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第五章 稳恒磁场设0x <的半空间充满磁导率为μ的均匀介质，0x >的半空间为真空，今有线电流沿z 轴方向流动，求磁感应强度和磁化电流分布。
解：如图所示令 110A I H e r = 220A IH e r= 由稳恒磁场的边界条件知，12t t H H = 12n n B B = 又 B μ= 且 n H H =所以 1122H H μμ= (1) 再根据安培环路定律H dl I ⋅=⎰得 12IH H rπ+= (2) 联立(1),(2)两式便解得，21120I I H r rμμμμπμμπ=⋅=⋅++012120I I H r rμμμμπμμπ=⋅=⋅++ 故， 01110IB H e r θμμμμμπ==⋅+ 02220IB H e rθμμμμμπ==⋅+ 212()M a n M M n M =⨯-=⨯ 220()B n H μ=⨯-00()0In e rθμμμμπ-=⋅⋅⨯=+ 222()M M M J M H H χχ=∇⨯=∇⨯=∇⨯0000(0,0,)zJ Ie z μμμμδμμμμ--=⋅=⋅++ 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势A 的微分方程，设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。
？解： 由电流分布的对称性可知，导体内矢势1A 和导体外矢势2A 均只有z e 分量，而与φ，z 无关。
由2A ∇的柱坐标系中的表达式可知，只有一个分量，即 210A J μ∇=- 220A ∇= 此即101()A r J r r r μ∂∂=-∂∂21()0A r r r r∂∂=∂∂ 通解为 21121ln 4A Jr b r b μ=-++212ln A c r c =+ 当0r =时，1A 有限，有10b =由于无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，设r a =时， 120A A ==,得202121ln 04Ja b c a c μ-+=+=)又r a =时，12011e A e A ρρμμ⨯∇⨯=⨯∇⨯，得 112c Ja a μ-=所以 2221220111,,224c Ja c Ja b Ja μμμ=-=-=所以， 22101()4A J r a μ=--221ln 2a A Ja rμ=写成矢量形式为 22101()4A J r a μ=--221ln 2a A Ja rμ=设无限长圆柱体内电流分布，0()z J a rJ r a =-≤求矢量磁位A 和磁感应B 。
第五章稳恒磁场第一节磁场运动电荷的磁场1. 磁场磁现象的发现要比电现象早得多，公元前300 多年我国就发现了磁石吸铁现象，东汉时期就有了“司南”。
从1820 年开始，科学家逐步发现了磁和电的紧密关系：①磁铁有磁性，即有吸引铁、钻、镍等磁性物质的性质；②磁铁有磁极(磁性最强处)，且恒有N 极和S极，磁极间有相互作用力，同性相斥，异性相吸；③运动电荷和电流对磁针有作用；④磁铁对运动电荷和电流也有作用；⑤运动电荷和电流与运动电荷和电流之间都有相互作用等。
由此而得，磁铁周围有磁场，运动电荷和电流周围也有磁场，它们之间的相互作用是通过磁场进行的，而非超距作用，安培磁性起源假设表明：一切磁现象的根源都是运动电荷(电流).2. 磁感应强度为了表征磁场的强弱及分布，引入物理量磁感应强度，用 B 表示，单位是特斯拉(T) , 1T= 1N-A-1•m-1。
关于B的定义有各种不同的方法，有的用电流在磁场中受的力来定义，有的用通电线圈在磁场中受的力矩来定义，为了更好地反映磁场的本质，且与电场强度E的定义相对应，我们定义：磁感应强度B为单位运动正电荷qv 在磁场中受到的最大力 F ，即F=q(v x B)实验证明磁场像电场一样，也满足叠加原理B 二刀B 或B = /dB第二节 电流的磁场 毕-萨定律1.电流的磁场电流周围有磁场，稳恒电流的磁场是稳恒磁场。
由于稳恒电 流总是闭合的，且形状各异，所以要想求得总磁场分布，必须先 研究一小段电流的磁场。
沿电流方向取一小段电流 I dl,称作电流元。
得出电流元产生磁场的规律：2d B =卩 o ldl x r/4 n r称作毕奥-萨伐尔定律，它表明一小段电流元产生的磁感应强度 dB 的大小，与电流元I dl 成正比，与电流元到场点距离r 的平方 成反比，且与I dl 和r 夹角的正弦成正比，其方向由右手螺旋法 则确定。
毕-萨定律可以从运动电荷的磁场公式中推得，而它也是一 个实验定律，虽然电流元不可能单独存在，但大量间接的实验都 证明了它的正确性。
第五章 稳恒磁场引言：电流通过导体有热效应，通过电解液有化学效应。
本章讨论电流的磁效应：电流在其周围空间激发磁场，磁场对电流有磁力作用。
