空间角与距离知识点与题型归纳总结

空间几何的距离与角度知识点总结空间几何是数学中研究物体形状和位置的一个分支，涉及到距离和角度的概念。

在空间几何中，距离用来衡量物体之间的长度或间隔，而角度则用来描述物体之间的夹角或转动程度。

本文将对空间几何中的距离与角度的知识进行总结。

一、距离的概念与计算距离是空间几何中最基本的概念之一，它用来描述两点之间的间隔长度。

在空间中，距离可以分为两维空间和三维空间。

在二维空间中，距离的计算可以使用勾股定理来求解，即d = √((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²)，其中d表示距离，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)表示两点的坐标。

在三维空间中，距离的计算可以使用三维勾股定理来求解，即d = √((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)²)，其中d表示距离，(x₁,y₁,z₁)和(x₂,y₂,z₂)表示两点的坐标。

二、角度的概念与计算角度是描述物体之间夹角或转动程度的概念，在空间几何中也是非常重要的。

角度的单位有度和弧度两种。

在二维空间中，角度的计算可以使用三角函数来求解。

两个向量的夹角可以使用点积的性质来计算，即θ = arccos((A·B)/(|A| |B|))，其中θ表示夹角，A和B分别为两个向量。

在三维空间中，角度的计算可以通过向量的叉积来求解，即θ = arcsin(|A×B|/(|A||B|))，其中θ表示夹角，A和B分别为两个向量。

三、常见几何体的距离与角度在空间几何中，有一些常见的几何体，如直线、平面、球体等，它们之间的距离和角度也有一些特殊的计算方法。

对于直线与直线之间的距离，可以寻找垂直于两条直线的公共垂线，然后计算垂足之间的距离。

对于平面与平面之间的距离，可以寻找垂直于两个平面的直线，然后计算这条直线与两个平面的交点之间的距离。

对于球体与球体之间的距离，可以寻找两个球体的球心连线，然后计算球心连线的长度减去两个球体半径之和。

专题8.7 立体几何中的向量方法（二）求空间角与距离一、考纲要求1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.二、考点梳理考点一 异面直线所成的角设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则a 与b 的夹角β l 1与l 2所成的角θ范围 (0，π) ⎝⎛⎦⎤0，π2 求法cos β＝a ·b|a ||b |cos θ＝|cos β|＝|a ·b ||a ||b |考点二 求直线与平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.考点三 求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB →，CD →〉.(2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 【特别提醒】1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补.三、题型分析例1. （黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为( )A.3－225B.2－26C.12D.32【答案】A【解析】因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24. 所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.【变式训练1-1】、（天津新华中学2019届高三质检）如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值.【解析】(1) 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC →1|＝6，即AC 1的长为 6. (2)证明 ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ，∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0.∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD .(3)解 BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.例2、（2018年天津卷）如图，且AD =2BC ，,且EG =AD ，且CD =2FG ，，DA =DC =DG =2.（I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：；（II ）求二面角的正弦值；（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】依题意，可以建立以D 为原点， 分别以，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，，1），N （1，0，2）．（Ⅰ）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（Ⅱ）依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则即不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则即不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=．所以，二面角E–BC–F的正弦值为．（Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．所以线段的长为.【变式训练2-1】、（吉林长春市实验中学2019届高三模拟）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2. 因为底面ABCD 是正方形，所以G 为AC 的中点故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，所以PA ―→＝(a,0，－a )，EG ―→＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2， 则PA ―→＝2EG ―→，故PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB . (2)依题意得B (a ，a,0)，所以PB ―→＝(a ，a ，－a )．又DE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2， 故PB ―→·DE ―→＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB ⊥DE ，所以PB ⊥DE .由题可知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .例3、如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，PA ＝2，求异面直线BC 与AE 所成的角的大小．【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，22，0)，E(1，2，1)，AE →＝(1，2，1)，BC →＝(0，22，0)．设AE →与BC →的夹角为θ，则cosθ＝AE →·BC →|AE →|·|BC →|＝42×22＝22，所以θ＝π4，所以异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.【变式训练3-1】、 如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．【答案】55【解析】 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得C(0，0，0)，B(0，0，1)，C 1(0，2，0)，A(2，0，0)，B 1(0，2，1)，所以BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→＝(－2，2，1)，所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→|·|AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0，所以BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，所以直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.【变式训练3-2】、如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点． (1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．【解析】 (1)证明：连接A 1E ，因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，所以A 1E ⊥平面ABC .如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E -xyz . 不妨设AC ＝4，则A 1(0,0,23)，B (3，1,0)，B 1(3，3,23)，F ⎝⎛⎭⎫32，32，23，C (0,2,0)． 因此，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫32，32，23，BC ―→＝(－3，1,0)．由EF ―→·BC ―→＝0得EF ⊥BC .(2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可得BC ―→＝(－3，1,0)，A 1C ―→＝(0,2，－23)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧BC ―→·n ＝0，A 1C ―→·n ＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0.取n ＝(1, 3，1)，故sin θ＝|cos 〈EF ―→，n 〉|＝|EF ―→·n ||EF ―→|·|n |＝45，∴cos θ＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35.。

