指数以及指数函数的整理讲义经典-(含答案)

第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <a <b答案A 解析因为a ＝243＝423，b ＝425，所以a ＝423>425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b答案A解析由已知可得a ＝2，b ＝2，c ＝2，则a ，b ，c 可分别看作直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的图象的交点的横坐标，画出直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的大致图象，如图所示，由图象可知a <b <c .故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()＝n 7m 17(n >0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．1<a <b答案ABC解析由题意，在同一坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，所以A 可能成立；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。

4.2指数函数考点一 指数函数的判断【例1-1】（2019·河北桥西.邢台一中高一月考）下列函数中指数函数的个数是（ ）①23x y =⋅ ②13x y += ③3xy = ④()21xy a =-（a 为常数,12a >,1a ≠） ⑤3y x = ⑥4xy =- ⑦()4xy =-A ．1B ．2C ．3D ．4【例1-2】（2019·河南中原.郑州一中高一开学考试）函数f (x )=(a 2﹣3a +3)a x 是指数函数,则a 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．1或3【一隅三反】1．（2019·山东高三学业考试）函数()2xy a a =-是指数函数,则（ ）A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠2．（2019·呼和浩特开来中学高一期中）若函数1()(3)2xf x a a =-⋅是指数函数,则1()2f 的值为( )A ．2B ．-2C ．-D ．3．（2019·辽宁葫芦岛.高一月考）下列函数不是指数函数的是（ ） A ．12x y +=B ．3x y -=C ．4x y =D ．32x y =考点二 定义域和值域【例2-1】（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域：（1）142x y -=；（2）23y ⎛= ⎪⎝⎭（3）22312x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭.【例2-2】（2018·湖南开福.长沙一中高一月考）若函数y =的值域为[0,+∞）,则实数a 的取值范围是_____．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域； （1）12x y +=；（2）y =（3）y =2．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域与值域.（1）y =（2）1(0,1x x a y a a -=>+且1)a ≠（3）110.3;x y -=（4）y =3．（2020·河北新华.石家庄二中高二期末）若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ,则a 的取值范围为（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦4．（2020·云南五华.昆明一中高三其他（理））设函数y =A ,函数12x y -=的值域为B ,则AB =( )A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,1-D ．[]1,1-5．（2019·湖南高一期中）若函数2411()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3,则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2考点三 指数函数性质【例3】（1）（2020·贵溪市实验中学高二期末（文））若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3（2）（2019·湖南岳阳楼.岳阳一中高一期中）已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( ) A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)（3）（2019·湖北襄阳）如果1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【一隅三反】1．（2019·浙江南湖.嘉兴一中高一月考）函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数的区间是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞2．（2019·浙江柯城.衢州二中高三一模）已知定义在R 上的函数()||32x m f x -+=+m 为实数）为偶函数,记()0.2log 3a f =,()5log b f e =,()c f m π=+,则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<3．（2020·浙江高一课时练习）设0.914y =,0.4828y =, 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >>1.指数函数性质记忆口诀指数增减要看清,抓住底数不放松； 反正底数大于0,不等于1已表明； 底数若是大于1,图象从下往上增； 底数0到1之间,图象从上往下减； 无论函数增和减,图象都过(0,1)点． 2.比较幂值大小的三种类型及处理方法4．（2020·永安市第三中学高二月考）若关于x 的方程()94340xxa ++⋅+=有解,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,8][0,)-∞-+∞B ．(),4-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-5（2020·上海高一课时练习）已知函数2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,则该函数的单调递增区间是__________.6．（2020·上海普陀.曹杨二中高一期末）函数12x y =-的单调递增区间为________7．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中的两个值的大小． （1）0.10.8-,0.21.25；（2）1ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1；（3）30.2-,()0.23-.考点四 定点【例4】（2020·浙江高一课时练习）函数()-1=4+x f x a （0a >,且1a ≠）的图象过定点P ,则P 点的坐标为（ ） A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,5)D ．(0,4)【一隅三反】1．（2019·涡阳县第九中学高二期末）函数()10,1xy a a a =+>≠的图象必经过点（ ）A ．(0,1)B ．(1,1)C ．()0,2D ．(2,2)2．（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21()x f x a-=(0a >且1)a ≠过定点（ ） A ．(1,1) B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．1(,1)23．（2020·宁夏贺兰县景博中学高一月考）函数y=a x ﹣1+2（a ＞0且a≠1）图象一定过点（ ）A ．（1,1）B ．（1,3）C ．（2,0）D ．（4,0）考点五 图像【例5-1】（2020·广东顺德一中高一期中）函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）． A ． B ．C ．D ．【例5-2】（2020·浙江高一课时练习）若函数(01,1)xy a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内,则（ ） A ．1a >B ．1a >,且0m <C ．01a <<,且0m >D ．01a <<【一隅三反】1．（2019·浙江高一期中）函数y x a =+与xy a =,其中0a >,且1a ≠,它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是 ( )A ．B ．C ．D ．2．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的图象中,二次函数2y ax bx c =++与函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·上海高一课时练习）若函数2xy m =+的图像不经过第二象限,则m 的取值范围是( )A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-4．（2020·内蒙古集宁一中高二期末（理））若直线2y a =与函数|1|(0,1)x y a a a =->≠的图象有两个大众点,则a的取值范围是___________4.2指数函数考点一 指数函数的判断【例1-1】（2019·河北桥西.邢台一中高一月考）下列函数中指数函数的个数是（ ）①23x y =⋅ ②13x y += ③3xy = ④()21xy a =-（a 为常数,12a >,1a ≠） ⑤3y x = ⑥4xy =- ⑦()4xy =-A ．1B ．2C ．3D ．4【参考答案】B【解析】对①：指数式的系数为2,不是1,故不是指数函数；对②：其指数为1x +,不是x ,故不是指数函数； 对③④：满足指数函数的定义,故都是指数函数； 对⑤：是幂函数,不是指数函数；对⑥：指数式的系数为-1,不是1,故不是指数函数；对⑦：指数的底数为-4,不满足底数大于零且不为1的要求,故不是； 综上,是指数函数的只有③④,故选：B.【例1-2】（2019·河南中原.郑州一中高一开学考试）函数f (x )=(a 2﹣3a +3)a x 是指数函数,则a 的值为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．1或3【参考答案】C【解析】因为函数f (x )=(a 2﹣3a +3)a x 是指数函数,故可得2331a a -+=解得1a =或2a =, 当1a =时,不是指数函数,舍去.故选：C.【一隅三反】1．（2019·山东高三学业考试）函数()2xy a a =-是指数函数,则（ ）A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠【参考答案】C【解析】因为函数()2xy a a =-是指数函数所以21a -=,0a >且1a ≠,解得3a =.故选：C.2．（2019·呼和浩特开来中学高一期中）若函数1()(3)2xf x a a =-⋅是指数函数,则1()2f 的值为( )A ．2B ．-2C．-D．【参考答案】D【解析】∵函数f （x ）＝（12a ﹣3）•a x 是指数函数,∴12a ﹣3＝1,a ＞0,a ≠1,解得a ＝8, ∴f （x ）＝8x ,∴f （12）==,故选：D ． 3．（2019·辽宁葫芦岛.高一月考）下列函数不是指数函数的是（ ） A ．12x y += B ．3x y -= C ．4x y = D ．32x y =【参考答案】A【解析】指数函数是形如xy a =（0a >且1a ≠）的函数. 对于A ：1222x x y +==⨯,系数不是1,所以不是指数函数；对于B ：133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭,符合指数函数的定义,所以是指数函数；对于C ：4xy =,符合指数函数的定义,所以是指数函数；对于D ：382x xy ==,符合指数函数的定义,所以是指数函数.故选：A.考点二 定义域和值域【例2-1】（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域： （1）142x y -=；（2）23y ⎛= ⎪⎝⎭（3）22312x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭.【参考答案】（1）定义域{|4}x x ≠,值域为{|0y y >且1}y ≠； （2）定义域{|0}x x =,值域{|1}y y =；（3）定义域R ,值域(]0,16【解析】（1）要使函数式有意义,则40x -≠,解得4x ≠.所以函数142x y -=的定义域为{|4}x x ≠.因为104x ≠-,所以1421x -≠,即函数142x y -=的值域为{|01}y y y >≠，且. （2）要使函数式有意义,则||0x -,解得0x =,所以函数23y ⎛= ⎪⎝⎭{|0}x x =.因为0x =,所以022133⎛⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即函数23y ⎛= ⎪⎝⎭{|1}y y =.（3）函数的定义域为R .因为2223(1)44x x x --=--≥-,所以2234111622x x ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 又223102x x --⎛⎫>⎪⎝⎭,所以函数22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,16.【例2-2】（2018·湖南开福.长沙一中高一月考）若函数y =的值域为[0,+∞）,则实数a 的取值范围是_____． 【参考答案】（﹣∞,﹣2]【解析】设()421x x g x a =+⋅+,若函数y =的值域为[0,)+∞,则等价于[0,)+∞是()g x 值域的子集,2()421(2)21x x x x g x a a =+⋅+=+⋅+,设2x t =,则0t >,则2()1y h t t at ==++,(0)10h =>,∴当对称轴02at =-,即0a 时,不满足条件． 当02at =->,即0a <时,则判别式△240a =-,即022a a a <⎧⎨-⎩或,则2a -, 即实数a 的取值范围是(-∞,2]-.故参考答案为：(-∞,2]-【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域； （1）12x y +=；（2）y =（3）y =【参考答案】（1）定义域为R ,值域为(0,)+∞；（2）(,0]-∞,[0,1)；（3）[0,)+∞,[1,)+∞.【解析】（1）12x y +=的定义域为R ,值域为(0,)+∞.（2）由120x -≥知0x ,故y =(,0]-∞；由0121x -<知0121x -<,故y =[0,1).（3）y =[0,)+∞0x 知1x,故y =[1,)+∞.2．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域与值域.（1）y =（2）1(0,1x x a y a a -=>+且1)a ≠（3）110.3;x y -=（4）y =【参考答案】（1）定义域为[0,)+∞；值域为[0,1)；（2）定义域为R ；值域为(－1,1)；（3）定义域为{1}xx ≠∣；值域为{0y y >∣且1}y ≠；（4）定义域为15xx ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣；值域为{1}yy ≥∣. 