艺术生高考数学专题讲义：考点7 指数与指数函数

指数与指数函数【考纲要求】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；4.掌握指数函数图象：5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】【考点梳理】考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a aa a a Z n a a a a n n an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-43421Λ个(2)运算法则 ①nm nma a a +=⋅；②()mn nma a =；③()0≠>=-a n m a aa nm n m ，； 指数与指数函数图象与性质指数运算性质指数函数的图像与指数的概念④()mm mb a ab =.考点二、根式的概念和运算法则 (1)n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. 要点诠释：n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根0=.(2)根式的意义与运算法则y y n n =)(⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a nn 考点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=考点四、有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.考点五、指数函数 (1)定义：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. (2)图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数【典型例题】类型一、指数运算、化简、求值 例1.已知c ba==53，且211=+ba ，求c 的值。

高考数学考点归纳之 指数函数 一、基础知识 1．指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质二、常用结论指数函数图象的特点(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎫－1，1a ，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．(2)函数y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x(a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．(3)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．考点一 指数函数的图象及应用[典例] (1)函数f (x )＝21－x 的大致图象为( )(2)若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．[解析] (1)函数f (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，单调递减且过点(0,2)，选项A 中的图象符合要求． (2)函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减， 所以k 的取值范围为(－∞，0]． [答案] (1)A (2)(－∞，0] [变透练清]1.[变条件]本例(1)中的函数f (x )变为：f (x )＝2|x －1|，则f (x )的大致图象为( )解析：选B f (x )＝2|x －1|的图象是由y ＝2|x |的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B 正确．2.[变条件]本例(2)变为：若函数f (x )＝|3x －1|－k 有一个零点，则k 的取值范围为________． 解析：函数f (x )有一个零点，即y ＝|3x －1|与y ＝k 有一个交点，由典例(2)得y ＝|3x －1|的图象如图所示，故当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以函数f (x )有一个零点．答案：{0}∪[1，＋∞)3．若函数y ＝21－x ＋m 的图象不经过第一象限，求m 的取值范围． 解：y ＝21－x ＋m ＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象如图所示， 则要使其图象不经过第一象限， 则m ≤－2.故m 的取值范围为(－∞，－2]．考点二 指数函数的性质及应用考法(一) 比较指数式的大小[典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b[解析] 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c . 综上得b <a <c .故选A. [答案] A考法(二) 解简单的指数方程或不等式[典例] (2019·西安质检)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________．[解析] ∵f (x )为偶函数，当x ＜0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4， x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0，解得x ＞4或x ＜0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}． [答案] {x |x >4或x <0} [解题技法]简单的指数方程或不等式问题的求解策略(1)a f (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )．(2)a f (x )>a g (x )，当a >1时，等价于f (x )>g (x )；当0<a <1时，等价于f (x )<g (x )．(3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法(三) 指数型函数性质的综合问题 [典例] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－＋ax x . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－－＋x x ， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，g ⎝⎛⎭⎫2a ＝3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.[解题技法] 与指数函数有关的复合函数的单调性形如函数y ＝a f (x )的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关： (1)若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间；(2)若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间．即“同增异减”．[题组训练]1．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12221＋－x x 的值域是( ) A ．(－∞，4) B ．(0，＋∞) C ．(0,4]D ．[4，＋∞)解析：选C 设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t . 因为0<12<1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t为关于t 的减函数． 因为t ＝()x ＋12－2≥－2， 所以0<y ＝⎝⎛⎭⎫12t ≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]．2．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5<a ＝0.60.6<1.又c ＝1.50.6>1，所以b <a <c .3．(2018·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N解析：选D 因为f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1<1，所以M >N .4．已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．解析：当a <1时，41－a ＝21，所以a ＝12；当a >1时，代入可知不成立．所以a 的值为12.答案：12[课时跟踪检测]A 级1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．(2019·贵阳监测)已知函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(0,5)D ．(5,0)解析：选A 由于函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)，当x ＝1时，f (x )＝4＋2＝6，故函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P (1,6)．3．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c ；因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .4．(2019·南宁调研)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12-2x x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D 令x －x 2≥0，得0≤x ≤1，所以函数f (x )的定义域为[0,1]，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以函数f (x )的增区间就是函数y ＝－x 2＋x 在[0,1]上的减区间⎣⎡⎦⎤12，1，故选D.5.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析：选D 由f (x )＝a x－b的图象可以观察出函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝a x －b的图象是在y ＝a x 的图象的基础上向左平移得到的，所以b <0.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.7．(2018·深圳摸底)已知a ＝⎝⎛⎭⎫13 3.3，b ＝⎝⎛⎭⎫13 3.9，则a ________b ．(填“<”或“>”) 解析：因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 为减函数，所以⎝⎛⎭⎫13 3.3>⎝⎛⎭⎫13 3.9，即a >b . 答案：>8．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在[－3,2]上的值域是________． 解析：令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，由x ∈[－3,2]，得t ∈⎣⎡⎦⎤14，8. 则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34⎝⎛⎭⎫t ∈⎣⎡⎦⎤14，8. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤34，57. 答案：⎣⎡⎦⎤34，57 9．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－3210．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1.由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．答案：f (－4)＞f (1)11．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值． 解：(1)由已知得⎝⎛⎭⎫12－a ＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝⎝⎛⎭⎫12x ， ∴⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x －2＝0，令⎝⎛⎭⎫12x＝t ，则t >0，t 2－t －2＝0， 即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即⎝⎛⎭⎫12x ＝2，解得x ＝－1， 故满足条件的x 的值为－1.12．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值是94，求a 的值．解：(1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 在R 上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2， 从而a ＝2.B 级1．(2019·郴州质检)已知函数f (x )＝e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，则关于x 的不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，43∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)解析：选B 函数f (x )＝e x －1ex 的定义域为R ，∵f (－x )＝e －x －1e －x ＝1e x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，那么不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0等价于f (2x －1)>－f (－x －1)＝f (1＋x )，易证f (x )是R 上的单调递增函数，∴2x －1>x ＋1，解得x >2，∴不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为(2，＋∞)．2．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．解析：①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图(1)．若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图(2)，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 答案：⎝⎛⎭⎫0，23 3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫a x1－a x ＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数． (2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况．当x ＞0时，要使f (x )＞0， 则⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＞0， 即1a x －1＋12＞0，即a x ＋12(a x －1)＞0，则a x ＞1.又∵x ＞0，∴a ＞1.∴当a ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0.。

