完整word版,人教高一数学指数函数讲义

第14讲指数及其运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质；能利用根式的性质对根式进行运算；2．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化；3．了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程；理解指数幂的运算性质；能进行指数幂(实数幂）的运算.知识点1根式1、n 次方根的定义与性质（1）定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N ．（2）性质：①当n 是奇数时，0,00,0>>⎧⎨<<⎩a x a x ，x；②当n 是偶数，0>a 时，x的有两个值，且互为相反数，记为；0<a 时，x 不存在；③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）；④0的任何次方根都是00(,1)n N n +=∈>．2、根式的定义与性质（1n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）性质：（1n >，且n *∈N）n =a；,,,.⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数n a n a n 知识点2指数幂1、分数指数幂（1）正分数指数幂：规定：mn a=()0,,,1a m n n *>∈>N （2）负分数指数幂：规定：1mn m naa-==()0,,,1a m n n *>∈>N （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【要点辨析】分数指数幂的注意事项：①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂mna 不可理解为mn个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn进行约分．③在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如()235-=()345-=就没有意义．2、实数指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点3指数幂运算解题方法与技巧1、指数幂的运算中常用的乘法公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b -=-+；222()2a b a ab b +=++；（2）平方差公式：22()()a b a b a b -=-+；（3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++；（4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+；（5）完全立方公式：33223()33a b a a b ab b -=-+-；33223()33a b a a b ab b +=+++．2、条件求值问题的解题思路（1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；（2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；（3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁．考点一：根式的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）AB C D 【答案】D【解析】A.R a ∈有意义；B.R a ∈有意义；C.R a ∈有意义；D.a<0无意义；故选：D【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）R a ∈，下列各式一定有意义的是（）A ．2a -B ．14a C ．23a D ．0a【答案】C【解析】对于A ，当0a =时，2a -无意义，A 不是；对于B ，当a<0时，14a 无意义，B 不是；对于C ，23a =C 是；对于D ，当0a =时，0a 无意义，D 不是.故选：C【变式1-2】（2023高一·江苏·a 的取值范围是（）A ．0a ≥B ．1a ≥C ．2a ≥D ．Ra ∈【答案】B有意义，得102R a a -≥⎧⎨-∈⎩，解得1a ≥，所以a 的取值范围是1a ≥.故选：B【变式1-3】（223-24高一下·贵州遵义·月考）若34(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为【答案】1(,)2-∞【解析】由34(12)x --120x ->，解得12x <，故答案为：1(,2-∞．考点二：利用根式的性质化简求值例2.（23-24高一上·北京·期中）下列各式正确的是（）A 3=-Bx=C 2=D ．01a =【答案】C【解析】A 3=，故A 错误；B x =，故B 错误；C2=，故C 正确；D ：01a =，当0a ≠时成立，故D 错误；故选：C.【变式2-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）若0ab <，则化简）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】=a b a b ⎛=+ ⎝因为0ab <，所以,a b 异号，0a b a b +=，所以0a b a b a b a b a b++==，所以，0=.故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·全国·+【答案】6-6(446-+=-．【变式2-3】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）（多选）若412x<-3的结果可能为（）A ．210x -B ．46x -C ．24x -+D ．410x --【答案】AC 【解析】由题意知412x <-，即4102x-<-，即202x x +>-，故(2)(2)0,2x x x +->∴<-或2x >，3|2|3x =+-3523210,23523352324,2x x x x x x x x x x ----=->⎧=--+-=⎨-+++-=-+<-⎩，故选：AC考点三：根式与分数指数幂互化例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列关于nm a -(),m n *∈N 的形式的运算正确的是（）A．538-=B．538-=C．538-=D ．()328--【答案】A【解析】由于5353818-==A 正确，B ，C 错误；()328--=D 错误，故选：A【变式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列各式正确的是（）A ．46a=B 5=-C．(36=D ．23a -=【答案】AC【解析】对于A ：4263a a ==A正确；对于B 5=，故B 错误；对于C：(2636===，故C 正确；对于D：23231aa-==D 错误.故选：AC【变式3-2】（23-24高一上·江西新余·期中）（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（）A ．)130xx -=≠B()120a a =≥C．21320,0)x y x y -=>>D ．3142(0)x x ⎤=->【答案】BC【解析】对选项A ：)130xx -=≠，错误；对选项B()1313220a a a ⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，正确；对选项C22133212(0,0)y x y x y x-==>>，正确；对选项D：33214432(0)x x x⎛⎫==>⎪⎝⎭，错误；故选：BC【变式3-3】（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤.154m⋅【答案】(1)14b；(2)1【解析】（1=111224b b⎛⎫===⎪⎝⎭.（2）154m⋅11111532423651641m m m m mm m+-⋅⋅====⋅.考点四：利用指数幂运算性质化简例4.（23-24高一上·全国专题练习）下列等式一定成立的是（）A．1332a a a⋅=B．11220⋅=a a C．329()a a=D．111362a a a÷=【答案】D【解析】对于A：11311333262a a a a+⋅==，故A错误；对于B：11212221⋅==a a a a，故B错误；对于C：326()a a=，故C错误；对于D：1111132362a a a a÷==，故D正确；故选：D【变式4-1】（23-24高一上·广东江门·期中）102x=，103y=，则10x y+=．【答案】6【解析】102x=Q，103y=，101010236x y x y+∴=⋅=⨯=，故答案为：6．【变式4-2】（23-24高一上·河南·期中）若a b =，则()2312222a b ab ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【答案】1【解析】由题意，0,0a b >>，所以()()231222232246a b ab a b a b -----⎡==⎤⎢⎥⎣⎦，又11322,2a b --===，所以原式6411223222221----⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1.【变式4-3】（23-24高一上·江西九江·期中）化简或计算下列各式．(1)121121332a b a b ---⎛⎫ ⎪；(2)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)1a；(2)0.09【解析】（1）原式2111111111532322132623615661ab a baba aa b⎛⎫⨯--⎪⎝⎭---+--⋅====.（2）原式22333273550.0910001033⨯⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.考点五：解简单的指数方程例5.（23-24高一·全国·专题练习）方程11416x -=的解为（）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．1【答案】C 【解析】∵1214416x --==，∴x ﹣1＝﹣2，∴x ＝﹣1．故选：C ．