指数函数讲义与练习(含答案)

第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <a <b答案A 解析因为a ＝243＝423，b ＝425，所以a ＝423>425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b答案A解析由已知可得a ＝2，b ＝2，c ＝2，则a ，b ，c 可分别看作直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的图象的交点的横坐标，画出直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的大致图象，如图所示，由图象可知a <b <c .故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()＝n 7m 17(n >0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．1<a <b答案ABC解析由题意，在同一坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，所以A 可能成立；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。

第五讲指数函数1.根式和分数指数幂1.根式(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，na n＝a，当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，－a，a<0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s；(a r)s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.2.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质当x<0时，y >1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是减函数考点一有理数指数幂及根式【例题1.1】化简的结果为（）A．a16B．a8C．a4D．a2【解答】解：＝＝a4故选：C．【例题1.2】已知函数f（x）＝a x+a﹣x，且f（1）＝3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（）A．14B．13C．12D．11【解答】解：由题意，函数f（x）＝a x+a﹣x，且f（1）＝3，可得a+＝3，又f（2）＝a2+a﹣2＝﹣2＝7，f（0）＝1+1＝2所以f（0）+f（1）+f（2）＝2+3+7＝12故选：C．【例题1.3】方程4x﹣2x+1﹣3＝0的解是．【解答】解：∵4x﹣2x+1﹣3＝0∴（2x）2﹣2×2x﹣3＝0∴（2x﹣3）（2x+1）＝0∵2x＞0∴2x﹣3＝0∴x＝log23故答案为x＝log23【变式1.1】的分数指数幂表示为（）A．B．a3C．D．都不对【解答】解：＝＝＝＝．故选：C．【变式1.2】已知f（x）＝3x+3﹣x，若f（a）＝4，则f（2a）＝（）A．4B．14C．16D．18【解答】解：∵f（x）＝3x+3﹣x，∴f（a）＝3a+3﹣a＝4，平方得32a+2+3﹣2a＝16，即32a+3﹣2a＝14．即f（2a）＝32a+3﹣2a＝14．故选：B．【变式1.3】方程的解是．【解答】解：由方程化为2•32x﹣7•3x﹣4＝0，化为（2•3x+1）（3x﹣4）＝0，∴3x﹣4＝0，解得x＝2log32．故答案为：x＝2log32．考点二指数函数的定义域、值域【例题2.1】函数y＝的值域是（）A．（0，1）B．（0，1]C．（0，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：∵函数y＝＝＝1﹣，当x∈R时，2x＞0，∴2x+1＞1，∴0＜＜1，∴﹣1＜﹣＜0，∴0＜1﹣＜1；即y＝的值域是（0，1）．故选：A．【例题2.2】若函数定义域为R，则a的取值范围是[﹣1，0]．【解答】解：∵函数定义域为R∴≥0恒成立即x2+2ax﹣a≥0恒成立则△＝（2a）2+4a≤0，解得﹣1≤a≤0故答案为：[﹣1，0]【例题2.3】函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b＝g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．【解答】解：根据选项可知a≤0a变动时，函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|＝16，b＝4故选：B．【变式2.1】函数﹣1的值域为（）A．[1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，1）【解答】解：因为4﹣2x≥0，所以x≤2，即函数的定义域是（﹣∞，2]，令t＝4﹣2x，则t∈[0，4），所以，所以y∈[﹣1，1），即函数的值域是[﹣1，1），故选：D．【变式2.2】设x1＜x2，定义区间[x1，x2]的长度为x2﹣x1，已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1【解答】解：当x≥0时，y＝2x，因为函数值域为[1，2]即1＝20≤2x≤2＝21，根据指数函数的增减性得到0≤x≤1；当x≤0时，y＝2﹣x，因为函数值域为[1，2]即1＝20≤2﹣x≤2＝21，根据指数函数的增减性得到0≤﹣x≤1即﹣1≤x≤0．故[a，b]的长度的最大值为1﹣（﹣1）＝2，最小值为1﹣0＝1或0﹣（﹣1）＝1，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1故答案为1【变式2.3】定义运算：则函数f（x）＝3﹣x⊗3x的值域为（0，1]．【解答】解：如图为y＝f（x）＝3﹣x⊗3x的图象（实线部分），由图可知f（x）的值域为（0，1]．故答案为：（0，1]．考点三指数函数的图像与性质【例题3.1】函数y＝e﹣|x﹣1|的图象大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝e﹣|x﹣1|＝，∴函数函数y＝e﹣|x﹣1|的图象大致形状是：故选：B．【例题3.2】已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x+b的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：观察f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）＝a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；故选：A．【变式3.1】若a＞0且a≠1，函数y＝|a x﹣2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是．【解答】解：①：当a＞1时，作出函数y＝|a x﹣2|图象：若直线y＝3a与函数y＝|a x﹣2|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜3a＜2，此时无解．②当0＜a＜1时，作出函数y＝|a x﹣2|图象：若直线y＝3a与函数y＝|a x﹣2|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜3a＜2，∴0＜a＜．综上：a的取值范围是．【变式3.2】已知函数f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x+b|的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4+＝x+1+﹣5≥2﹣5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1∴a＝2，b＝1，此时g（x）＝2|x+1|＝，此函数可以看成函数y＝的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A正确，故选：A．考点四指数函数的单调性【例题4.1】若函数f（x）＝a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【解答】解：由f（1）＝，得a2＝，于是a＝，因此f（x）＝（）|2x﹣4|．因为g（x）＝|2x﹣4|在[2，+∞）上单调递增，所以f（x）的单调递减区间是[2，+∞）．故选：B．【例题4.2】函数f（x）＝（）在区间[1，2]上是单调减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣4B．a≤﹣2C．a≥﹣2D．a＞﹣4【解答】解：记u（x）＝x2+ax＝（x+）2﹣，其图象为抛物线，对称轴为x＝﹣，且开口向上，∵函数f（x）＝（）在区间[1，2]上是单调减函数，∴函数u（x）在区间[1，2]上是单调增函数，而u（x）在[﹣，+∞）上单调递增，所以，﹣≤1，解得a≥﹣2，故选：C．【例题4.3】定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时．f（x）＝2x，则满足f（1﹣2x）＜f（3）的x取值范围是（﹣1，2）．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时．f（x）＝2x，即偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数∴自变量的绝对值越大函数值越大∴f（1﹣2x）＜f（3）⇔|1﹣2x|＜3⇔﹣3＜1﹣2x＜3⇔﹣1＜x＜2故答案为（﹣1，2）【变式4.1】函数f（x）＝（）的单调递增区间是（﹣∞，1）．【解答】解：设u（x）＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，对称轴为x＝1，则u（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，而f（x）＝，底∈（0，1），所以，u（x）的单调性与f（x）的单调性相反，即f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故填：（﹣∞，1）（区间右端点可闭）．【变式4.2】已知函数f（x）＝，若f（a2﹣2）＞f（a），则实数a的取值范围是﹣1＜a＜2．【解答】解：f（x）＝2﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减函数f（x）＝﹣x2﹣2x在（0，+∞）上单调递减函数而函数在x＝0处连续∴函数f（x）在R上是单调递减函数而f（a2﹣2）＞f（a），∴a2﹣2＜a，解得a∈（﹣1，2）．故答案为：﹣1＜a＜2．【变式4.3】已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是[﹣1，0）．【解答】解：①若f（x）在R上单调递增，则有，解得a∈∅；②若f（x）在R上单调递减，则有，解得﹣1≤a＜0，综上所述，得实数a的取值范围是[﹣1，0）．故答案为：[﹣1，0）．考点五指数型复合函数的的性质及应用【例题5.1】设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）A．若2a+2a＝2b+3b，则a＞b B．若2a+2a＝2b+3b，则a＜bC．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＜b【解答】解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b，∴若2a+2a＝2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；对于2a﹣2a＝2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D．故选：A．【例题5.2】若函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）＝（1﹣4m）x在R内是单调增函数，则a＝．【解答】解：若函数g（x）＝（1﹣4m）x在R内是单调增函数，则1﹣4m＞0，则m．若a＞1，∵函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，∴a2＝4，m＝解得a＝2，m＝不满足m．若0＜a＜1，∵函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，∴，m＝a2，解得a＝，m＝满足m．∴a＝故答案为：．【例题5.3】已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是﹣3＜m＜5．【解答】解：不等式等价为，即x2+x＜2x2﹣mx+m+4恒成立，∴x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，即△＝（m+1）2﹣4（m+4）＜0，即m2﹣2m﹣15＜0，解得﹣3＜m＜5，故答案为：﹣3＜m＜5．【变式5.1】已知函数f（x）在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]＝4，则f（4）的值是（）A．85B．82C．80D．76【解答】解：设f（x）﹣3x＝t．则f（x）＝3x+t，且f（t）＝4，令x＝t，则f（t）＝3t+t＝4，∵f（x）在R上是单调函数，∴解得t＝1，∴f（x）＝3x+1，∴f（4）＝34+1＝82，故选：B．【变式5.2】对于函数f（x）＝4x﹣m•2x+1，若存在实数x0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，则实数m的取值范围是（）A．m B．m C．m≤1D．m≥1【解答】解：∵f（x）＝4x﹣m•2x+1，f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴﹣m•＝﹣+m•，∴m（+）＝+，∴2m＝＝＝+﹣，令t＝+，则t≥2，∴2m＝t﹣（t≥2），∵函数y＝t与函数y＝﹣在[2，+∞）上均为单调递增函数，∴2m＝t﹣（t≥2）在[2，+∞）上单调递增，∴当t＝2时，2m＝t﹣（t≥2）取得最小值1，即2m≥1，解得：m≥．故选：B．考点六指数函数的实际应用【例题6.1】已知指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）过点（﹣2，9）（1）求函数f（x）的解析式（2）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）将点（﹣2，9）代入到f（x）＝a x得a﹣2＝9，解得a＝，∴f（x）＝（2）∵f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，∴f（2m﹣1）＜f（m+3），∵f（x）＝为减函数，∴2m﹣1＞m+3，解得m＞4，∴实数m的取值范围为（4，+∞）【例题6.2】已知函数f（x）＝（）x+a的图象经过第二、三、四象限．（1）求实数a的取值范围；（2）设g（a）＝f（a）﹣f（a+1），求g（a）的取值范围．【解答】解：（1）如图，∵函数f（x）＝（）x+a的图象经过第二、三、四象限，∴a＜﹣1；（2）g（a）＝f（a）﹣f（a+1）＝＝．∵a＜﹣1，∴，则．故g（a）的取值范围是（2，+∞）．【例题6.3】已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝﹣．（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；（2）若x∈（0，1]，f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．【解答】解：（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）＝﹣＝﹣2x．又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）＝﹣f（x），所以当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝2x，所以f（x）∈（1，2]，又f（0）＝0．所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，所以f（x）∈（，1]．令t＝f（x），则＜t≤1，g（t）＝f2（x）﹣f（x）+1＝t2﹣λt+1＝+1﹣，①当≤，即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min＝g（）＝1﹣＝﹣2，解得λ＝±2（舍去）．③当＞1，即λ＞2时，g（t）min＝g（1）＝﹣2，解得λ＝4，综上所述，λ＝4．【变式6.1】已知f（x）＝9x﹣2×3x+4，x∈[﹣1，2]．（1）设t＝3x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值与最小值；（2）求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（1）设t＝3x，∵x∈[﹣1，2]，函数t＝3x在[﹣1，2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为．（2）由f（x）＝9x﹣2×3x+4＝t2﹣2t+4＝（t﹣1）2+3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9，故当t＝1时，函数f（x）有最小值为3，当t＝9时，函数f（x）有最大值为67．【变式6.2】已知函数f（x）＝（1）当a＝b＝1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y＝f（x）是定义域为R的奇函数，求y＝f（x）的解析式；（3）若y＝f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．【解答】解：（1）由题意知，≥3x；化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，解得，﹣1≤3x≤；故x≤﹣1；（2）由题意，f（0）＝＝0，故a＝1；再由f（1）+f（﹣1）＝0得，b＝3；经验证f（x）＝是奇函数，（3）证明：∵y＝f（x）的定义域为R，∴b≥0；任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（3a+b），∵x1＜x2，∴＞0；故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，当3a+b＝0时，f（x）在R上不具有单调性．【变式6.3】已知f（x）＝（a x﹣a﹣x）（a＞0且a≠1）．（1）判断f（x）的奇偶性．（2）讨论f（x）的单调性．（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝，所以f（x）定义域为R，又f（﹣x）＝（a﹣x﹣a x）＝﹣（a x﹣a﹣x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，（2）任取x1＜x2则f（x2）﹣f（x1）＝（a x2﹣a x1）（1+a﹣（x1+x2））∵x1＜x2，且a＞0且a≠1，1+a﹣（x1+x2）＞0①当a＞1时，a2﹣1＞0，a x2﹣a x1＞0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0，②当0＜a＜1时，a2﹣1＜0．，a x2﹣a x1＜0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x）为增函数；（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，即b小于等于f（x）的最小值，由（2）知当x＝﹣1时，f（x）取得最小值，最小值为（）＝﹣1，∴b≤﹣1．求b的取值范围（﹣∞，﹣1]．1．已知a，b∈R，若4a＝23﹣2b，则a+b＝．【解答】解：∵4a＝23﹣2b，∴22a＝23﹣2b，∴2a＝3﹣2b，解得a+b＝．故答案为：．2．已知函数f（x）＝（）x﹣（）x+1的定义域是[﹣3，2]，则该函数的值域为．【解答】解：由于x∈[﹣3，2]，∴≤≤8，令t＝，则有y＝t2﹣t+1＝+，故当t＝时，y有最小值为，当t＝8时，y有最大值为57，故答案为[]．3．设函数f（x）＝，则f（2）＝．若f（f（x））≥9，则实数x的取值范围是．【解答】解：f（2）＝﹣22+2×2＝0，当x≥0时，f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1≤﹣1，∵f（f（x））≥9，∴f（x）≤﹣3，∴﹣x2+2x≤﹣3且x＞0，解得x≥3，故答案为：0，[3，+∞）4．函数y＝1+2x+4x a在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是．【解答】解：由题意，得1+2x+4x a＞0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立．又∵t＝﹣＝﹣（）2x﹣（）x＝﹣[（）x+]2+，当x∈（﹣∞，1]时t的值域为（﹣∞，﹣]，∴a＞﹣；即a的取值范围是（﹣，+∞）；故答案为：（﹣，+∞）．5．设函数f（x）＝a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若f（1）＝，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣x﹣（k﹣1）a x＝﹣a x+（k﹣1）a﹣x，即（k﹣1）（a x+a﹣x）﹣（a x+a﹣x）＝0，（k﹣2）（a x+a﹣x）＝0，∵x为任意实数，a x+a﹣x＞0，∴k＝2．（Ⅱ）由（1）知，f（x）＝a x﹣a﹣x，∵f（1）＝，∴a﹣＝，解得a＝2．故f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t＝2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x＝t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），∴g（x）＝h（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），当m＜时，h（t）在[，+∞）上是增函数，则h（）＝﹣2，﹣3m+2＝﹣2，解得m＝（舍去）．当m≥时，则h（m）＝﹣2，2﹣m2＝﹣2，解得m＝2，或m＝﹣2（舍去）．综上，m的值是2．。