高三数学空间角与空间距离的计算通用版【本讲主要内容】空间角与空间距离的计算 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小，直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离的求解【知识掌握】 【知识点精析】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 1. 空间的角的概念及计算方法（1）空间角概念——空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值X 围，如①两异面直线所成的角θ∈（0，2π） ②直线与平面所成的角θ∈[0，2π] ③二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈（0，π）．说明：对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步提高运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．（2）空间的角的计算方法①求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；②求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角； ③求二面角α－l －β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法： （ⅰ）根据定义； （ⅱ）过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面γ，设γ∩α＝OA ，γ∩β＝OB ，则∠AOB ＝θ（图1）；（ⅲ）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A ，分别作另一个平面β的垂线AB （垂足为B ），或棱l 的垂线AC （垂足为C ），连结AC ，则∠ACB ＝θ或∠ACB ＝π－θ（图2）；（ⅳ）设A 为平面α外任一点，AB ⊥α，垂足为B ，AC ⊥β，垂足为C ，则∠BAC ＝θ或∠BAC ＝π－θ（图3）；（ⅴ）利用面积射影定理，设平面α内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面β内的射影图形的面积为S ‘，则cos θ＝SS '．2. 空间的距离问题 （1）空间各种距离是对点、线、面组成的空间图形位置关系进行定量分析的重要概念．空间距离是指两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等，距离都要转化为两点间距离即线段长来计算，在实际题型中，这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离，因线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算出结果的外，都要转化为求点到平面的距离进行计算．（2）空间的距离问题主要是：求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．（3）求距离的一般方法和步骤是： 一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值． 此外，我们还常用体积法或向量法求点到平面的距离．【解题方法指导】例1. 三棱锥P-ABC 中，∠ABC ＝90，PA ＝1，AB ＝3，AC ＝2，PA ⊥平面ABC.（1）求直线AB 与直线PC 所成的角； （2）求PC 和面ABC 所成的角； （3）求二面角A-PC-B 的大小．PA BC解：（1）作矩形ABCD.∴AB 和PC 所成角即为CD 和PC 所成角，且CD ⊥PD ．CD ＝3，AD ＝1，PD ＝2，tanPCD ＝3632=.故AB 和PC 所成角为arctan 36（2）∵PA ⊥面ABC ，PC 和面ABC 所成角即为∠ACP ，求得tanACP ＝21， ∴∠ACP ＝arctan21 （3）∵PA ⊥面ABC ，∴面PAC ⊥面ABC ，过B 作BG ⊥AC 于G ，则BG ⊥面PAC.过G 作GH ⊥PC 于H ，连接BH ，则BH ⊥PC ． ∴∠BHG 为二面角A-PC-B 的平面角． 在Rt △ABC 与Rt △PBC 中，PB ＝2，BC ＝1，AC ＝2，AB ＝3∴PC ＝5∴BH ＝52，BG ＝23． ∴sinBHG ＝4155223==BH BG ∴∠BHG ＝arcsin 45．故二面角A-PC-B 的大小为arcsin 45．例2. 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，D 、E 分别是1AC 、1BB 的中点， （1）求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角C AC E --1的大小； （3）求点1C 到平面AEC 的距离．解：（1）取AC 中点F ，连接DF ．∵ D 是1AC 的中点，F∴DF ∥1CC ，且121CC DF =．又11//CC BB ，E 是1BB 的中点， ∴DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，DE ＝BF ．∵1BB ⊥面ABC ，⊂BF 面ABC ，∴1BB ⊥BF ．又∵F 是AC 的中点，△ABC 是正三角形，∴BF ⊥AC ，a BF 23=． ∵1BB ⊥BF ，1BB ∥1CC ，∴BF ⊥1CC ，∴BF ⊥面11A ACC ， 又∵⊂1AC 面11A ACC ，∴BF ⊥1AC ， ∵DE ∥BF ，∴DE ⊥1AC ，DE ⊥1BB ，∴DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，且a DE 23=． （2）∵11//CC BB ，DE ⊥1BB ， ∴DE ⊥1CC ， 又∵为DE ⊥1AC ，∴DE ⊥面11A ACC ． 又⊂DE 面1AEC ，∴面1AEC ⊥面1ACC ， ∴二面角C AC E --1的大小为90°．（3）连接CE ，则三棱锥1CEC A -的底面面积为221a S CEC =∆，高a h 23=．所以32123232311a a a V CEC A ==⋅⋅-．在三棱锥AEC C -1中，底面△AEC 中，a CE AE 25==，则其高为a ，所以22a S AEC =∆．设点1C 到平面AEC 的距离为d ，由AEC C CEC A V V --=11得32123231a a d =⋅， 所以a d 23=，即点1C 到平面AEC 的距离为a 23【考点突破】【考点指要】空间角是立体几何中的一个重要概念．它是空间图形中的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中，可以在填空题或选择题中出现，更多的在解答题中出现．空间中各种距离都是高考中的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点，考查题型多以选择题、填空题为主，有时渗透于解答题中，所以复习时应引起重视．【典型例题分析】例1. （2003全国卷文）如图，已知正四棱柱2,1,11111==-AA AB D C B A ABCD ，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；（2）求点1D 到平面BDE 的距离．解法1：（1）连结AC 交BD 于点O ，则点O 为BD 中点，连OF ，则可证OCEF 为矩形， 故EF ⊥CC 1 ，EF ∥AC ．又可证AC ⊥平面BD 1 ∴AC ⊥BD 1，∴EF ⊥BD 1， 故 EF 为BD 1与CC 1的公垂线．O（2）连结D 1E ，则有三棱锥D1-DBE 的高d 即为点1D 到平面BDE 的距离． 由已知可证三角形DBE 为边长为2的正三角形，故2331311⋅⋅=⋅⋅=∆-d S d V DBE DBE D ； 又31311111=⋅===∆---DBD DBD C DBD E DBE D S CO V V V∴3123=d ∴332=d ， 即1D 到平面BDE 的距离为332解法2：解（1）以D 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则 )0,0,0(D ，)2,0,0(1D)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)1,1,0(E ，)1,21,21(F ，∴)0,21,21(-=EF ，)2,1,1(1--=BD ，)2,0,0(1=CC∴01=⋅BD EF ，01=⋅CC EF ；∴1BD EF ⊥，1BD EF ⊥ 又EF 与CC 1、BD 1分别交于E 、F ，故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （2）由（1）)0,1,1(--=BD ，)1,0,1(-=BE ，)2,1,1(1--BD ， 设 平面BDE 的法向量为 ),,(z y x n =，则BD n ⊥，BE n ⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BD n ， ∴⎩⎨⎧=+-=--00z x y x ， 即 ⎩⎨⎧=-=z x y x ，∴ 不妨设 )1,1,1(-=n ，则点1D 到平面BDE 的距离为33232||1===n n BD d ， 即为所求．