高一数学讲义-指数运算与指数函数

高一数学指数函数知识点在高中数学课程中，指数函数是一个重要的内容。

它涉及到许多基本概念和重要技巧，对于学生的数学能力和思维发展起着至关重要的作用。

本文将对高一数学中的指数函数知识点进行深入探讨和分析，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。

一、指数与幂指数函数是建立在指数与幂的基础上的。

在学习指数函数之前，我们首先需要了解指数与幂的概念。

指数是幂运算的一种表示方式，表示重复相乘的次数。

例如，3的2次方表示3乘以自身2次，即3的2次方等于9。

幂是由底数和指数组成，底数表示要进行连乘的数，指数表示连乘的次数。

指数函数可以表示为y=a^x，其中a为正数且不等于1，x为指数，y为函数值。

这里的a被称为底数，它可以是任意正数，但通常在数学中我们使用的是自然常数e或者是底数为10的对数函数。

指数函数是一种以指数为自变量的函数，它呈现出自变量指数不断变化而函数值迅速增长或快速衰减的特点。

指数函数的图像一般呈现出两种特点：当底数大于1时，随着自变量的增大，函数值呈指数增长；当底数小于1但大于0时，随着自变量的增大，函数值呈指数衰减。

这是因为指数函数的增长幅度与自变量指数呈指数关系。

指数函数还具有以下重要性质：1. 基本性质：指数函数具有连续性、互为反函数关系、图像经过第一象限、有界性等基本特点。

2. 单调性：指数函数在定义域内单调递增或单调递减，与指数的大小有关。

底数大于1时，指数函数单调递增；底数小于1时，指数函数单调递减。

3. 极限性质：指数函数的极限与底数的大小关系密切相关。

当底数a大于1时，指数函数在正无穷大时趋于正无穷大；当底数a小于1且大于0时，在正无穷大时趋于0。

指数函数具有一系列重要的运算性质，这些性质的掌握对于解题非常有帮助：1. 指数和的性质：a^m * a^n = a^(m+n)，即相同底数的指数相加等于底数不变的指数。

2. 指数差的性质：a^m / a^n = a^(m-n)，即相同底数的指数相减等于底数不变的指数。

在不考虑固定资产预计净残值的情况下，根据每年年初固定资产净值和
双倍的直线法折旧率计算固定资产折旧额的一种方法。这种方法前期折
旧额较大，后期较小。
04
指数函数及其性质
指数函数的图像与性质
指数函数的定义
形如$y=a^x$（$a>0$，$aneq 1$）的函数叫做指数函数。
指数函数的图像
指数函数的图像是一条从原点出 发，沿x轴正向或负向无限延伸 的曲线。当$a>1$时，图像上升 ；当$0<a<1$时，图像下降。
高一数学人必修课件 指数与指数幂的运算
汇报人：XX
20XX-01-21
目录
• 指数与指数幂的基本概念 • 指数与指数幂的运算法则 • 指数与指数幂在实际问题中的应用 • 指数函数及其性质 • 指数方程与不等式
01
指数与指数幂的基本概念
指数的定义及性质
指数是正整数时，表示相同因 数的连乘，如a^n = a × a × ... × a（n个a）。
注意运算时底数和指数的范围，以及 运算结果的合理性。
运算规则包括同底数幂相乘、幂的乘 方和积的乘方。
指数函数的定义及性质
指数函数的定义
y = a^x（a > 0且a ≠ 1）是指数函数。
指数函数的性质包括
函数图像过定点（1,1），当a > 1时，函数在R上是增函数；当0 < a < 1时， 函数在R上是减函数。
$A = P(1 + frac{r}{n})^{nt}$，其中$A$表示未来值，$P$表示本金，$r$表示年 利率，$n$表示每年计息次数，$t$表示时间（年）。通过该公式可以计算投资在 复利下的未来值。
连续复利
当计息次数趋于无穷大时，即$n to infty$，复利公式变为$A = Pe^{rt}$，其中 $e$是自然对数的底数。连续复利更适用于连续增长的情境。