指数与指数函数高考数学知识点总结高考数学真题复习§2.5 指数与指数函数2014高考会这样考 1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．复习备考要这样做1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证；2.掌握两种情况下指数函数的图象和性质，在解题中要善于分析，灵活使用；3.对有关的复合函数要搞清函数的结构．1．根式的性质(1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a .当n 为偶数时na n ＝{ a (a ≥0)－a (a <0) 2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n个(n ∈N *)．②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n＝1na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a>0，r、s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a>0，r、s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质[难点正本疑点清源]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2．指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0<a1 进行分类讨论．</a3．比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值．1．化简[(－2)6]12－(－1)0的值为________．答案 7解析 [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝23－1＝7.2．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<－1.<="" bdsfid="117" p="" 或－2<－1.<="" bdsfid="119" p="" 或－23．若函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.<－1.<="" bdsfid="121" p="" 或－2答案<－1.<="" bdsfid="123" p="" 或－23<－1.<="" bdsfid="125" p="" 或－2解析当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]．因定义域和值域一致，故a 2－1＝2，即a ＝ 3. 当04．(2012·四川)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是 ( )答案 D解析当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A ，B.当0<="" －1a="" ＝a=""><="" －1a="" ＝a="">a <0，故选D.<="" －1a="" ＝a="">5．设函数f (x )＝a<="" －1a="" ＝a="">－|x |<="" －1a="" ＝a="">(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4， ( )<="" －1a="" ＝a="">A ．f (－2)>f (－1)<="" －1a="" ＝a="">B ．f (－1)>f (－2)<="" －1a="" ＝a="">C ．f (1)>f (2)<="" －1a="" ＝a="">D ．f (－2)>f (2) 答案 A<="" －1a="" ＝a="">解析∵f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，∴a －2＝4，∴a ＝1<="" －1a="" ＝a="">2<="" －1a="" ＝a="">，<="" －1a="" ＝a="">∴f (x )＝12－|x |＝2|x |<="" －1a="" ＝a="">，∴f (－2)>f (－1)，故选A.<="" －1a="" ＝a=""><="" －1a="" ＝a="">题型一指数幂的运算例1 (1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1；(2)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3的值．思维启迪：(1)本题是求指数幂的值，按指数幂的运算律运算即可；(2)注意x 2＋x －2、x 32＋x －32与x 12＋x －12之间的关系．解 (1)(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1＝(11＋3)2×12－33×16＋24×34－2×8－23×(－1)＝11＋3－312＋23－2×23×23＝11＋3－3＋8－8＝11.(2)∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x －12)2＝9，∴x ＋2＋x －1＝9，∴x ＋x －1＝7，∴(x ＋x －1)2＝49，∴x 2＋x －2＝47，又∵x 32＋x ＋－32＝(x 12＋x －12)·(x －1＋x －1) ＝3×(7－1)＝18，∴x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3＝3. 探究提高根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．计算下列各式的值：(1)－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2－(3－1)0－9－45； (3)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a －13b 13(a >0，b >0)．解 (1)原式＝－278－23＋1500－12－105－2＋1 ＝－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.(3)原式＝(a 3b 2a 13b 23)12ab 2a －13b13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.题型二指数函数的图象、性质的应用例2 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论<="" －1a="" ＝a="">正确的是 ( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0<0<=""<0<="" (2)求函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的定义域、值域及其单调区间．<0<="" 思维启迪：对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手．答案 (1)D <0<="" 解析由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)解依题意x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1，∴f (x )的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．∵x 2－5x ＋4≥0，∴f (x )＝3x 2－5x ＋4≥30＝1，∴函数f (x )的值域是[1，＋∞)．令u ＝x 2－5x ＋4＝x －522－94，x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，∴当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数，当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数．而3>1，∴由复合函数的单调性，可知f (x )＝3x 2－5x ＋4在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数．探究提高(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论．(1)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为 ( )答案 A解析 y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x－1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1 ＋2e 2x －1>1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确．(2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________. 答案 1解析由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e －(－x －μ)2＝e －(x －μ)2，∴(x ＋μ)2＝(x －μ)2，∴μ＝0，∴f (x )＝e －x 2.又y ＝e x 是R 上的增函数，而－x 2≤0，∴f (x )的最大值为e 0＝1＝m ，∴m ＋μ＝1. 题型三指数函数的综合应用例3 (1)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.①若f (x )＝32，求x 的值；②若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决．解 (1)函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<="" －1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．="" ＝k="" ＝|3x="">x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12，∵2x >0，∴x ＝1.②当t ∈[1,2]时，2t 22t －122t ＋m2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．探究提高对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f (x )＝g (x )解的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．解 (1)因为函数的定义域为R ，所以关于原点对称．又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数，当0 y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数，所以f (－1)≤f (x )≤f (1)，所以f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a－1－a ) ＝a a 2－1·1－a 2a＝－1，所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]．3.利用方程思想和转化思想求参数范围典例：(14分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．审题视角 (1)f (x )是定义在R 上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f (0)＝0，f (1)＝－f (－1)．(2)可考虑将t 2－2t,2t 2－k 直接代入解析式化简，转化成关于t 的一元二次不等式．也可考虑先判断f (x )的单调性，由单调性直接转化为关于t 的一元二次不等式．规范解答解 (1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.[4分]又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.[7分](2)方法一由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0，即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0.[9分] 整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0.[12分] 上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.[14分]方法二由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0 等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .[12分] 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.[14分]温馨提醒 (1)根据f (x )的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x 都成立．所以还要注意检验．(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立等价转化为t 2 －2t >－2t 2＋k 恒成立．这个转化易出错．其次，不等式t 2－2t >－2t 2＋k 恒成立，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，也可以这样做：k <3t 2－2t ，t ∈R ，只要k 比3t 2－2t 的最小值小即可，而3t 2－2t 的最小值为－13，所以k <－1 3.方法与技巧1．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0<=""><="">1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．<="">3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解<="">决，但应注意换元后“新元”的范围.<=""><="">(时间：60分钟) A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于 ( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.2．函数y ＝12－x 2＋2x 的值域是 ( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(2，＋∞) D.12，＋∞ 答案 D解析∵－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，∴12－x 2＋2x ≥12，故选D. 3．函数y ＝xa x|x |<="">(0答案 D解析函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝{a x，x－a x ，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，因为0<0,0<="" ＝a=""><0,0<="" ＝a="">4| (a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19<0,0<="" ＝a="">，则f (x )的单调递减区间是 ( )<0,0<="" ＝a="">A ．(－∞，2]<0,0<="" ＝a="">B ．[2，＋∞)<0,0<="" ＝a="">C ．[－2，＋∞)<0,0<="" ＝a="">D ．(－∞，－2] 答案 B<0,0<="" ＝a="">解析由f (1)＝19，得a 2＝19，∴a ＝13 (a ＝－1<0,0<="" ＝a="">3舍去)，<0,0<="" ＝a="">即f (x )＝<0,0<="" ＝a="">?13|2x －4|<0,0<="" ＝a="">. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知a ＝<0,0<="" ＝a="">5－1<0,0<="" ＝a="">2<0,0<="" ＝a="">，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．答案 m<0,0<="" ＝a="">5－1<0,0<="" ＝a="">2<0,0<="" ＝a=""><1，∴函数f (x )＝a x 在R 上是减函数．又∵f (m )>f (n )，∴m 0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a <0,0<="" ＝a="">2<0,0<="" ＝a="">，则a 的值为__________．<0,0<="" ＝a="">答案 12或32<0,0<="" ＝a=""><0,0<="" ＝a="">解析当0<=""><="">2或a ＝0(舍去)．<="">当a >1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝3<="">2或a ＝0(舍去)．<="">综上所述，a ＝12或3<="">2<="">.<="">7. (2012·洛阳调研)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图象如图所<=""><="">示，则a ＋b 的值是________．答案－2解析∵{a 2＋b ＝a 0＋b ＝－3，∴{a ＝b ＝－4，∴a ＋b ＝－2.三、解答题(共25分) 8． (12分)设函数f (x )＝2|x＋1|－|x －1|，求使f (x )≥22的x 的取值范围．解 y ＝2x 是增函数，f (x )≥22等价于 |x ＋1|－|x －1|≥32.①(1)当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝2，∴①式恒成立．(2)当－1<="" ①式化为2x="" ＋1|－|x="" ，="" －1|＝2x=""> 4≤x <1.(3)当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解．综上，x 的取值范围是34，＋∞.9． (13分)设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解令t ＝a x (a >0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2 (t >0)．<="">①当0<="" ＝a=""><="" ＝a="">a ，此时f (t )在a ，1<="" ＝a="">a 上为增函数．所以f (t )max ＝f 1a ＝1a ＋12<="" ＝a="">－2＝14. 所以1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝1<="" ＝a="">3. 又因为a >0，所以a ＝13<="" ＝a="">.<="" ＝a="">②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈<="" ＝a="">1a ，a ，<="" ＝a="">此时f (t )在<="" ＝a="">1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝1<="" ＝a="">3<="" ＝a="">或3.<="" ＝a="">B 组专项能力提升<="" ＝a="">一、选择题(每小题5分，共15分)<="" ＝a="">1．设函数f (x )＝?<="" ＝a="">??<="" ＝a="">1<="" ＝a="">x (x >0)，<="" ＝a="">x<="" ＝a="">(x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为<="" ＝a="">( )<="" ＝a="">A ．(－∞，1]<="" ＝a="">B ．[2，＋∞)<="" ＝a="">C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)<="" ＝a="">D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 答案 C<="" ＝a="">解析当x >0时，F (x )＝1<="" ＝a="">x<="" ＝a="">＋x ≥2；<="" ＝a="">当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．<="" ＝a="">2．(2012·山东)设函数f (x )＝1<="" ＝a="">x<="" ＝a="">，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )<="" ＝a="">的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是<="" ＝a="">( )<="" ＝a="">A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0<="" ＝a="">B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0<="" ＝a="">C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0<="" ＝a="">D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0 答案 B <="" ＝a="">解析由题意知函数f (x )＝1<="" ＝a="">x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共<="" ＝a="">点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1<="" ＝a="">x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，<="" ＝a="">即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2，因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，<="" ＝a="">即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 2<="" ＝a="">1)，<="" ＝a="">∴b ＝a (－2x 1－x 2)，x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，<="" ＝a="">∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0，∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.<="" ＝a="">当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0，∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2<="" ＝a="">x 1x 2<="" ＝a=""><0.<="" ＝a="">3．(2012·上饶质检)设函数f (x )＝2x 1＋2x －1 <="" ＝a="">2<="" ＝a="">，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )] 的值域是 ( ) A ．{0,1} B ．{0，－1} C ．{－1,1} D ．{1,1} 答案 B <="" ＝a="">解析 f (x )＝1＋2x －11＋2x<="" ＝a="">－12＝12－1<="" ＝a="">1＋2x .<="" ＝a="">∵1＋2x >1，∴f (x )的值域是－12，12. ∴y ＝[f (x )]的值域是{0，－1}．二、填空题(每小题4分，共12分)<="" ＝a="">4．函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝______.<="" ＝a="">答案 9<="" ＝a="">解析 f (x )＝ax 2＋2x －3＋m 在x 2＋2x －3＝0时过定点(1，1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9.<="" ＝a="">5．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．<="" ＝a="">答案 (1，＋∞)<="" ＝a=""><="" ＝a=""><="" ＝a="">解析令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若01，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示．6．关于x 的方程32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．答案－23，34 解析由题意，得x <0，所以0<1，从而0<2＋3a 5－a <1，解得－23<34.<="" bdsfid="709" p=""><34.<="" bdsfid="711" p="">三、解答题(13分)<34.<="" bdsfid="713" p="">7．设f (x )＝e －<34.<="" bdsfid="715" p="">x a ＋a<34.<="" bdsfid="717" p="">e<34.<="" bdsfid="719" p="">－x 是定义在R 上的函数．<34.<="" bdsfid="720" p="">。

