勾股定理期末复习
- 格式:ppt
- 大小:977.00 KB
- 文档页数:51
八年级数学期末复习资料《勾股定理》期末复习题1勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c ,那____________________勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c 满足222c b a =+,那么这个三角形是 __________1. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,若c=13,b=12,则a=________;2.已知直角三角形的两条边长分别是3和4,则此三角形的第三边长度为_____________3.直角三角形的两直角边分别为5、12,则斜边上的高为________.4.在直角坐标系中,点P (-2,3)到原点的距离是__________5.如图,一根树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离底部 12米处.树折断之前有______米.6在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,则高AD 的长为________7、命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________________________, 它是 ________(填入“真”或“假”)命题。
8.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC =6cm ,BC =8cm ,现将直角边AC沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE则CD 等于_________cm.9. 在△ABC 中,∠A=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c ,则下列结论错误的是( )A. a 2+b 2=c 2B.b 2+c 2=a 2C.a 2-b 2=c 2D.a 2-c 2=b 210、如果正方形ABCD 的面积为92,则对角线AC 的长度为( );11.一架方梯长25米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米, (1)这个梯子的顶端距地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了4米, 那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?12.印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”:“平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边, 渔人观看忙向前,花离原位二尺远; 能算诸君请解题,湖水如何知深浅?”请用学过的数学知识解答这个问题.《勾股定理》期末复习题21.下列各组不能构成直角三角形的是( )A.11 12 15B. 5 5 25C.45 143 D. 1 3 22.在△ABC 中,已知AB=12cm ,AC=9cm ,BC=15cm ,则△ABC 的面积 等于( )A 108cm 2B 90cm 2C 180cm 2D 54cm 2 3.直角三角形的两直角边分别为5、12,则斜边上的高为________.4. 如下图,数轴上有两个Rt △ABC 、Rt △ABC ,OA 、OC 是斜边,且OB=1,AB=1,CD=1,OD=2,分别以O 为圆心,OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ,则E 、F分别对应的数是_________。
期末复习- 《勾股定理》常考题与易错题精选(35题)一.勾股定理(共11小题)1.如图,是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是( )A.10B.13C.15D.262.如图,长方形ABCD的顶点A,B在数轴上,点A表示﹣1,AB=3,AD=1.若以点A为圆心,对角线AC长为半径作弧,交数轴正半轴于点M,则点M所表示的数为( )A.B.C.D.3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,若AC=5,BC=12,则S△ACD :S△ABD为( )A.12:5B.12:13C.5:1 3D.13:54.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=2,且∠AOB=30°,则OC的长度为( )A.B.C.4D.5.在△ABC中,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,AD=6,CD=1,则BC的长为( )A.5B.7C.5或7D.6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,则点C到直线AB的距离是( )A.B.3C.D.27.已知△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.(1)如果a=7,b=24,求c;(2)如果a=12,c=13,求b.8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°(1)若AB=,AC=,求BC2(2)若AB=4,AC=1,求AB边上高.9.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,∠BCA=60°,AC=2,DA=1,CD=3.求四边形ABCD 的面积.10.如图,每个小正方形的边长都为1.求出四边形ABCD的周长和面积.11.如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,DE⊥AB,DE=7,△ABE的面积为35.(1)求AB的长;(2)求△ACB的面积.二.勾股定理的证明(共3小题)12.如图,直角三角形ACB,直角顶点C在直线l上,分别过点A、B作直线l的垂线,垂足分别为点D和点E.(1)求证:∠DAC=∠BCE;(2)如果AC=BC.①求证:CD=BE;②若设△ADC的三边分别为a、b、c,试用此图证明勾股定理.13.【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理,如图①,用四个直角三角形拼成正方形,通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直角边长分别为a、b,斜边长为c.图中大正方形的面积可表示为(a+b)2,也可表示为c2+4×ab,即(a+b)2=c2+4×ab,所以a2+b2=c2.【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示,用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE,其中△BCA≌△ADE,∠C=∠D=90°,根据拼图证明勾股定理.【定理应用】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.求证:a2c2+a2b2=c4﹣b4.14.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,当两个全等的直角三角形如图摆放时,也可以用面积法来证明勾股定理,请完成证明过程.(提示:BD和AC都可以分割四边形ABCD)三.勾股定理的逆定理(共8小题)15.下列各组中的三条线段,能构成直角三角形的是( )A.7,20,24B.,,C.3,4,5D.4,5,616.三角形的三边长分别为a、b、c,则下面四种情况中,不能判断此三角形为直角三角形的是( )A.a=3,b=4,c=5B.a=8,b=15,c=17C.a=5,b=12,c=13D.a=12,b=15,c=1817.如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.(1)判断∠D是否是直角,并说明理由.(2)求四边形ABCD的面积.18.如图,小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜,爸爸让小明计算这块土地的面积,以便估算产量.小明测得AB=3m,AD=4m,CD=12m,BC=13m,又已知∠A=90°.求这块土地的面积.19.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=2,CD=3,DA=1.(1)求∠DAB的度数;(2)求四边形ABCD的面积.20.如图,在△ABC中,AD、BE分别为边BC、AC的中线,分别交BC、AC于点D、E.(1)若CD=4,CE=3,AB=10,求证:∠C=90°;(2)若∠C=90°,AD=6,BE=8,求AB的长.21.