4.2指数函数（精讲）一．指数函数的概念1.定义：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R.2.具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x 的系数是1.二．指数函数的图象和性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R 值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝11.由指数函数y＝a x的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．2.由指数函数y＝a x的图象与直线x＝－11y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.四．单调性的应用3.解指数型不等式(1)形如a f(x)>a g(x)的不等式，可借助y＝a x的单调性求解；(2)形如a f(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解；(3)形如a x>b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解.4.与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.(2)当a>1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相反的单调性.一．函数图象1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).3.利用函数的性质：奇偶性与单调性.4.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.二.y ＝a f (x )型函数的定义域、值域的求法(1)形如y ＝a f (x )的函数的定义域就是f (x )的定义域.(2)形如y ＝a f (x )的函数的值域，先求出u ＝f (x )的值域，再结合y ＝a u 的单调性求出y ＝a f (x )的值域.若a 的取值范围不确定，则需对a 进行分类讨论.2.y ＝f (a x )型函数的定义域、值域的求法三．比较指数幂大小的常用方法1.底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断2.底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断或者按幂函数性质判断3.底数不同，指数不同：通过中间量来比较考点一指数函数的概念【例1-1】（2023秋·高一课时练习）下列函数：①23x y =⨯；②13x y +=；③πx y =；④x y x =．其中为指数函数的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】指数函数解析式为(0xy a a =>且)1a ≠，对于①②④，23x y =⨯、13x y +=和x y x =不符合指数函数解析式特征，①②④错误；对于③，πx y =符合指数函数解析式特征，③正确.故选：B.【例1-2】（2023秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）若函数()222xy m m m =--⋅是指数函数，则m等于（）A ．1-或3B ．1-C ．3D ．13【答案】C【解析】因为函数()222xy m m m =--⋅是指数函数，所以2221031m m m m m ⎧--=⎪>⇒=⎨⎪≠⎩.故选：C【一隅三反】1．（2023·全国·高一课堂例题）下列函数为指数函数的是（）A ．4x y =-B ．()4xy =-C ．πxy =D ．24xy =【答案】C【解析】根据指数函数的定义()0,1xy a a a =>≠知，可得函数4x y =-不是指数函数；函数()4xy =-不是指数函数；函数πx y =是指数函数；函数24x y =不是指数函数.故选：C.2．（2023秋·高一课时练习）（多选）下列函数是指数函数的是（）A ．25x y =B ．4x y =-C ．3y x =D ．()63xy a =-（12a >且23a ≠）【答案】AD【解析】对于A 选项，2525x x y ==为指数函数；对于B 选项，4x y =-不是指数函数；对于C 选项，3y x =不是指数函数；对于D 选项，当12a >且23a ≠时，630a ->且631a -≠，则()63xy a =-（12a >且23a ≠）为指数函数.故选：AD.3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列函数中，是指数函数的是（）A ．()3x y =-B ．()121,12x y m m m ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭C ．()0.19xy =D ．23xy =⋅【答案】BC【解析】由指数函数形式为x y a =且0,1a a >≠，显然A 、D 不符合，C 符合；对于B ，210m ->且211m -≠，故符合.故选：BC考点二指数函数的解析式与函数值【例2】（2023春·新疆）指数函数()(0xf x a a =>且)0a ≠图像经过点()3,27，则()2f =（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】由题意327a =，得3a =，故()2239f ==，故选：C 【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）函数()(0xf x a a =>，且1)a ≠的图象经过点()3,27P ，则()2f =（）A ．19B C ．13D ．9【答案】D【解析】由题意可知，327a =，0a >，且1a ≠，得3a =，所以()3x f x =，()2239f ==.故选：D2．（2023秋·高一课时练习）若指数函数()y f x =的图象经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，则32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【答案】18/0.125【解析】设指数函数()(0xf x a a =>且)1a ≠，()f x 过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，2116a -∴=，解得：4a =，()4x f x ∴=，3231428f -⎛⎫∴-=== ⎪⎝⎭.故答案为：18.3．（2023春·贵州黔东南·高一校考期末）已知指数函数()f x 的图像经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【答案】12/0.5【解析】设()x f x a =（0a >，且1a ≠），由于其图像经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2116a -=，解得4a =或4a =-（舍去），因此()4xf x =，故1211422f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭.故答案为：12.考点三定义域与值域【例3-1】（2023秋·高一课前预习）求下列函数的定义域：（1）y =；（2）y =【答案】（1）[0,)+∞；（2）()(],33,2-∞--- .【解析】（1）由题意可得210x -≥，即022x ≥，又指数函数()2x f x =单调递增，得0x ≥.所以函数y =[)0,+∞；（2）由题意，得31903120x x +⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≠⎩，得230113322x x -+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪≠⎩，又指数函数()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，2x ∴≤-且3x ≠-.所以函数y =()(],33,2-∞-⋃--.【例3-2】（2023秋·江西）求下列函数的值域；(1)12x y +=；(2)y =(3)y =【答案】(1)(0,)+∞(2)[0,1)(3)[1,)+∞【解析】（1）12x y +=的定义域为R ，值域为(0,)+∞；（2）由120x -≥知0x ≤，故y =(]0-∞,；由0121x ≤-<知01≤<，故y [0,1)；（3）y =[0,)+∞0≥知1≥，故y =[1,)+∞.【例3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数,1()12,1x xx f x x a x ⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】D【解析】当1x <时，1()111f x x =+<-，当1x ≥时，1()222x f x a a a =-≥-=-，因为函数,1()12,1x xx f x x a x ⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩的值域为R ，所以21a -≤，得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数y =）A ．[2,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(,1]-∞-D ．(,2]-∞-【答案】C【解析】由题意得2112703x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以211273x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即2131133x --⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的单调减函数，所以213x -≤-，解得1x ≤-.故选：C.2．（2022秋·高一课时练习）函数()f x =+的定义域为.【答案】[]1,2-【解析】由题意可得1020x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x -≤≤，所以函数的定义域为[]1,2-.故答案为：[]1,2-.3．（2023秋·高一课时练习）函数42x y =+的值域是．【答案】(2,)+∞【解析】由函数4x y =值域为(0,)+∞，则函数42x y =+的值域为(2,)+∞.故答案为：(2,)+∞4．（2023秋·高一单元测试）函数()[]2,1,1xf x x x =+∈-的值域为．【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()f x 在[]1,1-上是增函数，所以()()1min 11212f x f -=-=-=-，()()1max 1213f x f ==+=，故函数值域为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.5．（2023·上海）已知()2,01,0x x f x x ⎧>=⎨≤⎩，则()f x 的值域是；【答案】[1,)+∞【解析】当0x >时,根据指数函数的图象与性质知()21x f x =>，当0x ≤时,()1f x =.综上:()y f x =的值域为[1,)+∞.故答案为：[1,)+∞.6．（2023黑龙江）已知函数()()22223,121,1x x a x a x f x x +-⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，则a 的取值范围是【答案】1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】当1x ≥时，222()21xx f x +-=-，而函数222t x x =+-在[1,)+∞上单调递增，又2ty =是增函数，因此函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，()(1)1f x f ≥=，即函数()f x 在[1,)+∞上的值域为[1,)+∞，当1x <时，函数()f x 的值域为A ，而函数()f x 的值域为R ，因此(,1)A -∞⊆，而当1x <时，()(2)3f x a x a =-+，必有20231a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得122a -≤<，所以a 的取值范围是1[,2)2-.考点四指数函数的图像【例4-1】（2022春·北京）已知对不同的a 值，函数1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是.【答案】(1,3)【解析】由指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象恒过(0,1)点而要得到函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图象，可将指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位.则(0,1)点平移后得到(1,3)点.则P 点的坐标是(1,3)故答案为：(1,3)【例4-2】（2023秋·高一单元测试）函数()x b f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1,0a b ><B ．1,0a b >>C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<【答案】D【解析】由图象可知，函数()f x 为减函数，从而有01a <<；法一：由()x b f x a -=图象，函数与y 轴的交点纵坐标(0,1)y ∈，令0x =，得b y a -=，由01b a -<<，即00b a a -<<，解得0b <.法二：函数()f x 图象可看作是由(01)x y a a =<<向左平移得到的，则0b ->，即0b <.故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数1xy a a=-（0a >，且1a ≠）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】A ，B 选项中，1a >，于是1011a<-<，所以图象与y 轴的交点的纵坐标应在()0,1之间，显然A ，B 的图象均不正确；C ，D 选项中，01a <<，于是110a-<，图象与y 轴的交点的纵坐标应在小于0，所以D 项符合.故选：D2．（2023·西藏林芝）()2e xf x x=的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题知，根据e 0x >y=，20x >，0x ≠，则()2e 0xf x x=>，排除B ，D ，当0x =时，()2e xf x x=没有意义，排除A.故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于函数()(0x f x a a =>且1a ≠），()2g x ax x =-，在同一直角坐标系下的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】当a ＞1时，f （x ）＝ax 是指数函数，单调递增，且图象过点（0，1），而g （x ）＝ax 2﹣x ＝a （x 12a-）214-a ，对称轴x 12a =1，故A 正确，B 错误；当0＜a ＜1时，f （x ）＝ax 是指数函数，单调递减，且图象过点（0，1），而g （x ）＝ax 2﹣x ＝a （x 12a-）214-a ，对称轴x 1122a =＞，故D 正确，C 错误.故选：AD ．4．（2023秋·宁夏石嘴山）函数212(01)x y a a a -=->≠且，无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为.【答案】1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】0011,,2121,2a x y a =∴==-=-=- 则定点坐标为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为:1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.5．（2023·全国·高一课堂例题）利用函数()2xy f x ==的图象，作出下列各函数的图象：(1)()1f x -；(2)()f x ；(3)()1f x -；(4)()f x -；(5)()1f x -．【答案】作图见解析【解析】（1）将()f x 图象向右平移一个单位即得，如下图，（2）将()f x 右侧图象以y 轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，（3）将()f x 图象向下平移一个单位即得，如下图，（4）以x 轴为对称轴，画出与()f x 对称的图象即得，如下图，（5）将（3）所得图象在x 轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，考点五指数函数型的单调性及应用【例5-1】（2023秋·高一课时练习）函数()f x =的单调递增区间为（）A ．(],2-∞B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[)2,+∞【答案】B【解析】令2430x x -+-≥，解得13x ≤≤，所以函数()f x =[]1,3，因为243t x x =-+-开口向下，对称轴为()4221x =-=⨯-，可知243t x x =-+-在[]1,2上单调递增，在(]2,3上单调递减，且u =所以u =[]1,2上单调递增，在(]2,3上单调递减，又因为2u y =在定义域内单调递增，所以()f x =在[]1,2上单调递增，在(]2,3上单调递减，即函数()f x 的单调递增区间为[]1,2.故选：B.【例5-2】（2023春·山东菏泽）设函数()()2x x a f x -=在区间()1,0-单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】A【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()1,0-上单调递增，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()1,0-上单调递增，因此12a ≤-，解得2a ≤-，所以a 的取值范围是(],2-∞-.故选：A【例5-3】（1）（2023·全国·高一专题练习）已知0.143a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.134b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，c ）.A ．b c a>>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．c b a >>（2）（2022秋·浙江宁波·高一校联考期中）下列大小关系正确的是（）A ．0.20.20.50.50.20.2>>B ．0.50.20.20.20.50.2>>C ．0.50.20.20.20.20.5>>D ．0.20.20.50.20.50.2>>【答案】（1）B （2）A 【解析】（1）0.10440133-⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即01a <<；0.133144-⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1b >；0=<，即0c <.所以有01c a b <<<<.故选：B.（2）由幂函数0.2y x =在R 上单调递增，则0.20.20.50.2>，又指数函数0.2x y =在R 上单调递减，则0.20.50.20.2>.则0.20.20.50.50.20.2>>故选：A.【例5-4】（2023·广东）已知函数()21,233,2x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则不等式()()342f x f x -<+的解集为．【答案】(),3-∞【解析】构建函数()21xg x =-，2x ≥，可得函数()g x 单调递增，()33h x x =-，2x ≤，则函数()h x 单调递增，且()()223g h ==，因此函数()f x 在R 上是增函数．()()342f x f x -<+ ，342x x ∴-<+，解得3x <，于是不等式()()342f x f x -<+的解集为(),3-∞．故答案为：(),3-∞.【一隅三反】1．（2023秋·广东湛江）已知函数()2313xx f x -+=，则()f x 的增区间为（）A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】函数()2313xx f x -+=定义域为R ，令231,3u u x x y =-+=，又3u y =在R 上单调递增，231u x x =-+的增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以()f x 的增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2023春·宁夏石嘴山）设函数()2212x mxf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则m 的取值范围为（）A ．(],2-∞-B ．[]2,1--C ．[]1,2D ．[)2,+∞【答案】D【解析】令22u x mx =-，则二次函数22u x mx =-的图象开口向上，对称轴为直线x m =，因为外层函数12u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，函数()2212x mxf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上为增函数，所以，内层函数22u x mx =-在()1,2上为减函数，故2m ≥.故选：D.3．（2022秋·青海海东·高一校考阶段练习）已知0.533,0.5,a b c ===）A ．b a c <<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c b a<<【答案】A【解析】1,01,1,a b c b ><<>∴ 最小，又0.50.53,5a c ===，0.5y x = 在(0,)+∞上单调递增，所以0.50.535<，即a c <，综上，b a c <<，故选：A ．4．（2022秋·江西南昌·高一统考期中）已知2π,2a b c ===，则,,a b c的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a<<【答案】B【解析】2382,2a b =====3π<<，所以3π222<<，因此b a c <<.故选：B.5（2023·河北）已知函数()e e x xf x -=-，则不等式()()110f x f -+>的解集是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,0-D ．()0,2【答案】A【解析】因为()()e e x xx f x f --==--，所以()f x 在R 上是奇函数.因为e x y =在R 上是增函数，又e x y -=在R 上是减函数，所以()f x 在R 上是增函数.所以()()()()()110111f x f f x f f -+>⇒->-=-，所以11,2x x ->-<，所以不等式()()110f x f -+>的解集是(),2-∞.故选：考点六指数函数性质的综合运用【例6-1】（2023春·河北石家庄·高一校考期末）已知函数()131x mf x =++为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)求不等式()21102f x x --+<的解集．【答案】(1)2-(2){}01x x <<【解析】（1）（1）因为()f x 为奇函数，定义域为R ，因为()00f =，即102m+=，所以2m =-，经检验，符合题意．（2）因为()12111312f -=+=+，所以()()2110f x x f --+<，所以()()211f x x f --<-，因为()f x 为奇函数，()()11f f -=-，所以()()211f x x f --<-，由（1）知：因为3x y =在R 上递增，所以()2131x f x =-+在R 上是增函数，所以211x x --<-，解得01x <<，所以不等式的解集是{}1|0x x <<.【例6-2】（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）已知函数()22x xf x a -=+奇函数．(1)求a 的值；(2)判断()f x 在(),-∞+∞上的单调性并用定义证明；(3)设()()22222x xF x mf x -=+-，求()F x 在[]0,1上的最小值．【答案】(1)1-(2)()f x 在R 上单调递增，证明见解析(3)答案见解析【解析】（1）解：()f x 是定义域为R 的奇函数，()010,f a ∴=+=1a ∴=-；经检验符合题意；（2）()f x 在R 上单调递增．证明如下：1212,R,x x x x ∀∈<，则()()()1212121212111222212222x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为12x x <，所以12022x x <<，所以12220x x -<，1211022x x +>，可得12())0(f x f x -<．即当12x x <时，有12()()f x f x <所以()f x 在R 上单调递增．（3）()()22222x xF x mf x -=+-，()2222222x x x x m --=+--，()()2222222x xx x m --=---+，令22x x t -=-，又[]01x ∈，，则302t ⎡⎤∈⎢⎣⎦，，所以22222()2y t mt t m m =-+=-+-，302t ⎡⎤∈⎢⎣⎦，，对称轴为t m =，则当0m ≤时，min 2y =；当302m <<，2min 2y m =-；当32m ≥时，min 1734y m =-．【一隅三反】1．（2023秋·安徽）已知函数()32,32x xx xa f x a ⋅-=∈+R ．(1)若()f x 为奇函数，求a 的值；(2)在（1）的条件下，求()f x 的值域．【答案】(1)1a =(2)()1,1-【解析】（1）因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x +-=，x ∈R即()()1323232322303232323232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xa a a a a -----⋅+⋅-⋅-⋅-⋅-+=+==+++++，所以1a =.（2）()3232132321xx xxxx f x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝+⎭--==,令32xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()11221111t t f x t t t -+-=+==-++，因为3(0,)2x t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭=，所以()211,11t -∈-+，所以()f x 的值域()1,1-．2．（2023秋·河北衡水）已知函数()x x f x a k a -=-⋅（0a >，且1a ≠）是奇函数，且3(1)2f =．(1)求a ，k 的值；(2)若对于[1,2]x ∀∈，不等式(2)()0f x mf x +≥成立，求m 的取值范围．【答案】(1)2a =，1k =；(2)52m ≥-【解析】（1）因为函数是奇函数，所以()()f x f x -=-，即x x x x a k a a k a ---⋅=-+⋅，得1k =，所以()x x f x a a -=-，()1312f a a -=-=，得2a =或12a =-（舍），综上，2a =，1k =；（2）由（1）知，()22x xf x -=-，则()[]2222220,1,2x x x xm x ---+-≥∈恒成立，()()()2222220xx x x x x m ---+-+-≥，[]220,1,2x x x -->∈，所以220x x m -++≥，对[]1,2x ∀∈恒成立，即()min 220x xm -++≥恒成立，设12222x x xx y -=+=+，函数由外层函数1y t t=+和内层函数2x t =复合而成，当[]1,2x ∈，[]2,4t ∈，2x t =单调递增，当[]2,4t ∈，1y t t=+单调递增，所以根据复合函数的单调性可知，函数[]22,1,2x x y x -=+∈单调递增，最小值为115222-+=，即502m +≥，则52m ≥-.3．（2023秋·江苏南通）已知二次函数()2f x x bx c =++，且不等式()2f x x <的解集为(1,3).(1)求()f x 解析式；(2)若不等式()2210x xkf -+≤在[1,2]x ∈上有解，求实数k 的取值范围.【答案】(1)()223x x x f =-+(2)-4⎛∞ ⎝⎦,【解析】（1）由题意知22x bx c x ++<的解集为()1,3，故方程()220x b x c --+=的两个根是1和3，故243b c -=⎧⎨=⎩，即23b c =-⎧⎨=⎩，故()223x x x f =-+.（2）由题意()2210x x kf -+≤在[1,2]x ∈上有解，即()2222321x x xk -⋅+≤-在[1,2]x ∈上有解，∵()2222232120xxx-⋅+=-+>，∴2212223x x x k -≤-⋅+在[1,2]x ∈上的最大值，设[211,2,]x x t ∈=-，则[]1,3t ∈，则max 2()2tk t ≤+又2122t t t t=≤++2t t =即[]1,3t =时，等号成立，∴4k ≤，即实数k 的取值范围为,4⎛-∞ ⎝⎦.。