指数与指数函数高考知识点指数和指数函数是高考数学中的重要知识点，涉及到数学中的指数概念、指数运算、指数函数及其性质等内容。

本文将以深入浅出的方式，详细介绍指数与指数函数的相关知识。

一、指数的概念及性质指数是数学中常用的表示方式，用于表示一个数的乘方。

指数的定义为：若a为非零实数，n为自然数（n≠0），则aⁿ称为以a为底的指数。

其中，a称为底数，n称为指数。

指数的性质有以下几点：1. 任何非零数的0次方都等于1，即a⁰=1（a≠0）；2. 任何非零数的1次方都等于它本身，即a¹=a（a≠0）；3. 指数相同、底数相等的两个指数相等，即aⁿ=aᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 任何数的负整数次方都可以表示为其倒数的相应正整数次方，即a⁻ⁿ=1/(aⁿ)（a≠0，n≠0）；5. 不同底数、相同指数的指数大小可以通过底数的大小来判断，当0<a<b时，aⁿ<bⁿ（a，b，n都是实数且n>0）。

二、指数运算法则指数运算是指在进行乘方运算时，如何将指数进行运算。

在指数运算中，有以下几条法则：1. 乘法法则：同底数的指数相加，保持底数不变，指数相加，即aⁿ⋅aᵐ=aⁿ⁺ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；2. 除法法则：同底数的指数相减，保持底数不变，指数相减，即aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；3. 乘方法则：一个数的乘方再乘以另一个数的乘方，底数不变，指数相乘，即(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 开方法则：一个数的乘方再开方，底数不变，指数取两个数的最小公倍数，即(aⁿ)^(1/ᵐ)=aⁿ/ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）。

三、指数函数的定义与图像指数函数是一种特殊的函数形式，具有以下定义：形如y=aᵘ（a>0，且a≠1）的函数称为指数函数。

在指数函数中，a称为底数，u称为自变量，y称为因变量。

指数函数的图像特点如下：1. 当底数0<a<1时，函数图像呈现下降趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；2. 当底数a>1时，函数图像呈现上升趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；3. 当底数a=1时，函数图像为水平直线y=1，与自变量无关。

专题2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲1．分数指数幂 （1)m na ＝n，a m (a >0，m ,n ∈N ＊，且n 〉1);m na＝1m na（a >0，m ，n ∈N ＊,且n 〉1);0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2）有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，（a r )s ＝a rs ，(ab ）r ＝a r b r ，其中a 〉0，b >0，r ,s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质（1）R 【思考】1。

如图所示是指数函数(1）y ＝a x ，(2）y ＝b x ,（3)y ＝c x ，(4）y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为________．提示 c 〉d >1〉a 〉b >02．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1）的图象和性质说明a x >1(a >0,a ≠1）的解集是否与a 的取值有关． 提示 当a >1时，a x >1的解集为｛x |x >0}；当0<a <1时，a x >1的解集为｛x ｜x <0｝．【题型1 指数幂的运算】【例1】(2020秋•荔湾区校级期中）化简下列各式．（1)（√23⋅√3）6﹣4•（1649）−12−√24•80.25﹣（2020）0；（2）√a 3b 2⋅√ab 23(a 14b 12)4⋅√a3(a ＞0，b ＞0）．【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答过程】解：（1）原式=(213×312)6−4×(47)2×(−12)−214×814−1 ＝4×27﹣7−(2×8)14−1 ＝108﹣7﹣2﹣1 ＝98． （2)原式=a 32⋅b 22⋅a 16⋅b 26a⋅b2⋅a −13⋅b 13=a 53⋅b 43a 23⋅b 73＝ab ﹣1．【变式1—1】（2020秋•济宁期中）（1）计算：（94）12−（﹣9.6）0﹣（278）−23+(23)−2;（2)已知a 12+a−12=3，求a 2+a −2+1a+a −1+2的值．【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则即可求出；(2)根据完全平方公式即可求出． 【解答过程】解：（1）原式=32−1﹣（32）3×(−23)+94=32−1−49+94=8336， （2)∵a 12+a −12=3，∴a +a ﹣1＝（a 12+a −12）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝(a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式=47+17+2=489=163．【变式1-2】(2020秋•新泰市校级期中）化简求值：（请写出化简步骤过程）①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112；②1.5−13×(−76)0+814×√24+(√23×√3)6−√(−23)23．【解题思路】把根式化为分数指数幂,根据幂的运算法则计算即可． 【解答过程】解：①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112 =(0.43)−13−1+(−2)3×(−43)+（24）﹣0。

指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且． （1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析：（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f （x ）是奇函数． （3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n ﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．11。

