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高二上册数学(沪教版)知识点归纳高二上册数学学问点归纳第七章数列与数学归纳法1.内容要目：第1节数列：数列的概念，等差数列与等比数列的定义，等差中项与等比数列，等差数列与等比数列的通项公式。
第2节数学归纳法：数学归纳法的原理，数学归纳法的普通步骤，数学归纳法的应用。
第3节数列的极限：数列极限的概念，数列极限的运算法则，常用的数列极限公式，无穷等比数列各项的和。
2.基本要求：第1节数列：理解数列的概念，把握等差数列与等比数列的定义，会求等差中项与等比数列，理解数列通项公式的含义，把握等差数列与等比数列的通项公式。
第2节数学归纳法：会用数学归纳法解决整除问题及证实某些与正整数有关的等式，领悟“归纳—猜测—论证”的思想办法。
第3节数列的极限：把握数列极限的运算法则，常用的数列极限公式，把握无穷等比数列前n 项和的极限公式。
3.重难点：第1节数列：等差数列与等比数列的通项公式，数列的概念及由计算数列的前若干项，通过归纳得出数列的通项公式，第2节数学归纳法：用数学归纳法证实命题的步骤，数学归纳法的应用及通过归纳猜测命题的普通结论。
第3节数列的极限：无穷等比数列各项和公式的应用。
公式：（1）等差数列}{n a 的通项公式：d n a a n)1(1.（2）等差数列}{n a 的前n 项和公式：d n n na a a n S n n2)1(2)(11.（3）等比数列}{n a 的通项公式：.11n n q a a （4）等比数列}{n a 的前n 项和公式：)1(1qna S n)1(11)1(11q qq a a S q q a S n n n n 或.(5)当0lim 1n q q 时，,01lim n (n ) (6)无穷等比数列各项的和：)1(11q q a S .第8章平面对量的坐标表示1.内容要目：平面对量及其运算，平面对量的坐标表示及其运算，基向量、平面对量分解定理，平面对量的数量积及其坐标表示，平面对量的夹角，平面对量的平行和垂直。
7．6 归纳-—猜想——论证
一、概念
在数学问题的探索中，为了寻求一般的规律，往往先考察一些特例,进行归纳,形成猜想，然后再去证明这些猜想正确与否。
一些与正整数有关的等式也可以通过这样的途径得到。
这就是归纳-—猜想—-论证的原理.
二、举例
例1、依次计算数列 ,1234321,12321,121,1++++++++++++的前四项的值,由此猜想，123)1()1(321++++-++-++++= n n n a
n 的有限项表达式，并用数学归纳法加以证明。
例2、已知数列 )13)(23(1,,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n ,设n S 为该数列的前n 项和，计算4321,,,S S S S 的值，根据计算结果猜测n S 关于n 的表达式，并用数
学归纳法加以证明.
三、课堂练习
1、（1）分别计算8642,642,42,2++++++的值.
（2）根据（1)的计算,猜想n 2642++++ 的表达式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想。
2、(1）分别计算7531,531,31,1+-+--+-+--的值。
（2）根据(1）的计算,猜想)12()1(7531-+-+-+-=n a n n 的表达式；
（3)用数学归纳法证明你的猜想。
3、在数列}{n
a 中，*),2()1(22,111N n n n n n a a a n n ∈≥+++==- (1）求432,,a a a ；（2）猜想数列}{n a 的通项公式)(n f a n =,前用数学归纳法
证明你的猜想.
四、课外作业.
