解析几何一题多变--转化.pdf

1.给学生分宿舍，每间住4人，剩19人无宿舍住；每间住6人，有一间宿舍住不满。

（1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组为：（2）可能有多少间宿舍？多少名学生？你得到了几个解？它们都符合题意吗？解：1、由题意可得学生人数是4x+19人，每间住6人时，没住满的房间中的人数是4x+19-6(x-1)人，由题意可得0<4x+19-6(x-1)<62、把0<4x+19-6(x-1)<6化简得， 0<25-2x<6, 解得9.5<X<12.5因为X是整数，所以X=10，或11，或12。

当X=10时，4x+19=59人当X=11时，4x+19=63人当X=12时，4x+19=67人答：有10间宿舍，59名学生或有11间宿舍，63名学生或有12间宿舍，67名学生。

都符合题意。

2.如图，已知D、E在BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE. （本题来自《几何》第2册69页例3）思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。

其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH. 思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。

其通性是"全等三角形对应边相等"。

思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证3. 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．已知：如图1，在△ABC 中，AD=BD=CD ．求证：△ABC 是直角三角形．证法1 如图1，利用两锐角互余．∵AD=CD ，CD=BD ，∴∠1=∠A ，∠2=∠B 。

问题2：设椭圆()012222>>=+b a by a x C :过点()1,2M，且左焦点为()0,2-F .（1） 求椭圆C 的方程；（2） 当过点)1,4(P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点B A ,时，在线段AB 上取点Q ，⋅=⋅.证明：点Q 总在定直线上.解答：第（1）题易得椭圆方程为12422=+y x （过程略）；主要第（2）题证明如下：如图，设()()()002211,,,,,y x Q y x B y x A ，由三角形的相似得：2210144x x x x x x --=--⇔=⇔=化简得：()082)(4021210=--++x x x x x x ()*现设直线(),41-=-x k y （k 必存在）代入椭圆方程12422=+y x ， 得：()()021632416212222=--+--+k k x k kx k由韦达定理，得：222122212121632,21416kk k x x k k k x x +--=+-=+ 代入()*式，化简得：2140++=k k x ，代入直线方程，得：2260++-=k k y 两式联立，消去k ，得：02200=-+y x ， 即点()o y x Q ,0在定直线022=-+y x 上，得证.变1：设椭圆1:2222=+b y a x C ，当过点()n m P ,（其中1,0222222≠+≠+bn a m n m ）的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点B A ,时，在线段AB 上取点Q= 证明：点Q 在定直线122=+bnya mx 上. 变2：设双曲线1:2222=-b y a x C ，过点()n m P ,（其中1,0222222≠-≠+bn a m n m ）的动直线l 与双曲线C 相交于两不同点B A ,，在线段AB 上取点Q= 证明：点Q 在定直线122=-b nya mx 上. 证明：这两个命题可以一起证。

