解析几何一题多变--转化

谈数学核心素养下解题教学中的一题多解——以求圆锥曲线离心率的范围为例发布时间：2023-03-23T16:41:31.663Z 来源：《基础教育参考》2023年2月作者：陈素文[导读] 圆锥曲线的离心率问题是高考中的一个难点和热点，因为离心率是刻画圆锥曲线形状的一个基本量，能考察考生对圆锥曲线形状最本质的理解，考察数学抽象，数学建模，数学运算等数学核心素养，灵活多变，综合性强.在此以一题多解从多方面求出离心率为例，体现数学核心素养。

陈素文湖北省襄阳东风中学【摘要】圆锥曲线的离心率问题是高考中的一个难点和热点，因为离心率是刻画圆锥曲线形状的一个基本量，能考察考生对圆锥曲线形状最本质的理解，考察数学抽象，数学建模，数学运算等数学核心素养，灵活多变，综合性强.在此以一题多解从多方面求出离心率为例，体现数学核心素养。

【关键词】数学解题；核心素养；一题多解；圆锥曲线中图分类号：G626.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128（2023）2-115-01例：设P为双曲线C：上的一点，分别为C的左，右焦点，若的内切圆直径为 ,则双曲线C的离心率的取值范围（）A. B. C. D.解法1：如图，不妨设点在第一象限，设的内切圆与三边长分别切与点M,N,T则有，由双曲线定义有，所以，所以点T在双曲线上，即点T为双曲线的右顶点，所以内切圆圆心横坐标为，所以的内切圆圆心坐标为，当趋向无穷大时，几乎与渐近线平行.设渐近线的倾斜角为，切线的倾斜角为，则 .因为，且，因为，由得到，解得，因为，所以所以，所以，解得，故选A.分析：题目涉及焦点三角形，我们经常运用圆锥曲线的第一定义，比如说双曲线上的点到两焦点的距离差的绝对值为定值，然后再结合图形借助平面几何知识寻求不等关系，解法1就是利用角度之间的关系，又利用了三角恒等变换，得到a,c之间的不等式关系，体现了数形结合思想与方程思想，对学生的综合能力要求比较高.在此考察学生的数学运算，逻辑思维，直观想象。

试题分析十7般7(2008年第6期高中版)一道高考解析几何题的推广434020湖北省荆州中学刘荣显题目(07重庆，22)如图l，中心在原点D的椭圆的右焦点为，(3，O)，右准线Z的方程为：髫=12．(1)求椭圆的方程；7(2)在椭圆上任取三个不同点PJ、P2、只，使￡PI魍=lv芩×弋FV J1厶P2化；￡P3，P。

，图l证明：面哥+面哥+百b为定值，并求此定值解(1)椭圆方程为嘉+蓦=1．(过程略)．(2)如图2，记椭圆的右顶点为A。

并设￡A即i=n．(f =l，2，3)．不失一般性，假设o≤口<擎，且铲¨筝嘞4仃2a I+_i．‘咿fPt一一一3午Q．厂＼一弋，y』一一PI图2义议点‘征l上网舸影为让因椭圆的离心率e=旦=÷，从而有o ZI，PliI=1只Q j I e=(等一c—I犯I一。

)r e；÷(9一l，PiIc嘲j)’(i_1，2。

3)解得南=吾(t+÷一i)．(f=-，2，3)因此南+南+南=吾{3+÷【。

嘲。

+嘲(口l+孕)+嘲(a。

+警)】)，而c嘲。

+嘲(a。

+孚)+cos(口。

+挈)=一．一÷一．一争眦。

一÷c嘲。

+争i na。

=0。

故而哥+面哥+面哥=詈为定值．推广1若椭圆方程为与+告=l(口>6>o)，口DP．。

P2，^为椭圆上三个不同的点，点，(c，O)为其右焦点，且￡JP，，P2=￡B矾=￡P3即。

，则南+南+南为定值．分析设右顶点为A，￡刖喝=a(o≤口<号仃)，则￡A，P2=a+争，￡A吧=n+争，可得I肥I-(等一c一旧I～)“㈧，2’3)，即南=罕(江l，2，3)，。