练习册15、16页，7。
6 归纳—-猜想-—论证A 组1、2、3、4及B
组1、2题。
7.6 归纳—猜想—论证一．填空题1. 若()12121,2,23n n n a a a a a n --===≥-，计算{}n a 的前几项，并猜想其通项公式n a =_____.2. 若111,2n na a a a +==-，计算{}n a 的前几项，并猜想其通项公式n a =_____. 3.若()()12121n a n n =-+，且n S 是{}n a 的前n 项和，计算{}n S 的前几项，并猜想n S =________.4. 若()()()*11,121112,n a a n n n n n ==+++-++-++≥∈N ，计算{}n a 的前几项，并猜想其通项公式n a =_____________.5.若{}n a 中，2111n a n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，且123n n T a a a a =⋅⋅，计算{}n T 的前几项，并猜想其通项公式n T =__________.6. 若数列{}n a 中，0n a >，其前n 项和为n S ，且112n n n S a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，计算计算{}n a 的前几项，并猜想其通项公式n a =_____________. 二．选择题7. 某个命题与自然数n 有关，若()*n k k =∈N 时，该命题成立，那么可推得1n k =+时该命题也成立. 现在已知当5n =时该命题不成立，那么可推得（ ） A ．当6n =时该命题不成立 B ．当6n =时该命题成立 C ．当4n =时该命题不成立D ．当4n =时该命题成立8. 数列{}n a 的前n 项和21,1n n S n a a ==，猜想n a 为（ ）A ．()221n + B ．()21n n +C ．221n- D ．221n - 9. 已知数列{}n a 满足()11*22,1n n n a a a na a +==+∈-N ，则通项公式可能是（ ）A ．2n +B ．()1n n +C ．22n + D ．1n +10. 平面内原有k 条直线，它们的交点个数记为()f k ，则增加一条直线l 后，它们的交点个数最多为（ ） A ．()1f k + B ．()f k k + C ．()1f k k ++ D ．()k f k ⋅三．解答题11. 分别计算1,13,135,1357--+-+--+-+各项的值，根据计算结果，猜想()()1357121nn a n =-+-+++--的表达式，并用数学归纳法证明.12. 已知数列()()1111,,,,14477103231n n ⨯⨯⨯-+，…，计算1234,,,S S S S ，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.13. 已知数列{}n a 满足()11,213n n a S n n a ==-， （1）求23,a a 的值；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.14. 是否存在常数a 、b ，使等式()()()2222*352143nn n an b n ++++=++∈N 对任意正整数n 成立？请证明你的结论.答案： 1. n2. ()()()121n n an n a-----3.21nn + 4. 2n 5. 222n n ++ 6.7. C 8. B 9. D 10. B11. ()1nn a n =-⋅当1n =时，()1111a =-=-， 猜测成立假设当n k =时猜测成立，即()1kk a k =-，那么当1n k =+时，()()()()()111112111k k k k a k k k +++=-+-+=-+，猜测也成立，综上可知，对于*n ∈N 猜测都成立 12.1234,,,471013，31n n S n =+ 当1n =时，1113114S ==⨯+，猜测成立； 假设当n k =时猜测成立，即31k kS k =+ 那么当1n k =+时，()()()111313134311k k k S k k k k ++=+=+++++，猜测也成立综上可知，对于*n ∈N 猜测都成立13. （1）2311,1535a a ==； （2）()()12121n a n n =-+当1n =时，111133a ==⨯，猜测成立， 假设当n k =时猜测成立，即()()12121k a k k =-+，那么当1n k =+时，()()()()()()2111212112121232131322k k k k k k k a S S k k a k k a k k k k +++⨯=-++-=-⇒+=-++=，猜测也成立； 综上可知对于对于*n ∈N 猜测都成立. 14. 12,11a b ==用数学归纳法证明：()()22223521412113nn n n ++++=++ 当1n =时，左式239==，右式()14121193=++=，等式成立； 假设当n k =时等式成立，即()()22223521412113kk k k ++++=++， 那么当1n k =+时，()()()()()()222222213521234121123411211133k k k k k k k k k +⎡⎤++++++=++++=++++⎣⎦， 等式也成立；综上可知，对于*n ∈N 猜测都成立。