【解析】（1）1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,解得：0x ≥, ∴原函数的定义域为[0,)+∞,令11(0)2xt x ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,则01,01t ≤<∴≤∴原函数的值域为[0,1) （2）原函数的定义域为R.设x a t =,则(0,)t ∈+∞,11221111t t y t t t -+-===-+++, 0,11t t >∴+>,1201,2011t t -∴<<∴-<<++,21111t ∴-<-<+,即原函数的值域为(1,1)-. （3）由10x -≠得1x ≠,所以函数定义域为{|1}x x ≠,由101x ≠-得1y ≠, 所以函数值域为{|0y y >且1}y ≠.(4)由510x -≥得15x ≥,所以函数定义域为15x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣,0≥得1y ≥,所以函数值域为{1}yy ≥∣. 3．（2020·河北新华.石家庄二中高二期末）若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ,则a 的取值范围为（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【参考答案】B【解析】当1x <时,()1,212xf x ⎛⎫∈+∞⎛ ⎪⎝⎫= ⎪⎭⎭⎝ 当1≥x 时,()114,4xf x a a a ⎛⎤∈+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎥⎝⎦ 函数()f x 的值域为(),+∞a 114212a a ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩,即11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B 4．（2020·云南五华.昆明一中高三其他（理））设函数y =A ,函数12x y -=的值域为B ,则AB =( )A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,1-D ．[]1,1-【参考答案】A【解析】函数定义域满足：210x ->,即11x -<<,所以{}11A x x =-<<,函数12x y -=的值域{}0B y y =>,所以()0,1AB =,故选：A.5．（2019·湖南高一期中）若函数2411()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3,则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【参考答案】D【解析】由于函数2411()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3,所以0a >,且当422x a a-=-=时,()f x 取得最大值为2224411412113333a a a aaf a ⎛⎫⋅-⋅+-+ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故4411,2,2a a a-===.故选：D 考点三 指数函数性质【例3】（1）（2020·贵溪市实验中学高二期末（文））若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3（2）（2019·湖南岳阳楼.岳阳一中高一期中）已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( ) A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)（3）（2019·湖北襄阳）如果1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【参考答案】（1）B （2）B(3)C【解析】（1）函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增,()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．（2）可知函数()f x 为减函数,由2(4)(3)f a f a ->,可得243a a-<,整理得2340a a --<,解得14a -<<,所以不等式的解集为(1,4)-．故选B.(3) 根据函数()1()2x f x =在R 是减函数,且1111222ba⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以10b a >>>,所以a a b a b a <<,故选C.【一隅三反】1．（2019·浙江南湖.嘉兴一中高一月考）函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数的区间是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞【参考答案】C【解析】∵13uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数,222(1)1u x x x =-+=--+在(,1]-∞上递增,在[1,)+∞上递减,∴函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的增区间是[1,)+∞．故选：C ．2．（2019·浙江柯城.衢州二中高三一模）已知定义在R 上的函数()||32x m f x -+=+m 为实数）为偶函数,记()0.2log 3a f =,()5log b f e =,()c f m π=+,则( )11.指数函数性质记忆口诀指数增减要看清,抓住底数不放松； 反正底数大于0,不等于1已表明； 底数若是大于1,图象从下往上增； 底数0到1之间,图象从上往下减； 无论函数增和减,图象都过(0,1)点． 2.比较幂值大小的三种类型及处理方法A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<【参考答案】B【解析】()f x 为偶函数,()()f x f x ∴-=,||||3232x m x m --+-+∴+=+,||||x m x m ∴-+=+；0m ∴=；||()32x f x -∴=+；()f x ∴在[0,)+∞上单调递减,并且0.25(|log 3|)(log 3)a f f ==,5(log )b f e =,()()c f m f ππ=+=550log log 3e π<<<c a b ∴<<．故选：B ．3．（2020·浙江高一课时练习）设0.914y =,0.4828y =, 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >>【参考答案】D【解析】 1.50.920.9 1.80.4830.481.44 1.35121422,22282,y y y -⨯⨯⎛⎫======⎝== ⎪⎭,因为函数2xy =在定义域上为单调递增函数,所以132y y y >>．故选：D ．4．（2020·永安市第三中学高二月考）若关于x 的方程()94340xxa ++⋅+=有解,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,8][0,)-∞-+∞B ．(),4-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-【参考答案】D【解析】由9(4)340x xa ++⋅+=,得443(4)0,(4)3433xxx x a a +++=∴-+=+≥（当且仅当32x =时等号成立）,解得8a ≤-故选D5（2020·上海高一课时练习）已知函数2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,则该函数的单调递增区间是__________.【参考答案】(,1]-∞-【解析】由题得函数的定义域为R . 设2122,()2uu x x v =++=,函数222,u x x =++在∞(-,-1]单调递减,在[1,)-+∞单调递增,函数1()2uv =在其定义域内单调递减,所以2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在∞(-,-1]单调递增,在[1,)-+∞单调递减.故参考答案为：(,1]-∞-.6．（2020·上海普陀.曹杨二中高一期末）函数12x y =-的单调递增区间为________【参考答案】(,0]-∞【解析】函数12,010221,1x xxy x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭=⎩-, 根据指数函数单调性可得,函数在(,0]-∞单调递增,在0,单调递减,所以函数12xy =-的单调递增区间为(,0]-∞.故参考答案为：(,0]-∞ 7．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中的两个值的大小． （1）0.10.8-,0.21.25；（2）1ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1；（3）30.2-,()0.23-.【参考答案】（1）0.10.20.81.25-<（2）11ππ-⎛⎫> ⎪⎝⎭（3）()0.230.23->-【解析】（1）因为0.10.10.1450.854--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 0.20.251.254⎛⎫= ⎪⎝⎭, 又指数函数54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数,且0.10.2<,所以0.10.25544⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即0.10.20.8 1.25-<. （2）1ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭01πππ=>=,（3）30.2-00.21>=,()()10.25330-=-=<,所以()0.230.23->-.考点四 定点【例4】（2020·浙江高一课时练习）函数()-1=4+x f x a （0a >,且1a ≠）的图象过定点P ,则P 点的坐标为（ ） A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,5)D ．(0,4)【参考答案】A【解析】因为xy a =的图象恒过(0,1)点,则1x y a-=的图象恒过(1,1)点,所以()-1=4+x f x a恒过定点()1,5P .故选A .【一隅三反】1．（2019·涡阳县第九中学高二期末）函数()10,1xy a a a =+>≠的图象必经过点（ ）A ．(0,1)B ．(1,1)C ．()0,2D ．(2,2)【参考答案】C【解析】函数x y a =的图象过点(0,1),而函数1x y a =+的图象是把函数x y a =的图象向上平移1个单位,∴函数1x y a =+的图象必经过的点(0,2)．故选：C ．2．（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21()x f x a-=(0a >且1)a ≠过定点（ ） A ．(1,1) B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．1(,1)2【参考答案】D【解析】令12102x x -=⇒=,所以函数21()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点1(,1)2． 3．（2020·宁夏贺兰县景博中学高一月考）函数y=a x ﹣1+2（a ＞0且a≠1）图象一定过点（ ）A ．（1,1）B ．（1,3）C ．（2,0）D ．（4,0）【参考答案】B 由x ﹣1=0,解得x=1,此时y=1+2=3,即函数的图象过定点（1,3）,故选B考点五 图像【例5-1】（2020·广东顺德一中高一期中）函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）． A ． B ．C ．D ．【参考答案】D 【解析】∵0a >,∴10a>,∴函数x y a =需向下平移1a 个单位,不过（0,1）点,所以排除A,当1a >时,∴101a <<,所以排除B,当01a <<时,∴11a>,所以排除C,故选D. 【例5-2】（2020·浙江高一课时练习）若函数(01,1)xy a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内,则（ ） A ．1a >B ．1a >,且0m <C ．01a <<,且0m >D ．01a <<【参考答案】B【解析】因为函数xy a =的图像在第一、二象限内,所以欲使其图像在第三、四象限内,必须将xy a =向下移动,因为当01a <<时,图像向下移动,只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限, 所以只有当1a >时,图像向下移动才可能经过第一、三、四象限,故1a >,因为图像向下移动小于一个单位时,图像经过第一、二、三象限,而向下移动一个单位时,图像恰好经过原点和第一、三象限,所以欲使图像经过第一、三、四象限,则必须向下平移超过一个单位, 故11m -<-,0m <,故选：B.【一隅三反】1．（2019·浙江高一期中）函数y x a =+与xy a =,其中0a >,且1a ≠,它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是 ( )A ．B ．C ．D ．【参考答案】D【解析】因为函数y x a =+单调递增,所以排除AC 选项；当1a >时,y x a =+与y 轴交点纵坐标大于1,函数xy a =单调递增,B 选项错误；当01a <<时,y x a =+与y 轴交点纵坐标大于0小于1,函数xy a =单调递减；D 选项正确.故选：D2．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的图象中,二次函数2y ax bx c =++与函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【参考答案】A【解析】根据选项中二次函数图象,可知0c ,根据选项中指数函数的图象,可知01b a <<,所以1022b a-<-<, 所以二次函数2y ax bx c =++的对称轴在y 轴左侧,且1,022b x a ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭, 所以可排除B 、C 、D,只有A 符合题意.故选：A.3．（2020·上海高一课时练习）若函数2xy m =+的图像不经过第二象限,则m 的取值范围是( )A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-【参考答案】D【解析】指数函数2x y =过点0,1,则函数2xy m =+过点()0,1m +,若图像不经过第二象限,则10m +≤,即1m ≤-,故选：D4．（2020·内蒙古集宁一中高二期末（理））若直线2y a =与函数|1|(0,1)x y a a a =->≠的图象有两个大众点,则a 的取值范围是___________【参考答案】102⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】当01,1a a <<>时,做出|1|xy a =-图象,如下图所示,直线2y a =与函数|1|(0,1)x y a a a =->≠的图象有两个大众点时,1021,02a a <<<<. 故参考答案为:102⎛⎫ ⎪⎝⎭，知识改变命运。

