解析几何一题多解 教给学生通性通法

一题多解发展思维——一道中考几何题的解法探究
刘钦娜
【期刊名称】《中学数学教学参考》
【年(卷),期】2024()6
【摘要】数学是思维的体操,如何通过解题活动培养学生的思维能力是数学教学的中心问题。

针对一道中考几何题,引导学生通过一题多解开阔思路、发散思维,同时借助多解归一加深对数学原理、通性通法的认识,帮助他们在变式中寻找通法、在探究中提升能力。

【总页数】3页(P57-59)
【作者】刘钦娜
【作者单位】河南省驻马店市泌阳县花园中心学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.一题多解拓思维,数形结合来渗透——一道正方形几何证明解法探究
2.一题多解,提高学生思维与逻辑推理能力——2012年安徽省中考第23题的解法探究
3.关注一题多解强化思维训练--对一道中考几何题的探究
4.一题多解阔思路,发散思维形成中——对一道几何题多种解法的探索
5.一题多解,发散思维,多解归一,能力升华——以一道几何探究题为例
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( ) 设
1
+
2λ
=
t,
t
∈[
1,3
]，则
c2
=
5t2
2t2 - 10t
+
9
=
5
2
1 t
-
5 9
2
+
20 9
≤
9 ，当且仅当 10
t
=
9 5
即
λ
=
2 5
时
c max
=
3
10 10
.
评注：此法换元后巧妙地转化为熟知的二次函数来
解决，可以作为标准解法来处理 .
解
法
2
：( ∗
)⇔(
10c2
-
4
)
λ2
-
4λ
题 易
，为第江二苏问高可考以数转学化理为科求的co附s C加Q,题DP， 第=
1 + 2λ 10λ2 +
2
(
0
≤
λ
≤
1 )的最大值 . 看似复杂的一问，实际
可以用函数的一般方法解决，也可以用相关的导数处
理，甚至还可以用看似不相关的三角向量以及解析几何
来完美解答 .
解法 1：记 c = cos CQ,DP = 1 + 2λ ( 0 ≤ λ ≤ 1 )( ∗ ). 10λ2 + 2
=
2 5
.
易 证 λ0 是 c( λ ) 的 极 大 值 点 ，也 是 最 大 值 点 ，即
( ) c( λ ) max = c
2 5
=
3
10 10
.
解法 4：依据 α·β ≤ | α || β |，c = 2λ + 1 =

一节“一题多解”课的听课感悟作者：范叔旺来源：《学习与科普》2019年第14期摘要：习题课的教学，尤其高三数学课，以复习课为主，为达到攻克重点、难点，教师大多采用一题多解、一题多变的形式教学。

但是，在一题多解课上，一道题有很多种解法，是不是每种解法都要讲，讲到什么程度，怎样取舍对学生更好在课堂上怎样体现学生的主体地位，怎样把握好这个度，一直是笔者思考的问题。

前一阶段，笔者听了堂一题多解课，颇有感触。

关键词：解题思路感悟1.题目展现由于不同学生思考问题的角度不完全一样，因此展示两类方法6种解法，帮助学生建立相对完整的处理这类问题的方法体系，这样的体系，具有导向作用。

虽然坐标法和基底法都是处理向量问题的通行通法，但是由于处理的方式不一样，导致运算量不同。

这说明通性通法虽然思路具有较强的规律性，但解题效率存在着差异。

因此，一题多解的实质不在方法的罗列，而在思路的分析和方法的对比，在对比中揭示方法的优劣，让学生在今后的解题活动中，有序提取解题方法，有效提高解题效率。

从而也挖掘了习题的内涵，激发学生学习的兴趣，使不同层次的学生的数学思维能力都得到提高。

2.评说2.1精炼选题，让学生有充分的发挥空间整节课只有一个例子，后面的也是这道题的变式，此例虽然是一道老题，但有分量，有代表性，基本上能将向量的思想与方法体现出来，体现了转化与化归思想，做到了少而精。

2.2学生参与度高学生积极参与，能力较强，向量的基本方法（两边平方与坐标法）掌握得不错，教师在这方面下的工夫得到了体现，作为一所省二级重点高中的中等学生来说，非常难得。

2.3教学环节流畅自然课堂内容饱满，学生思维活跃，教师讲解到位，精想讲、精炼、废话很少，能将大部分时间还给学生，使学生有充分时间思考、解题。

课堂衔接自然、流畅，整节课下来，教师没有多余的话语，让学生多动、多想、多写，学生的活动充斥整个课堂，思路清晰，课堂效果不错。

2.4没有小结没有课堂小结.笔者认为，并不是每堂课都要有小结，但对于这节课来讲，小结是必要的。

高中数学学习中的解析几何解题技巧解析几何是数学中的一个重要分支，也是高中数学中的一项重要内容。

在学习解析几何时，很多学生常常会遇到解题困难的情况。

本文将介绍一些高中数学学习中解析几何解题的技巧，帮助学生更好地应对解析几何题目。

一、利用图形性质确定方程解析几何问题常常涉及到图形的方程，而方程又是解题的基础。

在解析几何问题中，我们可以通过观察图形的性质，来确定方程的形式。

例如，当求解过点A和B的直线方程时，我们可以根据直线的斜率来确定方程的形式。

如果我们已知直线经过点A(-3,5)和B(2,4)，我们可以利用两点间的斜率公式来求解直线的斜率，即\[k = \frac{{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}} = \frac{{4-5}}{{2-(-3)}} = -\frac{1}{5}\]然后可以通过直线的斜率和已知点的坐标，使用点斜式或者斜截式公式得到直线的方程。

二、利用向量运算简化计算在解析几何中，向量是一项重要的工具。

通过向量的加减和数乘等运算，可以简化计算过程。

例如，当求解两条直线的夹角时，我们可以利用向量的点积公式来求解。

设两条直线的方程分别为\[ax+by+c=0\]和\[px+qy+r=0\]，则两条直线的夹角\(\theta\)满足：\[\cos{\theta}=\frac{{|ap+bq|}}{{\sqrt{{a^2+b^2}}\sqrt{{p^2+q^2}}}}\]通过向量的点积公式，我们可以利用方程的系数来求解直线的夹角，而无需对方程进行直接求解。

三、利用平移旋转变换简化题目解析几何中的平移、旋转等变换是解题过程中常常用到的工具。

通过适当的变换，可以将复杂的题目转化为简单的形式，便于求解。

例如，我们在求解直线与圆的位置关系时，可以通过平移变换将圆心移到坐标原点，从而简化题目。

设直线的方程为\(ax+by+c=0\)，圆的方程为\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)，我们可以通过平移变换将圆的方程转化为\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，其中\(a\)和\(b\)为圆心的坐标。

解析几何课程教案一、教学目标1. 让学生掌握解析几何的基本概念和基本公式。

2. 培养学生运用解析几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学内容1. 解析几何的基本概念：坐标系、点、直线、圆等。

