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衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 稳恒磁场 习题解答一、填空题（每空1分）1、电流密度矢量的定义式为：dI j n dS ⊥=v v，单位是：安培每平方米（A/m 2） 。
2、真空中有一载有稳恒电流I 的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S 的磁通量? = 0 ．若通过S 面上某面元d Sv的元磁通为d ?，而线圈中的电流增加为2I 时,通过同一面元的元磁通为d ?＇，则d ?∶d ?＇= 1:2 。
3、一弯曲的载流导线在同一平面内，形状如图1(O 点是半径为R 1和R 2的两个半圆弧的共同圆心，电流自无穷远来到无穷远去)，则O 点磁感强度的大小是2020100444R IR IR IB πμμμ-+=。
4、一磁场的磁感强度为k c j b i a B ϖϖϖϖ++= (SI)，则通过一半径为R ，开口向z 轴正方向的半球壳表面的磁通量的大小为πR 2c Wb 。
5、如图2所示通有电流I 的两根长直导线旁绕有三种环路；在每种情况下，等于：对环路a ：d B l ⋅⎰v v Ñ=____μ0I __；对环路b ：d B l ⋅⎰vv Ñ=___0____； 对环路c ：d B l ⋅⎰v v Ñ =__2μ0I __。
6、两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线飞入匀强磁场，它们的质量之比是1∶4，电荷之比是1∶2，它们所受的磁场力之比是___1∶2__，运动轨迹半径之比是_____1∶2_____。
二、单项选择题（每小题2分）（ B ）1、均匀磁场的磁感强度B v垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为A. 2?r 2BB.??r 2BC. 0D. 无法确定的量（ C ）2、有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为A. B. C. D.（ D ）3、如图3所示，电流从a 点分两路通过对称的圆环形分路，汇合于b 点．若ca 、bd 都沿环的径向，则在环形分路的环心处的磁感强度A. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸内B. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸外C ．方向在环形分路所在平面内，且指向aD ．为零（ D ）4、在真空中有一根半径为R 的半圆形细导线，流过的电流为I ，则圆心处的磁感强度为A.R 140πμ B. R120πμ C ．0 D ．R140μ （ C ）5、如图4，边长为a 的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q 的点电荷．此正方形以角速度??绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感强度大小为B 1；此正方形同样以角速度??绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为A. B 1 = B 2B. B 1 = 2B 2 C ．B 1 =21B 2 D ．B 1 = B 2 /4 （ B ）6、有一半径为R 的单匝圆线圈，通以电流I ，若将该导线弯成匝数N = 2的平面圆线圈，导线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感强度和线圈的磁矩分别是原来的 (A) 4倍和1/8． (B) 4倍和1/2． (C) 2倍和1/4． (D) 2倍和1/2． 三、判断题（每小题1分，请在括号里打上√或×）（ × ）1、电源的电动势是将负电荷从电源的负极通过电源内部移到电源正极时，非静电力作的功。
稳恒磁场一、选择题1. 一圆电流在其环绕的平面内各点的磁感应强度B 【 】 (A) 方向相同， 大小相等； (B) 方向不同，大小不等； (C) 方向相同， 大小不等； (D) 方向不同，大小相等。