8指数与指数函数知识梳理1.根式当n＞1且n∈N*时，(na)n＝□08a(n为偶数时，a≥0)；当n＞1且n为奇数时，na n＝□09a(a∈R)；当n＞1且n为偶数时，na n＝|a|＝□10{a a≥0，－a a<0 (1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂：a mn＝na m(a>0，m，n∈N*且n>1)．②正数的负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*且n>1)．③0的正分数指数幂等于□010；0的负分数指数幂□02没有意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝□03a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②(a r)s＝□04a rs(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝□05a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质R4.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．5．准确把握指数函数图象的特征(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0<c <d <1<a <b ，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．6．关注含参指数型函数图象恒过定点问题 (1)依据：恒等式a 0＝1(a ≠0)．(2)方法：求形如f (x )＝M ·a kx ＋b ＋N 的图象恒过的定点，首先由kx ＋b ＝0求定点的横坐标，然后计算定点纵坐标．7．有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．8．比较幂值大小的常见类型及解决方法 同底不同指： 利用指数函数单调性进行比较 同指不同底： 利用幂函数单调性进行比较 既不同底又不同指：常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小9．利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．10．两类复合函数的最值(或值域)问题(1)形如y＝a2x＋b·a x＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．(2)形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)型函数最值问题，可令t＝f(x)，则y＝a t，先由x的取值范围求t的取值范围，再求y＝a t的最值．11．对于形如y＝a f(x)的函数的单调性(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝a f(x)的单调增(减)区间；(2)若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝a f(x)的单调减(增)区间．练习一1．已知π为圆周率，则10π－510＝π－5.( )2.函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( )3.若a m<a n(a>0，且a≠1)，则m<n.( )答案(1)×(2)√(3)×4．函数y＝a x－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )答案 C解析 函数y ＝a x －a 的图象过点(1,0)，排除A ，B ，D.5.若指数函数f (x )＝(a ＋2)x 为减函数，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－2，－1)解析 因为指数函数f (x )＝(a ＋2)x 为减函数，所以0<a ＋2<1，解得－2<a <－1.所以实数a 的取值范围是(－2，－1)．6．化简：(a 2·5a 3)÷(a ·10a 9)＝________(用分数指数幂表示)． 答案 a 65解析 (a 2·5a 3)÷(a ·10a 9)＝(a 2·a 35)÷(a 12·a 910)＝a 135÷a 75＝a 135－75＝a 65.7．若x 12＋x －12＝3，则x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值为________．答案25解析 由x 12＋x －12＝3，得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7，所以x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47.因为x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)3－3(x 12＋x －12)＝27－9＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25.8．已知3a 2＋b ＝1，则9a ×3b3a ＝________.答案 3解析 由3a 2＋b ＝1，得b ＝1－3a 2， 所以9a ×3b 3a＝32a×31－3a 2×3－a 2＝32a ＋1－3a 2－a 2＝3.9．已知实数a ，b 满足等式2019a ＝2020b ，给出下列5个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析 实数a ，b 满足等式2019a ＝2020b ，即y ＝2019x 在x ＝a 处的函数值和y ＝2020x 在x ＝b 处的函数值相等．由图可知，当a ＜b ＜0，a ＝b ＝0或0＜b ＜a 时，即①②⑤都可能成立． 10．函数y ＝3x，y ＝5x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在同一坐标系中的图象是( )答案 B解析 沿直线x ＝1，自下而上先后为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，y ＝3x ，y ＝5x的图象．故选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫12a －4x的图象与指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 ∵指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称的图象的解析式为y ＝a －x ，且函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫12a －4x 的图象与指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －4x ＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，∴12a －4＝1a ，2a －4＞0且2a －4≠1，a ＞0且a ≠1，∴a ＝4.12．不等式2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________．答案 {x |－1<x <4}解析 ∵2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，∴x 2－2x <x ＋4，∴x 2－3x－4<0，解得－1<x <4.角度3 探究指数型函数的性质 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在R上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 14．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．答案 3解析 设a x＝t ，∵a ＞1，x ∈[－1,1]，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a .∵y ＝a 2x ＋2a x －1＝(a x )2＋2a x －1， ∴函数化为y ＝t 2＋2t －1.由二次函数性质得对称轴为直线t ＝－1， ∴函数在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，∴当t ＝a 时，函数取得最大值a 2＋2a －1. ∵函数最大值为14，∴a 2＋2a －1＝14. 解得a ＝3或a ＝－5，∵a ＞1，∴a ＝3.15．已知函数f (x )＝a x ，其中a >0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.16．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析 因为2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12.所以函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.17．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，整理得(a－1)(2x＋2－x＋2)＝0，∴a ＝1，∴f (x )>3，即为2x＋12x －1>3，当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解．∴x 的取值范围为(0,1)．18．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]长度的最小值为________．答案 2解析 ∵函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，∴0∈[a ，b ]． 2和－2至少有一个属于区间[a ，b ]，故区间[a ，b ]的长度最小时为[－2,0]或[0,2]．即区间[a ，b ]长度的最小值为2.19．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围．解 ①当0<a <1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象如图1.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0<a <1)的图象有两个交点， 则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象如图2.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，23.。

专题3.5 指数与指数函数【考纲要求】1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。

2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.4．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.【知识清单】1．根式和分数指数幂1．n 次方根2.根式(1)概念：式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：①(n a )n ＝a .②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数. 3.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象和性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质【考点梳理】考点一根式、指数幂的化简与求值【典例1】（2019·广东省佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（）A．347a a a⋅=B．()326a a-=C a=Dπ=-【答案】AD【解析】34347a a a a+==，故A正确；当1a=时，显然不成立，故B不正确；a=，故Cπ=-，D正确，故选AD.【典例2】计算：(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2．【答案】12.【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.详解：(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2=(94)12−1−(23)3×23+(23)2=32−1=12． 【规律方法】化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．【变式探究】1.计算：1.5－13×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋80.256 【答案】110 【解析】原式＝113133234422 2223210811033⎛⎫⎛⎫⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋－.2.计算：1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________. 【答案】2 【解析】原式＝1323⎛⎫ ⎪⎝⎭×1＋342×142－13223⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【易错提醒】1.根式：（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．（2）n 0＝0(n ＞1，且n ∈N *)．（3）有限制条件的根式化简的步骤2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．3.把根式n a m 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对m n 进行约分，否则，有时会改变a 的取值范围而导致出错，如8a 2，a ∈R ，化成分数指数幂应为a 28 ，a ∈R ，而a 14 ＝4a ，则有a ≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．考点二：根式、指数幂的条件求值【典例3】已知x +x −1=3 ，则x 32+x −32的值为__________．【答案】2√5【解析】题意(x 12+x −12)2=x +2+x −1=5，∴x 12+x −12=√5，∴x 32+x −32=(x 12+x −12)(x −1+x −1)=√5(3−1)=2√5， 故答案为2√5．【典例4】已知11223a a -+=，求下列各式的值. （1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++ 【答案】(1)7;(2)47;(3)6.【解析】（1）将11223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=.（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=. （3）由（1）（2）可得2211471 6.171a a a a --+++==+++ 【总结提升】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x 12+x −12)2=x +2+x −1，(x +x −1)2=x 2+2+x −2，x 32+x −32=(x 12+x −12)(x −1+x −1)，解题时要善于应用公式变形．【变式探究】 设11223x x -+=，求1x x -+ 的值．【答案】7【解析】11223x x -+=,21112222327x x x x --⎛⎫∴+=+-=-= ⎪⎝⎭.考点三：指数函数的概念【典例5】若y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有 ( )A ．a ＝1或2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠1 【答案】C【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1a >0a ≠1， 解得a ＝2，故选C.【规律方法】判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，a ≠1)这一结构形式．【变式探究】若函数y ＝(m －2)a x ＋3－2n (a >0，且a ≠1)是指数函数，则k ＝ ，b ＝ .【答案】3，32. 【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝13－2n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ＝32.考点四：指数函数的图象【典例6】（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数x y a =和x y b =的图象如图，则下列关系中正确的是（ ）A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1a b >>D ．1b a >>【答案】C【解析】很显然a ，b 均大于1；x y a =与1x =的交点在x y b =与1x =的交点上方，故b a <，综上所述:1a b >>.故选:C.【典例7】（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点（ ） A ．(1,1) B ．1(,0)2 C ．(1,0) D ．1(,1)2【答案】D【解析】 令12102x x -=⇒=，所以函数21()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点1(,1)2．【典例8】（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ， 当1a >时，∴101a<<，所以排除B ， 当01a <<时，∴11a >，所以排除C ，故选D. 【规律方法】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2) x y a ＝与x y a -＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．【变式探究】1.（2020·上海高一课时练习）函数x y a =和(1)y a x =+（其中0a >且1a ≠）的大致图象只可能是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由于(1)y a x =+过点()1,0-，故D 选项错误.当1a >时，x y a =过()0,1且单调递增；(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且1a >.所以A 选项错误.当01a <<时，x y a =过()0,1且单调递减，(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且01a <<.所以B 选项错误.综上所述，正确的选项为C.故选：C2.如图所示是下列指数函数的图象：(1)y ＝a x ；(2)y ＝b x ；(3)y ＝c x ；(4)y ＝d x .则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是 ( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c【答案】B【解析】 可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c ，d 的大小，由(1)(2)比较a ，b 的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x 轴，故选B.【特别提醒】指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大． 考点五：指数函数的性质及其应用【典例8】 (2017北京文理)已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （ ） （A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数【答案】B【解析】【典例9】（2020·北京高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】 因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+， 在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D.【典例10】（2015·山东高考真题（文））设a =0.60.6，b =0.61.5，c =1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a【答案】C【解析】由y =0.6x 在区间(0,+∞)是单调减函数可知，0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，故选C .【典例11】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数2()(0,1,0)x f x a a a x -=>≠≥且的图像经过点(3,0.5)，（1）求a 值；（2）求函数2()(0)x f x a x -=≥的值域；【答案】（1）12a =（2）0,4]（【解析】（1）函数()2x f x a -=的图像经过点()3,0.5320.5a -∴=12a ∴= （2）由（1）可知()()2102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭ 1012<< ()f x ∴在[0,+∞）上单调递减，则()f x 在0x =时有最大值 ()()21042maxf x f f -⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ 又()0f x >∴函数()f x 的值域为0,4]（ 【规律方法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．【变式探究】1.（2018年新课标I 卷文）设函数f (x )={2−x ， x ≤01 ， x >0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ） A. (−∞ ， −1] B. (0 ， +∞) C. (−1 ， 0) D. (−∞ ， 0)【答案】D【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知会有{2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(−∞ ， 0)，故选D.2.（2019·天津高三高考模拟）若2x2+1≤(14)x−2，则函数y =2x 的值域是 A ．[18,2) B ．[18,2] C ．(−∞,18] D ．[2,+∞) 【答案】B【解析】将2x 2+1≤(14)x−2化为x 2+1≤−2(x −2)，即x 2+2x −3≤0，解得x ∈[−3,1]，所以2−3≤2x ≤21，所以函数y =2x 的值域是[18,2].故选C.3.(2019年高考北京理)设函数（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a 的取值范围.若函数为奇函数，则即，()e e x xf x a -=+(]1,0--∞a a ()0f x '≥()e e x x f x a -=+()(),f x f x -=-()e e e e x x x x a a --+=-+即对任意的恒成立， 则，得.若函数是R 上的增函数，则在R 上恒成立， 即在R 上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.4．（2015·山东省高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 【答案】32-【解析】 若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解； 若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-. ()()1e e 0x x a -++=x 10a +=1a =-()e e x xf x a -=+() e e 0x x f x a -'=-≥2e x a ≤2e 0x >0a ≤a (],0-∞。