例谈一题多解在解析几何中的应用于庆丽(江苏省宿迁市泗洪姜堰高级中学㊀２２３９００)摘㊀要:解析几何在高考中不仅考查学生的思维能力而且也考查学生的运算能力.在做解几题目时学生有畏难情绪ꎬ可以引导学生从多角度来思考解几的解题方法ꎬ运算技巧ꎬ进而对各种解法进行比较分析ꎬ寻求最优解.通过一题多解培养学生的发散思维能力和运算能力.关键词:思维能力ꎻ运算能力ꎻ一题多解ꎻ最优解中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００７４－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:于庆丽(１９８４.１１－)ꎬ女ꎬ江苏人ꎬ中小学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀新课程视野下高考命题秉持素养立意ꎬ多以策略性知识为背景ꎬ考查学生必备知识㊁关键能力㊁学科素养和核心价值ꎬ就数学而言最核心的价值就是发展学生的数学素养和提高解决问题的能力.数学名家说过ꎬ问题是数学的心脏ꎬ思维是数学的灵魂ꎬ而方法则是数学的行为ꎬ从一个经典的ꎬ简明的数学问题出发ꎬ把数学冰冷的美丽转化成数学火热的思考.通过多角度ꎬ全方位的观察㊁感知㊁分析㊁尝试㊁提炼㊁综合ꎬ使得数学的思考从联系㊁到联通ꎬ再到思维的有效对接ꎬ能够很好地优化解题思路ꎬ提升分析问题解决问题的能力.近几年解析几何在高考中对计算能力的考查逐年加大ꎬ而好的解法能够简化运算ꎬ所以在平时教学中要注重一题多解在解析几何中的应用ꎬ可以从不同的角度去思考和分析问题ꎬ在多种解法中去寻求通解和优解.例１㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右顶点分别为Ａ㊁Ｂꎬ离心率为１２ꎬ点Ｐ１ꎬ３２æèçöø÷为椭圆上一点.(１)求椭圆Ｃ的标准方程ꎻ㊀(２)如图ꎬ过点Ｃ(０ꎬ１)且斜率大于１的直线ｌ与椭圆交于ＭꎬＮ两点ꎬ记直线ＡＭ的斜率为ｋ１ꎬ直线ＢＮ的斜率为ｋ２ꎬ若ｋ１＝２ｋ２ꎬ求直线ｌ斜率的值.分析㊀(１)根据已知条件ꎬ建立方程组ꎬ求出ａꎬｂꎬ即可得到椭圆的标准方程.(２)设出直线ｌ方程为ｙ＝ｋｘ＋１ꎬＭ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ将直线ｌ方程与椭圆方程联立ꎬ求出ｘ１＋ｘ２和ｘ１ｘ２ꎬ根据条件求出ｋ１和ｋ２ꎬ代入ｋ１＝２ｋ２化简计算ꎬ得到关于ｋ的方程ꎬ解方程求出ｋ的值.解析㊀(１)因为椭圆的离心率为１２ꎬ所以ａ＝２ｃ.又因为ａ２＝ｂ２＋ｃ２ꎬ所以ｂ＝３ｃ.所以椭圆的标准方程为ｘ２４ｃ２＋ｙ２３ｃ２＝１.又因为点Ｐ１ꎬ３２æèçöø÷为椭圆上一点ꎬ所以１４ｃ２＋９４３ｃ２＝１ꎬ解得ｃ＝１.所以椭圆的标准方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１.(２)解法一㊀(通过两边平方转化成韦达定理形式)由椭圆的对称性可知直线ｌ的斜率一定存在ꎬ设其方程为ｙ＝ｋｘ＋１.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２).联立直线ｌ与椭圆的方程组ｙ＝ｋｘ＋１ꎬｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ{消去ｙ可得(３＋４ｋ２)ｘ２＋８ｋｘ－８＝０.所以由根与系数关系可知ｘ１＋ｘ２＝－８ｋ３＋４ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－８３＋４ｋ２.因为ｋ１＝ｙ１ｘ１＋２ꎬｋ２＝ｙ２ｘ２－２ꎬ且ｋ１＝２ｋ２ꎬ所以ｙ１ｘ１＋２＝４７２ｙ２ｘ２－２.