(0,1)
O
y
x
y=a x(a>1)
(0,1)
O x
y
定义域R
值域(0,)
+∞
性质
(1)过定点(0,1),即0
x=时,1
y=
(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数
3.x
y a
=(0
a>且1
a≠)的图象特征:
1
a>时,图象像一撇,过点()
0,1,且在y轴左侧a越大,图象越靠近y轴(如图1);
01
a
<<时,图象像一捺,过点()
0,1,且在y轴左侧a越小,图象越靠近y轴(如图2);
x
y a
=与x
y a-
=的图象关于y轴对称(如图3).
图1图2图3
(二)主要方法:
1.指数方程,指数不等式:常要转化为同底数的形式,在利用指数函数的单调性求解;2.确定与指数有关的函数的单调性时,常要注意针对底数进行讨论;
3.要注意运用数形结合思想解决问题.
(三)典例分析:
【例10】已知1
a b c
>>>,比较下列各组数的大小:
①___b
c
a a ;②1b
a ??
???
1c
a ?? ???
;③11
___b c
a a ;④__a a
b
c .
【例11】 (2009
年江苏卷)已知a =
()x f x a =,若实数m n ,满足()()f m f n >,则m n ,的大小关系为 .
【例12】 图中的曲线是指数函数x y a =的图象,已知a
取
413
,,3105
四个值,则相应于曲线1234,,,c c c c 的a 依次为_______________.
【例13】 求下列函数的定义域、值域
⑴11
2
x y -= ; ⑵3x y -=; ⑶2
120.5x x y +-=
板块三:指数函数和其它函数的运算与复合
(一)知识内容:
复合函数的单调性与奇偶性,重点研究学生熟悉的二次函数的复合,复合函数单调性的判断是重点也是难点. 1.和差函数的单调性
两个增函数(或减函数)的和仍为增函数(或减函数),一个增函数(或减函数)减去一个减函数(或增函数),结果是一个增(或减)函数. 2.复合函数
[()]f g x 的奇偶性、单调性有如下规律:
值得注意的是,当且仅当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构
成复合函数
[()]f g x ,复合函数奇偶性:两奇才为奇; 复合函数单调性:同增异减
(二)典例分析:
【例14】 已知2()82f x x x =+-,2()(2)g x f x =-,则()g x 在( )
A .(2,0)-上为增函数
B .(0,2)上为增函数
C .(1,0)-上为减函数
D .(0,1)上为减函数
【例15】 函数221()3x x
f x -??= ?
??
的单调增区间为_________,值域为___________.
【例16】 求函数11()1([3,2])42x
x
f x x ????
=-+∈- ? ?????
的单调区间及其值域.
【例17】 求下列函数的单调区间.
⑴2
32
x
x y a -++=(0a >,且1a ≠);
⑵已知910390x x -?+≤,求函数1111
()4()542
x x y --=-?+最值.
【例18】 (2007-2008北京四中期中测试)求函数1()423x x f x a +=-?+ (R)x ∈的值域.
【例19】 已知1
1()212x f x x ??=+ ?-??
.
⑴求证:()0f x >;
⑵若()()()F x f x t f x t =++-(t 为常数),判断()F x 的奇偶性.
【例20】 讨论函数21
()21
x x f x -=+的奇偶性、单调性,并求它的值域.
【例21】 已知函数2
()()1
x x a
f x a a a -=
--,其中0a >,1a ≠. ⑴判断函数()f x 的奇偶性; ⑵判断函数()f x 的单调性,并证明.
【例22】 (2008-2009南通一中高三期中考试题)
在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数(也称高斯函数),它表示x 的整数部分,
即[]x 是不超过x 的最大整数.例如:[2]2=,[3.1]3=,[2.6]3-=-.设函数21
()122
x x
f x =-+,则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为( )
【例23】 (2008-2009首师大附中高中课改数学模块1水平监测期中考试)
因为复杂的函数,往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到,或者是多个函数的复合后得到的,比如下列函数:()()()
22x f x g x h x x ==,,则()()f x g x ,复合后可得到
函数()()
2x g f x g =????()f g x f ==?