2. 解析几何的基本公式：直线方程、圆的方程等。

3. 解析几何中的重要性质和定理。

三、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解解析几何的基本概念、基本公式和重要性质。

2. 利用图形展示，让学生直观地理解解析几何的知识。

3. 设置例题和练习题，巩固所学知识，培养学生的解题能力。

四、教学步骤1. 引入坐标系，讲解点的坐标表示方法。

2. 讲解直线的基本概念和直线方程的求法。

3. 讲解圆的基本概念和圆的方程的求法。

4. 讲解解析几何中的重要性质和定理。

5. 通过例题和练习题，让学生运用所学知识解决问题。

五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对解析几何基本概念的理解。

2. 作业批改：检查学生对解析几何知识的掌握和运用能力。

3. 阶段性测试：评估学生对解析几何的整体掌握情况。

4. 学生反馈：了解学生在学习过程中的需求和困惑，及时调整教学方法。

六、教学难点与对策1. 难点：理解并掌握解析几何中的抽象概念和复杂公式。

对策：通过具体例子和图形展示，帮助学生直观地理解抽象概念；分步骤讲解公式，让学生逐步掌握。

2. 难点：解决实际问题时的坐标运算。

对策：引导学生将实际问题转化为坐标问题，逐步讲解运算方法，让学生熟练运用。

七、教学实践与拓展1. 案例分析：选取实际问题，让学生运用解析几何知识解决。

2. 拓展练习：设计有一定难度的练习题，激发学生的学习兴趣，提高解题能力。

八、课程资源与辅助工具1. 教材：选用权威、实用的教材，为学生提供系统、全面的学习资源。

2. 网络资源：利用互联网查找相关教学视频、文章，丰富教学内容。

3. 几何画板：为学生提供直观的图形展示，帮助理解抽象概念。

九、课程进度安排1. 课时：本课程共计30课时。

关于解析几何内容的备考探究作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2023年第12期［摘要］解析几何复习备考阶段，需要对其知识与方法进行梳理，回归教材基础，归纳简算方法，开展一题多解，总结二级结论. 研究者对解析几何内容进行综合分析，结合高考提出四点复习建议，以期对教师教学与学生备考有所帮助.［关键词］解析几何；备考；教材；简算；多解；结论综合分析解析几何是高中数学的重难点知识，在高考中有极为重要的地位，常作为压轴题出现，考查学生的综合能力. 小题中以基本概念和性质为主，大题中则更关注其综合性，如弦长问题、存在性问题、定值定点问题等. 备考探究中需要对解析几何知识进行整合，明确高考大纲及常规考查方式，下面为新课标与高考大纲对解析几何复习与考查的要点的整合.（1）结合平面直角坐标系，认识直线、曲线的几何特征，建立对应的标准方程.（2）运用代数法认识几何图形的性质，了解直线与曲线之间的位置关系，运用几何法解决数学问题、实际问题，感悟其中的数形结合思想.（3）根据几何问题的图形特点，利用代数语言将几何问题代数化，通过分析几何问题及其图象，探索问题解决思路.（4）运用代数法分析几何图形，推导常用的结论，并对代数相关结论进行合理的几何剖析，构建几何与代数的对应关系.（5）探究并重视解析几何中的数学思想，注重提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模和数学抽象等素养.复习建议关于解析几何的备考探究，要注重学生知识与能力的全面提升. 实际教学中要围绕高考考点，梳理整合重点知识，明确教学目标. 总体上可细分为三大要点：一是直线的倾斜角、斜率及方程的整合；二是曲线的定义、标准方程、几何性质的整合；三是构建直线与曲线的知识联系，探求综合性问题的破解方法. 下文围绕解析几何经典问题，对解析几何备考内容进行探索，提出相应的备考建议.1. 追本溯源，夯实基础高考经典问题为复习备考提供了指向，考题实际上源于教材又高于教材，常以教材习题为背景而整合命制. 因此复习备考时可对考题进行溯源探究，关注其命制过程，总结解析思路、破解方法.例1 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若AF=BF，则AB=（）溯源：本题为2022年高考全国乙卷理数第5题，为抛物线焦点问题. 实际上，本题与人教A版选择性必修第一册3.3.2中的例4相似. 本题解析的关键是将线段相等（AF=BF）转化为两点（点A，B）间的距离.备考建议：复习备考要引导学生回归教材，重视教材的核心价值；要认真研究并立足教材中的例题和习题，但不能拘泥于教材；要适度开发教材，引领学生再理解例题和习题、知识内容、数学思想等，使学生从问题中突破，在解题中升华；要让学生注意知识间的内在关系，帮助学生完善知识体系.2. 优化过程，强调运算“运算过程烦琐、复杂”是解析几何的特征，对学生的运算能力有较高要求. 学生在考场上需要快速确定解题思路，找到优化过程的方法. 因此，复习备考要引导学生构建运算过程，优化运算方法，总结运算技巧，强化运算训练，不断提升学生的运算能力.（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点.解析本题为一道解析几何综合题，第（2）问为核心之问，其证明过程中的运算较为烦琐，需要优化运算方法、关注简算技巧.①简算技巧1——整体代入.②简算技巧2——因式分解.（**）式为含参方程，需要对其进行因式分解，是解题的关键和难点之一.（**）式可先通分，再整理为4k2+8km+3m2-2m-1=0，将两个参数中的一个视为未知量，另一个视为常数，然后对其进行因式分解.备考建议：“过程优化，简算推导”是解析几何问题分析运算的关键，有助于考场节约时间，提高解题效率. 解析几何问题中的简算技巧有很多，教学中要指导学生总结归纳，充分掌握简算技巧的精髓. 在此总结常用的四种：（1）设而不求，整体代入. 该技巧常用于直线方程与曲线方程联立推导中，如上述问题利用该技巧将向量积转化为含参方程.（2）活用定义，巧用性质. 对于部分解析几何问题，要灵活运用其定义和性质，如涉及解析几何焦点、准线的问题，可以尝试直接运用对应定义转化距离条件.（3）借用几何性质. 数形结合是研究解析几何的重要方法，对于其中的运算问题，必要时可以借用对应的几何性质，直接推导结论. 如中位线的几何意义、向量积为零的几何意义等.（4）主元設定，灵活转换. 该技巧常用于含有两个参数的方程的简算，对于方程中的两个未知数，可以设定主元，灵活转换，对方程进行因式分解. 如上述简算技巧2中的因式分解，方便求解参数关系.3. 一题多解，思路拓展复习备考需要注意解析几何问题的多解探索，帮助学生拓展思路. 既需要注重通性通法，还需要重视一题多解的探究. 一题多解的探究可以从两个方面进行：一是探究多解的方法；二是探究多解的思路构建.（1）求C的方程；解析本题是一道解析几何综合题，第（2）问为核心之问，求解两直线的斜率之和，可采用不同的方法来设定直线的方程.方法1：设直线的点斜式方程.方法2：设直线的斜截式方程.方法3：设双直线二次曲线系方程.备考建议：开展一题多解的探究是复习备考的重要环节. 在该环节中，要指导学生完成两方面的内容：一是总结类型题的常规解法，即通性通法；二是在此基础上开展多解思路、多解视角、多解方法、多解技巧等的分析.总结归纳，活用二级结论面对圆锥曲线问题时，活用一些二级结论可以简化解题过程，提高解题效果. 因此复习备考时应整理一些关于圆锥曲线的二级结论，包括两点：一是二级结论的内容，二是二级结论的类型.备考建议：圆锥曲线的二级结论较多，涉及众多知识内容，教学探究中需要引导学生注意两点：一是总结归纳二级结论的类型；二是探索证明二级结论，挖掘其背后的性质原理，深刻理解其内涵.圆锥曲线的二级结论类型丰富，包括与“焦点三角形”面积相关的二级结论，与“中心弦”性质相关的二级结论，与“中点弦”性质相关的二级结论，与“焦点弦”性质相关的二级结论.写在最后解析几何的知识内容较多，涉及众多考点，复习备考阶段需要对考点内容进行梳理. 教学中教师要围绕高考大纲引导学生夯实知识基础，总结归纳方法，拓展解题思维. 上文所提的四大备考建议是基于考向的总结，教学时可结合考题进行强化，促进学生知识与能力的全面提升.。