归纳—猜想—论证【教学目标】1．对数学归纳法的认识不断深化。
2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法。
3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系。
【教学重难点】用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明。
【教学过程】一、复习引入师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法。
请问：它适用于哪些问题的证明？生：与连续自然数n有关的命题。
师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？生：共有两个步骤：（1）证明当n取第一个值n时结论正确；（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确。
师：这两个步骤的作用是什么？生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程。
师：这实质上是在说明这个证明具有递推性。
第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据。
递推是数学归纳法的核心。
用数学归纳法证题时应注意什么？生：两个步骤缺一不可。
证第（2）步时，必须用归纳假设。
即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立。
师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题。
今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题。
二、归纳、猜想、证明1．问题的提出。
a 3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式。
师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理。
（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上。
）师：正确。
怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下。
2．归纳与猜想。
生：我猜出了一个an的计算公式。
（许多学生在偷笑）。
师：大家在笑什么？是笑他的“猜”吗？“猜”有什么不好。
人们对事物的认识很多都是以“猜”开始的，探索新领域就需要大胆，敢猜敢想，当然还要有严谨的思维做后盾。
“7.6 归纳—猜想—论证”学案【学习目标】1．体验“归纳—猜想—论证”的过程。
2．感悟“归纳—猜想—论证”的思想方法。
3．运用“归纳—猜想—论证”的方法解决简单的数列问题。
【预习导引】阅读课本第34页至第36页．一、学习P34例1后，观察前几项值之间的关系，需要将1、4、9、16分别表示成、、、，才能顺利猜想出a的表达式。
n在用数学归纳法进行证明的过程中，关注每一项的结构特点，从“n=k”到“n=k+1”，需要增加的项为。
二、学习P35例2后，整体观察前几项值之间的关系，你认为需要怎样进行思考，才能顺利猜想出结论？三、练一练：1．（1）分别计算2,2+4,2+4+6,2+4+6+8的值；（2）根据（1）的计算，猜想2+4+6+…+2n的表达式；（3）用数学归纳法证明你的猜想。
2.（1）分别计算数列 -1，-1+3，-1+3-5，-1+3-5+7，…的值；（2）根据（1）的计算，猜想a=-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)的表达式；n（3）用数学归纳法证明你的猜想。
四、小结体会：经过以上学习，你认为“归纳—猜想—论证”这一思想方法是通过怎样的一个过程体现的？【能力提高】1．已知数列}{n a 满足*+∈-==N n a a a nn ,12,211， (1)计算1a 、2a 、3a 、4a 的值；(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.小结：从本小题可以看出，“归纳—猜想—论证”的方法可以解决数列中的一类什么问题？以前我们解决这类问题可以采用哪些方法？2．已知正整数数列}{n a 的前n 项和n S 满足*2,)1(41N n a S n n ∈+= (1)计算1a 、2a 、3a 、4a 的值；(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.小结：从本小题看出，“归纳—猜想—论证”的方法又可以解决数列中的一类什么问题？以前我们解决这类问题采用的是怎样的方法，你可以用这种方法再解一次本题吗？【探究思考题】是否存在大于1的正整数m，使得*f n∈n++=都能被m整除？⋅n3,9n)72((N)若存在，你能求出m的最大值吗？你能证明你的结论吗？【拓宽知识】你所知道的世界上著名的猜想有哪些？可以介绍给大家吗？作业：【基础题】《练习册》P15 习题7.6 A 组 1—4【能力提高题】1．在数列}{n a 中，),2()1(22,1*11N n n n n n a a a n n ∈≥+++==-， （1）可求得2a = ，3a = ，4a = ，猜想n a =（2）请用数学归纳法证明你的猜想.2．是否存在常数a 、b 、c ，使等式c bn an n n n n n ++=-⋅++-⋅+-⋅24222222)()2(2)1(1 对一切正整数n 都成立？ 若存在，你能求出常数a 、b 、c 的值吗？。