???个函数的自变量的取值,得到的函数称为复合函数;也可以由()()f x g x ,进行乘法运算得到函数()()
2x f x g x =.所以我们在研究较复杂的函数时,常常设法把复杂的函数进行逆向操作,把其拆分转化为简单的函数,借助简单函数的性质进行研究.
⑴复合函数(){}f h g x ????的解析式为 ;其定义域为 .
⑵可判断()()2
x f x g x =是增函数,那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函数?若是请证明,若不是,请举一个反例;
⑶已知函数()
2x f x -=,若()()121f x f x +>-,则x 的取值范围为 . ⑷请用函数()()()()
22ln x f x g x h x x k x x ====,,中的两个进行复合,得到三个函数, 使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数.
【例24】 设a ∈R ,2
()()21
x
f x a x =-∈+R ,若()f x 为奇函数,求a 的值.
【例25】 小明即将进入一大学就读,为了要支付4年学费,小明欲将一笔钱存入银行,使得每年皆有
40000元可以支付学费.而银行所提供的年利率为6%,且为连续复利,试求出小明现在必须存入银行的钱的数额.
习题1. 比较下列各题中两个值的大小:
⑴ 2.51.7,31.7; ⑵ 0.10.8-,0.20.8-; ⑶ 0.31.7, 3.10.9.
习题2. (2007年山东潍坊统考)
若1a >,0b >,且22b b a a -+=,则b b a a --的值为( )
家庭作业
A B .2或2- C .2- D .2
习题3. 函数()342x x f x =?-,求()f x 在[0,)x ∈+∞上的最小值.
习题4. 化简:⑴111()()()
a b c a b c a
b c
a b
c a b c
x
x x ------?? ⑵a b c .
习题5. 已知1010()1010x x
x x
f x ---=+,判断函数的单调性、奇偶性,并求()f x 的值域.
习题6. 已知2()()(0,1)2
x x
a f x a a a a a -=
->≠-是R 上的增函数,求a 的取值范围.
习题1. 函数||()x f x e =( )
A .是奇函数,在(,0]-∞上是减函数
B .是偶函数,在(,0]-∞上是减函数
C .是奇函数,在[0,)+∞上是增函数
D .是偶函数,在(,)-∞+∞上是增函数
习题2. 方程2x =2-x 的解的个数为______________.
习题3. 已知函数|22|x y =-,
⑴ 作出函数的图象;
⑵ 根据图象指出函数的单调区间;
⑶ 根据图象指出当x 取什么值时,函数有最值.
月测备选
高中数学完整讲义指数与指数函数1指数基本运算
题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值: ⑴ 33(5)-;⑵ 2(3)-; ⑶ 335; ⑷ 2()()a b a b -<; ⑸ 4334(3)(3)ππ---.⑹2 3 8;⑺12 25- ;⑻5 12-?? ???;⑼34 1681- ?? ??? . 【例2】 求下列各式的值: ⑴ 44100;⑵ 55 (0.1)-;⑶ 2(4)π-;⑷ 66 ()()x y x y ->. 【例3】 用分数指数幂表示下列各式: (1)3 2x (2)43)(b a +(a +b >0) (3)32 )(n m - (4)4 )(n m -(m >n ) (5) 5 6 q p ?(p >0) (6)m m 3 典例分析 板块一.指数基本运算
【例4】 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? (2)a a a (3)3 22b a ab + (4)4233)(b a + 【例5】 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中0)a >:3a ;2a . 【例6】 用根式的形式表示下列各式(a >0) 15 a ,34 a ,35 a -,23 a - 【例7】 用分数指数幂的形式表示下列各式: 2 a a ,3 3 2a a ,a a (式中a >0) 【例8】 求值:23 8,12 100 -,314-?? ???,3 41681- ?? ??? . 【例9】 求下列各式的值: (1)12 2 (2)1 2 6449- ?? ??? (3)34 10000- (4)23 12527- ?? ???
