最新2020届中考数学专题复习-归纳猜想型问题

专题30规律型问题专题知识回顾1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．5.解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．专题典型题考法及解析【例题1】（2019•四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a＝5，a是a的差倒数，a是a的差倒数，a是a的差倒数…，1 2 1 3 2 4 3依此类推，a的值是（）2019A．5B．﹣C．D．【答案】D．【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a相同的数即可得解．2019∵a＝5，1a＝2a＝3＝＝＝﹣，＝，a＝＝＝5，4…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a＝a＝2019 3【例题2】（2019•湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1.（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384【例题3】（2019•四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为直角边作1 1△R t OA A，并使∠A OA＝60°，再以OA为直角边作△R t OA A，并使∠A OA＝60°，再以OA为直角边作 12 1 2 2 23 2 3 3n△R t OA A，并使∠A OA＝60°…按此规律进行下去，则点A的坐标为． 34 3 4 2019【答案】（﹣22017，22017）．【解析】通过解直角三角形，依次求A，A，A，A，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．1 2 3 4由题意得，A的坐标为（1，0），1A的坐标为（1，），2A的坐标为（﹣2，2），3A的坐标为（﹣8，0），4A的坐标为（﹣8，﹣8），5A的坐标为（16，﹣16），6A的坐标为（64，0），7…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2∵2019÷6＝336…3，n﹣2，∴点A2019的方位与点A的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，23纵坐标为22017【例题4】（2019湖南益阳）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2③7﹣2＝（＝（﹣﹣）2，）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【答案】13﹣2＝（﹣）2．【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（﹣）2（n≥1的整数）．写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．【例题5】（2019•甘肃庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【答案】13a+21b．【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b【例题6】（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点A、A、A…A在x轴上，B、B、B…B1 2 3 n 1 2 3 n 在直线y＝x上，若A（1，0），且△A△B A、△A△B A…△A B A 都是等边三角形，从左到右的小三角形1 1 12 2 23 n n n+1（阴影部分）的面积分别记为S、S、S…S．则S可表示为（）1 2 3 n nA．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【答案】D．【解析】直线y＝x与x轴的成角∠B OA＝30°，可得∠OB A＝30°，…，∠OB A＝30°，∠OB A＝90°，…，1 12 2 n n 1 2∠OB A＝90°；根据等腰三角形的性质可知A B＝1，B A＝OA＝2，B A＝4，…，B A＝2 n n+1 1 1 2 2 2 3 3 n n n﹣1；根据勾股定理可得B B＝，B B＝2，…，B B＝2n 12 23 n n+1，再由面积公式即可求解；解：∵△A△B A、△A△B A…△A△B A 都是等边三角形，1 12 2 23 n n n+1∴A B∥A B∥A B∥…∥A B，B A∥B A∥B A∥…∥B A，△A△B A、△A△B A…△A△B A 都是等边三角形，1 12 23 3 n n 1 2 2 3 34 n n+1 1 1 2 2 2 3 n n n+1∵直线y＝x与x轴的成角∠B OA＝30°，∠OA B＝120°，1 1 1 1∴∠OB A＝30°，1 1∴OA＝A B，1 1 1∵A（1，0），1∴A B＝1，1 1同理∠OB A＝30°，…，∠OB A＝30°，2 2 n n∴B A＝OA＝2，B A＝4，…，B A＝22 2 23 3 n n n﹣1，易得∠OB A＝90°，…，∠OB A ＝90°，1 2 n n+1∴B B＝，B B＝2，…，B B＝2n，n n+11 2 2 3∴S＝×1×＝，S＝×2×2＝2，…，S＝×2n﹣1×21 2 nn＝。

2019-2020年中考数学专题知识突破七：归纳猜想型问题一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。

这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。

二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。

三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

例1 （2014•菏泽）下面是一个某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n－2个数是（用含n的代数式表示）思路分析：观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n－1行的数据的个数，再加上n－2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。