指数运算和 指数函数要求层次重点 难点幂的运算 C①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概念和运算性质②无理指数幂的理解③实数指数幂的意义指数函数的概念 B在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数指数函数的图象和性质C①对于底数1a >与01a <<时指数函数的不同性质 ②掌握指数函数的图象和运算性质①对于底数1a >与01a <<时指数函数的不同性质 ②掌握指数函数的图象和运算性质 ③掌握指数函数作为初等函数与二次函数、对数函数结合的综合应用问题板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容1．整数指数⑴ 正整数指数幂：n a a a a =⋅⋅⋅，是n 个a 连乘的缩写（N n +∈），n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．⑵整数指数幂：规定：01(0)a a =≠，1(0,)n n a a n a-+=≠∈N ． 2．分数指数⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根．高考要求第4讲指数运算与指数函数知识精讲⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的n表示．② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n0)a >．⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．负数没有偶次方根．0的任何次方根都是00．n 叫做根指数，a3．根式恒等式：n a =；当na =；当n||a a a ⎧=⎨-⎩0a a <≥．4．分数指数幂的运算法则⑴正分数指数幂可定义为：1(0)na a >0,,,)mm nma a n m n+==>∈N 且为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m nm nmaa n m na-+=>∈N 且为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时a =，n 为偶数时a =． 7．m na =m na-=（0a >，,*m n N ∈，且1n >）零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()rr r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ）9．无理数指数幂⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立．（二）典例分析【例1】求下列各式的值：⑴；⑵⑶⑷)a b<；⑸．⑹238；⑺1225-；⑻512-⎛⎫⎪⎝⎭；⑼341681-⎛⎫⎪⎝⎭．【例2】计算下列各式：⑴⑵111344213243(,0)6a a ba ba b---⎛⎫-⎪⎝⎭>-．【例3】用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：⑴；⑶54m⋅．【例4】，则实数a的取值范围是（）A．a∈R B．12a=C．12a>D．12a≤【例5】设ab=c a，b，c的大小关系是（）【例6】设1120082008(N)2n na n-+-=∈，那么)na-的值是（）【例7】若()x f x =，求10001()1001i i f =∑【例8】 已知210x x +-=，求847x x +的值．【例9】 下列判断正确的有①有理数的有理数次幂一定是有理数 ②有理数的无理数次幂一定是无理数 ③无理数的有理数次幂一定是有理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个板块二：指数函数及其性质（一）知识内容1．指数函数：一般地，函数x y a =(0a >，1a ≠，R)x ∈叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比3．x y a =（0a >且1a ≠）的图象特征：1a >时，图象像一撇，过点()0,1，且在y 轴左侧a 越大，图象越靠近y 轴（如图1）； 01a <<时，图象像一捺，过点()0,1，且在y 轴左侧a 越小，图象越靠近y 轴（如图2）； x y a =与x y a -=的图象关于y 轴对称（如图3）．图1 图2 图3（二）主要方法：1．指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，在利用指数函数的单调性求解； 2．确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论； 3．要注意运用数形结合思想解决问题．（三）典例分析：【例10】 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小：①___bca a ；②1ba ⎛⎫⎪⎝⎭1ca ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③11___b ca a ；④__a abc ．【例11】 （2009年江苏卷）已知51a -=函数()x f x a =，若实数m n ，满足()()f m f n >，则m n ，的大小关系为 ．【例12】 图中的曲线是指数函数x y a =的图象，已知a 取4133,,,3105四个值，则相应于曲线1234,,,c c c c 的a 依次为_______________．【例13】 求下列函数的定义域、值域⑴112x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2120.5x x y +-=c 4c 3c 2c 1P 4P 3P 2P 11Oy x板块三：指数函数和其它函数的运算与复合（一）知识内容：复合函数的单调性与奇偶性，重点研究学生熟悉的二次函数的复合，复合函数单调性的判断是重点也是难点．1．和差函数的单调性两个增函数（或减函数）的和仍为增函数（或减函数），一个增函数（或减函数）减去一个减函数（或增函数），结果是一个增（或减）函数． 2．复合函数[()]f g x 的奇偶性、单调性有如下规律：值得注意的是，当且仅当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ，复合函数奇偶性：两奇才为奇； 复合函数单调性：同增异减（二）典例分析：【例14】 已知2()82f x x x =+-，2()(2)g x f x =-，则()g x 在（ ）A ．(2,0)-上为增函数B ．(0,2)上为增函数C ．(1,0)-上为减函数D ．(0,1)上为减函数【例15】 函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为_________，值域为___________．【例16】 求函数11()1([3,2])42xxf x x ⎛⎫⎛⎫=-+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间及其值域．【例17】 求下列函数的单调区间．⑴232xx y a -++=（0a >，且1a ≠）；⑵已知910390x x -⨯+≤，求函数1111()4()542x x y --=-⋅+最值．【例18】 （2007-2008北京四中期中测试）求函数1()423x x f x a +=-⋅+ (R)x ∈的值域．【例19】 已知11()212x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭．⑴求证：()0f x >；⑵若()()()F x f x t f x t =++-（t 为常数），判断()F x 的奇偶性．【例20】 讨论函数21()21x x f x -=+的奇偶性、单调性，并求它的值域．【例21】 已知函数2()()1x x af x a a a -=--，其中0a >，1a ≠．⑴判断函数()f x 的奇偶性； ⑵判断函数()f x 的单调性，并证明．【例22】 （2008-2009南通一中高三期中考试题）在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．例如：[2]2=，[3.1]3=，[ 2.6]3-=-．设函数21()122x xf x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为（ ）【例23】 （2008-2009首师大附中高中课改数学模块1水平监测期中考试）因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的复合后得到的，比如下列函数：()()()22x f x g x h x x ==，，则()()f x g x ，复合后可得到函数()()2x g f x g =⎡⎤⎣⎦()f g x f ==⎡⎤⎣⎦个函数的自变量的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由()()f x g x ，进行乘法运算得到函数()()2x f x g x =．所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究．⑴复合函数(){}f h g x ⎡⎤⎣⎦的解析式为 ；其定义域为 ．⑵可判断()()2x f x g x =是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函数？若是请证明，若不是，请举一个反例；⑶已知函数()2x f x -=，若()()121f x f x +>-，则x 的取值范围为 ．⑷请用函数()()()()22ln x f x g x h x x k x x ====，，中的两个进行复合，得到三个函数， 使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数．【例24】 设a ∈R ，2()()21xf x a x =-∈+R ，若()f x 为奇函数，求a 的值．【例25】 小明即将进入一大学就读，为了要支付4年学费，小明欲将一笔钱存入银行，使得每年皆有40000元可以支付学费．而银行所提供的年利率为6%，且为连续复利，试求出小明现在必须存入银行的钱的数额．习题1. 比较下列各题中两个值的大小：⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9．习题2. （2007年山东潍坊统考）若1a >，0b >，且22b b a a -+=，则b b a a --的值为（ ）A ．6B ．2或2-C ．2-D ．2习题3. 函数()342x x f x =⋅-，求()f x 在[0,)x ∈+∞上的最小值．习题4. 化简：⑴111()()()a b c a b c ab ca bc a b cxxx------⋅⋅ ⑵a b b c c a c a a b b c b c c a a b x x x ------+++⋅⋅．家庭作业习题5. 已知1010()1010x xx xf x ---=+，判断函数的单调性、奇偶性，并求()f x 的值域．习题6. 已知2()()(0,1)2x x af x a a a a a -=->≠-是R 上的增函数，求a 的取值范围．习题1. 函数||()x f x e =（ ）A ．是奇函数，在(,0]-∞上是减函数B ．是偶函数，在(,0]-∞上是减函数C ．是奇函数，在[0,)+∞上是增函数D ．是偶函数，在(,)-∞+∞上是增函数习题2. 方程2x =2-x 的解的个数为______________．习题3. 已知函数|22|x y =-，⑴ 作出函数的图象；⑵ 根据图象指出函数的单调区间；⑶ 根据图象指出当x 取什么值时，函数有最值．月测备选。