高一数学指数函数知识点及练习题
2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次 当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数 时,0a ≥. n a =;当n a =;当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-. (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: 0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.② 正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习
1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .31243)3(-=- C .4 343 3)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{><≤-=-0 ,0,12)(21x x x x f x ,满足1)(>x f 的x 的取值范围 ( ) A .)1,1(- B . ),1(+∞- C .}20|{-<>x x x 或 D .}11|{-<>x x x 或 9.函数2 2)2 1(++-=x x y 得单调递增区间是 ( ) A .]2 1,1[- B .]1,(--∞ C .),2[+∞ D .]2,2 1 [ 10.已知2 )(x x e e x f --=,则下列正确的是 ( ) A .奇函数,在R 上为增函数 B .偶函数,在R 上为增函数
指数运算和指数函数
指数运算和指数函数 一、知识点 1.根式的性质 (1)当n 为奇数时,有a a n n = (2)当n 为偶数时,有???<-≥==) 0(,) 0(,a a a a a a n n (3)负数没有偶次方根 (4)零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念 (1)正整数指数幂:)(.............*∈??=N n a a a a a n n (2)零指数幂)0(10 ≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1 *∈≠= -N p a a a p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m 且 (5)负分数指数幂 n m n m a a 1= - )1,,,0(>*∈>n N n m a 且 (6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=?+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>?= 4.指数函数定义:函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质 x a y = 0 < a < 1 a > 1 图 象 性 质 定义域 R 值域 (0 , +∞) 定点 过定点(0,1),即x = 0时,y = 1 (1)a > 1,当x > 0时,y > 1;当x < 0时,0 < y < 1。 (2)0 < a < 1,当x > 0时,0 < y < 1;当x < 0时,y > 1。 单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数 对称性 x y a =和x y a -=关于y 轴对称
指数函数与对数函数(讲义)
指数函数与对数函数(讲义) ? 知识点睛 1. 指数函数及对数函数的图象和性质: 2. 利用指数函数、对数函数比大小 (1)同底指数函数,利用单调性比较大小; (2)异底指数函数比大小,可采用化同底、商比法、取中间值、图解法; (3)同底数对数函数比大小,直接利用单调性求解;若底数为字母,需分类讨论; (4)异底数对数函数比大小,可化同底(换底公式)、寻找中间量(-1,0,1),或借助图象高低数形结合. 3. 换底公式及常用变形: log log log c a c b b a =(a >0,且a ≠1;c >0,且c ≠1;b >0) 1 log log a b b a = (a >0,且a ≠1;b >0,且b ≠1) log log m n a a n b b m = (a >0,且a ≠1;b >0,且b ≠1) log a b a b =(a >0,且a ≠1;b >0) ? 精讲精练 1. 若a ,b ,c ∈R +,则3a =4b =6c ,则( )
A .b a c 111+= B . b a c 122+= C .b a c 221+= D .b a c 212+= 2. 计算: (1)若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =,,,,,则228log ()x y +=_________; (2)设0()ln 0x e x g x x x ?=?>?≤(), ()则1 (())2g g =_____________; (3)若2(3)6()log 6f x x f x x x +=??≥() (),则)1(-f 的值为________. 3. (1 )函数2()log )f x x =是_______函数(奇或偶); (2)设函数()1x x a e f x ae -=+(a 为常数)在定义域上是奇函数,则a =__________. 4. 下列大小关系正确的是( ) A .3log 34.044.03<< B .4.03434.03log << C .4.04333log 4.0<< D .34.044.033log << 5. 设a =3log 2,b =ln2,c =1 2 5 - ,则( ) A .a 高一数学必修一指数与指数幂的运算试(总结)