其中，以图形为载体的数字规律最为常见。

第七篇专题复习篇专题39变式猜想题知识点名师点晴变式猜想问题特殊的四边形的变式题理解并掌握特殊的四边形的性质,并能解决四边形的有关变式问题三角形有关的变式题利用三角形的性质、全等、相似解决相关是变式问题图形的旋转与对称变式利用图形的旋转和有关变换解决相关的变式问题归纳1：几何图形的有关变式猜想问题基础知识归纳：几何图形的变式猜想问题主要涉及等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、矩形、菱形、正方形等几何载体．基本方法归纳：对于几何变式猜想问题主要有以下的解题思路：其一是弄清在变式过程中,存在哪些变量与不变的关系；其二是建立起不变关系与变化的量之间存在的位置关系和数量关系,其基本工具是全等三角形和相似三角形、锐角三角函数等．注意问题归纳：解决几何变式问题时,要注意特殊情况下的已知条件和结论之间的逻辑关系,从特殊到一般、类比归纳是解决此类问题的重要方法．【例1】（2019湖南省岳阳市,第23题,10分）操作体验：如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点D恰好与点B重合,点C落在点C'处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合）,过点P分别作直线BE、BF的垂线,垂足分别为点M和N,以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1,求证：B E=BF；（2）特例感知：如图2,若DE=5,CF=2,当点P在线段EF上运动时,求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE=a,CF=b．①如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时,试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系,并证明；②如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时,请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）【例2】（2019内蒙古鄂尔多斯市,第23题,11分）（1）【探究发现】如图1,∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处,∠EOF=90°,将∠EOF绕点O旋转,旋转过程中,∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C,D不重合）．则CE,CF,BC 之间满足的数量关系是．（2）【类比应用】如图2,若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD=120°的菱形ABCD”,其他条件不变,当∠EOF=60°时,上述结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请猜想结论并说明理由．（3）【拓展延伸】如图3,∠BOD=120°,OD34=,OB=4,OA平分∠BOD,AB13=,且OB＞2OA,点C是OB上一点,∠CAD=60°,求OC的长．【2019年题组】一、选择题二、填空题三、解答题1．（2019吉林省,第24题,8分）性质探究如图①,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+43,则它的面积为；（2）如图②,在四边形EFGH中,EF=EG=EH．①求证：∠EFG+∠EHG=∠FGH；②在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN．若∠FGH=120°,EF=10,直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．2．（2019四川省乐山市,第25题,12分）在△ABC中,已知D是BC边的中点,G是△ABC的重心,过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．（1）如图1,当EF∥BC时,求证：BE CFAE AF+=1；（2）如图2,当EF和BC不平行,且点E、F分别在线段AB、AC上时,（1）中的结论是否成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由．（3）如图3,当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时,（1）中的结论是否成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由．3．（2019四川省达州市,第24题,11分）箭头四角形模型规律如图1,延长CO交AB于点D,则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头,其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律,所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．②如图3,∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F,已知∠BEC=120°,∠BAC=50°,则∠BFC= ．③如图4,BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i=1,2,3,…,2017,2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC=m°,∠BAC=n°,则∠BO1000C= 度．（2）拓展应用：如图5,在四边形ABCD中,BC=CD,∠BCD=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD．求证：四边形OBCD是菱形．4．（2019山东省威海市,第25题,12分）（1）方法选择如图①,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD,AB=BC=AC．求证：B D=AD+CD．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM=AD,连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N,使得DN=AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD,BC是⊙O的直径,AB=AC．试用等式表示线段AD,BD,CD之间的数量关系,并证明你的结论．【探究2】如图③,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD．若BC是⊙O的直径,∠ABC=30°,则线段AD,BD,CD 之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD．若BC是⊙O的直径,BC：A C：A B=a：b：c,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是．5．（2019德州,第24题,12分）（1）如图1,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上,且∠BAD=60°,请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,如图2,求HD：GC：EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形,如图3,且AD：A B=AH：A E=1：2,此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化,直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化,请说明理由．6．（2019山东省淄博市,第23题,9分）如图1,正方形ABDE和BCFG的边AB,BC在同一条直线上,且AB=2BC,取EF的中点M,连接MD,MG,MB．（1）试证明DM⊥MG,并求MBMG的值．（2）如图2,将图1中的正方形变为菱形,设∠EAB=2α（0＜α＜90°）,其它条件不变,问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化,求出该值（用含α的式子表示）；若无变化,说明理由．7．（2019青岛,第23题,10分）问题提出：如图,图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片,图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a,b的矩形,被分成a×b个边长为1的小正方形,其中a≥2,b≥2,且a,b为正整数）．把图①放置在图②中,使它恰好盖住图②中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律,我们采用一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？如图③,对于2×2的方格纸,要用图①盖住其中的三个小正方形,显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？如图④,在3×2的方格纸中,共可以找到2个位置不同的2 2×方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有2×4=8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？如图⑤,在a×2的方格纸中,共可以找到个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？如图⑥,在a×3的方格纸中,共可以找到个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a×3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法,写出解答过程,不需画图．）问题拓展：如图,图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体,图⑧是一个长、宽、高分别为a,b,c（a≥2,b≥2,c ≥2,且a,b,c是正整数）的长方体,被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体．8．（2019河南省,第22题,10分）在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α．点P是平面内不与点A,C重合的任意一点．连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP．（1）观察猜想如图1,当α=60°时,BDCP的值是,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2,当α=90°时,请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α=90°时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时AD CP的值．9．（2019湖北省襄阳市,第24题,10分）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB 上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE．①求证：D Q=AE；②推断：GFAE的值为；（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中,BCAB=k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下,连接CP,当k23=时,若tan∠CGP34=,GF=210,求CP的长．10．（2019甘肃省白银市,第27题,10分）阅读下面的例题及点拨,并解决问题：例题：如图①,在等边△ABC中,M是BC边上一点（不含端点B,C）,N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②,作∠CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边△BEC,连接EM．易证：△ABM≌△EBM （SAS）,可得AM=EM,∠1=∠2；又AM=MN,则EM=MN,可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5,又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,即：∠AMN=60°．问题：如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点（不含端点B1,C1）,N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．11．（2019贵州省安顺市,第24题,12分）（1）如图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,若AE 是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断．A B,AD,DC之间的等量关系；（2）问题探究：如图②,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点,若AE 是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论．12．（2019辽宁省抚顺市,第25题,12分）如图,点E,F分别在正方形ABCD的边CD,BC上,且DE=CF,点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG,过点E作GD的垂线QH,垂足为点H,交射线BC于点Q．（1）如图1,若点E是CD的中点,点P在线段BF上,线段BP,QC,EC的数量关系为．（2）如图2,若点E不是CD的中点,点P在线段BF上,判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由．（3）正方形ABCD的边长为6,AB=3DE,QC=1,请直接写出线段BP的长．13．（2019黑龙江省鸡西市,第26题,8分）如图,在△ABC中,AB=BC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,BH⊥AB于点B,点M是BC的中点,连接FM并延长交BH于点H．（1）如图①所示,若∠ABC=30°,求证：D F+BH3；（2）如图②所示,若∠ABC=45°,如图③所示,若∠ABC=60°（点M与点D重合）,猜想线段DF、BH与BD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想,不需证明．【2018年题组】一、选择题二、填空题三、解答题1．（2018江苏省盐城市,第26题,12分）【发现】如图①,已知等边△ABC,将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合）,使两边分别交线段AB、AC于点E、F．（1）若AB=6,AE=4,BD=2,则CF=；（2）求证：△EBD∽△DCF．【思考】（3）若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动,保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在,连接EF,如图②所示,问：点D是否存在某一位置,使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在,求出BDBC的值；若不存在,请说明理由．【探索】（4）如图③,在等腰△ABC中,AB=AC,点O为BC边的中点,将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B）,使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合）,连接EF．设∠B=α,则△AEF与△ABC的周长之比为（用含α的表达式表示）．2．（2018江苏省苏州市,第27题,10分）问题1：如图①．在△ABC中,AB=4,D是AB上一点（不与A,B重合）,DE ∥BC,交AC于点E,连接CD．设△ABC的面积为S,△DEC的面积为S'．（1）当AD=3时,'SS=；（2）设AD=m,请你用含字母m的代数式表示'SS．问题2：如图②,在四边形ABCD中,AB=4,AD∥BC,AD=12BC,E是AB上一点（不与A,B重合）,EF∥BC,交CD于点F,连接CE．设AE=n,四边形ABCD的面积为S,△EFC的面积为S'．请你利用问题1的解法或结论,用含字母n的代数式表示'SS．3．（2018江西省,第22题,9分）在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是,CE与AD的位置关系是；（2）当点E在菱形ABCD外部时,（1）中的结论是否还成立？若成立,请予以证明；若不成立,请说明理由（选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理）；（3）如图4,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB3BE19,求四边形ADPE的面积．4．（2018河南省,第22题,10分）（1）问题发现如图1．在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M．填空：①ACBD的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2．在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB的度数,并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长．5．（2018湖北省天门市,第24题,10分）问题：（1）如图①．在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点（不与点B,C重合）,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为；探索：（2）如图②．在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论；应用：（3）如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9,CD=3,求AD的长．6．（2018湖北省黄石市,第24题,9分）在△ABC中,E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．（1）如图1,若EF∥BC,求证：AEFABCS AE AFS AB AC⋅=⋅VV（2）如图2,若EF不与BC平行,（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3,若EF上一点G恰为△ABC的重心,34AEAB,求AEFABCSSVV的值．7．（2018湖南省常德市,第26题,10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC于E,过D作DH⊥AE于H,设直线DH交AC于N．（1）如图1,当M在线段BO上时,求证：MO=NO；（2）如图2,当M在线段OD上,连接NE,当EN∥BD时,求证：B M=AB；（3）在图3,当M在线段OD上,连接NE,当NE⊥EC时,求证：A N2=NC•AC．8．（2018辽宁省盘锦市,第25题,14分）如图1,点E是正方形ABCD边CD上任意一点,以DE为边作正方形DEFG,连接BF,点M是线段BF中点,射线EM与BC交于点H,连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°,此时点F恰好落在线段CD上,如图2,其他条件不变,（1）中的结论是否成立,请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°,此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上,如图3,其他条件不变,（1）中的结论是否成立,请说明理由．9．（2018辽宁省营口市,第25题,14分）已知：在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AC边上一点,连接BD,点E 是线段BD延长线上一点,连接AE,CE,使∠CAE=∠CBE,过点C作CF⊥CE,交BD于点F．（1）①如图1,当∠ABC=45°时,线段AE与BF之间的数量关系是．②如图2,当∠ABC=60°时,线段AE与BF之间的数量关系是．（2）如图3,当∠ABC=30°时,线段AE与BF之间具有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图4,当∠ABC=α（0°＜α＜90°）时,直接写出线段AE与BF之间的数量关系．（用含α的式子表示）10．（2018辽宁省葫芦岛市,第25题,12分）在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点（点P不与点A,O,C重合）．过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF．（1）如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长．11．（2018青海省,第27题,11分）请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题：（1）探究1：如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD．求证：△BCD的面积为12a2．（提示：过点D作BC边上的高DE,可证△ABC≌△BDE）（2）探究2：如图2,在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积,并说明理由．（3）探究3：如图3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积,要有探究过程．12．（2018黑龙江,第26题,8分）如图,在Rt△BCD中,∠CBD=90°,BC=BD,点A在CB的延长线上,且BA=BC,点E在直线BD上移动,过点E作射线EF⊥EA,交CD所在直线于点F．（1）当点E在线段BD上移动时,如图（1）所示,求证：A E=EF；（2）当点E在直线BD上移动时,如图（2）、图（3）所示,线段AE与EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想,不需证明．13．（2018鄂尔多斯,第24题,12分）（1）【操作发现】如图1,将△ABC绕点A顺时针旋转60°,得到△ADE,连接BD,则∠ABD=度．（2）【类比探究】如图2,在等边三角形ABC内任取一点P,连接P A,PB,PC,求证：以P A,PB,PC的长为三边必能组成三角形．