．¨．1l l因此南+南+高；挚+迎型哮幽．由c蝴+cos(a+詈仃)．-c∞(a+÷仃)=o。

得南+南+南=静推广2若椭圆方程为冬+各=l(口>6>o)，口D点F(c，0)为其右焦点，P。

关于解析几何内容的备考探究作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2023年第12期［摘要］解析几何复习备考阶段，需要对其知识与方法进行梳理，回归教材基础，归纳简算方法，开展一题多解，总结二级结论. 研究者对解析几何内容进行综合分析，结合高考提出四点复习建议，以期对教师教学与学生备考有所帮助.［关键词］解析几何；备考；教材；简算；多解；结论综合分析解析几何是高中数学的重难点知识，在高考中有极为重要的地位，常作为压轴题出现，考查学生的综合能力. 小题中以基本概念和性质为主，大题中则更关注其综合性，如弦长问题、存在性问题、定值定点问题等. 备考探究中需要对解析几何知识进行整合，明确高考大纲及常规考查方式，下面为新课标与高考大纲对解析几何复习与考查的要点的整合.（1）结合平面直角坐标系，认识直线、曲线的几何特征，建立对应的标准方程.（2）运用代数法认识几何图形的性质，了解直线与曲线之间的位置关系，运用几何法解决数学问题、实际问题，感悟其中的数形结合思想.（3）根据几何问题的图形特点，利用代数语言将几何问题代数化，通过分析几何问题及其图象，探索问题解决思路.（4）运用代数法分析几何图形，推导常用的结论，并对代数相关结论进行合理的几何剖析，构建几何与代数的对应关系.（5）探究并重视解析几何中的数学思想，注重提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模和数学抽象等素养.复习建议关于解析几何的备考探究，要注重学生知识与能力的全面提升. 实际教学中要围绕高考考点，梳理整合重点知识，明确教学目标. 总体上可细分为三大要点：一是直线的倾斜角、斜率及方程的整合；二是曲线的定义、标准方程、几何性质的整合；三是构建直线与曲线的知识联系，探求综合性问题的破解方法. 下文围绕解析几何经典问题，对解析几何备考内容进行探索，提出相应的备考建议.1. 追本溯源，夯实基础高考经典问题为复习备考提供了指向，考题实际上源于教材又高于教材，常以教材习题为背景而整合命制. 因此复习备考时可对考题进行溯源探究，关注其命制过程，总结解析思路、破解方法.例1 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若AF=BF，则AB=（）溯源：本题为2022年高考全国乙卷理数第5题，为抛物线焦点问题. 实际上，本题与人教A版选择性必修第一册3.3.2中的例4相似. 本题解析的关键是将线段相等（AF=BF）转化为两点（点A，B）间的距离.备考建议：复习备考要引导学生回归教材，重视教材的核心价值；要认真研究并立足教材中的例题和习题，但不能拘泥于教材；要适度开发教材，引领学生再理解例题和习题、知识内容、数学思想等，使学生从问题中突破，在解题中升华；要让学生注意知识间的内在关系，帮助学生完善知识体系.2. 优化过程，强调运算“运算过程烦琐、复杂”是解析几何的特征，对学生的运算能力有较高要求. 学生在考场上需要快速确定解题思路，找到优化过程的方法. 因此，复习备考要引导学生构建运算过程，优化运算方法，总结运算技巧，强化运算训练，不断提升学生的运算能力.（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点.解析本题为一道解析几何综合题，第（2）问为核心之问，其证明过程中的运算较为烦琐，需要优化运算方法、关注简算技巧.①简算技巧1——整体代入.②简算技巧2——因式分解.（**）式为含参方程，需要对其进行因式分解，是解题的关键和难点之一.（**）式可先通分，再整理为4k2+8km+3m2-2m-1=0，将两个参数中的一个视为未知量，另一个视为常数，然后对其进行因式分解.备考建议：“过程优化，简算推导”是解析几何问题分析运算的关键，有助于考场节约时间，提高解题效率. 解析几何问题中的简算技巧有很多，教学中要指导学生总结归纳，充分掌握简算技巧的精髓. 在此总结常用的四种：（1）设而不求，整体代入. 该技巧常用于直线方程与曲线方程联立推导中，如上述问题利用该技巧将向量积转化为含参方程.（2）活用定义，巧用性质. 对于部分解析几何问题，要灵活运用其定义和性质，如涉及解析几何焦点、准线的问题，可以尝试直接运用对应定义转化距离条件.（3）借用几何性质. 数形结合是研究解析几何的重要方法，对于其中的运算问题，必要时可以借用对应的几何性质，直接推导结论. 如中位线的几何意义、向量积为零的几何意义等.（4）主元設定，灵活转换. 该技巧常用于含有两个参数的方程的简算，对于方程中的两个未知数，可以设定主元，灵活转换，对方程进行因式分解. 如上述简算技巧2中的因式分解，方便求解参数关系.3. 一题多解，思路拓展复习备考需要注意解析几何问题的多解探索，帮助学生拓展思路. 既需要注重通性通法，还需要重视一题多解的探究. 一题多解的探究可以从两个方面进行：一是探究多解的方法；二是探究多解的思路构建.（1）求C的方程；解析本题是一道解析几何综合题，第（2）问为核心之问，求解两直线的斜率之和，可采用不同的方法来设定直线的方程.方法1：设直线的点斜式方程.方法2：设直线的斜截式方程.方法3：设双直线二次曲线系方程.备考建议：开展一题多解的探究是复习备考的重要环节. 在该环节中，要指导学生完成两方面的内容：一是总结类型题的常规解法，即通性通法；二是在此基础上开展多解思路、多解视角、多解方法、多解技巧等的分析.总结归纳，活用二级结论面对圆锥曲线问题时，活用一些二级结论可以简化解题过程，提高解题效果. 因此复习备考时应整理一些关于圆锥曲线的二级结论，包括两点：一是二级结论的内容，二是二级结论的类型.备考建议：圆锥曲线的二级结论较多，涉及众多知识内容，教学探究中需要引导学生注意两点：一是总结归纳二级结论的类型；二是探索证明二级结论，挖掘其背后的性质原理，深刻理解其内涵.圆锥曲线的二级结论类型丰富，包括与“焦点三角形”面积相关的二级结论，与“中心弦”性质相关的二级结论，与“中点弦”性质相关的二级结论，与“焦点弦”性质相关的二级结论.写在最后解析几何的知识内容较多，涉及众多考点，复习备考阶段需要对考点内容进行梳理. 教学中教师要围绕高考大纲引导学生夯实知识基础，总结归纳方法，拓展解题思维. 上文所提的四大备考建议是基于考向的总结，教学时可结合考题进行强化，促进学生知识与能力的全面提升.。