指数以及指数函数的整理讲义经典-(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN指数与指数函数一、指数 （一）n 次方根：1的3次方根是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．以上都不对2、若4a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≥2且a ≠4C ．a ≠2D ．a ≠4（二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n1．下列各式正确的是( )A.(－3)2＝－3B.4a 4＝aC.22＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0 4、求下列式子(1)．334433)32()23()8(---+-(2)223223--+（三）、分数指数幂1、求值 4352132811621258---⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛；；；243的结果为 A 、5B 、5C 、－5D 、－53、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42a -（3）3432x x x（四）、实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）sr r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( )A ．a m a n＝a mnB ．(a m )n＝a m ＋nC ．a m b n＝(ab )m ＋nD ．(b a)m ＝a －m b m2、若0,x >则1311142422-（2x +3）(2x -3)-4x ＝ .3．计算(0.064)－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12＝________.题型一： 1、求值：（1-； （2+2、已知*N n ∈，化简()()()()=+++++++++----11111233221n n _____。

幕、指、对函数综合复习一、指数与指数函数(1) 根式的概念①如果X n=a,a・ R,x・R,n 1，且N .，那么x叫做a的n次方根•当n是奇数时，a的n次方根用符号n. a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号-ja表示;0的n次方根是0；负数a没有n次方根.②式子7a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数•当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时,a _0.③根式的性质：(折广=a ；当n为奇数时，寸a" = a ；当n为偶数时，0孑=|a|=[a (a—0).-a (acO)(2) 分数指数幕的概念m①正数的正分数指数幕的意义是：a n = >0, m, n^N^且n >1). 0的正分数指数幕等于0._m 1m q—②正数的负分数指数幕的意义是： a n=(—)n=n( )m(a 0,m,N 且n・1). 0的负分数指数幕a V a没有意义. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数.(3) 分数指数幕的运算性质r u r r u ru 广广广① a a = a (a O,r,s R) ②(a ) = a (a O,r,s R)③(ab) a b (a 0,b 0,r R)(4) 指数函数图像与性质、对数与对数函数 (1) 对数的定义①若ax=N(a 0,且a")，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x = log a N ，其中a 叫做底数，N 叫做真数.②负数和零没有对数.x=log a N ：= a x =N(a 0,a=1,N0).(2) 几个重要的对数恒等式log a l =0 , log a a =1 , log a a b =b .(3) 常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即log ioN ；自然对数：ln N ，即log e N (其中e = 2.71828…).(4)对数的运算性质 如果a .0,a=1,M 0,N • 0 ,那么①加法： log a M log a N =log a (MN ) ②减法：log a M -log a N =log aMN③数乘： nlog a M -log a M n (nR)④ a loga N =Nlog a . 0,且 b=1) log b a(5)③对数式与指数式的互化:⑤logab MJblog aM (b"nR )⑥换底公式:⑹反函数的概念设函数y = f (x)的定义域为A，值域为C ,从式子y = f (x)中解出x ,得式子x = (y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x^-(y), x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x^-(y)表示x是y的函数，函数x二(y)叫做函数y二f(x)的反函数，记作x二f」(y)，习惯上改写成y二f'(x).说明：反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y二f(x)中反解出x二f J(y)；1 1③将x = f (y)改写成y = f (x)，并注明反函数的定义域.(7)反函数的性质①原函数y = f (x)与反函数y二f'(x)的图象关于直线y=x对称.②函数y = f (x)的定义域、值域分别是其反函数y = f，(x)的值域、定义域.p 和q • Z )，若p 为奇数q 为奇数时,_q函数，若p 为奇数q 为偶数时，则y 二x p③若P(a,b)在原函数y = f(x)的图象上，贝V P(b,a)在反函数y = f 」(x)的图象上. ④一般地，函数 y = f (x)要有反函数则它必须为单调函数.三、幕函数(1) 幕函数的定义:般地，函数 y=x ＞叫做幕函数，其中 x 为自变量，:是常数.(2) 幕函数的图象(3) 幕函数的性质二、三象限，第四象限无图象.幕函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、 三象限(图象关于原点对称)；是非 奇非偶函数时，图象只分布在第一象限②过定点：所有的幕函数在(0,都有定义，并且图象都通过点(1,1).③ 单调性：如果:0，则幕函数的图象过原点，并且在 [0, •：：)上为增函数•如果::0，则幕函数的图①图象分布：象在(0, •：：)上为减函数，在第一象限内,图象无限接近 ④奇偶性：当〉为奇数时，幕函数为奇函数，当 〉 为偶数时，幕函数为偶函数.当 口 =2 (其中p q 互质, pq是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y 是非奇非偶函数.⑤图象特征：幕函数y = x「, x三(0,)，当c 1时，若0 ：：： x ::: 1，其图象在直线y = x下方，若x 1 , 其图象在直线y = x上方，当::::1时，若0 ：：： x ：：： 1，其图象在直线y = x上方，若x 1，其图象在直线y=x下方.四、例题分析__ 2例1已知函数y =x n -n- (n • Z)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象.解：因为图象与y轴无公共点，故n2 -2n-3< 0，又图象关于y轴对称，则n2-2n-3为偶数，由n2—2n -3W 0,得-1< n < 3，又因为n Z，所以n =0, 1,2,3 .当n=0时，n -2 n -3 - $不是偶数；当n =1时，n -2n - 3-4为偶数；当n--1时，n2 -2n-3 =0为偶数；当n=2时，n2 -2n-3 --3不是偶数；当n =3时，n2 -2n-3=0为偶数；所以n为-1 , 1或3.此时，幕函数的解析为y =x°(x =0)或y =x°，其图象如图1所示.例2已知点(.2,2)在幕函数f (x)的图象上，点-2,1，在幕函数g(x)的图象上.问当x为何值时有：I 4丿(1) f(x) g(x) ； (2) f(x) =g(x) ； (3) f (x) ::: g(x).解:设 f (x) =x m,则由题意，得2 =C.2)m, ••• m=2 ,即f(x) =X2.再令g(x)二X n，则由题意，得丄=(-2)n,4• n --2 ,即g(x)=x2(x=0).在同一坐标系中作出 f (x)与g(x)的图象，如图2所示.由图象可知：(1)当x 1 或x ：：-1 时，f (x) g(x)；(2)当x = 1 时，f(x) =g(x)；(3)当一1 ：：x ：：1 且x=0时，f(x) ：：：g(x).2例3、已知函数f(x)以少m 3(m Z)为偶函数，且f(3) ：：： f (5)，求m的值，并确定f (x)的解析式.2分析：函数f(x) =x2m m 3(m Z)为偶函数，已限定了-2m2 m - 3必为偶数，且m・Z，f (3) .. f (5)，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定f (x)的解析式.解：••• f (x)是偶函数，•••-2m2 m 3应为偶数.2m:|m 3又T f(3) ：：： f(5)，即3-m m3 :：: 5 m3，整理，得— d , • ^2m2 m 3 0 ,• m -.15丿 2又••• m Z, • m=0或1.当m=0 时，-2m2 m - 3=3为奇数(舍去)；当m=1 时，-2m2 m ^2为偶数•故m 的值为1, f(x) =x2.评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础.练习、若(m 1) J：：(3 -2m)1，试求实数m的取值范围.正解(分类讨论)：m 1 0,(1) 3 -2m -0,m 1 3 -2m,解得2 ::: dm <—;3 2」m 1 ：： 0,(2)3-2m：：：0,此时无解；m 1 3 -2m,(3)m 1：：0,解得m,1. Q —2m >0,综上可得m • ( * , -1)U现在把例1中的指数-1换成3看看结果如何.1 1练习、若(m V)2：：：(3-2m)2，试求实数m的取值范围.-L m 10,2 解：由图3,3 -2m )-0,，解得一1 W m ：：—.333 -例4、关于x 的不等式x 2 +25十x ‘ -5x ］ pax 在1,12］上恒成立，则实数a 的取值范围是 ________________5 5而 x+—+ x （x —5|X 2j x •—+0=10，当且仅当 x=5 时，等号成立，••• a 兰 10,x 1V x• a 的取值范围是：i •「，10 ］。

指数及指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>；（2）rssr a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）srra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．（一）指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义 ○2 注意指数函数的底数的取值范围，底数为什么不能是负数、零和1．（二）指数函数的图象和性质注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．指数函数的图象如右图：4图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1） 1a 0=自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 1a ,0x x >> 1a ,0x x <>在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 1a ,0x x <<1a ,0x x ><图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；指数与指数函数练习题一、选择题：1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ） A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a3、若1,0a b ><,且b b a a -+=则b b a a --的值等于（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2<a C、a <、1a <<5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是( )A 、 1(1)2x +B 、14x + C 、2x D 、2x -6、已知01,1a b <<<-,则函数xy a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限7、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)na b -8、若103,104x y ==，则10x y -= 。