2.
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
3．[江苏镇江 2021 高一期中]已知指数函数 f(x)的图象过点(－2，4)，则 f(6)＝( B )
3
1
4
A.
B.
C.
4
64
3
1 D.
12
解析
1
设
f(x)＝ax(a>0
且
a≠1)，∴f(－2)＝a－2＝4，解得
1 a＝ ，∴f(6)＝
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
6．[宁夏大学附属中学 2021 高一期中]已知 f(x)＝ka－x(k，a 为常数，a>0 且 a≠1)的图象过点 A(0，1)，B(－ 3，8)． (1)求 f(x)的解析式；
f（x）－1
(2)若函数 g(x)＝
，试判断 g(x)的奇偶性并给出证明．
10
解析
103x－2y＝103x＝（10x）3＝33＝27，故选 C. 102y （10y）2 42 16
§2 指数幂的运算性质
刷能力
5．已知 ab＝－5，则 a
A．2 5 C．－2 5
解析
b － ＋b
a
a － 的值是( B )
b
B．0
D．±2 5
由题意知 ab<0，a 故选 B.
b － ＋b
a
a － ＝a
2
6＝
1
.故选
B.
2
64
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
4．[福建福州第三中学 2021 高一期中]以下关于函数 f(x)＝2x 的说法正确的是( D ) A．f(mn)＝f(m)f(n) B．f(mn)＝f(m)＋f(n) C．f(m＋n)＝f(m)＋f(n) D．f(m)f(n)＝f(m＋n)

指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。

②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxa y a y -==与的图象关于y 轴对称。

③函数值的变化特征：题型一 指数函数的定义与表示【例1】 求下列函数的定义域(1)32x y -=典例分析板块二.指数函数10<<a 1>a①100<<>y x 时，②10==y x 时，③10><y x 时①10>>y x 时， ②10==y x 时， ③100<<<y x 时，(2)213x y +=(3)512xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4)()10.7xy =【考点】指数函数的定义与表示 【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】(1)所求定义域为R .(2)所求定义域为R . (3)所求定义域为R . (4)由0x ≠得所求函数定义域为{}0x x ≠.【答案】(1)R .(2)R . (3)R . (4){}0x x ≠【例2】 求下列函数的定义域、值域⑴112x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2120.5x x y +-=【考点】指数函数的定义与表示 【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】⑴由10x -≠得1x ≠，∴{},1R x x x ∈≠且∵101x ≠-，∴1121x -≠，∴112x y -=的值域为{}0,1y y y >≠且 ⑵定义域为R ，∵0x ≥，∴133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭1≤，故3xy -=的值域为(]0,1⑶定义域为R ，∵2221(1)22x x x -++=--+≤，∴212210.50.54x x y +-==≥∴值域为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】⑴定义域{},1R x x x ∈≠且，值域{}0,1y y y >≠且⑵定义域R ，值域(]0,1⑶定义域R ，值域1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【例3】 求下列函数的定义域和值域：1．xa y -=1 2．31)21(+=x y【考点】指数函数的定义与表示 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】1．10x a -≥ 1x a ≤ 当1a >时 0x ≤ 当01a <<时 0x ≥ ∵0x a > ∴011x a ≤-< ∴值域为01y ≤<2． 30x +≠ 即 3x ≠-∵103x ≠+ ∴10311()()122x y +=≠=又∵0y >∴值域为 0y >且1y ≠【答案】（1）01y ≤<，（2）0y >且1y ≠【例4】 求下列函数的定义域、值域(1)110.4x y -=；(2)y =.(3)21x y =+【考点】指数函数的定义与表示 【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)由10x -≠得1x ≠所以，所求函数定义域为{}1x x ≠ 由11x -≠0得1y ≠ 所以，所求函数值域为{}01y y y >≠且评述：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令11t x =-.考查指数函数0.4y t =，并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理.(2)由510x -≥得15x ≥所以，所求函数定义域为15x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭0≥得y ≥1所以，所求函数值域为{}y y ≥1 (3)所求函数定义域为R 由20x >可得211x +>所以，所求函数值域为{y ｜y ＞1}【答案】（1）定义域{}1x x ≠值域{}01y y y >≠且（2）定义域15x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，值域{}y y ≥1（3）定义域R ，值域{}1y y >【例5】 求下列函数的定义域(1)13xy =;(2)y =【考点】指数函数的定义与表示 【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)由x1有意义可得x ≠0 故所求函数定义域为{}0x x ≠ (2)由10x -≥ 得x ≥1故所求函数定义域为{}1x x ≥.【答案】(1) {}0x x ≠，(2) {}1x x ≥【例6】 已知指数函数()(0,x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(3,π)，求(0)f ，(1)f ，(3)f -的值．【考点】指数函数的定义与表示 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】133ππa a =⇒=，故3()πx f x =⇒(0)1f =，13(1)πf ==11(3)ππf --==． 【答案】()01f =，()1f =，()13f π-=【例7】 若1a >，0b >，且b b a a -+=b b a a --的值为（ ）A B ．2或2- C ．2- D ．2【考点】指数函数的定义与表示【难度】2星【题型】选择【关键词】2007年，山东潍坊，期末考试【解析】将已知条件与带求式平方：()8b b a a -+=，则226b b a a -+=∴222()24b b b b a a a a ---=+-=，又b b a a ->（1a >，0b >），∴2b b a a --=．【答案】D ；题型二 指数函数的图象与性质【例8】 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小：①___bca a ；②1ba ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1ca ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③11___bc a a ；④__a a b c ．【考点】指数函数的图象与性质 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】①>； ②<； ③<； ④>．【例9】 比较下列各题中两个值的大小：⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9．【考点】指数函数的图象与性质【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】⑴⑵ 可以分别看作 1.7x y =和0.8x y =两个指数函数上函数值的比较；⑶ 不能看作同一个指数函数的两个函数值．首先在这两个数值中间找一个数值，将这一个数值与原来两个数值分别比较大小，然后确定原来两个数的大小关系． 由指数函数的性质知0.301.7 1.71>=， 3.100.90.91<=，所以0.31.7> 3.10.9．【答案】 ⑴ 2.51.7<31.7；⑵0.10.8-<0.20.8-；⑶0.31.7> 3.10.9．【例10】 比较下列各题中两个值的大小(1)0.80.733， (2)0.10.10.750.75-， (3) 2.7 3.51.01 1.01，(4) 3.3 4.50.990.99，【考点】指数函数的图象与性质 【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)考查函数3x y =由于31>，所以指数函数3x y =在R 上是增函数.∵0.8＞0.7 ∴0.80.733>7 (2)考查函数0.75x y =由于0＜0.75＜1，所以指数函数0.75x y =在R 上是减函数. ∵－0.1＜0.1 ∴0.10.10.750.75-> (3)考查函数 1.01x y =由于1.01＞1，所以指数函数 1.01x y =在R 上是增函数. ∵2.7＜3.5 ∴ 2.7 3.51.01 1.01<(4)考查函数0.99x y =由于00.991<<，所以指数函数0.99x y =在R 上是减函数. ∴3.3＜4.5 ∴ 3.3 4.50.990.99>.【答案】（1）>（2）>（3）<（4）>【例11】 已知下列不等式，比较m 、n 的大小(1) 22m n<(2)0.20.2m n > (3)()01m n a a a <<< (4)()1m n a a a >>【考点】指数函数的图象与性质 【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)考查函数2x y =∵2＞1，∴函数2x y =在R 上是增函数.∵22m n <∴m n <；(2)考查函数0.2x y = ∵0＜0.2＜1∴指数函数0.2x y =在R 上是减函数. ∵0.20.2m n > ∴m n <； (3)考查函数x y a = ∵0＜a ＜1∴函数x y a =在R 上是减函数. ∵m n a a < ∴m n >； (4)考查函数x y a = ∵a ＞1∴函数x y a =在R 上是增函数， ∴m n a a > ∴m n >.【答案】(1)<，(2)<，(3)>，(4)>。