2. 电流由长直导线流入一电阻均匀分布的金属矩形框架，再从长直导线流出，设图中321O ,O ,O 处的磁感应强度为B B B 123,,,则 【 】(A)B B B 123==； (B) 0B 0B B 321≠== ；(C) 0B ,0B ,0B 321=≠= ； (D) 0B ,0B ,0B 321≠≠=3. 所讨论的空间处在稳恒磁场中，对于安培环路定律的理解，正确的是 【 】(A) 若⎰=⋅L0l d B ，则必定L 上B 处处为零(B) 若⎰=⋅L0l d B， 则必定L 不包围电流(C) 若⎰=⋅L0l d B， 则L 所包围电流的代数和为零(D) 回路L 上各点的B 仅与所包围的电流有关。
4. 在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积21A 2A =， 通有电流21I 2I =， 它们所受的最大磁力矩之比M M 12/等于 【 】 (A) 1 (B) 2(C) 4(D) 1/45. 由N 匝细导线绕成的平面正三角形线圈，边长为a ， 通有电流I ， 置于均匀外磁场B中，当线圈平面的法向与外磁场同向时，该线圈所受的磁力矩M m 值为： 【 】(2)选择题(A) 2/IB Na 32,(B)4/IB Na 32, (C) 60sin IB Na 32,(D) 06. 一带电粒子以速度v 垂直射入匀强磁场 B 中，它的运动轨迹是半径为R 的圆， 若要半径变为2R ，磁场B 应变为： 【 】 B 22)D (B 21)C (B 2)B (B 2)A ( 7. 图中所示是从云室中拍摄的正电子和负电子的轨迹照片，均匀磁场垂直纸面向里，由两条轨迹可以判断【 】(A) a 是正电子，动能大; (B) a 是正电子， 动能小; (C) a 是负电子，动能大; (D) a 是负电子，动能小。
稳恒磁场
1．已知一均匀磁场，其磁感应强度2m wb 0.2-⋅=B ，方向沿x 轴方向，如图所示，试求：（1）通过图中a b o c 面的磁通量；（2）通过图中b e d o 面的磁通量；（3）通过图中a c d e 面的磁通量；
2．电流均匀地流过无限大平面导体薄板，面电流密度为j ，设板的厚度可以忽略不计，
试用毕奥一萨伐尔定律求板外的任意一点的磁感应强度。
3二条长直载流导线与一长方形线圈共面，如图所示．已知a = b = c = 10cm ，l = 10m ，I 1 = I 2 = 100A ，求通过线圈的磁通量．
4载有电流I 1 的无限长直导线旁有一正三角形线圈，边长为a ，载有电流I 2，一边与直导线平等且与直导线相距为b ，直导线与线圈共面，如图所示，求I 1 作用在这三角形线圈上的力．
5 无限长同轴电缆的横截面如图所示，内导线半径为a ，载正向电流I ，圆筒形外导线的内外半径分别为b 和c ，载反向电流I ，求磁感应强度的分布．
j cm
30x z B O a b e d c y cm 30cm 50cm 40。
衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 稳恒磁场 习题解答一、填空题（每空1分）1、电流密度矢量的定义式为：dIj n dS ⊥=，单位是：安培每平方米（A/m 2） 。
2、真空中有一载有稳恒电流I 的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S 的磁通量? = 0 ．若通过S 面上某面元d S 的元磁通为d ?，而线圈中的电流增加为2I 时,通过同一面元的元磁通为d ?＇，则d ?∶d ?＇= 1:2 。
3、一弯曲的载流导线在同一平面内，形状如图1(O 点是半径为R 1和R 2的两个半圆弧的共同圆心，电流自无穷远来到无穷远去)，则O 点磁感强度的大小是2020100444R IR IR IB πμμμ-+=。
4小为πR 2c Wb。
5、如图2所示通有电流I 的两根长直导线旁绕有三种环路；在每种情况下，等于：对环路a ：dB l ⋅⎰=____μ0I __； 对环路b ：d B l ⋅⎰=___0____； 对环路c ：d B l ⋅⎰ =__2μ0I __。
6、两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线飞入匀强磁场，它们的质量之比是1∶4，电荷之比是1∶2，它们所受的磁场力之比是___1∶2__，运动轨迹半径之比是_____1∶2_____。
