥β，m⊥α，此时m有可能在平面β内，故不能得到m∥β，B错误；对于C，由于m∥n，则n可经平移到与m重合的位置而平移不改变直线与平面是否垂直，m⊥α，故n⊥α，C正确；对于D，当m∥α，m⊄α，过m上一点作直线n⊥α，此时m⊥n，不能得到n∥α，D错误．综上，AC正确．(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易知BD⊥AC.又E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以BD⊥EF.由正方体的性质，知DD1⊥平面ABCD.又EF⊂平面ABCD，所以DD1⊥EF.因为BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1.因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，A正确．假设平面B1EF⊥平面A1BD.因为平面B1EF⊥平面BDD1，且平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以BD⊥平面B1EF.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，显然BD与平面B1EF 不垂直，B错误．设A1A与B1E的延长线相交于点P，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，C错误．连接AB1，B1C，易证平面ACB1∥平面A1C1D.因为平面ACB1与平面B1EF相交，所以平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，D错误．故选A.答案：(1)AC(2)A[巩固训练1]1．解析：对于A 选项，设直线m 、n 的方向向量分别为u 、v ，因为m ⊥α，n ⊥β，则平面α的一个法向量为u ，平面β的一个法向量为v ， 因为m ⊥n ，则u ⊥v ，故α⊥β，A 对；对于B 选项，若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m 、n 平行或异面，B 错； 对于C 选项，若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m 、n 的位置关系不确定，C 错； 对于D 选项，若m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α、β平行或相交，D 错． 答案：A 2.解析：由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接AE ，EF ，BF ，DF ，易得EF ∥BC ，BC ∥AD ，则EF ∥AD ，故EF ，AD 共面，则AE ，DF 共面，故B 错误；又F ∈平面AEFD ，B ∉平面AEFD ，F 不在直线AE 上，则直线AE 与直线BF 异面，A 正确；由EF ∥AD ，EF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，则直线EF ∥平面P AD ，C 正确；EF ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，则直线EF ∥平面ABCD ，D 正确．答案：B微专题2 空间角与距离保分题1．解析：因为P A ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， 所以P A ⊥AC ，则PC 与底面ABCD 所成角为∠PCA .设AB ＝1，则P A ＝1，AD ＝3，AC ＝√10. 所以tan ∠PCA ＝PAAC ＝√1010. 答案：C2．解析：取BC 的中点E ，连接SE ，DE ，则∠SDE (或其补角)为异面直线SD 与AB 所成的角，由题意知SE ＝SD ＝√12−4＝2√2，DE ＝2， 所以cos ∠SDE ＝2×2√2×2＝√24. 答案：√243．解析：建立如图所示空间直角坐标系，则BA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，2，0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，1，2)．∴cos θ＝|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|BE⃗⃗⃗⃗⃗ |＝2√5＝√55.∴sin θ＝√1−cos 2θ＝2√55. 故点A 到直线BE 的距离d ＝|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ＝2×2√55＝4√55. 答案：4√55提分题[例2] 解析：(1)由棱柱的几何性质可知，A 1C 1∥AC ， 又A 1C 1⊄平面EAC ，AC ⊂平面EAC ， 则A 1C 1∥平面EAC ，所以点A 1到平面EAC 的距离即为直线A 1C 1到平面EAC 的距离， 因为正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的底边长为2，∠B 1AB ＝π3， 则AA 1＝2√3，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2√3)，C (2，2，0)，E (0，2，√3)，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，2，√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，2，0)，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，0，2√3)， 设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则{n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +√3z =02x +2y =0，令x ＝√3，则y ＝－√3，z ＝2， 故n ＝(√3，－√3，2)， 所以点A 1到平面EAC 的距离d ＝|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||n |＝√3√3+3+4＝2√305，故A 1C 1到平面EAC 的距离为2√305.(2)连接BD ，则∠B 1DB ，∠DB 1A 分别是B 1D 与平面ABCD 和平面AA 1B 1B 所成的角，所以∠B 1DB ＝∠DB 1A ＝30°.所以BB 1＝12DB 1，BD ＝√32DB 1，AD ＝12DB 1.设BB 1＝a ，则DB 1＝2a ，AD ＝BC ＝a ，BD ＝√3a ，所以AB ＝√BD 2−AD 2＝√2a ，AC ＝BD ＝√3a ，CB 1＝√BB 12+BC 2＝√2a .所以AB ＝√2AD ，AC ≠CB 1 ，因此A ，C 项错误．易知∠DB 1C 是B 1D与平面BB 1C 1C 所成的角，且为锐角．因为DC ＝√2a ，DB 1＝2a ，CB 1＝√2a ，所以DC 2+CB 12＝DB 12，所以DC ⊥CB 1.在Rt △DCB 1中，sin ∠DB 1C ＝DC DB 1＝√22，所以∠DB 1C ＝45°，即B 1D与平面BB 1C 1C 所成的角为45°，因此D 项正确．因为AD ⊥平面ABB 1A 1，AD ⊂平面AB 1C 1D ，所以平面AB 1C 1D ⊥平面ABB 1A 1，所以∠B 1AB 是AB 与平面AB 1C 1D 所成的角．在Rt △ABB 1中，AB ＝√2a ，BB 1＝a ，所以tan ∠B 1AB ＝BB1AB ＝√22≠√33，所以∠B 1AB ≠30°，即AB 与平面AB 1C 1D 所成的角不是30°，因此B 项错误．故选D.答案：(1)C (2)D [巩固训练2]1．解析：因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直，故以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 又AB ＝3，AD ＝4，P A ＝4√35， 所以A (0，0，0)，B (3，0，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4√35)， 因为P A ⊥平面ABCD ，所以平面ABD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)， 而PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(3，0，－4√35)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，4，0)， 设平面PBD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则{m ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −4√35z =0m ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +4y =0，取x ＝4，则平面PBD 的法向量m ＝(4，3，5√3)，cos 〈n ，m 〉＝n·m |n |·|m |＝√31×√42+32+(5√3)＝√32，所以〈n ，m 〉＝30°， 由图可知平面ABD 与平面PBD 的夹角为锐角，所以平面ABD 与平面PBD 的夹角为30°.答案：A 2.解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接CB 1，由题意得C (0，3，0)，E (2，32，0)，D 1(0，0，2)，B 1(2，3，2)，∴ CE ⃗⃗⃗⃗ ＝(2，−32，0)，CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，−3，2)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，0，2)， 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{CE⃗⃗⃗⃗ ·n =0CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0，即{2x −32y =0−3y +2z =0， 令z ＝6，得n ＝(3，4，6)， ∴点B 1到平面D 1EC 的距离d ＝|n· CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |＝18√6161.答案：18√6161。