例2. （2006全国卷Ⅲ文20）如图，12l l ，是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A B ，在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==．（Ⅰ）证明AC NB ⊥；（Ⅱ）若60ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．Ｃ1l2解法一：（Ⅰ）由已知221l MN l l ⊥⊥，，1MNl M =，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN ⊥==，，可知AN NB =且AN NB ⊥． 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影， AC NB ∴⊥．（Ⅱ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB ∠=︒，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心， 连结BH ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ∠===．N1l l解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -．1l令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，．（Ⅰ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥， 2l ∴⊥平面ABN ．2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，．于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， ∵0011=+-=⋅NB AC AC NB ∴⊥． （Ⅱ）(11)AC m =，，，(11)BC m =-，，，AC BC ∴=．又已知60ACB ∠=︒，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===． 在Rt CNB △中，NB =NC =(0C ． 连结MC ，作NH MC ⊥于H ，设(0)(0)H λλ>，．(012)(01HN MC λλ∴=--=，，，，，．∵021=--=⋅λλMC HN ，∴31=λ1033H ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，，可得2033HN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 连结BH ，则1133BH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，∵092920=-+=⋅BH HN ，HN BH ∴⊥，又MC BH H =， HN ∴⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．又(110)BN =-，，， ∴3623234cos =⨯=⋅=∠BN BH BN BH NBH【综合测试】一、选择题1、已知AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，AB ＝2，a 与b 成30°，在直线a 上取AP ＝4，则点P 到直线b 的距离是（ ）A 、22B 、25C 、142D 、5 2、将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A 、a 43B 、a 43C 、a 23 D 、64a 3、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，P 是棱AB 上的垂足，则直线A 1M 与OP 所成的角（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 4、二面角α-AB-β大小为θ（0°≤θ≤90°），AC ⊂α，∠CAB ＝45o ，AC 与平面β所成角为30o ，则θ角等于（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 5、（2005某某卷文4）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ）A 、23 B 、22C 、21 D 、336、已知直线a 及平面α，a 与α间的距离为d ．a 在平面α内的射影为a '，l 为平面α内与a '相交的任一直线，则a 与l 间的距离的取值X 围为（ ）A 、[),d +∞B 、(),d +∞C 、(]0,dD 、{}d二、填空题 7、（2005某某卷理12）如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于____________．8、已知∠60o ，则以OC三、解答题：9. C 点到AB 1ABC DA 1E B 1C10.（2006理17）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：PB ∥平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小．B[参考答案]一、选择题1. 选A 提示：过P 做直线b 的垂线2. 选A 提示：用异面直线距离公式求解3. 选D 提示：过A 1做OP 的平行线4. 选B 提示：过C 做平面β的垂线5. 选B. 提示：转化为求B 1到平面AB C 1D 1的距离6. 选D 提示：转化为a 与α间的距离 二、填空题7.2. 提示：将三角形ABC 补成正方形ACBD. 8. 33- 提示：利用直线与直线所成角的大小求出边长，再求二面角平面角的大小三、解答题：9. 解：由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1，∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段∵CE ＝23，AC ＝1 ，∴CD ＝.22∴21)()(22=-=CD CE DEABC DA 1E B 1C 110. 解法一：（Ⅰ）（Ⅱ）（略 解见第45讲【达标测试】第9题）（Ⅲ）过O 作FG AB ∥，交AD 于F ，交BC 于G ，则F 为AD 的中点．CDAB AC ⊥，OG AC ∴⊥． 又由（Ⅰ），（Ⅱ）知，AC PB EO PB ，⊥∥，AC EO ∴⊥． EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．连接EF ，在EFO △中，1122EF PA FO AB ==，，word11 / 11 又PA AB EF FO =，⊥，45135EOF EOG ∴∠=∠=，，∴二面角E AC B --的大小为135．解法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系A xyz -，如图．y 设AC a PA b ==，，则有(000)(00)(00)(00)A B b C a P b ，，，，，，，，，，，，(00)(0)AC a PB b b ∴==-，，，，，，从而0=⋅PB AC ，AC PB ∴⊥．（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO ．由已知得(0)D a b -，，，002222ab b a E O ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 022b b EO ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，又(0)PB b b =-，，， 2PB EO ∴=，PB EO ∴∥，又PB ⊄平面AEC EO ，⊂平面AEC ， PB ∴∥平面AEC ．（Ⅲ）取BC 中点G ．连接OG ，则点G 的坐标为000222a b b OG ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 又0(00)22b b OE AC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，，00=⋅=⋅∴AC OG AC OE ，．OE AC OG AC ∴，⊥⊥．EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．22cos -=⋅<OGOE OG OE ．135EOG ∴∠=． ∴二面角E AC B --的大小为135．。