正?你如何防范?
提示:本题有两处错误,一是a>0,不能保证f(x)=ax在R上是增函
数;二是不等式的解集没有写成集合的形式.
正解:设 f(x)=ax(a>0,且 a≠1).
-
- +
当 a>1 时,f(x)在 R 上是增函数,由
当0<a<1时,原不等式⇔-3x<x+4⇔x>-1,
故当a>1时,实数x的取值范围是{x|x<-1},
当0<a<1时,实数x的取值范围是{x|x>-1}.
3.已知a>0,比较aπ与a3的大小.
解:设f(x)=ax,易知π>3.
当a>1时,函数f(x)在R上是增函数,则aπ>a3;
当a=1时,函数f(x)=1是常数,则aπ=a3;
x的取值范围.
解:因为0<a<1,所以y=ax在R上是减函数,
又a-3x>ax+4,所以-3x<x+4,得x>-1,
故实数x的取值范围是{x|x>-1}.
2.若把本例(2)中的“a>1”换为“a>0,且a≠1”,其他条件不变,求
实数x的取值范围.
解:当a>1时,原不等式⇔-3x>x+4⇔x<-1,
下到上相应的底数由小变大.
【变式训练2】 如图,若0<a<1,则函数y=ax与y=(a-1)x2的图象
可能是(
)
解析:因为0<a<1,所以a-1<0,因此y=(a-1)x2的图象开口向下.
答案:D
探究三 利用指数函数比较大小
【例3】 比较下列各组数的大小:

高一数学指数及指数函数1•根式的性质(3)负数没有偶次方根 (4)零的任何正次方根都是零2•幕的有关概念 (1)正整数指数幕：naa a a ..… n...... a (n N )(2)零指数幕a 01(a 0)1⑶负整数指数幕 a p-(a 0.p N )a pm(4)正分数指数幕a nnma (a0, m, n N ,且 n 1) (5)负分数指数幕a m1 nm(a0, m, n N ,且 n 1)a 石(6)0的正分数指数幕等于0，0的负分数指数幕无意义3•有理指数幕的运算性质rr s⑶(ab) a a ,(a0,b 0, r Q)4、指数函数的定义：函数y a% 0且a °叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 。

① 若a 0，则当x 0时，『0；当x 0时，a x 无意义.1 1② 若a 0，则对于X 的某些数值，可使a 无意义•如(2)，这时对于 4，2，等等，在实数范围内函数值不存在•③ 若a 1，则对于任何x R ，a x 1，是一个常量，没有研究的必要性• 对于任何x R ，「都有意义，且『0.因此指数函数的定义域是R ，值域是(°)有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y 『k (a 0且 a 1，k Z )；x有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y a (a 0且a 1)，因为它可 x1 1 1 0 1 a ，其中a ，且a(1)当n 为奇数时，有n a na(2)当n 为偶数时，有；a" a a, (a 0) a, (a 0)r sr s .八 亠、(1) a a a ,(a 0, r, s Q)/ r、srs , -亠、⑵(a )a ,(a 0,r,s Q)以化为y5、函数的图象(1)①特征点：指数函数y = a x (a > 0且a ^ 1) 的图象经过两点(0 , 1)和(1,a).②指数函数y = a x (a > 0且a 工1)的图象中，y = 1 反映了它的分布特征；而直线x = 1 与指数函数图象的交点(1,a)的纵坐 标则直观反映了指数函数的底数特 征，称直线x = 1和y = 1为指数函 数的两条特征线•(2)、函数的图象单调性当a > 1时，函数在定义域范围内 呈单调递增； 当0v a v 1时，函数在定义域范围 内呈单调递减； 推论：(1)底互为倒数的两个函数图像关于y 轴对称(2)当a > 1时，底数越大，函数图象越靠近丫轴；当0v a v 1时，底数越小， 函数图象越靠近丫轴。