指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n 1．整数指数幂概念：a =a ⋅Λ⋅a (n ∈N )a 0=1(a ≠0)1⋅4a 243*n 个aa-n=1a ≠0,n ∈N *)n(a 2．整数指数幂的运算性质：（1）a m ⋅a n =a m +n (m ,n ∈Z )（2）a （3）(ab )=a ⋅b n n n ()mn=a mn(m ,n ∈Z )(n ∈Z )其中a ÷a =a ⋅a m n m -n =a m -n a n ⎛a ⎫-1nn -n ， ⎪=(a ⋅b)=a ⋅b =n ．b ⎝b ⎭n 3．a 的n 次方根的概念即：若x n 一般地，如果一个数的n 次方等于a n >1,n ∈N )，那么这个数叫做a 的n 次方根，=a ，则x 叫做a 的n 次方根，(n >1,n ∈N )**(说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若a >0则n a >0，若a <o 则n a <0；②若n 是偶数，且a >0则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：-n a ；（例如：8的平方根±8=±2216的4次方根±416=±2）③若n 是偶数，且a <0则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④Θ0=0n >1,n ∈N nn (*)∴n 0=0；⑤式子a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

∴(a )nn=a ．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n =a ；若n 是偶数，则n a n =a =⎨5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）3-8⎧a⎩-aa ≥0a <0．(3)（2）(-10)*2（3）4(3-π)（4）4例2．已知a <b <0,n >1,n ∈N ，化简：n (a -b )+n (a +b )．n n （二）分数指数幂1051231．分数指数幂：5a =a =a102(a >0)3a =a =a124(a >0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a 3()kn=akn 对分数指数幂也适用，442255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫2532例如：若a >0，则 a 3⎪=a 3=a ， a 4⎪=a 4=a ，∴a =a 3⎝⎭⎝⎭a =a ．545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理 知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解①分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算②根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===-等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤画指数函数xy a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数，且．（1）求m的值；（2）判定f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．解答：解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f（x）是奇函数．（3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax 单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m ＜n，求m+n的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A （m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n ﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．。

1指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是(01)xy a a a =>≠且x R 知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则，01c d a b <<<<<在轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，y 在轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大y 即无论在轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大y 在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解2① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像等1223,,21xx y y x y y =⋅===-函数均不符合形式，因此，它们都不是指数函数()01x y a a a =>≠且⑤ 画指数函数的图像，应抓住三个关键点：x y a =()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且．（1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．解答：解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f（x）是奇函数．（3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．3指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，4故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．5分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n 为奇数时，=×1=；n 为偶数时，=+f （）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．6题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．7点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；8解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a （﹣）+b （﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b （﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；9（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），10故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为11t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，12∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．13（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数14（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．15（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．16解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．1718。

指数的运算与指数函数讲义4.1指数的运算【知识梳理】1.整数指数幕1）定义：我们把a n叫做a的n次幕，a叫做幕的底数，n叫做幕的指数。

在上述定义中，n为整数时，这样的幕叫做整数指数幕。

2）整数指数幕的运算法则：/ 八m n / / m、n（1）a a = _________________________ （2）（a ）__________________ma / i x m（3）「_____________________________ （4）（ab） _____________________________ a3）此外，我们作如下规定：零次幕：a01（a 0）；1负整数指数幕：a n—（a 0,n N ）；a2.根式：1）n次方根：一般地，如果x n a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1 ,且n € N*。

注：①当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a , n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数；负数的n次方根是一个负数，都表示为n a ；③0的任何次方根都是0,记作n0 0。

2）正数a的正n次方根叫做a的n次算数根。

当n a有意义时，Va叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.I --当n是奇数时，Va n a ；当n是偶数时，n a n|a| a (a 0).；3.有理指数幕 1）我们进行如下规定：1a n n a （ a 0）那么，我们就将整数指数幕推广到分数指数幕。

此外，下面定义也成立：N *,n 1）0,m, n N *, n 1）o ，o 的负分数指数幕没有意义。

2）规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数幕推广到了有理数指数幕。

【例2】•计算下列各式的值:23 3丄一 1_ _ o 30.002 210 , 5 2.. 3 . 28(1) a r -a r r a s(a 0, r,s Q)；(2)(a r )s rs a (a 0, r, s Q) （3） (ab)r a r s z a (a 0,b 0,r Q) 题型--根式与幕的 l 化简与求值 【例1】•求下列各i式的值:（1）3 2 23 2：23）有理指数幕的运算性质:(2) , 5 2.6 6 4 2 .7 4 3mnma (a 0,m,nm11a nm------(a n ma 7•..a注：o 的正分数指数幕等于 7(1)0.064 3 (7)042 3 3 160.75(2)【例3】•化简下列各式:0,b 0 (1)1 a 1 ~1a2 a【过关练习】1.求值：(1)(2)18a'b2.化简：(1)x 11 3 x(2)(a3a3 3)(a 3)_aa 4 1 a a 11x3xx3 1a2(1 4) a2(1 a4a^2 24b323 ab a'4) 21a a3.下列关系式中，根式与分数指数幕的互化正确的是_________(1) .X1 ___ 1 4x2(x 0);(2)6y2y3(y 0);(3)x§23\ a4(：)3(X 0)(4) . a a3a" (a 0)题型二 含附加条件的求值问题【例11 (1 )若3a 9b -，则下列等式正确的是()3 A. a b 1 B. a b 1C. a 2b1D.a 2b1(2) 若 x 3 x 2x 1,则 x 28 x 272x1x 1 x 1 x 2x 27 x 28的值是a . .； b4 ----- 0的两个根，且a b 0，求 的值.<a Jb【过关练习］1.已知2x 2 xa(常数)， 求8x 8 x 的值12.已知a 2 1a 2 3a 23，求一n a 23a1的值.a 23x 3x3.已知a 2x 21，求a x a x 的值a a(2)已知a,b 是方程x 26x1【例2 ]( 1)已知x - y 2 '题型三解含幕的方程与等式的证明【例1】解下列方程2x11【例2】已知ax3 by3 cz4，且一x 1，求证(ax2 by211112\3 3 3 ^3cz ) a b c【过关练习】1•解下列方程x 2 2 x1(1)81 3922x22xa b2.设a,b,c都是正数，且3 4 6c，求证- 24.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数 函数 函数 y a x (a 0,a 1)叫做指 数函数 .2. 指数 函数的 性质（ 1 ） 定义域 :实 数 集 合 R ；（ 2）值域 ： y 0 ;（ 3 ）奇偶性 ：指数函数是非奇非偶函数（ 4）单调性：a 1时， 函数 y a x （a 0,a 1）在 （, )上为增函数； 0 a 1时， 函数xya（a 0,a1)在( , )上为减函数；（ 5）函数值：x 0时 ， y 1, 图 象 恒 过 点 ( 0 ， 1 )；（ 6）当 a 1,x 0 时 y 1 ; a 1, x 0 时，0 y 1.当0 a 1, x 0 时 ，0y 1;0 a 1,x 0时， y 1.题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数 y a x (a 2)(a 3)的图像经过点( 2,4)，求 a 的值.【过关练习】•若指数函数f(x)的图像经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f( 1)的值.题型二指数型复合函数的定义域和值域 【例1】•求下列函数的定义域和值域 1(1)y .. 1 3x（2） y 2口x 2 2x 3(3) y2x1 （汀（4）y32【例2】•求函数yx13 1x2, x 2,2的值域420,且a 1）在-1,1上有最大值14,试求a 的值.【过关练习】 1.求函数y 11X的定义域和值域V 23•函数y 22x2x 1 2的定义域为M ，值域P1,2，则下列结论一定正确的个数是（）。

幂、指、对函数综合复习一、指数与指数函数（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（4）指数函数图像与性质二、对数与对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log aa aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 （5）对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．说明：反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（7）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．三、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．四、例题分析例1 已知函数223nn y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．当0n =时，2233n n --=-不是偶数； 当1n =时，2234n n --=-为偶数； 当1n =-时，2230n n --=为偶数； 当2n =时，2233n n --=-不是偶数； 当3n =时，2230n n --=为偶数； 所以n 为1-，1或3． 此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．例2已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有： （１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．解：设()m f x x =，则由题意，得2m =，∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1(2)4n =-，∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知： （1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； （2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．例3、已知函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式． 分析：函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式． 解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．又∵(3)(5)f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312m -<<． 又∵m ∈Z ，∴0m =或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．故m 的值为1，2()f x x =．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．练习、若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围． 正解（分类讨论）： （1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<； （2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，， 解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞． 现在把例1中的指数1-换成3看看结果如何． 练习、若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 解：由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．例4、关于x 的不等式232255|x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是 。

指数与指数函数讲义一、知识梳理1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定-mna＝1m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数注意：1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，)1,1(a-. 2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a (n ∈N *)．( )(2)分数指数幂m na 可以理解为mn 个a 相乘．( )(3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( )(4)若a m ＜a n (a ＞0，且a ≠1)，则m ＜n .( ) (5)函数y ＝2－x 在R 上为单调减函数．( ) 题组二：教材改编2．[]化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)＝________.3．]若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P )21,2(，则f (－1)＝________.4．已知a ＝133()5-，b ＝143()5-，c ＝343()2-，则a ，b ，c 的大小关系是________．题组三：易错自纠5．计算：133()2-×0)67(-＋148×42－________. 6．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 7．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．三、典型例题题型一：指数幂的运算1．计算：2327()8--＋120.002-－10(5－2)－1＋π0＝________. 2．化简：41233322338(4a a b ab a--÷-+＝________.( a >0)思维升华：(1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 题型二：指数函数的图象及应用典例 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c 且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0 C ．2－a ＜2cD ．2a ＋2c ＜2思维升华：(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练 (1)已知实数a ，b 满足等式2 018a ＝2 019b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________． 题型三：指数函数的性质及应用 命题点1：指数函数单调性的应用典例 (1)已知f (x )＝2x－2－x，a ＝147()9-，b ＝159()7，则f (a )，f (b )的大小关系是________．命题点2：与指数函数有关的复合函数的单调性 典例 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________；(2)函数f (x )＝2211()2xx -++的单调减区间为____________．(3)函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是________．命题点3：指数函数性质的综合应用 典例 已知函数f (x )＝2431()3axx -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．思维升华：(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练(1)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( ) A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )＞f (c x )D ．与x 有关，不确定四、反馈练习1．函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 2．设2x ＝8y＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．273．(2017·河南南阳、信阳等六市一模)已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b4．设a ＝log 213，b ＝12e -，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b ＜a ＜c5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9]D ．[1，＋∞)6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是7．若“m ＞a ”是“函数f (x )＝x )31(＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________． 8．不等式222x x－＋>4)21(+x 的解集为________．9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_____． 10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 11．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________． 12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式xa)1(＋xb)1(－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．13．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．14．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x ＜0，则函数g (x )的最小值是________．15．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.16．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．。

