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正反比例的定义和判断方法
一、正比例和反比例的定义和判断方法
1、比例
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
2、比例的意义
比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。
3、比例的基本性质
两个外项的积等于两个内项的积。
4、解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例的另外一个未知项。
求比例中的未知项，叫做解比例。
5、正比例和反比例
（1）正比例
正比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
正比例关系可以用下面式子表示：$\frac{y}{x}=k$（一定）。
（2）反比例
反比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
反比例关系可以用下面式子表示：$xy=k$（一定）。
6、判断正、反比例的方法
可总结为“一找、二看、三判断”，即
找变量：分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。
看定量：分析这两种相关联的量，它们之间的关系是商一定还是积一定。
判断：如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例；如果商和积都不是定量，就不成比例。
人教版六年级数学——正比例和反比例的比较教科书第87-90页的内容，教学目的1．通过比较，使学生进一步理解正比例和反比例的意义，弄清它们的联系和区别，掌握它们的变化规律，能够正确地判断成正、反比例的关系．2．进一步发展学生的分析、比较、抽象、概括的能力．渗透对立统一的观点．教学过程一、复习引入教师：前面我们学习了正比例和反比例的意义，谁能说说正比例和反比例的意义？然后让学生判断下面每题中的两种量成不成比例，是成正比例还是成反比例．1．单价一定，数量和总价．2．路程一定，速度和时间．3．正方形的边长和它的面积．4．时间一定，工效和工作总量．教师：我们在前两节课分别学习了成正比例的量和成反比例的量，初步学会判断两种量是不是成正比例或反比例的关系，发现有些同学判断时还不够准确．这节课我们要通过比较弄清成正比例的量和成反比例的量有什么相同点和不同点．板书课题：正比例和反比例的比较二、探究新知1．正、反比例意义的对比．教学例7．出示例7的两个表：表1总价8164080160数量1251020表2单价804020105数量124816学生根据教科书第19页的两个表中所给的数量，分别在课本上填空．要求学生独立完成后在小组中互相检查，电脑出示正确答案，集体校正．在表1中：在表2中：相关联的量是路程和时间，路程随着时相关联的量是速度和时间，速度随着时间变化，速度是一定的．因此，路程和间变化，路程是一定的．因此，速度和时间成正比例关系时间成反比例关系．讨论：从两张表中，你是怎样发现谁是一定的？怎样判断另外两个量成什么比例关系？学生分小组充分讨论后，选派代表发言．你发现总价、单价、数量这三个量之间有什么关系？板书：单价数量＝总价总价/数量＝单价总价/单价=数量这三个量中，当其中一个量一定时，其他两个量之间有什么比例关系呢？你们能通过小组讨论，得出结论吗？归纳：当单价一定时，总价和数量成正比例关系．当总价一定时，单价和数量成反比例关系．当数量一定时，总价和单价成正比例关系．2．比较正比例和反比例关系．通过上面的例子，比较正比例关系和反比例关系，你能说出它们之间有什么相同点与不同点吗？学生分小组讨论后每组汇报自己的讨论结果，教师逐步完成板书．组织讨论，教师归纳并板书：正比例反比例相同点1．都有两种相关联的量．2．一种量随着另一种量变化．不同点1．变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．2．相对应的每两个数的比值是一定的．1．变化方向相反，一种量扩大，另一种量反而缩小．2．相对应的每两个数的积是一定的．三、巩固练习1．试一试做教科书第89页试一试中的题目．判断书牍、时间和路程中，每两个量成什么比例关系，为什么？让学生自己填，并说一说为什么．2．做练一练的第1～4题．要求学生先独立进行判断、填空，再互相说明理由．反馈讲评。
六年级数学教案成正反比例的比较教案与反思教学目标：在巩固正反比例的意义和正方比例的判断方法上，通过比较观察，理解并掌握正、反比例的意义和判断方法的差异，明确在同一组数量关系中，什么量一定时，另外两种量成正比例关系；什么量一定时，另外两种量成反比例关系，并能正确地判断。
教学重点、难点：区分正反比例的差异教学过程：【一】复习1、前面一段时间我们学习哪两种比例关系？说说你的理解！板书：正比例、反比例〔学生回顾正反比例〕2、出示小黑板：表【一】总价〔元〕8164080160数量〔件〕1251020〔〕和〔〕是两种相关联的量，〔〕随着〔〕而变化，〔〕一定。
所以〔〕和〔〕成〔〕关系。
表【二】单价〔元〕804020105数量〔件〕124816让学生先完成表一的问题，在让学生如同表一的问题完成表二，书写在作业作上，请两名学生说一说。