【变式5-1】（22-23高一上·河北沧州·期中）关于x 的方程112250x x +--+=的解的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】解：原方程即222502xx ⨯-+=，化简可得()2225220x x ⨯+⨯-=，令2(0)x t t =>，可得22520t t +-=，该方程有且只有一个正根，由于2x t =单调递增，所以t 与x 一一对应，即原方程只有一个解.故选：B .【变式5-2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于x 的方程422x x -=的解为．【答案】1x =【解析】由422x x -=可得()22220x x --=，即()()21220x x+-=，因为20x >，可得22x =，故1x =.所以，方程关于x 的方程422x x -=的解为1x =.故答案为：1x =.【变式5-3】（22-23高三·全国·对口高考）方程(2522xx x -+=的解为．【答案】5x =或12x =【解析】由题意可得(2599222222xxx x x -+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以25922x x x -+=，即221150x x -+=，解得5x =或12x =，故答案为：5x =或12x =考点六：整体换元法解决条件求值例6.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知12a a+=，则1122a a -+等于（）A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】A【解析】112221()2224a a a a-+=++=+=，所以11222a a -+=.故选：A.【变式6-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知11223a a -+=，则33221122a a a a--++的值为．【答案】6【解析】因为11223a a-+=，所以2112223a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即129a a -++=，所以17a a -+=，所以3333112222a aa a --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111222222a a a a a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()11122371181a a a a --⎛⎫=++=⨯- ⎝-=⎪⎭，所以332211221863a a a a--+==+．【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知11223x x -+=，计算：22111227x x x x x x---+-+++.【答案】4【解析】因为11223x x-+=，所以211229x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以129x x -++=，所以17x x -+=，所以()2127x x -+=，即22249x x -++=，所以2247x x -+=，所以22111227477473x x x x x x---+--==++++.【变式6-3】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知11223a a -+=，求下列各式的值：(1)1a a -+；(2)33222232a a a a --+-+-．【答案】(1)7；(2)13【解析】（1）由题意11223a a-+=，所以21112222327a a a a --⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭.（2）由题意11223a a -+=，所以()()1111212233222222213371331512744534a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⨯--+-⎝⎭⋅⎝⎭==-==+--+++-.一、单选题1．（23-24高一上·青海海南·期中）已知R a ∈，则下列各式一定有意义的是（）A ．2a -B ．13a C ．12a D ．0a 【答案】B【解析】对于A ，由221aa -=可知，0a =时表达式无意义；对于B ，根据幂函数性质可知，R a ∈时，表达式13a 恒有意义；对于C，易知12a =a<0时，表达式无意义；对于D ，当0a =时，0a 无意义；故选：B2．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简32的结果为（）A ．5BC ．5-D．【答案】A【解析】332232232332555⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，故选：A3．（23-24高一上·北京大兴·月考）已知0a >=（）A ．12a B ．32a C ．2a D ．3a 【答案】A12a ==，故选：A4．（23-24高一上·安徽淮南·月考改编）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（）A()120a a =>B．)340xx -=>C．)21320,0x y x y -=>>D ．()32140x x =>【答案】B【解析】对于A()1313220a a a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B选项，)334410xx x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C，)21321210,0x y x y x-=>>，故C 正确；对于D ，)()33321444320x x x ⎛⎫===> ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：B ．5．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知14x x -+=，则22x x -+等于（）A ．6B ．12C ．14D ．16【答案】C【解析】由14x x -+=可得：()2122216x x x x --+=++=，则2214x x -+=.故选：C.6．（23-24高一上·四川德阳·月考）010.256371.586-⎛⎫⨯-++= ⎪⎝⎭（）A ．110B ．109C ．108D ．100【答案】A【解析】原式()11133333112344131442222223221083331210810231-⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯-=⨯+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.二、多选题7．（23-24高一上·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（）AB ．C ．D【答案】BCD 【解析】对于Aπ44π=-=-，不合题意；对于B ，2=，符合题意；对于C ，()22=--=，符合题意；对于D 22=-=，符合题意.故选：BCD8．（23-24高一上·浙江·月考）已知0a >，0b >，则下列各式正确的是（）A π3=-B 1=C ．m na-=D ．121133332463b ab a b ---⎛⎫÷-=- ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】A 选项：由π30->π3=-，A 选项正确；B ()11111123612312600222221a b b a ab a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎡⎤====⎢⎥⎣⎦，B 选项正确；C 选项：m na-=C 选项错误；D 选项：112121101333333331246663b ab a a b a b b ⎛⎫⎛⎫------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫÷-=-=-=- ⎪⎝⎭，D 选项正确；故选：ABD.三、填空题9．（22-23高一上·上海奉贤·期末）化简()222a b ⋅=（其中0a >，0b >）．【答案】4ab【解析】()((42222222a b ab ab ⨯⋅=⋅=.故答案为：4ab .10．（23-24高一上·全国·单元测试）方程2129240x x +-⋅+=的解集是．【答案】{1,2}-【解析】令2x t =，则0t >，方程可化为22940t t -+=，解得12t =或4t =，所以，122x=或24x =，解得=1x -或2x =.所以，方程的解集为{1,2}-.故答案为：{1,2}-.11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知12102α-=，131032β=，则314210βα+=（填数值）【答案】2【解析】()()31131113113142513422342242101010=322222βαβα⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2四、解答题12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值：(1)()12120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【答案】(1)52；(2)0【解析】（1）()120120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭1293511422⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.（2）20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222364493322220273444-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷=-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数a 满足11221a a --=.(1)求1a a -+的值；(2)求33221122a a a a---+的值.【答案】(1)3；(2)5【解析】（1）将11221a a --=两边平方得121a a -+-=，所以13a a -+=.（2）因为a 是正实数，令1122(0)a a x x -+=>，则2125x a a -=++=，所以x =可得()33111222214a aa a a a ---⎛⎫-=-++= ⎪⎝⎭，所以33221122a a a a---==+。

