一元二次方程△和根与系数关系

一元二次方程根与系数的关系设ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=-，x 1.x 2=.证明：ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1,x 2,一元二次方程根与系数的关系的应用： （一）已知方程，利用根与系数1、不解方程，整体代换求含x 1,x 2的代数式的值例1：设方程x 2+3x+1=0的两根为x 1,x 2,求下列各式的值：（1）x 12+x 22（2）11x +21x （3）（x 1-3）（x 2-3）（4）（x 1-x 2）2（5）｜x 1-x 2｜2、已知含x 1,x 2的代数式的值，求方程中待定字母系数的值例2：（1）已知方程x 2+kx+k=0有两个实数根，且两根的平方和为3，求k 的值。

解：依题意：△≥0，x 12+x 22=3x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1.x 2-k 2-2k=3k 2+2k-3=0(k-1)(k+3)=0 k 1=1 k 2=-3△= k2-4k ，当k 1=1时，△＜0，应舍去，当k 2=-3时，△＞0，所以k=-3当k=-3时，两根的平方和为3。

归纳小结：△≥0是实系数一元二次方程根与系数关系的前提。

（2）若方程2x 2-mx-4=0的两个实数根x 1,x 2满足11x +21x =2，求m 的值。

（3）已知方程x 2-4x+6k=0有两个实数根的平方差为8，求k 的值。

3、一元二次方程的特殊根及根的分布 （1）一元二次方程的特殊根 ①若方程两根相等，则△＝0； ②若方程两根互为倒数，则x 1.x 2=1且△＞0；③若方程两根互为相反数，则x 1+x 2=0，即b=0且△＞0；④若方程两根绝对值相等，则△＝0或b=0且△＞0； ⑤若方程有一根为0，则c=0； ⑥若方程有一根为1，则a+b+c=0； ⑦若方程有一根为-1，则a-b+c=0；练习题：（1）已知关于x 的一元二次方程x 2+(m 2-9)x+m-1=0，当两根互为相反数时，m= ,若方程两根互为倒数，m= 。

一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的解也是数学中的基础知识之一。

在本文中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。

一元二次方程的一般形式为： ax^2 + bx + c = 0 （其中，a、b、c为实数且a ≠ 0）这个方程中的根可以通过求解方程来得到。

一元二次方程的解可以分为三种情况，具体取决于判别式的值（Δ=b^2 - 4ac）。

1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。

这是最常见的情况，我们可以通过求解公式 x = (-b ± √Δ) / (2a) 来找到这两个根。

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。

这被称为方程的重根，解可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。

3. 当Δ < 0时，方程没有实根。

在这种情况下，方程的解为复数根，我们可以用公式 x = (-b ± i√|Δ|) / (2a) 求得复数根，其中i是虚数单位。

根据以上三种情况，我们可以看出方程的根与系数之间的关系：1. 根与系数的和：根与系数的和是一个常数，可以通过视方程的一元一次项来确定。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的和可以表示为 -b / a。

这是因为根的和可以通过展开方程 (x-α)(x-β) =0 和整理可得的公式(α + β) = -b / a 来求得。

2. 根与系数的积：根与系数的积也是一个常数，可以通过方程的常数项来确定。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的积可以表示为 c / a。

这是因为根的积可以通过展开方程 (x-α)(x-β) = 0 和整理可得的公式(αβ) = c / a 来求得。

3. 系数的平方与根的乘积：系数的平方与根的乘积也是一个常数，它等于方程的常数项除以方程的二次项系数的平方。

即(α + β)(αβ) = c / a^2。

通过以上的分析，我们可以得出一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用这些关系来推断方程的性质和求解方程。

⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些
韦达定理指出了⼀元⼆次⽅程根与系数的关系，让我们⼀起来了解⼀下吧。

下⾯是由店铺编辑为⼤家整理的“⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些”，仅供参考，欢迎⼤家阅读本⽂。

⼀元⼆次⽅程根与系数的关系
韦达定理指出：⼀元⼆次⽅程中两根的和等于它的⼀次项系数除以⼆次项系数所得的商的相反数;两根的积等于它的常数项除以⼆次项系数所得的商。

设⼀元⼆次⽅程ax²+bx+c=0中(a，b，c∈R，a≠0)，设此⼀元⼆次⽅程有两根x₁、x₂，有如下关系：
由⼀元⼆次⽅程求根公式如下：
达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