即ｙ２１ｘ１＋２()２＝４ｙ２２ｘ２－２()２①.又因为Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)在椭圆上ꎬ所以ｙ２１＝３４(４－ｘ２１)ꎬｙ２２＝３４(４－ｘ２２)②.将②代入①可得:２－ｘ１２＋ｘ１＝４２＋ｘ２()２－ｘ２ꎬ即３ｘ１ｘ２＋１０(ｘ１＋ｘ２)＋１２＝０.所以３－８３＋４ｋ２æèçöø÷＋１０－８ｋ３＋４ｋ２æèçöø÷＋１２＝０ꎬ即１２ｋ２－２０ｋ＋３＝０.解得ｋ＝１６或ｋ＝３２ꎬ又因为ｋ>１ꎬ所以ｋ＝３２.解法二㊀(通解)由椭圆的对称性可知直线ｌ的斜率一定存在ꎬ设其方程为ｙ＝ｋｘ＋１.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２).联立直线ｌ与椭圆的方程组ｙ＝ｋｘ＋１ｘ２４＋ｙ２３＝１{ꎬ消去ｙ可得(３＋４ｋ２)ｘ２＋８ｋｘ－８＝０.所以由根与系数关系可知ｘ１＋ｘ２＝－８ｋ３＋４ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－８３＋４ｋ２.因为ｋ１＝ｙ１ｘ１＋２ꎬｋ２＝ｙ２ｘ２－２ꎬ且ｋ１＝２ｋ２ꎬ所以ｙ１ｘ１＋２＝２ｙ２ｘ２－２ꎬ得(ｋｘ１＋１)(ｘ２－２)＝２(ｋｘ２＋１)(ｘ１＋２)ꎬｋｘ１ｘ２＋(２ｋ＋２)(ｘ１＋ｘ２)＋(２ｋ－３)ｘ２＋６＝０ꎬ(２ｋ－３)ｘ２＝－２(２ｋ－３)２４ｋ２＋３.①当２ｋ－３ʂ０ꎬｘ２＝６－４ｋ４ｋ２＋３ꎬｘ１＝－８ｋ４ｋ２＋３－６－４ｋ４ｋ２＋３＝－４ｋ－６４ｋ２＋３ꎬｘ１ｘ２＝６－４ｋ４ｋ２＋３ －４ｋ－６４ｋ２＋３＝－８４ｋ２＋３ꎬ解得ｋ＝ʃ１２.ȵｋ>１不满足题意ꎬ舍去.②当２ｋ－３＝０时ꎬｋ＝３２ꎬ－８ｋ３＋４ｋ２＋(２ｋ＋２)(－８ｋ)３＋４ｋ２＋６＝２(２ｋ－３)２３＋４ｋ２＝０ꎬʑｋ＝３２满足题意.解法三㊀(椭圆第三定义转化ｋＭＡｋＭＢ＝－ｂ２ａ２)由ｋ２ ｋＡＮ＝ｙ２ｘ２＋２ｙ２ｘ２－２＝－３４ꎬｋ＝２ｋ２ꎬʑｋ１ ｋＡＮ＝－３２.ｙ１ｘ１＋２ ｙ２ｘ２＋２＝－３２ꎬ２(ｋｘ１＋１)(ｋｘ２＋１)＝－３(ｘ１＋２)(ｘ２＋２)ꎬ(２ｋ２＋３)ｘ１ｘ２＋(２ｋ＋６)(ｘ１＋ｘ２)＋１４＝０.将ｘ１＋ｘ２＝－８ｋ３＋４ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－８３＋４ｋ２代入得４ｋ２－８ｋ＋３＝０ꎬ解得ｋ＝３２或ｋ＝１２.ȵｋ>１ꎬʑｋ＝３２.解法四㊀(将直线ＡＭ与椭圆方程联立ꎬ解出Ｍ㊁Ｎ)㊀设直线ＡＭ方程为ｙ＝ｋ１(ｘ＋２)ꎬ与椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ联立消ｙ得(３＋４ｋ２１)ｘ２＋１６ｋ２１ｘ＋１６ｋ２１－１２＝０ꎬ得Ｍ(６－８ｋ２１３＋４ｋ２１ꎬ１２ｋ１３＋４ｋ２１).同理ꎬ解得Ｎ(８ｋ２２－６３＋４ｋ２２ꎬ－１２ｋ２３＋４ｋ２２).ʑｋＭＮ＝１２ｋ１３＋４ｋ２１＋１２ｋ２３＋４ｋ２２６－８ｋ２１３＋４ｋ２１－８ｋ２２－６３＋４ｋ２２＝９ｋ２３－８ｋ２２ꎬ直线ｌ方程为ｙ＝９ｋ２３－８ｋ２２(ｘ－８ｋ２２－６３＋４ｋ２２)－１２ｋ２３＋４ｋ２２.直线ｌ过(０ꎬ１)点ꎬ将(０ꎬ１)代入上式ꎬ化得８ｋ２２＝３－６ｋ２代入ｋＭＮ得ｋＭＮ＝９ｋ２６ｋ２＝３２.㊀㊀参考文献:[１]陈小波.挖掘例题的育人价值ꎬ发展学生的核心素养[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１９(４):６９.[２]猿辅导高中数学教研组.解析几何满分之路[Ｍ].天津:天津人民出版社ꎬ２０１９.[责任编辑:李㊀璟]５７。