教课资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：指数与指数函数含分析编辑： __________________时间： __________________第 4节指数与指数函数最新考纲中心修养考情聚焦m幂的运算性质、指数函1.经过对有理数指数幂 a n1.根式与有理数指数幂数的图象和性质是高考 (a>0、且 a ≠ 1； m 、 n 为整数、且 n>0 的运算、提高数学运 命题的热门、常常与其 )、实数指数幂 a x(a>0、且 a ≠1； x ∈ 算修养．他函数相联合考察、如 R)含义的认识、认识指数幂的拓展 2.指数函数的图象及应 ：图象的辨别与应用、 过程、掌握指数幂的运算性质． 用、完成直观想象和 利用单一性比较大小、 2.经过详细实例、认识指数函数的实 逻辑推理修养．解不等式、求参数的取 际意义、理解指数函数的观点． 3.指数函数的性质及应 值范围等．主要以选择 3.能用描点法或借助计算工具画出具 用、发展逻辑推理和 题、填空题形式出现、 体指数函数的图象、研究并理解指数学运算修养属于中低档题数函数的单一性与特别点1．根式(1)观点：式子 na 叫做根式、此中 n 叫做根指数、 a 叫做被开方数．(2)性质： ( na )n ＝ a(a 使na 存心义 )；当 n 为奇数时、 n an ＝a 、当 n 为偶数时、 n ana ，a ≥0， ＝ |a|＝－ a ，a<0.2．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是am ＝n、m 、n∈nam(a>0N *、且 n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝1∈(a>0、m 、nnamN * 、且 n>1)； 0的正分数指数幂等于 0； 0的负分数指数幂没存心义．(2)有理指数幂的运算性质： a r a s ＝ a r ＋s ；(a r )s ＝ a rs ； (ab)r ＝ a r b r 、此中 a>0、b>0 、 r 、 s ∈ Q.3．指数函数及其性质(1)观点：函数 y ＝ a x (a>0且 a ≠1) 叫做指数函数、此中指数 x 是自变量、函数的定义域是R、 a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>1 0< a<1图象定义域R值域(0、＋∞ )过定点 (0,1)、即 x＝ 0时、 y＝ 1性质当 x>0时、 y>1；当 x<0 时、 y>1 ；当 x<0时、 0<y<1当 x>0时、 0<y<1在 (－∞、＋∞ )上是增函数在 (－∞、＋∞ )上是减函数n1.( a)n＝ a(n∈ N* )．a， n为奇数，2.nan＝a， a≥0，n为偶数．|a|＝－ a， a＜ 0，3．底数 a的大小决定了图象相对地点的高低、无论是a＞ 1、仍是 0＜ a＜1、在第一象限内底数越大、函数图象越高．[思虑辨析 ]判断以下说法能否正确、正确的在它后边的括号里打“√”、错误的打“×”：(1)nan与 (na)n都等于 a(n∈ N * )．()(2)2a·2b＝2ab.()(3)函数 y＝3·2x与 y＝ 2x＋1都不是指数函数． ()(4)函数 y＝ax2＋1(a>1) 的值域是 (0、＋∞ )． ()(5)函数 y＝2－x在 R 上为单一减函数． ()答案： (1) ×(2)×(3)√ (4) × (5)√[小题检验 ]1．化简 [(－ 2)6]1－( －1)0的结果为 () 2A．－ 9B． 7C．－ 10 D ．91分析： B[原式＝ (26)2－ 1＝ 8－ 1＝ 7.]2．在同一坐标系中、函数x1x的图象之间的关系是 () y＝ 2 与 y＝2A ．对于 y轴对称B．对于 x轴对称C．对于原点对称D．对于直线 y＝ x对称分析： A[ ∵ y＝12x＝ 2－x、∴它与函数y＝ 2x的图象对于y 轴对称． ]3．已知函数 f(x)＝ 4＋ a x－1的图象恒过定点P、则点 P的坐标是 () A ． (1,5) B ． (1,4) C ． (0,4)D． (4,0)分析： A[ 由 a0＝ 1 知、当 x－ 1＝0、即 x＝ 1 时、 f(1) ＝ 5、即图象必过定点(1,5). 应选 A.]4．[人教 A 版教材P59A 组T7 改编 ]已知 a＝3－1、 b＝3－1、c＝3 53542－3、则 a、 b、 c的大小关系是________． 4分析：∵ y＝35x是减函数、∴35－13>35－14>350、即 a>b>1、又c＝3－3<30＝1、∴ c<b<a.2 4 2答案： c<b<a5．若函数 y＝(a2－1) x在 (－∞、＋∞ )上为减函数、则实数a的取值范围是________．分析：由题意知0＜ a2－ 1＜ 1、即 1＜ a2＜ 2、得－2＜ a＜－ 1 或 1＜ a＜ 2.答案： (－2、－ 1)∪(1，2)考点一根式与有理数指数幂的运算(自主练透 )[ 题组集训 ]1．以下等式可以建立的是()2．求值与化简．指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的、无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减、负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数、先确立符号；底数是小数、先化成分数；底数是带分数的、先化成假分数．(4)假如根式、应化为分数指数幂、尽可能用幂的形式表示、运用指数幂的运算性质来解答．易错警告：运算结果不可以同时含有根号和分数指数、也不可以既有分母又含有负指数．