⼀元⼆次⽅程的根的判别式为：△=b2-4ac(a，b，c分别为⼀元⼆次⽅程的⼆次项系数，⼀次项系数和常数项)。

根的判别式是判定⽅程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。

⽆论⽅程有⽆实数根，实系数⼀元⼆次⽅程的根与系数之间适合韦达定理。

判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定⼀元⼆次⽅程根的状况和特征。

韦达定理为数学中的⼀元⽅程的研究奠定了基础，对⼀元⽅程的应⽤创造开拓了⼴泛的发展空间。

已知两个根其中的⼀个，就可以代⼊韦达定理的关系式⾥求得另⼀个根，并且还可以⽤另⼀个关系式来检验。

公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点总结和重难点精析一、引言九年级数学中，一元二次方程是一个重要的知识点。

公式法解一元二次方程是求解一元二次方程的一种重要方法，而根与系数的关系也是这个知识点的重要组成部分。

掌握公式法解一元二次方程和根与系数的关系，对于提高学生解决数学问题的能力具有重要意义。

二、知识点总结1.一元二次方程的基本形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。

它的解是x= [-b ±√(b²-4ac)] / 2a。

2.根与系数的关系是指一元二次方程的两个根x1和x2与方程的系数a、b、c之间的相互关系。

根据一元二次方程的求根公式，两个根的和为-b/a，两个根的积为c/a。

三、重难点精析1.应用公式法解一元二次方程时，首先需要将方程化为一般形式，并确定a、b、c的值。

难点在于如何找到a、b、c的值，需要根据题目中的条件进行转化。

2.根与系数的关系是难点之一，需要理解两根之和与两根之积的意义。

在解题中，通常利用根与系数的关系来求方程中字母系数的值或用字母代数式表示方程的两个根。

四、练习题1.用公式法解下列一元二次方程：(1)x²-6x+9=0;(2)3x²+4x-7=0;(3)y²+2y-1=0;(4)2x²-5x+3=0;2.已知方程x²-7x+12=0的两个根是x1和x2.求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1);(2)(x1-1)(x2-1)3.根据下列各组中根与系数的关系，求下列各式的值：(1)已知x1、x2是方程x²-5x+6=0的两个根，求x1²+x2²的值;(2)已知x1、x2是方程x²-7x+12=0的两个根，求x1³-x2³的值。

五、总结本文总结了九年级数学中公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点，包括了一元二次方程的基本形式、解法以及根与系数的关系等重要内容。

一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

方程的根是使方程成立的x值。

在这篇文章中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。

首先，我们来看一元二次方程的根的求解公式，x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。

这个公式告诉我们，方程的根取决于方程的系数a、b和c。

1. 系数a的影响：
当a>0时，抛物线开口向上，方程有两个实根或没有实根。

当a<0时，抛物线开口向下，方程有两个实根。

2. 系数b的影响：
系数b影响方程的根的位置，它决定了根的和与积的关系。

当b>0时，两个根的和为负值，两个根的积为正值。

当b<0时，两个根的和为正值，两个根的积为正值。

3. 系数c的影响：
系数c决定了方程的常数项，它影响方程的根的大小。

当c>0时，两个根都是负数。

当c<0时，两个根一个是正数，一个是负数。

通过分析上述关系，我们可以看出，方程的根与系数之间存在着一定的关联。

系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了根的和与积的关系，系数c决定了根的大小。

因此，我们可以通过观察方程的系数来初步判断方程的根的性质。

总之，一元二次方程的根与系数之间存在着密切的关系，通过对系数的分析，我们可以初步了解方程根的性质。

这种关系不仅有助于我们更好地理解方程的性质，也为我们解决实际问题中的应用提供了一定的指导。

一元二次方程（2）★★知识点精讲1. 一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为△= . （1）△＞0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根，即=2,1x .（2）△ = 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根，即==21x x .（3）△＜0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.（4）△ ≥ 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2． 一元二次方程根与系数的关系（1）如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .（2）如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两个根是1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .3. 不解方程，求二次方程的根x 1,x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①222121212()2x x x x x x +=+- ； ②12121211x x x x x x ++= ； ③22121212()()4x x x x x x -=+- ； ④2121212||()4x x x x x x -=+-.★★典例讲解及思维拓展 ●例1．不解方程，判定方程根的情况（1）x 2-7x-18=0 ； （2）9x 2+6x+1=0；（3）2x 2=9x-8 ； （4）16x 2+8x=-3 .★刘老点津★ 1.使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.2.按照“一求二判”的思路来完成。