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（基础知识+基本题型）知识点一、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a ，b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是a ，b 上的任意两点，a ，b 所成的角为θ，则||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅。

要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。

两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。

（2）求直线和平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为ϕ，则有||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u 。

（3）求二面角如图，若PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，平面PAB 交l 于E ，则∠AEB 为二面角l αβ--的平面角，∠AEB+∠APB=180°。

若12⋅n n 分别为面α，β的法向量，121212,arccos ||||n n n n n n ⋅〈〉=⋅则二面角的平面角12,AEB ∠=〈〉n n 或12,π-〈〉n n ，即二面角θ等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。

①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角12,〈〉n n 的大小。

②当法向量1n ，2n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n的夹角的补角12,π-〈〉n n 的大小。

知识点二、用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。

即：点A 到平面α的距离||AB n d n ⋅= ，其中B α∈，n是平面α的法向量。

2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。

§8.6 空间中的夹角与距离2014高考会这样考 1.考查异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的概念及求法；2.考查点到平面的距离的概念及求法． 复习备考要这样做 1.掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念；能在图形中找到或作出所求的角，并能选择正确的方法进行计算；2.理解点到平面距离的意义，能作出点到平面的垂线段，或能用转化法求点到平面的距离．1． 异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a 、b ，经过空间任意一点O ，作a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 2． 斜线和平面所成的角(1)定义：斜线和平面所成的角是斜线和它在平面内的射影所成的角．当直线和平面平行时，称直线和平面成0°角．当直线和平面垂直时，称直线和平面成90°角．(2)范围：⎝⎛⎭⎫0，π2. 3． 二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．(2)二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)范围：[0，π]．4．点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离．[难点正本疑点清源]1．解(证)与角有关的问题，通常是先“定位”，后“定量”．空间各种角的度量都是转化为平面角来实现的，要熟练掌握各类角转化为平面角的方法．求角的一般步骤：(1)找出或作出有关的平面角；(2)证明它符合定义；(3)化归到某一个三角形中进行计算．2．空间两图形之间的距离最终都转化为两点之间的距离，通过解三角形或特殊图形得到解决．关于距离问题的解法体现了数学的等价转化和数形结合思想：点到平面之间距离转化为点和垂足之间距离或者转化为以该点为顶点的三棱锥的高．解决立体几何距离问题，不仅在于怎样计算，更重要的是为什么这样算，因此，从正确作图，归纳推理到熟练计算每一环节都很重要，所以，要培养提高正确作、严密证、快速算的能力．1．A、B两点相距4 cm，且A、B与平面α的距离分别为3 cm和1 cm，则AB与平面α所成的角是() A．30°B．90°C．30°或90°D．30°或90°或150°答案 C解析注意分类讨论．当A、B在平面α的两侧时，AB⊥α即AB与α所成的角为90°，当A、B在平面α的同侧时，AB与平面α所成的角为30°.2． 平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，若AB ＝12，则A ′B ′等于( )A ．4B ．6C ．8D ．9 答案 B解析 如图所示，连接A ′B 可知∠ABA ′＝π6，则A ′B ＝AB cos π6＝63，连接AB ′可知∠BAB ′＝π4， 则BB ′＝AB sin π4＝62， 在Rt △BB ′A ′中，A ′B ′＝A ′B 2－BB ′2＝6. 3． 如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形沿对角线BD折成四面体A ′—BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 ( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D ．四面体A ′—BCD 的体积为13答案 B解析 如图所示，取BD 的中点O ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴A ′O ⊥平面BCD ，∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD .假设A ′C ⊥BD ，∵OC 为A ′C 在平面BCD 内的射影，∴OC ⊥BD ，矛盾，∴A ′C 不垂直于BD ，A 错误；∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，A ′C 在平面A ′BD 内的射影为A ′D ，∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，A ′B ⊥A ′C ，B 正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误；V A ′—BCD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，D 错误． 4． 正四面体P —ABC 中，M 为棱AB 的中点，则P A 与CM 所成角的余弦值为________．答案 36解析 过点M 作MN ∥P A 交PB 于点N ，∠CMN 即为P A 与CM 所成的角，N 为PB 的中点，CM ＝CN ＝32P A ，MN ＝12P A ，在等腰三角形CMN 中，cos ∠CMN ＝36. 5． 在三棱锥A —BCD 中，AB ＝AD ＝CB ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且面ABD ⊥面CBD ，给出下列结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等腰三角形；③AB 与面BCD 成60°角；④AB 与CD 成60°角．其中正确的是________．(填序号)答案①②④解析③中AB与面BCD成的角为45°.至于④，可以将三棱锥补成一个底面是正方形的四棱锥A—BCDE，易知∠ABE＝60°，即AB与CD所成的角为60°.题型一异面直线所成的角例1如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝AA1＝4，点O是AC的中点．(1)求证：AD1∥平面ODC1；(2)求异面直线AD1和DC1所成的角的余弦值．思维启迪：(1)在平面DOC1找AD1的平行线，可考虑连接CD1；(2)平移AD1使其与DC1相交．(1)证明如图所示，连接D1C交DC1于点O1，连接OO1.因为O、O1分别是AC和D1C的中点，所以OO1∥AD1.又OO1⊂平面DOC1，AD1⊄平面DOC1，所以AD1∥平面DOC1.(2)由OO1∥AD1，知AD1和DC1所成的角等于OO1和DC1所成的锐角或直角．在△OO1D中，由题意，可得OD＝52，O1D＝52，OO1＝2 2.由余弦定理，得cos ∠OO 1D ＝⎝⎛⎭⎫522＋(22)2－⎝⎛⎭⎫5222×52×22＝225，故AD 1和DC 1所成的角的余弦值为225. 探究提高 求异面直线所成角的方法：(1)找 利用定义转化为平面角：对于异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．