第二章第一节指数函数第一课时教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体的函数模型解决一些实际问题．本章总的教学目标是：了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念和意义，掌握f (x )＝a x 的符号及意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点)，通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型；理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用；通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f (x )＝log a x 的符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点)；知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a ≠1)，初步了解反函数的概念和f －1(x )的意义；通过实例了解幂函数的概念，结合五种具体函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况． 本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质，要在理解定义的基础上，通过几个特殊函数图象的观察，归纳得出一般图象及性质，这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法．把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点． 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容作了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想．建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用．教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展．教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生的学习负担．通过运用计算机绘制指数函数的动态图象，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能．教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．整体设计教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP 的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值．教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)有理指数幂性质的灵活应用．课时安排3课时教学过程第1课时作者：路致芳导入新课思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的．教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算．思路2.同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n 次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算．推进新课新知探究提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？(2)如x4＝a，x5＝a，x6＝a根据上面的结论我们又能得到什么呢？(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？(4)可否用一个式子表达呢？活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维．讨论结果：(1)若x2＝a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根，一个数的立方根只有一个，如：－8的立方根为－2.(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a ，则这个数叫a 的四次方根．一个数的五次方等于a ，则这个数叫a 的五次方根．一个数的六次方等于a ，则这个数叫a 的六次方根．(3)类比(2)得到一个数的n 次方等于a ，则这个数叫a 的n 次方根．(4)用一个式子表达是，若x n ＝a ，则x 叫a 的n 次方根．教师板书n 次方根的意义：一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫a 的n 次方根(n －throot)，其中n ＞1且n ∈N *.可以看出数的平方根、立方根的概念是n 次方根的概念的特例．提出问题(1)你能根据n 次方根的意义求出下列数的n 次方根吗？(多媒体显示以下题目).①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤－32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a 6的立方根.(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，－32，32，0，a 6分别对应什么性质的数，有什么特点？(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a 有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？(4)任何一个数a 的偶次方根是否存在呢？活动：教师提示学生切实紧扣n 次方根的概念，求一个数a 的n 次方根，就是求出的那个数的n 次方等于a ，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，－2的5次方等于－32,0的7次方等于0，a 2的立方等于a 6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，－32的5次方根，0的7次方根，a 6的立方根分别是±2，±2，±2,2，－2,0，a 2.(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数．总的来看，这些数包括正数，负数和零．(3)一个数a 的奇次方根只有一个，一个正数a 的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.(4)任何一个数a 的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数．类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n 次方根的性质：①当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，是互为相反数，正的n 次方根用n a 表示，如果是负数，负的n 次方根用－n a 表示，正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0)．②n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n 次方根用符号n a 表示．③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零．上面的文字语言可用下面的式子表示：a 为正数：⎩⎨⎧ n 为奇数， a 的n 次方根有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根有两个为±n a .a 为负数：⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数， a 的n 次方根只有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根不存在.零的n 次方根为零，记为n 0＝0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例．思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况？活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题．解：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，－27的5次方根为5－27，而－27的4次方根不存在等．其中5－27也表示方根，它类似于n a 的形式，现在我们给式子n a 一个名称——根式．根式的概念： 式子n a 叫根式，其中a 叫被开方数，n 叫根指数． 