考点二指数函数的图象及应用(师生共研 )[典例 ] (1) 函数 f(x)＝ 1－ e|x|的图象大概是()[分析 ] A[(1) 将函数分析式与图象对照剖析、因为函数 f(x)＝ 1－ e|x|是偶函数、且值域是(－∞、 0]、只有 A 知足上述两个性质、应选 A.](2)[20xx ××·市模拟 ] 若存在正数 x使 2x(x－a)<1 建立、则 a的取值范围是 ()A ． (－∞、＋∞ )B． (－ 2、＋∞ )C． (0、＋∞ )D． (－ 1、＋∞ )直观想象——函数图象在不等式中的详细应用信息提取信息解读直观想象存在正数 x、即 x>0、表此刻将不等式 2x( x－ a)<1变形为 x存在正数 x图象上就是 y轴的右边 1 x－ a< 2题干给出的不等式 2x(x－a)<1不易求解、可转变为两个基画出 y＝1x的图象2x(x－ a)<1本初等函数组成不等式 x－ a<建立21 x2考虑利用初等函数的图象解画出直线 y＝ x－a的图象、满决、即转变为直线 y＝ x－ a在足在 y轴的右边、有一部分在(0、＋∞ )上、有一部分在曲曲线 y＝1x的下方21线 y＝x的下方2依据在同一平面直角坐标系求 a的取值察看图象、写出知足的条件1内直线 y＝ x－ a与y＝2范围、即可求得结果x的图象、列出相关 a的不等式、求得结果[分析 ] D [第一步将不等式 2x( x－a)<1 变形为两个基本初等函数组成的不等式不等式x1x.2 (x－a)<1 可变形为 x－a<2第二步画出函数 y＝1x与 y＝x－ a 的图象2在同一平面直角坐标系内作出直线y＝ x－ a 与 y＝1x的图象．由题意、在(0、＋∞ )上、2直线有一部分在曲线的下方．第三步察看图象、列出相关 a 知足的条件察看可知、有－ a<1、所以 a>－1.](3)(20xx××·市模拟 )若曲线 |y|＝ 2x＋ 1与直线 y＝ b没有公共点、则 b的取值范围是 ________.[分析 ]曲线 |y|＝ 2x＋1 与直线 y＝ b 的图象如下图、由图象可得：假如|y|＝ 2x＋ 1 与直线 y＝ b 没有公共点、则 b 应知足的条件是b∈ [－ 1,1] ．[答案 ] [－1,1][互动研究 ]1．若将本例 (3) 中“ |y|＝ 2x＋ 1”改为“ y＝ |2x－ 1|”、且与直线 y＝ b有两个公共点、则b 的取值范围是 ________．分析：曲线 y＝ |2x－ 1|与直线 y＝ b 的图象如下图、由图象可得、假如曲线y＝ |2x－ 1|与直线 y＝b 有两个公共点、则 b 的取值范围是(0,1)．答案： (0,1)2．若将本例 (3) 改为：函数 y＝ |2x－ 1|在 ( －∞、 k]上单一递减、则k的取值范围是 ________ ．分析：因为函数y＝ |2x－ 1|的单一递减区间为(－∞、0]、所以k≤ 0、即 k 的取值范围为(－∞、 0]．答案： (－∞、 0]3．若将本例 (3) 改为：直线 y＝ 2a与函数 y＝ |a x－ 1|(a＞ 0且 a≠ 1)的图象有两个公共点、则a 的取值范围是______．分析： y＝ |a x－ 1|的图象是由y＝ a x先向下平移 1 个单位、再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折过来获得的．当 a＞ 1 时、两图象只有一个交点、不合题意、如图(1)；当 0＜ a＜ 1 时、要使两个图象有两个交点、则0＜ 2a＜ 1、获得 0＜ a＜12、如图 (2)．综上、 a 的取值范围是0，1 2 .答案：10，2指数函数图象可解决的两类热门问题及思路(1)求解指数型函数的图象与性责问题对指数型函数的图象与性责问题( 单一性、最值、大小比较、零点等) 的求解常常利用相应指数函数的图象、经过平移、对称变换获得其图象、而后数形联合使问题得解．(2)求解指数型方程、不等式问题一些指数型方程、不等式问题的求解、常常利用相应指数型函数图象数形联合求解．易错警告：应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质、要注意画出图象的正确性、不然数形联合获得的可能为错误结论．[追踪训练 ]1．函数 y＝ a x－1a(a>0 、且 a≠ 1)的图象可能是 ()分析： D[ 法一：当 0<a<1 时、函数 y ＝a x－1是减函数、且其图象可视为是由函数y ＝ a xa的图象向下平移1个单位长度获得的、联合各选项知选D.a法二：因为函数y ＝ a x－ 1(a>0、且 a ≠ 1)的图象必过点 (－ 1,0)、所以选 D.] a2．方程 2x ＝ 2－ x 的解的个数是 ________．分析： 方程的解可看作函数 y ＝ 2x 和 y ＝ 2－ x 的图象交点的横坐标、分别作出这两个函数图象 (如下图 )．由图象得只有一个交点、所以该方程只有一个解．答案： 1考点三指数函数的性质及应用 (多维研究 )[命题角度 1] 比较指数式的大小1．(20xx 全·国Ⅰ卷 )已知 a ＝ log 2 0.2、 b ＝ 20.2、 c ＝ 0.20.3、则 ()A ． a ＜ b ＜ cB ． a ＜ c ＜ bC ． c ＜ a ＜bD ． b ＜ c ＜a分析： B[ ∵ a ＝ log02.2 ＜log12＝ 0、 b ＝20.2＞ 20＝ 1、0＜c ＝ 0.20.3＜ 0.20 ＝1、∴ b ＞c ＞ a.选 B.][命题角度 2]简单的指数方程或不等式的应用1x － 7，x ＜ 0，2．设函数 f(x) ＝2若f(a)＜ 1、则实数 a 的取值范围是 ()x ， x ≥0，A ． (－∞、－ 3)B ． (1、＋∞ )C ． (－ 3,1)D ． (－∞、－ 3)∪ (1、＋∞ )分析： C[ 当 a＜ 0 时、不等式f(a)＜ 1 可化为1a－ 7＜ 1、即1a1a1－3 22＜ 8、即2＜2、1因为 0＜2＜1、所以 a＞－ 3、此时－ 3＜a＜ 0；当 a≥ 0 时、不等式f(a) ＜1 可化为a＜ 1、所以 0≤ a＜1.故 a 的取值范围是(－ 3,1)、应选 C.][命题角度3]研究指数型函数的性质3．已知函数 f(x)＝.(1)若 a＝－ 1、求 f(x) 的单一区间；(2)若 f(x)有最大值 3、求 a的值；(3)若 f(x)的值域是 (0、＋∞ )、求 a的值．[思路导引 ] (1)按照“同增异减”法例求 f( x)的单一区间； (2) 因为 f(x)有最大值3、所以g(x) 应有最小值－ 1、由此可求出 a 的值； (3)要使 f(x)的值域为 (0、＋∞ )、应使 g( x)＝ax2－4x＋ 3 的值域为 R、由此可求出 a 的值．