(2)证 证明作出的角即为所求角．(3)求 把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．(4)两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，E 为棱BC 的中点．若PD ＝1，求异面直线PB 和DE 所成角的余弦值．解 取AD 的中点，连接PF 、FB .E ，F 分别为棱BC ，AD 的中点，∵ABCD 是边长为2的正方形，∴DF ∥BE ，且DF ＝BE ，∴四边形DFBE 为平行四边形，∴DE ∥BF ，∴∠PBF 是PB 与DE 所成的角．∵在△PBF 中，BF ＝5，PF ＝2，PB ＝3，∴cos ∠PBF ＝BF 2＋BP 2－PF 22BF ·BP ＝5＋9－22×5×3＝255. 即异面直线PB 和DE 所成角的余弦值为255. 题型二 直线与平面所成的角例2 如图，四棱锥P —ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．(1)求证：PB ⊥DM ；(2)求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．思维启迪：(1)要证PB ⊥DM ，只需证PB ⊥平面ADMN 即可．(2)可以作CD 在平面ADMN 的射影，也可以转化为与CD 平行的直线与平面所成的角．(1)证明 ∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，∵N 是PB 的中点，且P A ＝AB ，∴AN ⊥PB .∵AD ⊥P A ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面P AB ，∴AD ⊥PB ，由条件知MN ∥BC ∥AD ，∴MN 和AD 在同一个平面内，从而PB ⊥平面ADMN .又∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB ⊥DM .(2)解 取AD 的中点G ，连接BG 、NG ，则BG ∥CD ，∴BG 和CD 与平面ADMN 所成的角相等．∵PB ⊥平面ADMN ，∴∠BGN 是BG 与平面ADMN 所成的角．设P A ＝AD ＝AB ＝2，则BG ＝5，BN ＝2，∴在Rt △BGN 中，sin ∠BGN ＝BN BG ＝105. 即CD 与平面ADMN 所成角的正弦值为105. 探究提高 (1)求线面夹角时重点是找到斜线在平面内的射影，因此重点是找到直线上一点向平面作垂线．(2)求线线角和线面角时，有时可通过平移改换要求的角，如本题将CD 平移到BG ，使问题得以巧妙解决．(3)第一问往往是为第二问设置台阶，要注意这一规律．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E ，H 分别是A 1B 1和BB 1的中点．(1)求证：直线EH ∥平面AD 1C ；(2)求直线B 1C 与平面AC 1D 1所成角的余弦值．(1)证明 连接A 1B ，因为E ，H 分别是A 1B 1和BB 1的中点，所以EH ∥A 1B ，又A 1B ∥CD 1，所以EH ∥CD 1，又CD 1⊂平面AD 1C 且EH ⊄平面AD 1C ，所以EH ∥平面AD 1C .(2)连接A 1D 交AD 1于O 点，过D 点作DM ⊥AD 1于M 点，因为B 1C ∥A 1D ，所以直线B 1C 与平面AC 1D 1所成的角等于A 1D 与平面AC 1D 1所成的角， 易证DM ⊥平面AC 1D 1，所以∠DOM 就是A 1D 与平面AC 1D 1所成的角，在Rt △DOM 中易求cos ∠DOM ＝35. 题型三 二面角例3 如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面P AD所成的角的大小；(2)证明AE⊥平面PCD；(3)求二面角A—PD—C的正弦值．思维启迪：(1)先找出PB和平面P AD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角．(1)解在四棱锥P—ABCD中，因P A⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故P A⊥AB.又AB⊥AD，P A∩AD＝A，从而AB⊥平面P AD，故PB在平面P AD内的射影为P A，从而∠APB为PB和平面P AD所成的角．在Rt△P AB中，AB＝P A，故∠APB＝45°.所以PB和平面P AD所成的角的大小为45°.(2)证明在四棱锥P—ABCD中，因P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥P A.由条件CD⊥AC，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.又AE⊂平面P AC，∴AE⊥CD.由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD .(3)解 过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示．由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角．由已知，可得∠CAD ＝30°.设AC ＝a ，可得P A ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a . 在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝P A ·AD ，则AM ＝P A ·AD PD ＝a ·233a 213a ＝277a . 在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM ＝144. 所以二面角A —PD —C 的正弦值为144. 探究提高 作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．(2011·浙江)如图，在三棱锥P —ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．(1)证明：AP ⊥BC ；(2)已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2，求二面角B —AP —C 的大小．(1)证明 由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC .又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC .因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故AP ⊥BC .(2)解 如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连接CM .因为BC ⊥P A ，得P A ⊥平面BMC ，所以AP ⊥CM .故∠BMC 为二面角B —AP —C 的平面角．在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得AB ＝41.在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2，在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2，所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋BD 2＝36，得PB ＝6.在Rt △POA 中，P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5.又cos ∠BP A ＝P A 2＋PB 2－AB 22P A ·PB ＝13，从而sin ∠BP A ＝223.故BM ＝PB sin ∠BP A ＝4 2.同理CM ＝4 2.因为BM 2＋MC 2＝BC 2，所以∠BMC ＝90°，即二面角B —AP —C 的大小为90°.题型四 点到平面的距离例4 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB ＝CC 1＝a ，BC ＝b .(1)设E ，F 分别为AB 1，BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ；(2)求证：A 1C 1⊥AB ；(3)求B 1到平面ABC 1的距离．思维启迪：(1)线线平行或面面平行⇒线面平行；(2)线面垂直⇒线线垂直；(3)求垂线段长或用等积法．(1)证明 分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连接EM ，MN ，FN ，于是EM 綊12BB 1，FN 綊12BB 1，从而EM 綊FN ，即四边形EFNM 是平行四边形，∴EF ∥MN .而EF ⊄平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，故EF ∥平面ABC .(2)证明 连接A 1B ，∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，∴AA 1⊥AB .