（3）【解决问题】如图3,在边长为7的等边三角形ABC内有一点P,∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积．（4）【拓展应用】如图4是A,B,C三个村子位置的平面图,经测量AC=4,BC=5,∠ACB=30°,P为△ABC内的一个动点,连接P A,PB,PC．求P A+PB+PC的最小值．14．（2018吉林省长春市,第22题,9分）在正方形ABCD中,E是边CD上一点（点E不与点C、D重合）,连结BE．【感知】如图①,过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）【探究】如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G．（1）求证：B E=FG．（2）连结CM,若CM=1,则FG的长为．【应用】如图③,取BE的中点M,连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G,连结EG、MG．若CM=3,则四边形GMCE的面积为．15．（2018四川省乐山市,第25题,12分）已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在BC、AC边上,连结BE、AD交于点P,设AC=kBD,CD=kAE,k为常数,试探究∠APE的度数：（1）如图1,若k=1,则∠APE的度数为；=,试问（1）中的结论是否成立？若成立,请说明理由；若不成立,求出∠APE的度数．（2）如图2,若k3=,且D、E分别在CB、CA的延长线上,（2）中的结论是否成立,请说明理由．（3）如图3,若k316．（2018四川省自贡市,第25题,12分）如图,已知∠AOB=60°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1）,请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立？请在图3中画出图形,若成立,请给于证明；若不成立,线段OD 、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,不需证明．17．（2018四川省达州市,第24题,11分）阅读下列材料：已知：如图1,等边△A 1A 2A 3内接于⊙O ,点P 是·12A A 上的任意一点,连接P A 1,P A 2,P A 3,可证：P A 1+P A 2=P A 3,从而得到：1212312PA PA PA PA PA +=++是定值．（1）以下是小红的一种证明方法,请在方框内将证明过程补充完整；证明：如图1,作∠P A 1M =60°,A 1M 交A 2P 的延长线于点M ．∵△A 1A 2A 3是等边三角形,∴∠A 3A 1A 2=60°,∴∠A 3A 1P =∠A 2A 1M又A 3A 1=A 2A 1,∠A 1A 3P =∠A 1A 2P ,∴△A 1A 3P ≌△A 1A 2M∴P A 3=MA 2=P A 2+PM =P A 2+P A 1,∴1212312PA PA PA PA PA +=++,是定值．（2）延伸：如图2,把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”,其余条件不变,请问：121234PA PAPA PA PA PA++++还是定值吗？为什么？（3）拓展：如图3,把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”,其余条件不变,则1212345PA PAPA PA PA PA PA+=++++（只写出结果）．18．（2018山东省济南市,第26题,12分）在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB,点D为射线BC上任意一点,在射线CM上截取CE=BD,连接AD、DE、AE．（1）如图1,当点D落在线段BC的延长线上时,直接写出∠ADE的度数；（2）如图2,当点D落在线段BC（不含边界）上时,AC与DE交于点F,请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由；（3）在（2）的条件下,若AB=6,求CF的最大值．19．（2018山东省青岛市,第23题,10分）问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒,按照如图1方式搭建一个长方体框架,探究所用木棒条数的规律．问题探究：我们先从简单的问题开始探究,从中找出解决问题的方法．探究一用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n的矩形框架（m、n是正整数）,需要木棒的条数．如图①,当m=1,n=1时,横放木棒为1×（1+1）条,纵放木棒为（1+1）×1条,共需4条；如图②,当m=2,n=1时,横放木棒为2×（1+1）条,纵放木棒为（2+1）×1条,共需7条；如图③,当m=2,n=2时,横放木棒为2×（2+1）条,纵放木棒为（2+1）×2条,共需12条；如图④,当m=3,n=1时,横放木棒为3×（1+1）条,纵放木棒为（3+1）×1条,共需10条；如图⑤,当m=3,n=2时,横放木棒为3×（2+1）条,纵放木棒为（3+1）×2条,共需17条．问题（一）：当m=4,n=2时,共需木棒条．问题（二）：当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为条,纵放的木棒为条．探究二用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n,高是s的长方体框架（m、n、s是正整数）,需要木棒的条数．如图⑥,当m=3,n=2,s=1时,横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34条,竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1=12条,共需46条；如图⑦,当m=3,n=2,s=2时,横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）=51条,竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2=24条,共需75条；如图⑧,当m=3,n=2,s=3时,横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）=68条,竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3=36条,共需104条．问题（三）：当长方体框架的横长是m,纵长是n,高是s时,横放与纵放木棒条数之和为条,竖放木棒条数为条．实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,则这个长方体框架的横长是．拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,需要木棒条．一、选择题二、填空题三、解答题1．（2019渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,连结DF,CF．（1）如图1,点D在AC上,请你判断此时线段DF,CF的关系,并证明你的判断；（2）如图2,在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时,若AD=DE=2,AB=6,求此时线段CF的长．2．（2019合肥二模）如图,点C为线段AB上一点,分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形,顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧,点D在另一侧）．（1）如图1,若点C是AB的中点,则∠CED= °；（2）如图2．若点C不是AB的中点．①求证：△DEF为等边三角形；,请求出DE的长．②连接CD,若∠ADC=90°,AD33．（2019南关区一模）在△ABC中,CA=CB,0°＜∠C≤90°．过点A作射线AP∥BC,点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合）,且BM=AN,连结BN并延长交AP于点D,连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E,连结ED．[猜想]如图①,当∠C=45°时,可证△BCN≌△ACM,从而得出∠CBN=∠CAM,进而得出∠BDE的大小为度．[探究]如图②,若∠C=α．（1）求证：△BCN≌△ACM．（2）∠BDE的大小为度（用含a的代数式表示）．[应用]如图③,当∠C=90°时,连结BE．若BC=3,∠BAM=15°,则△BDE的面积为．4．（2019武昌区模拟）如图,在△CDE中,A为DE边上的点,B为射线EC上的点,∠EAB+∠DCE=180°,AD=2AE,CD=nAB．（1）当点B在边EC上时,①若∠C=90°,求证：△EAB∽△ECD；②若tan∠C92,n=2,求EBCB的值；（2）当点B在EC的延长线上时,若∠E=60°,n=1,直接写出CDDE的值．5．（2019商丘二模）如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点．（1）问题提出：如图1,若AD=AE,AB=AC．①∠ABD与∠ACE的数量关系为；②∠BPC的度数为．（2）猜想论证：如图2,若∠ADE=∠ABC=30°,则（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）拓展延伸：在（1）的条件中,若AB=2,AD=1,若把△ADE绕点A旋转,当∠EAC=90°时,直接写出PB 的长．6．（2019邓州市二模）阅读材料如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连接BF、CD、CO,显然,点C、F、O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD,所以BF=CD．解决问题：（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转到图②的位置,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论；（2）如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立,请说明理由；如果不成立,请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为O,且顶角∠ACB=∠EDF=α,BF与CD之间的数量关系如何（用含α的式子表示出来）？请直接写出结果．7．（2019海淀区校级三模）如图1．在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为∠ACB平分线CD上一动点（不与点C重合）,点E关于直线BC的对称点为F,连接AE并延长交CB延长线于点H,连接FB并延长交直线AH于点G．（1）求证：A E=BF．（2）用等式表示线段FG,EG与CE的数量关系,并证明．（3）连接GC,用等式表示线段GE,GC与GF的数量关系是．8．（2019成都一模,第22题,10分）如图1．在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC、BE,点P为DC的中点．（1）观察猜想：图1中,线段AP与BE的数量关系是,位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,小航猜想（1）中的结论仍然成立,请你证明小航的猜想；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出线段AP的取值范围．。

