解析几何一题多解 教给学生通性通法

一题多解发展思维——一道中考几何题的解法探究
刘钦娜
【期刊名称】《中学数学教学参考》
【年(卷),期】2024()6
【摘要】数学是思维的体操,如何通过解题活动培养学生的思维能力是数学教学的中心问题。

针对一道中考几何题,引导学生通过一题多解开阔思路、发散思维,同时借助多解归一加深对数学原理、通性通法的认识,帮助他们在变式中寻找通法、在探究中提升能力。

【总页数】3页(P57-59)
【作者】刘钦娜
【作者单位】河南省驻马店市泌阳县花园中心学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.一题多解拓思维,数形结合来渗透——一道正方形几何证明解法探究
2.一题多解,提高学生思维与逻辑推理能力——2012年安徽省中考第23题的解法探究
3.关注一题多解强化思维训练--对一道中考几何题的探究
4.一题多解阔思路,发散思维形成中——对一道几何题多种解法的探索
5.一题多解,发散思维,多解归一,能力升华——以一道几何探究题为例
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一节“一题多解”课的听课感悟作者：范叔旺来源：《学习与科普》2019年第14期摘要：习题课的教学，尤其高三数学课，以复习课为主，为达到攻克重点、难点，教师大多采用一题多解、一题多变的形式教学。

但是，在一题多解课上，一道题有很多种解法，是不是每种解法都要讲，讲到什么程度，怎样取舍对学生更好在课堂上怎样体现学生的主体地位，怎样把握好这个度，一直是笔者思考的问题。

前一阶段，笔者听了堂一题多解课，颇有感触。

关键词：解题思路感悟1.题目展现由于不同学生思考问题的角度不完全一样，因此展示两类方法6种解法，帮助学生建立相对完整的处理这类问题的方法体系，这样的体系，具有导向作用。

虽然坐标法和基底法都是处理向量问题的通行通法，但是由于处理的方式不一样，导致运算量不同。

这说明通性通法虽然思路具有较强的规律性，但解题效率存在着差异。

因此，一题多解的实质不在方法的罗列，而在思路的分析和方法的对比，在对比中揭示方法的优劣，让学生在今后的解题活动中，有序提取解题方法，有效提高解题效率。

从而也挖掘了习题的内涵，激发学生学习的兴趣，使不同层次的学生的数学思维能力都得到提高。

2.评说2.1精炼选题，让学生有充分的发挥空间整节课只有一个例子，后面的也是这道题的变式，此例虽然是一道老题，但有分量，有代表性，基本上能将向量的思想与方法体现出来，体现了转化与化归思想，做到了少而精。

2.2学生参与度高学生积极参与，能力较强，向量的基本方法（两边平方与坐标法）掌握得不错，教师在这方面下的工夫得到了体现，作为一所省二级重点高中的中等学生来说，非常难得。

2.3教学环节流畅自然课堂内容饱满，学生思维活跃，教师讲解到位，精想讲、精炼、废话很少，能将大部分时间还给学生，使学生有充分时间思考、解题。

课堂衔接自然、流畅，整节课下来，教师没有多余的话语，让学生多动、多想、多写，学生的活动充斥整个课堂，思路清晰，课堂效果不错。

2.4没有小结没有课堂小结.笔者认为，并不是每堂课都要有小结，但对于这节课来讲，小结是必要的。

高中数学学习中的解析几何解题技巧解析几何是数学中的一个重要分支，也是高中数学中的一项重要内容。

在学习解析几何时，很多学生常常会遇到解题困难的情况。

本文将介绍一些高中数学学习中解析几何解题的技巧，帮助学生更好地应对解析几何题目。

一、利用图形性质确定方程解析几何问题常常涉及到图形的方程，而方程又是解题的基础。

在解析几何问题中，我们可以通过观察图形的性质，来确定方程的形式。

例如，当求解过点A和B的直线方程时，我们可以根据直线的斜率来确定方程的形式。

如果我们已知直线经过点A(-3,5)和B(2,4)，我们可以利用两点间的斜率公式来求解直线的斜率，即\[k = \frac{{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}} = \frac{{4-5}}{{2-(-3)}} = -\frac{1}{5}\]然后可以通过直线的斜率和已知点的坐标，使用点斜式或者斜截式公式得到直线的方程。