又AB ＝CC 1＝AA 1，∴ABB 1A 1是正方形，从而AB 1⊥A 1B .∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，∴A 1C 1⊥AB 1，而A 1C 1⊥AA 1，∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.又AB ⊂平面ABB 1A 1，∴A 1C 1⊥AB .(3)解 ∵A 1B 1∥AB ，AB ⊂平面ABC 1，A 1B 1⊄平面ABC 1，∴A 1B 1∥平面ABC 1，于是B 1到平面ABC 1的距离等于A 1到平面ABC 1的距离，过A 1作A 1H ⊥AC 1于H . 由(2)知，BA ⊥平面ACC 1A 1，∴BA ⊥A 1H ，于是A 1H ⊥平面ABC 1.在Rt △A 1AC 1中，AA 1＝CC 1＝a ，A 1C 1＝AC ＝BC 2－AB 2＝b 2－a 2， AC 1＝C 1C 2＋AC 2＝a 2＋(b 2－a 2)＝b ，∴A 1H ＝A 1A ·A 1C 1AC 1＝a b 2－a 2b， ∴B 1到平面ABC 1的距离为a b 2－a 2b . 探究提高 求点到平面的距离，一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离．如本题(3)的如下解法即用等积法VC 1－ABB 1＝VB 1－ABC 1，即13A 1C 1·12AB ·BB 1＝13·h ·12AB ·AC 1，将各数据代入可得h 的值．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；(3)求点A 到平面PCD 的距离．(1)证明 如图所示，在△P AD 中，O 为AD 中点，P A ＝PD ，∴PO ⊥AD ，又∵侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，∴PO ⊥平面ABCD .(2)解 连接BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ，又∵OD ∥BC 且OD ＝BC ，∴四边形OBCD 是平行四边形，∴OB ∥DC .由(1)知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角，∴∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角．∵AD ＝2AB ＝2BC ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝1，AO ＝1，∴OB ＝2，在Rt △POA 中，AP ＝2，AO ＝1，∴OP ＝1，在Rt △PBO 中，PB ＝OP 2＋OB 2＝3，cos ∠PBO ＝OB PB ＝23＝63， ∴异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为63.(3)解 方法一 由(2)得CD ＝OB ＝2，在Rt △POC 中，PC ＝OC 2＋OP 2＝2，∴PC ＝CD ＝DP ，S △PCD ＝34·2＝32. 又∵S △ACD ＝12AD ·AB ＝1， 设点A 到平面PCD 的距离为h ，由V P —ACD ＝V A —PCD 得13S △ACD ·OP ＝13S △PCD ·h ， 即13×1×1＝13×32×h ，解得h ＝233. 方法二 ∵AO ＝OD ，∴A 到平面PCD 的距离是O 到平面PCD 的距离的两倍，易知PC ＝CD ＝PD ，OC ＝OP ＝OD ，∴三棱锥O —PCD 为正三棱锥．设O 在平面PCD 内的射影为H ，则H 为△PCD 的中心，∴PH ＝23·32PD ＝63， ∴OH ＝12－⎝⎛⎭⎫632＝33， ∴A 到平面PCD 的距离为233.二面角求解要规范典例：(14分)如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；(3)AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为π4？ 审题视角 (1)线面垂直转化为线线垂直；(2)点到面的距离问题，可通过等积变换求解；(3)先找出二面角，在知道二面角大小的情况下求AE ，可用方程的思想．规范解答(1)证明 ∵AE ⊥平面AA 1D 1D ，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E .[3分](2)解 设点E 到面ACD 1的距离为h .在△ACD 1中，AC ＝CD 1＝5，AD 1＝2，故S △AD 1C ＝32.[4分] 而S △ACE ＝12·AE ·BC ＝12， ∴VD 1—ACE ＝13S △ACE ·DD 1＝13S △AD 1C ·h .[6分] ∴h ＝13.[7分](3)解 过D 作DH ⊥CE 于H ，连接D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ，∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角．[9分]设AE ＝x ，则BE ＝2－x .在Rt △D 1DH 中，由∠DHD 1＝π4，知DH ＝1.[10分]∵在Rt △ADE 中，DE ＝1＋x 2，∴在Rt △DHE 中，EH ＝x ；在Rt △DHC 中，CH ＝3；在Rt △CBE 中，CE ＝x 2－4x ＋5. ∴x ＋3＝x 2－4x ＋5⇒x ＝2－ 3.[13分]∴AE ＝2－3时，二面角D 1—EC —D 的大小为π4.[14分] 温馨提醒 (1)本题考查了线线垂直的证明，点到平面的距离的求法，以及二面角的有关问题，是高考的重点内容．(2)本题失分的主要原因是答题不规范．在解有关二面角的问题时，要强调：作、证、算．一定要明确指出二面角的平面角．然后再求二面角的平面角，或者再根据二面角的平面角的大小求解.方法与技巧1． 求线线角常用平移法，选取一特殊点将两异面直线移成一夹角，构造三角形，利用余弦定理求角，但需要注意，所成角可能是所求角的补角．求线面角关键在于找出直线在平面内的射影，而射影的构成，有时可以直接作垂线，有时必须借助垂面来作．2． 求二面角的常用方法：作棱的垂面，找出二面角的平面角．3． 空间距离的求解，重在转化方法的运用上，基本问题是点到面的距离．求点到面的距离的常用方法有：(1)作垂线，求垂线段的长；(2)等体积法；(3)相关点距离转移法． 失误与防范计算题同样需要严格合理的推理论证过程．关键是在“度”的把握上，既不能一字未证，又不能过于繁琐，因此，需要在平时的学习中积累经验．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是() A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.D 选项正确．易知选项A、B、C错误．2．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为()A.33 B.34 C.36 D.312答案 C解析 设正三棱锥的底面边长为a ，则侧棱长为2a .作SO ⊥平面ABC于点O ，连接AO 并延长AO 交BC 于点E ，因为△ABC 为正三角形，所以O 为底面的中心，所以∠SAO 为SA 与平面ABC 所成的角．又AO ＝23×32a ＝33a ， 所以cos ∠SAO ＝33a 2a ＝36，即所求余弦值为36.3． (2011·福建改编)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于( ) A. 2B. 3C.22D.13答案 A解析 由于在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2. 4． 已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为( ) A.34 B.54 C.74 D.34 答案 D二、填空题(每小题5分，共15分)5. 如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，PQ∥AC，QM∥BD，则下列命题中，正确的有____．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°答案①②④解析由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故①正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故②正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故④正确；③是错误的，故填①②④.6. 如图所示，三棱锥P—ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角的大小为________．答案45°解析因为P A⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△P AB中，∠BAP＝90°，P A＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角的大小为45°.7．