158教育版次次绝境重生，在攻坚克难中能不断从胜利走向胜利，根本原因就在于不管是处于顺境还是逆境，我们党始终坚守为中国人民谋幸福、为中华民族谋复兴这个初心和使命！在新时代下的今天，我们仍然要不忘初心，牢记使命，为实现两个一百年奋斗目标和中华民族伟大复兴的中国梦而努力奋斗！谢谢指导，谢谢合作！教学反思：亮点：重难点突破较好，捋清了中国共产党开辟革命新道路的来龙去脉，线索清晰；课堂气氛活跃，学生思维在动，小组合作讨论，自主、探究、合作学习明显。

不足：时间把握上，第一、三子目可更紧凑些，以便更集中突破重难点——第二子目。

（单位：山东省微山县第一中学）内容摘要：思维的基本品质有：广阔性，深刻性，敏捷性，灵活性，独立性，批判性。

通过具体案例展示一题多解和一题多变，促进知识与方法的迁移，促进学生思维的多元化，提高思维的广阔性、灵活性和深刻性。

关键词： 一题多解　一题多变　思维品质“一题多解”是通过不同的思维途径，采用多种解题方法解决同一个问题的教学方法。

在教学中，教师引导学生从不同的方面不同的角度去分析问题解决问题，可以较好地激活学生的思维潜能，充分调动学生脑海中储存的大量信息，在探求问题的解决方案中，使学生建立起解题的思维网络，启迪学生的发散思维能力。