(16)2021年第1期中学数学教学参考（中旬>f 题探索基#通性通法探求一题多解*付粉娟（陕西省西安铁一中分校）陈法超（陕西师范大学附属中学）摘要：解决几何计算题应首先联想基本图形和基本定理，确定图形中不变的量和关系，进而明晰图形的基本结构；其次，借助几何中常用的计算工具——勾股定理、相似三角形、三角函数、面积法，基于解决几何计算题的通性通法，探求一题多解；最后，通过解后反思加深对通性通法的认识，优化解题路径，形成解决几何计算题的一般方法。

关键词：确定性分析；通性通法；几何计算；一题多解文章编号：1002-2171(2021)1-0016-042020年陕西中考数学第25题打破了陕西中考 压轴题多年考查最值问题的模式，涉及三角形、四边 形、圆的图形构成，以几何计算题的形式呈现，考查学 生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养及创 新应用所学知识解决问题的能力。

笔者立足于通性 通法，探究本题第（3)问的多种解法，并通过解后反 思，尝试提炼总结出解决此类题的一般方法和程序。

1试题呈现问题提出(1) 如图 1，在 RtAABC 中，ZACB = 90°，AC > BC ，Z A C B 的平分线交于点D ，过点D 分别作丄AC ，DF 丄BC ，垂足分别为£，F ，在图1中与线段C E 相等的线段是_____。

问题探究(2) 如图半圆0的直径，AB = 8，P 是^上一点，•^ = 2^，联结 A P ，P B 。

的平分线交于点C ，过点C 分别作C £丄A P ，C F 丄垂足分别为£，F ，求线段C F 的长。

*图1图2问题解决(3)图3是某公园内“少儿活 动中心”的设计示意图，已知©〇 的直径AB = 70 m ，点C 在©O 上，且CA = CB ，P 是上一点，联结C P 并延长，交©O 于点D ，联结AD ，BD 。

一、教案基本信息教案名称：《解析几何》课程教案课时安排：共24 课时，每课时45 分钟教学对象：高中一年级学生教学目标：1. 让学生掌握解析几何的基本概念、方法和技巧。

2. 培养学生运用解析几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。

教学内容：第一章：解析几何概述1.1 解析几何的定义与发展历程1.2 坐标系与坐标轴1.3 点、直线、圆的方程第二章：直线方程2.1 直线方程的定义与分类2.2 直线方程的斜率与截距2.3 直线方程的应用第三章：圆的方程3.1 圆的方程定义与性质3.2 圆的标准方程与一般方程3.3 圆的方程应用第四章：曲线与方程4.1 曲线与方程的概念4.2 常见曲线的方程4.3 曲线与方程的应用第五章：解析几何中的问题解决策略5.1 解析几何问题的类型与解法5.2 图形分析与变换5.3 解析几何在实际问题中的应用二、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解解析几何的基本概念、方法和技巧。

2. 运用案例分析法，结合具体实例分析，让学生深入理解解析几何的应用。

3. 采用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高学生的参与度。

4. 利用数形结合法，引导学生通过图形来直观理解解析几何问题。

三、教学评价1. 平时作业：检查学生对基本概念、方法和技巧的掌握程度。

2. 课堂练习：评估学生在课堂上解决问题、分析问题的能力。

3. 课程报告：考察学生对实际问题应用解析几何知识的能力。

4. 期末考试：全面测试学生对本课程的掌握情况。

四、教学资源1. 教材：选用权威、实用的解析几何教材。

2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助课堂教学。

3. 习题库：提供丰富、多样的习题，便于学生课后练习。

4. 参考资料：推荐学生阅读相关书籍、论文，拓展知识面。

五、教学进度安排第1-4 课时：解析几何概述第5-8 课时：直线方程第9-12 课时：圆的方程第13-16 课时：曲线与方程第17-20 课时：解析几何中的问题解决策略第21-24 课时：复习与总结六、教学策略及建议6.1 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，既注重基础知识的学习，又提供一定的拓展内容。