3、想一想：单价、数量、总价这三种量、每两种之间存在怎么样的比例关系？它们的条件是什么？【二】总结问题、比较正反比例1、单价一定，数量和总价成正比例关系。
数量一定，单价和总价成正比例关系。
总价一定、单价和数量呈反比例关系。
小练笔：请学生举几个数量关系说一说，同桌交流，汇报2、正反比例比较观察表一和表二以及正反比例的知识，比较正反比例正比例反比例相同点两种相关联的量不同点变化方向一致两种量相对应的两个数的比值一定变化方向相反两种量相对应的两个数的乘积一定【三】巩固练习练一练1、2、34、A、B、C三种量的关系是：如果A一定，那么B和C成〔〕比例；如果B一定，那么A和C成〔〕比例；如果C一定，那么A和B成〔〕比例。
在此基础上拓展：1、，那么和成〔〕关系；2、，那么和成〔〕关系；3、，那么和成〔〕关系；判断：〔1〕，圆周率一定，圆的周长和相应的直径成正比例；〔2〕，圆的直径一定，圆周率和相应的周长成正比例；〔3〕，圆的周长一定，圆周率和相应的直径成反比例；练一练5、判断成不成比例？成什么比例？【四】小结正反比例的区别与判断课后反思：本堂课是在学生学习了正比例和反比例的基础上进行的一堂正反比例的比较的综合课，整堂课主要是让学生通过一定的练习比较观察使得学生自主的归纳出正反比例的异同，使得学生能够更好的明确正反比例的意义和判断。
正反比例比较知识点总结正反比例是数学中常见的一种比例关系，表现为一种正向的变化和一种反向的变化之间的对应关系。
在现实生活中，正反比例关系也经常出现，比如物体的体积和压力、时间和速度、成本和产量等之间都存在着正反比例关系。
在数学中，我们通常用两个变量x和y表示正反比例关系，其中x表示自变量，y表示因变量。
在正比例关系中，当x增大时，y也随之增大；而在反比例关系中，当x增大时，y却相应地减小。
正反比例关系可以用等式y=kx表示，其中k称为比例常数。
当k>0时，表示正比例关系；当k<0时，表示反比例关系。
正反比例关系在数学中有着重要的应用，特别是在解决实际问题中，比如物理、经济、工程等领域。
在这些领域中，正反比例关系可以帮助我们更好地理解和分析问题，为实际应用提供便利。
下面我们将从数学、物理、经济和工程等方面来具体分析正反比例关系的应用。
一、在数学中的应用1.1 正反比例关系的解题方法在数学中，我们经常会遇到一些与正反比例关系有关的题目，如物体的价钱和重量成正比，时间和距离成反比等。
这些问题可以通过建立方程来求解。
例如，一个物体的重量和价格成正比，如果物体的重量是3kg，价格是45元，求每kg的价格是多少。
设每kg的价格为x元，则可以建立等式45=3x，解得x=15。
因此，每kg的价格是15元。
1.2 正反比例关系的图像和性质在数学中，我们可以利用图像来描述正反比例关系。
对于正比例关系来说，图像是一条通过原点的直线，斜率就是比例常数k；而对于反比例关系来说，图像是一条不通过原点的曲线。
正反比例关系还有一个重要的性质，就是两个变量的乘积是一个常数，即y=kx，所以称为正反比例关系。
1.3 正反比例的相关定理在数学中，还有一些与正反比例关系相关的定理，如等距离定理、平行定理等。
这些定理在解决用正反比例关系求解的问题是非常有用的。
二、在物理中的应用2.1 压力和体积的关系在物理中，压力和体积的关系是一个常见的正反比例关系。
如何判断正反比例成正、反比例的两个变量（x、y）必须符合三个条件：1、它们之间是有关联；2、它们是能增加或减少的；3、它们之间的相除或相乘所得的商或积是不变的定值。
判断口诀：正反比例莫慌乱，一找二写三细看，是商是积最关键，商正积反好判断。
口诀说明：一找”是指首先找出两个变量，即相关联的量，分别用x、y代替，再找出不变的定值，或暗含不变的定值，用k表示。
（有时定值是指一个特定的数值）。
二写”是指根据三种量的关系写出合情合理的分数形式或乘积形式的等式，即x/y=k, xy=k。
三细看”是根据关系式来判断正反比例，如果不是分数或乘积形式，则这两个变量不成比例。
练习：1、瓷砖面积一定，瓷砖的块数和铺地面积。
2、铺地面积定，每块瓷砖的面积和所需瓷砖的块数。
3、铺地面积一定，方砖的边长和所需方砖的块数。
4、正方形的边长和周长。
5、正方形的边长和面积。
6、正方体的体积和它的的棱长。
7、正方体的一个面的面积和它的表面积。
& 长方形的面积一定，长和宽。
9、长方形的周长一定，长和宽。
10、长方体的高一定，长和宽。
11、长方体的体积一定，底面积和高。
12、圆周长一定，半径和n;圆周长和半径或直径。
13、n—定，圆面积和半径。
14、圆柱体的底面半径一定，体积和高。
15、圆柱体的底面半径一定，侧面积和高。
16、圆柱体的高一定，体积和底面积。
17、圆柱体的表面积一定，侧面积和底面积。
18、圆柱体的侧面积一定，底面半径和高。
19、圆锥体的底面周长一定，体积和高。
20、圆锥体的体积一定，底面积和高。
21、三角形的面积一定，底和高。
22、梯形面积一定，上下底的和与它的高。
23、平行四边形的底一定，高和面积。
24、分数值一定，分子和分母。
25、比的前项、后项和比值之间的比例关系。
26、发芽率一定，发芽种子数与试验种子总数。
27、小麦出粉率一定，小麦的质量和面粉的质量。
28、花生的质量与榨出花生油的质量成什么比例？29、订《南方日报》的份数与钱数。