7． 6 概括—猜想—论证一、教课内容剖析概括法是由一系列有限的特别案例得出一般结论的推理方法．概括法分为不完好概括法与完好概括法．对于无量尽的案例，用不完好概括法去发现规律，得出结论，并想法予以证明，这就是“概括—猜想—论证”的思想方法．教材在介绍概括法的基础上，经过例题，引导学生体验和学习这类科学研究的思想方法．论证时采纳的数学概括法是证明与自然数相关命题的一种重要方法，是演绎推理．本节内容将概括推理和演绎推理密切联合起来，使学生对概括与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．二、教课目的设计1．认识数学推理的常用方法：概括法与演绎法，进一步理解数学概括法的合用状况和证明步骤．2．经过实例，理解利用概括的方法，发现规律、提出猜想，而后用数学概括法证明的思想方法，获取对于“概括—猜想—论证”过程的体验，初步形成在察看的基础长进行概括猜想和发现的能力．3．体验观点形成过程，惹起对“概括—猜想—论证”思想方法的兴趣，提高数学修养．三、教课要点与难点要点：“概括—猜想—论证”思想方法的浸透和学习．难点：对数学概括法的进一步理解和应用．四、教课流程设计复习回首例 1，体验实例引入方法例 2，认识运用与深入 (例题分析、稳固练习、课后习题)五、教课过程设计1．引入问题 1．用数学概括法证明：12223242 L ( 1)n 1 n2( 1)n 1 n(n 1).2选题目的：回首并娴熟掌握用数学概括法证明数学命题的过程与基本步骤，为新课的引入做好铺垫．2．概括猜想我们已经学习了用数学概括法来证明一些等式，可是这些等式又是怎样获取的呢？[ 说明 ]惹起学生思虑，探究结论获取的可能方法：一是直接计算获取结论，二是概括猜想．问题 2．数列的通项公式a n(n25n5)2，计算 a1 , a2 , a3 , a4的值，你能够获取什么结论？问题 3．费马（ Fermat ）是 17 世纪法国有名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创办作出贡献最多的人之一，是概率论的首创者之一，他对数论也有很多贡献．费马以为，当n∈ N时，22n1必定都是质数，这是他对n=0， 1，2， 3，4 作了考证后获取的．518 世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证了然221=4 294 967 297=6 700 417×641，进而否认了费马的推断．问题4．设f (n)n2n41 ，则当n∈N时， f ( n) 能否都为质数？f (0)41， f (1)43， f(2) 47 ， f (3)53 ， f(4) 61， f (5)71 ， f (6)83 ，f (7) 97， f (8)113 ， f (9)131 ， f (10)151，L， f (39) 1601 ．可是 f (40)168141 41 是合数．找出运用概括法犯错的原由，并研究出对策来！3．概括猜想论证在数学识题的探究中，为了追求一般规律，常常先考虑一些特例，进行概括，形成猜想，这是概括与猜想．但猜想的结论必定正确吗？不必定！经过概括猜想的结论可能错误也可能正确，而后必定要去证明这些猜想的正确与否．证明一个命题为假命题只要要举出一个反例．证明一个命题为真命题需要逻辑推理．例 1．挨次算数列 1， 1+2+1， 1+2+3+2+1， 1+2+3+4+3+2+1，⋯的前四，由此猜a n 1 2 3 L(n 1) n (n 1) L 3 2 1的有限表达式，并加以明．目的：（1）引学生体从特别到一般的思虑程，形成猜想的意．（2）里去掉了原中“并用数学法明”的明方法的要求，以期明方法的开放性，惹起学生更开的思虑．如：a n 1 2 3 L ( n 1) n (n 1) L 3 2122[1 2 3 L(n 1) n] n n .（3）要明a n n2全部正整数都建立，一个一个是不行能的．一些与正整数相关的命能够用数学法加以明．例 2．已知数列 1 ，1，71，⋯，(3n1，⋯， S n数列前n1447102)(3n1)和，算 S1 , S2 , S3, S4的．依据算果猜S n对于n的表达式，并用数学法明．目的：和体“ —猜想—”的完好程，理解掌握一重要的思方法．4．P36 — 1， 2，35．小本主要学用“ —猜想—”的方法剖析和解决．—猜想—是我剖析和解决的常用方法，它三个程：，察特例；体，猜一般律；理性，明猜想．也告我在剖析和解决要“大胆假，当心求” ．勇敢假，也就是勇敢猜，是探究真谛的重要手段，是造的源泉；但猜想要当心求，是思的体．在明程中，我一步学了怎样用数学法行演推理明．6．作P15 —2， 3 P16 —4六、教课建与明1．以中心．通 1 的剖析与解决，追根溯源，提出迷惑．通2，3，4 的感觉体，思冲，勇敢疑．通剖析解决例1，形成方法．2．以思想方法为主线．应确实让学生感觉“概括—猜想—论证”这一重要数学思想方法的发展过程和理性认识，将概括推理和演绎推理密切联合起来，使学生对概括与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．。