例谈一题多解在解析几何中的应用于庆丽(江苏省宿迁市泗洪姜堰高级中学㊀２２３９００)摘㊀要:解析几何在高考中不仅考查学生的思维能力而且也考查学生的运算能力.在做解几题目时学生有畏难情绪ꎬ可以引导学生从多角度来思考解几的解题方法ꎬ运算技巧ꎬ进而对各种解法进行比较分析ꎬ寻求最优解.通过一题多解培养学生的发散思维能力和运算能力.关键词:思维能力ꎻ运算能力ꎻ一题多解ꎻ最优解中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００７４－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:于庆丽(１９８４.１１－)ꎬ女ꎬ江苏人ꎬ中小学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀新课程视野下高考命题秉持素养立意ꎬ多以策略性知识为背景ꎬ考查学生必备知识㊁关键能力㊁学科素养和核心价值ꎬ就数学而言最核心的价值就是发展学生的数学素养和提高解决问题的能力.数学名家说过ꎬ问题是数学的心脏ꎬ思维是数学的灵魂ꎬ而方法则是数学的行为ꎬ从一个经典的ꎬ简明的数学问题出发ꎬ把数学冰冷的美丽转化成数学火热的思考.通过多角度ꎬ全方位的观察㊁感知㊁分析㊁尝试㊁提炼㊁综合ꎬ使得数学的思考从联系㊁到联通ꎬ再到思维的有效对接ꎬ能够很好地优化解题思路ꎬ提升分析问题解决问题的能力.近几年解析几何在高考中对计算能力的考查逐年加大ꎬ而好的解法能够简化运算ꎬ所以在平时教学中要注重一题多解在解析几何中的应用ꎬ可以从不同的角度去思考和分析问题ꎬ在多种解法中去寻求通解和优解.例１㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右顶点分别为Ａ㊁Ｂꎬ离心率为１２ꎬ点Ｐ１ꎬ３２æèçöø÷为椭圆上一点.(１)求椭圆Ｃ的标准方程ꎻ㊀(２)如图ꎬ过点Ｃ(０ꎬ１)且斜率大于１的直线ｌ与椭圆交于ＭꎬＮ两点ꎬ记直线ＡＭ的斜率为ｋ１ꎬ直线ＢＮ的斜率为ｋ２ꎬ若ｋ１＝２ｋ２ꎬ求直线ｌ斜率的值.分析㊀(１)根据已知条件ꎬ建立方程组ꎬ求出ａꎬｂꎬ即可得到椭圆的标准方程.(２)设出直线ｌ方程为ｙ＝ｋｘ＋１ꎬＭ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ将直线ｌ方程与椭圆方程联立ꎬ求出ｘ１＋ｘ２和ｘ１ｘ２ꎬ根据条件求出ｋ１和ｋ２ꎬ代入ｋ１＝２ｋ２化简计算ꎬ得到关于ｋ的方程ꎬ解方程求出ｋ的值.解析㊀(１)因为椭圆的离心率为１２ꎬ所以ａ＝２ｃ.又因为ａ２＝ｂ２＋ｃ２ꎬ所以ｂ＝３ｃ.所以椭圆的标准方程为ｘ２４ｃ２＋ｙ２３ｃ２＝１.又因为点Ｐ１ꎬ３２æèçöø÷为椭圆上一点ꎬ所以１４ｃ２＋９４３ｃ２＝１ꎬ解得ｃ＝１.所以椭圆的标准方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１.(２)解法一㊀(通过两边平方转化成韦达定理形式)由椭圆的对称性可知直线ｌ的斜率一定存在ꎬ设其方程为ｙ＝ｋｘ＋１.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２).联立直线ｌ与椭圆的方程组ｙ＝ｋｘ＋１ꎬｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ{消去ｙ可得(３＋４ｋ２)ｘ２＋８ｋｘ－８＝０.所以由根与系数关系可知ｘ１＋ｘ２＝－８ｋ３＋４ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－８３＋４ｋ２.因为ｋ１＝ｙ１ｘ１＋２ꎬｋ２＝ｙ２ｘ２－２ꎬ且ｋ１＝２ｋ２ꎬ所以ｙ１ｘ１＋２＝４７２ｙ２ｘ２－２.即ｙ２１ｘ１＋２()２＝４ｙ２２ｘ２－２()２①.又因为Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)在椭圆上ꎬ所以ｙ２１＝３４(４－ｘ２１)ꎬｙ２２＝３４(４－ｘ２２)②.将②代入①可得:２－ｘ１２＋ｘ１＝４２＋ｘ２()２－ｘ２ꎬ即３ｘ１ｘ２＋１０(ｘ１＋ｘ２)＋１２＝０.所以３－８３＋４ｋ２æèçöø÷＋１０－８ｋ３＋４ｋ２æèçöø÷＋１２＝０ꎬ即１２ｋ２－２０ｋ＋３＝０.解得ｋ＝１６或ｋ＝３２ꎬ又因为ｋ>１ꎬ所以ｋ＝３２.解法二㊀(通解)由椭圆的对称性可知直线ｌ的斜率一定存在ꎬ设其方程为ｙ＝ｋｘ＋１.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２).联立直线ｌ与椭圆的方程组ｙ＝ｋｘ＋１ｘ２４＋ｙ２３＝１{ꎬ消去ｙ可得(３＋４ｋ２)ｘ２＋８ｋｘ－８＝０.所以由根与系数关系可知ｘ１＋ｘ２＝－８ｋ３＋４ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－８３＋４ｋ２.因为ｋ１＝ｙ１ｘ１＋２ꎬｋ２＝ｙ２ｘ２－２ꎬ且ｋ１＝２ｋ２ꎬ所以ｙ１ｘ１＋２＝２ｙ２ｘ２－２ꎬ得(ｋｘ１＋１)(ｘ２－２)＝２(ｋｘ２＋１)(ｘ１＋２)ꎬｋｘ１ｘ２＋(２ｋ＋２)(ｘ１＋ｘ２)＋(２ｋ－３)ｘ２＋６＝０ꎬ(２ｋ－３)ｘ２＝－２(２ｋ－３)２４ｋ２＋３.①当２ｋ－３ʂ０ꎬｘ２＝６－４ｋ４ｋ２＋３ꎬｘ１＝－８ｋ４ｋ２＋３－６－４ｋ４ｋ２＋３＝－４ｋ－６４ｋ２＋３ꎬｘ１ｘ２＝６－４ｋ４ｋ２＋３ －４ｋ－６４ｋ２＋３＝－８４ｋ２＋３ꎬ解得ｋ＝ʃ１２.ȵｋ>１不满足题意ꎬ舍去.②当２ｋ－３＝０时ꎬｋ＝３２ꎬ－８ｋ３＋４ｋ２＋(２ｋ＋２)(－８ｋ)３＋４ｋ２＋６＝２(２ｋ－３)２３＋４ｋ２＝０ꎬʑｋ＝３２满足题意.解法三㊀(椭圆第三定义转化ｋＭＡｋＭＢ＝－ｂ２ａ２)由ｋ２ ｋＡＮ＝ｙ２ｘ２＋２ｙ２ｘ２－２＝－３４ꎬｋ＝２ｋ２ꎬʑｋ１ ｋＡＮ＝－３２.ｙ１ｘ１＋２ ｙ２ｘ２＋２＝－３２ꎬ２(ｋｘ１＋１)(ｋｘ２＋１)＝－３(ｘ１＋２)(ｘ２＋２)ꎬ(２ｋ２＋３)ｘ１ｘ２＋(２ｋ＋６)(ｘ１＋ｘ２)＋１４＝０.将ｘ１＋ｘ２＝－８ｋ３＋４ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－８３＋４ｋ２代入得４ｋ２－８ｋ＋３＝０ꎬ解得ｋ＝３２或ｋ＝１２.ȵｋ>１ꎬʑｋ＝３２.解法四㊀(将直线ＡＭ与椭圆方程联立ꎬ解出Ｍ㊁Ｎ)㊀设直线ＡＭ方程为ｙ＝ｋ１(ｘ＋２)ꎬ与椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ联立消ｙ得(３＋４ｋ２１)ｘ２＋１６ｋ２１ｘ＋１６ｋ２１－１２＝０ꎬ得Ｍ(６－８ｋ２１３＋４ｋ２１ꎬ１２ｋ１３＋４ｋ２１).同理ꎬ解得Ｎ(８ｋ２２－６３＋４ｋ２２ꎬ－１２ｋ２３＋４ｋ２２).ʑｋＭＮ＝１２ｋ１３＋４ｋ２１＋１２ｋ２３＋４ｋ２２６－８ｋ２１３＋４ｋ２１－８ｋ２２－６３＋４ｋ２２＝９ｋ２３－８ｋ２２ꎬ直线ｌ方程为ｙ＝９ｋ２３－８ｋ２２(ｘ－８ｋ２２－６３＋４ｋ２２)－１２ｋ２３＋４ｋ２２.直线ｌ过(０ꎬ１)点ꎬ将(０ꎬ１)代入上式ꎬ化得８ｋ２２＝３－６ｋ２代入ｋＭＮ得ｋＭＮ＝９ｋ２６ｋ２＝３２.㊀㊀参考文献:[１]陈小波.挖掘例题的育人价值ꎬ发展学生的核心素养[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１９(４):６９.[２]猿辅导高中数学教研组.解析几何满分之路[Ｍ].天津:天津人民出版社ꎬ２０１９.[责任编辑:李㊀璟]５７。