高一数学必修一指数与指数幂的运算试(总结)
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高一数学练习19——指数与指数幂的运算 1. 3 )8(-的值是 ( ) A .2 B. 2- C. 2± D. 8 2.给出下列4个等式:①a a =2;② a a =2)(;③ a a =3 3;④ a a =33)(。其中不一定正确的是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3.若33 2)21(144a a a -=+-,则实数a 的取值范围为 ( ) A.21≤ a B. 2 1≥a C. 2 1 21≤≤- a D .R 4.下列说法正确的是 ( ) A.正数的n 次方根是正数)(* N n ∈ B.负数的n 次方根是负数)(*N n ∈ C.0的n 次方根是0)(* N n ∈ D. n a 是无理数)(*N n ∈ 5.若,3120<-< x 则|2|24412-++-x x x 等于 ( ) A. 54-x B. 3- C. 3 D. x 45- 6. 35212 -的平方根是 7.若x 满足5)31(4 4=-x ,则x 的值为 8.如果8>x ,则化简33 44)6()8(x x -+-的结果是 9.求下列各式的值: (1) =3 248 (2)=462525 (3) =-2)3( (4)=-33)3( (5)33 (3)-= (6)=-2)3(a
(7)=-+-+-33443 3)2()4()2(ππ 10.化简下列各式: (1)21 15113 3 6622133a b a b a b ??????-÷ ? ????? ,其中0,0.a b >> (2)121 13 3 4 2 23x y x y -????- ??????? (3)186 2 554355 a b a b - -????÷ ??? 一、 选择题 1.化简(1+232 1-)(1+2 16 1-)(1+28 1-)(1+2 - 4 1)(1+22 1-),结果是( ) A 、 2 1 (1-2321 -) -1 B 、(1-232 1 -) -1 C 、 1-232 1- D 、2 1 (1-2321 -) 2.( 36 9 a )4 ( 63 9 a )4 等于( ) A 、 a 16 B 、 a 8 C 、 a 4 D 、 a 2
指数运算、指数函数
§1.4指数运算、指数函数 【复习要点】 1.指数、对数的概念、运算法则; 2.指数函数的概念, 性质和图象. 【知识整理】 1.指数的概念;运算法则:n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(, )1,,,0(* >∈>= n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 * >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 2.指数函数的概念, 性质和图象如表: 中利用函数的图象来比较大小是一般的方法。 4.会求函数y =a f (x)的单调区间。 5.含参数的指数函数问题,是函数中的难点,应初步熟悉简单的分类讨论。 【基础训练】 1]43 的结果为 ( ) A.5 B.5 C.-5 D.-5 2.将3 22-化为分数指数幂的形式为 ( ) A .21 2- B .31 2- C .2 12 - - D .65 2-
3.下列等式一定成立的是 ( ) A .2 33 1a a ?=a B .2 12 1a a ?- =0 C .(a 3)2=a 9 D .61 3 12 1a a a =÷ 4.下列命题中,正确命题的个数为 ( ) ①n n a =a ②若a ∈R ,则(a 2-a +1)0 =1 ③y x y x +=+34 33 4 ④6 2 3)5(5-=- A .0 B .1 C .2 D .3 5.化简11111321684 2 1212121212-----?????????? +++++ ? ? ? ? ????? ??????,结果是 ( ) A .1 1 321122--? ?- ? ?? B .1 13212--??- ? ?? C .1 3212-- D .1 321 122-??- ??? 6 .4 4 ? ? ? ? 等 于 ( ) A .16 a B .8 a C .4 a D .2a 【例题选讲】 1.设3 2212 ,-==x x a y a y ,其中a >0,a ≠1,问x 为何值时有 (1)y 1=y 2 ? (2)y 1<y 2? 2.比较下列各组数的大小,并说明理由 (1)43 1.1,43 4.1,32 1.1 (2)4 316.0- ,2 35 .0- ,8325.6 (3)53 2 )1(+a ,43 2 )1(+a 3.已知函数3234+?-=x x y 的值域为[7,43],试确定x 的取值范围. 4.设01a <<,解关于x 的不等式2 2 232 223 x x x x a a -++->
高一数学指数幂及运算练习题及答案
1.若(a -3)14 有意义,则a 的取值范围是( ) A .a ≥3 B .a ≤3 C .a =3 D .a ∈R 且a ≠3 【解析】 要使(a -3)14 有意义,∴a -3≥0,∴a ≥3.故选A. 【答案】 A 2.下列各式运算错误的是( ) A .(-a 2b)2·(-ab 2)3=-a 7b 8 B .(-a 2b 3)3÷(-ab 2)3=a 3b 3 C .(-a 3)2·(-b 2)3=a 6b 6 D .[(a 3)2·(-b 2)3]3=-a 18b 18 【解析】 对于C ,∵原式左边=(-1)2·(a 3)2·(-1)3·(b 2)3=a 6·(-1)·b 6=-a 6b 6,∴C 不正确. 【答案】 C 3.计算[(-2)2]-12 的结果是________. 【解析】 [(-2)2]-12=2-12=1212=22. 【答案】 22 4.已知x 12+x -12=3,求x +x -1-3x 2+x -2-2 . 【解析】 ∵x 12+x -12 =3, ∴(x 12+x -12 )2=9,即x +x -1+2=9. ∴x +x - 1=7. ∴(x +x -1)2=49 ∴x 2+x -2=47. ∴原式=7-347-2=445.