4.2指数函数考点一 指数函数的判断【例1-1】（2019·河北桥西.邢台一中高一月考）下列函数中指数函数的个数是（ ）①23x y =⋅ ②13x y += ③3xy = ④()21xy a =-（a 为常数,12a >,1a ≠） ⑤3y x = ⑥4xy =- ⑦()4xy =-A ．1B ．2C ．3D ．4【例1-2】（2019·河南中原.郑州一中高一开学考试）函数f (x )=(a 2﹣3a +3)a x 是指数函数,则a 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．1或3【一隅三反】1．（2019·山东高三学业考试）函数()2xy a a =-是指数函数,则（ ）A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠2．（2019·呼和浩特开来中学高一期中）若函数1()(3)2xf x a a =-⋅是指数函数,则1()2f 的值为( )A ．2B ．-2C ．-D ．3．（2019·辽宁葫芦岛.高一月考）下列函数不是指数函数的是（ ） A ．12x y +=B ．3x y -=C ．4x y =D ．32x y =考点二 定义域和值域【例2-1】（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域：（1）142x y -=；（2）23y ⎛= ⎪⎝⎭（3）22312x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭.【例2-2】（2018·湖南开福.长沙一中高一月考）若函数y =的值域为[0,+∞）,则实数a 的取值范围是_____．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域； （1）12x y +=；（2）y =（3）y =2．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域与值域.（1）y =（2）1(0,1x x a y a a -=>+且1)a ≠（3）110.3;x y -=（4）y =3．（2020·河北新华.石家庄二中高二期末）若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ,则a 的取值范围为（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦4．（2020·云南五华.昆明一中高三其他（理））设函数y =A ,函数12x y -=的值域为B ,则AB =( )A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,1-D ．[]1,1-5．（2019·湖南高一期中）若函数2411()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3,则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2考点三 指数函数性质【例3】（1）（2020·贵溪市实验中学高二期末（文））若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3（2）（2019·湖南岳阳楼.岳阳一中高一期中）已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( ) A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)（3）（2019·湖北襄阳）如果1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【一隅三反】1．（2019·浙江南湖.嘉兴一中高一月考）函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数的区间是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞2．（2019·浙江柯城.衢州二中高三一模）已知定义在R 上的函数()||32x m f x -+=+m 为实数）为偶函数,记()0.2log 3a f =,()5log b f e =,()c f m π=+,则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<3．（2020·浙江高一课时练习）设0.914y =,0.4828y =, 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >>1.指数函数性质记忆口诀指数增减要看清,抓住底数不放松； 反正底数大于0,不等于1已表明； 底数若是大于1,图象从下往上增； 底数0到1之间,图象从上往下减； 无论函数增和减,图象都过(0,1)点． 2.比较幂值大小的三种类型及处理方法4．（2020·永安市第三中学高二月考）若关于x 的方程()94340xxa ++⋅+=有解,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,8][0,)-∞-+∞B ．(),4-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-5（2020·上海高一课时练习）已知函数2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,则该函数的单调递增区间是__________.6．（2020·上海普陀.曹杨二中高一期末）函数12x y =-的单调递增区间为________7．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中的两个值的大小． （1）0.10.8-,0.21.25；（2）1ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1；（3）30.2-,()0.23-.考点四 定点【例4】（2020·浙江高一课时练习）函数()-1=4+x f x a （0a >,且1a ≠）的图象过定点P ,则P 点的坐标为（ ） A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,5)D ．(0,4)【一隅三反】1．（2019·涡阳县第九中学高二期末）函数()10,1xy a a a =+>≠的图象必经过点（ ）A ．(0,1)B ．(1,1)C ．()0,2D ．(2,2)2．（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21()x f x a-=(0a >且1)a ≠过定点（ ） A ．(1,1) B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．1(,1)23．（2020·宁夏贺兰县景博中学高一月考）函数y=a x ﹣1+2（a ＞0且a≠1）图象一定过点（ ）A ．（1,1）B ．（1,3）C ．（2,0）D ．（4,0）考点五 图像【例5-1】（2020·广东顺德一中高一期中）函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）． A ． B ．C ．D ．【例5-2】（2020·浙江高一课时练习）若函数(01,1)xy a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内,则（ ） A ．1a >B ．1a >,且0m <C ．01a <<,且0m >D ．01a <<【一隅三反】1．（2019·浙江高一期中）函数y x a =+与xy a =,其中0a >,且1a ≠,它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是 ( )A ．B ．C ．D ．2．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的图象中,二次函数2y ax bx c =++与函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·上海高一课时练习）若函数2xy m =+的图像不经过第二象限,则m 的取值范围是( )A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-4．（2020·内蒙古集宁一中高二期末（理））若直线2y a =与函数|1|(0,1)x y a a a =->≠的图象有两个大众点,则a的取值范围是___________4.2指数函数考点一 指数函数的判断【例1-1】（2019·河北桥西.邢台一中高一月考）下列函数中指数函数的个数是（ ）①23x y =⋅ ②13x y += ③3xy = ④()21xy a =-（a 为常数,12a >,1a ≠） ⑤3y x = ⑥4xy =- ⑦()4xy =-A ．1B ．2C ．3D ．4【参考答案】B【解析】对①：指数式的系数为2,不是1,故不是指数函数；对②：其指数为1x +,不是x ,故不是指数函数； 对③④：满足指数函数的定义,故都是指数函数； 对⑤：是幂函数,不是指数函数；对⑥：指数式的系数为-1,不是1,故不是指数函数；对⑦：指数的底数为-4,不满足底数大于零且不为1的要求,故不是； 综上,是指数函数的只有③④,故选：B.【例1-2】（2019·河南中原.郑州一中高一开学考试）函数f (x )=(a 2﹣3a +3)a x 是指数函数,则a 的值为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．1或3【参考答案】C【解析】因为函数f (x )=(a 2﹣3a +3)a x 是指数函数,故可得2331a a -+=解得1a =或2a =, 当1a =时,不是指数函数,舍去.故选：C.【一隅三反】1．（2019·山东高三学业考试）函数()2xy a a =-是指数函数,则（ ）A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠【参考答案】C【解析】因为函数()2xy a a =-是指数函数所以21a -=,0a >且1a ≠,解得3a =.故选：C.2．（2019·呼和浩特开来中学高一期中）若函数1()(3)2xf x a a =-⋅是指数函数,则1()2f 的值为( )A ．2B ．-2C．-D．【参考答案】D【解析】∵函数f （x ）＝（12a ﹣3）•a x 是指数函数,∴12a ﹣3＝1,a ＞0,a ≠1,解得a ＝8, ∴f （x ）＝8x ,∴f （12）==,故选：D ． 3．（2019·辽宁葫芦岛.高一月考）下列函数不是指数函数的是（ ） A ．12x y += B ．3x y -= C ．4x y = D ．32x y =【参考答案】A【解析】指数函数是形如xy a =（0a >且1a ≠）的函数. 对于A ：1222x x y +==⨯,系数不是1,所以不是指数函数；对于B ：133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭,符合指数函数的定义,所以是指数函数；对于C ：4xy =,符合指数函数的定义,所以是指数函数；对于D ：382x xy ==,符合指数函数的定义,所以是指数函数.故选：A.考点二 定义域和值域【例2-1】（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域： （1）142x y -=；（2）23y ⎛= ⎪⎝⎭（3）22312x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭.【参考答案】（1）定义域{|4}x x ≠,值域为{|0y y >且1}y ≠； （2）定义域{|0}x x =,值域{|1}y y =；（3）定义域R ,值域(]0,16【解析】（1）要使函数式有意义,则40x -≠,解得4x ≠.所以函数142x y -=的定义域为{|4}x x ≠.因为104x ≠-,所以1421x -≠,即函数142x y -=的值域为{|01}y y y >≠，且. （2）要使函数式有意义,则||0x -,解得0x =,所以函数23y ⎛= ⎪⎝⎭{|0}x x =.因为0x =,所以022133⎛⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即函数23y ⎛= ⎪⎝⎭{|1}y y =.（3）函数的定义域为R .因为2223(1)44x x x --=--≥-,所以2234111622x x ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 又223102x x --⎛⎫>⎪⎝⎭,所以函数22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,16.【例2-2】（2018·湖南开福.长沙一中高一月考）若函数y =的值域为[0,+∞）,则实数a 的取值范围是_____． 【参考答案】（﹣∞,﹣2]【解析】设()421x x g x a =+⋅+,若函数y =的值域为[0,)+∞,则等价于[0,)+∞是()g x 值域的子集,2()421(2)21x x x x g x a a =+⋅+=+⋅+,设2x t =,则0t >,则2()1y h t t at ==++,(0)10h =>,∴当对称轴02at =-,即0a 时,不满足条件． 当02at =->,即0a <时,则判别式△240a =-,即022a a a <⎧⎨-⎩或,则2a -, 即实数a 的取值范围是(-∞,2]-.故参考答案为：(-∞,2]-【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域； （1）12x y +=；（2）y =（3）y =【参考答案】（1）定义域为R ,值域为(0,)+∞；（2）(,0]-∞,[0,1)；（3）[0,)+∞,[1,)+∞.【解析】（1）12x y +=的定义域为R ,值域为(0,)+∞.（2）由120x -≥知0x ,故y =(,0]-∞；由0121x -<知0121x -<,故y =[0,1).（3）y =[0,)+∞0x 知1x,故y =[1,)+∞.2．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域与值域.（1）y =（2）1(0,1x x a y a a -=>+且1)a ≠（3）110.3;x y -=（4）y =【参考答案】（1）定义域为[0,)+∞；值域为[0,1)；（2）定义域为R ；值域为(－1,1)；（3）定义域为{1}xx ≠∣；值域为{0y y >∣且1}y ≠；（4）定义域为15xx ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣；值域为{1}yy ≥∣. 【解析】（1）1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,解得：0x ≥, ∴原函数的定义域为[0,)+∞,令11(0)2xt x ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,则01,01t ≤<∴≤∴原函数的值域为[0,1) （2）原函数的定义域为R.设x a t =,则(0,)t ∈+∞,11221111t t y t t t -+-===-+++, 0,11t t >∴+>,1201,2011t t -∴<<∴-<<++,21111t ∴-<-<+,即原函数的值域为(1,1)-. （3）由10x -≠得1x ≠,所以函数定义域为{|1}x x ≠,由101x ≠-得1y ≠, 所以函数值域为{|0y y >且1}y ≠.(4)由510x -≥得15x ≥,所以函数定义域为15x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣,0≥得1y ≥,所以函数值域为{1}yy ≥∣. 3．（2020·河北新华.石家庄二中高二期末）若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ,则a 的取值范围为（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【参考答案】B【解析】当1x <时,()1,212xf x ⎛⎫∈+∞⎛ ⎪⎝⎫= ⎪⎭⎭⎝ 当1≥x 时,()114,4xf x a a a ⎛⎤∈+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎥⎝⎦ 函数()f x 的值域为(),+∞a 114212a a ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩,即11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B 4．（2020·云南五华.昆明一中高三其他（理））设函数y =A ,函数12x y -=的值域为B ,则AB =( )A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,1-D ．[]1,1-【参考答案】A【解析】函数定义域满足：210x ->,即11x -<<,所以{}11A x x =-<<,函数12x y -=的值域{}0B y y =>,所以()0,1AB =,故选：A.5．（2019·湖南高一期中）若函数2411()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3,则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【参考答案】D【解析】由于函数2411()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3,所以0a >,且当422x a a-=-=时,()f x 取得最大值为2224411412113333a a a aaf a ⎛⎫⋅-⋅+-+ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故4411,2,2a a a-===.故选：D 考点三 指数函数性质【例3】（1）（2020·贵溪市实验中学高二期末（文））若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3（2）（2019·湖南岳阳楼.岳阳一中高一期中）已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( ) A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)（3）（2019·湖北襄阳）如果1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【参考答案】（1）B （2）B(3)C【解析】（1）函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增,()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．（2）可知函数()f x 为减函数,由2(4)(3)f a f a ->,可得243a a-<,整理得2340a a --<,解得14a -<<,所以不等式的解集为(1,4)-．故选B.(3) 根据函数()1()2x f x =在R 是减函数,且1111222ba⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以10b a >>>,所以a a b a b a <<,故选C.【一隅三反】1．（2019·浙江南湖.嘉兴一中高一月考）函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数的区间是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞【参考答案】C【解析】∵13uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数,222(1)1u x x x =-+=--+在(,1]-∞上递增,在[1,)+∞上递减,∴函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的增区间是[1,)+∞．故选：C ．2．（2019·浙江柯城.衢州二中高三一模）已知定义在R 上的函数()||32x m f x -+=+m 为实数）为偶函数,记()0.2log 3a f =,()5log b f e =,()c f m π=+,则( )11.指数函数性质记忆口诀指数增减要看清,抓住底数不放松； 反正底数大于0,不等于1已表明； 底数若是大于1,图象从下往上增； 底数0到1之间,图象从上往下减； 无论函数增和减,图象都过(0,1)点． 2.比较幂值大小的三种类型及处理方法A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<【参考答案】B【解析】()f x 为偶函数,()()f x f x ∴-=,||||3232x m x m --+-+∴+=+,||||x m x m ∴-+=+；0m ∴=；||()32x f x -∴=+；()f x ∴在[0,)+∞上单调递减,并且0.25(|log 3|)(log 3)a f f ==,5(log )b f e =,()()c f m f ππ=+=550log log 3e π<<<c a b ∴<<．故选：B ．3．（2020·浙江高一课时练习）设0.914y =,0.4828y =, 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >>【参考答案】D【解析】 1.50.920.9 1.80.4830.481.44 1.35121422,22282,y y y -⨯⨯⎛⎫======⎝== ⎪⎭,因为函数2xy =在定义域上为单调递增函数,所以132y y y >>．故选：D ．4．（2020·永安市第三中学高二月考）若关于x 的方程()94340xxa ++⋅+=有解,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,8][0,)-∞-+∞B ．(),4-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-【参考答案】D【解析】由9(4)340x xa ++⋅+=,得443(4)0,(4)3433xxx x a a +++=∴-+=+≥（当且仅当32x =时等号成立）,解得8a ≤-故选D5（2020·上海高一课时练习）已知函数2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,则该函数的单调递增区间是__________.【参考答案】(,1]-∞-【解析】由题得函数的定义域为R . 设2122,()2uu x x v =++=,函数222,u x x =++在∞(-,-1]单调递减,在[1,)-+∞单调递增,函数1()2uv =在其定义域内单调递减,所以2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在∞(-,-1]单调递增,在[1,)-+∞单调递减.故参考答案为：(,1]-∞-.6．（2020·上海普陀.曹杨二中高一期末）函数12x y =-的单调递增区间为________【参考答案】(,0]-∞【解析】函数12,010221,1x xxy x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭=⎩-, 根据指数函数单调性可得,函数在(,0]-∞单调递增,在0,单调递减,所以函数12xy =-的单调递增区间为(,0]-∞.故参考答案为：(,0]-∞ 7．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中的两个值的大小． （1）0.10.8-,0.21.25；（2）1ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1；（3）30.2-,()0.23-.【参考答案】（1）0.10.20.81.25-<（2）11ππ-⎛⎫> ⎪⎝⎭（3）()0.230.23->-【解析】（1）因为0.10.10.1450.854--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 0.20.251.254⎛⎫= ⎪⎝⎭, 又指数函数54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数,且0.10.2<,所以0.10.25544⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即0.10.20.8 1.25-<. （2）1ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭01πππ=>=,（3）30.2-00.21>=,()()10.25330-=-=<,所以()0.230.23->-.考点四 定点【例4】（2020·浙江高一课时练习）函数()-1=4+x f x a （0a >,且1a ≠）的图象过定点P ,则P 点的坐标为（ ） A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,5)D ．(0,4)【参考答案】A【解析】因为xy a =的图象恒过(0,1)点,则1x y a-=的图象恒过(1,1)点,所以()-1=4+x f x a恒过定点()1,5P .故选A .【一隅三反】1．（2019·涡阳县第九中学高二期末）函数()10,1xy a a a =+>≠的图象必经过点（ ）A ．(0,1)B ．(1,1)C ．()0,2D ．(2,2)【参考答案】C【解析】函数x y a =的图象过点(0,1),而函数1x y a =+的图象是把函数x y a =的图象向上平移1个单位,∴函数1x y a =+的图象必经过的点(0,2)．故选：C ．2．（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21()x f x a-=(0a >且1)a ≠过定点（ ） A ．(1,1) B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．1(,1)2【参考答案】D【解析】令12102x x -=⇒=,所以函数21()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点1(,1)2． 3．（2020·宁夏贺兰县景博中学高一月考）函数y=a x ﹣1+2（a ＞0且a≠1）图象一定过点（ ）A ．（1,1）B ．（1,3）C ．（2,0）D ．（4,0）【参考答案】B 由x ﹣1=0,解得x=1,此时y=1+2=3,即函数的图象过定点（1,3）,故选B考点五 图像【例5-1】（2020·广东顺德一中高一期中）函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）． A ． B ．C ．D ．【参考答案】D 【解析】∵0a >,∴10a>,∴函数x y a =需向下平移1a 个单位,不过（0,1）点,所以排除A,当1a >时,∴101a <<,所以排除B,当01a <<时,∴11a>,所以排除C,故选D. 【例5-2】（2020·浙江高一课时练习）若函数(01,1)xy a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内,则（ ） A ．1a >B ．1a >,且0m <C ．01a <<,且0m >D ．01a <<【参考答案】B【解析】因为函数xy a =的图像在第一、二象限内,所以欲使其图像在第三、四象限内,必须将xy a =向下移动,因为当01a <<时,图像向下移动,只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限, 所以只有当1a >时,图像向下移动才可能经过第一、三、四象限,故1a >,因为图像向下移动小于一个单位时,图像经过第一、二、三象限,而向下移动一个单位时,图像恰好经过原点和第一、三象限,所以欲使图像经过第一、三、四象限,则必须向下平移超过一个单位, 故11m -<-,0m <,故选：B.【一隅三反】1．（2019·浙江高一期中）函数y x a =+与xy a =,其中0a >,且1a ≠,它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是 ( )A ．B ．C ．D ．【参考答案】D【解析】因为函数y x a =+单调递增,所以排除AC 选项；当1a >时,y x a =+与y 轴交点纵坐标大于1,函数xy a =单调递增,B 选项错误；当01a <<时,y x a =+与y 轴交点纵坐标大于0小于1,函数xy a =单调递减；D 选项正确.故选：D2．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的图象中,二次函数2y ax bx c =++与函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【参考答案】A【解析】根据选项中二次函数图象,可知0c ,根据选项中指数函数的图象,可知01b a <<,所以1022b a-<-<, 所以二次函数2y ax bx c =++的对称轴在y 轴左侧,且1,022b x a ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭, 所以可排除B 、C 、D,只有A 符合题意.故选：A.3．（2020·上海高一课时练习）若函数2xy m =+的图像不经过第二象限,则m 的取值范围是( )A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-【参考答案】D【解析】指数函数2x y =过点0,1,则函数2xy m =+过点()0,1m +,若图像不经过第二象限,则10m +≤,即1m ≤-,故选：D4．（2020·内蒙古集宁一中高二期末（理））若直线2y a =与函数|1|(0,1)x y a a a =->≠的图象有两个大众点,则a 的取值范围是___________【参考答案】102⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】当01,1a a <<>时,做出|1|xy a =-图象,如下图所示,直线2y a =与函数|1|(0,1)x y a a a =->≠的图象有两个大众点时,1021,02a a <<<<. 故参考答案为:102⎛⎫ ⎪⎝⎭，知识改变命运。