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，1解析 如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ， ∵平面ABD ⊥平面ABC ， DK ⊥AB ，∴DK ⊥平面ABC ， ∴DK ⊥AF .又DG ⊥AF ， ∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易得到，当F 运动到E 点时，K 为AB 的中点，t ＝AK ＝AB2＝1；当F 运动到C 点时，在Rt △ADF 中，易得AF ＝5，且AG ＝15，GF ＝45， 又易知Rt △AGK ∽Rt △ABF ， 则AG AK ＝AB AF ，又AB ＝2，AK ＝t ，则t ＝12. ∴t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，1. 三、解答题(共22分)8． (10分)如图所示，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ＝EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的正弦值．(1)证明 在直二面角D —AB —E 中，由ABCD 是正方形， 则CB ⊥平面AEB ，∴AE ⊥BC ，又BF ⊥平面ACE ， 则AE ⊥BF ，∴AE ⊥平面BCE .(2)解 由(1)知平面AEC ⊥平面BCE ，又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AC ，连接BD 与AC 交于O 点，连接OF (如图)，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BOF ，∴AC ⊥FO . ∴∠BOF 为二面角B —AC —E 的平面角， 在Rt △AEB 中，BE ＝2，在Rt △EBC 中，BC ＝2，∴BF ＝BE ·BC EC ＝233，在Rt △BFO 中，sin ∠BOF ＝63， 则二面角B —AC —E 的正弦值为63.9． (12分)如图所示，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD是矩形．F 是PD 的中点．若P A ＝AD ＝3，CD ＝ 6. (1)求证：AF ⊥平面PCD ；(2)求直线AC 与平面PCD 所成角的余弦值的大小． (1)证明 ∵P A ⊥ABCD ，∴P A ⊥CD ， ∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥AF ， 又AP ＝AD ，PF ＝DF ，∴AF ⊥PD ， ∴AF ⊥平面PCD .(2)解 由(1)知AF ⊥平面PCD ，连接CF . 则∠ACF 为AC 与平面PCD 所成的角． 在Rt △ACF 中，AC ＝32＋(6)2＝15.AF ＝12PD ＝322.∴CF ＝15－92＝212＝422. ∴cos ∠ACF ＝CF AC ＝7010.即直线AC 与平面PCD 所成的角的余弦值为7010.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·郑州模拟)如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E是A 1B 1上的点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离d 是( )A.32B.22C.12D.33答案 B解析 ∵A 1B 1∥ABC 1D 1，E ∈A 1B 1，∴A 1到平面ABC 1D 1的距离即为点E 到平面ABC 1D 1的距离，∴d ＝22. 2． 已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.34答案 D解析 如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接SD ；作AG ⊥SD 于 点G ，连接GB .∵SA ⊥底面ABC ，△ABC 为等边三角形，∴BC ⊥SA ，BC ⊥AD . ∴BC ⊥平面SAD .又AG ⊂平面SAD ，∴AG ⊥BC . 又AG ⊥SD ，∴AG ⊥平面SBC .∴∠ABG 即为直线AB 与平面SBC 所成的角．∵AB ＝2，SA ＝3，∴AD ＝3，SD ＝2 3. 在Rt △SAD 中，AG ＝SA ·AD SD ＝32，∴sin ∠ABG ＝AG AB ＝322＝34.3． 已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( )A.13B.23C.33D.23答案 B解析 设棱柱的侧棱与底面边长均为1，O 为△ABC 的中心，如图，连接AO ，则AO ＝33. ∵A 1O ⊥平面ABC ，∴A 1O ＝63. 又在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， A 1B 1∥平面ABC ，∴点B 1到平面ABC 的距离d ＝63. 连接AB 1，A 1B ，BO ，设A 1B 与AB 1交点为H . 在Rt △A 1BO 中，A 1B ＝1.∵四边形AA 1B 1B 为菱形，∴A 1H ⊥AB 1，∴AH ＝AA 21－A 1H 2＝32，∴AB 1＝ 3. 设AB 1与底面ABC 成的角为α，则sin α＝d AB 1＝23. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 直线l 在平面α内，经过α外一点A 与l 、α都成45°的角的直线有________条．答案 2解析 如图，AO ⊥α，BC ∥l ，∠ABO ＝∠ACO ＝45°，只有AB 、AC 两条直线满足条件． 5． 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，现在沿DE 、DF 及EF 将三个角折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P ，那么在四面体P —DEF 中，二面角 D —PE —F 的大小为________．答案90°解析由已知可知，PD⊥PE，PF⊥PE，所以∠DPF是二面角D—PE—F的平面角．又因为PD⊥PF，所以二面角D—PE—F的大小为90°.6. 如图所示，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是______________． 答案 23解析 取AB 、DC 的中点分别为P 、Q ，如图所示，作MN ⊥PQ ，则MN 的长即为点M 到截面ABCD 的距离．在△PQM 中，PM ＝22，PQ ＝MQ ＝324，由面积可知PQ ·MN ＝PM ·1， 所以MN ＝23.三、解答题7． (13分)如图，是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满 足FC ⊥平面BED ，FB ＝5a . (1)证明：EB ⊥FD ；(2)求点B 到平面FED 的距离．(1)证明 ∵FC ⊥平面BED ，BE ⊂平面BED ，∴EB ⊥FC . 又点E 为的中点，B 为直径AC 的中点，∴EB ⊥BC .又∵FC ∩BC ＝C ，∴EB ⊥平面FBD . ∵FD ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FD .(2)解 方法一 如图，在平面BEC 内过C 作CH ⊥ED ，连接FH .则由FC ⊥平面BED ED ⊥平面FCH .∵Rt △DHC ∽Rt △DBE ， ∴DC DE ＝CH BE. 在Rt △DBE 中，DE ＝BE 2＋BD 2＝BE 2＋(2BC )2＝5a ，∴CH ＝DC ·BE DE ＝a ·a 5a ＝55a .∵FB ＝5a ，BC ＝a ，∴FC ＝2a .在平面FCH 内过C 作CK ⊥FH ，则CK ⊥平面FED . ∵FH 2＝FC 2＋CH 2＝4a 2＋a 25＝215a 2，∴FH ＝1055a . ∴CK ＝FC ·CH FH ＝2a ·55a1055a ＝22121a .∵C 是BD 的中点，∴点B 到平面FED 的距离为2CK ＝42121a .方法二 ∵EB ⊥平面FBD ，BF ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FB . 在Rt △FBE 中，∵FB ＝5a ，EB ＝a ，∴EF ＝6a .又∵FC ⊥平面BED ，∴FC ⊥BD . ∵BC ＝CD ，∴FD ＝FB ＝5a . 在Rt △EBD 中，ED ＝BE 2＋BD 2＝5a .在△EFD 中，DF ＝DE ＝5a ，EF ＝6a ， 由余弦定理得cos ∠EDF ＝25，∴sin ∠EDF ＝215.∴S △EFD ＝12DE ·DF ·sin ∠EDF ＝212a 2.设B 到平面FED 的距离为h ，∵V F －EBD ＝13S △EBD ·FC ＝13×12·2a ·a ·2a ＝23a 3，且V F －EBD ＝V B －EFD ，∴23a 3＝13×212a 2h ，∴h ＝42121a ， 即点B 到平面FED 的距离为42121a .。