第十讲 指数运算与指数函数1、 理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．2、 掌握指数函数的概念、图像和性质。

一、有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类（1）正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；（2）零指数幂)0(10≠=a a ； （3）负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。

2、有理数指数幂的性质 （1）()0,,mn m naa aa m n Q +=>∈（2）()()0,,nm mn a a a m n Q =>∈（3）()()0,0,mm m ab a b a b m Q =>>∈二、根式1、根式的定义：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>Nn n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。

2（1）n N ∈，且1n >；（2）当n 是奇数，则a a nn=；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a a a a a a nn ； （3）负数没有偶次方根；（4）零的任何次方根都是零。

3、规定：（1）)0,,,1m na a m n N n *=>∈>；（2）)10,,,1m nm naa m n N n a-*==>∈>三、对指数函数定义的理解一般地，函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。

1、定义域是R 。

因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在0a >的前提下，x 可以是任意实数。

2、规定0a >,且1a ≠的理由：（1）若0a =，000xxx a x a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩当时，恒等于；当时，无意义。

（2）若0a <， 如(2)xy =-，当14x =、12等时，在实数范围内函数值不存在。

（3）若1a =， 11xy ==，是一个常量，没有研究的必要性。

第15讲指数函数及其性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象；3．探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点1指数函数的概念1、定义：一般地，函数x y a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是指数函数的底数．2、指数函数的结构特征指数函数表达式中，需满足：（1）xa 系数必须为1；（2）自变量出现在指数位置上；（3）底数为大于0，且不等于1的常数，不能是自变量；（4）整个式子仅有一项，例如1xy a =+就不是指数函数．3、注意事项：指数函数x y a =的底数规定大于0且不等于1的理由：（1）如果0a =，当0,0,0,.x xx a x a ⎧>⎨≤⎩当时恒等于当时无意义（2）如果0a <，如(4)x y =-，当11,42x =时，在实数范围内函数值不存在．（3）如果1,11x a y ===，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定0a >且1a ≠．知识点2指数函数的图象与性质1、指数函数的图象与性质1>a10<<a图象性质定义域R值域),0(+∞过定点)1,0(单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数2、底数a对指数函数图象的影响函数2xy=，3xy=，4xy=和1(2xy=，1(3xy=，1()4xy=的图象如图所示．（1）当1a>且0x>时，底数越大，图象越“陡”；当01a<<且0x<时，底数越小，图象越“陡”．（2）在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”．知识点3指数函数的图象变换已知指数函数xy a=（0a>且1a≠）1、平移变换k kx xy a y a k>=−−−−−−−−→=+向上平移个单位长度()；k kx xy a y a k>=−−−−−−−−→=-向下平移个单位长度()；h hx x hy a y a>+=−−−−−−−−→=向左平移个单位长度()；0h h x x h y a y a >-=−−−−−−−−→=向右平移个单位长度()．规律总结：上加下减（针对函数值y ），左加右减（针对自变量x ）．2、对称变换y x x y a y a -=−−−−−→=关于轴对称；x x x y a y a =−−−−−→=-关于轴对称；x x y a y a -=−−−−−→=-关于原点对称．3、翻折变换x y x y y a y a =−−−−−−−−→=保留轴右侧图象并作其关于轴的对称图形；||x x x x x y a y a =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折到轴上方．知识点4常用方法与技巧1、比较指数幂的大小（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．2、简单指数不等式的解法（1）形如()()>f x g x a a 的不等式，可借助=x y a 的单调性求解；（2）形如()>f x ab 的不等式，可将b 化为a 为底数的指数幂的形式，再借助=x y a 的单调性求解；（3）形如>xxa b 的不等式，可借助两函数=x y a ，=xy b 的图象求解。

(2)在根n式 am中,若根指 n与 数幂指 m有 数公约,数时 当a0时可约 .当a分 0时不可随意 . 约分 如8 32 4 3, 10(2)2 5 2而15(2)5 3 2.
课堂练习： P54中 课练 本习 3题 第
课外作业 P5习 9：2题 课 中 .1A组 本2第 ， 3， 4题
备用
2.1.1 指数与指数幂的运算
1.要使
(5x1)34
2
(x1)3
有意义,则x的取
值2.范计围算(a 是:1 2 ( 11a02,1 2)(a)1 2a1 2)(aaa12)a2
3.求值: 32 512 32 2
原 式 = 3+2 5+12( 21)2 321712 2 32 (32 2)2 94 212 2
2.1.1 指数与指数幂的运算
是 不 是 仍?然 成 立 呢
分数指数幂 10 5a105(a2)5 a2 a 5
12
3a123(a4)3 a4 a 3
重要结论:
2.1.1 指数与指数幂的运算
1.当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以写成分数指数幂的形式.
2.当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式也可以写成分数指数幂的形式.
2 年 ( 2年 0 后 )我 ,0 G 2 可 国 D 2P 望 年 0( 1 0 7 .3 为 的 % 0 2 倍 ; 3 年 ( 2年 后 0 )我 , 0 G 3 可 国 D 2P 望 年 0( 1 0 7 为 .3 的 0 % 3 倍 ; ) 从 20 年 0 ,x 年 0 起 ,我 后 G 国 可 DP 2 望 0 年 0 为 y 倍 0 的 ,则
第二章 基本初等函数（Ｉ）
2.1指数函数