指数以及指数函数的整理讲义经典-（含答案）指数与指数函数⼀、指数（⼀）n 次⽅根：1的3次⽅根是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．以上都不对 2、若4a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≥2且a ≠4C ．a ≠2D ．a ≠4（⼆）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,??<-≥==0,0,a a a a a a n n1．下列各式正确的是( )＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝12、.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成⽴的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0 4、求下列式⼦(1)．334433)32()23()8(---+-(2)223223--+132811621258---????；；；243的结果为 A 、5B 、5C 、－5D 、－53、把下列根式写成分数指数幂的形式：（1）32ab （2）()42a -（3）3432x x x（四）、实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）sr r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( )A ．a m a n ＝a mnB ．(a m )n ＝am ＋nC ．a m b n ＝(ab )m ＋nD ．(b a )m＝a －m b m2、若0,x >则13111424（2x +3）(2x -3)-4x ＝ .3．计算－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－＋|－|12＝________.题型⼀： 1、求值：（1-；（22、已知*N n ∈，化简()()()()=+++++++++----11111233221n n Λ_____。

指数以及指数函数的整理讲义经典-(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN指数与指数函数一、指数 （一）n 次方根：1的3次方根是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．以上都不对2、若4a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≥2且a ≠4C ．a ≠2D ．a ≠4（二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n1．下列各式正确的是( )A.(－3)2＝－3B.4a 4＝aC.22＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0 4、求下列式子(1)．334433)32()23()8(---+-(2)223223--+（三）、分数指数幂1、求值 4352132811621258---⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛；；；243的结果为 A 、5B 、5C 、－5D 、－53、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42a -（3）3432x x x（四）、实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）sr r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( )A ．a m a n＝a mnB ．(a m )n＝a m ＋nC ．a m b n＝(ab )m ＋nD ．(b a)m ＝a －m b m2、若0,x >则1311142422-（2x +3）(2x -3)-4x ＝ .3．计算(0.064)－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12＝________.题型一： 1、求值：（1-； （2+2、已知*N n ∈，化简()()()()=+++++++++----11111233221n n _____。

+⎩ + 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算〔1〕根式的概念 ①如果 xn= a , a ∈ R , x ∈ R , n > 1，且 n ∈ N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时，a 的 n 次 方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 - na表示；0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a ≥ 0 ．nnn n⎧a (a ≥ 0)③根式的性质：( a ) = a ；当 n 为奇数时， a = a ；当 n 为偶数时，=| a |= ⎨-a ．(a < 0)〔2〕分数指数幂的概念m①正数的正分数指数幂的意义是： a n= n a m(a > 0, m , n ∈ N , 且 n > 1) ．0 的正分数指数幂等于 0．②- m1 m1正数的负分数指数幂的意义是： an= ( ) n = n ( )m (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) ．0 的负分数指a a数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 〔3〕分数指数幂的运算性质①a r ⋅ a s = a r +s (a > 0,r , s ∈ R )②(a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R )③(ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R )2.1.2 指数函数及其性质〔4〕指数函数 函数名称 指数函数定义函数 y = a(a > 0 且 a ≠ 1)叫做指数函数图象a > 10 < a < 1y = 1 yOy = ax(0, 1)xy = a xy = 1Oy( 0 , 1 )x定义域 R值域 〔0,+∞〕过定点 图象过定点〔0,1〕，即当 x=0 时，y=1．奇偶性 非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的变化情况y ＞1(x ＞0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＜0)y ＞1(x ＜0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＞0)a 变化对图象影响在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴．在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．n a n39 1 + 5 1 ± 5 12.1 指数函数练习1．以下各式中成立的一项〔〕A ． ( n )7 = n 7m 7mB ． 12(-3)4 =C ． 4x 3+ y 33(x + y )4D ．=2 11 1 1 1 52．化简(a 3 b 2)(-3a 2 b 3) ÷ ( 3a 6b 6 )的结果〔〕A ． 6aB ． - aC ． - 9aD ． 9a23．设指数函数 f (x ) = a x(a > 0, a ≠ 1) ，那么以下等式中不正确的选项是〔 〕A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ． f 〔x - y 〕=f (x )f ( y )C ． f (nx ) = [ f (x )]n(n ∈ Q )- 1D ． f (xy )n= [ f (x )]n·[ f ( y )]n(n ∈ N + )4．函数 y = (x - 5)0+ (x - 2)2A ．{x | x ≠ 5, x ≠ 2} C ．{x | x > 5}〔〕B ．{x | x > 2}D ．{x | 2 < x < 5或x > 5}5．假设指数函数 y = a x在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，那么底数a 等于 〔〕A ．B ． 2 2C ．D ．2 26．当 a ≠ 0 时，函数 y = ax + b 和 y = b ax的图象只可能是〔〕7．函数 f (x ) = 2-|x |的值域是〔 〕A ． (0,1]B ． (0,1)⎧⎪2- x- 1, x ≤ 0 C ． (0,+∞)D ．R8．函数 f (x ) = ⎨ 1 ，满足 f (x ) > 1的 x 的取值范围⎪⎩x 2 , x > 0〔 〕A ． (-1,1)B ． (-1,+∞)C ．{x | x > 0或x < -2}D ．{x | x > 1或x < -1}9．函数 y = ( 1 ) 2- x 2 + x +2 得单调递增区间是〔 〕11A ． [-1, ]2B ． (-∞,-1]C ． [2,+∞)D ． [ 2,2]3 - 33 3- 1 + 5 5 ± 1⎩ x e x - e - x10． f (x ) =，那么以下正确的选项是 〔 〕2A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．函数 f (x )的定义域是〔1，2〕，那么函数 f (2 x) 的定义域是 .12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x )=a x －2－3 必过定点 .三、解答题：13．求函数 y = 1的定义域.5 x -1 - 114．假设a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．函数 f (x ) =a x - 1 a x + 1(a ＞1).〔1〕判断函数f (x )的奇偶性；〔2〕证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数 f(x)＝a x (a>0，且 a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 a，求 a 的值． 2参考答案一、DCDDDAAD D A二、11．(0,1)；12．(2，－2)；三、13． 解：要使函数有意义必须：⎧x - 1 ≠ 0⎧x ≠ 1⎪x ⇒⎨ ≠ 0 ⎩ x - 1⎨x ≠ 0∴定义域为： {x x ∈ R 且x ≠ 0, x ≠ 1}⎪1 a +1 a +12 14． 解： a r + br⎛ a ⎫r⎛ b ⎫r，其中 0 < a < 1,0 < b < 1.= ⎪ c rc + ⎪c ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 当r ＞1时，⎛ a ⎫ r ⎛ b ⎫r a b ，所以a r+b r ＜c r ；⎪ + ⎪ < + = 1⎝ c ⎭ ⎝ c ⎭ c c当 r ＜1 时，⎛ a ⎫r⎛ b ⎫ra b，所以 a r +b r ＞c r . ⎪ + ⎪ > + = 1 ⎝ c ⎭ ⎝ c ⎭ c c15．解：(1)是奇函数.(2) x ＜x ，a x 1 -1 a x2 -1 。