一、选择题(每小题5分,共20分) 1.????1120-(1-0.5-2)÷????27823 的值为( ) A .-13 B.13 C.43 D.73 【解析】 原式=1-(1-22)÷????322=1-(-3)×49=73 .故选D. 【答案】 D 2.a a a(a>0)计算正确的是( ) A .a·a 12a 12=a 2 B .(a·a 12·a 14)12=a 78 C .a 12a 12a 12=a 32 D .a 14a 14a 18=a 58 【答案】 B 3.化简-a 3 a 的结果是( ) A.-a B. a C .--a D .- a 【解析】 由题意知a<0 ∴-a 3 a =--a 3a 2 =--a.故选C. 【答案】 C 4.若4|x|-2有意义,则x 的取值范围是( )
高考数学知识点:指数函数、函数奇偶性
高考数学知识点:指数函数、函数奇偶性指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 可以看到: (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a 大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。(7)函数总是通过(0,1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 注图:(1)为奇函数(2)为偶函数
1.定义 一般地,对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。 说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。 (分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论) ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2.奇偶函数图像的特征: 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象
高一数学讲义-指数运算与指数函数
指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一:指数,指数幂的运算 (一)知识内容 1.整数指数 ⑴正整数指数幂:n a a a a =???,是n个a连乘的缩写(N n + ∈),n a叫做a的n次幂,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数,这样的幂叫做正整数指数幂. ⑵整数指数幂:规定:01(0) a a =≠, 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N. 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲
2.分数指数 ⑴ n 次方根:如果存在实数x ,使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈,那么x 叫做a 的n 次方根. ⑵ 求a 的n 次方根,叫做a 开n 次方,称做开方运算. ① 当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.这时, a 的n 表示. ② 当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数.正数a 的正、负n 0)a >. ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根. 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0 0. n 叫做根指数,a 3.根式恒等式: n a =;当n a =;当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥. 4.分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为:1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为:1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5.整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质: ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6.n 次方根的定义及性质:n 为奇数时 a =,n 为偶数时 a =. 7. m n a = m n a - =(0a >,,*m n N ∈,且1n >) 零的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 8.指数的运算性质:r s r s a a a +=,()r r r ab a b =(其中,0a b >,,r s ∈R ) 9.无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数)是一个确定的实数. ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 10.一般地,当0a >,α为任意实数值时,实数指数幂a α都有意义. 对任意实数α,β,上述有理指数幂的运算法则仍然成立.