如3－27中，3叫根指数，－27叫被开方数．思考na n 表示a n 的n 次方根，等式n a n ＝a 一定成立吗？如果不一定成立，那么n a n 等于什么？活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生多举实例，分组讨论．教师点拨，注意归纳整理． 〔如3(－3)3＝3－27＝－3，4(－8)4＝|－8|＝8〕． 解答：根据n 次方根的意义，可得：(n a )n ＝a .通过探究得到：n 为奇数，n a n ＝a .n 为偶数，n a n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，－a ，a ≥0，a <0. 因此我们得到n 次方根的运算性质： ①(n a )n ＝a .先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数．②n 为奇数，n a n ＝a .先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数．n 为偶数，n a n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，－a ，a ≥0，a <0.先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值．应用示例思路1例题 求下列各式的值： (1)3(－8)3；(2)(－10)2；(3)4(3－π)4；(4)(a －b )2(a >b )．活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析．观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药．求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数．解：(1)3(－8)3＝－8；(2)(－10)2＝10；(3)4(3－π)4＝π－3；(4)(a－b)2＝a－b(a>b)．点评：不注意n的奇偶性对式子na n的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用．例1下列各式中正确的是()A.4a4＝a B.6(－2)2＝3－2C．a0＝1D.10(2－1)5＝2－1.活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答．解析：(1)4a4＝a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写na n＝|a|，故A项错．(2)6(－2)2＝3－2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(－2)2＝32，故B项错．(3)a0＝1是有条件的，即a≠0，故C项也错．(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确．所以答案选D. 答案：D点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心．例23＋22＋3－22＝__________.活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式．正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路．解析：因为3＋22＝1＋22＋(2)2＝(1＋2)2＝2＋1，3－22＝(2)2－22＋1＝(2－1)2＝2－1，所以3＋22＋3－22＝2 2.答案：2 2点评：不难看出3－22与3＋22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式．思考上面的例2还有别的解法吗？活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“＋”，一个是“－”，去掉一层根号后，相加正好抵消．同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法．另解：利用整体思想，x＝3＋22＋3－22，两边平方，得x2＝3＋22＋3－22＋2(3＋22)(3－22)＝6＋232－(22)2＝6＋2＝8，所以x＝2 2.点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A＋2B±A－2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解．(教师用多媒体显示在屏幕上)1．以下说法正确的是()A．正数的n次方根是一个正数B．负数的n次方根是一个负数C．0的任何次方根都是零D．a的n次方根用na表示(以上n＞1且n∈N*)答案：C2．化简下列各式：(1)664；(2)4(－3)2；(3)4x 8；(4)6x 6y 3；(5)(x －y )2.答案：(1)2；(2)3；(3)x 2；(4)|x |y ；(5)|x －y |.3．计算7＋40＋7－40＝__________.解析：7＋40＋7－40＝(5)2＋25·2＋(2)2＋(5)2－25·2＋(2)2＝(5＋2)2＋(5－2)2＝5＋2＋5－ 2＝2 5.答案：2 5拓展提升问题：n a n ＝a 与(n a )n ＝a (n ＞1，n ∈N )哪一个是恒等式，为什么？请举例说明． 活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n 次方根的定义． 通过归纳，得出问题结果，对a 是正数和零，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下．再对a 是负数，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论．解：(1)(n a )n ＝a (n ＞1，n ∈N )．如果x n ＝a (n ＞1，且n ∈N )有意义，则无论n 是奇数或偶数，x ＝n a 一定是它的一个n次方根，所以(n a )n ＝a 恒成立．例如：(43)4＝3，(3－5)3＝－5.(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，|a |，当n 为奇数，当n 为偶数. 当n 为奇数时，a ∈R ，n a n ＝a 恒成立．例如：525＝2，5(－2)5＝－2.当n 为偶数时，a ∈R ，a n ≥0，n a n 表示正的n 次方根或0，所以如果a ≥0，那么n a n ＝a .例如434＝3，40＝0；如果a ＜0，那么n a n ＝|a |＝－a ，如(－3)2＝32＝3，即(n a )n ＝a (n ＞1，n ∈N )是恒等式，n a n ＝a (n ＞1，n ∈N )是有条件的．点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解．课堂小结学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上．1．如果x n ＝a ，那么x 叫a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.用式子n a 表示，式子n a 叫根式，其中a 叫被开方数，n 叫根指数．(1)当n 为偶数时，a 的n 次方根有两个，是互为相反数，正的n 次方根用n a 表示，如果是负数，负的n 次方根用－n a 表示，正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0)．(2)n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n次方根用符号n a 表示．(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零．2．掌握两个公式：n为奇数时，(na)n＝a，n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，－a，a≥0，a<0.作业课本习题2.1A组1. 补充作业：1．化简下列各式：(1)681；(2)15－32；(3)4x8；(4)6a2b4.解：(1)681＝634＝332＝39；(2)15－32＝－1525＝－32；(3)4x8＝4(x2)4＝x2；(4)6a2b4＝6(|a|·b2)2＝3|a|·b2.2．若5<a<8，则式子(a－5)2－(a－8)2的值为__________．解析：因为5<a<8，所以(a－5)2－(a－8)2＝a－5－8＋a＝2a－13.答案：2a－133.5＋26＋5－26＝__________.解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，不难看出5＋26＝(3＋2)2＝3＋ 2.同理5－26＝(3－2)2＝3－ 2.所以5＋26＋5－26＝2 3.答案：2 3设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a>0，a<0，a＝0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学．。