指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理 知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解①分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算②根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===-等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤画指数函数xy a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数，且．（1）求m的值；（2）判定f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．解答：解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f（x）是奇函数．（3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax 单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m ＜n，求m+n的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A （m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n ﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．。

1指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是(01)xy a a a =>≠且x R 知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则，01c d a b <<<<<在轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，y 在轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大y 即无论在轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大y 在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解2① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像等1223,,21xx y y x y y =⋅===-函数均不符合形式，因此，它们都不是指数函数()01x y a a a =>≠且⑤ 画指数函数的图像，应抓住三个关键点：x y a =()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且．（1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．解答：解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f（x）是奇函数．（3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．3指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，4故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．5分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n 为奇数时，=×1=；n 为偶数时，=+f （）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．6题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．7点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；8解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a （﹣）+b （﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b （﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；9（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），10故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为11t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，12∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．13（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数14（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．15（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．16解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．1718。

指数函数一 、根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．练习（1）化简(x ＋3)2－3(x －3)3得( ) A ．6B ．2xC ．6或－2xD ．－2x 或6或2[答案] C[解析] 原式＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧6 x≥－3－2x x<－3.二、分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（2）化简(a 、b>0)的结果是 C ) A.b aB ．ab C.abD ．a 2b三、分数指数幂的运算性质(1)(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ (4)x 3 -y 3=(x-y)(x 2+xy+y 2)(5)x 3 -y 3=(x-y)(x 2+xy+y 2)练习（3）计算化简① (12)−1+823+(2019)0=__________________②(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=_______________（4）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值：①x +x −1 ；②x 2+x −2；③x 32−x−32x 12−x −12.【答案】（1）7 （2）52 （3）－6a b（4）①7②47③8【解析】(1)(12)−1+823+(2019)0=2+4+1=7（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425，=(32)3×13−312×2+(15)3×(−23)×425 =32−3+4=52． （3）①因为x 12+x −12=3，所以(x 12+x −12)2=x +2+x −1=9,即x +x −1=7.②因为x +x −1=7所以(x +x −1)2=x 2+2x ⋅x −1+x −2=x 2+2+x −2=49，即x 2+x −2=47. ③x 32−x−32x 12−x −12=(x 12)3−(x−12)3x 12−x −12=(x 12−x−12)(x+1+x −1)x 12−x −12=x +1+x −1=8.（5）(江苏文)已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m ，n 满足f(m)>f(n)，则m ，n 的大小关系为_______． [答案] m<n [解析] ∵a ＝5－12，∵0<a<1，∵函数f(x)＝ax 在R 上单调递减，∵f(m)>f(n)，∵m<n. （6）下图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数y ＝a x 的图象，而a∵{22，12，3，π}，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是______、________、________、________.[答案]22、12、π、3 [解析] 由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数<C1的底数<C4的底数<C3的底数．（7）已知()|21|xf x =-，当a b c <<时，有()()()f a f c f b >>，则下列各式中正确的是 ( ) A.22a c > B.22a b > C.22ac -< D.222a c +<（8）函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)，在x∵[1,2]时的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．32或12（9）已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5) 中恒成立的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个（10）(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若2233x y x y ---<-，则 (A )A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<（11）①函数y =√4−2x 的定义域为__(-∞，2]____．②设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为 (-∞，4] 。

指数函数习题一、选择题1．定义运算，则函数的图象大致为( )2．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是( )A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同3．函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是( )A．(－1，＋∞) B．(－∞，1)C．(－1,1) D．(0,2)4．设函数f(x)＝ln[(x－1)(2－x)]的定义域是A，函数g(x)＝lg(－1)的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围( )A．a>3 B．a≥3C．a> D．a≥5．已知函数，若数列{a n}满足a n＝f(n)(n∈N*)，且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是( )A．[，3) B．(，3)C．(2,3) D．(1,3)6．已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－a x，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a 的取值范围是( )A．(0，]∪[2，＋∞) B．[，1)∪(1,4]C．[，1)∪(1,2] D．(0，)∪[4，＋∞)二、填空题7．函数y＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________．8．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y ＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y＝的定义域、值域和单调区间．11．(2011·银川模拟)若函数y＝a2x＋2a x－1(a>0且a≠1)在x∈[－1,1]上的最大值为14，求a的值．12．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．(1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．指数函数答案1.解析：由a⊗b＝得f(x)＝1⊗2x＝答案：A2. 解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为直线x＝1，由此得b ＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)．答案：A3.解析：由于函数y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k＋1)内不单调，所以有k－1<0<k＋1，解得－1<k<1.答案：C4. 解析：由题意得：A＝(1,2)，a x－2x>1且a>2，由A⊆B知a x－2x>1在(1,2)上恒成立，即a x－2x－1>0在(1,2)上恒成立，令u(x)＝a x－2x－1，则u′(x)＝a x lna－2x ln2>0，所以函数u(x)在(1,2)上单调递增，则u(x)>u(1)＝a－3，即a≥3.答案：B5. 解析：数列{a n}满足a n＝f(n)(n∈N*)，则函数f(n)为增函数，注意a8－6>(3－a)×7－3，所以，解得2<a<3.答案：C6. 解析：f(x)<⇔x2－a x<⇔x2－<a x，考查函数y＝a x与y＝x2－的图象，当a>1时，必有a－1≥，即1<a≤2，当0<a<1时，必有a≥，即≤a<1，综上，≤a<1或1<a≤2.答案：C7. 解析：当a>1时，y＝a x在[1,2]上单调递增，故a2－a＝，得a＝.当0<a<1时，y＝a x在[1,2]上单调递减，故a－a2＝，得a＝.故a＝或.答案：或8. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．答案：[－1,1]9. 解析：如图满足条件的区间[a，b]，当a＝－1，b＝0或a＝0，b＝1时区间长度最小，最小值为1，当a＝－1，b＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1.答案：110. 解：要使函数有意义，则只需－x2－3x＋4≥0，即x2＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1.∴函数的定义域为{x|－4≤x≤1}．令t＝－x2－3x＋4，则t＝－x2－3x＋4＝－(x＋)2＋，∴当－4≤x≤1时，t max＝，此时x＝－，t min＝0，此时x＝－4或x＝1.∴0≤t≤.∴0≤≤.∴函数y＝的值域为[，1]．由t＝－x2－3x＋4＝－(x＋)2＋(－4≤x≤1)可知，当－4≤x≤－时，t是增函数，当－≤x≤1时，t是减函数．根据复合函数的单调性知：y＝在[－4，－]上是减函数，在[－，1]上是增函数．∴函数的单调增区间是[－，1]，单调减区间是[－4，－]．11. 解：令a x＝t，∴t>0，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a>1，∵x∈[－1,1]，∴t＝a x∈[，a]，故当t＝a，即x＝1时，y max ＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．②若0<a<1，∵x∈[－1,1]，∴t＝a x∈[a，]，故当t＝，即x＝－1时，y max＝(＋1)2－2＝14.∴a＝或－(舍去)．综上可得a＝3或.12. 解：法一：(1)由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，设0≤x1<x2≤1，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)>0恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立．由于2x2＋2x1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2.法二：(1)同法一．(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′(x)＝λln2·2x－ln4·4x＝ln2[－2·(2x)2＋λ·2x]≤0成立．设2x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u2＋λu≤0恒成立．因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.。

命题：焦雷
（2） (, 1] [0, ) ．
例题三：答案:D.因为 f(x)在 R 上是增函数，故结合图象知Error!，解得 4≤a<8. 例题四：奇函数．
4
既然选择了远方，便只顾风雨兼程
例题五：（1）x 2 ．（2） (1,) ． 4
例题六：解：由题意得 1＋2x＋4xa>0 在 x∈(－∞，1]上恒成立， 1＋2x
B．(1,8)
C．(4,8)
D．[4,8)
题型四：判断奇偶性
例四．判断函数 y 2x 1 的奇偶性. 2x 1
题型五：解指数方程、不等式 例五．（1）解方程3x2 32x 80 ．
（2）解不等式(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1x .
1
既然选择了远方，便只顾风雨兼程
题型六：不等式恒成立问题 例六．函数 y＝1＋2x＋4xa 在 x∈(－∞，1]上 y>0 恒成立，求 a 的取值范围．
f
(x)
2 2 x
2x
在区间[﹣1，2]上的值域是
．
11.函数 y a2x 2ax 1(a 0且a 1)在区间[1且1]上有最大值 14，则 a 的值是
．
12.若函数 f (x) ax 1(a 0, a 1) 的定义域和值域都是0,2，则实数 a 的值为
．
1
1
13. 已知 x y 12, xy 9 ，且 x y ，求
)．
D． a＞1 2
2
既然选择了远方，便只顾风雨兼程
6.若关于 x 的方程| ax 1| 2a(a 0, a 1) 有两个不等实根，则 a 的取值范围是( ) ．
A．(0,1)∪(1，＋∞)
B．(0,1) 1
C．(1，＋∞)