一题多解，有利于拓宽学生思维的广阔性，提高思维的灵活性和深刻性，培养学生的辩证思维能力，提升思维的品质。

的取值范围。

求满足实数例y x y x y x +=+,134,122（略）在这个问题的解决中，引导学生从解析几何，导数，三角函数，柯西不等式，向量等角度寻求解法，开拓了解题思路，提高了解决问题的能力，最大限度地挖掘学生已有的知识潜能。

学生对比七种解法，找到适合自己的方法，优化了自己的解题策略。

通过认识不同解法的差异和联系，加深对概念、规律的理解和应用，内化认知结构，完善知识系统。

例2:已知函数f(x)=x 3-3ax-bx，其中a，b 为实数，若f(x)在区间[-1，2]上为减函数，且b=9a,求a 的取值范围。

例谈一题多解在解析几何中的应用于庆丽(江苏省宿迁市泗洪姜堰高级中学㊀２２３９００)摘㊀要:解析几何在高考中不仅考查学生的思维能力而且也考查学生的运算能力.在做解几题目时学生有畏难情绪ꎬ可以引导学生从多角度来思考解几的解题方法ꎬ运算技巧ꎬ进而对各种解法进行比较分析ꎬ寻求最优解.通过一题多解培养学生的发散思维能力和运算能力.关键词:思维能力ꎻ运算能力ꎻ一题多解ꎻ最优解中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００７４－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:于庆丽(１９８４.１１－)ꎬ女ꎬ江苏人ꎬ中小学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀新课程视野下高考命题秉持素养立意ꎬ多以策略性知识为背景ꎬ考查学生必备知识㊁关键能力㊁学科素养和核心价值ꎬ就数学而言最核心的价值就是发展学生的数学素养和提高解决问题的能力.数学名家说过ꎬ问题是数学的心脏ꎬ思维是数学的灵魂ꎬ而方法则是数学的行为ꎬ从一个经典的ꎬ简明的数学问题出发ꎬ把数学冰冷的美丽转化成数学火热的思考.通过多角度ꎬ全方位的观察㊁感知㊁分析㊁尝试㊁提炼㊁综合ꎬ使得数学的思考从联系㊁到联通ꎬ再到思维的有效对接ꎬ能够很好地优化解题思路ꎬ提升分析问题解决问题的能力.近几年解析几何在高考中对计算能力的考查逐年加大ꎬ而好的解法能够简化运算ꎬ所以在平时教学中要注重一题多解在解析几何中的应用ꎬ可以从不同的角度去思考和分析问题ꎬ在多种解法中去寻求通解和优解.例１㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右顶点分别为Ａ㊁Ｂꎬ离心率为１２ꎬ点Ｐ１ꎬ３２æèçöø÷为椭圆上一点.(１)求椭圆Ｃ的标准方程ꎻ㊀(２)如图ꎬ过点Ｃ(０ꎬ１)且斜率大于１的直线ｌ与椭圆交于ＭꎬＮ两点ꎬ记直线ＡＭ的斜率为ｋ１ꎬ直线ＢＮ的斜率为ｋ２ꎬ若ｋ１＝２ｋ２ꎬ求直线ｌ斜率的值.分析㊀(１)根据已知条件ꎬ建立方程组ꎬ求出ａꎬｂꎬ即可得到椭圆的标准方程.(２)设出直线ｌ方程为ｙ＝ｋｘ＋１ꎬＭ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ将直线ｌ方程与椭圆方程联立ꎬ求出ｘ１＋ｘ２和ｘ１ｘ２ꎬ根据条件求出ｋ１和ｋ２ꎬ代入ｋ１＝２ｋ２化简计算ꎬ得到关于ｋ的方程ꎬ解方程求出ｋ的值.解析㊀(１)因为椭圆的离心率为１２ꎬ所以ａ＝２ｃ.又因为ａ２＝ｂ２＋ｃ２ꎬ所以ｂ＝３ｃ.所以椭圆的标准方程为ｘ２４ｃ２＋ｙ２３ｃ２＝１.又因为点Ｐ１ꎬ３２æèçöø÷为椭圆上一点ꎬ所以１４ｃ２＋９４３ｃ２＝１ꎬ解得ｃ＝１.所以椭圆的标准方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１.(２)解法一㊀(通过两边平方转化成韦达定理形式)由椭圆的对称性可知直线ｌ的斜率一定存在ꎬ设其方程为ｙ＝ｋｘ＋１.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２).联立直线ｌ与椭圆的方程组ｙ＝ｋｘ＋１ꎬｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ{消去ｙ可得(３＋４ｋ２)ｘ２＋８ｋｘ－８＝０.