二、利用向量运算简化计算在解析几何中，向量是一项重要的工具。

通过向量的加减和数乘等运算，可以简化计算过程。

例如，当求解两条直线的夹角时，我们可以利用向量的点积公式来求解。

设两条直线的方程分别为\[ax+by+c=0\]和\[px+qy+r=0\]，则两条直线的夹角\(\theta\)满足：\[\cos{\theta}=\frac{{|ap+bq|}}{{\sqrt{{a^2+b^2}}\sqrt{{p^2+q^2}}}}\]通过向量的点积公式，我们可以利用方程的系数来求解直线的夹角，而无需对方程进行直接求解。

三、利用平移旋转变换简化题目解析几何中的平移、旋转等变换是解题过程中常常用到的工具。

通过适当的变换，可以将复杂的题目转化为简单的形式，便于求解。

例如，我们在求解直线与圆的位置关系时，可以通过平移变换将圆心移到坐标原点，从而简化题目。

设直线的方程为\(ax+by+c=0\)，圆的方程为\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)，我们可以通过平移变换将圆的方程转化为\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，其中\(a\)和\(b\)为圆心的坐标。

解析几何课程教案一、教学目标1. 让学生掌握解析几何的基本概念和基本公式。

2. 培养学生运用解析几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学内容1. 解析几何的基本概念：坐标系、点、直线、圆等。