专题复习-中考数学归纳与猜想(含答案)-- 2 -专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特猜想性猜想猜想猜想数猜想图猜想数猜想数猜想变- 3 -- 4 -⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。

解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。

例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：所剪次1 2 3 4 5 …数正方形4 7 10 13 16 …个数⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？⑵如果剪n次共有A n个正方形，试用含n、A n的等式表示这个规律；⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n表示第n次所剪的正方形的边长，试用含n的式子表示a n；- 5 -- 6 -⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个； ⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解，∴不能将原正方形剪成2004个小正方形； ⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义1 a a a- 7 -如图所示。

中考数学知识点专题分类复习：第45讲归纳猜想问题【知识巩固】一、专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。

这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。

二．解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。

【典例解析】典例一、猜想数式规律（2017毕节）观察下列运算过程：计算：1+2+22+ (210)解：设S=1+2+22+…+210，①①×2得2S=2+22+23+…+211，②②﹣①得S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32017=．【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】令s=1+3+32+33+…+32017，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．【解答】解：令s=1+3+32+33+…+32017等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+…+32018两式相减得：2s=32018﹣1，∴s=，故答案为：．【变式训练】按一定规律排列的一列数：，1，1，□，，，，…请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】把整数1化为，可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，分析即可求解．【解答】解：把整数1化为，得，，，（），，，…可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，所以，第4个数的分子是2，分母是3，故答案为：．典例二、猜想图形规律（2017黑龙江鹤岗）观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；…．则第2017个图形中有8065个三角形．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】结合图形数出前三个图形中三角形的个数，发现规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4．【解答】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形， …第n 个图形中三角形的个数是1+4（n ﹣1）=4n ﹣3， 当n=2017时，4n ﹣3=8065， 故答案为：8065． 【变式训练】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 135 个点．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入9求解即可． 【解答】解：第一个图形有3=3×1=3个点， 第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点； 第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点； …第n 个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n ）=个点；当n=9时， =135个点，故答案为：135． 典例三、猜想数量关系（2016·山东省东营市·4分）在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S ＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S ＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②，②一①得：3S ―S ＝39－1，即2S ＝39－1， ∴S ＝39―12.得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016的值？如能求出，其正确答案是___________. 【专题】规律探究——数式规律 【答案】m 2017－1m －1.【解析】设S ＝1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016 …………………①，在①式的两边都乘以m ，得：mS ＝m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016＋m 2017 …………………② ②一①得：mS ―S ＝m 2017－1. ∴S ＝m 2017－1m －1.【点拨】仔细理解题目中所给的求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值过程，仿照其解法，即可得到求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016的值的方法. 【变式训练】（2016·广西百色·3分）观察下列各式的规律： （a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2 （a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3﹣b 3 （a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4﹣b 4 …可得到（a ﹣b ）（a 2016+a 2015b+…+ab 2015+b 2016）= a 2017﹣b 2017 ． 【考点】平方差公式；多项式乘多项式．【分析】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子结果即可． 【解答】解：（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2； （a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3﹣b 3； （a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4﹣b 4； …可得到（a ﹣b ）（a 2016+a 2015b+…+ab 2015+b 2016）=a 2017﹣b 2017， 故答案为：a 2017﹣b 2017 典例四、猜想变化情况（2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=x+2交x 轴于点A ，交y 轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为2n+1﹣2．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．【解答】解：由题意得OA=OA1=2，∴OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，…∴B n的横坐标为2n+1﹣2．故答案为2n+1﹣2．【变式训练】（2017内江）如图，过点A0（2，0）作直线l：y=x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2107的长为（）A．（）2015B．（）2016C．（）2017D．（）2018【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OA n=（）n OA=2（）n，依此规律即可解决问题．【解答】解：由y=x，得l的倾斜角为30°，点A坐标为（2，0），∴OA=2，∴OA1=OA=，OA2=OA1═，OA3=OA2═，OA4=OA3═，…，∴OA n=（）n OA=2（）n．∴OA2016=2×（）2016，A2016A2107的长×2×（）2016=（）2016，故选：B．典例五、其他类规律（2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为22015π．．【考点】MN：弧长的计算；F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得P n O n垂直于x轴，可得为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…∵P1是⊙O2上的点，∴P1O1=OO1，∵直线l解析式为y=x，∴∠P1OO1=45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，同理，P n O n垂直于x轴，∴为圆的周长，∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，∴OO n=2n﹣1，∴=•2π•OO n=π•2n﹣1=2n﹣2π，当n=2017时，=22015π．故答案为22015π．【变式训练】（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6==﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：a n==﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+a n．【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．【解答】解：（1）由题意知，a6==﹣，故答案为：，﹣；（2）a n==﹣，故答案为：，﹣；（3）原式=﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=﹣=，故答案为：；（4）原式=﹣+﹣+…+﹣=﹣=．【能力检测】1. （2017广西百色）观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（）A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．121【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】根据已知数据得出规律，再求出即可．【解答】解：0=﹣（1﹣1）2，1=（2﹣1）2，﹣4=﹣（3﹣1）2，9=（4﹣1）2，﹣16=﹣（5﹣1）2，∴第11个数是﹣（11﹣1）2=﹣100，故选B．2.（2016广西南宁3分）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】先按图示规律计算出每一层的第一个数和最后一个数；发现第一个数分别是每一层层数的平方，那么只要知道2016介于哪两个数的平方即可，通过计算可知：442＜2016＜452，则2016在第44层．【解答】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，第二层：第一个数为22=4，最后一个数为23﹣1=8，第三层：第一个数为32=9，最后一个数为24﹣1=15，∵442=1936，452=2025，又∵1936＜2016＜2025，∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，故答案为：44【点评】本题考查了数学变化类的规律题，这类题的解题思路是：①从第一个数起，认真观察、仔细思考，能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等规律来表示；②利用方程来解决问题，先设一个未知数，找到符合条件的方程即可；本题以每一行的第一个数为突破口，找出其规律，得出结论．3. （2017重庆B）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为（）A．116 B．144 C．145 D．150【分析】根据题意图形得出小星星的个数变化规律，即可的得出答案．【解答】解：∵4=1×2+2，11=2×3+2+321=3×4+2+3+4第4个图形为：4×5+2+3+4+5，∴第⑨个图形中的颗数为：9×10+2+3+4+5+6+7+8+9+10=144．故选：B．【点评】此题主要考查了图形变化规律，正确得出每个图形中小星星的变化情况是解题关键．4.（2017呼和浩特）我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率．随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计，用计算机随机产生m个有序数对（x，y）（x，y是实数，且0≤x≤1，0≤y≤1），它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部．如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则据此可估计π的值为．（用含m，n的式子表示）【考点】X8：利用频率估计概率；D2：规律型：点的坐标．【分析】根据落在扇形内的点的个数与正方形内点的个数之比等于两者的面积之比列出=，可得答案．【解答】解：根据题意，点的分布如图所示：则有=，∴π=，故答案为：．5.（2016·湖北荆州·3分）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）A．671 B．672 C．673 D．674【分析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n个图案中白色纸片数，从而可得关于n的方程，解方程可得．【解答】解：∵第1个图案中白色纸片有4=1+1×3张；第2个图案中白色纸片有7=1+2×3张；第3个图案中白色纸片有10=1+3×3张；…∴第n个图案中白色纸片有1+n×3=3n+1（张），根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，故选：B．【点评】本题考查了图形的变化问题，观察出后一个图形比前一个图形的白色纸片的块数多3块，从而总结出第n个图形的白色纸片的块数是解题的关键．6.（2017甘肃张掖）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为8，第2017个图形的周长为6053．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】根据已知图形得出每增加一个四边形其周长就增加3，据此可得答案．【解答】解：∵第1个图形的周长为2+3=5，第2个图形的周长为2+3×2=8，第3个图形的周长为2+3×3=11，…∴第2017个图形的周长为2+3×2017=6053，故答案为：8，6053．7. （2017绥化）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为．【考点】KX：三角形中位线定理；KW：等腰直角三角形．【分析】记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为s1，第二个小三角形的面积为s2，…，求出s1，s2，s3，探究规律后即可解决问题．【解答】解：记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为s1，第二个小三角形的面积为s2，…，∵s1=•s=•s，s2=•s=•s，s3=•s，∴s n=•s=••2•2=，故答案为．。