所以由根与系数关系可知ｘ１＋ｘ２＝－８ｋ３＋４ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－８３＋４ｋ２.因为ｋ１＝ｙ１ｘ１＋２ꎬｋ２＝ｙ２ｘ２－２ꎬ且ｋ１＝２ｋ２ꎬ所以ｙ１ｘ１＋２＝４７２ｙ２ｘ２－２.即ｙ２１ｘ１＋２()２＝４ｙ２２ｘ２－２()２①.又因为Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)在椭圆上ꎬ所以ｙ２１＝３４(４－ｘ２１)ꎬｙ２２＝３４(４－ｘ２２)②.将②代入①可得:２－ｘ１２＋ｘ１＝４２＋ｘ２()２－ｘ２ꎬ即３ｘ１ｘ２＋１０(ｘ１＋ｘ２)＋１２＝０.所以３－８３＋４ｋ２æèçöø÷＋１０－８ｋ３＋４ｋ２æèçöø÷＋１２＝０ꎬ即１２ｋ２－２０ｋ＋３＝０.解得ｋ＝１６或ｋ＝３２ꎬ又因为ｋ>１ꎬ所以ｋ＝３２.解法二㊀(通解)由椭圆的对称性可知直线ｌ的斜率一定存在ꎬ设其方程为ｙ＝ｋｘ＋１.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２).联立直线ｌ与椭圆的方程组ｙ＝ｋｘ＋１ｘ２４＋ｙ２３＝１{ꎬ消去ｙ可得(３＋４ｋ２)ｘ２＋８ｋｘ－８＝０.所以由根与系数关系可知ｘ１＋ｘ２＝－８ｋ３＋４ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－８３＋４ｋ２.因为ｋ１＝ｙ１ｘ１＋２ꎬｋ２＝ｙ２ｘ２－２ꎬ且ｋ１＝２ｋ２ꎬ所以ｙ１ｘ１＋２＝２ｙ２ｘ２－２ꎬ得(ｋｘ１＋１)(ｘ２－２)＝２(ｋｘ２＋１)(ｘ１＋２)ꎬｋｘ１ｘ２＋(２ｋ＋２)(ｘ１＋ｘ２)＋(２ｋ－３)ｘ２＋６＝０ꎬ(２ｋ－３)ｘ２＝－２(２ｋ－３)２４ｋ２＋３.①当２ｋ－３ʂ０ꎬｘ２＝６－４ｋ４ｋ２＋３ꎬｘ１＝－８ｋ４ｋ２＋３－６－４ｋ４ｋ２＋３＝－４ｋ－６４ｋ２＋３ꎬｘ１ｘ２＝６－４ｋ４ｋ２＋３ －４ｋ－６４ｋ２＋３＝－８４ｋ２＋３ꎬ解得ｋ＝ʃ１２.ȵｋ>１不满足题意ꎬ舍去.②当２ｋ－３＝０时ꎬｋ＝３２ꎬ－８ｋ３＋４ｋ２＋(２ｋ＋２)(－８ｋ)３＋４ｋ２＋６＝２(２ｋ－３)２３＋４ｋ２＝０ꎬʑｋ＝３２满足题意.解法三㊀(椭圆第三定义转化ｋＭＡｋＭＢ＝－ｂ２ａ２)由ｋ２ ｋＡＮ＝ｙ２ｘ２＋２ｙ２ｘ２－２＝－３４ꎬｋ＝２ｋ２ꎬʑｋ１ ｋＡＮ＝－３２.ｙ１ｘ１＋２ ｙ２ｘ２＋２＝－３２ꎬ２(ｋｘ１＋１)(ｋｘ２＋１)＝－３(ｘ１＋２)(ｘ２＋２)ꎬ(２ｋ２＋３)ｘ１ｘ２＋(２ｋ＋６)(ｘ１＋ｘ２)＋１４＝０.将ｘ１＋ｘ２＝－８ｋ３＋４ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－８３＋４ｋ２代入得４ｋ２－８ｋ＋３＝０ꎬ解得ｋ＝３２或ｋ＝１２.ȵｋ>１ꎬʑｋ＝３２.解法四㊀(将直线ＡＭ与椭圆方程联立ꎬ解出Ｍ㊁Ｎ)㊀设直线ＡＭ方程为ｙ＝ｋ１(ｘ＋２)ꎬ与椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ联立消ｙ得(３＋４ｋ２１)ｘ２＋１６ｋ２１ｘ＋１６ｋ２１－１２＝０ꎬ得Ｍ(６－８ｋ２１３＋４ｋ２１ꎬ１２ｋ１３＋４ｋ２１).同理ꎬ解得Ｎ(８ｋ２２－６３＋４ｋ２２ꎬ－１２ｋ２３＋４ｋ２２).ʑｋＭＮ＝１２ｋ１３＋４ｋ２１＋１２ｋ２３＋４ｋ２２６－８ｋ２１３＋４ｋ２１－８ｋ２２－６３＋４ｋ２２＝９ｋ２３－８ｋ２２ꎬ直线ｌ方程为ｙ＝９ｋ２３－８ｋ２２(ｘ－８ｋ２２－６３＋４ｋ２２)－１２ｋ２３＋４ｋ２２.直线ｌ过(０ꎬ１)点ꎬ将(０ꎬ１)代入上式ꎬ化得８ｋ２２＝３－６ｋ２代入ｋＭＮ得ｋＭＮ＝９ｋ２６ｋ２＝３２.㊀㊀参考文献:[１]陈小波.挖掘例题的育人价值ꎬ发展学生的核心素养[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１９(４):６９.[２]猿辅导高中数学教研组.解析几何满分之路[Ｍ].天津:天津人民出版社ꎬ２０１９.[责任编辑:李㊀璟]５７。