最新课程标准：（１）通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．（２）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点一指数函数的定义函数y＝a x（a>0且a≠１）叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.错误!指数函数解析式的３个特征（１）底数a为大于0且不等于１的常数．（２）自变量x的位置在指数上，且x的系数是１．（３）a x的系数是１．知识点二指数函数的图象与性质a>１0<a<１图象定义域R值域（0，＋∞）性质过定点过点（0,１），即x＝0时，y＝１函数值的变化当x>0时，y>１；当x<0时，0<y<１当x>0时，0<y<１；当x<0时，y>１单调性是R上的增函数是R上的减函数错误!底数a与１的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>１时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<１时，指数函数的图象是“下降”的．[教材解难]规定底数a>0且a≠１的理由（１）如果a＝0，则错误!（２）如果a<0，比如y＝（—２）x，这时对于x＝错误!，错误!，错误!，错误!，…在实数范围内函数值不存在．（３）如果a＝１，那么y＝１x＝１是常量，对此就没有研究的必要．[基础自测]１．下列各函数中，是指数函数的是（）Ａ．y＝（—３）xＢ．y＝—３xＣ．y＝３x—１Ｄ．y＝错误!x解析：根据指数函数的定义y＝a x（a>0且a≠１）可知只有D项正确．答案：D２．函数f（x）＝错误!的定义域为（）Ａ．RＢ．（0，＋∞）Ｃ．[0，＋∞）Ｄ．（—∞，0）解析：要使函数有意义，则２x—１>0，∴２x>１，∴x>0．答案：B３．在同一坐标系中，函数y＝２x与y＝错误!x的图象之间的关系是（）Ａ．关于y轴对称Ｂ．关于x轴对称Ｃ．关于原点对称Ｄ．关于直线y＝x对称解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选Ａ．答案：A４．函数f（x）＝错误!的值域为________．解析：由１—e x≥0得e x≤１，故函数f（x）的定义域为{x|x≤0}，所以0<e x≤１，—１≤—e x<0,0≤１—e x<１，函数f（x）的值域为[0,１）．答案：[0,１）题型一指数函数概念的应用[经典例题]例１（１）若函数f（x）＝（２a—１）x是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，１）（２）指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，那么f（４）·f（２）等于________．【解析】（１）由已知，得0<２a—１<１，则错误!<a<１，所以实数a的取值范围是错误!.（２）设y＝f（x）＝a x（a>0，a≠１），所以a—２＝错误!，所以a＝２，所以f（４）·f（２）＝２４×２２＝6４．【答案】（１）C （２）6４（１）根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠１，a x的系数是１．（２）先设指数函数为f（x）＝a x，借助条件图象过点（—２，错误!）求a，最后求值．方法归纳（１）判断一个函数是指数函数的方法１看形式：只需判定其解析式是否符合y＝a x（a>0，且a≠１）这一结构特征．２明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．（２）已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤跟踪训练１（１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，则实数a的取值范围是________；（２）下列函数中是指数函数的是________．（填序号）１y＝２·（错误!）x２y＝２x—１３y＝错误!x４y＝x x５y＝３1x⑥y＝x13.解析：（１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，则错误!解得a<错误!且a≠１．（２）１中指数式（错误!）x的系数不为１，故不是指数函数；２中y＝２x—１＝错误!·２x，指数式２x的系数不为１，故不是指数函数；４中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；５中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填３．答案：（１）（—∞，１）∪错误!（２）３１．指数函数系数为１．２．底数>0且≠１．题型二指数函数[教材P１１４例１]例２已知指数函数f（x）＝a x（a>0，且a≠１），且f（３）＝π，求f（0），f（１），f（—３）的值．【解析】因为f（x）＝a x，且f（３）＝π，则a３＝π，解得a＝π13，于是f（x）＝π3x.所以，f（0）＝π0＝１，f（１）＝π13＝错误!，f（—３）＝π—１＝错误!.错误!要求f（0），f（１），f（—３）的值，应先求出f（x）＝a x的解析式，即先求a的值．教材反思求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于１的实数，所以a＝—３应舍去．跟踪训练２若指数函数f（x）的图象经过点（２,9），求f（x）的解析式及f（—１）的值．解析：设f（x）＝a x（a>0，且a≠１），将点（２,9）代入，得a２＝9，解得a＝３或a＝—３（舍去）．所以f（x）＝３x.所以f（—１）＝３—１＝错误!.设f（x）＝a x，代入（２,9）求出Ａ．一、选择题１．下列函数中，指数函数的个数为（）１y＝错误!x—１；２y＝a x（a>0，且a≠１）；３y＝１x；４y＝错误!２x—１．Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．３Ｄ．４解析：由指数函数的定义可判定，只有２正确．答案：B２．已知f（x）＝３x—b（b为常数）的图象经过点（２,１），则f（４）的值为（）Ａ．３Ｂ．6Ｃ．9 Ｄ．8１解析：由f（x）过定点（２,１）可知b＝２，所以f（x）＝３x—２，f（４）＝9．可知C正确．答案：C３．当x∈[—１,１]时，函数f（x）＝３x—２的值域是（）Ａ．错误!Ｂ．[—１,１]Ｃ．错误!Ｄ．[0,１]解析：因为指数函数y＝３x在区间[—１,１]上是增函数，所以３—１≤３x≤３１，于是３—１—２≤３x—２≤３１—２，即—错误!≤f（x）≤１．故选Ｃ．答案：C４．在同一平面直角坐标系中，函数f（x）＝ax与g（x）＝a x的图象可能是（）解析：需要对a讨论：１当a>１时，f（x）＝ax过原点且斜率大于１，g（x）＝a x是递增的；２当0<a<１时，f（x）＝ax过原点且斜率小于１，g（x）＝a x是减函数，显然B正确．答案：B二、填空题５．下列函数中：１y＝２·（错误!）x；２y＝２x—１；３y＝错误!x；４y＝３1x-；５y＝x13.是指数函数的是________（填序号）．解析：１中指数式的系数不为１；２中y＝２x—１＝错误!·２x的系数亦不为１；４中自变量不为x；５中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．答案：３6．若指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，则f错误!＝________.解析：设f（x）＝a x（a>0且a≠１）．因为f（x）过点错误!，所以错误!＝a—２，所以a＝４．所以f（x）＝４x，所以f错误!＝４32-＝错误!.答案：错误!7．若关于x的方程２x—a＋１＝0有负根，则a的取值范围是________．解析：因为２x＝a—１有负根，所以x<0，所以0<２x<１．所以0<a—１<１．所以１<a<２．答案：（１,２）三、解答题8．若函数y＝（a２—３a＋３）·a x是指数函数，求a的值．解析：由指数函数的定义知错误!由１得a＝１或２，结合２得a＝２．9．求下列函数的定义域和值域：（１）y＝２1x—１；（２）y＝错误!222x－.解析：（１）要使y＝２1x—１有意义，需x≠0，则２1x≠１；故２1x—１>—１且２1x—１≠0，故函数y＝２1x—１的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为（—１,0）∪（0，＋∞）．（２）函数y＝错误!222x－的定义域为实数集R，由于２x２≥0，则２x２—２≥—２．故0<错误!222x－≤9，所以函数y＝错误!222x－的值域为（0,9]．[尖子生题库]１0．设f（x）＝３x，g（x）＝错误!x.（１）在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象；（２）计算f（１）与g（—１），f（π）与g（—π），f（m）与g（—m）的值，从中你能得到什么结论？解析：（１）函数f（x）与g（x）的图象如图所示：（２）f（１）＝３１＝３，g（—１）＝错误!—１＝３；f（π）＝３π，g（—π）＝错误!—π＝３π；f（m）＝３m，g（—m）＝错误!—m＝３m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．。