二、单项选择题（每小题2分）（ B ）1、均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为A. 2?r 2BB.??r 2BC. 0D. 无法确定的量（ C ）2、有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为A. 0.90B. 1.00C. 1.11D. 1.22（ D ）3、如图3所示，电流从a 点分两路通过对称的圆环形分路，汇合于b 点．若ca 、bd 都沿环的径向，则在环形分路的环心处的磁感强度A. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸内B. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸外C ．方向在环形分路所在平面内，且指向aD ．为零（ D ）（ C ）??绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感强度大小为B 1；此正方形同样以角速度??绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为A. B 1 = B 2B. B 1 = 2B 2 C ．B 1 =21B 2 D ．B 1 = B 2 /4 （ B ）6、有一半径为R 的单匝圆线圈，通以电流I ，若将该导线弯成匝数N = 2的平面圆线圈，导线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感强度和线圈的磁矩分别是原来的 (A) 4倍和1/8． (B) 4倍和1/2． (C) 2倍和1/4． (D) 2倍和1/2． 三、判断题（每小题1分，请在括号里打上√或×）（ × ）1、电源的电动势是将负电荷从电源的负极通过电源内部移到电源正极时，非静电力作的功。
三、稳恒磁场习题1. 有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为(A) 0.90． (B) 1.00． (C) 1.11 (D) 1.22． ［ C ］2. 边长为l 的正方形线圈中通有电流I ，此线圈在A 点(见图)产生的磁感强度B 为(A) l Iπ420μ． (B)l I π220μ．(C) l Iπ02μ． (D) 以上均不对． ［ A ］3. 通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ．(C) B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ．］120B B +=4. 无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面上均匀分布，则空间各处的B的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所示．正确的图是 ［ B ］5. 电流I 由长直导线1沿平行bc 边方向经a 点流入由电阻均匀的导线构成的正三角形线框，再由b 点沿垂直ac 边方向流出，经长直导线2返回电源(如图)．若载流直导线1、2和三角形框中的电流在框中心O 点产生的磁感强度分别用1B 、2B 和3B 表示，则O 点的磁感强度大小(A)B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0．(B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0，但，B 3 = 0．(C) B ≠ 0，因为虽然B 2 = 0、B 3= 0，但B 1≠ 0．(D) B ≠ 0，因为虽然，但B 3≠ 0．［ C ］120B B +≠6. 电流由长直导线1沿半径方向经a 点流入一电阻均匀的圆环，再由b 点沿切向从圆环流出，经长导线2返回电源(如图)．已知直导线上电流强度为I ，圆环的半径为R ，且a 、b 与圆心O 三点在同一直线上．设直电流1、2及圆环电流分别在O 点产生的磁感强度为1B 、2B及3B ，则O 点的磁感强度的大小(A)B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B) (B) B = 0，因为021=+B B，B 3 = 0．(C) B ≠ 0，因为虽然B 1 = B 3 = 0，但B 2≠ 0． (D) B ≠ 0，因为虽然B 1 = B 2 = 0，但B 3≠ 0． (E) B ≠ 0，因为虽然B 2 = B 3 = 0，但B 1≠ 0． ［ C ］7. 电流由长直导线1沿切向经a 点流入一个电阻均匀的圆环，再由b 点沿切向从圆环流出，经长直导线2返回电源(如图)．已知直导线上电流强度为I ，圆环的半径为R ，且a 、b 和圆心O 在同一直线上．设长直载流导线1、2和圆环中的电流分别在O 点产生的磁感强度为1B、2B 、3B ，则圆心处磁感强度的大小(A)B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0．(B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0，但021=+B B，B 3 = 0．