解： (1) 当 a＝－ 1 时、 f(x)＝、令 g(x)＝－ x2－4x＋ 3、1因为 g(x)在 (－∞、－ 2)上单一递加、在(－2、＋∞ )上单一递减、而y＝3t在 R 上单一递减、所以 f(x)在 (－∞、－ 2)上单一递减、在 (－2、＋∞ )上单一递加、即函数 f(x)的单一递加区间是 (－ 2、＋∞ )、单一递减区间是 (－∞、－ 2)．(2)令 g(x)＝ ax2－ 4x＋3、 f(x)＝13g(x)、因为 f(x)有最大值3、所以 g(x)应有最小值－1、a>0，所以必有3a－ 4＝－1，a解得 a＝ 1、即当 f(x)有最大值 3 时、 a 的值等于 1.(3)由指数函数的性质知、要使 y＝13g(x)的值域为 (0、＋∞ )、应使 g(x)＝ ax2－ 4x＋ 3 的值域为R、所以只好a＝0.(因为若 a≠0、则 g(x)为二次函数、其值域不行能为R)．故 a 的值为 0.指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单一性及中间值(0 或 1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单一性、要特别注意底数 a 的取值范围、并在必需时进行分类议论．(3)解决指数函数的综合问题时、要把指数函数的观点和性质同函数的其余性质(如奇偶性、周期性 )相联合、同时要特别注意底数不确准时、对底数的分类议论.1．已知 f(x) ＝ 2x ＋ 2－x、若 f(a)＝ 3、则 f(2a)等于 ( )A ． 5B ． 7C ． 9D ． 11分析： Ba－ aa－ aa－a[ 由 f(a)＝ 3 得 2 ＋2 ＝ 3、两边平方得22 ＋2 2 ＋2＝ 9、即 22 ＋22 ＝ 7、故f(2a)＝ 7.]2．(20xx ××·市一模 )已知 a ＝ 21.2、 b ＝ 1－0.8、c ＝ ln 2 、则 a 、b 、 c 的大小关系为 ()2A ． c ＜ a ＜ bB ． c ＜ b ＜ aC ． b ＜ a ＜ cD ． b ＜ c ＜a1 －分析： B[a ＝ 21.2＞ b ＝ 2 0.8 ＝20.8 ＞1＞ c ＝ ln 2 、故 a ＞ b ＞c 应选 B.]xax3．函数 y ＝ |x| (0< a<1)图象的大概形状是 ()分析： D [ 函数定义域为 { x|x ∈ R 、 x ≠0} 、且 y ＝xaxax ， x>0， 当 x>0 时、函数是＝|x|－ ax ，x<0.一个指数函数、因为0< a<1、所以函数在 (0、＋ ∞ )上是减函数；故清除 A 、 C ；当 x<0 时、函数图象与指数函数y ＝ a x (x<0,0<a<1) 的图象对于 x 轴对称、在 (－ ∞ 、 0)上是增函数．故清除 B.]4．若函数 f(x) ＝a |2x －4| 1、则 f(x)的单一递减区间是 ()(a>0、 a ≠ 1)、知足 f(1)＝ 9A ． (－∞、 2]B ． [2、＋∞ )C ． [－ 2、＋∞ )D ． (－∞、－ 2]分析： B[ 由 f(1)＝19、得 a 2＝19、∴a ＝ 1a ＝－ 1舍去 、即f(x)＝ 1|2x － 4|.因为 y ＝|2x － 4|在 (－ ∞ 、2] 上递减、在 [2、＋ ∞ )333 上递加、2 xx、 a≠ 1)在区间 [－ 1,1]上的最大值是14、则实数 a的值是 ( 5．若函数 y＝a ＋ 2a － 1(a>0)1A ． 3 B.311C．3或3D． 5或5分析： C [ 设 a x＝ t、则原函数的最大值问题转变为求对于t 的函数 y＝ t2＋ 2t－ 1 的最大值问题．因为函数图象的对称轴为t＝－ 1、且张口向上、所以函数y＝ t2＋ 2t－ 1 在 t∈ (0、＋∞ )上是增函数．当a>1 时、 a－1≤t≤a、所以 t＝a 时、 y 获得最大值14、即 a2＋ 2a－ 1＝ 14、解得 a＝ 3(或－ 5、舍去 )；当 0< a<1 时、 a≤ t≤ a－1、所以 t＝ a－1时、 y 获得最大值14、即 a－2＋ 2a－1－ 1＝ 14、解得 a＝1或－1，舍去.综上、实数 a 的值为 3 或1、选 C.] 3537．设偶函数 f(x)知足 f(x) ＝2x－ 4(x≥ 0)、则 { x|f(x－ 2)>0} ＝ ____________.分析：∵ f(x)为偶函数、当x<0 时、 f(x)＝ f(－x)＝ 2－x－ 4.2x－ 4， x≥ 0，所以 f(x)＝2－ x－ 4， x<0，x－ 2≥0x－ 2<0有或2x－ 2－4>02－ x＋ 2－ 4>0当 f(x－ 2)>0 时、解得 x>4 或 x<0.所以 { x|f(x－ 2)>0} ＝ { x|x<0 或 x>4}答案： { x|x<0或 x>4}118．函数 y＝4x－2x＋ 1在 x∈[ －3,2] 上的值域是 ________．1 1分析： y＝4x－2x＋ 11 1＝2 x 2－2x＋ 1113＝2 x－22＋4、1 1因为 x∈ [ － 3,2] 、所以4≤2x≤ 8.1131当2x＝、即 x＝ 1 时 y min＝；当x＝ 8、即 x＝－ 3 时、 ymax＝ 57. 24211/123所以函数y 的值域为4，57 .3答案：4，5710．已知函数 f(x)＝4x＋m是奇函数．2x(1)求 m的值；(2)设 g(x)＝ 2x＋1－ a、若函数 f(x)与 g( x)的图象起码有一个公共点、务实数a的取值范围．分析： (1) 由函数 f(x)是奇函数可知 f(0) ＝1＋ m＝ 0、解得 m＝－ 1.(2)函数 f(x)与 g(x)的图象起码有一个公共点、4x － 1＋即方程2x ＝2x1－ a起码有一个实根、即方程4x－a·2x＋ 1＝ 0起码有一个实根．令 t ＝ 2x>0、则方程 t2－ at＋ 1＝ 0 起码有一个正根．方法一：因为 a＝ t＋1t≥ 2、∴ a的取值范围为 [2、＋∞ )．方法二：令 h(t)＝ t2－at＋1、因为 h(0) ＝1>0 、Δ≥0，∴只须a解得a≥ 2.∴ a的取值范围为[2、＋∞ )．2>0，12/12。