归纳—猜想—论证【学习目标】1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤；2．通过几个与自然数有关问题的解决，体验归纳－猜想－论证的思维过程，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力；3．通过实验、观察、尝试，培养科学的探究精神。
【学习重难点】“归纳-猜想-论证”思维方法的渗透和学习。
【学习过程】一、复习引入归纳法和数学归纳法相关的问题。
（1）数学归纳法是一种证明方法，它适用于证明那些与_______________有关的数学命题。
（2）用数学归纳法证明问题的一般步骤是什么？1）证明当取第一个值()*∈N n n 00时，命题成立；2）假设当()0,n k N k k n ≥∈=*时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。
（3）这两个步骤的作用是什么？第一步是递推的_______；第二步是递推的_______。
递推是数学归纳法的核心。
（4）用数学归纳法证题时应注意什么？两个步骤缺一不可。
证第二步时，必须用归纳假设。
即在_______成立的前提下推出_______成立。
只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题。
（5）我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又是如何得到的呢？二、学习新课例1．依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，……的前四项的值，由此猜测：()()12311321+++⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅+++=n n n a n 的有限项表达式，并用数学归纳法加以证明。
例2．已知数列114⨯，147⨯，1710⨯，……，1(32)(31)n n -+，……，设n S 为该数列前n 项和，计算1234,,,S S S S 的值。
根据计算结果猜测n S 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明。
练习：1．已知数列{}n a 中，211=a ，331+=+nn n a a a 。
（1）求：2a 、3a 、4a ；（2）猜想n a 表达式并用数学归纳法证明。
沪教版高二年级第一学期领航者第七章7.6归纳—猜想—论证学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．观察下列等式：211=，2132+=，21353++=，213574+++=，可以猜想：()13521n +++⋅⋅⋅+-=______.2．在数列{}n a 中，已知11a =，22a =.若()1223,n n n a a a n n *--=-≥∈N ，则3a =______，4a =______，5a =______，进而猜想n a =______. 3．根据下列各式的规律：==归纳猜想用(),2n n n *∈≥N 表示的等式为______.4．计算前几项：1，234++，34567++++，⋅⋅⋅等各项的值，可以猜想第n 个式子为______. 5．若()33xf x x =+，11x =，()1n n x f x -=，分别计算2x ，3x ，4x ，进而猜想n x =______.二、单选题6．猜测()24441111921n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦对n N ∈且1n ≥成立的一个表达式为（ ） A ．2n n+-B ．2121n n +- C ．2121n n +-- D ．11n n +-- 7．证明命题2n <n 的取值范围为（ ）A ．1n >B ．2n >C ．15n >D ．16n >8．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5三、解答题9．（1）分别计算数列1-，13-+，135-+-，1357-+-+各项的值； （2）根据（1）的计算猜想()()1357121nn a n =-+-+-⋅⋅⋅+--的表达式；（3）用数学归纳法证明你的猜想.10．已知数列{}n a 满足112a =，()112,21n nn a a n n a *--=≥∈+N . （1）求2a 、3a ，4a ；（2）猜想出通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明. 11．已知()()()()()()11111,121231f n g n f f f n n f n =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-⎡⎤⎣⎦-. （1）写出()2g ，()3g ，()4g 的值； （2）归纳()g n 的值，并用数学归纳法加以证明.12．已知数列{}n a 满足()21n a n n =+，是否存在等差数列{}n b ，使1212n n a b b n b =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅对一切正整数n 都成立？请证明你的结论.参考答案1．2n 【解析】 【分析】由题意结合所给的等式进行归纳猜想即可. 