２０２３年９月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀开展 一题多解 ,探究 一题多变一道解析几何题的破解◉江苏省海安高级中学㊀朱函颍㊀㊀摘要: 一题多解 ,可以开阔解题思路㊁发散学生思维; 一题多变 ,可以拓展数学知识㊁聚合学生思维．合理解题探究与变式拓展可以很好提升解题效益,避免题海战术．结合一道抛物线问题实例,通过 一题多解 与 一题多变 ,在研究中寻找通法,在探究中升华能力,促使学生形成良好的数学品质．关键词:抛物线;准线;直线;斜率;变式㊀㊀根据现代思维的科学研究,问题是展开思维与应用的起点, 疑 是根本, 解疑 是目标,最容易引起定向探究反射与问题的深入思考．而在数学教学与数学学习过程中,更要合理培养与形成探究意识,从问题的内涵㊁问题的解法㊁问题的深入与问题的探究等多方面入手,合理拓展思维的深度与广度,进行必要合理创新应用,从而形成良好的数学品质．１问题呈现问题㊀ 燕博园２０２３届高三年级综合能力测试(C A T)数学(新高考Ⅰ卷)试卷 已知抛物线y２＝a x 的焦点为F,准线l交x轴于点Q,过点F的直线交抛物线于M,N两点,则直线Q M与直线Q N的斜率之和为．该题以抛物线为问题场景,对直线与抛物线的位置关系加以合理创设．借助过焦点的动直线的变化,以 动 态创设场景,利用两直线的斜率之和为常数,以 静 态形式设问,巧妙融合解析几何与平面几何中的相关知识,难度中等．利用圆锥曲线这一主干知识,抓住直线与圆锥曲线位置关系这一热点问题,合理创设,巧妙 动 与 静 变化, 数 与 形 融合,构建一幅完美的画卷．实际破解问题时,抓住问题内涵与实质,从问题根本入手,可以借助解析几何思维㊁平面几何思维与特殊情况思维等来展开,从不同的技巧方法视角来切入,实现问题的巧妙转化与应用．２问题破解２．１通性通法方法１:解析几何思维法．解析:依题知,焦点F(a４,０),准线方程为x＝－a４,Q(－a４,０)．设过焦点F的直线方程为x＝m y＋a４,M(x１,y１),N(x２,y２)．联立x＝m y＋a４,y２＝a x,{消去参数x,整理可得y２－a m y－a２４＝０,则y１＋y２＝a m,y１y２＝－a２４．于是有㊀k Q M＋k Q N＝y１x１＋a４＋y２x２＋a４＝x１y２＋x２y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝(my１＋a４)y２＋(m y２＋a４)y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２my１y２＋a２(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２mˑ(－a２４)＋a２ˑa m(x１＋a４)(x２＋a４)＝０．所以直线Q M与直线Q N的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中,最基本的 通性通法 就是解析几何思维法．通过设置相关的点的坐标㊁直线的方程㊁圆锥曲线的方程等,联立直线与圆锥曲线方程,结合函数与方程思维来进一步分析与转化,进而实现问题的解决．解析几何思维法的缺点之一就是数学运算量大,它也是制约部７７Copyright©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀分学生深入分析与应用的一个重要因素．２．２数形结合法方法２:平面几何思维法．图１解析:不失一般性,如图１所示,过M ,N 两点分别作准线l 的垂线,垂足分别为A ,B ,由于M A ʊF Q ʊN B ,因此可得|M F ||N F |＝|A Q ||B Q |．根据抛物线的定义,可得|M A |＝|M F |,且|N B |＝|N F |,则|M A ||N B |＝|A Q ||B Q |,可得әM A Q ʐәN B Q ,于是øM Q A ＝øN Q B ,所以øM Q F ＝øN Q F ．所以直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补,即直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:回归曲线的本质,结合平面几何图形的基本性质与特征,数形结合,逻辑推理,这是解决解析几何综合应用问题比较常用的一种技巧与方法,也是平面几何思维法处理的关键．２．３巧技妙法方法３:特殊情况法．解析:当过点F 的直线垂直于x 轴时,根据抛物线y ２＝a x 关于x 轴对称,可知点M ,N 关于x 轴对称,则知直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补．所以直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:结合矛盾的普遍性寓于特殊性之中,通过填空题这一特殊形式的设置,借助 动 直线在运动变化过程中的某一特殊情况,以特殊代替一般,又从特殊回归到一般,实现解决问题的 巧技妙法 ．特殊思维法在解决解析几何 运动 问题中经常用到,借助点㊁直线㊁角或相关元素的运动变化情况,以特殊代替一般,实现问题的普遍性与特殊性的辩证转化．３变式拓展３．１类比拓展圆锥曲线中的不同曲线之间具有一定的相似性与可类比性,在以上抛物线背景下,改变圆锥曲线的类型以及对应曲线的场景,借助其焦点与相应准线的位置关系,也有类似的变式问题．变式１㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)变式２㊀已知双曲线C :x ２a ２－y ２b ２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)以上两个变式问题的解析过程,可以参照原问题的方法１㊁方法３来展开,这里不多加赘述．当然,也可以将问题转化为探求两直线倾斜角的关系问题(两直线的倾斜角互补)进行探究．３．２逆向拓展在解题研究中,逆向思维也是变式拓展的一种基本思维方式．借助问题题设条件与结论之间的关系,通过数学思维的逆向操作与应用,合理加以探究与拓展,经常会有不错的收获．变式３㊀已知抛物线y ２＝a x 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式４㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式５㊀已知双曲线C :x ２a ２－y２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式３~５的答案为:(－a ４,０),(a ２c ,０),(a２c,０)．以上三个变式问题的解析过程也可以参照原问题的方法１．４教学启示在解决一些典型的数学综合应用问题时,要合理引导学生深入挖掘,适当探究拓展,充分掌握问题的本质与内涵,剖析对应的数学基础知识与数学基本能力,从而实现 一题多解 一题多研 一题多变 ,不断提升与拓展破解数学问题的基本技能与策略,提高数学思维品质的变通性,真正达成 一题多练 一题多得 ．同时,有效调动学生数学解题的积极主动性与参与性,合理辨析概念㊁公式等的异同,深刻反思并有效拓展,努力培养发现问题的能力与深入质疑问题的探究精神．Z８７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