如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,若BD=4,DC=5,AD=2,判断△ABC的形状,并说明理由.22.如图,每个小正方形的边长都为1.(1)求△ABC的周长;(2)求∠ACB的度数.四.勾股数(共3小题)23.下列四组数中不是勾股数的是( )A.3,4,5B.2,3,4C.5,12,13D.8,15,1724.下列各组数中,是勾股数的为( )A.,2,B.8,15,17C.,D.32,42,5225.观察下列各组勾股数有哪些规律:3,4,5;9,40,41;5,12,13;……;7,24,25;a,b,c.请解答:(1)当a=11时,求b,c的值;(2)判断21,220,221是否为一组勾股数?若是,请说明理由.五.勾股定理的应用(共10小题)26.我市某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示,为了绿化环境,学校计划在空地上种植草皮,经测量∠B=90°,AB=6m,BC=8m,CD=24m,AD=26m.(1)求出空地ABCD的面积;(2)若每种植1平方米草皮需要350元,问总共需投入多少元?27.由四条线段AB、BC、CD、DA所构成的图形,是某公园的一块空地,经测量∠ADC=90°,CD=3m、AD=4m、BC=12m、AB=13m.现计划在该空地上种植草皮,若每平方米草皮需200元,则在该空地上种植草皮共需多少元?28.如图,某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC,让它垂到地面时比墙高多出了2米,教练把绳子的下端C拉开8米后,发现其下端刚好接触地面(即BC=8米),AB⊥BC,求攀岩墙AB的高度.29.如图,甲、乙两船从港口A同时出发,甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行,乙船向南偏东48°方向航行,0.5小时后,甲船到达C岛,乙船到达B岛,若C,B两岛相距17海里,问乙船的航速是多少?30.“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节.某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度CE(如图),他们进行了如下操作:①测得水平距离BD的长为8米;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米;③牵线放风筝的小明的身高为1.5米.(1)求风筝的垂直高度CE;(2)如果小明想风筝沿CD方向下降9米,则他应该往回收线多少米?31.森林火灾是一种常见的自然灾害,危害很大,随着中国科技、经济的不断发展,开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图,有一台救火飞机沿东西方向AB,由点A飞向点B,已知点C为其中一个着火点,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为600m和800m,又AB=1000m,飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.(1)着火点C受洒水影响吗?为什么?(2)若飞机的速度为10m/s,要想扑灭着火点C估计需要13秒,请你通过计算判断着火点C能否被扑灭?32.一架云梯长25m,如图所示斜靠在一面墙上,梯子底端C离墙7m.(1)这个梯子的顶端A距地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了4m,那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?33.在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原由C 到A的路现在已经不通,某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=1.5千米,CH=1.2千米,HB=0.9千米.(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路?请通过计算加以说明;(2)求原来的路线AC的长.34.如图,一高层住宅发生火灾,消防车立即赶到距大厦9米处(车尾到大厦墙面),升起云梯到火灾窗口,已知云梯长15米,云梯底部距地面3米,问:发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高?35.如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,此人以1米每秒的速度收绳,7秒后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了多少米?(假设绳子是直的)。
勾股定理知识点复习 一、知识点:1.勾股定理(1)内容:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么________,即直角三角形两直角边的_________等于斜边的________. 温馨提示:勾股定理只适用直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.(2)应用:已知直角三角形的任意两边,能求出第三边.基本勾股:2.勾股定理的逆定理(1)内容:如果三角形的三边长a ,b ,c 满足________,那么这个三角形是直角三角形.(2)应用:判断某三角形是否为直角三角形或说明两条线段垂直.3. 如果两个命题的题设、结论正好相反,我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的_______.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理,称这两个定理互为_________.练习:1、若△ABC 的三边a 、b 、c ,满足(a -b )(a 2+b 2-c 2)=0,则△ABC 是2、分别以下列四组数为一个三角形的边长:(1)3、4、5(2)5、12、13(3)8、15、17(4)4、5、6,其中能够成直角三角形的有__________________. 二、典型考点:考点一:利用勾股定理求面积求:(1) 阴影部分是正方形; (2) 阴影部分是长方 (3) 阴影部分是半圆.考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边.例:如图,在△ABC 中,∠ACB=90º, CD ⊥AB ,D 为垂足,AC=6cm,BC=8cm 。
C B A a c b AD求①△ABC的面积;②斜边AB的长;③斜边AB上的高CD的长。
练习:1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm ,则斜边长为.2.已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是_____________.1、等腰三角形的,腰长为25,底边长14,则底边上的高是________,面积是_________。
第十八章 勾股定理 复习 定理:经过证明被确认为正确的命题叫做定理。
1、勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,也就是说在Rt △ABC 中,设∠C =90°,∠C 、∠A 、∠B 所对的边分别为c 、a 、b ,则c 、a 、b 满足关系a²+b²=c²。
在我国古代,人们将直角三角形中短的直角边叫做勾,长的直角边叫做股,斜边叫做弦。
注意:由于直角三角形的斜边最长,故运用勾股定理时,一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和,避免出现这样的错误:在△ABC 中,∠B =90°,则a²+b²=c²。
2、勾股定理的证明:勾股定理的证明方法很多,可以用测量计算,可以用代数式的变形,可以用几何证明,也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明,这是最常见的一种方法。
验证如下:现有四块直角边长为a 、b ,斜边长为c 的直角三角形纸板,请从中取出若干块拼图,证明勾股定理。
证法1:∵S 大正方形=4S 三角形+S 小正方形∴c ²=4×12ab +(b −a)²∴c ²=a ²+b ²证法2:∵S 梯形=2S 小三角形+S 大三角形∴12(a +b )2=2×12ab +12c²∴a²+b²=c²证法3:∵S 大正方形=4S 三角形+S 小正方形∴(a +b )2=4×12ab +c²∴a²+b²=c²3、勾股定理的作用:勾股定理揭示了直角三角形的三边关系,其作用有:(1)已知直角三角形的任两边,求第三边问题;(2)证明三角形中的某些线段的平方关系; a a b bc c(3)作长为无理数的线段.注意:若已知直角三角形的两边求第三边时,先确定是直角边还是斜边。