2．1.2指数函数及其性质第一课时第一课时指数函数的图象及性质[读教材·填要点]1．指数函数的定义函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．2．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x>0时，y>1当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1单调性是R上的增函数是R上的减函数[小问题·大思维]1．下列函数中，哪些是指数函数？①y＝2－x；②y＝2x＋1；③y＝3·2x；④y＝－2x；⑤y＝(－2)x；⑥y＝x2；⑦y＝(a－1)x(a>1且a≠2)．提示：∵y＝2－x＝(12)x，∴根据指数函数的定义可知，只有①⑦是指数函数．2．在同一坐标系中y＝a x和y＝(1a)x的图象有什么关系？提示：关于y轴对称．3．指数函数具有奇偶性吗？提示：指数函数既不是奇函数又不是偶函数．指数函数的概念[例1] 指出下列函数中，哪些是指数函数． (1)y ＝πx ；(2)y ＝(－4)x ；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝x 4； (5)y ＝(2a －1)x (a >12，且a ≠1)；(6)y ＝(a 2＋2)－x ；(7)y ＝2·3x ＋a (a ≠0)；(8)y ＝4x 2.[自主解答] 根据指数函数的定义，指数函数满足： ①前面系数为1； ②底数a >0，且a ≠1； ③指数是自变量，所以，(1)y ＝πx ，底数为π，满足π>0，且π≠1，前面系数为1，且指数x 为自变量，故它是指数函数；(2)y ＝(－4)x ，底数－4<0，故它不是指数函数； (3)y ＝－4x ，前面系数为－1，故它不是指数函数； (4)y ＝x 4，指数为4而不是x ，故它不是指数函数；(5)y ＝(2a －1)x ，因为a >12，且a ≠1，所以2a －1>0，且2a －1≠1，前面系数为1，且指数为自变量x ，故它是指数函数；(6)y ＝(a 2＋2)－x ＝(1a 2＋2)x ，底数1a 2＋2∈(0，12]，前面系数为1，指数为自变量x ，故它是指数函数；(7)y ＝2·3x ＋a (a ≠0)，3x 前面系数为2≠1，故它不是指数函数；(8)y ＝4x 2，底数是自变量，且前面系数为4，故它不是指数函数．故(1)(5)(6)为指数函数．——————————————————指数函数是形式化的概念，形如y＝a x(a>0，且a≠1)的函数被称为指数函数，这里x 是自变量，要判断一个函数是否是指数函数，需抓住三点：①底数大于零且不等于1；②幂指数有单一的自变量x；③系数为1，且没有其他的项. ————————————————————————————————————————1．下列函数中，哪些是指数函数？(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－6x；(4)y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)．解：(1)y＝10x符合定义，是指数函数；(2)y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数．(3)y＝－6x是由y＝6x与y＝－1这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数．(4)由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)是指数函数．综上可知，(1)(4)是指数函数.指数函数图象[例2]如图所示是下列指数函数的图象，(1)y＝a x；(2)y＝b x；(3)y＝c x；(4)y＝d x.则a，b，c，d与1的大小关系是()A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c[自主解答]可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小，当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象越靠近x轴．[答案] B——————————————————指数函数的图象随底数变化的规律：,无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝a x 的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.————————————————————————————————————————2．若0<a <1，b <－1，则函数f (x )＝a x ＋b 的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：f (x )＝a x (0<a <1)大致图象为：而f (x )＝a x ＋b (b <－1)则函数图象不经过第一象限． 答案：A与指数函数有关的定义域、值域问题[例3] 求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝8x －2；(2)y ＝1－(12)x .[自主解答] (1)定义域为[2，＋∞)； ∵x －2≥0，∴y ＝8x －2≥1.∴值域为[1，＋∞)． (2)∵1－(12)x ≥0，∴(12)x ≤1＝(12)0.即x ≥0. ∴函数y ＝1－(12)x 的定义域为[0，＋∞)；令t ＝(12)x ，∴0<t ≤1.∴0≤1－t <1，∴0≤1－t <1.∴y ＝1－(12)x 的值域为[0,1)．——————————————————对于y＝a f(x)这类函数：(1)定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围；(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝a u的单调性求得此函数的值域.————————————————————————————————————————3．求下列函数的定义域和值域．(1)y＝31－x；(2)y＝5－x－1.解：(1)要使函数y＝31－x有意义，只需1－x≥0，即x≤1，所以函数的定义域为{x|x≤1}．设y＝3u，u＝1－x，则u≥0，由函数y＝3u在[0，＋∞)上是增函数，得y≥30＝1，所以函数的值域为[1，＋∞)(2)函数y＝5－x－1对任意的x∈R都成立，所以函数的定义域为R.因为5－x>0，所以5－x－1>－1，所以函数的值域为(－1，＋∞)．解题高手妙解题同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！求k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？[巧思]可在同一直角坐标系下画出函数y＝|3x－1|的图象和直线y＝k，通过观察图象交点的个数解决．[妙解]函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到，函数图象如图所示．