加以了解.借助课本中基础问题的处理ꎬ学生针对新知识将会产生好奇感㊁求知欲ꎬ实现学生学习积极性的调动.除此之外ꎬ新时期下的课堂教学中ꎬ教师需注重自身教学引导作用的充分发挥ꎬ并在必要时针对教学知识展开相应的讲解ꎬ如以下例题讲解为例:已知函数ｙ＝ｆ(ｘ)图象在点Ｍ(１ꎬｆ(１))处切线方程为ｙ＝ｘ/２＋２ꎬ求ｆ(１)＋ｆ(－１)的值.此道例题讲解过程中ꎬ教师应先将解题方式向学生告知ꎬ但对于完整的解题步骤应要求学生自主展开探究ꎬ或可向学生提出课堂问题: 同学们ꎬ你们通过已知条件的阅读能否对Ｍ点的坐标值加以计算ꎬ对于ｆ(－１)的值能否计算? 教师借助问题处理思路的告知ꎬ引导学生自主展开学习探究活动.教师组织学生展开分组讨论后ꎬ可引导学生对问题解决方法㊁解决思路加以探讨ꎬ并对解决问题过程中所存在的错误加以分析ꎬ制定相应处理方式.随后ꎬ教师应鼓励学生对自身在学习过程中所存在的疑问之处加以提出ꎬ教师结合学生所提出疑问加以具体讲解.教师在教学内容讲解完成后ꎬ应对此节课程的解题方式及解题关键之处加以总结ꎬ推动学生网状知识结构的形成ꎬ便于学生加深知识记忆ꎬ并完成知识的巩固.在此过程中ꎬ教师还应对各小组的探讨结果加以分析㊁讲解ꎬ帮助学生可对解题方式加以了解ꎬ针对问题的本质加以理解ꎬ实现所学知识的强化及巩固ꎬ并引导学生将此解题方式应用至其他问题处理中ꎬ提高学生举一反三的能力ꎬ提高学生知识灵活应用程度.为实现此教学活动的顺利展开ꎬ要求教师需注重自身健全知识网络结构的构建ꎬ以此引导学生完成数学知识的梳理ꎬ连贯性掌握数学知识ꎬ提高学生自主学习能力ꎬ并推动学生创新能力的形成.㊀总之ꎬ高中教育阶段注重学生创新思维能力的培养ꎬ除可帮助学生实现数学知识的良好掌握外ꎬ还可为学生其他学科学习活动的顺利实施创造良好条件ꎬ针对推动学生综合素质发展而言也具备重要意义.教师在数学教学活动中ꎬ可借助转变学生定式思维㊁发挥教师课堂引导作用等策略ꎬ实现学生创新思维的培养ꎬ促进学生全面发展.㊀㊀参考文献:[１]王红敏.高中数学教学中培养学生创新思维的措施[Ｊ].散文百家(国学教育)ꎬ２０１９(０５):２７４.[２]黄云.高中数学教学中培养学生创新思维的措施[Ｊ].人文之友ꎬ２０１９(０１４):２１６.[责任编辑:李㊀璟]在解析几何教学中渗透数学思想方法的策略研究赵雪梅(江苏省宜兴丁蜀高级中学㊀２１４２２１)摘㊀要:解析几何内容是高中数学的重要组成部分ꎬ也是高考的热点.它蕴含着丰富的数学思想ꎬ该部分的主要知识点通过这些数学思想串联在一起ꎬ贯穿于整个解析几何的学习过程.我们在平时的教学中ꎬ要把这些数学思想自始至终地让学生感受体会ꎬ于润物细无声中培养学生思维能力及解题能力.关键词:解析几何ꎻ数学思想ꎻ策略研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３０－００３５－０２收稿日期:２０２０－０７－２５作者简介:赵雪梅(１９７９.１１－)ꎬ女ꎬ江苏省人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀众所周知ꎬ解析几何是高中数学的重要分枝.解析几何部分蕴含着丰富的数学思想ꎬ该部分的主要知识点通过这些数学思想串联在一起ꎬ贯穿着整个解析几何的学习过程.如果说在解析几何教学中知识是载体的话ꎬ那么数学思想方法就是精髓和灵魂ꎬ只有让学生掌握了这些数学思想方法ꎬ学生才能够灵活应用解析几何知识来解决解析几何问题ꎬ才能够提高解析几何教学效果.㊀㊀一㊁借助数学史ꎬ渗透数学思想方法数学史浓缩了人类数学发展的主要过程ꎬ概括了数学知识的本质ꎬ提炼了重要的数学概念和数学思想ꎬ是学生乐于知晓尤感兴趣的话题ꎬ更是学生理解和掌握数学思想方法的重要源头.作为数学教师ꎬ我们可以通过引入数学史的方式来向学生渗透数学思想ꎬ使其为数学课堂教学服务.为此ꎬ我们可在解析几何知识的起始环节的教学中ꎬ适当引入笛卡尔有关直角坐标系的创立史ꎬ形象直观地让学生了解解析几何的相关发展背景ꎬ从而激起学生强烈的学习兴趣ꎬ为数学方法的学习奠定基础.例如ꎬ在学习解析几何之前ꎬ先设置一个导言课ꎬ通过讲座和师生交流的方式ꎬ来介绍解析几何课程内容和学科思想方５３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.法.我们可以从介绍笛卡尔入手ꎬ让学生置身笛卡尔当时所处的历史时代及创立解析几何的构思背景ꎬ在了解解析几何的创新历程和巨大的应用价值中ꎬ体会笛卡尔的精神㊁信念.在解析几何教学中引入数学史ꎬ并将其以 问题化 的形式展开教学ꎬ不仅使得数学史在解析几何课堂中的引入更加自然ꎬ还有助于学生去体会数学思想ꎬ培养学生的数学核心素养.㊀㊀二㊁通过代数与几何之间的转化ꎬ体会数学思想㊀㊀用解几处理问题的本质就是几何问题代数化ꎬ通过建立坐标系将几何问题转化为代数问题去求解ꎬ这是数形转化的绝佳平台.在现阶段的高中数学解析几何教学中ꎬ很多教师仅注重传授学生将几何问题转化为代数问题的方法ꎬ很少去引导学生探究代数结果背后的几何意义ꎬ这样的教学导致学生对数学思想方法的理解不到位.教师应该让学生明白ꎬ用解析几何思想处理研究具体问题ꎬ必须具备两种本领:一是化数为形ꎬ二是由形逆数.化数为形是指将代数问题转化为几何结构ꎬ这样兼顾了问题的直观性ꎻ由形逆数是指通过恰当建系将几何结构代数化ꎬ使几何问题更具微观概括性.让学生在数形转换的奥妙中去体会数学思想.例如:在椭圆部分的教学中ꎬ教师先出示椭圆的实物模型ꎬ帮助学生建立椭圆的直观感知ꎬ然后再利用代数表达式去揭示椭圆图形的几何性质ꎬ总结椭圆的定义.接着要积极引导学生探究椭圆的标准方程ꎬ和学过的什么曲线方程形式比较接近?让学生将之与圆的标准方程进行对比ꎬ它们有何异同?让学生体会数学思想方法的应用.互动过程如下:不妨设Ｍ为椭圆上的任一点ꎬＭ到两焦点Ｆ１和Ｆ２的距离之和用２ａ表示ꎬ同时设椭圆的焦距为２ｃ(ｃ>０)ꎬ如此一来ꎬ焦点Ｆ１(－ｃꎬ０)㊁Ｆ２(ｃꎬ０).那么该椭圆就是集合Ｐ＝{Ｍ｜｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜＝２ａ}.根据ＭＦ１＝(ｘ＋ｃ)２＋ｙ２ꎬＭＦ２＝(ｘ－ｃ)２＋ｙ２ꎬ可得(ｘ＋ｃ)２＋ｙ２＋(ｘ－ｃ)２＋ｙ２＝２ａꎬ方程转化可得ａ２－ｃｘ＝ａ(ｘ－ｃ)２＋ｙ２.两边平方可得ａ４－２ａ２ｃｘ＋ｃ２ｘ２＝ａ２ｘ２－２ａ２ｃｘ＋ａ２ｃ２＋ａ２ｙ２ꎬ整理可得:(ａ２－ｃ２)ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２(ａ２－ｃ２).根据椭圆的定义可以得知２ａ>２ｃꎬ那么ａ>ｃꎬ所以ａ２－ｃ２>０ꎬ令ａ２－ｃ２＝ｂ２ꎬ那么上式转化得ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０).到此为止我们就推导出了椭圆的标准方程.然后教师引导学生回顾圆的标准方程及它的几何意义:(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝ｒ２ꎬ它表示圆上的任意一点到点(ａꎬｂ)的距离为ｒ.教师提出问题引导:通过观察圆的标准方程ꎬ两边开方ꎬ我们能够非常明显的发现它的几何意义:等式左边是表示某两点间距离ꎬ右边则是距离值.但我们再观察椭圆的标准方程ꎬ就会发现它的几何意义并不明显.通过椭圆的标准方程ꎬ我们很难发现 椭圆上的点到两定点的距离之和均等于２ａ 这一几何意义.接下来教师就要引导学生分析上述推导过程ꎬ寻找代数推理过程中的几何意义.通过这样的课堂教学ꎬ学生不仅体会到了代数与几何间的相互转化ꎬ也感受到转化并非一帆风顺ꎬ有时是相当艰难ꎬ只有心中具备转化执念ꎬ熟悉不同距离的代数表达ꎬ勇于探索ꎬ敢于尝试ꎬ才能体会成功的快乐.