“一求”是指第一步求方程中“△”的值，“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。

●例2．求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.练习和拓展及思维能力提升1 1、（1）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2x -2x-1=0 B. 2x -2x+3=0 C. 2x =23x-3 D. 2x -4x+4=0（2）关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ） A ．0B ．8C ．42±D ．0或8（3）关于x 的一元二次方程2x -mx+(m-2)=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D.无法确定 （4）如果关于x 的一元二次方程2k 2x -(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A.k>-14 B.k>-14且k ≠0 C.k<-14 D.k ≥-14且k ≠0 2、 m 为何值时，方程0m x 10x 32=+- ①有两个相等的实数根；②无实数根；③有两个不相等的实数根.●例3．已知x x 21,是方程01322=-+x x的两个根，不解方程，求下列代数式的值.xx 2122)1(+ ； xx2111)2(+ ；)3)(321)(3(--x x ；))(4(212x x - ；x x x x 212122)5(⋅+⋅ ； xxx x 2112)6(+ .★刘老点津★ 1.运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x 1+x 2和x 1x 2表示的代数式．2.求关于一元二次方程的根的代数式的值的方法：遇平方，先配方；遇括号，先展开；遇分式，先通分；遇公因式，先提出；遇两根差，先平方，再开方。

第3天一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题【知识回顾】1．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，12bx xa+=-，12cx xa⋅=．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：△不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．△已知方程及方程的一个根，求另1一个根及未知数．△不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．△判断两根的符号．△求作新方程．△由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．3．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．一．选择题（共10小题）1．（2020·云南一模）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则11+αβ的值是（）A．13-B．13C．﹣3D．3【答案】B【解析】△α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，△α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，则11+-21 +===-63αβαβαβ，故选B．2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）下列一元二次方程两实数根和为-42的是（）A．2240x x--=B．2440x x-+= C．24100x x++=D．2450x x-=+【答案】D【解析】A中1222 1x x -+=-=，故错误；B中12-44 1x x+=-=，故错误；C中24164024＜0b ac∆=-=-=-，故错误；D中124-4 1x x+=-=，故准确；故答案选D．3．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）方程22310m m-+=和方程224m m-=-所有实数根之和为（）A．72B．32C．32-D．92【答案】B【解析】34△方程22310m m -+=根的判别式2=(-3)42110∆-⨯⨯=＞△方程22310m m -+=有两个实数根△两根之和为32△方程224m m -=-的根的判别式2=(-2)414-120∆-⨯⨯=＜△方程224m m -=-无实数根△方程22310m m -+=和方程224m m -=-所有实数根之和为32故选：B 4．（2020·渠县第四中学期中）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值是（ ）A ．1B ．3C ．－1D ．－3 【答案】B【解析】由题意知：122x x +=，12-1x x ⋅=，△原式＝2－（－1）＝3故选B ．5．（2020·江苏如东二模）若x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值是（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．5D ．15【答案】C【解析】根据题意得x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣2，所以x 1+x 2﹣x 1•x 2=3﹣(﹣2)=5．故选：C ．6．（2020·内蒙古海勃湾期末）一元二次方程2310x x -+=的两个根为12,x x ，则2121232x x x x ++-的值是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D【解析】 1x 为一元二次方程2310x x -+=的根，21131x x ∴=-，2121232x x x x ∴++-=()12121212313233x x x x x x x x -++-=++-．根据题意得123x x +=，121=x x ，212123233137x x x x ∴++-=⨯+-=．故选：D ．7．（2020·银川市第十五中学一模）已知关于x 的方程x 2－4x ＋c ＋1＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为( )A．－1B．3C．1D．0【答案】B【解析】△方程x2−4x+c+1=0有两个相等的实数根，△△=(−4)2−4(c+1)=12−4c=0，解得：c=3.故答案选B.8．（2019·广东郁南月考）某中学要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，求参加的球队支数，如果设参加的球队支数为x，则可列方程为（）A．12x（x+1）=21B．x（x+1）=21C．12x（x﹣1）=21D．x（x﹣1）=21【答案】C【解析】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：12x（x-1）=21，故选：C．9．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的一根，则这个三角形的周长为( )67A ．7B ．3或7C ．15D ．11或15【答案】C【解析】x 2−10x+21=0，(x−3)(x−7)=0，则x−3=0，x−7=0，解得：x=3或7， 当x=3时，2+3=5<6，不能组成三角形，故x=3不合题意舍去，当x=7时，2+6=8>7，可以组成三角形，则三角形的周长为2+6+7=15，故答案选C.10．