【详解】观察所给的等式可得，等式的右侧结果为：22221,2,3,4,，据此可猜想第n 个等式当左侧为()13521n +++⋅⋅⋅+-时右侧为2n . 故答案为：2n ． 【点睛】本题主要考查类比推理与归纳的方法，属于中等题. 2．3 4 5 n 【分析】由题意首先计算345,,a a a 的值，据此猜测n a 的值即可. 【详解】由题意可得：32122213a a a =-=⨯-=，43222324a a a =-=⨯-=，54322435a a a =-=⨯-=，据此可猜想n a n =. 故答案为3,4,5，n ． 【点睛】本题主要考查类比推理与归纳猜想，属于中等题.3．= 【分析】由题意利用所给式子的规律确定用n 表示的等式即可. 【详解】 观察所给的等式，对于等式左侧：若根号外部为n ，则根号内分子部分为n ，分母部分为21n -， 对于等式右侧：第一项为n ，第二项的分子部分为n ，分母部分为21n -，据此可得用(),2n n n *∈≥N 表示的等式为=.故答案为：=． 【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，属于基础题. 4．()()()213221n n n n +++⋅⋅⋅+-=- 【分析】首先计算所给的算式的值，然后猜想第n 个式子即可. 【详解】计算题中所给的算式的值：()21211=⨯-，()22349221++==⨯-，()23456725231++++==⨯-，据此可猜想第n 个式子为()()()213221n n n n +++⋅⋅⋅+-=-. 故答案为：()()()213221n n n n +++⋅⋅⋅+-=-． 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 5．32n + 【分析】首先利用所给的关系式计算2x ，3x ，4x 的值，然后猜想n x 的值即可. 【详解】由题意可得：()()213133113422x f x f ⨯=====++，()323333343453234x f x f ⨯⎛⎫===== ⎪+⎝⎭+， ()433333353464235x f x f ⨯⎛⎫===== ⎪+⎝⎭+，且3112=+， 据此可猜想：32n x n =+. 故答案为：32n +．【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，递推关系及其应用，函数值的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．C 【分析】由题意分别令1,2n n ==考查所给的选项是否符合题意，排除错误选项即可确定满足题意的表达式. 【详解】当1n =时，()244441111319121n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-=-=-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦， 考查所给的选项，当1n =时，221213,3,32121n n n n n n +++-=-=-=---，而11n n +--无意义，据此可排除BD 选项，当2n =时，()2444445111111919321n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦， 考查选项AC ，当2n =时，22152,213n n n n ++-=--=--， 据此可排除A 选项， 故选：C . 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，排除法解选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．D由题意结合选项利用特殊值排除错误选项即可确定自然数n 的取值范围. 【详解】注意到当16n =时，2221616n ====，不满足2n <据此可排除选项ABC . 故选：D . 【点睛】本题主要考查排除法解选择题的方法，属于基础题. 8．B 【分析】由题意结合选项利用特殊值排除选项A ，然后利用数学归纳法证明选项B 正确即可. 【详解】注意到当2,4a n ==时，2n a n >不成立，则2a =不合题意， 当3a =时，不等式即23n n >， 当1n =时，不等式即31>， 当2n =时，不等式即94>，下面用数学归纳法证明该式对于*,3n N n ∈≥成立， 当3n =时，不等式即279>，明显成立， 假设()*3,n k k k N=≥∈时不等式成立，即23kk >,则当1n k =+时，123333k k k +=⋅>， 而()()222*31221k k k k k N-+=--∈，结合二次函数的性质可知，当2k >时，22221222210k k -->⨯-⨯->，故当*3,k k N ≥∈时，()()2222310,31k k k k -+>>+.综上可得，23n n >对任意的n 均成立. 则最小正整数a 的值为3. 故选B .本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．（1）1-，2，3-，4；（2）()1nn a n =-；（3）证明见解析. 【分析】(1)由题意计算所给的各项的值即可； (2)结合(1)中的结果即可猜想n a 的表达式；(3)利用数学归纳法分别证明当1n =和2n ≥时命题成立即可证得(2)中的猜想. 