第五讲 指数及指数函数一．根式 1.根式的概念2.两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a (n 为奇数)，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0)(n 为偶数)；②(na )n＝a (注意a 必须使na 有意义)． 二．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；②正数的负分数指数幂是m na＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①a s a t＝as ＋t(a >0，t ，s ∈Q )；②(a s )t ＝a st(a >0，t ，s ∈Q )； ③(ab )t＝a t b t(a >0，b >0，t ∈Q )．三．指数函数的图象与性质 （1）指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R . （2）指数函数的图象与性质R 考向一 指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______．（3）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值： ①x +x−1；②x 2+x−2；③x 32−x−32x 12−x −12.【答案】（1）7 （2）52 （3）－6a b（4）①7②47③8【解析】(1)(12)−1+823+(2019)0=2+4+1=7（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425，=(32)3×13−312×2+(15)3×(−23)×425 =32−3+4=52．（3）①因为x 12+x −12=3，所以(x 12+x −12)2=x +2+x −1=9,即x +x −1=7.②因为x +x −1=7所以(x +x −1)2=x 2+2x ⋅x −1+x −2=x 2+2+x −2=49，即x 2+x −2=47. ③x 32−x−32x 12−x −12=(x 12)3−(x−12)3x 12−x −12=(x 12−x−12)(x+1+x −1)x 12−x −12=x +1+x −1=8.【举一反三】1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.【答案】31 【解析】原式＝0.3−1−36+25634−(125729)−13+95−93×(−16)=103−36+43−95+95−13=31.故答案为：312．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________. 【答案】√3−√2【解析】(√3+√2)2015×(√3−√2)2016 =[(√3+√2)(√3−√2)]2015×(√3−√2)=√3−√2. 故答案为：√3−√23．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．【答案】−1252【解析】原式=(14)12−(−2)2×(−2)4√2−1√2=12−4×16+(√2−1)−√2 =12−4×16+(√2+1)−√2 =−1252，故答案为−1252.4.已知x ＋x －1＝3，则3322xx的值为 ．【答案】 2 5 【解析】11222()xx ＝x ＋2＋x －1＝5，11225,xx331112222()(1)x x x x x x ＝5(3－1)＝2 5.5.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝ . 【答案】55【解析】由已知得，a ＝3＋5，b ＝3－5，所以a ＋b ＝6，ab ＝4， 所以⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15.因为a >b >0，所以a >b ，所以a －b a ＋b ＝55. 6．设2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为 ．【答案】 27 【解析】 ∵2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.7．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为 ．【答案】 11＋13【解析】由a －1a＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝9，即a 2＋1a2－2＝9，故a 2＋a －2＝11.又(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝11＋2＝13，且a >0，所以a ＋a －1＝13.于是a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13.考向二 指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有（ ） A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a ≠1 【答案】C【解析】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数,根据指数函数的定义得到a 2－3a ＋3=1，且a>0,解得a=1或2，因为指数函数的底数不能为1，故结果为2.故答案为：C.【举一反三】1．函数y =（a 2–3a +3）⋅a x 是指数函数，则a 的值为 A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．a >0且a ≠1的所有实数 【答案】C【解析】∵y =（a 2–3a +3）⋅a x是指数函数，∴{a 2−3a +3=1a >0且a ≠1，解得a =2．故选C ．2．函数f （x ）=（2a –3）a x 是指数函数，则f （1）= A ．8 B ．32 C ．4 D ．2【答案】D【解析】函数f （x ）=（2a-3）a x 是指数函数，∴2a-3=1，解得a=2；∴f （x ）=2x ，∴f （1）=2．故选：D ． 3．函数f (x )=(m 2−m −1)a x 是指数函数，则实数m =（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．2或−1 【答案】D【解析】由指数函数的定义，得m 2−m −1=1，解得m =2或−1，故选D.考向三 指数函数的单调性【例3】函数f (x )=51−|2x+4|的单调递增区间为（ ） A ．[−2,+∞) B ．[−32,+∞)C ．(−∞,−32]D ．(−∞,−2]【答案】D【解析】由题意，函数f (x )的定义域为R ， 设u =g (x )=1−|2x +4|={−2x −32x +5 x >−2x ≤−2，则g (x )在(−2,+∞)上单调递减，在(−∞,−2]上单调递增， 又因为y =5u 在R 上单调递增，根据复合函数的单调性， 可得函数f (x )的单调递增区间为(−∞,−2].【举一反三】 1.函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（ ）A ．(−2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−∞,2)【答案】D【解析】因为y =e x ，是指数函数，是增函数，y =−x 2+4x −9是开口向下的二次函数， 所以x ＜2时，二次函数y =−x 2+4x −9是增函数，x ＞2时，y =−x 2+4x −9是减函数，由复合函数的单调性可知：函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（−∞，2）．故选：D ．2.函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________．【答案】 [0，＋∞)【解析】 设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x在R 上单调递增，所以函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)．3．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．【答案】 [2，＋∞)【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．考向四 指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数y =√4−2x 的定义域为_______．（2）设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为 。