幂、指、对函数综合复习一、指数与指数函数（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（4）指数函数图像与性质二、对数与对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 （5）对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．说明：反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（7）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．三、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．四、例题分析例1 已知函数223nn y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．当0n =时，2233n n --=-不是偶数； 当1n =时，2234n n --=-为偶数； 当1n =-时，2230n n --=为偶数； 当2n =时，2233n n --=-不是偶数； 当3n =时，2230n n --=为偶数； 所以n 为1-，1或3． 此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．在幂函数()f x 的图象上，例2 已知点点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．解：设()m f x x =，则由题意，得2m =，∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1(2)4n =-，∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知： （1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； （2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <． 例3、已知函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式． 分析：函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式． 解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．又∵(3)(5)f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312m -<<． 又∵m ∈Z ，∴0m =或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．故m 的值为1，2()f x x =．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．练习、若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围． 正解（分类讨论）： （1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<； （2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，， 解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞．现在把例1中的指数1-换成3看看结果如何． 练习、若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 解：由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．例4、关于x 的不等式232255|x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是 。

指数与指数函数课前双击巩固1.根式n 次方根概念如果x n=a,那么x叫作a的,其中n>1,n∈N*性质当n是时,a的n次方根为x= √a n 当n是时,正数a的n次方根为x=±√a n,负数的偶次方根0的任何次方根都是0,记作√0n=0根式概念式子√an叫作,其中n叫作,a叫作性质当n为奇数时,√a nn=当n为偶数时,√a nn=|a|=2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:a mn=√a mn(a>0,m,n∈N*且n>1).②正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=√a mn(a>0,m,n∈N*且n>1).③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的性质① a r a s=(a>0,r,s∈Q);②(a r)s=(a>0,r,s∈Q);③ (ab )r = (a>0,b>0,r ∈Q ). 3.指数函数的图像与性质y=a x(a>0且 a ≠1)a>10<a<1图像定义域 R 值域性质过定点当x>0时, ;当x<0时, 当x>0时, ;当x<0时, 在R 上是在R 上是常用结论1.指数函数y=a x+b(a>0且a ≠1)的图像恒过定点(0,1+b). 2. 指数函数y=a x (a>0且a ≠1)的图像以x 轴为渐近线. 题组一 常识题1. 若x+x -1=3,则x 2-x -2= .2. 已知2x-1<23-x,则x 的取值范围是 .3. 函数y=a x-1+2(a>0且a ≠1)的图像恒过定点 . 4.下列所给函数中值域为(0,+∞)的是 .(填序号) ①y=-5x,②y=(13)1−x,③y=√(12)x-1,④y=√1−2x .题组二 常错题◆索引:忽略n 的范围导致式子√a n n(a ∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题隐含指数函数值域大于零的情况.5.计算√(1+√2)33+√(1-√2)44= .6.若函数f (x )=(a 2-3)·a x为指数函数,则a= .7.若函数f (x )=a x在[-1,1]上的最大值为2,则a= .8.设函数f (x )=ax 2+bx+c (a>0)满足f (1-x )=f (1+x ),则f (2x)与f (3x)的大小关系是 .课堂考点探究探究点一 指数幂的化简与求值例题1 (1) 已知a-1a =3(a>0),则a 2+a+a -2+a -1的值为 ( )A.13-√11B.11-√13C.13+√11D.11+√13(2)计算0.02713+2560.75-(41727)-13-72916= .[总结反思] 指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 变式题 (1)计算:(19)-3×27-23+3π0= .(2)已知a ,b 是方程x 2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则√a -√b√a+√b= .探究点二 指数函数的图像及应用 例题2 (1)函数y=1-e |x|的图像大致是 ( )图2-8-1(2)已知f(x)=|2x-1|,当a<b<c时,有f(a)>f(c)>f(b),则必有( )A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.2-a<2cD.1<2a+2c<2[总结反思](1)研究指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,1a.(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解. 变式题(1)在同一平面直角坐标系中,函数y=a x(a>0且a≠1)与y=(1-a)x的图像可能是( )图2-8-2(2)已知函数y=(12a-4)x的图像与指数函数y=a x的图像关于y轴对称,则实数a的值为( )A.1B.2C.4D.8探究点三指数函数的性质及应用考向1比较指数式的大小例题3 (1)已知a=243,b=425,c=2513,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若-1<a<0,则3a,a 13,a 3的大小关系是 (用“>”连接).[总结反思] 指数式的大小比较,靠的就是指数函数的单调性,当所比较的指数式的底数小于0时,要先根据指数式的运算法则把底数化为正数,再根据指数函数的性质比较其大小. 考向2 解简单的指数方程或不等式例题4 (1)已知函数f (x )={2x -1,x >1,1,x ≤1,则不等式f (x )<f (2x )的解集是 .(2)方程4x+|1-2x|=11的解为 .[总结反思] (1)a f (x)=a g (x)⇔f (x )=g (x ).(2)a f (x)>a g (x),当a>1时,等价于f (x )>g (x );当0<a<1时,等价于f (x )<g (x ).考向3 指数函数性质的综合问题 例题5 (1)函数f (x )=a+be x +1(a ,b ∈R )是奇函数,且图像经过点ln 3,12,则函数f (x )的值域为( )A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x ∈(-∞,1]时恒成立,则实数a 的取值范围是 .[总结反思] 指数函数性质的重点是其单调性,解题中注意利用单调性实现问题的转化. 强化演练1.【考向1】已知a=(35)25,b=(25)35,c=(25)25,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a2.【考向2】若存在正数x 使2x(x-a )<1成立,则a 的取值范围是 ( )A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞) D .(-1,+∞)3.【考向2】已知实数a ≠1,函数f (x )={4x ,x ≥0,2a -x ,x <0, 若f (1-a )=f (a-1),则a 的值为 .4.【考向2】若偶函数f (x )满足f (x )=2x-4(x ≥0),则不等式f (x-2)>0的解集为 .5.【考向3】已知函数f (x )=b ·a x(其中a ,b 为常数且a>0,a ≠1)的图像经过点A (1,6),B (3,24).若不等式(1a )x +(1b)x-m ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,则实数m 的取值范围为 .参考答案1.n 次方根 奇数 偶数 没有意义 根式 根指数 被开方数 a {a(a ≥0),-a(a <0)2.(1)0 没有意义 (2)a r+sa rsa rb r3.(0,+∞) (0,1) y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数1.±3√5 [解析] 把x+x -1=3两边平方,可得x 2+x -2=7,则(x-x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以x-x -1=±√5,所以x 2-x -2=(x+x -1)(x-x -1)=±3√5.2.(-∞,2) [解析] 根据指数函数性质,得x-1<3-x ,解得x<2,所以x 的取值范围是(-∞,2).3.(1,3) [解析] 令x-1=0,得x=1,此时y=a 0+2=3,所以函数图像恒过定点(1,3). 4.② [解析] 对于②,∵1-x ∈R ,∴y=(13)1−x的值域是(0,+∞);①的值域为(-∞,0);③的值域为[0,+∞);④的值域为[0,1).5.2√2 [解析] √(1+√2)33+√(1-√2)44=1+√2+|1-√2|=2√2. 6.2 [解析] 由指数函数的定义可得{a 2-3=1,a >0,a ≠1,解得a=2.7.2或12[解析] 若a>1,则f (x )max =f (1)=a=2;若0<a<1,则f (x )max =f (-1)=a -1=2,得a=12.8.f (3x)≥f (2x) [解析] ∵f (x )满足f (1-x )=f (1+x ),∴f (x )的图像关于直线x=1对称.由a>0知,f (x )图像的开口向上.当x<0时,2x <1,3x <1,2x >3x ,且f (x )为减函数,故f (2x )<f (3x);当x>0时,2x >1,3x >1,3x >2x ,且f (x )为增函数,故f (3x )>f (2x );当x=0时,f (3x )=f (2x ).故f (3x )≥f (2x).【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用完全平方公式找到a-1a,a 2+1a2,a+1a之间的关系即可求解;(2)根据分数指数幂的运算法则进行计算.(1)D (2)60.7 [解析] (1)由a-1a =3,得a-1a 2=9,即a 2+1a 2-2=9,故a 2+a -2=11.又(a+a -1)2=a 2+a -2+2=11+2=13,且a>0,所以a+a -1=√13.于是a 2+a+a -2+a -1=11+√13,故选D.(2)原式=0.3+(44)34-(12527)-13-(36)16=0.3+43-35-3=60.7.变式题 (1)84 (2)√55 [解析] (1) 原式=(3-2)-3×(33)-23+3=3-2×(-3)×33×(−23)+3=36×3-2+3=36-2+3=34+3=84.(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以(√a -√b√a+√b)2=2√ab a+b+2√ab =√46+24=15. 因为a>b>0,所以√a >√b ,所以√a -√b a+√b =√55. 例2 [思路点拨] (1)结合解析式和图像,分析奇偶性和值域可得结论;(2)作出函数f (x )的图像,再重点分析a 与c 的情况.(1)A (2)D [解析] (1)将函数解析式与图像对比分析,函数y=1-e |x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A 选项满足上述两个性质,故选A.(2)作出函数f (x )=|2x-1|的图像,如图所示,因为a<b<c ,且有f (a )>f (c )>f (b ),所以必有a<0,0<c<1,且|2a -1|>|2c -1|,所以1-2a >2c -1,则2a +2c <2,且2a +2c>1.故选D.变式题 (1)C (2)C [解析] (1)若a>1,则1-a<0,函数y=a x单调递增,y=(1-a )x 单调递减;若0<a<1,则1-a>0,函数y=a x 单调递减,y=(1-a )x 单调递增.所以y=a x与y=(1-a )x 单调性相反,排除A ,D ;又y=a x的图像过定点(0,1),所以排除B.故选C.(2)由两函数的图像关于y 轴对称,可知12a -4与a 互为倒数,即a2a -4=1,解得a=4.例3 [思路点拨] (1)化为同底指数式,结合指数函数的单调性比较;(2)先将底数在a>0且a ≠1范围内进行转化,再结合指数函数的单调性比较.(1)A (2)3a>a 3>a 13 [解析] (1)由a 15=(243)15=220,b 15=(245)15=212,c 15=255>220,可知b 15<a 15<c 15,所以b<a<c.(2)易知3a>0,a 13<0,a 3<0,又由-1<a<0得0<-a<1,所以(-a )3<(-a )13,即-a 3<-a 13,所以a 3>a 13,因此3a >a 3>a 13.例4 [思路点拨] (1)结合函数的单调性,分x ≥2,1<x<2,0<x ≤1,x<0四种情况求解;(2)分情况讨论去掉绝对值,解相应的指数方程.(1)(0,√2) (2) x=log 23 [解析] (1)当x ≥2时,2x ≤1,不等式无解;当1<x<2时,1<2x <2,结合函数的单调性,由不等式f (x )<f (2x )得x<2x ,得1<x<√2;当0<x ≤1时,2x ≥2,不等式恒成立;当x<0时,2x <0,不等式无解.综上可得,不等式f (x )<f (2x )的解集是(0,√2).(2)当x ≤0时,1-2x≥0,原方程即为4x-2x-10=0,可得2x=12+√412,此时x>0,故舍去.当x>0时,1-2x<0,原方程即为4x+2x-12=0,可得2x=3,则x=log 23.故原方程的解为x=log 23.例5 [思路点拨] (1)根据条件先确定a ,b 的值,再依据指数函数的值域确定函数f (x )的值域;(2)分离参数,根据指数函数单调性和不等式恒成立得出关于a 的不等式,解之即可. (1)A (2)(-34,+∞) [解析] (1)函数f (x )为奇函数,则f (0)=a+b2=0,①函数图像过点ln 3,12,则f (ln 3)=a+b 4=12.②结合①②可得a=1,b=-2,则f (x )=1-2e x +1.因为e x>0,所以e x+1>1,所以0<2e x +1<2,所以-1<1-2e x +1<1,即函数f (x )的值域为(-1,1).(2)从已知不等式中分离出实数a ,得a>-[(14)x+(12)x].∵函数y=(14)x 和y=(12)x在R 上都是减函数,∴当x ∈(-∞,1]时,(14)x≥14,(12)x≥12,∴(14)x +(12)x≥14+12=34,从而得-(14)x +(12)x≤-34.故实数a 的取值范围为a>-34. 强化演练1.D [解析] ∵y=(25)x在R 上为减函数,35>25,∴b<c.又∵y=x 25在(0,+∞)上为增函数,35>25,∴a>c ,∴b<c<a.2.D [解析] 因为2x>0,所以由2x(x-a )<1得a>x-(12)x .令f (x )=x-(12)x,则函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以f (x )>f (0)=0-(12)0=-1,所以a>-1.3.12 [解析] 当a<1时,41-a=21,所以a=12;当a>1时,代入可知不成立.所以a 的值为12.4.{x|x>4或x<0} [解析] f (x )为偶函数,当x<0时,-x>0,f (x )=f (-x )=2-x-4,所以f (x )={2x -4,x ≥0,2-x -4,x <0. 当f (x-2)>0时,有{x -2≥0,2x -2-4>0或{x -2<0,2-x+2-4>0, 解得x>4或x<0.所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}.5.(-∞,56] [解析] 把(1,6),(3,24)代入f (x )=b ·a x,得{6=ab,24=b·a 3, 结合a>0且a ≠1,解得{a =2,b =3,所以f (x )=3·2x.要使(12)x +(13)x ≥m 在x ∈(-∞,1]时恒成立,只需函数y=(12)x +(13)x在(-∞,1]上的最小值不小于m 即可.因为函数y=(12)x +(13)x在(-∞,1]上为减函数,所以当x=1时,y=(12)x+(13)x取得最小值56,所以只需m ≤56即可,即m 的取值范围为-∞,56.。