２０２３年９月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀开展 一题多解 ,探究 一题多变一道解析几何题的破解◉江苏省海安高级中学㊀朱函颍㊀㊀摘要: 一题多解 ,可以开阔解题思路㊁发散学生思维; 一题多变 ,可以拓展数学知识㊁聚合学生思维．合理解题探究与变式拓展可以很好提升解题效益,避免题海战术．结合一道抛物线问题实例,通过 一题多解 与 一题多变 ,在研究中寻找通法,在探究中升华能力,促使学生形成良好的数学品质．关键词:抛物线;准线;直线;斜率;变式㊀㊀根据现代思维的科学研究,问题是展开思维与应用的起点, 疑 是根本, 解疑 是目标,最容易引起定向探究反射与问题的深入思考．而在数学教学与数学学习过程中,更要合理培养与形成探究意识,从问题的内涵㊁问题的解法㊁问题的深入与问题的探究等多方面入手,合理拓展思维的深度与广度,进行必要合理创新应用,从而形成良好的数学品质．１问题呈现问题㊀ 燕博园２０２３届高三年级综合能力测试(C A T)数学(新高考Ⅰ卷)试卷 已知抛物线y２＝a x 的焦点为F,准线l交x轴于点Q,过点F的直线交抛物线于M,N两点,则直线Q M与直线Q N的斜率之和为．该题以抛物线为问题场景,对直线与抛物线的位置关系加以合理创设．借助过焦点的动直线的变化,以 动 态创设场景,利用两直线的斜率之和为常数,以 静 态形式设问,巧妙融合解析几何与平面几何中的相关知识,难度中等．利用圆锥曲线这一主干知识,抓住直线与圆锥曲线位置关系这一热点问题,合理创设,巧妙 动 与 静 变化, 数 与 形 融合,构建一幅完美的画卷．实际破解问题时,抓住问题内涵与实质,从问题根本入手,可以借助解析几何思维㊁平面几何思维与特殊情况思维等来展开,从不同的技巧方法视角来切入,实现问题的巧妙转化与应用．２问题破解２．１通性通法方法１:解析几何思维法．解析:依题知,焦点F(a４,０),准线方程为x＝－a４,Q(－a４,０)．设过焦点F的直线方程为x＝m y＋a４,M(x１,y１),N(x２,y２)．联立x＝m y＋a４,y２＝a x,{消去参数x,整理可得y２－a m y－a２４＝０,则y１＋y２＝a m,y１y２＝－a２４．于是有㊀k Q M＋k Q N＝y１x１＋a４＋y２x２＋a４＝x１y２＋x２y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝(my１＋a４)y２＋(m y２＋a４)y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２my１y２＋a２(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２mˑ(－a２４)＋a２ˑa m(x１＋a４)(x２＋a４)＝０．所以直线Q M与直线Q N的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中,最基本的 通性通法 就是解析几何思维法．通过设置相关的点的坐标㊁直线的方程㊁圆锥曲线的方程等,联立直线与圆锥曲线方程,结合函数与方程思维来进一步分析与转化,进而实现问题的解决．解析几何思维法的缺点之一就是数学运算量大,它也是制约部７７Copyright©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀分学生深入分析与应用的一个重要因素．２．２数形结合法方法２:平面几何思维法．图１解析:不失一般性,如图１所示,过M ,N 两点分别作准线l 的垂线,垂足分别为A ,B ,由于M A ʊF Q ʊN B ,因此可得|M F ||N F |＝|A Q ||B Q |．根据抛物线的定义,可得|M A |＝|M F |,且|N B |＝|N F |,则|M A ||N B |＝|A Q ||B Q |,可得әM A Q ʐәN B Q ,于是øM Q A ＝øN Q B ,所以øM Q F ＝øN Q F ．所以直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补,即直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:回归曲线的本质,结合平面几何图形的基本性质与特征,数形结合,逻辑推理,这是解决解析几何综合应用问题比较常用的一种技巧与方法,也是平面几何思维法处理的关键．２．３巧技妙法方法３:特殊情况法．解析:当过点F 的直线垂直于x 轴时,根据抛物线y ２＝a x 关于x 轴对称,可知点M ,N 关于x 轴对称,则知直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补．所以直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:结合矛盾的普遍性寓于特殊性之中,通过填空题这一特殊形式的设置,借助 动 直线在运动变化过程中的某一特殊情况,以特殊代替一般,又从特殊回归到一般,实现解决问题的 巧技妙法 ．特殊思维法在解决解析几何 运动 问题中经常用到,借助点㊁直线㊁角或相关元素的运动变化情况,以特殊代替一般,实现问题的普遍性与特殊性的辩证转化．３变式拓展３．１类比拓展圆锥曲线中的不同曲线之间具有一定的相似性与可类比性,在以上抛物线背景下,改变圆锥曲线的类型以及对应曲线的场景,借助其焦点与相应准线的位置关系,也有类似的变式问题．变式１㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)变式２㊀已知双曲线C :x ２a ２－y ２b ２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)以上两个变式问题的解析过程,可以参照原问题的方法１㊁方法３来展开,这里不多加赘述．当然,也可以将问题转化为探求两直线倾斜角的关系问题(两直线的倾斜角互补)进行探究．３．２逆向拓展在解题研究中,逆向思维也是变式拓展的一种基本思维方式．借助问题题设条件与结论之间的关系,通过数学思维的逆向操作与应用,合理加以探究与拓展,经常会有不错的收获．变式３㊀已知抛物线y ２＝a x 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式４㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式５㊀已知双曲线C :x ２a ２－y２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式３~５的答案为:(－a ４,０),(a ２c ,０),(a２c,０)．以上三个变式问题的解析过程也可以参照原问题的方法１．４教学启示在解决一些典型的数学综合应用问题时,要合理引导学生深入挖掘,适当探究拓展,充分掌握问题的本质与内涵,剖析对应的数学基础知识与数学基本能力,从而实现 一题多解 一题多研 一题多变 ,不断提升与拓展破解数学问题的基本技能与策略,提高数学思维品质的变通性,真正达成 一题多练 一题多得 ．同时,有效调动学生数学解题的积极主动性与参与性,合理辨析概念㊁公式等的异同,深刻反思并有效拓展,努力培养发现问题的能力与深入质疑问题的探究精神．Z８７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