专题四 归纳与猜想归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．在中考试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现．考向一 数字规律问题数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题． 【例1】如图，一个数表有7行7列，设a ij 表示第i 行第j 列上的数(其中i ＝1,2,3，…，j ＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的数a 53＝7.1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 3 4 5 6 5 4 3 4 5 6 7 6 5 4 5 6 7 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 10 9 8 7则(1)(a 23－a 22)＋(a 52－a 53)＝__________.(2)此数表中的四个数a np ，a nk ，a mp ，a mk ，满足(a np －a nk )＋(a mk －a mp )＝__________. 解析：根据数表中数字排列规律，得a 23＝4，a 22＝3， a 52＝6，a 53＝7，所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7)＝0.对于(2)中四个数a np ，a nk ，a mp ，a mk ，可以发现a np 与a nk 为同一行的数，且其差为第p 个数与第k 个数之差，同理a mk 与a mp 之差也为同行中第k 个数与第p 个数之差．根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以(a np －a nk )＋(a mk －a mp )＝0.答案：(1)0 (2)0方法归纳 解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．考向二 数式规律问题解答此类问题的常用方法是：(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；(2)按规律顺序排列这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来；(4)用题中所给数据验证规律的正确性．【例2】给出下列命题：命题1：直线y ＝x 与双曲线y ＝1x有一个交点是(1,1)；命题2：直线y ＝8x 与双曲线y ＝2x 有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4； 命题3：直线y ＝27x 与双曲线y ＝3x 有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，9； 命题4：直线y ＝64x 与双曲线y ＝4x 有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，16； ……(1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n (n 为正整数)； (2)请验证你猜想的命题n 是真命题．解：(1)命题n ：直线y ＝n 3x 与双曲线y ＝n x有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2；(2)将⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2代入直线y ＝n 3x 得：右边＝n 3×1n＝n 2，左边＝n 2，∴左边＝右边．∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2在直线y ＝n 3x 上． 同理可证：点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2在双曲线y ＝n x 上， ∴直线y ＝n 3x 与双曲线y ＝n x有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1n，n 2.方法归纳 此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．对于本题来说，关键是发现变化的点的坐标的横坐标和纵坐标之间的关系，同时找出两个函数的系数和横坐标的关系．考向三 数形规律问题 根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见．【例3】用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需要3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要小圆__________个(用含n 的代数式表示)．解析：观察图形可知，第n 个图形比第(n －1)个图形多n 个小圆，所以第n 个图形需要小圆1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)．答案：12n (n ＋1)方法归纳 解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．一、选择题 1．如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7…叫做“正六边形的渐开线”，其中¼1FK ，¼12K K ，¼23K K ，¼34K K ，¼45K K ，¼56K K …的圆心依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F循环，其弧长分别记为l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6….当AB ＝1时，l 2 011等于( )A ．2 011π2B ．2 011π3C ．2 011π4D ．2 011π62．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…，按这样的规律进行下去，第2 011个正方形的面积为( )A ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫32 2 010B ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫94 2 011C ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫94 2 009D ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫32 4 020二、填空题3．按一定规律排列的一列数，依次为1,4,7，….则第n 个数是__________．4．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1；取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A 4F 4B 4D 4C 4E 4的面积为__________．5．如图，在一单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，……，都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2,4,6，……的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1(2,0)，A 2(1，－1)，A 3(0,0)，则依图中所示规律，A 2 012的坐标为__________．三、解答题6．观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1②2×4－32＝8－9＝－1③3×5－42＝15－16＝－1④__________________________ ……(1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母n (n 为正整数)的式子表示出来； (3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 7．观察图形，解答问题：(1) 图① 图② 图③ 三个角上 三个数的积 1×(－1)× 2＝－1 (－3)×(－4)×(－5)＝－60三个角上 三个数的和 1＋(－1)＋ 2＝2 (－3)＋(－4)＋(－5)＝－12积与和的商 －2÷2＝－1(2)请用你发现的规律求出图④中的数y 和图⑤中的数x .8．(1)△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．图1图2 图3(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S 1；按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S 2(如图2)，则S 2＝__________.(3)按(1)(2)的方法，再在余下的四个三角形中，分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S 3(如图3)；继续操作下去…，则第10次剪取时，S 10＝__________.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和．参考答案专题提升演练1．B 可以发现规律：每段弧的度数都等于60°，K n －1K n 的半径为n ，所以l 2 011＝60π×2 011180＝2 011π3.2．D 由题意知，OA ＝1，OD ＝2，DA ＝5，∴AB ＝AD ＝5，利用互余关系证得△DOA∽△ABA 1，∴DO AB ＝OA BA 1，∴BA 1＝12AB ＝125，∴A 1B 1＝A 1C ＝32AB ＝352，同理，A 2B 2＝32A 1B 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3225，一般地A n B n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 5，第2 011个正方形的面积为(A 2 010B 2 010)2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫32 4 020，故选D.3．3n －2 思路一：将数列看成1＋3×0,1＋3×1,1＋3×2，…，1＋3×(n －1)，所以第n 个数是1＋3×(n －1)，即3n －2.思路二：将数列看成3×1－2,3×2－2,3×3－2，…，3×n －2，所以第n 个数是3n －2.4．128 因为A 1，B 1分别是EF ，FD 的中点，所以A 1B 1＝12ED .因为正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1∽正六角星形AFBDCE ，所以正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1的面积:正六角星形AFBDCE 的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.所以正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1的面积＝14.同理正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2的面积:正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2的面积＝14×14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142.如此下去…，则正六角星形A 4F 4B 4D 4C 4E 4的面积等于⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝128.5．(2,1 006)6．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1；(2)n (n ＋2)－(n ＋1)2＝－1； (3)一定成立．理由：因为n (n ＋2)－(n ＋1)2＝n 2＋2n －(n 2＋2n ＋1)＝n 2＋2n －n 2－2n －1＝－1，故(2)中的式子一定成立．7．解：(1)图②：(－60)÷(－12)＝5， 图③：(－2)×(－5)×17＝170， (－2)＋(－5)＋17＝17， 170÷10＝17.(2)图④：5×(－8)×(－9)＝360， 5＋(－8)＋(－9)＝－1， y ＝360÷(－12)＝－30，图⑤：1×x ×31＋x ＋3＝－3，解得x ＝－2.8．解：(1)如图甲，由题意得AE ＝DE ＝EC ，即EC ＝1，S 正方形CFDE ＝1.如图乙，设MN ＝x ，则由题意，得AM ＝MQ ＝PN ＝NB ＝MN ＝x ，∴3x ＝22，解得x ＝223.∴S 正方形PNMQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝89.又∵1＞89，∴甲种剪法所得的正方形的面积更大．(2)S 2＝12.(3)S 10＝129.解法1：探索规律可知：S n ＝12n －1.剩余三角形的面积和为2－(S 1＋S 2＋…＋S 10)＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋129＝129.解法2：由题意可知，第1次剪取后剩余三角形面积和为2－S 1＝1＝S 1.第2次剪取后剩余三角形面积和为S 1－S 2＝1－12＝12＝S 2.第3次剪取后剩余三角形面积和为S 2－S 3＝12－14＝14＝S 3.…第10次剪取后剩余三角形面积和为S 9－S 10＝S 10＝129.。