指数函数突破思路本节主要学习分数指数幂与指数函数．1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质．在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a的n次幂表示n个a相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质：（1）aman＝am＋n；（2）am÷an＝am－n（a≠0，m＞n）；（3）（am）n＝amn；（4）（ab）n＝anbn；（5）（）n＝若（b≠0）．另外规定了a0＝1（a≠0）、a－n＝（n为正整数，a≠0），这样一来，原来的5条运算律可以归纳为（1）（3）（4）三条，同时将指数幂的概念扩大到了整数．2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发．从根式的基本性质＝（a≥0，m、n、pN*），我们知道a≥0时，＝a3＝，＝a4＝．于是我们规定：（1）＝（a≥0，m、nN*）；（2）＝（a＞0，m、nN*，n＞1）；（3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义．这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为：（1）aras＝ar＋s；（2）（ar）s＝ars；（3）（ab）r＝arbr，式中a＞0，b＞0，r、s为有理数．3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a＞0且a≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性．（1）若a＝0，当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax没有意义；（2）若a＜0，如y＝（－2）x对于x＝、等都是没有意义的；（3）若a＝1，则函数为y＝1x＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性．4．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数是一类重要的函数模型．5．在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指数函数的有界性解题．合作讨论【问题1】下列各式中正确的是（）A．＝a（nN*）B．（）n＝a（nN*）C．＝（n，m，pN*）D．＝（m，nN*，a＞0）我的思路：我们知道，如果xn＝a，则称x是a的n次方根．若a＝0时，则x＝0，即＝0，若a≠0时，当n为正奇数时，x＝，其符号与x的符号一致；当n为正偶数时，则a 一定大于零，x＝士，即正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．A、C中的根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a的符号．如：≠－2和≠，应该先将被开放式底数－2化成2，然后再进行化简．故A，C不一定成立．一般地，根式有如下性质：（1）＝（nN*）；（2）（）n＝a（nN*）．对于分数指数幂不能理解为有个a相乘，我们规定＝（a＞0，m，nN*）．应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系，不可颠倒．故D不成立．因此选B．思考：对于根式在什么条件下有意义？【问题2】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y＝2x；②y＝5x；③y＝（）x；④y＝（）x．观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？我的思路：指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）恒过两个点（0，1）和（1，a）．这四个函数都经过（0，1），又分别经过（1，2）、（1，5）、（1，）、（1，）．再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象（如下图）．根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y轴对称．结论：（1）一般地，指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）与y＝a－x（a＞0且a≠1）的图象关于y轴对称．（2）在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大（可简记为“右侧底大图高”）；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大（简记为“左侧底大图低”）．（3）（有界性）若a＞1，当x＞0时，y＞1当x＜0时，0＜y＜1．若0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1．思维过程在本小节的学习过程中，我们应该从下面几个方面去掌握知识，提高能力．1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全相同．正整数指数幂的五条运算性质可以归结为以下三条：①ar·as＝ar＋s；②（ar）s＝ars；③（ab）r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，sQ．这三条运算性质对于r，sR也成立，我们要记准公式，不仅会直接使用，更要会准确地逆用、活用．2．对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n次方根的概念以及n次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化．3．在指数函数的概念中，对底数a＞0且a≠1的规定是为了使函数的定义域为实数集且具有单调性．运用指数函数性质解题时要注意对底数a的分类讨论，注意函数有界性的运用．4．在本节的学习过程中，要学会正确处理由指数函数与其他函数构成的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题，注意分类讨论、换元法、数形结合等数学思想方法的运用．5．在解决简单的实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．【例1】化简下列各式：（1）－［3×（）0］－1·［81－0.25＋］－10×；（2）÷（1－2）×．思路：此类问题的化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式．如，都不是最简形式．我们经常要用到下列公式：①a－b＝（－）（＋）；②a±2＋b＝（±）2；③a±b＝（±）（＋＋）．答案：（1）原式＝0.3－1－3－1·（3－1＋）－10×0.3＝－－3＝0；（2）原式＝××＝××＝a．【例2】设yl＝a3x－1，y2＝（a＞0，a≠1），确定x为何值时有（1）y1＝y2；（2）y1＞y2．思路：显然需对a进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式．答案：（1）由题意得a3x－1＝，则3x－1＝x2＋x－4，解得x＝3或x＝－1．（2）当a＞1时，a3x－1＞，则3x－1＞x2＋x－4，解得－1＜x＜3；当0＜a＜1时，＜a3x－1，则3x－1＜x2＋x－4，解得x＜－1或x＞3．【例3】比较下列各数的大小：①；②；③；④；⑤．思路：先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，①＝；②＝；③＝；④＝－；⑤＝显然，以0、1为界将五个数分成三类：①＞1，④＜0，②③⑤三个数均在0到1之间，注意到这三个数的底数相同，考查指数函数，y＝在实数集上递减，所以③＞②＞⑤．答案：＞＞＞＞．点评：比较幂的大小是典型的一类问题．解决这类问题一般用如下思路：（1）将两个数化成同底数幂的形式，再利用指数函数的单调性进行比较．（2）将两个数化成同指数幂的形式，再利用指数函数图象在y轴的右侧“右侧底大图高”；在y轴的左侧“左侧底大图低”．（3）寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较．如比较0.40.8与0.50.7，我们可以以0.40.7为中间数，0.40.8与0.40.7利用指数函数的单调性进行比较，得0.40.8＜0.40.7，而0.40.7与0.50.7由“右侧底大图高”得0.40.7＜0.50.7，因此0.40.8＜0.50.7；再如本题是先以0、1为桥梁将五个数分成三类的．新题解答【例1】对于函数y＝，（1）求函数的定义域，值域；（2）确定函数的单调区间．解析：函数y＝可以看成是由函数u＝x2－2x－1与函数y＝“复合”而成．（1）由u＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，当xR时，u≥－2，此时函数y＝总有意义，∴定义域为R；又由u≥－2，∴0＜≤9，∴原函数的值域为（0，9］．（2）∵函数u＝x2－2x－1在［1，＋）上递增，∴对于任意的1≤x1＜x2都有u1＜u2，∴＞，即y1＞y2．∴函数y＝在［1，＋］上递减．同理可得函数y＝在（－，1）上递增．点评：形如y＝（a＞0，a≠1）的函数有如下性质：（1）定义域与函数定义域相同；（2）先确定函数u＝f（x）的值域，然后以u的值域作为函数y＝（a＞0，a≠1）的定义域求得函数y＝（a＞0，a≠1）的值域；（3）函数y＝（a＞0，a≠1）的单调性，可以由函数u＝f（x）与y＝（a＞0，a≠1）按照“同增异减”的原则来确定．从本题中，我们可以体会换元法在解决复合函数问题中的作用．【例2】求下列函数的定义域，值域：（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝＋2×－1．解析：这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法．