QBCPADON 图1-1图1-2高中数学知识要点重温（19）空间中的角和距离1．解立几题要有化平几思想：所有求空间角与距离的问题最终都要转化到平面上求解，有时还可以将要求的角（或线段）所在的平面分离出来，这样清楚醒目，便于求解，不易出错。

2．研究异面直线所成的角通常有两种方法。

①通过平移使之成为一个平面角，然后解三角形求得；②在空间直角坐标系中利用向量的夹角公式。

[注意] 异面直线所成角的范围是：（00，900]， 如： cos <，>=-31,则异面直线 a, b 所成的角为arccos 31。

[举例] 如图, 已知两个正四棱锥ABCD Q ABCD P --与的高分别为1和2,4=AB ，(Ⅰ) 证明: ABCD PQ 平面⊥ ;(Ⅱ) 求异面直线AQ 与PB 所成的角;解析：(Ⅰ)记AC 、BD 交于O ，连PO 、QO ， 则PO ⊥面ABCD ，QO ⊥面ABCD ，∴P 、Q 、O 共线，PQ ⊥面ABCD ； (Ⅱ)方法一：“平移”：注意到AC 、PQ 交于O ， 取OC 的中点N ，连结PN ，BN ，∵11,22PO NO NO OQ OA OC ===，∴PONOOQ OA =，故AQ ∥P Ｎ. ∠BP Ｎ是异面直线AQ 与PB 所成的角（或其补角）. PB ==∵BN ===∴222cos 29PB PN BN BPN PB PN+-∠===⋅ 故异面直线AQ 与PB 所成的角是．方法二：“建系”：由题设知，ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥．由（I ），PQ ⊥平面ABCD ，故 可以分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图1-2），由题设，相关各点的坐标分别是(0,0,1)P ，(0,0,2)Q -，B，)2,0,22(--=AQ ，(0,1)PB =-,于是3cos ,AQ PB AQ PB AQ PB⋅<>==⋅注：在“平移”时常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。

三、空间的角与距离一．角1.异面直线所成的角： 范围是]2,0(π；一般方法是平移直线，构造三角形，把异面问题转化为共面问题来解决。

平移时，固定一条，平移另一条（在某平面内），或两条同时平移到某特殊位置，顶点选择在特殊位置上； 2.直线与平面所成的角： 范围是]2,0[π。

关键是：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。

注:确定点的射影位置有以下几种方法：①结论：如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；；②两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ③利用三棱锥的有关性质：a.若侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b.若顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 3．二面角 二面角的范围一般是指],0(π。

作二面角的平面角常有三种方法 ①定义法：②三垂线定理法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；③垂面法： 作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线所成的角就是二面角的平面角。

④面积射影法：θcos ⋅='S S (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成二面角的平面角)它对于任意多边形都成立，是求二面角的好方法.当作角困难时,易求斜面及射影面积,可直接用公式求出二面角的大小。

二．空间的距离（1）点到平面的距离常用求法 （点到直线的距离、直线到平面的距离及平面与平面间的距离（仅平行时）略） ①定义法：作垂线②转移法：平行线转移或中点转移（斜线中点）等 ③等体积法：（2）异面直线间的距离常有求法： 异面直线b a ,间的距离为b a ,间的公垂线段的长． ①定义法②转化为线面距离： 找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离． ③转化为面面距离： 找或作出分别过b a ,且与b ，a 分别平行的平面，则它们距离就是异面直线b a ,间的距离． 1、已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形⊥︒=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中 点（1）证明平面PED ⊥平面PAB ；（2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值ABC DA1E B1C12. 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD.①若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；②证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°3. 如图，已知四棱锥P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的 正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。