2. 解析几何的基本公式：直线方程、圆的方程等。

3. 解析几何中的重要性质和定理。

三、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解解析几何的基本概念、基本公式和重要性质。

2. 利用图形展示，让学生直观地理解解析几何的知识。

3. 设置例题和练习题，巩固所学知识，培养学生的解题能力。

四、教学步骤1. 引入坐标系，讲解点的坐标表示方法。

2. 讲解直线的基本概念和直线方程的求法。

3. 讲解圆的基本概念和圆的方程的求法。

4. 讲解解析几何中的重要性质和定理。

5. 通过例题和练习题，让学生运用所学知识解决问题。

五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对解析几何基本概念的理解。

2. 作业批改：检查学生对解析几何知识的掌握和运用能力。

3. 阶段性测试：评估学生对解析几何的整体掌握情况。

4. 学生反馈：了解学生在学习过程中的需求和困惑，及时调整教学方法。

六、教学难点与对策1. 难点：理解并掌握解析几何中的抽象概念和复杂公式。

对策：通过具体例子和图形展示，帮助学生直观地理解抽象概念；分步骤讲解公式，让学生逐步掌握。

2. 难点：解决实际问题时的坐标运算。

对策：引导学生将实际问题转化为坐标问题，逐步讲解运算方法，让学生熟练运用。

七、教学实践与拓展1. 案例分析：选取实际问题，让学生运用解析几何知识解决。

2. 拓展练习：设计有一定难度的练习题，激发学生的学习兴趣，提高解题能力。

八、课程资源与辅助工具1. 教材：选用权威、实用的教材，为学生提供系统、全面的学习资源。

2. 网络资源：利用互联网查找相关教学视频、文章，丰富教学内容。

3. 几何画板：为学生提供直观的图形展示，帮助理解抽象概念。

九、课程进度安排1. 课时：本课程共计30课时。

关于解析几何内容的备考探究作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2023年第12期［摘要］解析几何复习备考阶段，需要对其知识与方法进行梳理，回归教材基础，归纳简算方法，开展一题多解，总结二级结论. 研究者对解析几何内容进行综合分析，结合高考提出四点复习建议，以期对教师教学与学生备考有所帮助.［关键词］解析几何；备考；教材；简算；多解；结论综合分析解析几何是高中数学的重难点知识，在高考中有极为重要的地位，常作为压轴题出现，考查学生的综合能力. 小题中以基本概念和性质为主，大题中则更关注其综合性，如弦长问题、存在性问题、定值定点问题等. 备考探究中需要对解析几何知识进行整合，明确高考大纲及常规考查方式，下面为新课标与高考大纲对解析几何复习与考查的要点的整合.（1）结合平面直角坐标系，认识直线、曲线的几何特征，建立对应的标准方程.（2）运用代数法认识几何图形的性质，了解直线与曲线之间的位置关系，运用几何法解决数学问题、实际问题，感悟其中的数形结合思想.（3）根据几何问题的图形特点，利用代数语言将几何问题代数化，通过分析几何问题及其图象，探索问题解决思路.（4）运用代数法分析几何图形，推导常用的结论，并对代数相关结论进行合理的几何剖析，构建几何与代数的对应关系.（5）探究并重视解析几何中的数学思想，注重提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模和数学抽象等素养.复习建议关于解析几何的备考探究，要注重学生知识与能力的全面提升. 实际教学中要围绕高考考点，梳理整合重点知识，明确教学目标. 总体上可细分为三大要点：一是直线的倾斜角、斜率及方程的整合；二是曲线的定义、标准方程、几何性质的整合；三是构建直线与曲线的知识联系，探求综合性问题的破解方法. 下文围绕解析几何经典问题，对解析几何备考内容进行探索，提出相应的备考建议.1. 追本溯源，夯实基础高考经典问题为复习备考提供了指向，考题实际上源于教材又高于教材，常以教材习题为背景而整合命制. 因此复习备考时可对考题进行溯源探究，关注其命制过程，总结解析思路、破解方法.