平面解析几何直线部分基本题型及其转化方法新疆奎屯市一中高级教师 王新敞(833200)在高中数学学习中，有些同学很认真、很刻苦，感觉到对所学习的基本概念已经理解、基本公式已经熟记，平时也做了许多训练题，但是在考试做题时却力不从心，甚至无从下手,考试成绩不理想，与所付出的心血并不成正比。

为什么呢？这是许多教育工作者探究的一个重要课题。

通过我多年来的教育实践和观察，这些同学普遍存在：一是在学习中没有注意总结归纳基本题型及其解法；二是知道老师归纳过的一些题型解法，但不会进行转化。

也就是说，缺乏自我总结、归纳基本题型的意识和能力，对老师归纳过的一些题型解法，没有认真的理解、消化使其成为自己的知识和技能。

本文仅介绍平面解析几何直线部分的一些基本题型及其转化方法如下：1.关于求点P 分有向线段21PP 所成的比λ值的问题一般要根据已知条件画出线段P 1P 2，在P 1P 2所在直线上找到分点P 的位置，并确定λ的正负性，再根据P 1、P 、P 2之间的长度关系计算出21PP P P =λ的值；如果知道三点的横坐标或者纵坐标，用yy y y xx x x PP P P --=--==212121λ公式，只要根据三点坐标计算出λ=xx x x --21或者λ=yy y y --21的值。

例如A 、B 、C 三点共线，点C 分AB所成的比是-3，求B 分AC所成的比。

分析：根据λ值的分布规律如图（一）图(一)由λ= -3知，点C 在AB 的延长线上，且BCAB 2=，所以点B 分AC所成的比λ=BCAB = 2.2.关于判断或证明平面内三点共线问题的一般方法： (1)用yy y y x x x x PP P P --=--==212121λ公式。

只要根据三点坐标分别计算出xx x x --21和yy y y --21的值，若相等则共线，否则不共线；(2)用距离公式。

根据三点坐标分别计算每两点之距，若最大的距离等于另两个较小距离之和则这三点共线，否则不共线；(3)用斜率公式。

专题14 解析几何解题技巧—巧施转化，柳暗花明一．【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法； 4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系； 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。