人教高一数学指数函数讲义
第四节、指数函数 一、初中根式的概念; 如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根,如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根; (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念 一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *. 当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.此时,a 的n 次方根用符号n a 表示。 . 式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数。 当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示,负的n 次方根用符号-n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a (a >0)。 由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 思考:n n a =a 一定成立吗? 结论:当n 是奇数时,a a n n = 当n 是偶数时,???<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 例1、(1)=-+125.08 33-4 1633 (2)7722)(2y x y xy x -+ +-=
2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定: )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 无理指数幂:一般地,无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 对于根式的运算,简单的问题可以根据根式的意义直接计算,一般要将根式化为分数指数幂,利用分数指数幂的运算性质来进行计算。 例2、化简(1)=÷?----32 11321 32)(a b b a b a b a (2)=?÷?363342b ab a
指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算 课题:指数与指数幂的运算 课型:新授课 教学方法:讲授法与探究法 教学媒体选择:多媒体教学 学习者分析: 1.需求分析:在研究指数函数前,学生应熟练掌握指数与指数幂的运算,通过本节内容将指数的取值范围扩充到实数,为学习指数函数打基础. 2.学情分析:在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算,但是这对我们研究指数函数是远远不够的,通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入. 学习任务分析: 1.教材分析:本节的内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如推广思想,逼近思想,教材充分关注与实际问题的联系,体现了本节内容的重要性和数学的实际应用价值. 2.教学重点:根式的概念及n次方根的性质;分数指数幂的意义及运算性质;分数指数幂与根式的互化. 3.教学难点:n次方根的性质;分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 教学目标阐明:
1.知识与技能:理解根式的概念及性质,掌握分数指数幂的运算,能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化. 2.过程与方法:通过探究和思考,培养学生推广和逼近的数学思想方法,提高学生的知识迁移能力和主动参与能力. 3.情感态度和价值观:在教学过程中,让学生自主探索来加深对n 次方根和分数指数幂的理解,而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面. 教学流程图: 教学过程设计: 一.新课引入:
(一)本章知识结构介绍 (二)问题引入 1.问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系: (1)当生物死亡了5730年后,它体内的碳14含量P 的值为 (2)当生物死亡了5730×2年后,它体内的碳14含量P 的值为 (3) 当生物死亡了6000年后,它体内的碳14含量P 的值为 (4)当生物死亡了10000年后,它体内的碳14含量P 的值为 122 12?? ???6000 5730 12?? ???100005730 12?? ? ??
高一数学指数函数经典例题
高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3,∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12 -=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)12 41 ++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 358945 12--()
高一数学讲义完整版
高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点:1把握函数基本知识(定义域、值域) x(a>0、<0) 主要是指数函数y=a x(a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数(重点)基本概念(思维方式)对称轴、 开口方向、判别式 考点1:单调函数的考查 2:函数的最值 3:函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4:个数问题(结合函数图象) 3反函数(原函数与对应反函数的关系)特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法) 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.
启示:对此部分重点把握第3题、第4题的解法(与集合的关系) 问题1:恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类:1、一次函数型:形如:给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习:对于满足0