例1 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若AF=BF，则AB=（）溯源：本题为2022年高考全国乙卷理数第5题，为抛物线焦点问题. 实际上，本题与人教A版选择性必修第一册3.3.2中的例4相似. 本题解析的关键是将线段相等（AF=BF）转化为两点（点A，B）间的距离.备考建议：复习备考要引导学生回归教材，重视教材的核心价值；要认真研究并立足教材中的例题和习题，但不能拘泥于教材；要适度开发教材，引领学生再理解例题和习题、知识内容、数学思想等，使学生从问题中突破，在解题中升华；要让学生注意知识间的内在关系，帮助学生完善知识体系.2. 优化过程，强调运算“运算过程烦琐、复杂”是解析几何的特征，对学生的运算能力有较高要求. 学生在考场上需要快速确定解题思路，找到优化过程的方法. 因此，复习备考要引导学生构建运算过程，优化运算方法，总结运算技巧，强化运算训练，不断提升学生的运算能力.（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点.解析本题为一道解析几何综合题，第（2）问为核心之问，其证明过程中的运算较为烦琐，需要优化运算方法、关注简算技巧.①简算技巧1——整体代入.②简算技巧2——因式分解.（**）式为含参方程，需要对其进行因式分解，是解题的关键和难点之一.（**）式可先通分，再整理为4k2+8km+3m2-2m-1=0，将两个参数中的一个视为未知量，另一个视为常数，然后对其进行因式分解.备考建议：“过程优化，简算推导”是解析几何问题分析运算的关键，有助于考场节约时间，提高解题效率. 解析几何问题中的简算技巧有很多，教学中要指导学生总结归纳，充分掌握简算技巧的精髓. 在此总结常用的四种：（1）设而不求，整体代入. 该技巧常用于直线方程与曲线方程联立推导中，如上述问题利用该技巧将向量积转化为含参方程.（2）活用定义，巧用性质. 对于部分解析几何问题，要灵活运用其定义和性质，如涉及解析几何焦点、准线的问题，可以尝试直接运用对应定义转化距离条件.（3）借用几何性质. 数形结合是研究解析几何的重要方法，对于其中的运算问题，必要时可以借用对应的几何性质，直接推导结论. 如中位线的几何意义、向量积为零的几何意义等.（4）主元設定，灵活转换. 该技巧常用于含有两个参数的方程的简算，对于方程中的两个未知数，可以设定主元，灵活转换，对方程进行因式分解. 如上述简算技巧2中的因式分解，方便求解参数关系.3. 一题多解，思路拓展复习备考需要注意解析几何问题的多解探索，帮助学生拓展思路. 既需要注重通性通法，还需要重视一题多解的探究. 一题多解的探究可以从两个方面进行：一是探究多解的方法；二是探究多解的思路构建.（1）求C的方程；解析本题是一道解析几何综合题，第（2）问为核心之问，求解两直线的斜率之和，可采用不同的方法来设定直线的方程.方法1：设直线的点斜式方程.方法2：设直线的斜截式方程.方法3：设双直线二次曲线系方程.备考建议：开展一题多解的探究是复习备考的重要环节. 在该环节中，要指导学生完成两方面的内容：一是总结类型题的常规解法，即通性通法；二是在此基础上开展多解思路、多解视角、多解方法、多解技巧等的分析.总结归纳，活用二级结论面对圆锥曲线问题时，活用一些二级结论可以简化解题过程，提高解题效果. 因此复习备考时应整理一些关于圆锥曲线的二级结论，包括两点：一是二级结论的内容，二是二级结论的类型.备考建议：圆锥曲线的二级结论较多，涉及众多知识内容，教学探究中需要引导学生注意两点：一是总结归纳二级结论的类型；二是探索证明二级结论，挖掘其背后的性质原理，深刻理解其内涵.圆锥曲线的二级结论类型丰富，包括与“焦点三角形”面积相关的二级结论，与“中心弦”性质相关的二级结论，与“中点弦”性质相关的二级结论，与“焦点弦”性质相关的二级结论.写在最后解析几何的知识内容较多，涉及众多考点，复习备考阶段需要对考点内容进行梳理. 教学中教师要围绕高考大纲引导学生夯实知识基础，总结归纳方法，拓展解题思维. 上文所提的四大备考建议是基于考向的总结，教学时可结合考题进行强化，促进学生知识与能力的全面提升.。