本章重点介绍真空中静磁学知识，建立稳恒磁场之基本方程式。
研究方法仍为场论方法，注意与静电场比较和区别。
§1 磁的基本现象和规律一、磁作用电与磁常相伴随、相互转化，相互作用综述为图5-1所示几种情况。
图5-1 图5-21、磁铁间的相互作用 结合实物演示说明：(1)同种磁极相互排斥、异种磁极相互吸引，参见图5-2； (2)将一磁棒分为两段，N 、S 极并不能相互分离，不存在磁单极； (3)地球本身是一大磁体，其磁性N 极在地理南极，磁性S 极在地理北极。
自由悬挂的条形磁棒或长磁针始终指南北，即是上规律的体现——指南针及应用。
2、电流对磁铁的作用图5-3NS NSSNN S N S电流磁铁磁铁电流③ ②② ③①④I SNNI NSSINN SSS通电导线周围产生磁场，通电螺线管相当于条形磁铁，参见图5-3。
3、磁铁对电流的作用电流是运动电荷形成，表明磁极对运动电荷也有磁力作用，参见图5-4。
图5-4 右手定则判受力4、电流对电流的作用 参见图5-5说明。
同向电流：吸引 反向电流：排斥图5-5以上均称为磁相互作用，是基本的磁现象。
二、磁场1、物质磁性的基本来源螺线管通电后的磁性与磁棒的相似性，启发人们：磁铁与电流是否在本源上一致？（19世纪，法国）安培分子电流假说：组成磁铁的最小单元——磁分子就是环形电流。
若这些分子电流定向排列，宏观上即显示N 、S 极。
●磁分子的“分子电流”等效成图5-6●分子环流形成的微观解释：原子、分子内电子的绕核旋转和自转。
综上可见：一切磁效应均来源于电流；一切磁作用都是电流与电流之间的相互作用，或说成运动电荷之间的相互作用。
I NSFN SF图5-62、磁场在静电学中，电的作用是近距作用，同样磁作用也是近距的：即磁作用是通过磁场传递。
电流（或N 、S 极）在空间激发磁场，而磁场对置于其中另外的电流（或磁极）施力作用，这一观点与电场近距观点一致。
即：电流 ———— ————电流无论电荷静止与否均存在库仑作用，但只有运动电荷之间才存在磁作用！ 三、安培定律既然一切磁作用均归于电流之间的相互作用，本节当研究电流之间的相互作用规律—— A mpere’s Law 。
1、电流元的概念电学中：研究带电体间相互作用时，先引入点电荷理想模型，研究点电荷间的作用满足库仑定律； 再椐叠加原理，把任带电体视作点电荷之集合把整个问题求出。
磁学中：研究电流之间相互作用时，仿上——把载流回路看作大量无穷小载流线元之集合。
这些载流线元称为电流元（与点电荷位置相当），用l Id表示，只要知道任一对电流元之间相互作用规律，即可据叠加原理计算整体回路间的相互作用。
需要指出——稳恒电流只能存在于闭合回路中，孤立电流元是不存在的，如磁场mi s磁矩s i m内部消磁棒断面 相当于螺线管5-7(a)，无法由实验直接验证，只能由此假设导出的结论间接验证。
(a) (b)图5-72、安培定律通过对各种载流回路间相互作用分析、概括。
安培认为：载流回路上任一电流元对另一载流回路上任一电流元之作用力，如图5-7(b)，即电流元1：11l d I电流元2：22l d I作用力为21212112212)(r r l d I l d I k F d式中k 为比例系数，与单位的选取有关。
在SI 制中，电流强度为安培，比例系数k 取为40k (2A N )式中0 为真空磁导率，实验测得为 70104 （2A N ）故安培力公式成为212121122012)(4r r l d I l d I F d[讨论]I 回路lIdL 2I 1L 1I 211l d I22l d I12rL 1、L 2两载流回路(1) 12F d 的大小—12F d： 与（221l d I l d I ）成正比；与212r 成反比（平方反比律）；与两电流元的取向有关。
(2) 12F d的方向。
如图5-8，设11l d I 与12r 组成的平面为1S 平面，它们之间的夹角为1 ；22l d I 与1211r l d I组成的平面为2S 平面，对应夹角为2 。
则：2S 平面垂直于1S 平面（22l d I在2S 平面内）； (1211r l d I)垂直于1S 平面（即在1S 面之法向）。
可见：12F d 在1S 平面内，且与22l d I 、（1211r l d I ）均垂直，即12F d既垂直于22l d I （受力者）、又垂直于（1211r l d I）（施力者）所决定的平面。
图5-8有了方向分析，便可写出其大小表式212212211012sin sin 4r dl I dl I dF 在其中，当仅仅改变.1 、2 时，只改变了12F d 的大小，而不影响12F d的方向。
分析如下：若11l d I 在1S 面内仅方向发生变化，即改变1 时，但不改变1211r l d I之方向，即12F d 的方向不变。
当1 =0 时，即11l d I //12r 时，12F d =0；当21时，即垂直时，12F d达最大。
1 θ1 S 1S 22θ2 I 11l d22l d II 1121r l dd 12F12r若22l d I 在2S 面内仅改变方向时，即2 变化时，则12F d方向不变。