（2020·湖南隆回一模）扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）A ．()()3302020304x x --=⨯⨯B ．()()130********x x --=⨯⨯8C ．130********x x +⨯=⨯⨯ D ．()()33022020304x x --=⨯⨯ 【答案】D【解析】 设花带的宽度为xm ，则可列方程为330220203(4())0x x --=⨯⨯， 故选D ．二．填空题（共5小题） 11．（2020·江苏高淳期末）一元二次方程x 2+mx+2m=0的两个实根分别为x 1，x 2，若x 1+x 2=1，则x 1x 2=______.【答案】-2．【解析】根据题意得x 1+x 2=-m=1，x 1x 2=2m ，所以m=-1，所以x 1x 2=-2．12．（2020·温州市第二十三中学）已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，则方程的另一个根是___________．【答案】-4【解析】因为已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，9 所以由12b x x a+=-得2226,4x x -+=-∴=-． 故答案为-4． 13．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若,a b 是方程2220060x x +-=的两根，则23a a b ++= ．【答案】2004．【解析】2220060x x +-=的两根△a+b=-2，222006a a +=，△223=2+a =2006-2=2004++++a a b a a b故答案为：200414．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）如果关于x 的一元二次方程()20ax b ab =>的两个根分别是11x m =+与224x m =-，那么b a的值为__________. 【答案】4【解析】方程化为一般式为：ax 2-b=0x 1+x 2=m+1+2m -4=0 △x 1·x 2=（m+1）（2m -4）=-b a △10解方程△，得m=1把m=1代入△，得b a=-2×（-2）=4. 故答案为：4.15．（2019·上海交大附中）设方程( 1) (11)(11)(21)x x x x ++++++(1)(21)0x x ++=的两根为12,x x ，则()()1211x x ++=______． 【答案】2003【解析】(1)(11)(11)(21)1)(20(1)x x x x x x ++++++++=， 221211x x x ∴++++23223122210x x x ++++=， 23662630x x ∴++=．△3a =，66b =，263c =，224664326343563156b ac ∆=-=-⨯⨯=-=12000>， 1212263223x x b a a x c x =-=∴+=-=，． ()()()1212122631112213x x x x x x ++=+++=-+=2003． 故答案为：2003． 三．解析题（共5小题）1116．（2019·广东郁南月考）关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】(1)△Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，△－8k ＋4≥0，△k ≤12； (2)△x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，△2(k －1)＝1－k 2，△k 1＝1，k 2＝－3.△k ≤12，△k ＝－3. 17．（2020·甘肃省庆阳市第五中学期末）已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得()22121216x x x x +-=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）14k ≤；（2）存在这样的实数k ，k 的值为3-． 【解析】（1）由题意得：方程的根的判别式[]22(21)4(2)0k k k ∆=-+-+≥，12 解得14k ≤； （2）由一元二次方程根与系数的关系得：2121221,2x x k x x k k +=+=+，则()()2222121211221223x x x x x x x x x x +-=++-， ()212123x x x x =+-， ()()222132k k k =+-+， 221k k =-+，当()22121216x x x x +-=时，22116k k -+=， 即22150k k --=，因式分解得：(3)(5)0k k +-=，解得3k =-或154k =>（不符题意，舍去）， 故存在这样的实数k ，k 的值为3-．18．（2020·四川南充月考）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求m 的取值范围.（2）若221212x x +=，求211214x x x x +-的值.13【答案】（1）0m >；（3）0【解析】（1）△1a =，2b m =-，2c m m =-，△()()2224241b ac m m m =-=--⨯⨯- 40m =>△0m >；（2）由根与系数的关系，得：212122x x m x x m m +==-，，△221212x x +=，△()21212212x x x x +-=，△()224212m m m --=， △2+60m m -=，解得2m =或3m =-（舍去），△原方程为2420x x -+=，△212112420x x x x =-+=，，△211214220x x x x +-=-+=．19．（2020·湖南茶陵期末）已知关于x 的一元二次方程240x x m -+=．14（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实根为12,x x ，且满足12326x x +=，求实数m 的值．【答案】（1）4m ≤；（2）12=-m ．【解析】（1）△原方程有实数根，△方程的根的判别式1640m ∆=-≥，解得4m ≤；（2）由一元二次方程的根与系数的关系得：12441x x -+=-=， 又121211322()246x x x x x x +=++=⨯+=，12x ∴=-，将12x =-代入原方程得：2(2)4(2)0m --⨯-+=，解得12=-m ．20．（2020·渠县第四中学期中）某商场试销一件成本为60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y ＝kx ＋b ，且x ＝65时，y ＝55；x ＝75时，y ＝45．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若该商场想获得利润500元，求销售单价．【答案】（1）y ＝－x ＋120(60≤x≤120)；（2）销售单价为70元或110元．【解析】解：(1)根据题意，得6555 7545k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1120 kb=-⎧⎨=⎩△一次函数关系式为y＝－x＋120(60≤x≤120)．(2)(－x＋120)(x－60)＝500，整理得x2－180x＋7700＝0．解得x1＝70，x2＝110，答：当销售单价为70元或110元时，该商场获得500元利润．15。