(16)2021年第1期中学数学教学参考（中旬>f 题探索基#通性通法探求一题多解*付粉娟（陕西省西安铁一中分校）陈法超（陕西师范大学附属中学）摘要：解决几何计算题应首先联想基本图形和基本定理，确定图形中不变的量和关系，进而明晰图形的基本结构；其次，借助几何中常用的计算工具——勾股定理、相似三角形、三角函数、面积法，基于解决几何计算题的通性通法，探求一题多解；最后，通过解后反思加深对通性通法的认识，优化解题路径，形成解决几何计算题的一般方法。

关键词：确定性分析；通性通法；几何计算；一题多解文章编号：1002-2171(2021)1-0016-042020年陕西中考数学第25题打破了陕西中考 压轴题多年考查最值问题的模式，涉及三角形、四边 形、圆的图形构成，以几何计算题的形式呈现，考查学 生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养及创 新应用所学知识解决问题的能力。

笔者立足于通性 通法，探究本题第（3)问的多种解法，并通过解后反 思，尝试提炼总结出解决此类题的一般方法和程序。

1试题呈现问题提出(1) 如图 1，在 RtAABC 中，ZACB = 90°，AC > BC ，Z A C B 的平分线交于点D ，过点D 分别作丄AC ，DF 丄BC ，垂足分别为£，F ，在图1中与线段C E 相等的线段是_____。

问题探究(2) 如图半圆0的直径，AB = 8，P 是^上一点，•^ = 2^，联结 A P ，P B 。

的平分线交于点C ，过点C 分别作C £丄A P ，C F 丄垂足分别为£，F ，求线段C F 的长。

*图1图2问题解决(3)图3是某公园内“少儿活 动中心”的设计示意图，已知©〇 的直径AB = 70 m ，点C 在©O 上，且CA = CB ，P 是上一点，联结C P 并延长，交©O 于点D ，联结AD ，BD 。

一、教案基本信息教案名称：《解析几何》课程教案课时安排：共24 课时，每课时45 分钟教学对象：高中一年级学生教学目标：1. 让学生掌握解析几何的基本概念、方法和技巧。

2. 培养学生运用解析几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。

教学内容：第一章：解析几何概述1.1 解析几何的定义与发展历程1.2 坐标系与坐标轴1.3 点、直线、圆的方程第二章：直线方程2.1 直线方程的定义与分类2.2 直线方程的斜率与截距2.3 直线方程的应用第三章：圆的方程3.1 圆的方程定义与性质3.2 圆的标准方程与一般方程3.3 圆的方程应用第四章：曲线与方程4.1 曲线与方程的概念4.2 常见曲线的方程4.3 曲线与方程的应用第五章：解析几何中的问题解决策略5.1 解析几何问题的类型与解法5.2 图形分析与变换5.3 解析几何在实际问题中的应用二、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解解析几何的基本概念、方法和技巧。