专题四 归纳与猜想归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．在中考试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现．考点一 数字规律问题数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题． 【例1】 如图，一个数表有7行7列，设a ij 表示第i 行第j 列上的数(其中i ＝1,2,3，…，j ＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的数a 53＝7.1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 3 4 5 6 5 4 34 5 6 7 6 5 45 6 7 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 10 9 8 7则(1)(a 23－a 22)＋(a 52－a 53)＝__________.(2)此数表中的四个数a np ，a nk ，a mp ，a mk ，满足(a np －a nk )＋(a mk －a mp )＝__________. 解析：根据数表中数字排列规律，得a 23＝4，a 22＝3， a 52＝6，a 53＝7，所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7)＝0.对于(2)中四个数a np ，a nk ，a mp ，a mk ，可以发现a np 与a nk 为同一行的数，且其差为第p 个数与第k 个数之差，同理a mk 与a mp 之差也为同行中第k 个数与第p 个数之差．根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以(a np －a nk )＋(a mk －a mp )＝0.答案：(1)0；(2)0.解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．考点二 数式规律问题解答此类问题的常用方法是：(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；(2)按规律顺序排列这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来；(4)用题中所给数据验证规律的正确性．【例2】 给出下列命题：命题1：直线y ＝x 与双曲线y ＝1x有一个交点是(1,1)；命题2：直线y ＝8x 与双曲线y ＝2x 有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4； 命题3：直线y ＝27x 与双曲线y ＝3x 有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，9； 命题4：直线y ＝64x 与双曲线y ＝4x 有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，16；……(1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n (n 为正整数)； (2)请验证你猜想的命题n 是真命题．解：(1)命题n ：直线y ＝n 3x 与双曲线y ＝n x有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2；(2)将⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2代入直线y ＝n 3x 得：右边＝n 3×1n＝n 2，左边＝n 2，∴左边＝右边．∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2在直线y ＝n 3x 上．同理可证：点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2在双曲线y ＝n x 上， ∴直线y ＝n 3x 与双曲线y ＝n x有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2.此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证． 考点三 数形规律问题根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见．【例3】 用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要小圆__________个(用含n 的代数式表示)．解析：观察图形可知，第n 个图形比第(n －1)个图形多n 个小圆，所以第n 个图形需要小圆1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)．答案：12n (n ＋1)解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．1．如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2 011个图案是( )．2．观察下面的几个算式：1＋2＋1＝4,1＋2＋3＋2＋1＝9,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16,1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25，…，根据你所发现的规律，请直接写出下面式子的结果：1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1的值为( )．A ．100B ．1 000C ．10 000D ．100 0003．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(n ，m )表示第n 排，从左到右第m 个数，如(4,2)表示9，则表示58的有序数对是( )．A ．(11,3)B ．(3,11)C ．(11,9)D ．(9,11)4．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2 011应标在( )．A ．第502个正方形的左下角B ．第502个正方形的右下角C ．第503个正方形的左上角D ．第503个正方形的右下角5．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…按这样的规律进行下去，第2 011个正方形的面积为( )．A ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫32 2 010B ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫94 2 011C ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫94 2 009D ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫32 4 0206．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有__________个.7．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是__________．8．已知a 1＝11×2×3＋12＝23，a 2＝12×3×4＋13＝38，a 3＝13×4×5＋14＝415，…，依据上述规律，则a 99＝__________.9．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1；取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A 4F 4B 4D 4C 4E 4的面积为__________．10．观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1②2×4－32＝8－9＝－1③3×5－42＝15－16＝－1④__________________________ ……(1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．参考答案专题提升演练1．D 2.C 3.A 4.C 5.D 6.20 7.158 8.1009 999 9.125610．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1；(2)n (n ＋2)－(n ＋1)2＝－1； (3)一定成立．理由：因为n (n ＋2)－(n ＋1)2＝n 2＋2n －(n 2＋2n ＋1)＝n 2＋2n －n 2－2n －1＝－1. 故(2)中的式子一定成立．。