当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．1．下列一定是指数函数的是()A．形如y＝a x的函数B．y＝x a(a>0且a≠1)C．y＝(|a|＋2)－x D．y＝(a－2)a x解析：A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数；B中y＝x a(a>0且a≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C中|a|＋2≥2，故而(|a|＋2)－x＝(1)x是指数函数；D中只|a|＋2有a－2＝1即a＝3时为指数函数．答案：C2．函数y＝a x－a(a>0，且a≠1)的图象可能是()解析：法一(图象变换法)：当0<a<1时，函数y＝a x－a是减函数，且其图象可视为是由函数y＝a x的图象向下平移a个单位长度所得到的，结合各选项知，选C.法二(特殊点法)：由题意可知函数y＝a x－a(a>0且a≠1)必过点(1,0)，故只有C项符合．答案：C3．已知函数f(x)＝7＋a x－1的图象恒过点P，则P点坐标是()A．(1,8)B．(1,7)C．(0,8)D．(8,0)解析：当x＝1时，a x－1＝a0＝1.f(x)＝7＋1＝8.故而过定点(1,8)．答案：A4．当x∈[－1,3)时，y＝3－x－1的值域是________．解析：∵y ＝3－x －1＝(13)x －1为单调减函数，∴y ＝(13)x －1的最大值为y ＝3－1＝2.∴y 的值域为(－2627，2]．答案：(－2627，2]5．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.解析：∵f (x )的图象过(0，－2)，(2,0)且a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＝a 0＋b0＝a 2＋b ，∴b ＝－3，a ＝3， ∴f (x )＝(3)x －3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－36．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝1－3x ；(2)y ＝(13)x －2.解：(1)要使函数有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30， 因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0. 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1， 所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)．(2)要使函数有意义，则x －2≥0，解得x ≥2，所以函数y ＝(13)x －2的定义域为[2，＋∞)．当x ∈[2，＋∞)时，x －2≥0，又0<13<1，由指数函数的性质知，y ＝(13)x －2≤(13)0＝1，且y >0，故函数y ＝(13)x －2的值域为(0,1]．一、选择题1．函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析：∵4x >0,16－4x ≥0,4x ≤16，x ≤2. ∴0<4x ≤16. ∴0≤16－4x <16. ∴0≤16－4x <4，∴函数的值域为[0,4)．答案：C2．已知函数f (x )＝(a 2－1)x ，若x >0时总有f (x )>1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<2 C ．|a |>1D ．|a |> 2解析：∵当x >0时，总有(a 2－1)x >1， ∴a 2－1>1，即a 2>2.∴|a |> 2. 答案：D3．如下图所示，函数y ＝|2x －2|的图象是( )解析：y ＝|2x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2， x ≥1，2－2x， x <1..画出函数图象，知B 选项符合题意．答案：B4．方程2x ＋x ＝0的解的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析：令f (x )＝2x ，g (x )＝－x ，则2x ＋x ＝0的解就是函数f (x )和g (x )交点，交点个数为1.答案：B 二、填空题5．若函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________． 解析：由题意知a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3.答案： 36．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7，x <0，x ， x ≥0.若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．解析：若a <0，则f (a )＝(12)a －7<1，(12)a <8＝(12)－3，∴a >－3.即－3<a <0. 若a ≥0则f (a )＝a <1，a <1，即0≤a <1.综上a 的取值范围为－3<a <1. 答案：(－3,1)7．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值和最小值之和为3，则a ＝________. 解析：由y ＝a x 的单调性及值域可知a 0＋a 1＝3，∴a ＝2. 答案：28．对于函数f (x )＝2x 定义域中任意x 1，x 2(x 1≠x 2)有如下结论： (1)f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2) (2)f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2) (3)f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0(4)f (x 1)＋f (x 2)2＞f (x 1＋x 22)其中正确命题的序号是________．解析：(1)显然错误，(2)正确，(3)(4)可由图象来判断是正确的． 答案：(2)(3)(4) 三、解答题9．定义一种新的运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b ).作出函数y ＝2x ⊗2－x 的图象，并写出该函数的定义域与值域．解：当x ≤0时，2x ≤2－x ，y ＝2x ， 当x >0时，2x >2－x ，y ＝2－x ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x(x >0)，2x (x ≤0)，其定义域为R ，值域(0,1]，图象如图所示．10．如果3－5x>(13)x ＋6，求x 的取值范围？ 解：3－5x >(13)x ＋6＝3－x －6，而指数函数y ＝3x 为增函数， ∴－5x >－x －6,5x <x ＋6，x <32.∴x 的取值范围(－∞，32)．。