2. 运用案例分析法，结合具体实例分析，让学生深入理解解析几何的应用。

3. 采用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高学生的参与度。

4. 利用数形结合法，引导学生通过图形来直观理解解析几何问题。

三、教学评价1. 平时作业：检查学生对基本概念、方法和技巧的掌握程度。

2. 课堂练习：评估学生在课堂上解决问题、分析问题的能力。

3. 课程报告：考察学生对实际问题应用解析几何知识的能力。

4. 期末考试：全面测试学生对本课程的掌握情况。

四、教学资源1. 教材：选用权威、实用的解析几何教材。

2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助课堂教学。

3. 习题库：提供丰富、多样的习题，便于学生课后练习。

4. 参考资料：推荐学生阅读相关书籍、论文，拓展知识面。

五、教学进度安排第1-4 课时：解析几何概述第5-8 课时：直线方程第9-12 课时：圆的方程第13-16 课时：曲线与方程第17-20 课时：解析几何中的问题解决策略第21-24 课时：复习与总结六、教学策略及建议6.1 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，既注重基础知识的学习，又提供一定的拓展内容。

例谈一题多解在解析几何中的应用于庆丽(江苏省宿迁市泗洪姜堰高级中学㊀２２３９００)摘㊀要:解析几何在高考中不仅考查学生的思维能力而且也考查学生的运算能力.在做解几题目时学生有畏难情绪ꎬ可以引导学生从多角度来思考解几的解题方法ꎬ运算技巧ꎬ进而对各种解法进行比较分析ꎬ寻求最优解.通过一题多解培养学生的发散思维能力和运算能力.关键词:思维能力ꎻ运算能力ꎻ一题多解ꎻ最优解中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００７４－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:于庆丽(１９８４.１１－)ꎬ女ꎬ江苏人ꎬ中小学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀新课程视野下高考命题秉持素养立意ꎬ多以策略性知识为背景ꎬ考查学生必备知识㊁关键能力㊁学科素养和核心价值ꎬ就数学而言最核心的价值就是发展学生的数学素养和提高解决问题的能力.数学名家说过ꎬ问题是数学的心脏ꎬ思维是数学的灵魂ꎬ而方法则是数学的行为ꎬ从一个经典的ꎬ简明的数学问题出发ꎬ把数学冰冷的美丽转化成数学火热的思考.通过多角度ꎬ全方位的观察㊁感知㊁分析㊁尝试㊁提炼㊁综合ꎬ使得数学的思考从联系㊁到联通ꎬ再到思维的有效对接ꎬ能够很好地优化解题思路ꎬ提升分析问题解决问题的能力.近几年解析几何在高考中对计算能力的考查逐年加大ꎬ而好的解法能够简化运算ꎬ所以在平时教学中要注重一题多解在解析几何中的应用ꎬ可以从不同的角度去思考和分析问题ꎬ在多种解法中去寻求通解和优解.例１㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右顶点分别为Ａ㊁Ｂꎬ离心率为１２ꎬ点Ｐ１ꎬ３２æèçöø÷为椭圆上一点.(１)求椭圆Ｃ的标准方程ꎻ㊀(２)如图ꎬ过点Ｃ(０ꎬ１)且斜率大于１的直线ｌ与椭圆交于ＭꎬＮ两点ꎬ记直线ＡＭ的斜率为ｋ１ꎬ直线ＢＮ的斜率为ｋ２ꎬ若ｋ１＝２ｋ２ꎬ求直线ｌ斜率的值.分析㊀(１)根据已知条件ꎬ建立方程组ꎬ求出ａꎬｂꎬ即可得到椭圆的标准方程.(２)设出直线ｌ方程为ｙ＝ｋｘ＋１ꎬＭ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ将直线ｌ方程与椭圆方程联立ꎬ求出ｘ１＋ｘ２和ｘ１ｘ２ꎬ根据条件求出ｋ１和ｋ２ꎬ代入ｋ１＝２ｋ２化简计算ꎬ得到关于ｋ的方程ꎬ解方程求出ｋ的值.解析㊀(１)因为椭圆的离心率为１２ꎬ所以ａ＝２ｃ.又因为ａ２＝ｂ２＋ｃ２ꎬ所以ｂ＝３ｃ.所以椭圆的标准方程为ｘ２４ｃ２＋ｙ２３ｃ２＝１.又因为点Ｐ１ꎬ３２æèçöø÷为椭圆上一点ꎬ所以１４ｃ２＋９４３ｃ２＝１ꎬ解得ｃ＝１.所以椭圆的标准方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１.(２)解法一㊀(通过两边平方转化成韦达定理形式)由椭圆的对称性可知直线ｌ的斜率一定存在ꎬ设其方程为ｙ＝ｋｘ＋１.