综合实践集训(二)__归纳猜想型问题1．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式是CH 4，乙烷的化学式是C 2H 6，丙烷的化学式是C 3H 8，…设碳原子的数目为n (n 为正整数)，则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示( A ) A ．C n H 2n ＋2 B ．C n H 2n C ．C n H 2n －2D ．C n H n ＋32．[2018·张家界]观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，则2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 018的末位数字是( B ) A ．8B ．6C ．4D ．0【解析】 由题意可知，末位数字每4个算式是一个周期，分别为2，4，8，6， ∵2 018÷4＝504……2，∴22 018与22的末位数字相同，为4. ∵2＋4＋8＋6＝20，末位数字是0，∴2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 018的末位数字是2＋4＝6.3．[2018·广州]在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 1 m ．其行走路线如图2－1所示，第1次移动到A 1，第2次移动到A 2，…，第n 次移动到A n .则△OA 2A 2 018的面积是( A )图2－1A ．504 m 2 B.1 0092 m 2 C.1 0112 m 2D ．1 009 m 2【解析】由题意知OA4n＝A2A2＋4n＝2n，∵2 018÷4＝504……2，∴A2A2 018＝2×504＝1 008，则△OA2A2 018的面积是12×1 008×1＝504 m2.4．[2019·衢州模拟]在平面直角坐标系中，一组菱形A1C1B1O，A2C2B2C1，A3C3B3C2，A4C4B4C3，…按如图2－2方式放置，已知点A1(1，0)，A2(3，0)，A3(5，0)，…，A n(2n－1，0)，点B1(0，1)，B2(0，3)，B3(0，5)，…，B n(0，2n －1)，则菱形A5C5B5C4的面积为(B)图2－2A．5 B．9C．5 2 D．9 2【解析】根据题意得A5(9，0)，B5(0，9)，则A5B5＝92，又∵C5C4＝C4C3＝…＝C1O＝2，∴菱形A5C5B5C4的面积为12×92×2＝9.5．将一些半径相同的小圆按如图2－3所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有__n2＋n＋4__个小圆．(用含n的代数式表示)①②③④图2－36．如图2－4，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x 轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2 019时，顶点A的坐标为．图2－4【解析】∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，∴每旋转6 次，点A都回到初始位置．当n＝2 019时，∵2 019÷6＝336……3，∴顶点A旋转到点D的位置，∴A点的坐标为(2，－23)．7．[2019·义安区一模]将从1开始的连续自然数按如下表规律排列：规定位于第a行，第b列的自然数记为(a，b)，如自然数10记为(3，2)，自然数15记为(4，2)…按此规律，自然数2 019记为__(505，3)__．【解析】由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列，偶数行的数字从左往右是由大到小排列． ∵2 019÷4＝504…3， ∴2 019在第505行，∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列， ∴自然数2 019记为(505，3)．8．[2018·衢州]定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a 个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ(a ，θ)变换． 如图2－5，等边三角形ABC 的边长为1，点A 在第一象限，点B 与原点O 重合，点C 在x 轴的正半轴上，△A 1B 1C 1是△ABC 经γ(1，180°)变化后所得的图象． 若△ABC 经γ(1，180°)变换后得△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1经γ(2，180°)变换后得△A 2B 2C 2，△A 2B 2C 2经γ(3，180°)变换后得△A 3B 3C 3，依此类推…△A n －1B n －1C n －1经γ(n ，180°)变换后得△A n B n C n ，则点A 1的坐标是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－32__，点A 2 018的坐标是 ⎝⎛⎭⎪⎫－2 0172，32 .图2－5【解析】 ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，向右平移1个单位后为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，再绕原点顺时针旋转180°，即关于原点对称后为A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－32；A 1向右平移2个单位后为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，与原点对称后为A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32；A 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－32；A 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32…由n ＝2 018为偶数，得A 2 018的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2 0172，32.9．观察下列等式： 第一个等式：a 1＝21＋3×2＋2×22＝12＋1－122＋1；第二个等式：a 2＝221＋3×22＋2×()222＝122＋1－123＋1； 第三个等式： a 3＝231＋3×23＋2×()232＝123＋1－124＋1； 第四个等式：a 4＝241＋3×24＋2×()242＝124＋1－125＋1. 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：a 6＝261＋3×26＋2×()262 ＝ 126＋1－127＋1； (2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝ 2n1＋3×2n ＋2×()2n2 ＝__12n ＋1－12＋＋1__； (3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝__1443__(得出最简结果)； (4)计算：a 1＋a 2＋…＋a n .解：(3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋126＋1－127＋1＝12＋1－127＋1＝1443； (4)a 1＋a 2＋…＋a n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝12＋1－12n ＋1＋1＝2()2n－13()2n ＋1＋1.10．如图2－6，数轴上有一动点Q从A出发，沿正方向移动．图2－6(1)当AQ＝2QB时，则Q点在数轴上所表示的数为__23或2__；(2)数轴上有一点C，且点C满足AC＝m·BC(其中m＞1)，求点C在数轴上所表示的数．(用含m的代数式表示)；(3)点P1为线段AB的中点，点P2为线段BP1的中点，点P3为线段BP2的中点，…依此类推，点P n为线段BP n－1的中点，它们在数轴上表示的数分别为p1，p2，p3，…，p n(n为正整数)．①当n≥2时，2p n－p n－1是否恒为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；②记S＝p1＋p2＋p3＋…＋p n－1＋2p n，求当n＝2 020时S的值．解：(2)∵AC＝m·BC，∴BC＝AC m ，当C在A，B之间时，∵AC＋BC＝1，∴AC＋ACm＝1，解得AC＝mm＋1；当C在点B的右边时，∵AC－BC＝1，∴AC－ACm＝1，解得AC＝mm－1.综上，C点在数轴上所表示的数为mm＋1或mm－1；(3)①由题意得P1表示的数为12，P2表示的数为22－122＝34，…，P n表示的数为2n－1 2n，∴2p n－p n－1＝2×2n－12n－2n－1－12n－1＝2n－12n－1－2n－1－12n－1＝2n－2n－12n－1＝1，即当n≥2时，2p n－p n－1恒为定值1；②由①可知2p n－p n－1＝1，即2p n＝p n－1＋1，∴S＝p1＋p2＋p3＋…＋p2 019＋2p2 020＝p1＋p2＋p3＋…＋p2 019＋p2 019＋1＝p1＋p2＋p3＋…＋2p2 018＋2＝p1＋2p2＋2 018＝2p1＋2 019＝2 020.。