(C) B ≠ 0，因为B 1≠ 0、B 2≠ 0，B 3≠ 0． (D) B ≠ 0，因为虽然B 3 = 0，但 ［ B ］120B B +≠8. 在半径为R 的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r 的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为a ，如图．今在此导体上通以电流I ，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上O ′点的磁感强度的大小为(A) 2202R a a I ⋅πμ (B) 22202R r a aI -⋅πμ(C)22202r R a a I-⋅πμ (D) )(222220a r R a a I -πμ ［ C ］9.一磁场的磁感强度为k c j b i a B ++= (SI)，则通过一半径为R ，开口向z 轴正方向的半球壳表面的磁通量的大小为_____ πR 2c _______Wb ．10. 在匀强磁场B 中，取一半径为R 的圆，圆面的法线n 与B成60°角，如图所示，则通过以该圆周为边线的如图所示的任意曲_____221R B π-面S 的磁通量__________________．11.一质点带有电荷q =8.0×10-10 C ，以速度v =3.0×105 m ·s -1在半径为R =6.00×10-3 m 的圆周上，作匀速圆周运动,该带电质点在轨道中心所产生的磁感强度B =____ 6.67×10-7 T ______________，该带电质点轨道运动的磁矩p m =______ 7.20×10-7a R r OO ′I任意曲面d m SB S ==⋅⎰⎰ΦA ·m 2 _____________．(μ0 =4π×10-7H ·m -1)12.载有一定电流的圆线圈在周围空间产生的磁场与圆线圈半径R 有关，当圆线圈半径增大时， (1)圆线圈中心点(即圆心)的磁场____减小 __________________． (2) 圆线圈轴线上各点的磁场__在2/R x <区域减小；在2/R x >区域增大．(x 为离圆心的距离) ________________________．13. 如图，平行的无限长直载流导线A 和B ，电流强度均为I ，垂直纸面向外，两根载流导线之间相距为a ，则 (1) AB 中点(P 点)的磁感强度=p B __0___________．(2) 磁感强度B沿图中环路L 的线积分=⎰⋅Ll B d __I 0μ-_________________．14. 一条无限长直导线载有10 A 的电流．在离它 0.5 m 远的地方它产生的磁感强度B 为___ 4×10-6 T ___________________．一条长直载流导线，在离它 1 cm 处产生的磁感强度是10-4 T ，它所载的电流为_____ 5 A _____________________．15. 两根长直导线通有电流I ，图示有 三种环路；在每种情况下，等于：d B l ⋅⎰_______________I 0μ_____________________(对环路a )． ___________0_________________________(对环路b )． _______________2I 0μ_____________________(对环路c )．16. 设氢原子基态的电子轨道半径为a 0，求由于电子的轨道运动(如图)在原子核处(圆心处)产生的磁感强度的大小和方向．16. 解：①电子绕原子核运动的向心力是库仑力提供的．即∶ 02202041a m a e v =πε，由此得 002a m e επ=v2分②电子单位时间绕原子核的周数即频率000142a m a e a ενππ=π=v 2分 由于电子的运动所形成的圆电流00214a m a e e i ενππ==因为电子带负电，电流i 的流向与 v 方向相反 2分 ③i 在圆心处产生的磁感强度002a i B μ=00202018a m a eεμππ= 其方向垂直纸面向外 2分17. 一根无限长导线弯成如图形状，设各线段都在同一平面内(纸面内)，其中第二段是半径为R 的四分之一圆弧，其余为直线．导线中通有电流I ，求图中O 点处的磁感强度．17.2解：将导线分成1、2、3、4四部份，各部分在O 点产生的磁感强度设为B 1、B 2、B 3、B 4．