-4x+p-3恒成立的x的取值范围 2、二次函数型:若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0Δ<0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解 练习:1设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1, +∞)时,都有f(x)>a恒成立, a的取值范围 2关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范围。 3、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解 练习:若1-ax>1/(1+x),当对于x∈[0, 1]恒成立,求实数a的取值范围。 4利用图象 练习:当x∈(1, 2)时,不等式(x-1)2指数以及指数函数的整理讲义经典-(含答案)
指数与指数函数 一、指数 (一)n 次方根: 1的3次方根是( ) A .2 B .-2 C .±2 D .以上都不对 2、若4 a -2+(a -4)0有意义,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≥2 B .a ≥2且a ≠4 C .a ≠2 D .a ≠4 (二)、 n 为奇数,a a n n = n 为偶数,?? ?<-≥==0 ,0 ,a a a a a a n n 1.下列各式正确的是( ) =-3 =a =2 D .a 0=1 2、.(a -b )2+5 (a -b )5的值是( ) A .0 B .2(a -b ) C .0或2(a -b ) D .a -b 3、若xy ≠0,那么等式 4x 2y 2=-2xy y 成立的条件是( ) A .x >0,y >0 B .x >0,y <0 C .x <0,y >0 D .x <0,y <0 4、求下列式子 (1).33 4433)32()23()8(---+- (2)223223--+ (三)、分数指数幂 1、求值 4 3 52 13 2811621258- --?? ? ????? ??;;; 243 的结果为 A 、5 B 、5 C 、-5 D 、-5 3、把下列根式写成分数指数幂的形式: (1)32ab (2)()42 a - (3) 3432x x x (四)、实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. 1.对于a >0,b ≠0,m 、n ∈N *,以下运算中正确的是( )
高一数学指数运算及指数函数试题(有答案)
高一数学指数运算及指数函数试题 一.选择题 1.若xlog 23=1,则3x+9x的值为(B) A.3B.6C.2D.解:由题意x=, 所以3x==2, 所以9x=4,所以3x+9x=6 故选B 2.若非零实数a、b、c满足,则的值等于(B)A.1B.2C.3D.4 解答:解:∵, ∴设=m, a=log5m,b=log2m,c=2lgm, ∴= =2lgm(log m5+log m2) =2lgm?log m10 =2. 故选B. 3.已知,则a等于() A.B.C. 2 D. 4 解:因为所以 解得a=4 故选D 4.若a>1,b>1,p=,则a p等于() A.1B.b C.l og b a D.a log b a
解:由对数的换底公式可以得出p==log a(log b a), 因此,a p等于log b a. 故选C. 5.已知lg2=a,10b=3,则log125可表示为(C) A.B.C.D. 解:∵lg2=a,10b=3, ∴lg3=b, ∴log125= = =. 故选C. 6.若lgx﹣lgy=2a,则=(C) A.3a B.C.a D. 解:∵lgx﹣lgy=2a, ∴lg﹣lg=lg﹣lg=(lg﹣lg) =lg=(lgx﹣lgy)=?2a=a; 故答案为C. 7.已知函数,若实数a,b满足f(a)+f(b﹣2)=0,则a+b= A.﹣2 B.﹣1 C.0D.2 解:f(x)+f(﹣x)=ln(x+)+ln(﹣x+=0 ∵f(a)+f(b﹣2)=0 ∴a+(b﹣2)=0 ∴a+b=2 故选D.
8.=() A.1B.C.﹣2 D. 解:原式=+2×lg2+lg5=+lg2+lg5=+1=, 故选B. 9.设,则=() A.1B.2C.3D.4解:∵, ∴= =()+()+()= =3 故选C 10.,则实数a的取值区间应为(C) A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)解:=log34+log37=log328 ∵3=log327<log328<log381=4 ∴实数a的取值区间应为(3,4) 故选C. 11.若lgx﹣lgy=a,则=(A)
指数运算与指数函数(学案)
指数运算与指数函数 高考要求 知识梳理 知识点一:有理数指数幂 1. n 次方根概念与表示 一般地,如果n x =a ,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且*N n . n
2.根式概念 式子a n 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 3.根式的性质 ① n a =. ② ||,a n a n ?=??,为奇数为偶数; 4.分数指数幂 正分数指数幂:a m n =√a m n (a >0,m,n ∈N ?,n >1) 负分数指数幂:a ? m n = 1 a m n = √a m n a >0,m,n ∈N ?,n >1) 0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质 a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (a b )r =a r b r (a >0,s ∈Q ) 知识点二:指数函数的图像和性质 1.指数函数概念: 形如0(>=a a y x 且1≠a )函数叫指数函数,其中x 是自变量,函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质 R