㊀㊀三㊁借助思维导图进行复习ꎬ帮助学生提炼数学思想方法㊀㊀学生通过大量的知识学习ꎬ已经接触到了部分数学思想方法ꎬ教师要及时地组织学生进行复习ꎬ这样学生才不会遗忘ꎬ才能够将其内化成自己的思维方式.思维导图能够将学生所学知识之间的逻辑关系可视化ꎬ是引导学生高效复习的一种非常有效的手段.它能够将各个概念之间的关系直观地表达出来ꎬ能够调动学生的思维ꎬ促进学生将所学的知识联系起来形成知识体系ꎬ让他们由被动地接受知识转化为主动地去构建知识体系.思维导图不仅能够辅助学生构建知识体系ꎬ提炼数学方法ꎬ还能够应用于解题当中ꎬ锻炼数学思维ꎬ如下图所示:已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的右焦点为Ｆꎬ过Ｆ且斜率为３的直线交Ｃ于ＡꎬＢ两点若ＡＦң＝４ＦＢңꎬ则Ｃ的离心率为.客观地说ꎬ解析几何的相关部分内容繁琐ꎬ运算量大ꎬ思维要求较高ꎬ既是教学的重点ꎬ也是教学的难点ꎬ更是高考的热点.由于其自身知识抽象性和综合性较强ꎬ也成为了很多学生学习的难点.数学思想作为贯穿整个解析几何教学的思想方法ꎬ它能够将这些零散繁琐的知识点串联起来ꎬ形成知识体系.我们在平时的教学中ꎬ要把这些数学思想自始至终地让学生感受体会ꎬ于润物细无声中提升学生思维能力.㊀㊀参考文献:[１]江华余.高中解析几何的学习障碍与解决方法研究[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１８(１１):８４－８.[２]洪昌强.莫让数形结合能力培养机会流失 以椭圆标准方程推导教学为例[Ｊ].数学通报ꎬ２０１４(８):２２－２４.㊀[责任编辑:李㊀璟] ６３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的. 一方面是回顾已学过的数学知识. 进一步巩固基础知识. 另一方面. 随着学生学习能力的不断提高. 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复. 而是有对所学知识进一步理解的需求. 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等. 所以高三数学复习既要“温故” . 更要“知新” . 既能引起学生的兴趣. 启发学生的思维. 又能促使学生不断提出问题. 有新的发现和创造. 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容. 也是高考考查的重点．每年的高考卷中.一般有两道选择或填空题以及一道解答题. 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用. 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查.重视对圆锥曲线定义的应用. 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位.是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体.与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合.结合数学思想方法.并与高等数学基础知识融为一体.考查学生的数学思维能力及创新能力.其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位.这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” ．所以研究解析几何的解题思路.方法与策略.重视一题多解.一题多变.多题一解这样三位一体的拓展型变式教学.是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中.在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - .若直线l 交x 轴负半轴于A.交y 轴正半轴于B.O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S .求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值； （3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴.y 轴正半轴.设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>.∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B . （1）∴422122)12(2≥++=+=kk k k S , ∴当1)22=k （时.即412=k .即 21=k 时取等号.∴此时直线l 的方程为221+=x y .（2）3223211221+≥++=+++=+k k k k OB OA .当且仅当22k =时取等号； （3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k k k k k k MB MA . 当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x .∵过点(2,1)M -.∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121. ∴822≥-⇒≥-ab ab .∴42121≥-==∆ab b a S AOB ； （2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+ba ab b a b a b a b a OB OA ； （3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=ab b a ． （3）方法三： θsin 1=MA .θcos 2=MB . ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA .当且仅当12sin =θ时最小.∴4πθ=．变式1：原题条件不变.（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y .且(,0)A a .(0,)B b .则3a x =.3b y =.又∵112=+-ba .∴13132=+-y x . ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y .该重心的轨迹为双曲线一部分； （2）令直线AB 倾斜角为θ.则20πθ<<.又(2,1)M -.过M 分别作x 轴和y 轴的垂线.垂足为,E F , 则θsin 1=MA . θcos 2=MB .θtan 1=AE .θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l 2sin 2cos )2cos 2(sin22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222θθθθθθθθθθθ-+++=++++=)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=. 令12cot-=θt . 则t>0. ∴周长10)2(213≥++++=t t t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。