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２).联立直线ｌ与椭圆的方程组ｙ＝ｋｘ＋１ꎬｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ{消去ｙ可得(３＋４ｋ２)ｘ２＋８ｋｘ－８＝０.所以由根与系数关系可知ｘ１＋ｘ２＝－８ｋ３＋４ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－８３＋４ｋ２.因为ｋ１＝ｙ１ｘ１＋２ꎬｋ２＝ｙ２ｘ２－２ꎬ且ｋ１＝２ｋ２ꎬ所以ｙ１ｘ１＋２＝４７２ｙ２ｘ２－２.即ｙ２１ｘ１＋２()２＝４ｙ２２ｘ２－２()２①.又因为Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)在椭圆上ꎬ所以ｙ２１＝３４(４－ｘ２１)ꎬｙ２２＝３４(４－ｘ２２)②.将②代入①可得:２－ｘ１２＋ｘ１＝４２＋ｘ２()２－ｘ２ꎬ即３ｘ１ｘ２＋１０(ｘ１＋ｘ２)＋１２＝０.所以３－８３＋４ｋ２æèçöø÷＋１０－８ｋ３＋４ｋ２æèçöø÷＋１２＝０ꎬ即１２ｋ２－２０ｋ＋３＝０.解得ｋ＝１６或ｋ＝３２ꎬ又因为ｋ>１ꎬ所以ｋ＝３２.解法二㊀(通解)由椭圆的对称性可知直线ｌ的斜率一定存在ꎬ设其方程为ｙ＝ｋｘ＋１.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２).联立直线ｌ与椭圆的方程组ｙ＝ｋｘ＋１ｘ２４＋ｙ２３＝１{ꎬ消去ｙ可得(３＋４ｋ２)ｘ２＋８ｋｘ－８＝０.所以由根与系数关系可知ｘ１＋ｘ２＝－８ｋ３＋４ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－８３＋４ｋ２.因为ｋ１＝ｙ１ｘ１＋２ꎬｋ２＝ｙ２ｘ２－２ꎬ且ｋ１＝２ｋ２ꎬ所以ｙ１ｘ１＋２＝２ｙ２ｘ２－２ꎬ得(ｋｘ１＋１)(ｘ２－２)＝２(ｋｘ２＋１)(ｘ１＋２)ꎬｋｘ１ｘ２＋(２ｋ＋２)(ｘ１＋ｘ２)＋(２ｋ－３)ｘ２＋６＝０ꎬ(２ｋ－３)ｘ２＝－２(２ｋ－３)２４ｋ２＋３.①当２ｋ－３ʂ０ꎬｘ２＝６－４ｋ４ｋ２＋３ꎬｘ１＝－８ｋ４ｋ２＋３－６－４ｋ４ｋ２＋３＝－４ｋ－６４ｋ２＋３ꎬｘ１ｘ２＝６－４ｋ４ｋ２＋３ －４ｋ－６４ｋ２＋３＝－８４ｋ２＋３ꎬ解得ｋ＝ʃ１２.ȵｋ>１不满足题意ꎬ舍去.②当２ｋ－３＝０时ꎬｋ＝３２ꎬ－８ｋ３＋４ｋ２＋(２ｋ＋２)(－８ｋ)３＋４ｋ２＋６＝２(２ｋ－３)２３＋４ｋ２＝０ꎬʑｋ＝３２满足题意.解法三㊀(椭圆第三定义转化ｋＭＡｋＭＢ＝－ｂ２ａ２)由ｋ２ ｋＡＮ＝ｙ２ｘ２＋２ｙ２ｘ２－２＝－３４ꎬｋ＝２ｋ２ꎬʑｋ１ ｋＡＮ＝－３２.ｙ１ｘ１＋２ ｙ２ｘ２＋２＝－３２ꎬ２(ｋｘ１＋１)(ｋｘ２＋１)＝－３(ｘ１＋２)(ｘ２＋２)ꎬ(２ｋ２＋３)ｘ１ｘ２＋(２ｋ＋６)(ｘ１＋ｘ２)＋１４＝０.将ｘ１＋ｘ２＝－８ｋ３＋４ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－８３＋４ｋ２代入得４ｋ２－８ｋ＋３＝０ꎬ解得ｋ＝３２或ｋ＝１２.ȵｋ>１ꎬʑｋ＝３２.解法四㊀(将直线ＡＭ与椭圆方程联立ꎬ解出Ｍ㊁Ｎ)㊀设直线ＡＭ方程为ｙ＝ｋ１(ｘ＋２)ꎬ与椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ联立消ｙ得(３＋４ｋ２１)ｘ２＋１６ｋ２１ｘ＋１６ｋ２１－１２＝０ꎬ得Ｍ(６－８ｋ２１３＋４ｋ２１ꎬ１２ｋ１３＋４ｋ２１).同理ꎬ解得Ｎ(８ｋ２２－６３＋４ｋ２２ꎬ－１２ｋ２３＋４ｋ２２).ʑｋＭＮ＝１２ｋ１３＋４ｋ２１＋１２ｋ２３＋４ｋ２２６－８ｋ２１３＋４ｋ２１－８ｋ２２－６３＋４ｋ２２＝９ｋ２３－８ｋ２２ꎬ直线ｌ方程为ｙ＝９ｋ２３－８ｋ２２(ｘ－８ｋ２２－６３＋４ｋ２２)－１２ｋ２３＋４ｋ２２.直线ｌ过(０ꎬ１)点ꎬ将(０ꎬ１)代入上式ꎬ化得８ｋ２２＝３－６ｋ２代入ｋＭＮ得ｋＭＮ＝９ｋ２６ｋ２＝３２.㊀㊀参考文献:[１]陈小波.挖掘例题的育人价值ꎬ发展学生的核心素养[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１９(４):６９.[２]猿辅导高中数学教研组.解析几何满分之路[Ｍ].天津:天津人民出版社ꎬ２０１９.[责任编辑:李㊀璟]５７。