知识点三:指数函数性质的运用(比较大小) 指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大 考点解析 典型习题一:指数幂(根式)的化简与计算 例1、已知当27=x ,64=y 时,化简并计算 例2、已知 01x <<,且1 3x x -+=,求112 2 x x - -的值. 典型习题二:指数函数的图像问题 例1、已知函数2 ()x f x m -=(0m >,且1m ≠)恒过定点(,)a b ,则在直角坐标系中函数 ||1 ()()x b g x a +=的图象为( ) )6 5 )(41(561 312112 13 2-----y x y x y x
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第四节、指数函数 、初中根式的概念; 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根; (一)指数与指数幕的运算 1.根式的概念 一般地,如果x" a,那么x叫做a的n次方根,其中n >1,且n € N . 当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.此时,a的n次方根用符号n a表示。 .式子R'a叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数。 当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a 的正的n次方根用符号n a表示,负的n次方根用符号一:a表示?正的n次方根与负的n 次方根可以合并成土:a ( a>0)。 由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n0 0 思考:x a n=a 一定成立吗? 结当n是奇数时,n a n a 当n是偶数时,n a n| a | a (a 0) a (a 0) (2) . x2 2xy .(x y)7=
2 ?分数指数幕 正数的分数指数幕的意义 规定: m a n Va m (a 0, m, n N *, n 1) -1 1 * a n r 尸帛 (a °, m,n N ,n 1) a 7 va 0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义 指出:规定了分数指数幕的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理 数指数,那么整数指数幕的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕. 3 ?有理指数幕的运算性质 (1) r r a ?a s a (a 0,r,s Q) ; (2) r s (a ) rs a (a 0,r,s Q) ; (3) r (ab) r s a a (a 0,b 0,r 无理指数幕:-般地,无理数指数幕a (a 0,是无理数)是一个确定的 实数?有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指数幕. 对于根式的运算,简单的问题可以根据根式的意义直接计算, 一般要将根式化为 分数指数幕,利用分数指数幕的运算性质来进行计算。 2 例2、化简(1)丰匚(旦 a 2?V b 2 (2) 2?3a a ?2 , x 0 x (, a R ), 若 f[ f ( 1)] 1,则 a=( 2 x ,x 0 例 3 、已知函数 f ( x )
高一数学指数函数知识点及练习题含答案
指 数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次 当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数 时,0a ≥. n a =;当n a =;当n (0) || (0) a a a a a ≥?==? - . (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: 0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.② 正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质
2.1指数函数练习 1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .31243)3(-=- C .4 3433)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{><≤-=-0 ,0 ,12)(21x x x x f x ,满足1)(>x f 的x 的取值范围 ( ) A .)1,1(- B . ),1(+∞- C .}20|{-<>x x x 或 D .}11|{-<>x x x 或 9.函数2 2)2 1(++-=x x y 得单调递增区间是 ( )
高一数学指数函数经典例题
2 (2) 【例3】比较大小: 高一数学指数函数平移问题 x 1 x 2 x 1 x 2 ⑴y=2 与 y=2 . ⑵y =2 与 y =2 f(x)的图象 向左平移a 个单位得到f(x + a)的图象;向右平移a 个单位得到f(x — a)的图象; 向上平移a 个单位得到f(x) + a 的图象;向下平移a 个单位得到f(x) — a 的图象. 指数函数?经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: 1 (1)y = 3厂 (2)y = ..2x 2 1 (3)y = .3 3x 1 解 (1)定义域为x € R 且x 丰2 .值域y > 0且沪 1 . ⑵由2x+ 2 — 1 >0,得定义域{x|x >— 2},值域为y 》0. ⑶由 3— 3x-1 > 0,得定义域是{x|x < 2},: 0< 3 — 3x — 1 v 3,二值域是 0 < y V 3 . 及时演练 求下列函数的定义域与值域 (1) y (2) y (|)|x|; 【例2】指数函数y = ax , y = b x , y = c x , y = d x 的图像如图2. 6 — 2所示, 则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A . a v b v 1 v c v d C . b v a v 1 v d v c B . a v b v 1 v d v c D . c v d v 1 v a v b 选(c),在x 轴上任取一点(x , 0),则得 b v a v 1 v d v c . J y y=c E r 匪.6-2 及时演练 指数函数①' ②「J —」 满足不等式1’ 一」;「-,则它们的图象是(). (1) 2、3 2、5 4、8 8、 9 16的大小关系是: (2)0.6 3