4.2指数函数【题组一 指数函数的判断】1（2019·南昌市新建一中高一月考）下列函数中,指数函数的个数为( )①112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭②y ＝a x ()01a a >≠且;③y ＝1x ;④2112xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．0B ．1C ．3D ．4【正确答案】B【详细解析】由指数函数的定义可判定,只有②正确．故选B2．（2020·全国高一课时练习）下列各函数中,是指数函数的是（ ） A ．(3)xy =- B ．3xy =-C ．13x y -=D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【正确答案】D【详细解析】根据指数函数的定义知,()0,1xy a a a =>≠,A 选项底数错误,B 选项系数错误,C 选项指数错误;D 正确.故选:D3．（2020·全国高一课时练习）下列函数是指数函数的是________( 填序号)． ①y ＝4x ;②y ＝x 4;③y ＝( －4)x ;④y ＝4x 2. 【正确答案】①【详细解析】形如(0x y a a =>且1a ≠)的函数,叫指数函数.由指数函数定义,只有①是指数函数;②y ＝x 4是幂函数;③y ＝( －4)x ,由于底数4(0,1)(1,)-∉+∞,所以③不是指数函数;④y ＝4x 2不是指数函数.故正确答案为:①4．（2020·浙江高一课时练习）下列函数中是指数函数的是________.①13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭;②23x y =⨯;③13x y -=;④4x y =;⑤31x y =+;⑥3131x xy -=+. 【正确答案】①④【详细解析】函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数,且4xy =也是指数函数,其它函数不符合指数函数的三个特征.故正确答案为:①④.5．（2020·河北鹿泉区第一中学高二月考）若函数()()21xf x a a a =--是指数函数,则（ ）A ．1a =B ．2a =C ．1a =或2a =D ．0a >且1a ≠【正确答案】B【详细解析】由指数函数的定义,得2111a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩,解得2a =．故选:B 6．（2020·全国高一课时练习）若函数()21xy a =-（x 是自变量）是指数函数,则a 的取值范围是（ ） A ．0a >且1a ≠ B ．0a ≥且1a ≠ C ．12a >且1a ≠ D ．12a ≥【正确答案】C【详细解析】由于函数()21xy a =-（x 是自变量）是指数函数,则210a ->且211a -≠, 解得12a >且1a ≠.故选:C. 【题组二 定义域和值域】1．（2020·沙坪坝.重庆八中高一期末）已知实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞,则a 的取值范围是( )A ．()1,2B ．(2,)+∞C ．(0,1)(1,2]⋃D ．[2,)+∞【正确答案】D【详细解析】实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞, 当01a <<时,当2x >时,()f x 的值域为()20,a ,与值域为[4,)+∞矛盾,所以01a <<不成立当1a >时,对于函数()6f x x =-,2x ≤,函数的值域为[4,)+∞.所以只需当2x >时值域为[4,)+∞的子集即可.即24a ≥,解得2a ≥（舍去2a ≤-）综上可知a 的取值范围为[2,)+∞故选:D2．（2020·上海市新中高级中学高一月考）函数()1f x x =+-的定义域为__________. 【正确答案】(2,1)-【详细解析】函数()f x =x 满足:2650140210xx x x ⎧--≥⎪⎪⎛⎫->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≠⎩, 解得6121x x x -≤≤⎧⎪>-⎨⎪≠⎩即 21x -<<.故正确答案为:(2,1)-3．函数()f x =的定义域为______________． 【正确答案】[1,)+∞【详细解析】换元20x t =>,得出220t t --≥,解得1t ≤-（舍去）或2t ≥,即22x ≥,解得1x ≥. 因此,函数()y f x =的定义域为[)1,+∞,故正确答案为[)1,+∞.4．（2020·浙江金华.高一期末）已知函数()321,0331,0xxx x f x x ⎧+≥=⎨-+<⎩,则()f x 的最小值是_____________. 【正确答案】34【详细解析】当0x ≥时,函数31y x =+单调递增,此时()min 01f f ==;当0x <时,设()30,1xt =∈,()2213()124f xg t t t t ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭, 此时,min 1324f g ⎛⎫==⎪⎝⎭．综上可知,函数()f x 的最小值是34．故正确答案为:34． 5．（2020·山东滨州.高三三模）已知函数()()()221,412x x x f x h x a a x -+==->-．若[)123,,x x ∀∈+∞∃∈[)3,+∞,使得()()12f x h x =,则实数a 的最大值为__________．【正确答案】2【详细解析】由题意可知,函数()f x 在[)3,+∞的值域是函数()h x 在[)3,+∞上值域的子集, ()()()2222212122x x x x f x x x -+-+-+==--,3x ≥122242x x =-++≥=-, 等号成立的条件是122x x -=-,即3x =,成立, 即函数()f x 在[)3,+∞的值域是[)4,+∞()()41x h x a a =->,是增函数,当[)3,x ∈+∞时,函数()h x 的值域是)34,a ⎡-+∞⎣,所以344a -≤,解得:12a <≤, 所以实数a 的最大值是2. 故正确答案为:26．（2020·吉林南关.长春市实验中学高二期中（文））已知函数21(),()()2xf x x mg x =+=,若“对任意[]11,3x ∈-,存在[]20,2x ∈,使12()()f x g x ≥”是真命题,则实数m 的取值范围是__________.【正确答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【详细解析】因为“对任意[]11,3x ∈-,存在[]20,2x ∈,使12()()f x g x ≥”是真命题, 所以只需min min ()()f x g x ≥,因为函数2()f x x m =+在[]1,0-上单调递减,在[]0,3上单调递增,所以min ()(0)f x f m ==,因为函数1()()2x g x =在[]0,2上单调递减,所以min 1()(2)4g x g ==所以14m ≥,故正确答案为:1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．（2020·贵州高三其他（理））函数12()(0)12xx f x x +=>+的值域为____________. 【正确答案】11,32⎛⎫⎪⎝⎭【详细解析】121()(0)1222x x xf x x +-==>++,0x ,0x ∴-<,021x -<<,所以2223x -<+<,则11()32f x <<.故正确答案为:11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭8．（2020·上海高三专题练习）函数22811(31)3x x y x --+⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的值域是_________.【正确答案】991,33⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详细解析】设22281229t x x x =--+=-++（），31x -≤≤，∴ 当2x =- 时,t 有最大值是9;当1x = 时,t 有最小值是-9,99t ∴-≤≤ ,由函数1()3x y = 在定义域上是减函数,∴原函数的值域是99[33]-，． 故正确答案为99[33]-，． 9．（2020·陕西新城.西安中学高二期末（文））若函数()24113ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3,则实数a 的值为__________. 【正确答案】2【详细解析】令241t ax x =-+,则13t y ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由题意13ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3,则241t ax x =-+有最小值1-,所以0a >且24(4)14a a--=-,解得2a =.故正确答案为:210．（2020·上海高一课时练习）函数112142x xy a ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[1,)x ∈-+∞的最大值为1-,那么a =________. 【正确答案】3-【详细解析】令1()(0,2]2xt =∈,则221y t t a =++-,对称轴为12t =-,221y t t a =++-在(0,2]t ∈ 单调递增,所以2max 22211y a =++-=-,解得3a =-.故正确答案为:3-11．（2020·上海黄浦.高三二模）已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[2,0]-,则(1)f -=________．3【详细解析】当1a >时,函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠在[2,0]-上单调递增,所以()()2200f f ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩,即()()22200f a b f a b -⎧-=+=-⎪⎨=+=⎪⎩,此时方程组无解. 当01a <<时,函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠在[2,0]-上单调递减,所以()()2002f f ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩,即()()22002f a b f a b -⎧-=+=⎪⎨=+=-⎪⎩,解得:33a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以()3xf x =-⎝⎭,则(1)3f -=故正确答案为3. 【题组三 指数函数性质】1．（2019·宁夏贺兰县景博中学高一月考）函数22311()2x x f x -+⎛⎫=⎪⎝⎭的增区间是________________ .【正确答案】3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【详细解析】函数()f x 的定义域为R ,令2231t x x =-+,则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 因为12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减, 而2231231248t x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭在3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减, 所以函数()f x 的增区间为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故正确答案为:3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．（2020·四川泸县五中高一月考）若函数()22313x mx f x +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,1-上单调递减,则实数m 的取值范围是__________． 【正确答案】[)4,+∞【详细解析】本题等价于223y x mx =+-在()1,1-上单调递增,对称轴4m x =-, 所以14m-≤-,得4m ≥．即实数m 的取值范围是[)4,+∞． 3．（2020·黑龙江萨尔图.大庆实验中学高二期末（文））已知0.60.4a =,0.20.4b =,0.22c =,则a ,b ,c 的大小关系是______． 【正确答案】c b a >>【详细解析】∵指数函数()0.4xf x =是单调减函数,()()0.6,0.4a f b f ==,∴()01a b f <<=,()2x g x =是单调增函数,∴()()0.201c g g =>=,∴c b a >>,故正确答案为:c b a >>.4．（2019·贵州高二学业考试）已知21x m ≤+在[0,)x ∈+∞上恒成立,则实数m 的最大值是__________. 【正确答案】2【详细解析】由指数函数的性质,可得2xy =在[0,)+∞为单调递增函数,所以21x ≥,可得212x +≥,即21x +最小值为2,又由21x m ≤+在[0,)x ∈+∞上恒成立,所以2m ≤, 即实数m 的最大值2.故正确答案为:2.5．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的定义域和值域,并写出其单调区间.（1）()f x = （2）121()3xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭;（3）223()2x x f x --+=; （4）121()1,[2,3]933xxf x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【正确答案】（1）定义域:(,2]-∞-,值域:[0,1),减区间:(,2]-∞-;（2）定义域:(,2)(2,)-∞⋃+∞,值域:(0,1)(1,)⋃+∞,减区间:(,2)-∞和(2,)+∞;（3）定义域:R ,值域:(0,16],增区间:(,1]-∞-,减区间:[1,)-+∞;（4）值域8,769⎡⎤⎢⎥⎣⎦,减区间:[2,1]-,增区间:[1,3]【详细解析】（1）由2130x +-≥得2x -≤,所以定义域为(,2]-∞-,又230x +>, 所以20131x +≤-<,01y ≤<,所以值域中[0,1),213x u +=-在R 上是减函数,所以()f x =(,2]-∞-;（2）由20x -≠得2x ≠,所以定义域是(,2)(2,)-∞⋃+∞,又102x ≠-,所以值域是(0,1)(1,)⋃+∞, 12u x=-在(,2)-∞和(2,)+∞上都是增函数,所以121()3xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的减区间是(,2)-∞和(2,)+∞;（3）定义域是R ,又2223(1)44x x x --+=-++≤,所以值域中(0,16],2(1)4u x =-++在(,1]-∞-上递增,在[1,)-+∞上递减,所以223()2xx f x --+=的增区间(,1]-∞-,减区间是[1,)-+∞;（4）定义域是[2,3]-,令1()3xt =,由[2,3]x ∈-,所以1[,9]27t ∈, 222181()339y t t t =-+=-+,所以876]9y ≤≤,值域8,769⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又222181()339y t t t =-+=-+在11[,]273上递减,在1[,9]3上递增,而1()3x t =是减函数, 所以121()1,[2,3]933xxf x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的减区间是[2,1]-,增区间[1,3]．6．（2019·江西省遂川中学）若函数2121x xa ay ⋅--=-为奇函数． （1）求a 的值; （2）求函数的定义域; （3）求函数的值域． 【正确答案】（1）12-;（2）(,0)(0,)-∞+∞;（3）11(,)(,)22-∞-+∞． 【详细解析】（1）记21()21x xa af x ⋅--=-,∵()f x 是奇函数, ∴2121()()2121x x x x a a a a f x f x --⋅--⋅---+=+--(1)2211221x x x xa a a a -+⋅⋅--=+--21a =+0=,∴12a =-; （2）210x -≠,0x ≠,∴定义域为(,0)(0,)-∞+∞;（3）由（1）1211211()(1)221221221x x x xf x +=-⋅=-+=-----,∵0x ≠,∴021x <<或21x >, ∴1121x <--或1021x >-,∴1112212x -->-或1112212x --<--．∴值域为11(,)(,)22-∞-+∞． 【题组四 定点】1．（2020·全国高一课时练习）已知函数1()4x f x a +=+的图象经过定点P ,则点P 的坐标是（ ）A ．( －1,5)B ．( －1,4)C ．( 0,4)D ．( 4,0)【正确答案】A【详细解析】当10x +=,即1x =-时,011x a a +==,为常数,此时()415f x =+=,即点P 的坐标为( －1,5).故选:A.2．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））函数1()21(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象过定点,这个点的坐标为______ 【正确答案】(1,3)【详细解析】令10x -=,1,3x y ==,所以函数()f x 过定点(1,3).故正确答案为:(1,3). 3．（2020·公主岭市第一中学校高一期中（理））函数()110,1x y a a a -=+>≠的图象恒过定点P ,则点P 的坐标为________. 【正确答案】()1,2【详细解析】由指数函数()0,1xy aa a =>≠过定点()0,1且xy a =图像向右平移1个单位,向上移动1个单位得到11x y a -=+图像,所以函数11x y a-=+过定点()1,2故正确答案为:()1,24．（2019·全国高三其他（文））函数2019()2020x f x a-=+（0a >且1a ≠）的图象过定点A ,则点A 的坐标为______.【正确答案】()2019,2021【详细解析】由20190x -=得=2019x ,此时0(2019)2020=2021f a =+,即函数()f x 过定点()2019,2021A ,故正确答案为: ()2019,2021. 【题组五 图像】1．（2020·浙江高一课时练习）二次函数24(2)y x x x =-->-与指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像的交点个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0【正确答案】C【详细解析】二次函数224(2)4(2)y x x x x =--=-++>-,且1x =-时,3y =;2x =-时,4y =.指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,当1x =-时,2y =;2x =-时,4y =. 两个函数()2,-+∞上均单调递减,在坐标系中画出24(2)y x x x =-->-与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象,如图所示,由图可得,两个函数图像的交点个数为1. 故选:C.2．（2020·河南林州一中高二月考（理））函数()112x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【详细解析】作出函数1()01222x x x x y x ⎧≥⎪==⎨⎪<⎩的图象,如下图所示,将12x y =的图象向左平移1个单位得到()112x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭图象. 故选:B3．（2019·辛集市第二中学高二期中）已知a ＞1,则函数y =a x 与y =（a -1）x 2在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【详细解析】∵a ＞1,∴函数y =a x 为增函数,函数y =（a -1）x 2在（-∞,0）上为减函数,在（0,+∞）上为增函数．故选:A ．4．（2020·上海高三专题练习）已知01,1a b <<<-,则函数xy a b =+的图像必定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A【详细解析】此题考查指数函数的图像的性质和指数函数的上下平移;有已知得到:此指数函数是减函数,分布在第一,二象限,渐近线是x 轴,即0y =;xy a b =+（1b <-）是由指数函数向下平移大于1个单位得到的,即原来指数函数所过的定点(0,1)向下平移到原点的下方了,所以图像不经过第一象限,所以选A,如下图所示:5．（2020·四川成都七中高一月考）设0a >且1,a ≠则函数xy a b =+与y b ax =-在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【详细解析】对A,y b ax =-中的10,01b a -<<<<,xy a b =+中的1a >,不能统一,错误; 对B,y b ax =-中的0,1a b ><-,xy a b =+中的0,10a b >-<<,不能统一,错误;对C,y b ax =-中的10,01b a -<<<<,xy a b =+中的10,01b a -<<<<,正确;对D,y b ax =-中的1b <-,xy a b =+中的10b -<<,不能统一,错误; 故选:C.6．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下,指数函数x y a =和xy b =的图象如图,则下列关系中正确的是（ ）A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1a b >>D ．1b a >>【正确答案】C【详细解析】很显然a ,b 均大于1;xy a =与1x =的交点在xy b =与1x =的交点上方,故b a <,综上所述:1a b >>.故选:C.7．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若函数()21()x f x b b R =+-∈的图象不经过第二象限,则有（ ）A ．1bB ．1bC ．0bD ．0b【正确答案】D【详细解析】因为2xy =,当0x <时,()01y ∈，,所以函数()21()x f x b b R =+-∈的图象不经过第二象限,则有11b -≤-,解得0b ≤,故选:D .8．（2019·安徽高一月考）若函数xy a b =-,（0a >,且1a ≠）的图像经过第一,第三和第四象限,则一定有（ ）A ．01a <<且1b >B ．1a >且1b >C ．01a <<且1b <D ．1a >且1b <【正确答案】B【详细解析】根据指数函数的图象和性质可知,要使函数y ＝a x ﹣（b +1）（a ＞0且a ≠1）的图象经过第一、三、四象限,则函数为增函数,∴a ＞1,且f （0）＜0,即f （0）＝1﹣b ＜0,解得b ＞1,故选:B ．9．（2019·河南中原.郑州一中高一开学考试）若函数1x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象经过第二、三、四象限,则一定有（ ）．A ．01a <<且0b >B ．1a >且0b >C ．01a <<且0b <D ．1a >且0b <【正确答案】C【详细解析】1xy a b =+-,经过二、三、四象限,则其图像应如图所示:所以01a <<,010a b +-<,即0b <,故选B.10．（2020·全国高一课时练习）函数()218x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【详细解析】由题意得,()f x 的定义域为R ,排除C,D;当2x ≥-时,()218x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭,∵1018<<,∴()f x 在[)2,-+∞上单调递减,排除A,故选B. 【题组六 综合运用】1．（2020·安徽贵池池州一中高二期中（文））已知函数()423xxf x a =+⋅+,a R ∈.（1）当4a =-时,[]0,2x ∈,求函数()f x 的值域;（2）若对于任意的()0,x ∈+∞,()0f x >恒成立,求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）[]1,3-;（2）a >-【详细解析】（1）当4a =-时,令2x t =,由[]0,2x ∈,得[]1,4t ∈,()224321y t t t =-+=--,当2t =时,min 1y =-;当4t =时,max 3y =． ∴函数()f x 的值域为[]1,3-;（2）设2x t =,则1t >,()0f x >在()0,∞+对任意的实数x 恒成立, 等价于230t at ++>在()1,t ∈+∞上恒成立, ∴3a t t ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭在()1,+∞上恒成立,∴max 3a t t ⎡⎤⎛⎫>-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,设()3g t t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,1t >,函数()g t在(上单调递增,在)+∞上单调递减,∴()max g t g==-∴a >-2．（2020·河北承德高一期末）已知函数1()422x x f x k k +=-+⋅-,[0,1]x ∈.（1）当1k =-时,求()f x 的值域;（2）若()f x 的最大值为34-,求实数k 的值. 【正确答案】（1）[6,1]--（2）32【详细解析】（1）当1k =-时,1()422xx f x +=--+在[0,1]上单调递减,故max ()(0)1f x f ==-,min ()(1)6f x f ==-, 所以()f x 的值域为[6,1]--. （2）()2()2222xx f x k k =-+⋅-,令2x t =,[1,2]t ∈则原函数可化为2()22g t t kt k =-+-,其图象的对称轴为t k =.①当1k 时,()g t 在[1,2]上单调递减,所以max 3()(1)1224g t g k k ==-+-=-,无解; ②当12k <<时,2max 3()()24g x g k k k ==-=-, 即23204k k -+=,解得32k ; ③当2k ≥时,()g t 在[1,2]上单调递增,所以max 3()(2)424g x g k ==-+=-, 解得138k =,不合题意,舍去. 综上,k 的值为32.3．（2019·甘肃城关兰州五十一中高一期中）已知函数2431()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,（1）若1a =-,求()f x 的单调区间; （2）若()f x 有最大值3,求a 的值.（3）若()f x 的值域是(0,)+∞,求a 的取值范围.【正确答案】（1）函数f ( x )的递增区间是( −2,+∞),递减区间是( −∞,−2);（2）a =1;（3）{0}【详细解析】( 1)当a =−1时, 2431()3x x f x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭,令()243g x x x =--+,由于g ( x )在( −∞,−2)上单调递增,在( −2,+∞)上单调递减,而13ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减, 所以f ( x )在( −∞,−2)上单调递减,在( −2,+∞)上单调递增, 即函数f ( x )的递增区间是( −2,+∞),递减区间是( −∞,−2).( 2)令()243h x ax x =-+,()13h x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由于f ( x )有最大值3,所以h ( x )应有最小值−1, 因此12164a a-=−1, 解得a =1.即当f ( x )有最大值3时,a 的值等于1. ( 3)由指数函数的性质知, 要使y =h ( x )的值域为( 0,+∞). 应使()243h x ax x =-+的值域为R ,因此只能有a =0.因为若a ≠0,则h ( x )为二次函数,其值域不可能为R . 故a 的取值范围是{0}.4．（2019·浙江高二学业考试）已知函数()22x xf x k -=+⋅,k ∈R ．（1）若函数()f x 为奇函数,求实数k 的值． （2）若对任意的[0,)x ∈+∞都有()2xf x ->成立,求实数k 的取值范围．【正确答案】（I ）( II)【详细解析】（1） 已知函数为奇函数,由()(),R f x f x x -=-∈,求得k 的值;（2）恒成立问题通常是求最值,将原不等式整理为212x k -<对0x ≥恒成立,进而求22xy =在[0,)+∞上的最小值,得到结果.试题详细解析:（1）因为()22,x xf x k k R -=+⋅∈是奇函数,所以()(),R f x f x x -=-∈,即22(22),x x x x k k --+⋅=-+⋅所以2(1)(1)20x k k +++⋅=对一切R x ∈恒成立,所以1k =-.（2）因为[)0,x ∈+∞,均有()2,xf x ->即222x x x k --+⋅>成立,所以212x k -<对0x ≥恒成立,所以2min 1(2)xk -<,因为22xy =在[)0,+∞上单调递增,所以2min (2)1x =,所以0k >.。