人教B版高一数学上学期第三单元：指数与指数函数 word文档资料人教b版高一数学上学期第三单元：指数与指数函数-word文档资料人民教育B版高中数学一学期3单元：索引和索引函数所容纳之物上学期《人的数学》B版高中数学单元3有四个主题。

为了帮助你学习，萧边上学期整理了《人民教育版》B版高中数学第3单元的知识点。

让我们看看！指数与指数函数一般地，形如y=a^x(a>0且a≠1)(x∈r)的函数叫做指数函数(exponentialfunction)。

也就是说以指数为自变量，底数为大于0且不等于1的常量的函数称为指数函数，它是初等函数中的一种。

人民教育B版高级数学卷1单元3指数和指数函数知识点对数和对数函数对数的定义：一般地，如果ax=n(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底n的对数，记作x=logan，读作以a为底n的对数，其中a叫做对数的底数，n叫做真数。

通常，函数y=logax（a>0，a≠ 1）被称为对数函数，即以幂（实数）为自变量，指数为因变量，基数为常数的函数称为对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)，即x>0。

它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。

因此指数函??数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

人民教育B版高级数学卷1单元3知识点：对数和对数函数第1页幂函数一般地，形如y=xα(α为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

例如函数y=x0?、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/xy=x0时x≠0)等都是幂函数。

当α取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于α取无理数时，初学者则不大容易理解了。

因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

高中第一学期数学知识点：幂函数的应用（二）一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。

第15讲指数函数及其性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象；3．探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点1指数函数的概念1、定义：一般地，函数x y a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是指数函数的底数．2、指数函数的结构特征指数函数表达式中，需满足：（1）xa 系数必须为1；（2）自变量出现在指数位置上；（3）底数为大于0，且不等于1的常数，不能是自变量；（4）整个式子仅有一项，例如1xy a =+就不是指数函数．3、注意事项：指数函数x y a =的底数规定大于0且不等于1的理由：（1）如果0a =，当0,0,0,.x xx a x a ⎧>⎨≤⎩当时恒等于当时无意义（2）如果0a <，如(4)x y =-，当11,42x =时，在实数范围内函数值不存在．（3）如果1,11x a y ===，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定0a >且1a ≠．知识点2指数函数的图象与性质1、指数函数的图象与性质1>a10<<a图象性质定义域R值域),0(+∞过定点)1,0(单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数2、底数a对指数函数图象的影响函数2xy=，3xy=，4xy=和1(2xy=，1(3xy=，1()4xy=的图象如图所示．（1）当1a>且0x>时，底数越大，图象越“陡”；当01a<<且0x<时，底数越小，图象越“陡”．（2）在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”．知识点3指数函数的图象变换已知指数函数xy a=（0a>且1a≠）1、平移变换k kx xy a y a k>=−−−−−−−−→=+向上平移个单位长度()；k kx xy a y a k>=−−−−−−−−→=-向下平移个单位长度()；h hx x hy a y a>+=−−−−−−−−→=向左平移个单位长度()；0h h x x h y a y a >-=−−−−−−−−→=向右平移个单位长度()．规律总结：上加下减（针对函数值y ），左加右减（针对自变量x ）．2、对称变换y x x y a y a -=−−−−−→=关于轴对称；x x x y a y a =−−−−−→=-关于轴对称；x x y a y a -=−−−−−→=-关于原点对称．3、翻折变换x y x y y a y a =−−−−−−−−→=保留轴右侧图象并作其关于轴的对称图形；||x x x x x y a y a =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折到轴上方．知识点4常用方法与技巧1、比较指数幂的大小（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．2、简单指数不等式的解法（1）形如()()>f x g x a a 的不等式，可借助=x y a 的单调性求解；（2）形如()>f x ab 的不等式，可将b 化为a 为底数的指数幂的形式，再借助=x y a 的单调性求解；（3）形如>xxa b 的不等式，可借助两函数=x y a ，=xy b 的图象求解。