二．【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0)x y a b b a +=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =3．椭圆的几何性质以22221,(0)x y a b a b+=>>为例(1)范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：长轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，短轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；长轴长12||2A A a =，短轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,01,ce e e a=<<越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆． (5) ,,a b c 的关系：222c a b =-. 4．双曲线的定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c6．双曲线的几何性质以22221,(0,0)x y a b a b-=>>为例(1)范围：,x a x a ≥≤-．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：实轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，虚轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；实轴长12||2A A a =，虚轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,1ce e a=> (5) 渐近线方程b y x a=±. 7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫抛物线的准线. 8．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. (2)离心率1e =. 三．【题型归纳】（一）利用向量转化几何条件 （二）面积条件的转化 （三）弦长的转化 （四）角平分线的转化 四．【题型方法】（一）利用向量转化几何条件例1．如图，已知满足条件3z i i -=（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 上的对应点(),Z x y 的轨迹为圆C （圆心为C ），定直线m 的方程为360x y ++=，过()1,0A -斜率为k 的直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P Q 、两点，M 是弦PQ 中点. （1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直；（2）当PQ =l 的方程；（3）设t AM AN =⋅u u u u r u u u r，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）1x =-或4340x y -+=；（3）t 为定值且5t =- 【解析】（1）证明如下： 因为33z i i -=，所以()22:34C x y +-=，所以圆心()0,3C ，半径2R =；又因为()1,0A -，所以()30301l k -==--且13m k =-，所以1l m k k ⋅=-，所以l 与m 垂直；（2）当直线l 的斜率不存在时，:1l x =-，此时2221=2PQ d R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()244112PQ =⨯-=，所以3PQ =当l 的斜率存在且为k 时，():1l y kx =+，2321k d R k -==+，所以22223PQ R d =-=43k =，此时:4340l x y -+=； 综上：直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=；（3）当直线l 的斜率不存在时，可知：()()51,3,1,,1,03M N A ⎛⎫---- ⎪⎝⎭，所以()50,3,0,3AM AN ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，所以5t AM AN =⋅=-u u u u r u u u r，即5t =-；当直线l 的斜率存在且为k 时，设():1l y k x =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立()()22134y k x x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩可得：()()2222126650k x kk x k k ++-+-+=，所以2122321M x x k k x k +-+==+，()22311M M k ky k x k +=+=+，即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭，所以222133,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭u u u u r ；又由()1360y k x x y ⎧=+⎨++=⎩可得：365,1313k k N k k ---⎛⎫⎪++⎝⎭，所以55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭u u u r ，故()()()()()()()()()222225351131555113113113k k k k k k t AM AN k k k k k k -+-++--=⋅=+==-++++++u u u u r u u u r， 综上可知：t 为定值，且5t =-.练习1．已知1F 、2F 分别是椭圆2214xy +=的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则12PF PF ∈⋅u u u v u u u v _________.【答案】[]2,1-【解析】由椭圆2214x y +=知，焦点1(F，2F ，设(,),22P x y x -≤≤，则()22122221(,),)3384134PF PF x y x x x x y y x ⋅=-⋅-=+-==+---u u u r u u u u r ，22x -≤≤Q ，204x ∴≤≤，故12[2,1]PF PF ⋅∈-u u u r u u u u r，故答案为：[]2,1-练习2．已知椭圆：()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点为()1,0,F M 点的坐标为()0,b ，O 为坐标原点，OMF ∆是等腰直角三角形.（1）求椭圆Γ的方程；（2）经过点()0,2C 作直线AB 交椭圆Γ于,A B 两点，求AOB ∆面积的最大值；（3）是否存在直线l 交椭圆于,P Q 两点，使点F 为PQM ∆的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2（3）43y x =-.【解析】（1）由OMF ∆是等腰直角三角形，可得1,b a ===故椭圆方程为2212x y +=；（2）设过点()0,2C 的直线AB 的方程为2y kx =+，,A B 的横坐标分别为,A B x x ， 将线AB 的方程为2y kx =+代入椭圆方程， 消元可得222(1+2)860,16240k x kx k ++=∆=->，∴232k >， 2286,1212A B A B k x x x x k k∴+=-=++，A B x x ∴-== 令2k t =，则3,2A B x x t >-=令32u t =-，则0,A B u x x >-==（当且仅当2u =时取等号）又AOB ∆面积122A B A B x x x x =⨯⨯-=-，∴△AOB 面积的最大值为2； （3）假设存在直线l 交椭圆于,P Q 两点，且使点F 为PQM ∆的垂心， 设()()1122,,,P x y Q x y ，因为(0,1),(1,0)M F ，所以1PQ k =．于是设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程， 消元可得2234220x mx m ++-=．由>0∆，得23m <，且21212422,33m m x x x x -+=-=, 由题意应有0MP FQ ⋅=u u u r u u u r，所以()()1221110x x y y -+-=，所以()212122(1)0x x x x m m m ++-+-=．整理得222242(1)033m mm m m -⨯--+-=．解得43m =-或1m =． 经检验，当1m =时，PQM ∆不存在，故舍去． ∴当43m =-时，所求直线l 存在，且直线l 的方程43y x =-练习3．已知点12F F 、为椭圆的两个焦点，其中左焦点()13,0F -的坐标为，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，P 为椭圆上一点。

平面几何一题多变在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。

如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。

平面几何一题多变题1、已知，△ABC 中∠ABC=90°，CD ⊥AB, D 为垂足求证：CD 2=AD ·DB1、 图中有几条线段?2、 图中有几个角，是哪几个角？3、 图中有哪几个三角形，请写出来。

