正反比例的对比

正反比例比较知识点总结正反比例是数学中常见的一种比例关系，表现为一种正向的变化和一种反向的变化之间的对应关系。

在现实生活中，正反比例关系也经常出现，比如物体的体积和压力、时间和速度、成本和产量等之间都存在着正反比例关系。

在数学中，我们通常用两个变量x和y表示正反比例关系，其中x表示自变量，y表示因变量。

在正比例关系中，当x增大时，y也随之增大；而在反比例关系中，当x增大时，y却相应地减小。

正反比例关系可以用等式y=kx表示，其中k称为比例常数。

当k>0时，表示正比例关系；当k<0时，表示反比例关系。

正反比例关系在数学中有着重要的应用，特别是在解决实际问题中，比如物理、经济、工程等领域。

在这些领域中，正反比例关系可以帮助我们更好地理解和分析问题，为实际应用提供便利。

下面我们将从数学、物理、经济和工程等方面来具体分析正反比例关系的应用。

一、在数学中的应用1.1 正反比例关系的解题方法在数学中，我们经常会遇到一些与正反比例关系有关的题目，如物体的价钱和重量成正比，时间和距离成反比等。

这些问题可以通过建立方程来求解。

例如，一个物体的重量和价格成正比，如果物体的重量是3kg，价格是45元，求每kg的价格是多少。

设每kg的价格为x元，则可以建立等式45=3x，解得x=15。

因此，每kg的价格是15元。

1.2 正反比例关系的图像和性质在数学中，我们可以利用图像来描述正反比例关系。

对于正比例关系来说，图像是一条通过原点的直线，斜率就是比例常数k；而对于反比例关系来说，图像是一条不通过原点的曲线。

正反比例关系还有一个重要的性质，就是两个变量的乘积是一个常数，即y=kx，所以称为正反比例关系。

1.3 正反比例的相关定理在数学中，还有一些与正反比例关系相关的定理，如等距离定理、平行定理等。

这些定理在解决用正反比例关系求解的问题是非常有用的。

二、在物理中的应用2.1 压力和体积的关系在物理中，压力和体积的关系是一个常见的正反比例关系。

当单价一定时，总价和数量成正比例关系.当总价一定时，单价和数量成反比例关系.当数量一定时，总价和单价成正比例关系.这样两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变，变化时两种量中相对应的两个数的积一定．这样两种相关联的量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系．两种相关联的量成不成反比例的关键是什么?（乘积是不是一定）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，那么x×y ＝k（一定）：这个式子表示两种相关联的量x和y，y随着x的变化而变化，它们的乘积k是一定的．这时就说x和y成反比例关系．所以，两种量成反比例关系，我们就用x×y＝k（一定）来表示．关系式：工作效率×工作时间＝工作总量，当工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例，要知道两个量成不成反比例关系，只要先看这两种量是不是相关联的量，再看两种量变化时乘积是不是一定．如果两种相关联的量变化时乘积一定，它们就是成反比例的量，相互之间的关系就是反比例关系．每本的页数×本数＝纸的总页数（一定）【典型例题】例1. 第四生产队计划把400公顷地按照3∶2的比例播种粮食作物和经济作物．粮食作物和经济作物各种多少公顷？这道题就是“按比例分配”的问题．解决这个问题的关键是：首先求出总份数，再把粮、经之比3：2转化成粮占全部的3/5，经占全部的2/5，然后根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，求出各部分是多少．“按比例分配”应用题的规律为：已知两个数的和与两个数的比，把两个数的比转化成各占几分之几，然后按“求一个数的几分之几是多少用乘法”的方法解答．例2. 把45棵树苗分给两个中队，使两个中队分得的树苗的比是4∶5，每个中队各得几棵树苗？总份数是几？怎么算？一中队占几分之几？二中队占几分之几？①总份数 4＋5＝9方法25.4÷9＝0.6（千克）0.6×1＝0.6（千克）0.6×8＝4.8（千克）方法35.4÷（8＋1）＝0.6（千克）0.6×8＝4.8（千克）方法4解：设氢为x千克．例4. 一个玩具厂，要生产玩具560件，头5天生产了175件，照这样的工作效率，一共需要多少天才能完成任务？大部分的同学是用正比例的解法来做，但是，有个别同学用反比例的解法来做，如：用正比例解：工作总量÷工作时间＝工作效率（一定）解：设一共需要x天才能完成任务．175x＝560×5175x＝2800x＝16答：一共需要16天才能完成任务．用反比例解：时间×效率＝总量（一定）反比例解：设一共需要x天才能完成任务．175÷5×x＝56035x＝560x＝16（天）答：一共需要16天才能完成任务．例5. 一种农药是用药液和水按照1：450配制成的，现有药液1.2千克，应加水多少千克？水×药液＝农药（一定）成反比例×解：设应加水x千克1.2：x＝1：4501x＝450×1.2x＝540答：应加水540千克．错因分析：找不准题目中的三个量分别是：水、药液、农药浓度；不明白1：450是其中的一个量——浓度，也就是药液与水的比值（一定），成正比例．另外，数量关系不清晰，列出的式子与依据完全是两码事，不真正明白列出正确式子的依据是什么．解决策略：认识药液与水的比值是一个新的量——农药浓度．比值一定，成正比例．等式两边表示的是农药的浓度．例6. 六年（2）班原来有四个大组，每组都有12人．一天，王老师要带他们到综合电教室上课，那里的桌椅是按每组8人编排的．六年（2）班到综合电教室上课要分成几个大组？总人数÷每组编排的人数＝组数（一定）正比例解：设到综合电教室上课要分成x个大组8x＝12×48x＝48x＝6答：到综合电教室上课要分成6个大组．错因分析：（1）能找出题中的三个量，但确定不了哪个量是一定的；（2）对正、反比例的意义理解不透．（因为，如果判断是正比例，就不可能列出是乘法的等式）解决策略：（1）教会学生用比例解应用题的思路：一想，先想题目给出已知的条件中是哪两个相关联的量，另外第三个固定不变的量是什么量；二找，找出两种相关联的量与不变的量有什么关系？