根据叠加原理O 点的磁感强度为：4321B B B B B+++= ∵ 1B 、4B 均为0，故 32B B B+= 2分)2(4102R I B μ= 方向 ⊗ 2分242)s i n (s i n 401203RIaIB π=-π=μββμ)2/(0R I π=μ 方向 ⊗ 2分 其中 2/R a =， 2/2)4/sin(sin 2=π=β2/2)4/s i n (s i n1-=π-=β ∴ R I R I B π+=2800μμ)141(20π+=R I μ 方向 ⊗ 2分18. 如图，1、3为半无限长直载流导线，它们与半圆形载流导线２相连．导线1在xOy 平面内，导线2、3在Oyz 平面内．试指出电流元1d l I 、2d l I 、3d l I 在O 点产生的Bd 的方向，并写出此载流导线在O 点总磁感强度(包括大小与方向)． 18. 解：电流元1d l I 在O 点产生1d B的方向为↓(-z 方向)电流元2d l I 在O 点产生2d B的方向为⊗(-x 方向)电流元3d l I 在O 点产生3d B的方向为⊗ (-x 方向) 3分kR I i R I B π-+ππ-=4)1(400μμ 2分19. 一根半径为R 的长直导线载有电流I ，作一宽为R 、长为l 的假想平面S ，y d l I 3l如图所示。
稳恒磁场习题答案稳恒磁场习题答案磁场是物理学中一个重要的概念，它在我们日常生活中扮演着重要的角色。
稳恒磁场习题是物理学中常见的练习题，通过解答这些习题，我们可以更好地理解磁场的性质和应用。
下面是一些常见的稳恒磁场习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 一根长直导线产生的磁场强度与距离的关系是怎样的？答：根据安培定律，长直导线产生的磁场强度与距离成反比关系。
即磁场强度随着距离的增加而减小。
2. 一根长直导线中心点的磁场强度为B，如果将导线弯成一个半径为r的圆环，中心点的磁场强度会发生怎样的变化？答：当将导线弯成一个半径为r的圆环后，中心点的磁场强度会变为零。
这是因为在圆环的中心点，由于对称性的原因，导线上的每一段磁场强度都会相互抵消，最终导致中心点的磁场强度为零。
3. 一个平面线圈中心的磁场强度与电流的关系是怎样的？答：根据比奥-萨伐尔定律，平面线圈中心的磁场强度与电流成正比关系。
即磁场强度随着电流的增加而增加。
4. 一个平面线圈中心的磁场强度与线圈的面积的关系是怎样的？答：一个平面线圈中心的磁场强度与线圈的面积成正比关系。
即磁场强度随着线圈的面积的增加而增加。
5. 一个平面线圈中心的磁场强度与距离的关系是怎样的？答：一个平面线圈中心的磁场强度与距离成反比关系。
即磁场强度随着距离的增加而减小。
6. 一个匀强磁场中，一个带电粒子的运动轨迹是怎样的？答：在一个匀强磁场中，一个带电粒子的运动轨迹是一个半径为r的圆。
这是因为带电粒子在匀强磁场中受到洛伦兹力的作用，该力垂直于带电粒子的速度和磁场方向，导致粒子做圆周运动。
7. 在一个匀强磁场中，一个带电粒子的运动速度对轨道半径的影响是怎样的？答：在一个匀强磁场中，一个带电粒子的运动速度对轨道半径没有影响。
这是因为带电粒子的运动速度只会影响圆周运动的周期，而不会影响圆周运动的半径。
8. 一个匀强磁场中，一个带电粒子的运动轨迹会受到哪些因素的影响？答：一个匀强磁场中，一个带电粒子的运动轨迹受到带电粒子的电荷量、质量、速度以及磁场的强度和方向的影响。
第五章 稳恒磁场设0x <的半空间充满磁导率为μ的均匀介质，0x >的半空间为真空，今有线电流沿z 轴方向流动，求磁感应强度和磁化电流分布。
解：如图所示令 110A I H e r = 220A IH e r= 由稳恒磁场的边界条件知，12t t H H = 12n n B B = 又 B μ= 且 n H H =所以 1122H H μμ= (1) 再根据安培环路定律H dl I ⋅=⎰得 12IH H rπ+= (2) 联立(1),(2)两式便解得，21120I I H r rμμμμπμμπ=⋅=⋅++012120I I H r rμμμμπμμπ=⋅=⋅++ 故， 01110IB H e r θμμμμμπ==⋅+ 02220IB H e rθμμμμμπ==⋅+ 212()M a n M M n M =⨯-=⨯ 220()B n H μ=⨯-00()0In e rθμμμμπ-=⋅⋅⨯=+ 222()M M M J M H H χχ=∇⨯=∇⨯=∇⨯0000(0,0,)zJ Ie z μμμμδμμμμ--=⋅=⋅++ 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势A 的微分方程，设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。
？解： 由电流分布的对称性可知，导体内矢势1A 和导体外矢势2A 均只有z e 分量，而与φ，z 无关。