[资料]例谈高中数学一题多解和一题多变的意义例谈高中数学一题多解和一题多变的意义杨水长摘要:高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化～融会贯通～而且可以开阔思路～培养学生的发散思维和创新思维能力～从而达到提高学生的学习兴趣～学好数学的效果。

关键词:一题多变一题多解创新思维数学效果很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不4好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬5cosα= 着头皮学.如何才能学好数学,俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以32使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得1,,cos5sinα== 数学越来越枯燥。

而在第三象限时: 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学4习兴趣和数学思维能力。

根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可5cosa=- 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取3一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。

下面举例说5sina=- 明: 分析:利用比例的性质和同角三角函数关系式，3解此题更妙:,3sin4例题: 已知tanα= ,求sinα,cosα的值 4cos,分析:因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们法三tanα= = 之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式sin,,cos和方程解此题:43,3sin?=sin,,cos4cos,法一根据同角三角函数关系式tanα= = ，43且sina2α +cos2α =1。

?= = ?16422,,，sincos525两式联立，得出:cos2α=,cosα= 或者22，4333434555cosα= - ;而sinα=或者sinα=- 。

55分析:上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同?sinα=，cosα= 角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接34求解就简洁些:55或sinα=-，cosα=-3 分析: 上面从代数法角度解此题，如果单独考4法二tanα=:α在第一、三象限虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。