教学过程④负分数指数幂：a n m-＝a n m1＝1na m(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数辨析感悟1．指数幂的应用辨析(1)(4－2)4＝－2.( )(2)(教材探究改编)(na n)＝a.( )2．对指数函数的理解(3)函数y＝3·2x是指数函数．( )(4)y＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax是R上的减函数．( )教学效果分析教学过程(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．( )(6)(2013·金华调研)已知函数f(x)＝4＋a x－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(1,5)．( )[感悟·提升]1．“na n”与“⎝⎛⎭⎫na n”的区别当n为奇数时，或当n为偶数且a≥0时，na n＝a，当n为偶数，且a＜0时，na n＝－a，而(na)n＝a恒成立．如(1)中4－2不成立，(2)中6－22＝32≠3－2. 2．两点注意一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论，如(4)；二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5)．考点一指数幂的运算【例1】(1)计算：＋(－2)2；(2)若＝3，求的值．规律方法进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及a p a－p＝1(a≠0)简化运算．(2)教学效果分析教学过程考点二指数函数的图象及其应用【例2】(1)(2014·泰安一模)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________．①a＞1，b＜0；②a＞1，b＞0；③0＜a＜1，b＞0；④0＜a＜1，b＜0.(2)比较下列各式大小．①1.72.5______1.73；②0.6－1______0.62；③0.8－0.1______1.250.2；④1.70.3______0.93.1.规律方法(1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．【训练2】已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________．教学效果分析教学过程1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．3．画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a.4．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫110x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．易错辨析2——忽略讨论及验证致误【典例】(2012·山东卷)若函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.[防范错施] (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础．【自主体验】当x∈[－2,2]时，a x<2(a>0，且a≠1)，则实数a的范围是________．教学效果分析课堂巩固一、填空题1．(2014·郑州模拟)在函数①f (x )＝1x ；②f (x )＝x 2－4x ＋4；③f (x )＝2x ；④f (x )＝中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)”的是________．2．函数y ＝a x －1a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是________．3.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________．5．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为________．6．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为________．7．(2014·盐城模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．8．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．9．函数f (x )＝a x －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝________. 10．(2014·杭州质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________． 11．(2014·惠州质检)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则关系式3c ＋3a ________2(比较大小)．二、解答题12．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．。

1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t ＝a s ＋t ，(a s )t ＝a st ，(ab )t ＝a t b t ，其中a >0，b >0，s ，t ∈Q . 2．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 (5)当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( × )(2)分数指数幂a m n可以理解为mn 个a 相乘．( × )(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( × ) (5)函数y ＝21＋x a (a >1)的值域是(0，＋∞)．( × )(6)函数y ＝2x－1是指数函数．( × )1．函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的图象经过定点坐标为__________． 答案 (1,1)解析 令x －1＝0得x ＝1，此时y ＝a 0＝1，所以点(1,1)与a 无关，所以函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的图象过定点(1,1)．2．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是______．(填图象序号)答案 ④解析 函数f (x )的图象恒过(－1,0)点，只有图象④适合． 3．计算：3×31.5×612＋lg 14－lg 25＝________.答案 1解析3×31.5×612＋lg 14－lg 25＝312×131332×316×213－lg 4－lg 25＝3－lg 100＝3－2＝1.4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.5．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 答案 [0,8)解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0<23－x ≤23＝8，∴0≤8－23－x <8， ∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0,8)．题型一 指数幂的运算例1 化简：(1)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a13-b13(a >0，b >0)；(2)(－278)－23＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.解 (1)原式＝1122323311233a b a b ab a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3111111226333＋－＋＋－－a b ＝ab －1. (2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________________________________________________________________________. (2)(14)12-·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________. 答案 (1)0 (2)85解析 (1)原式＝253125641000-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎢⎥⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭－⎝⎛⎭⎫27813－1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4103152()523⨯-⨯－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝2×432×a 32b32-10a 32b32-＝85. 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是________． ①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b <0.(2)(2015·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 (1)④ (2)[－1,1]解析 (1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. (2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象之间的关系，下列判断正确的是________．①关于y 轴对称； ②关于x 轴对称； ③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________． ①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c; ④2a ＋2c <2. 答案 (1)① (2)④ 解析 (1)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x＝2－x ， ∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称． (2)作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图， ∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知 0<f (a )<1，a <0，c >0， ∴0<2a <1.∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1， ∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c <2，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又∵f (a )>f (c )，∴1－2a >2c －1， ∴2a ＋2c <2.题型三 指数函数的图象和性质命题点1 比较指数式的大小例3 (1)下列各式比较大小正确的是________． ①1.72.5>1.73; ②0.6－1>0.62； ③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3>0.93.1.(2)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 (1)②④ (2)a >c >b解析 (1)①中， ∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数， 2．5<3，∴1.72.5<1.73，错误；②中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；③中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； ④中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，正确． (2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x为减函数， ∴⎝⎛⎭⎫2535<⎝⎛⎭⎫2525 即b <c ，又a c ＝⎝⎛⎭⎫3525⎝⎛⎭⎫2525＝⎝⎛⎭⎫3225>⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴a >c ，故a >c >b .命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－3,1)解析 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)．命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质例5 设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解 因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x )＝a x －a －x . (1)因为f (1)>0，所以a －1a>0，又a >0且a ≠1，所以a >1.因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0，所以f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， 所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， 所以x >1或x <－4.所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}． (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)． 即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2. 思维升华 指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．(1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1422－x x 的值域为__________． 答案 (1)(－∞，4] (2)(0,4]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)令t ＝x 2－2x ，则有y ＝⎝⎛⎭⎫14t，根据二次函数的图象可求得t ≥－1，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x的图象可得0<y ≤⎝⎛⎭⎫14－1，即0<y ≤4.4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________． (2)函数f (x )＝2211()2－＋＋x x 的单调减区间为_________________________．思维点拨 (1)求函数值域，可利用换元法，设t ＝⎝⎛⎭⎫12x，将原函数的值域转化为关于t 的二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求． 解析 (1)因为x ∈[－3,2]， 所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8， 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数值域为⎣⎡⎦⎤34，57. (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数， ∴函数f (x )＝2211()2－＋＋x x 的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． 答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)(－∞，1]温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[方法与技巧]1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进行比较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0<a <1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． [失误与防范]1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <1，f (x －2)，x ≥1，则f (log 27)的值为________．答案 74解析 由于log 24<log 27<log 28，即2<log 27<3，log 27－2＝log 274<1，因此f (log 27)＝f (log 27－2)＝f ⎝⎛⎭⎫log 274＝227log 4＝74. 2．已知a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝(12)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是__________．答案 a >b >c解析 a >20＝1，b ＝1，c <(12)0＝1，∴a >b >c .3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是____________．答案 [2，＋∞)解析 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．4．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点． ①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.5．计算：⎝⎛⎭⎫3213-×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ⎝⎛⎭⎫－2323＝________.答案 2 解析 原式＝113133442222 2.331＋－＝⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．已知函数y ＝a x ＋b (b >0)的图象经过点P (1,3)，如图所示，则4a －1＋1b 的最小值为______． 答案 92解析 由函数y ＝a x＋b (b >0)的图象经过点P (1,3)，得a ＋b ＝3，所以a －12＋b 2＝1，又a >1，则4a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋b 2＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋22b a －1·a －12b＝92，当且仅当2b a －1＝a －12b ，即a ＝73，b ＝23时取等号，所以4a －1＋1b 的最小值为92. 7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．答案 m >n解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 8．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________． 答案 0解析 当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 9．已知函数()43132－＋＝ax x f x ⎛⎫⎪⎝⎭(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.10．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x －⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x ＋⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数．∴f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立， ⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋122≤0， 又⎝⎛⎭⎫t ＋122≥0，∴⎝⎛⎭⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是____________． 答案 f (－4)>f (1)解析 由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．12．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则在直角坐标系中函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫1a |x ＋b |的图象为________．答案 ②解析 f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，取等号时x ＋1＝9x ＋1，此时x ＝2.所以a ＝2，b ＝1，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x ＋1|.g (x )的图象可以看作是y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象向左平移一个单位得到的，②符合要求．13．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－23，34 解析 由题意，得x <0，所以0<⎝⎛⎭⎫32x <1，从而0<2＋3a 5－a<1，解得－23<a <34. 14．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,2) 解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.15．已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式；(2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？解 (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0.设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x4x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )＝－2x 4x ＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ＝0，2x4x ＋1，x ∈(0，1).(2)设0<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝(1222x x -)＋(221221＋2＋2－x x x x )(41x ＋1)(42x ＋1)＝(21x －22x )(1－212＋x x )(41x ＋1)(42x ＋1)， ∵0<x 1<x 2<1，1222，x x ∴< 120221＋＝，x x >∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(0,1)上为减函数．(3)∵f (x )在(0,1)上为减函数，∴2141＋1<f (x )<2040＋1，即f (x )∈⎝⎛⎭⎫25，12. 同理，f (x )在(－1,0)上时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫－12，－25. 又f (0)＝0，当λ∈⎝⎛⎭⎫－12，－25∪⎝⎛⎭⎫25，12， 或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解.。