4、 图中和∠CAB 相等的是哪些角，和∠CAB 互余的角是哪些角。

5、 △ABC 中，BC 边上的高是哪条线段？△ABC 的垂心是（ ）点。

6、 求证：AC ·BC=AB ·CD7、 求证;DB AD S S CDB ADC ::=∆∆8、求证：△ABC ∽△CDB ∽△ACD9、求证：AC 2=AD ·AB,BC 2=BD ·ABD10、求证：AC 2+BC 2=AB 211、如果AC=2BC,那么5CD=2AB12如果AB=2BD,那么AB 2=5BC 213、求证：(S △ADC )2=S △ABC ·S △BDC14、求证222111BC AC CD += 15、设AB 的中点为M,求证：AC 2-BC 2=2DM ·AB16、已知，△ABC 中∠ABC=90°，CD ⊥AB, D 为垂足 DE ⊥AC 于E,DF ⊥BC 于F ， 求证：（1）ACCF BC CE = (2) AB CF CE CD ••=2, (3) BF:AE=BC 2:AC 2 17、已知，△ABC 中∠ABC=90°，CD ⊥AB, D 为垂足，CE 平分∠BCD 求证：AE 2=AD ·ABC BD E18、已知，△ABC 中∠ABC=90°，CD ⊥AB, D 为垂足，∠BCD=∠BCE,求证BD:DA=CE 2:AE 2CB E19、已知，△ABC 中∠ABC=90°，CD ⊥AB, D 为垂足，AE 平分∠BAC 交BC 于E ， 求证：CE ：EB=CD ：CBC DE F20、已知，△ABC中∠ABC=90°，CD⊥AB, D为垂足，CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F求证：（1）BF·CE= BE·DF（2）AE⊥CF（3）设AE与CD交于Q，则F Q‖BC21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，求证：CE：BC=CF：AC（注意本题和16题有无联系）22、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，求证：EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线23、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，求证：点A到圆O2的切线长和AC相等（A T=AC）24、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，内公切线DO交外公切线EF于点O，求证：OD是两圆半径的比例中项。

２０２４年１月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀一题多解和一题多变:一道有关抛物线焦半径问题的探究∗◉江苏省新沂市第一中学㊀吴玉章㊀苗庆硕㊀㊀抛物线的焦半径问题是抛物线综合问题中的一类特殊类型,其可以联系起抛物线的定义(问题的本质)㊁几何性质( 数 的属性)与几何特征( 形 的特征)㊁焦半径公式(三角形式)等, 串联 起平面解析几何㊁平面几何㊁函数与方程㊁三角函数等众多相关知识,为问题的切入与解决提供较多的思维视角,给问题的解决提供更多的方案与技巧方法,是有效发散数学思维,考查学生 四基 ㊁数学能力以及数学思想方法等方面比较有效的一个重要载体,备受各方关注．１问题呈现问题㊀已知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x 轴的交点为C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A F|＝．此题以抛物线为问题场景,通过设置过准线与x 轴交点的直线l与抛物线交于两点,利用两个角相等来创设定交点问题,进而求解相应焦半径的长度．涉及抛物线的焦半径问题,可以从解析几何的实质入手,利用解析几何思维来合理进行数学运算与分析处理;也可以从平面几何的图形入手,利用平面几何思维进行逻辑推理与分析处理;还可以从焦半径的公式入手,利用三角函数思维来合理数学运算㊁逻辑推理与综合应用等．不同思维视角的切入,都给问题的解决提供了切实可行的技巧与方法,实现问题的巧妙解决．２问题破解２．１解析几何思维解法１:设线法．依题意可得p＝４,则F(２,０),C(－２,０)．根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图１所示．设直线l的方程为x＝m y－２,其中m＞０．设A(x１,y１),B(x２,y２),y１＞y２＞０．图１联立x＝m y－２,y２＝８x,{消去参数x并整理,可得y２－８m y＋１６＝０．利用韦达定理,可得y１＋y２＝８m,y１y２＝１６,则|A B|＝１＋m２|y１－y２|＝１＋m２ ６４m２－６４＝８m４－１,|B C|＝１＋m２|y２|＝１＋m２ y２．由抛物线的定义,可得|A F|＝x１＋p２＝m y１－２＋２＝m y１．由于øA F B＝øC F B,则F B是øA F C的角平分线．由三角形内角平分线定理,得|C F||A F|＝|B C||A B|,即４m y１＝１＋m２ y２８m４－１．整理并化简,可得m y１y２＝３２m２－１,即１６m＝３２m２－１,则m２＝４３,解得m＝２３３．所以y１＋y２＝８m＝１６３３,又y１y２＝１６,解得y１＝４３,则|A F|＝m y１＝２３３ˑ４３＝８．解后反思:设线法是借助解析几何思维处理问题的一种 通性通法 ,成为解决直线与圆锥曲线位置关系问题时首选的一种基本方法．２．２平面几何思维解法２:几何法．依题意可得,p＝４．根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图２所示．过点A,B作抛物线准线的垂线,垂足分别为D,３８∗课题信息:江苏省教育科学 十四五 规划普教重点课题 指向关键能力的高中数学主题单元式教学的实践研究 ,课题编号为B/２０２１/０２/３４;江苏省教研室第十一期立项课题 差异教学在课程基地中应用的实践研究 ,课题编号为２０１５J K１１ＧL O４２．解法探究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀图２E,延长E B交A F于点G．