(3)由(-a)
1 2
知
-a≥0,
∴a-1<0.
∴原式=(1-a)(1-a)-1(-a)14
=(-a)
1 4
.
2.已知 2x+2-x=5, 求下列各式的值: (1) 4x+4-x; (2) 8x+8-x. 解: (1) 4x+4-x=(2x+2-x)2-22x ·2- =25-2=23; x (2) 8x+8-x=(2x+2-x)3-32x ·2-x(2x+2-x) =125-15=110.
∴g(x) 的定义域区间 [0, 1] 为函数的单调递减区间.
g(x) 在 [0, 1] 上单调递减, 证明如下:
对于任意的 x1, x2[0, 1], 且 x1<x2,
g(x1)-g(x2) =(2x1-4x1)-(2x2-4x2)
=(2x1-2x2)-(2x1-2x2)(2x1+2x2)
=(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)
3.已知 2a ·5b=2c ·5d=10, 求证: (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 证: 由已知 2a ·5b=10=2 ·5, 2c ·5d=10=2 ·5,
∴ 2a-1 ·5b-1=1, 2c-1 ·5d-1=1. ∴ 2(a-1)(d-1) ·5(b-1)(d-1) =1, 2(c-1)(b-1) ·5(d-1)(b-1) =1. ∴ 2(a-1)(d-1) ·5(b-1)(d-1) =2(c-1)(b-1) ·5(d-1)(b-1). ∴ 2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1). ∴ (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).
三、根式的性质
1.当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次 方根是一个负数, a 的 n 次方根用符号 n a 表示.

学习方法建议
深入理解指数函数的概念
掌握指数函数的定义、图像和性质， 理解底数、指数和幂的含义。
多做练习题
通过大量的练习题，加深对指数函数 的理解和掌握，提高解题能力。
系统学习指数函数的运算
学习指数函数的四则运算，掌握运算 规则和技巧。
解题技巧分享
换元法
通过将指数函数中的变量 进行换元，简化问题，使 问题更容易解决。
指数函数在数学模 型中的应用举例
在经济学中，指数函数被用来描 述复利、折旧等问题；在物理学 中，指数函数被用来描述放射性 元素的衰变等问题；在工程学中， 指数函数被用来描述材料的疲劳 寿命等问题。
数学模型在解决实际问题中的价值
提高解决问题的效率
揭示问题的本质和规律
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为 数学问题，利用数学方法和技术进行求解， 从而提高解决问题的效率。
05
指数函数与数学模型
数学模型简介
01
数学模型的定义
数学模型是描述客观事物或它的本质和本质的一系列数学形 式。它或能利用现有的数学形式如数学公式、数学方程、数 学图形等加以表述，或能抽象出数学的基本概念和基本结构。
02
数学模型的分类
根据研究目的，可以将数学模型分为描述性模型和预测性模 型。
03
数学模型的作用
指数方程求解
通过对方程两边取相同的底数的对数或者 利用换元法等方法求解指数方程。
指数函数性质应用
利用指数函数的单调性、奇偶性、周期性 等性质解决相关问题。
03
指数函数性质探究
单调性
01
指数函数的单调性取决于底数a的 大小
02
当a>1时，指数函数在整个定义 域上是增函数；