列出关系式；三判断，根据关系式，不变的量是积还是商，判断是成正比例还是成反比例．（2）分析列出等式的特点：如果成正比例，列式是比例的形式；如果是反比例，列式是乘积的形式．例7. 我国发射的科学实验人造地球卫星，在空中绕地球运行6周需行10.6小时，运行14周要用多少小时？提问：“这道题有几个相关联的量？它们成什么关系？为什么？”（有两个相【模拟试题】1. 某工厂有职工1800人，男女职工人数比是5∶4，求男女职工各多少人？2. 沙子灰是灰和沙子混合而成的，它们的比是7∶3．要用280吨沙子灰，则灰和沙子各需多少吨？3. 图书馆买来180本儿童故事书，按1∶2∶3分给低、中、高年级同学阅读．低、中、高年级各分到多少本？4. 学校把560棵的植树任务，按照五年级三个班人数分配给各班．一班47人，二班45人，三班48人．三个班级各植树多少棵？5. 有一块试验田，周长200米，长与宽的比是3∶2．这块试验田的面积是多少平方米？6. 看图编一道按比例分配题解答．【试题答案】1. 男女职工各1000人和800人2. 灰和沙子各需196吨和84吨3. 低、中、高年级各分到30本，60本，90本．4. 提示：①三个班植树的总棵树是几？②题目要求按什么比？人数比是几比几？③三个数的和及三个数的比知道后，根据“按比例分配”的规律，一班188棵，二班180棵，三班192棵5. 提示：（这道题给了长与宽的比是3∶2，指的是一个长与一个宽的比，而周长包括2个长和2个宽，因此先求出一个长宽的和，即200÷2，然后把100按3∶2去分配．）这块试验田的面积是2400平方米6. 苹果和桔子共重1200千克，糨们的重量比是3：1，求苹果和桔子各重多少千克？苹果和桔子各重900千克和300千克7. 解：题目已给出平均数 85％，可作比较的基准.1人买3件少 5％×3；1人买2件多 5％×2；1人买1件多 15％×1.1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.A组是2人买4件，每人平均买2件.B组是5人买12件，每人平均买2.4件.现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.B组人数是（76－2×33）÷（24－2）＝25（人），从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是50÷（3－1）＝25（个）．再要拿出黑子数是 25×3＝75（个）．答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个．由于时间的关系这些题放在模拟试题中，让学生自己阅读理解9. 解一：先画出如下示意图：16+12=28元答：张、李两人剩下的钱共28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的．为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1．每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地计算．解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧．。

正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．正方形的周长与边长圆的周长与直径路程比时间等于速度(一定)反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定。

这两种量叫做成反比例的量。

它们的关系叫做反比例关系。

用x×y=k(一定）来表示。

1.百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例；2.排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例；3.做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数成反比例；4.买东西（实际就用文具用品），总钱数一定，它的单价和数量是反比例；5.长方形的面积一定，长和宽是反比例；6.长方体的体积一定，底面积和高是反比例。

7.等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例。

8.总价一定,单价与数量成反比例.9.长方体体积一定,底面积与高成反比例10.总纸盒一定,每人做的个数与人数成反比例反比例的意义形如y=k;x*y=k乘1/x（k不等于0）的函数叫做反比例函数，k叫做反比例系数。

y*x=k(一定)，这是求反比例的公式。

编辑本段反比例的实质两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定。

这两种量叫做成反比例的量。

它们的关系叫做反比例关系。

用xy=k(一定）k不等于0来表示。

简单点来说，就是如果一样事物增加了，另一样事物减少，它减少了，另一样事物增加，这两个事物的关系就叫做反比例关系。

编辑本段正比例和反比例之间的相互转化当正比例中的x值（自变量的值），转化为它的倒数时，由正比例转化为反比例；当反比例中的x值（自变量的值）也转化为它的倒数时，由反比例转化为正比例。

编辑本段生活中的反比例1.百米赛跑，路程100米不变，速度和时间成反比例（即路程一定，速度和时间成反比例）；2.排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数成反比例；3.做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数成反比例；4.买东西（实际就用文具用品），总价一定，它的单价和数量是反比例；5.长方形的面积一定，长和宽是反比例（提示：但是长方形的周长与长宽不成比例【既不成正比例也不成反比例】）；6.长方体的体积一定，底面积和高是反比例。