（1）要使函数有意义，则x－1≠0，∴x≠1．∴函数定义域为{x|x≠1}；∵x≠1，≠0，∴≠1，∴函数值域为{y|y＞0，且y≠1}．（2）∵2x－1≥0，∴函数定义域为{x|x≥}；∵2x－1≥0，∴≥0，∴y＝≥1．∴函数值域为{y|y≥1}．（3）函数定义域为R；∵2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1，∴y＝≥．∴函数值域为{y|y≥}．（4）函数定义域为R；令t＝，则t＞0，y＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2，其对称轴为t＝－1．∵t＞0，函数y＝（t＋1）2－2单调递增，∴y＝（t＋1）2－2＞1－2＝－1．∴函数值域为{y|y＞－1}．点评：本题求函数值域时，采用了逐步求解的方法，（4）利用了换元法．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A，再由函数的定义域A求内函数的值域B，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如（4）是由函数y＝t2＋2t－1和函数t＝3x复合而成，先求得原函数的定义域为R，再由xR得t＞0（即得到内函数的值域B），然后由t＞0得到函数值域为{y|y＞－1}．若（4）中的x≥1，你还能求出它的值域吗？【例3】若函数y＝为奇函数，（1）确定a的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性．解析：先将函数化简为y＝．（1）由奇函数的定义，可得f（－x）＋f（x）＝0，即＋＝0，∴2a＋＝0，∴a＝－．（2）∵y＝－－，∴－1≠0．∴函数y＝－－定义域为{x|x≠0}．（3）法一：（逐步求解法）∵x≠0，∴－1＞－1．∵－1≠0，∴0＞－1＞－1或－1＞0．∴－－＞，－－＜－，即函数的值域{y|y＞或y＜－}．法二：（利用有界性）由y＝－－≠－，可得＝．∵＞0，∴＞0．可得y＞或y＜－，即函数的值域{y|y＞或y＜－}．（4）当x＞0时，设0＜x1＜x2，则y1－y2＝－＝－＝．∵0＜x1＜x2，∴1＜＜．∴－＜0，－1＜0，－1＜0．∴y1－y2＜0，因此y＝－－在（0，＋）上递增．同样可以得出y＝－－在（－，0）上递减．点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识．在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法．当x＞0时，∵为增函数，∴－1为增函数，递减，一为增函数，∴y＝－－在（0，＋）上递增．一般地，函数y＝f（u）和函数u＝g（x），设函数y＝f［g（x）］的定义域为集合A，如果在A或A的某个子区间上函数y＝f（u）（称外函数）与u＝g（x）（称内函数）单调性相同，则复合函数y＝f［g（x）］在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y＝f［g（x）］在该区间上递减（可以简记为“同增异减”）．另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：①若函数y＝f（x）递增（减），则y＝－f（x）递减（增）；②若函数y＝f（x）在某个区间上恒为正（负）且递增（减），则y＝递减（增）；③若函数y＝f （x）递增（减），则y＝f（x）＋k递增（减）．【例4】已知函数y＝x（＋）．（1）求定义域；（2）讨论奇偶性；（3）证明它在定义域上恒大于0．解析：（1）定义域为{x|x≠0}．（2）f（x）－f（－x）＝x（＋＋1）＝x（＋1）＝0，∴f（x）＝f（－x）．∴f（x）是偶函数．（3）当x＞0时，＞1，∴－1＞0．∴＋＞．∴x（＋）＞x＞0，即当x＞0时，y＞0；当x＜0时，1＞＞0．∴0＞－1＞－1．∴＋＜－1．∴x（＋）＞－x＞0，即当x＜0时，y＞0．综上，f（x）在定义域上恒大于0．点评：这里判断函数的奇偶性，运用了定义的等价式，即f（x）－f（－x）＝0，则f （x）是偶函数；证明函数在定义域上恒大于0，转化为证明值域为（0，＋），这里运用分类讨论来逐步求解．【例5】如果函数y＝（a＞0且a≠1）在［－1，1］上有最大值14，试求a的值．解析：设t＝，则原函数可化为y＝（t＋1）2－2，对称轴为t＝－1．（1）若a＞1，∵x［－1，1］，∴－1＜≤t≤a．∵t＝在［－1，1］上递增，∴y＝（t＋1）2－2当t［，a］时也递增，∴原函数在［－1，1］上递增．故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1．由a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5（舍，∵a＞1）．（2）若1＞a＞0，可得当x＝－1时，ymax＝a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝或a＝－（舍）．综上，a＝或3．点评：本题运用了复合函数单调性的判断方法，以及复合函数值域的求法；对于底数进行了分类讨论．【例6】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T0，则经过一定时间h后的温度T将满足T－Ta＝（T0－Ta），其中Ta是环境温度，使上式成立所需要的时间h称为半衰期．在这样的情况下，t时间后的温度T将满足T－Ta＝（T0－Ta）．现有一杯F用热水冲的速溶咖啡，放置在F的房间中，如果咖啡降温到F需20分钟，问欲降到F需多少时间？解析：由题意，温度T是时间t的指数函数型关系，即T＝（T0－Ta）＋Ta，将有关数据代入，得T＝75＋（195－75）×＝75＋120×．再将t＝20，T＝105代入得105＝75＋120×，解得h＝10．∴T＝75＋120×，欲使T＝95，代入上式解得t＝26（分）．点评：本题是一道跨学科应用题，要解决它需要有较好的阅读能力．本题中给出了函数模型，利用待定系数法确定系数，得出解析式，从而解决问题．变式练习1．等式＝成立的充要条件是（）A．x≠－2B．x≥2或x＜－2C．x≥2D．x＜－2解析：若使等式成立，则等式中三个偶次根式必须都有意义，故选C．答案：C2．若＝7，＝6，则等于（）A．B．C．D．解析：要熟练逆用幂的运算公式，选D．答案：D3．若＞，则a的范围是（）A．a＞1B．0＜a＜1C．＜a＜D．a＞解析：利用函数的单调性，选B．答案：B4．若＞，则x的范围是（）A．0＜x＜1B．x＞1C．x＜－1D．x＜0解析：在同一坐标系中画出两个指数函数图象，利用图象解题．选D．答案：D5．下列函数是指数函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝解析：符合指数函数定义的是D，y＝＝．答案：D6．下列函数值域是（0，＋）的是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝解析：利用求值域的逐步求解法，选A．答案：A7．若a＝，b＝，则（a＋1）－2＋（b＋1）－2的值是（）A．1B．C．；D．答案：D8．若函数y＝＋m－1的图象在第一，三，四象限，则（）A．a＞1且m＞1B．a＞l且m＜0C．0＜a＜1且m＞0D．0＜a＜1且m＜1答案：B9．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（）A．5B．9C．6D．8解析：每一天的细胞数都是前一天的两倍，选B．答案：B10．若0＜a＜1，b＜－2，则函数y＝＋b的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A11．函数y＝与y＝ax－a的图象大致是下图中的（）答案：D12．在下列等式中，函数f（x）＝不满足的是（）A．f（x＋1）＝2f（x）B．f（xy）＝f（x）＋f（y）C．f（x＋y）＝f（x）·f（y）D．f（－x）＝答案：B13．若a2x＝8，则___________．解析：将分子分解因式，然后代入可得值为．答案：14．化简÷（3）÷＝___________．答案：15．若函数y＝（a2－3a＋3）ax是指数函数，则a的值是___________．答案：216．函数f（x）的定义域为［1，4］，则函数f（）的定义域为___________．答案：［－2，0］17．若f（x）＝，f－1（）则___________．解析：利用函数与它的反函数的定义域与值域之间的关系来解题．答案：－218．若函数y＝＋b的图象经过点（1，3），它的反函数的图象经过点（2，0），则函数y＝＋b的值域是___________．解析：由a＝2，b＝1求得y＝＋1．答案：（1，＋）（1）函数y＝（以a＞0且a≠1），当x［1，3］时有最小值为8，则a的值为___________；19．（2）函数y＝（a＞1）的定义域___________，单调增区间___________，值域___________．答案：（1）16（2）{x|x≥2，或x≤0}（2，＋）{y|y≥1}20．（1）已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|x|的实根个数为___________．（2）关于x的方程＝有正根，则a的取值范围是___________．解析：利用图象解题．答案：（1）2个（2）（－，0）21．解下列关于x的方程：（1）81×＝；（2）＋3×－1＝0．解析：（1）把方程两边都化成同底数指数幂的形式；（2）用换元法．令t＝，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，先解出t再去解x，但要注意t＞0．所以x＝－2．答案：（1）－2；（2）－2．22．设f（x）是定义域为xR且x≠0上的奇函数，则当x＞0时，f（x）＝．（1）写出x ＜0时f（x）的解析式；（2）解不等式f（x）＜－．解析：（1）x＜0时，f（x）＝x·；（2）x＞0时，由f（x）＝＜一，解得0＜x＜2；x＜0时，由f（x）＝x·＜一，解得x＜－2．答案：（1）x·；（2）0＜x＜2；（3）x＜－2．23．已知函数f（x）＝（a＞1）。