由于E GʊC F,因此øG B F＝øC F B,又øA F B＝øC F B,所以øA F B＝øG B F,可得|B G|＝|F G|．由øA F B＝øC F B,则F B是øA F C的角平分线,利用三角形内角平分线定理可得|A B||B C|＝|A F||C F|．结合抛物线的定义有|A D|＝|A F|,可得|A B||C F|＝|B C| |A D|．由于E GʊC FʊD A,因此|B G||C F|＝|A B||A C|,|B E||A D|＝|B C||A C|．所以有|B G| |A C|＝|B E| |A C|,可得|B G|＝|B E|,又结合抛物线的定义有|B E|＝|B F|,故|B G|＝|F G|＝|B F|,即әB F G是正三角形,从而øB F G＝６０ʎ,可得øA F x＝６０ʎ．利用抛物线的焦半径公式,可得|A F|＝p１－c o sθ＝４１－c o s６０ʎ＝８．解后反思:平面解析几何侧重 数 与 形 的结合与转化,借助代数思维中的数学运算来处理几何图形中的逻辑推理问题等,实现问题的突破与应用．２．３三角函数思维解法３:性质法．依题意可得,p＝４．图３根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图３所示,过点A,B作抛物线的准线的垂线,垂足分别为D,E．设øA F x＝θ,其中θ为锐角．结合øA F B＝øC F B,利用抛物线的焦半径公式可得|A F|＝p１－c o sθ＝p２s i n２θ２,|B F|＝p１－c o s(θ＋π－θ２)＝p１＋s i nθ２．由øA F B＝øC F B知,F B是øA F C的角平分线,则利用三角形内角平分线定理可得|C F||A F|＝|B C||A B|．结合比例性质,可得|C F||A F|＋|C F|＝|B C||A B|＋|B C|＝|B C||A C|．而由E BʊD A,可得|B E||A D|＝|B C||A C|．结合抛物线的定义有|A D|＝|A F|,|B E|＝|B F|,即|B C||A C|＝|B E||A D|＝|B F||A F|,所以|C F||A F|＋|C F|＝|B F||A F|,即pp２s i n２θ２＋p＝p１＋s i nθ２p２s i n２θ２,整理可得s i nθ２－２s i n２θ２＝０．解得s i nθ２＝１２,或s i nθ２＝０(舍去),结合θ为锐角,解得θ＝６０ʎ．所以|A F|＝p１－c o sθ＝４１－c o s６０ʎ＝８．解后反思:抛物线的焦半径三角公式|A F|＝p１－c o sθ(θ为直线A F的倾斜角),是解决与抛物线的焦半径相关问题常用的结论．借助三角函数思维,结合三角函数的相关知识来巧妙综合与应用．３变式拓展３．１同源变式变式１㊀己知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴的交点为C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|B F|＝．在此基础上,可以对问题进行一般化的归纳与总结．结论:已知抛物线y２＝２p x(p＞０)的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A F|＝２p,|B F|＝２p３．变式２㊀己知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A B|＝．３．２同阶变式变式３㊀已知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则直线A F的斜率为．变式１,２,３的参考答案分别为:８３,８７３,ʃ３．４教学启示此类涉及抛物线的焦半径问题,往往是多知识点交汇与融合的产物,这样的创设契合高考数学命题精神,而多知识点交汇也为问题的切入提供了更多的思维视角,给各层面的学生提供了更多的机会,从而更加有效地体现数学试题的选拔性与区分性．在数学学习中,针对此类涉及圆锥曲线的焦半径问题,要深刻体会并加以系统学习,把握问题的实质与内涵,构建知识体系,理解技巧方法,形成解题习惯,培养数学品质．Z４８。

规范答题---解析几何规范答题，形成习惯--------------解析几何【规律方法】1、圆锥曲线中的最值问题：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；（2）代数方法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．2、圆锥曲线中的证明问题常见的有：（1）位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；（2）数量关系方面的，如存在定值、恒成立等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接证明法，但有时也会用到反证法．3、求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：，看成常数，把方程的一端化为零，将方程转化为以把直线或圆锥曲线方程中的变量x y参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线这样就得到一个关于x y所过的定点．4、求定值问题常用的方法有两种:（1）从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值．5、存在性问题：解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确，其解题步骤为：（1）先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；（2）解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在；若无解则不存在；（3）得出结论.6、探索性问题：此类问题一般分为探究条件、探究结论两种：①当P为短轴端点时，②S＝|PF1||PF2|sinθ＝tan＝最大值为bc.＝，在第一象限，＝，＝，＝(的倾斜角)；③＋＝；以弦AB为直径的圆与准线相切；＝.（1）求证：CD 过定点；（2）若1OB OD ⋅≤-，求AE OE ⋅ 的最小值．参考答案：。