第14讲指数及其运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质；能利用根式的性质对根式进行运算；2．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化；3．了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程；理解指数幂的运算性质；能进行指数幂(实数幂）的运算.知识点1根式1、n 次方根的定义与性质（1）定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N ．（2）性质：①当n 是奇数时，0,00,0>>⎧⎨<<⎩a x a x ，x；②当n 是偶数，0>a 时，x的有两个值，且互为相反数，记为；0<a 时，x 不存在；③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）；④0的任何次方根都是00(,1)n N n +=∈>．2、根式的定义与性质（1n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）性质：（1n >，且n *∈N）n =a；,,,.⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数n a n a n 知识点2指数幂1、分数指数幂（1）正分数指数幂：规定：mn a=()0,,,1a m n n *>∈>N （2）负分数指数幂：规定：1mn m naa-==()0,,,1a m n n *>∈>N （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【要点辨析】分数指数幂的注意事项：①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂mna 不可理解为mn个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn进行约分．③在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如()235-=()345-=就没有意义．2、实数指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点3指数幂运算解题方法与技巧1、指数幂的运算中常用的乘法公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b -=-+；222()2a b a ab b +=++；（2）平方差公式：22()()a b a b a b -=-+；（3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++；（4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+；（5）完全立方公式：33223()33a b a a b ab b -=-+-；33223()33a b a a b ab b +=+++．2、条件求值问题的解题思路（1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；（2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；（3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁．考点一：根式的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）AB C D 【答案】D【解析】A.R a ∈有意义；B.R a ∈有意义；C.R a ∈有意义；D.a<0无意义；故选：D【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）R a ∈，下列各式一定有意义的是（）A ．2a -B ．14a C ．23a D ．0a【答案】C【解析】对于A ，当0a =时，2a -无意义，A 不是；对于B ，当a<0时，14a 无意义，B 不是；对于C ，23a =C 是；对于D ，当0a =时，0a 无意义，D 不是.故选：C【变式1-2】（2023高一·江苏·a 的取值范围是（）A ．0a ≥B ．1a ≥C ．2a ≥D ．Ra ∈【答案】B有意义，得102R a a -≥⎧⎨-∈⎩，解得1a ≥，所以a 的取值范围是1a ≥.故选：B【变式1-3】（223-24高一下·贵州遵义·月考）若34(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为【答案】1(,)2-∞【解析】由34(12)x --120x ->，解得12x <，故答案为：1(,2-∞．考点二：利用根式的性质化简求值例2.（23-24高一上·北京·期中）下列各式正确的是（）A 3=-Bx=C 2=D ．01a =【答案】C【解析】A 3=，故A 错误；B x =，故B 错误；C2=，故C 正确；D ：01a =，当0a ≠时成立，故D 错误；故选：C.【变式2-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）若0ab <，则化简）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】=a b a b ⎛=+ ⎝因为0ab <，所以,a b 异号，0a b a b +=，所以0a b a b a b a b a b++==，所以，0=.故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·全国·+【答案】6-6(446-+=-．【变式2-3】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）（多选）若412x<-3的结果可能为（）A ．210x -B ．46x -C ．24x -+D ．410x --【答案】AC 【解析】由题意知412x <-，即4102x-<-，即202x x +>-，故(2)(2)0,2x x x +->∴<-或2x >，3|2|3x =+-3523210,23523352324,2x x x x x x x x x x ----=->⎧=--+-=⎨-+++-=-+<-⎩，故选：AC考点三：根式与分数指数幂互化例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列关于nm a -(),m n *∈N 的形式的运算正确的是（）A．538-=B．538-=C．538-=D ．()328--【答案】A【解析】由于5353818-==A 正确，B ，C 错误；()328--=D 错误，故选：A【变式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列各式正确的是（）A ．46a=B 5=-C．(36=D ．23a -=【答案】AC【解析】对于A ：4263a a ==A正确；对于B 5=，故B 错误；对于C：(2636===，故C 正确；对于D：23231aa-==D 错误.故选：AC【变式3-2】（23-24高一上·江西新余·期中）（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（）A ．)130xx -=≠B()120a a =≥C．21320,0)x y x y -=>>D ．3142(0)x x ⎤=->【答案】BC【解析】对选项A ：)130xx -=≠，错误；对选项B()1313220a a a ⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，正确；对选项C22133212(0,0)y x y x y x-==>>，正确；对选项D：33214432(0)x x x⎛⎫==>⎪⎝⎭，错误；故选：BC【变式3-3】（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤.154m⋅【答案】(1)14b；(2)1【解析】（1=111224b b⎛⎫===⎪⎝⎭.（2）154m⋅11111532423651641m m m m mm m+-⋅⋅====⋅.考点四：利用指数幂运算性质化简例4.（23-24高一上·全国专题练习）下列等式一定成立的是（）A．1332a a a⋅=B．11220⋅=a a C．329()a a=D．111362a a a÷=【答案】D【解析】对于A：11311333262a a a a+⋅==，故A错误；对于B：11212221⋅==a a a a，故B错误；对于C：326()a a=，故C错误；对于D：1111132362a a a a÷==，故D正确；故选：D【变式4-1】（23-24高一上·广东江门·期中）102x=，103y=，则10x y+=．【答案】6【解析】102x=Q，103y=，101010236x y x y+∴=⋅=⨯=，故答案为：6．【变式4-2】（23-24高一上·河南·期中）若a b =，则()2312222a b ab ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【答案】1【解析】由题意，0,0a b >>，所以()()231222232246a b ab a b a b -----⎡==⎤⎢⎥⎣⎦，又11322,2a b --===，所以原式6411223222221----⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1.【变式4-3】（23-24高一上·江西九江·期中）化简或计算下列各式．(1)121121332a b a b ---⎛⎫ ⎪；(2)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)1a；(2)0.09【解析】（1）原式2111111111532322132623615661ab a baba aa b⎛⎫⨯--⎪⎝⎭---+--⋅====.（2）原式22333273550.0910001033⨯⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.考点五：解简单的指数方程例5.（23-24高一·全国·专题练习）方程11416x -=的解为（）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．1【答案】C 【解析】∵1214416x --==，∴x ﹣1＝﹣2，∴x ＝﹣1．故选：C ．【变式5-1】（22-23高一上·河北沧州·期中）关于x 的方程112250x x +--+=的解的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】解：原方程即222502xx ⨯-+=，化简可得()2225220x x ⨯+⨯-=，令2(0)x t t =>，可得22520t t +-=，该方程有且只有一个正根，由于2x t =单调递增，所以t 与x 一一对应，即原方程只有一个解.故选：B .【变式5-2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于x 的方程422x x -=的解为．【答案】1x =【解析】由422x x -=可得()22220x x --=，即()()21220x x+-=，因为20x >，可得22x =，故1x =.所以，方程关于x 的方程422x x -=的解为1x =.故答案为：1x =.【变式5-3】（22-23高三·全国·对口高考）方程(2522xx x -+=的解为．【答案】5x =或12x =【解析】由题意可得(2599222222xxx x x -+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以25922x x x -+=，即221150x x -+=，解得5x =或12x =，故答案为：5x =或12x =考点六：整体换元法解决条件求值例6.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知12a a+=，则1122a a -+等于（）A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】A【解析】112221()2224a a a a-+=++=+=，所以11222a a -+=.故选：A.【变式6-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知11223a a -+=，则33221122a a a a--++的值为．【答案】6【解析】因为11223a a-+=，所以2112223a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即129a a -++=，所以17a a -+=，所以3333112222a aa a --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111222222a a a a a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()11122371181a a a a --⎛⎫=++=⨯- ⎝-=⎪⎭，所以332211221863a a a a--+==+．【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知11223x x -+=，计算：22111227x x x x x x---+-+++.【答案】4【解析】因为11223x x-+=，所以211229x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以129x x -++=，所以17x x -+=，所以()2127x x -+=，即22249x x -++=，所以2247x x -+=，所以22111227477473x x x x x x---+--==++++.【变式6-3】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知11223a a -+=，求下列各式的值：(1)1a a -+；(2)33222232a a a a --+-+-．【答案】(1)7；(2)13【解析】（1）由题意11223a a-+=，所以21112222327a a a a --⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭.（2）由题意11223a a -+=，所以()()1111212233222222213371331512744534a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⨯--+-⎝⎭⋅⎝⎭==-==+--+++-.一、单选题1．（23-24高一上·青海海南·期中）已知R a ∈，则下列各式一定有意义的是（）A ．2a -B ．13a C ．12a D ．0a 【答案】B【解析】对于A ，由221aa -=可知，0a =时表达式无意义；对于B ，根据幂函数性质可知，R a ∈时，表达式13a 恒有意义；对于C，易知12a =a<0时，表达式无意义；对于D ，当0a =时，0a 无意义；故选：B2．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简32的结果为（）A ．5BC ．5-D．【答案】A【解析】332232232332555⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，故选：A3．（23-24高一上·北京大兴·月考）已知0a >=（）A ．12a B ．32a C ．2a D ．3a 【答案】A12a ==，故选：A4．（23-24高一上·安徽淮南·月考改编）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（）A()120a a =>B．)340xx -=>C．)21320,0x y x y -=>>D ．()32140x x =>【答案】B【解析】对于A()1313220a a a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B选项，)334410xx x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C，)21321210,0x y x y x-=>>，故C 正确；对于D ，)()33321444320x x x ⎛⎫===> ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：B ．5．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知14x x -+=，则22x x -+等于（）A ．6B ．12C ．14D ．16【答案】C【解析】由14x x -+=可得：()2122216x x x x --+=++=，则2214x x -+=.故选：C.6．（23-24高一上·四川德阳·月考）010.256371.586-⎛⎫⨯-++= ⎪⎝⎭（）A ．110B ．109C ．108D ．100【答案】A【解析】原式()11133333112344131442222223221083331210810231-⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯-=⨯+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.二、多选题7．（23-24高一上·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（）AB ．C ．D【答案】BCD 【解析】对于Aπ44π=-=-，不合题意；对于B ，2=，符合题意；对于C ，()22=--=，符合题意；对于D 22=-=，符合题意.故选：BCD8．（23-24高一上·浙江·月考）已知0a >，0b >，则下列各式正确的是（）A π3=-B 1=C ．m na-=D ．121133332463b ab a b ---⎛⎫÷-=- ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】A 选项：由π30->π3=-，A 选项正确；B ()11111123612312600222221a b b a ab a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎡⎤====⎢⎥⎣⎦，B 选项正确；C 选项：m na-=C 选项错误；D 选项：112121101333333331246663b ab a a b a b b ⎛⎫⎛⎫------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫÷-=-=-=- ⎪⎝⎭，D 选项正确；故选：ABD.三、填空题9．（22-23高一上·上海奉贤·期末）化简()222a b ⋅=（其中0a >，0b >）．【答案】4ab【解析】()((42222222a b ab ab ⨯⋅=⋅=.故答案为：4ab .10．（23-24高一上·全国·单元测试）方程2129240x x +-⋅+=的解集是．【答案】{1,2}-【解析】令2x t =，则0t >，方程可化为22940t t -+=，解得12t =或4t =，所以，122x=或24x =，解得=1x -或2x =.所以，方程的解集为{1,2}-.故答案为：{1,2}-.11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知12102α-=，131032β=，则314210βα+=（填数值）【答案】2【解析】()()31131113113142513422342242101010=322222βαβα⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2四、解答题12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值：(1)()12120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【答案】(1)52；(2)0【解析】（1）()120120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭1293511422⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.（2）20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222364493322220273444-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷=-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数a 满足11221a a --=.(1)求1a a -+的值；(2)求33221122a a a a---+的值.【答案】(1)3；(2)5【解析】（1）将11221a a --=两边平方得121a a -+-=，所以13a a -+=.（2）因为a 是正实数，令1122(0)a a x x -+=>，则2125x a a -=++=，所以x =可得()33111222214a aa a a a ---⎛⎫-=-++= ⎪⎝⎭，所以33221122a a a a---==+。