【详解】（1）由已知计算可得：11-=-，132-+=，1353-+-=-， 13574-+-+=，（2）根据（1）的计算猜想()()()13571211nnn a n n =-+-+-⋅⋅⋅+--=-.（3）下面用数学归纳法证明：()()()135791211nnn n -+-+-+⋯+--=-.①当n =1时，由(1)得原式成立； ②假设当n =k 时，原式成立， 即()()()135791211kkk k -+-+-+⋯+--=-，那么，当n =k +1时，()()()()1135********kk k k +-+-+-+⋯+--+-+()()()11121kk k k +=-+-+()()1121k k k +=--++()()111k k +=-+，故n =k +1时，原式也成立，由①②知()()()135791211nnn n -+-+-+⋯+--=-对*n N ∈都成立．1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法. 10．（1）214a =，316a =，418a =；（2）12n a n=，证明见解析. 【分析】(1)由题意利用递推关系式即可求得2a 、3a ，4a 的值；(2)结合(1)中的结果首先猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法进行证明即可. 【详解】(1)由题意可得：1211121214212a a a ===+⨯+，2321141216214a a a ===+⨯+， 3431161218216a a a ===+⨯+； (2)结合(1)的结果可猜想数列的通项公式为：12n a n=，下面用数学归纳法进行证明：当1n =时，111212a ==⨯满足题意， 假设n k =时假设成立，即12k a k=，则当1n k =+时，()111212121212k k k a k a a k k+===++⨯+， 则1n k =+时等号也成立， 综上可得，12n a n=对任意的*n N ∈都成立. 【点睛】本题主要考查数列中的递推关系，归纳推理的方法，数学归纳法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．（1）()22g =，()33g =，()44g =；（2）()g n n =，证明见解析. 【分析】(1)由题意结合所给的条件首先求得()()()2,3,4f f f 的值，然后求解()2g ，()3g ，()4g 的值即可；(2)结合(1)中的结果首先猜想()g n 的值，然后用数学归纳法加以证明即可. 【详解】 (1)由题意可得： f (1)=1，13(2)122f =+=，1111(3)1236f =++=，11125(4)123412f =+++=. 1(2)(1)2(2)1g f f ∴=⨯=-，1(3)[(1)(2)]3(3)1g f f f =+=-，1(4)[(1)(2)(3)]4(4)1g f f f f =++=-.(2)由(1)猜想g (n )=n (n ⩾2). 下面利用数学归纳法证明： ①当n =2时，猜想成立；②假设当*,)2(n k k N k =∈时，g (k )=k . 即1()[(1)(2)(1)]()1g k f f f k k f k =++⋯+-=-，∴f (1)+f (2)+…+f (k −1)=kf (k )−k ， 则当n =k +1时，1(1)[(1)(2)()](1)1g k f f f k f k +=++⋯++-1[(1)()]1()11k f k k f k k =⋅+-+-+=k +1，因此当n =k +1时，命题g (k +1)=k +1成立. 综上可得：*n N ∀∈，g (n )=n (n ⩾2)成立. 【点睛】本题主要考查递推关系的应用，归纳推理的应用，数学归纳法的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．存在，31n b n =+，证明见解析. 【分析】由题意，首先令n =1,2,3来猜想数列的通项公式，然后利用先猜后证的方法证明猜想的通项公式成立即可. 【详解】假设存在等差数列{b n },使1212n n a b b n b =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅对一切正整数n 都成立. 当n =1,2,3时,1121231234;182;48123a b a b b a b b b ====+==⋅+⋅+. 联立解得1234,7,10b b b ===. ∴公差d =7−4=3， ∴b n =4+3(n −1)=3n +1. ∴nb n =3n 2+n .以下验证猜想的正确性：()22212123(1)122n b b n b n n n +++⋯++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⨯ (1)(21)(1)362n n n n n +++=⨯+2(1)n n =+n a =∴存在等差数列{b n },其通项公式为b n =3n +1,使1212n n a b b n b =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅对一切正整数n 都成立. 【点睛】本题主要考查等差数列的应用，先猜后证的应用，递推关系的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