由2A ∇的柱坐标系中的表达式可知，只有一个分量，即 210A J μ∇=- 220A ∇= 此即101()A r J r r r μ∂∂=-∂∂21()0A r r r r∂∂=∂∂ 通解为 21121ln 4A Jr b r b μ=-++212ln A c r c =+ 当0r =时，1A 有限，有10b =由于无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，设r a =时， 120A A ==,得202121ln 04Ja b c a c μ-+=+=)又r a =时，12011e A e A ρρμμ⨯∇⨯=⨯∇⨯，得 112c Ja a μ-=所以 2221220111,,224c Ja c Ja b Ja μμμ=-=-=所以， 22101()4A J r a μ=--221ln 2a A Ja rμ=写成矢量形式为 22101()4A J r a μ=--221ln 2a A Ja rμ=设无限长圆柱体内电流分布，0()z J a rJ r a =-≤求矢量磁位A 和磁感应B 。
解：建立坐标系如图所示，电流分布为 0,z J a rJ =- r a ≤ 0= ， r a > 从电流分布可以知道磁矢位仅有z 分量，即 z z A A a = 且满足方程 20A J μ∇=-~设在圆柱体内磁位是1A 圆柱体外磁位是2A ，则 当r a ≤时，1001()A r rJ r r rμ∂∂=+∂∂ 当r a ≥时，21()0A r r r r∂∂=∂∂ 所以 3100121ln 9A J r C r C μ=++234ln A C r C =+ 其中1234,,,C C C C 是待定常数。
由于0r =处磁矢位不应是无穷大，所以10C =。
利用边界条件，有 320019C J a μ=-；330013C J a μ=；34001ln 3C J a a μ=-最后得： 3311000011()99z z A a A J r J a a μμ==-33001()9z J r a a μ=-—322001ln 3z z rA a A J a a aμ==由B A =∇⨯得： 21110013A B A a J r a r ϕϕμ∂=∇⨯=-=-∂ 32220013z A B A a J a a r rϕμ∂=∇⨯=-=-∂载有电流的细导线，右侧为半径的半圆弧，上下导线相互平行，并近似为向左侧延伸至无穷远。
试求圆弧中心点处的磁感应强度。
解： 对圆弧中心点O 的磁感应强度，可认为是半圆弧电流与两条半直线电流，分别在O 点产生的磁感应强度的叠加。
：对于半圆弧在O 点产生的磁感应强度1B ，可用毕奥-萨伐定律求得为014IB Rμ=方向沿垂直纸面向外。
同样一根半长直线在O 点产生的磁感应强度'2B 为 '024IB Rμπ= 方向沿垂直纸面向外。
故O 点处的磁感应强度'122B B B =+⨯ 00244I IB R Rμμππ=+⨯ 代入数值得】55.110()B T -=⨯ 方向沿垂直纸面向外。
两根无限长直导线，布置于1,0x y =±=处，并与z 轴平行，分别通过电流I 及I -，求空间任意一点处的磁感应强度B 。
解：无限长直导线产生的矢量磁位为 00ln 2z I r A a rμπ=0r 为有限值。
对于本题，可利用叠加原理，p 点的矢量磁位可看做是位于1x =-处的长直导线产生的矢量磁位和位于1x =+处的长直导线产生的矢量磁位的叠加，即 00012(ln ln )2z I r rA a r r μπ=- 021ln 2zI r a r μπ= <20212cos ln()212cos zI r r a r r μϕπϕ++=+- 根据1()z zz z r A A B A a A a a r r φφ∂∂=∇⨯=∇⨯=-+∂∂ 有202212(1)sin r I r B r r μφπ+=-202212(1)cos I r B r r ϕμφπ-=0z B =半径的磁介质球，具有磁化强度为2()z M a Az B =+ 求磁化电流和磁荷。
解: 球内：等效磁化电流体密度为@等效磁荷体密度为m J M =∇⨯221()()0r a Az B a Az B r rϕϕ∂∂=+-+=∂∂ 等效磁荷密度为2m z M M Az zρ∂=-∇⋅=-=-∂ 球表面：磁化面电流密度为sm z r J M n a M a =⨯=⨯ 因球面上 cos z a θ=故 2[(cos )]sin sm J a A a B ϕθθ=+ 其磁荷面密度为 2[(cos )]cos m n M a A a B ϕσθθ=⋅=+已知两个相互平行，相隔距离为d ，共轴圆线圈，其中一个线圈的半径为a ()a d <，另一个线圈的半径为b ，试求两线圈之间的互感系数。