２０２３年９月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀开展 一题多解 ,探究 一题多变一道解析几何题的破解◉江苏省海安高级中学㊀朱函颍㊀㊀摘要: 一题多解 ,可以开阔解题思路㊁发散学生思维; 一题多变 ,可以拓展数学知识㊁聚合学生思维．合理解题探究与变式拓展可以很好提升解题效益,避免题海战术．结合一道抛物线问题实例,通过 一题多解 与 一题多变 ,在研究中寻找通法,在探究中升华能力,促使学生形成良好的数学品质．关键词:抛物线;准线;直线;斜率;变式㊀㊀根据现代思维的科学研究,问题是展开思维与应用的起点, 疑 是根本, 解疑 是目标,最容易引起定向探究反射与问题的深入思考．而在数学教学与数学学习过程中,更要合理培养与形成探究意识,从问题的内涵㊁问题的解法㊁问题的深入与问题的探究等多方面入手,合理拓展思维的深度与广度,进行必要合理创新应用,从而形成良好的数学品质．１问题呈现问题㊀ 燕博园２０２３届高三年级综合能力测试(C A T)数学(新高考Ⅰ卷)试卷 已知抛物线y２＝a x 的焦点为F,准线l交x轴于点Q,过点F的直线交抛物线于M,N两点,则直线Q M与直线Q N的斜率之和为．该题以抛物线为问题场景,对直线与抛物线的位置关系加以合理创设．借助过焦点的动直线的变化,以 动 态创设场景,利用两直线的斜率之和为常数,以 静 态形式设问,巧妙融合解析几何与平面几何中的相关知识,难度中等．利用圆锥曲线这一主干知识,抓住直线与圆锥曲线位置关系这一热点问题,合理创设,巧妙 动 与 静 变化, 数 与 形 融合,构建一幅完美的画卷．实际破解问题时,抓住问题内涵与实质,从问题根本入手,可以借助解析几何思维㊁平面几何思维与特殊情况思维等来展开,从不同的技巧方法视角来切入,实现问题的巧妙转化与应用．２问题破解２．１通性通法方法１:解析几何思维法．解析:依题知,焦点F(a４,０),准线方程为x＝－a４,Q(－a４,０)．设过焦点F的直线方程为x＝m y＋a４,M(x１,y１),N(x２,y２)．联立x＝m y＋a４,y２＝a x,{消去参数x,整理可得y２－a m y－a２４＝０,则y１＋y２＝a m,y１y２＝－a２４．于是有㊀k Q M＋k Q N＝y１x１＋a４＋y２x２＋a４＝x１y２＋x２y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝(my１＋a４)y２＋(m y２＋a４)y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２my１y２＋a２(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２mˑ(－a２４)＋a２ˑa m(x１＋a４)(x２＋a４)＝０．所以直线Q M与直线Q N的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中,最基本的 通性通法 就是解析几何思维法．通过设置相关的点的坐标㊁直线的方程㊁圆锥曲线的方程等,联立直线与圆锥曲线方程,结合函数与方程思维来进一步分析与转化,进而实现问题的解决．解析几何思维法的缺点之一就是数学运算量大,它也是制约部７７Copyright©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀分学生深入分析与应用的一个重要因素．２．２数形结合法方法２:平面几何思维法．图１解析:不失一般性,如图１所示,过M ,N 两点分别作准线l 的垂线,垂足分别为A ,B ,由于M A ʊF Q ʊN B ,因此可得|M F ||N F |＝|A Q ||B Q |．根据抛物线的定义,可得|M A |＝|M F |,且|N B |＝|N F |,则|M A ||N B |＝|A Q ||B Q |,可得әM A Q ʐәN B Q ,于是øM Q A ＝øN Q B ,所以øM Q F ＝øN Q F ．所以直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补,即直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:回归曲线的本质,结合平面几何图形的基本性质与特征,数形结合,逻辑推理,这是解决解析几何综合应用问题比较常用的一种技巧与方法,也是平面几何思维法处理的关键．２．３巧技妙法方法３:特殊情况法．解析:当过点F 的直线垂直于x 轴时,根据抛物线y ２＝a x 关于x 轴对称,可知点M ,N 关于x 轴对称,则知直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补．所以直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:结合矛盾的普遍性寓于特殊性之中,通过填空题这一特殊形式的设置,借助 动 直线在运动变化过程中的某一特殊情况,以特殊代替一般,又从特殊回归到一般,实现解决问题的 巧技妙法 ．特殊思维法在解决解析几何 运动 问题中经常用到,借助点㊁直线㊁角或相关元素的运动变化情况,以特殊代替一般,实现问题的普遍性与特殊性的辩证转化．３变式拓展３．１类比拓展圆锥曲线中的不同曲线之间具有一定的相似性与可类比性,在以上抛物线背景下,改变圆锥曲线的类型以及对应曲线的场景,借助其焦点与相应准线的位置关系,也有类似的变式问题．变式１㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)变式２㊀已知双曲线C :x ２a ２－y ２b ２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)以上两个变式问题的解析过程,可以参照原问题的方法１㊁方法３来展开,这里不多加赘述．当然,也可以将问题转化为探求两直线倾斜角的关系问题(两直线的倾斜角互补)进行探究．３．２逆向拓展在解题研究中,逆向思维也是变式拓展的一种基本思维方式．借助问题题设条件与结论之间的关系,通过数学思维的逆向操作与应用,合理加以探究与拓展,经常会有不错的收获．变式３㊀已知抛物线y ２＝a x 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式４㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式５㊀已知双曲线C :x ２a ２－y２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式３~５的答案为:(－a ４,０),(a ２c ,０),(a２c,０)．以上三个变式问题的解析过程也可以参照原问题的方法１．４教学启示在解决一些典型的数学综合应用问题时,要合理引导学生深入挖掘,适当探究拓展,充分掌握问题的本质与内涵,剖析对应的数学基础知识与数学基本能力,从而实现 一题多解 一题多研 一题多变 ,不断提升与拓展破解数学问题的基本技能与策略,提高数学思维品质的变通性,真正达成 一题多练 一题多得 ．同时,有效调动学生数学解题的积极主动性与参与性,合理辨析概念㊁公式等的异同,深刻反思并有效拓展,努力培养发现问题的能力与深入质疑问题的探究精神．Z８７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。