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课堂小结
1、指数函数概念
函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数，其中x是自变
量 .函数的定义域是R .
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2021/12/8
概念解析
指数函数的概念
一般地，函数 y＝a
y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中 xx是自变量，函数的定
R
义域是___.
思考：指数函数定义中为什么规定 a 大于 0 且不等于 1?
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概念辨析
[提示] 规定 a 大于 0 且不等于 1 的理由：
(1)如果 a＝0，当 x>0 时，ax 恒等于 0；当 x≤0 时，ax 无意义．
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的生
物体内碳14含量看成1个单位，那么源自2021/12/8死亡１年后，生物体内碳１４含量为（1-p)1；
死亡２年后，生物体内碳１４含量为（1-p)2 ；
死亡３年后，生物体内碳１４含量为（1-p)3 ；
……
死亡５７３０年后，生物体内碳１４含量为（1-p)5730 ．
游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在
2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．
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当堂达标
1．下列函数一定是指数函数的是(
＋1
)
A．y＝2x
B．y＝x3
C．y＝3·2x
D．y＝3
－x
【答案】D [由指数函数的定义可知 D 正确．]
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人教2019A版必修 第一册
高一数学复习知识点专题讲义课件
第四章 指数函数与对数函数
4.2.1 指数函数的概念

②中，y＝3x 是指数函数；
③中，y＝32x＝9x，故③是指数函数；
④中，y＝x3 中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．
2．函数 y＝(a－2)2ax 是指数函数，则( C )
A．a＝1 或 a＝3
B．a＝1
C．a＝3
D．a>0 且 a≠1
（a－2）2＝1，
【解析】选 C.由指数函数定义知
入指数函数的定义，培养数
学抽象的核心素养
指数型函数模型公式：原有量为N，
数学建模：通过指数型函数
每次的增长（衰减）率为p，经过
的实际应用，培养数学建模
x次增长（衰减），该量增长到y，
的核心素养
则

y=N(1±p）x（x N）
看似平坦的成功之路往往是由无数失
败的石头加上努力的柏油铺成的。




（2）( )−. , ( ). ；
【即时训练】
函数 y＝2
－x
的图象是( B )
A
B
C
D
1.知识结构
指数函数
定义
图象
性质
1.给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x；③y＝32x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
解 ①中，3x 的系数是 2，故①不是指数函数；
其中是自变量，且 ∈ .

例有以下基本性质
①指数函数的定义域为，值域为(, +∞)；
②当 = 时， = = ，即指数函数的图象过定点
(, )；
③若 = ，指数函数 = 即为 = ，图象为经过
解：因为指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(0，1)，所以