指数函数突破思路本节主要学习分数指数幂与指数函数．1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质．在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a的n次幂表示n个a相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质：（1）aman＝am＋n；（2）am÷an＝am－n（a≠0，m＞n）；（3）（am）n＝amn；（4）（ab）n＝anbn；（5）（）n＝若（b≠0）．另外规定了a0＝1（a≠0）、a－n＝（n为正整数，a≠0），这样一来，原来的5条运算律可以归纳为（1）（3）（4）三条，同时将指数幂的概念扩大到了整数．2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发．从根式的基本性质＝（a≥0，m、n、pN*），我们知道a≥0时，＝a3＝，＝a4＝．于是我们规定：（1）＝（a≥0，m、nN*）；（2）＝（a＞0，m、nN*，n＞1）；（3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义．这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为：（1）aras＝ar＋s；（2）（ar）s＝ars；（3）（ab）r＝arbr，式中a＞0，b＞0，r、s为有理数．3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a＞0且a≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性．（1）若a＝0，当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax没有意义；（2）若a＜0，如y＝（－2）x对于x＝、等都是没有意义的；（3）若a＝1，则函数为y＝1x＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性．4．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数是一类重要的函数模型．5．在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指数函数的有界性解题．合作讨论【问题1】下列各式中正确的是（）A．＝a（nN*）B．（）n＝a（nN*）C．＝（n，m，pN*）D．＝（m，nN*，a＞0）我的思路：我们知道，如果xn＝a，则称x是a的n次方根．若a＝0时，则x＝0，即＝0，若a≠0时，当n为正奇数时，x＝，其符号与x的符号一致；当n为正偶数时，则a 一定大于零，x＝士，即正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．A、C中的根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a的符号．如：≠－2和≠，应该先将被开放式底数－2化成2，然后再进行化简．故A，C不一定成立．一般地，根式有如下性质：（1）＝（nN*）；（2）（）n＝a（nN*）．对于分数指数幂不能理解为有个a相乘，我们规定＝（a＞0，m，nN*）．应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系，不可颠倒．故D不成立．因此选B．思考：对于根式在什么条件下有意义？【问题2】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y＝2x；②y＝5x；③y＝（）x；④y＝（）x．观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？我的思路：指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）恒过两个点（0，1）和（1，a）．这四个函数都经过（0，1），又分别经过（1，2）、（1，5）、（1，）、（1，）．再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象（如下图）．根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y轴对称．结论：（1）一般地，指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）与y＝a－x（a＞0且a≠1）的图象关于y轴对称．（2）在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大（可简记为“右侧底大图高”）；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大（简记为“左侧底大图低”）．（3）（有界性）若a＞1，当x＞0时，y＞1当x＜0时，0＜y＜1．若0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1．思维过程在本小节的学习过程中，我们应该从下面几个方面去掌握知识，提高能力．1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全相同．正整数指数幂的五条运算性质可以归结为以下三条：①ar·as＝ar＋s；②（ar）s＝ars；③（ab）r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，sQ．这三条运算性质对于r，sR也成立，我们要记准公式，不仅会直接使用，更要会准确地逆用、活用．2．对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n次方根的概念以及n次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化．3．在指数函数的概念中，对底数a＞0且a≠1的规定是为了使函数的定义域为实数集且具有单调性．运用指数函数性质解题时要注意对底数a的分类讨论，注意函数有界性的运用．4．在本节的学习过程中，要学会正确处理由指数函数与其他函数构成的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题，注意分类讨论、换元法、数形结合等数学思想方法的运用．5．在解决简单的实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．【例1】化简下列各式：（1）－［3×（）0］－1·［81－0.25＋］－10×；（2）÷（1－2）×．思路：此类问题的化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式．如，都不是最简形式．我们经常要用到下列公式：①a－b＝（－）（＋）；②a±2＋b＝（±）2；③a±b＝（±）（＋＋）．答案：（1）原式＝0.3－1－3－1·（3－1＋）－10×0.3＝－－3＝0；（2）原式＝××＝××＝a．【例2】设yl＝a3x－1，y2＝（a＞0，a≠1），确定x为何值时有（1）y1＝y2；（2）y1＞y2．思路：显然需对a进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式．答案：（1）由题意得a3x－1＝，则3x－1＝x2＋x－4，解得x＝3或x＝－1．（2）当a＞1时，a3x－1＞，则3x－1＞x2＋x－4，解得－1＜x＜3；当0＜a＜1时，＜a3x－1，则3x－1＜x2＋x－4，解得x＜－1或x＞3．【例3】比较下列各数的大小：①；②；③；④；⑤．思路：先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，①＝；②＝；③＝；④＝－；⑤＝显然，以0、1为界将五个数分成三类：①＞1，④＜0，②③⑤三个数均在0到1之间，注意到这三个数的底数相同，考查指数函数，y＝在实数集上递减，所以③＞②＞⑤．答案：＞＞＞＞．点评：比较幂的大小是典型的一类问题．解决这类问题一般用如下思路：（1）将两个数化成同底数幂的形式，再利用指数函数的单调性进行比较．（2）将两个数化成同指数幂的形式，再利用指数函数图象在y轴的右侧“右侧底大图高”；在y轴的左侧“左侧底大图低”．（3）寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较．如比较0.40.8与0.50.7，我们可以以0.40.7为中间数，0.40.8与0.40.7利用指数函数的单调性进行比较，得0.40.8＜0.40.7，而0.40.7与0.50.7由“右侧底大图高”得0.40.7＜0.50.7，因此0.40.8＜0.50.7；再如本题是先以0、1为桥梁将五个数分成三类的．新题解答【例1】对于函数y＝，（1）求函数的定义域，值域；（2）确定函数的单调区间．解析：函数y＝可以看成是由函数u＝x2－2x－1与函数y＝“复合”而成．（1）由u＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，当xR时，u≥－2，此时函数y＝总有意义，∴定义域为R；又由u≥－2，∴0＜≤9，∴原函数的值域为（0，9］．（2）∵函数u＝x2－2x－1在［1，＋）上递增，∴对于任意的1≤x1＜x2都有u1＜u2，∴＞，即y1＞y2．∴函数y＝在［1，＋］上递减．同理可得函数y＝在（－，1）上递增．点评：形如y＝（a＞0，a≠1）的函数有如下性质：（1）定义域与函数定义域相同；（2）先确定函数u＝f（x）的值域，然后以u的值域作为函数y＝（a＞0，a≠1）的定义域求得函数y＝（a＞0，a≠1）的值域；（3）函数y＝（a＞0，a≠1）的单调性，可以由函数u＝f（x）与y＝（a＞0，a≠1）按照“同增异减”的原则来确定．从本题中，我们可以体会换元法在解决复合函数问题中的作用．【例2】求下列函数的定义域，值域：（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝＋2×－1．解析：这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法．（1）要使函数有意义，则x－1≠0，∴x≠1．∴函数定义域为{x|x≠1}；∵x≠1，≠0，∴≠1，∴函数值域为{y|y＞0，且y≠1}．（2）∵2x－1≥0，∴函数定义域为{x|x≥}；∵2x－1≥0，∴≥0，∴y＝≥1．∴函数值域为{y|y≥1}．（3）函数定义域为R；∵2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1，∴y＝≥．∴函数值域为{y|y≥}．（4）函数定义域为R；令t＝，则t＞0，y＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2，其对称轴为t＝－1．∵t＞0，函数y＝（t＋1）2－2单调递增，∴y＝（t＋1）2－2＞1－2＝－1．∴函数值域为{y|y＞－1}．点评：本题求函数值域时，采用了逐步求解的方法，（4）利用了换元法．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A，再由函数的定义域A求内函数的值域B，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如（4）是由函数y＝t2＋2t－1和函数t＝3x复合而成，先求得原函数的定义域为R，再由xR得t＞0（即得到内函数的值域B），然后由t＞0得到函数值域为{y|y＞－1}．若（4）中的x≥1，你还能求出它的值域吗？【例3】若函数y＝为奇函数，（1）确定a的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性．解析：先将函数化简为y＝．（1）由奇函数的定义，可得f（－x）＋f（x）＝0，即＋＝0，∴2a＋＝0，∴a＝－．（2）∵y＝－－，∴－1≠0．∴函数y＝－－定义域为{x|x≠0}．（3）法一：（逐步求解法）∵x≠0，∴－1＞－1．∵－1≠0，∴0＞－1＞－1或－1＞0．∴－－＞，－－＜－，即函数的值域{y|y＞或y＜－}．法二：（利用有界性）由y＝－－≠－，可得＝．∵＞0，∴＞0．可得y＞或y＜－，即函数的值域{y|y＞或y＜－}．（4）当x＞0时，设0＜x1＜x2，则y1－y2＝－＝－＝．∵0＜x1＜x2，∴1＜＜．∴－＜0，－1＜0，－1＜0．∴y1－y2＜0，因此y＝－－在（0，＋）上递增．同样可以得出y＝－－在（－，0）上递减．点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识．在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法．当x＞0时，∵为增函数，∴－1为增函数，递减，一为增函数，∴y＝－－在（0，＋）上递增．一般地，函数y＝f（u）和函数u＝g（x），设函数y＝f［g（x）］的定义域为集合A，如果在A或A的某个子区间上函数y＝f（u）（称外函数）与u＝g（x）（称内函数）单调性相同，则复合函数y＝f［g（x）］在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y＝f［g（x）］在该区间上递减（可以简记为“同增异减”）．另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：①若函数y＝f（x）递增（减），则y＝－f（x）递减（增）；②若函数y＝f（x）在某个区间上恒为正（负）且递增（减），则y＝递减（增）；③若函数y＝f （x）递增（减），则y＝f（x）＋k递增（减）．【例4】已知函数y＝x（＋）．（1）求定义域；（2）讨论奇偶性；（3）证明它在定义域上恒大于0．解析：（1）定义域为{x|x≠0}．（2）f（x）－f（－x）＝x（＋＋1）＝x（＋1）＝0，∴f（x）＝f（－x）．∴f（x）是偶函数．（3）当x＞0时，＞1，∴－1＞0．∴＋＞．∴x（＋）＞x＞0，即当x＞0时，y＞0；当x＜0时，1＞＞0．∴0＞－1＞－1．∴＋＜－1．∴x（＋）＞－x＞0，即当x＜0时，y＞0．综上，f（x）在定义域上恒大于0．点评：这里判断函数的奇偶性，运用了定义的等价式，即f（x）－f（－x）＝0，则f （x）是偶函数；证明函数在定义域上恒大于0，转化为证明值域为（0，＋），这里运用分类讨论来逐步求解．【例5】如果函数y＝（a＞0且a≠1）在［－1，1］上有最大值14，试求a的值．解析：设t＝，则原函数可化为y＝（t＋1）2－2，对称轴为t＝－1．（1）若a＞1，∵x［－1，1］，∴－1＜≤t≤a．∵t＝在［－1，1］上递增，∴y＝（t＋1）2－2当t［，a］时也递增，∴原函数在［－1，1］上递增．故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1．由a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5（舍，∵a＞1）．（2）若1＞a＞0，可得当x＝－1时，ymax＝a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝或a＝－（舍）．综上，a＝或3．点评：本题运用了复合函数单调性的判断方法，以及复合函数值域的求法；对于底数进行了分类讨论．【例6】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T0，则经过一定时间h后的温度T将满足T－Ta＝（T0－Ta），其中Ta是环境温度，使上式成立所需要的时间h称为半衰期．在这样的情况下，t时间后的温度T将满足T－Ta＝（T0－Ta）．现有一杯F用热水冲的速溶咖啡，放置在F的房间中，如果咖啡降温到F需20分钟，问欲降到F需多少时间？解析：由题意，温度T是时间t的指数函数型关系，即T＝（T0－Ta）＋Ta，将有关数据代入，得T＝75＋（195－75）×＝75＋120×．再将t＝20，T＝105代入得105＝75＋120×，解得h＝10．∴T＝75＋120×，欲使T＝95，代入上式解得t＝26（分）．点评：本题是一道跨学科应用题，要解决它需要有较好的阅读能力．本题中给出了函数模型，利用待定系数法确定系数，得出解析式，从而解决问题．变式练习1．等式＝成立的充要条件是（）A．x≠－2B．x≥2或x＜－2C．x≥2D．x＜－2解析：若使等式成立，则等式中三个偶次根式必须都有意义，故选C．答案：C2．若＝7，＝6，则等于（）A．B．C．D．解析：要熟练逆用幂的运算公式，选D．答案：D3．若＞，则a的范围是（）A．a＞1B．0＜a＜1C．＜a＜D．a＞解析：利用函数的单调性，选B．答案：B4．若＞，则x的范围是（）A．0＜x＜1B．x＞1C．x＜－1D．x＜0解析：在同一坐标系中画出两个指数函数图象，利用图象解题．选D．答案：D5．下列函数是指数函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝解析：符合指数函数定义的是D，y＝＝．答案：D6．下列函数值域是（0，＋）的是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝解析：利用求值域的逐步求解法，选A．答案：A7．若a＝，b＝，则（a＋1）－2＋（b＋1）－2的值是（）A．1B．C．；D．答案：D8．若函数y＝＋m－1的图象在第一，三，四象限，则（）A．a＞1且m＞1B．a＞l且m＜0C．0＜a＜1且m＞0D．0＜a＜1且m＜1答案：B9．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（）A．5B．9C．6D．8解析：每一天的细胞数都是前一天的两倍，选B．答案：B10．若0＜a＜1，b＜－2，则函数y＝＋b的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A11．函数y＝与y＝ax－a的图象大致是下图中的（）答案：D12．在下列等式中，函数f（x）＝不满足的是（）A．f（x＋1）＝2f（x）B．f（xy）＝f（x）＋f（y）C．f（x＋y）＝f（x）·f（y）D．f（－x）＝答案：B13．若a2x＝8，则___________．解析：将分子分解因式，然后代入可得值为．答案：14．化简÷（3）÷＝___________．答案：15．若函数y＝（a2－3a＋3）ax是指数函数，则a的值是___________．答案：216．函数f（x）的定义域为［1，4］，则函数f（）的定义域为___________．答案：［－2，0］17．若f（x）＝，f－1（）则___________．解析：利用函数与它的反函数的定义域与值域之间的关系来解题．答案：－218．若函数y＝＋b的图象经过点（1，3），它的反函数的图象经过点（2，0），则函数y＝＋b的值域是___________．解析：由a＝2，b＝1求得y＝＋1．答案：（1，＋）（1）函数y＝（以a＞0且a≠1），当x［1，3］时有最小值为8，则a的值为___________；19．（2）函数y＝（a＞1）的定义域___________，单调增区间___________，值域___________．答案：（1）16（2）{x|x≥2，或x≤0}（2，＋）{y|y≥1}20．（1）已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|x|的实根个数为___________．（2）关于x的方程＝有正根，则a的取值范围是___________．解析：利用图象解题．答案：（1）2个（2）（－，0）21．解下列关于x的方程：（1）81×＝；（2）＋3×－1＝0．解析：（1）把方程两边都化成同底数指数幂的形式；（2）用换元法．令t＝，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，先解出t再去解x，但要注意t＞0．所以x＝－2．答案：（1）－2；（2）－2．22．设f（x）是定义域为xR且x≠0上的奇函数，则当x＞0时，f（x）＝．（1）写出x ＜0时f（x）的解析式；（2）解不等式f（x）＜－．解析：（1）x＜0时，f（x）＝x·；（2）x＞0时，由f（x）＝＜一，解得0＜x＜2；x＜0时，由f（x）＝x·＜一，解得x＜－2．答案：（1）x·；（2）0＜x＜2；（3）x＜－2．23．已知函数f（x）＝（a＞1）。

指数函数知识点及其习题（附答案）〖2.1〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次⽅根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n负的n次⽅根⽤符号表⽰；0的n 次⽅根是0；负数a 没有n 次⽅根．n 叫做根指数，a 叫做被开⽅数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a≥．n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥?==?-①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,mm nn a的负分数指数幂没有意义．注意⼝诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2.1.2指数函数及其性质2.1指数函数练习1．下列各式中成⽴的⼀项（）A ．7177)(m n mn =B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f nnn4．函数210)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><a y =在[－1,1]上的最⼤值与最⼩值的差是1，则底数a 等于（）A ．251+ B ．25251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是（）7．函数||2)(x x f -=的值域是（） A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满⾜1)(>x f 的x 的取值范围（）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或 9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（） A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（）B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是 . 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .三、解答题： 13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最⼤值⽐最⼩值⼤a 2，求a 的值．2.1指数函数练习参考答案⼀、DCDDD AAD D A⼆、11．(0,1)； 12．(2，－2)；三、13．解：要使函数有意义必须：x x x x x -≠-≠≠≠101010∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ??+=+，其中10,10<<<<c a . 当r ＞1时，1=++? c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r；当r ＜1时，1=+>??+ c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＞c r .15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。