２０２３年９月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀开展 一题多解 ,探究 一题多变一道解析几何题的破解◉江苏省海安高级中学㊀朱函颍㊀㊀摘要: 一题多解 ,可以开阔解题思路㊁发散学生思维; 一题多变 ,可以拓展数学知识㊁聚合学生思维．合理解题探究与变式拓展可以很好提升解题效益,避免题海战术．结合一道抛物线问题实例,通过 一题多解 与 一题多变 ,在研究中寻找通法,在探究中升华能力,促使学生形成良好的数学品质．关键词:抛物线;准线;直线;斜率;变式㊀㊀根据现代思维的科学研究,问题是展开思维与应用的起点, 疑 是根本, 解疑 是目标,最容易引起定向探究反射与问题的深入思考．而在数学教学与数学学习过程中,更要合理培养与形成探究意识,从问题的内涵㊁问题的解法㊁问题的深入与问题的探究等多方面入手,合理拓展思维的深度与广度,进行必要合理创新应用,从而形成良好的数学品质．１问题呈现问题㊀ 燕博园２０２３届高三年级综合能力测试(C A T)数学(新高考Ⅰ卷)试卷 已知抛物线y２＝a x 的焦点为F,准线l交x轴于点Q,过点F的直线交抛物线于M,N两点,则直线Q M与直线Q N的斜率之和为．该题以抛物线为问题场景,对直线与抛物线的位置关系加以合理创设．借助过焦点的动直线的变化,以 动 态创设场景,利用两直线的斜率之和为常数,以 静 态形式设问,巧妙融合解析几何与平面几何中的相关知识,难度中等．利用圆锥曲线这一主干知识,抓住直线与圆锥曲线位置关系这一热点问题,合理创设,巧妙 动 与 静 变化, 数 与 形 融合,构建一幅完美的画卷．实际破解问题时,抓住问题内涵与实质,从问题根本入手,可以借助解析几何思维㊁平面几何思维与特殊情况思维等来展开,从不同的技巧方法视角来切入,实现问题的巧妙转化与应用．２问题破解２．１通性通法方法１:解析几何思维法．解析:依题知,焦点F(a４,０),准线方程为x＝－a４,Q(－a４,０)．设过焦点F的直线方程为x＝m y＋a４,M(x１,y１),N(x２,y２)．联立x＝m y＋a４,y２＝a x,{消去参数x,整理可得y２－a m y－a２４＝０,则y１＋y２＝a m,y１y２＝－a２４．于是有㊀k Q M＋k Q N＝y１x１＋a４＋y２x２＋a４＝x１y２＋x２y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝(my１＋a４)y２＋(m y２＋a４)y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２my１y２＋a２(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２mˑ(－a２４)＋a２ˑa m(x１＋a４)(x２＋a４)＝０．所以直线Q M与直线Q N的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中,最基本的 通性通法 就是解析几何思维法．通过设置相关的点的坐标㊁直线的方程㊁圆锥曲线的方程等,联立直线与圆锥曲线方程,结合函数与方程思维来进一步分析与转化,进而实现问题的解决．解析几何思维法的缺点之一就是数学运算量大,它也是制约部７７Copyright©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀分学生深入分析与应用的一个重要因素．２．２数形结合法方法２:平面几何思维法．图１解析:不失一般性,如图１所示,过M ,N 两点分别作准线l 的垂线,垂足分别为A ,B ,由于M A ʊF Q ʊN B ,因此可得|M F ||N F |＝|A Q ||B Q |．根据抛物线的定义,可得|M A |＝|M F |,且|N B |＝|N F |,则|M A ||N B |＝|A Q ||B Q |,可得әM A Q ʐәN B Q ,于是øM Q A ＝øN Q B ,所以øM Q F ＝øN Q F ．所以直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补,即直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:回归曲线的本质,结合平面几何图形的基本性质与特征,数形结合,逻辑推理,这是解决解析几何综合应用问题比较常用的一种技巧与方法,也是平面几何思维法处理的关键．２．３巧技妙法方法３:特殊情况法．解析:当过点F 的直线垂直于x 轴时,根据抛物线y ２＝a x 关于x 轴对称,可知点M ,N 关于x 轴对称,则知直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补．所以直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:结合矛盾的普遍性寓于特殊性之中,通过填空题这一特殊形式的设置,借助 动 直线在运动变化过程中的某一特殊情况,以特殊代替一般,又从特殊回归到一般,实现解决问题的 巧技妙法 ．特殊思维法在解决解析几何 运动 问题中经常用到,借助点㊁直线㊁角或相关元素的运动变化情况,以特殊代替一般,实现问题的普遍性与特殊性的辩证转化．３变式拓展３．１类比拓展圆锥曲线中的不同曲线之间具有一定的相似性与可类比性,在以上抛物线背景下,改变圆锥曲线的类型以及对应曲线的场景,借助其焦点与相应准线的位置关系,也有类似的变式问题．变式１㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)变式２㊀已知双曲线C :x ２a ２－y ２b ２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)以上两个变式问题的解析过程,可以参照原问题的方法１㊁方法３来展开,这里不多加赘述．当然,也可以将问题转化为探求两直线倾斜角的关系问题(两直线的倾斜角互补)进行探究．３．２逆向拓展在解题研究中,逆向思维也是变式拓展的一种基本思维方式．借助问题题设条件与结论之间的关系,通过数学思维的逆向操作与应用,合理加以探究与拓展,经常会有不错的收获．变式３㊀已知抛物线y ２＝a x 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式４㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式５㊀已知双曲线C :x ２a ２－y２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式３~５的答案为:(－a ４,０),(a ２c ,０),(a２c,０)．以上三个变式问题的解析过程也可以参照原问题的方法１．４教学启示在解决一些典型的数学综合应用问题时,要合理引导学生深入挖掘,适当探究拓展,充分掌握问题的本质与内涵,剖析对应的数学基础知识与数学基本能力,从而实现 一题多解 一题多研 一题多变 ,不断提升与拓展破解数学问题的基本技能与策略,提高数学思维品质的变通性,真正达成 一题多练 一题多得 ．同时,有效调动学生数学解题的积极主动性与参与性,合理辨析概念㊁公式等的异同,深刻反思并有效拓展,努力培养发现问题的能力与深入质疑问题的探究精神．Z８７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