】解：如图所示，设1C 中电流为1I ，在轴线上产生的磁场为 21132222()z I b B b d μ=+因da ，可认为B 在包围的面积2S 上是均匀的，所以2201211232222()I b B S a b d μϕπ==+根据互感系数的定义，得/22021322212()a b M I b d μπϕ==+两平行无限长直线电流1I 和2I ，相距为d ，求每根导线单位长度受到的安培力m F 。
解： 一根无限长直导线电流的磁场 0112I B a rϕμπ= 另一根直导线电流的电流元22I dl 受到磁场力 221dF I dl B =⨯ 01222I I dl a ϕμπ=⨯01222x I I a dl dμπ=- 故单位长受力 0122m xI I F a dμπ=- "一个薄铁圆盘，半径为a ，厚度为b ()b a ，如题图所示。
在平行于z 轴方向均匀磁化，磁化强度为M 。
试求沿圆铁盘轴线上、铁盘内、外的磁感应强度和磁场强度。
解 由于铁盘均匀磁化，且磁化方向沿z 正向，故令z M Me =，其中M 为常数。
由此可知磁化电流面密度0m J M =∇⨯=铁盘上、下底面的磁化电流线密度()10m n z z K M e Me e =⨯=⨯±=题图铁盘侧面周边边缘上的磁化电流线密度m n z K M e Me e Me ρφ=⨯=⨯=这样可将圆盘视为相当于m I K b =的圆形磁化电流，求此电流在各处产生的磁场。
又由于ba ，可视为圆环电流产生的磁场。
在铁盘轴线上产生的磁场为()()22003232222222Ia Mba B z az aμμ==++()2322202BMba H z aμ==+B 、H 的方向沿z 方向。
铁盘内由于0μμ，可得001B M μμμ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0B M μ≈ 在铁盘内是均匀分布的磁场。
均匀磁化的无限大导磁媒质的磁导率为μ，磁感应强度为B ，若在该媒质内有两个空腔，，空腔1形状为一薄盘，空腔2像一长针，腔内都充有空气。
试求两空腔中心处磁场强度的比值。
解 此题由于空腔的形状可以利用边界条件确定空腔内的场分布。
对空腔1其中心处的场强与侧边界的场强相同。
由于B 在其法线方向，由分界面上的边界条件12n n B B =，可得到中心点的磁感应强度1B B =，10H H μμ=。
题 图对空腔2侧面是沿B 的方向，由分界面上的边界条件12t t H H =，可得中心点处的磁场强度2H H =，02B B μμ=。
两空腔中心处磁场强度的比值为120H H H Hμμμμ==两个无限大且平行的等磁位面D 、N ，相距h ，10mD ϕ=A ，0mN ϕ=。
其间充以两种不同的导磁媒质，其磁导率分别为10μμ=，202μμ=，分界面与等磁位面垂直，求媒质分界面单位面积受力的大小和方向。
解 根据m H ϕ=-∇则10mD mNH hhϕϕ-==，方向沿分界面切线方向。
利用分界面上的边界条件，1210t t H H h==，则 010110B H h μμ==202202B H hμμ==利用磁感应线管，沿分界面法向受到侧压力，故单位面积受力的大小为0012112251122f f f B H B H hμ=-=-=- 00f <，说明作用力沿媒质2指向媒质1，即从磁导率大的媒质指向磁导率小的媒质。
题图长直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面，如题图()a 所示。
证明：直导线与矩形回路间的互感为()012122222ln 22aRM b R C b R μπ=-⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦题图()a题图()b解 设长直导线中的电流为I ，则其产生的磁场为 02I B rμπ=由题图()b 可知，与矩形回路交链的磁通ψ为1000121ln 222R SRI aI aI RB dS dr r R μμμψπππ===⎰⎰其中 (12122212R C b R b ⎡⎤⎡=++=++⎢⎥⎣⎣⎦故直导线与矩形回路间的互感为12200122ln ln 22R b a a R M I R R μμψππ⎡++⎣⎦===()012122222ln 22aRb R C b R μπ=-⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦一环形螺线管的平均半径015r cm =，其圆形截面的半径2a cm =，铁芯的相对磁导率1400r μ=，环上绕1000N =匝线圈，通过电流0.7I A =。