数学解析几何题解题技巧解析几何作为高中数学重要的一部分，是数学中的一门重要学科。

解析几何题目通常涉及到点、线、面等几何元素，并结合数学分析的方法进行求解。

解析几何题解题技巧的掌握对于学生的考试成绩和数学水平有着重要的影响。

本文将介绍一些解析几何题解题的常见技巧和方法。

一、坐标表示法在解析几何中，常常使用坐标表示法来解决问题。

坐标表示法利用数轴上的点与数的对应关系，将几何问题转化为数学问题进行求解。

在解析几何题目中，常用的坐标表示法包括直角坐标系、极坐标系等。

直角坐标系是最常见的坐标表示法之一。

在直角坐标系中，我们用x和y两个坐标轴来表示二维平面上的点。

在解析几何题目中，可以通过设定坐标原点，确定x轴和y轴的正负方向，来表示点的位置。

利用直角坐标系，我们可以计算线的斜率、距离等问题，从而解决解析几何题目。

极坐标系是另一种常用的坐标表示法。

在极坐标系中，我们用极径和极角来表示平面上的点。

极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。

利用极坐标系，我们可以更方便地表示圆、曲线等等问题，从而解决解析几何题目。

二、方程表示法方程表示法是解析几何题目中另一个重要的解题方法。

通过建立方程，可以用代数的方法求解几何问题。

在解析几何题目中，常常利用点、线、曲线的方程来表示几何元素的性质和关系。

例如，对于一条直线，可以通过两点式、点斜式、一般式等不同形式的方程来表示。

在解析几何题目中，可以通过已知条件，建立直线的方程，并结合其他几何元素的方程，解得问题的答案。

对于一条曲线，通常可以通过解析几何的知识，建立其方程，并通过求解方程，得到曲线上的点坐标等问题。

在解析几何题目中，方程表示法是解决问题的重要手段之一。

三、向量表示法向量表示法是解析几何题目中另一个常用的技巧。

向量表示法利用向量的性质和运算，可以更方便地表示点、线、面等几何元素，从而解决解析几何问题。

在解析几何题目中，常常通过设立向量的起点和终点，来表示点或线段。

高中数学解析几何的思路与方法解析几何是高中数学的重要组成部分，它涉及到坐标系、方程、图形等多个方面。

在学习解析几何时，我们需要掌握一定的思路和方法，才能更好地理解和掌握相关知识。

一、理解基本概念解析几何涉及到许多基本概念，如坐标系、方程、向量、曲线等。

在学习时，我们需要对这些概念有清晰的认识，并能够正确地理解它们的含义和用途。

只有掌握了基本概念，才能为后续的学习打下基础。

二、掌握解题方法解析几何的解题方法有很多，如代入法、配方法、几何法等。

在学习时，我们需要掌握这些方法的基本原理和使用技巧，并能够根据题目要求选择合适的解题方法。

同时，我们还需要多做练习，积累解题经验，不断提高解题能力。

三、建立坐标系在解析几何中，建立坐标系是解题的重要步骤。

通过建立合适的坐标系，我们可以将曲线上的点用坐标来表示，从而方便地求出曲线的性质和形状。

在建立坐标系时，我们需要根据题目的要求和曲线的情况选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。

四、利用方程求解解析几何中的方程是联系曲线和数值的桥梁。

通过解方程，我们可以得到曲线上点的坐标，进而求出曲线的性质和形状。

在学习时，我们需要掌握方程的基本形式和求解方法，如联立方程、化简方程、代入数值等。

同时，我们还需要注意方程的解法和数值的取值范围，避免出现错误和遗漏。

五、结合图形理解解析几何是一门与图形密切相关的学科，通过图形可以更加直观地理解曲线的性质和形状。

在学习时，我们需要结合图形来理解解析几何的知识，如通过画图来理解坐标系和方程的含义和作用，通过观察图形来分析曲线的性质和特点等。

同时，我们还需要注意图形的形状和特点，以便更好地理解和应用解析几何的知识。

六、拓展应用领域解析几何不仅在数学领域中有广泛的应用，还在物理、工程、经济等多个领域中有着重要的应用价值。

在学习时，我们需要了解解析几何在不同领域中的应用情况，并能够根据实际情况选择合适的解题方法和应用领域。

同时，我们还需要注意不同领域中的问题特点和应用要求，以便更好地解决实际问题。

例谈圆锥曲线中的一题多解圆锥曲线是解析几何中的重要内容，它包括椭圆、双曲线、抛物线等多种曲线形式。

在解析几何的学习中，圆锥曲线的相关题目一般都是有一题多解的情况，因此需要通过分析、计算、推理等方法来求解。

本文将以一个具体的圆锥曲线题目为例，讨论一题多解的情况，并探讨其解题方法和意义。

具体来说，我们考虑以下题目：已知椭圆E的焦距为2，离心率为3/5，则椭圆E的长轴为多少？我们知道椭圆的离心率e满足0<e<1，表示椭圆的扁率，离心率越接近0，椭圆就越圆。

在这个问题中，离心率为3/5，离心率是椭圆长轴和短轴之间的比值，所以我们可以得到方程e=c/a，其中c为椭圆的焦距，a为椭圆的长轴一半。

由此得到a=c/e=2/(3/5)=10/3。

这并非我们得到的唯一答案。

因为在解析几何中，椭圆的长轴和短轴并没有规定一个具体的方向，因此一般考虑的是长轴的长度而不是具体方向。

在本题中，我们只知道椭圆的焦距为2，但并没有规定焦点的位置，也就是说，椭圆的焦点可以位于椭圆的任意位置。

我们可以通过调换椭圆的焦点的位置来得到不同的答案。

具体来说，我们可以假设椭圆的A、B为焦点，然后将椭圆的长轴方向表示为AB的连线，进行考虑椭圆的长轴的不同情况。

在这种情况下，我们可以得到椭圆E的长轴在AB上的投影为2，但是具体的长度并没有确定。

我们可以拆分AB为2个相等的线段，然后对每个线段做垂直平分线，这样就可以得到椭圆的长轴的两条候选线。

通过调换焦点的位置和对称性的特点，我们可以得到椭圆的长轴有两个候选解，分别是10/3和20/3。

这就是这个特定题目的一题多解的情况。

从另一个角度来说，我们可以得到对应的两个椭圆，它们的长轴分别为10/3和20/3。

圆锥曲线中的题目往往存在一题多解的情况，需要我们通过综合考虑对称性、特殊情况、等价变换等方法来进行求解。

在实际问题中，我们也需要对得到的多个解进行合理判断和选择。

这也反映了解析几何中的灵活性、抽象性和推理能力的重要性。

解析几何学习中的关键问题高中解析几何问题是学生学习中的难点问题，我们就高中解析几何教学策略这一主题进行研究，旨在教学中,关注知识内容的衔接，把有关内容放在平面解析几何内容的通盘中整体考虑，研究解析几何的通性、通法在高中各学段的不同体现。

解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，是高中数学的经典内容。

其实质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想。

高中解析几何的学习大致分成三个阶段：学生在高一阶段的必修2中学习“平面解析几何初步”，进入高二年级，在选修1-1或2-1中学习“圆锥曲线与方程”。

理科还要学习选修 4-4“坐标系与参数方程”，高三阶段，我们还对这些构成解析几何的经典内容进行系统的梳理和复习。

如何让学生从接触解析几何的第一天起，就感受到其内容的核心与精华，了解这段内容的学习方法和研究方法，我们就每个学段要达到的教学要求、不同学段的教学策略、各学段教学内容的衔接等几个方面进行了具体实践。

我们重温了课标对解析几何的教学要求，在此基础上讨论了教材体系和教学内容与过去大纲版的变化。

如教材的分层设计，这种处理方式体现了循序渐进的原则，关注学生初高中的衔接。

我们认真揣摩各学段的教学要求，在此基础上，以解析几何的思想方法为主线，以课例为载体，增加一线教师操作的可行性和实效性，对各学段解析几何的教学内容、要求、教法进行具体、深入的探索研究。

把理性的思考和具体的课例结合起来，开展了此研究。

研究一：直线与圆的位置关系“平面解析几何初步”的重点是帮助学生初步体会解析几何的思想历程：将几何问题代数化——处理代数问题——分析代数结果的几何含义——解决几何题。

在平面直角坐标系中，点、直线和圆都有了代数形式，我们就可以用代数的方法来研究几何问题了。

这与初中阶段我们直接借助几何图形来研究其形状、大小、位置关系不同。

实际上我们是在用代数方法研究平面几何问题。

另一方面，用代数方法研究问题也不是全新的、没见过的，初中已经将点和有序实数对建立了一一对应关系，只是没有系统地接触解析几何的思想方法罢了。

解析几何专题教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解解析几何的基本概念，掌握直角坐标系中点的坐标表示方法。

（2）熟练运用解析几何方法解决实际问题，提高空间想象能力。

2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生掌握点的坐标表示方法，培养学生的抽象思维能力。

（2）运用图形直观展示解析几何问题，培养学生数形结合的解题思想。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，激发学生探索几何问题的热情。

（2）培养学生克服困难的意志，增强学生解决问题的信心。

二、教学内容1. 解析几何基本概念（1）直角坐标系（2）点的坐标表示方法（3）直线、圆的方程2. 点的坐标表示方法及应用（1）坐标轴上的点（2）坐标轴上的点与几何图形的关系（3）点的坐标在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）解析几何的基本概念（2）点的坐标表示方法及应用2. 教学难点：（1）直线、圆的方程的推导与理解（2）坐标轴上的点与几何图形的关系四、教学方法与手段1. 教学方法：（1）讲授法：讲解解析几何基本概念、直线的方程等。

（2）实践操作法：引导学生动手绘制图形，分析点的坐标表示方法。

（3）案例分析法：分析实际问题，培养学生运用解析几何方法解决问题的能力。

2. 教学手段：（1）黑板：板书关键知识点、解题步骤等。

（2）多媒体课件：展示图形、动态演示等。

（3）练习题：巩固所学知识，提高解题能力。

五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关知识点，如坐标轴、坐标系等。

（2）通过实例引入解析几何的基本概念。

2. 讲解新课：（1）讲解直线的方程，引导学生理解直线的几何性质。

（2）讲解点的坐标表示方法，结合实例进行分析。

3. 课堂练习：（1）布置练习题，巩固点的坐标表示方法。

（2）选讲典型题目，分析解题思路和方法。

4. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调解析几何的基本概念和点的坐标表示方法的重要性。

5. 课后作业：布置作业，要求学生掌握点的坐标表示方法，并能运用解析几何解决实际问题。