当02 时，即22l d I 在（1211r l d I ）方向时，12F d=0，-----此方向有特殊意义（见后）；当22时，即22l d I ⊥（1211r l d I ），则12F d最大，------此最大值很有用（见后）。
（注：它们分别定义了B的方向、大小）(3) 同理，1122l d I l d I的作用力仍有类似形式：221212211021)(4r r l d I l d I F d(4) 电流元之间的作用力一般不满足牛顿第三定律。
举一反例进行说明如下：如图5-9放置的两电流元，则 0)(4212121122012 r r l d I l d I F d，（∵1 =0，故括号内因子为零） 0)90sin (90sin 4221022011012 r dl I dl I F d 但可以证明（见作业）：两闭合回路1L 、2L 间的合作用力满足牛顿第三定律。
图5-9 图5-10(5)若电流不是线分布，则需考虑细节。
因稳恒电流线闭合，可取电流管元作为电流元，然后积分之。
此时替代关系为：dv j l Id，参见图5-10予以理解。
3、安培力的叠加原理(1) 回路1L 对电流元22l d I的合作用如图5-11，只考虑22l d I 受1L 作用时，可对1L 上各电流元对22l d I的作用进行dSjd ι电流元21F d 11l d I22l d I 2112r r矢量叠加2212l d I L F d F d =)(412121211220 L r r l d I l d I式中积分只与空间取定点的场点P 有关，由1L 而定，而与22l d I的情况无关。
图5-11(2)回路1L 对回路2L 的合作用上述2F d是22l d I 所受1L 之合作用，2L 上有许多电流元，2L 所受1L 的合作用则为221212L L L F d F F122121211220)(4L L r r l d I l d I可证：两闭合回路间的相互作用满足牛顿第二定律（见练习）。
四、磁感应强度矢量B1、B的定义仿照电学中定义电场：0q FE，变形成E q F 0 。
磁学中稍复杂：电流在其周围空间激发磁场，仍从置于场中的试探电流元00l d I 受安培力角度定义描述磁场的物理量B----磁感应强度（历史用名）。
电流元00l d I受回路L 的作用力为（见上述）：L 1 I 111dl I变12rP 22l d I)4(2000 L r r l Id l d I F d式中r为L 上电流元l Id 指向00l d I 的位置矢，如图5-12(a)。
对于确定的载流回路L ，式中积分值与00l d I的大小、方向无关，但与其所在位置P 有关（因为涉及r）。
若用B 表示此积分结果，即L r r l d I B 204则B反映了00l d I 所在处P 点磁场的强弱，它完全由回路L 所确定，是计算电流回路（L ）激发磁场的计算公式。
以后会发现此B表式特别有用，另有研究，称毕奥—萨伐尔定律。
需要说明：这样的分解与E q F0 形式上一致。
(a) (b)图5-12 引入B的表示之后，则回路对00l d I 的作用力可写为B l d I F d 00此公式称为安培公式，是B 的定义式。
值得指出：上式中B可不只局限于回路L激发的,应理解成除00l d I 之外的空间存在的总磁场，F d则为此场中对00l d I 之作用，故F d的大小、方向可列于下sin 00B dl I dF ，式中 为B l d与0的夹角,如图5-12(b)，最大值为F dθ 00dl IBI l IdL 场源rP 00l d I场点dF Bdl I dF 00max(c) (d)图5-12定义空间某点磁场B：分别地就大小、方向进行定义 大小----B 0000max dl I dF dl I dF，对应于：图5-12(c)。
方向---00l d I不受力的方向（即 ,0 ）。
对应于：图5-12(d)。
最后，再根据B l d I F d 00即可唯一地确定B。
这样定义的B的方向，与中学内容有关磁针北极受力方向即磁场方向相一致。
2、B的单位在SI 制中，据00dl I dF B 知B 的单位为：1T m A N1 （特斯拉）。
文献中常沿用实用制单位GS （高斯）: GS T 4101 。
3、磁感应线----B线引入B 线形象化地描述磁场矢量场，象电力线描述电场一样。
B线的切向代表该点磁场方向，疏密表示磁场的强弱，磁感应线在实验上可显示。
综上，比较静电与静磁静电：r r q q F221041， E q F 0， r r dq E2041；B0l d I 00l d I 00l d I BB静磁：212121122012)(4r r l d I l d I F d，B l d I F d 00， L r r l d I B 204。
两个常数：21201085.8mN C，270104A N。