一题多解与一题多变一题多解：开拓学生解题思路，沉淀学生的严谨思维；一题多变：引导学生知识联系，培养学生的发散思维。

在高中数学教学中，对例题的讲解，要做到一题多解和一题多变。

也就是先要做到从不同的角度进行分析，用不同的方法来解决问题，这样能够开拓学生的解题思路，培养学生分析问题和解决问题的能力。

还要进行拓展廷伸，使学生掌握知识间的联系，培养学生的发散思维。

问题一：设AB 是抛物线px y 22=的弦，O 为原点，若OA ⊥OB ，则直线AB 恒过定点。

证明之。

分析：1、若过定点，则定点应在何处？——根据对称性，应可猜想到定点应在x 轴上。

2、怎样利用已知条件？ 主要是OA ⊥OB 的作用：①1-=⋅OB OAk k②设()()2211,,y x 、B y x A，则02121=+y y x x3、可从那些方面入手？ ①从设点的坐标入手由点A 、B 在抛物线上，可设点A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a p a ,22、B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛b p b ,22， ②从设直线AB 的方程入手1）设直线AB 的方程为x=my+b 2）设直线AB 的方程为ax+by=1 ③从OA ⊥OB 入手 设OA 的斜率为k ，则OB 的斜率为k1- 方法一：设A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a p a ,22、B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛b p b ,22，则OA 、OB 的 斜率分别为a p 2、bp 2，由OA ⊥OB 得：24p ab -=，又AB 的斜率为∶ba pk +=2，∴AB 方程为∶ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-p a x b a p a y 222，即()p x b a py 22-+=， 显然AB 过定点（2p ，0）。

ABO方法二∶设直线AB 的方程为x=my+b ，（注意这样设直线方程有两大优点：①不必考虑斜率不存在，②代入消x 简便），代入抛物线的方程消x 得：0222=--pb mpy y又设A ()11,y x 、B ()22,y x ，则pb y y 221-=，又,2121px y =,2222px y = ∴()()222222121424b ppb py y x x =-==，由OA ⊥OB 得02121=+y y x x ，∴022=-pb b，∵b ≠0，∴b=2p ，即AB 的方程为x=my+2p ，显然AB 过定点（2p ，0）。