抛物线高考基础拔高练解析版

专题21 抛物线（解答题压轴题）1．（2021·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：()220y px p =>上一点00(4,)(0)S y y >到焦点F 的距离5SF =.不经过点S 的直线l 与E 交于A ，B . （1）求抛物线E 的标准方程；（2）若直线AS ，BS 的斜率之和为2，证明：直线l 过定点. 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析. 【详解】（1）抛物线E ：()220y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，因为抛物线上一点00(4,)(0)S y y >到焦点F 的距离5SF =， 由抛物线的定义得452p+=，所以2p =. 所以抛物线E 的标准方程是24y x =；（2）将4x =代入24y x =可得04y =或04y =-（舍），所以点S 坐标为(4,4)， 因为直线l 的斜率不等于0，设直线l 的方程是x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，因为直线l 与E 有两个交点，所以216160m n ∆=->，即20m n ->.由韦达定理得121244y y my y n +=⎧⎨=-⎩，因为直线AS ，BS 的斜率之和为2，所以121222121212444411444444444y y y y y y x x y y ⎛⎫----+=+=+ ⎪--++⎝⎭-- 1212124(8)24()16y y y y y y ++==+++，所以121224()0y y y y ++=，将121244y y m y y n+=⎧⎨=-⎩代入上式可得：8160n m -+=，即2n m =， 所以直线l 的方程是()2x my n m y =+=+，它过定点()0,2-.2．（2021·全国高三月考（理））已知直线l 过原点O ，且与圆A 交于M ，N 两点，4MN =，圆A 与直线2y =-相切，OA 与直线l 垂直，记圆心A 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）过直线1y =-上任一点P 作C 的两条切线，切点分别为1Q ，2Q ，证明： ①直线12Q Q 过定点； ②12PQ PQ ⊥．【答案】（1）24(0)x y y =≠；（2）①证明见解析；②证明见解析． 【详解】（1）解：如图，设(,)A x y ，因为圆A 与直线2y =-相切，所以圆Ａ的半径为|2|y +．由圆的性质可得222||||||OA ON AN +=，即2224(2)x y y ++=+，化简得24x y =． 因为O 与A 不重合，所以0y ≠， 所以C 的方程为24(0)x y y =≠．（2）证明：①由题意可知1Q ，2Q 与O 不重合．如图，设(,1)P t -，()111,Q x y ，则2114x y =，因为2xy '=，所以切线1PQ 的斜率为12x ， 故11112x y x t+=-，整理得11220tx y -+=． 设()222,Q x y ，同理可得22220tx y -+=． 所以直线12Q Q 的方程为220tx y -+=， 所以直线12Q Q 过定点(0,1)．②因为直线12Q Q 的方程为220tx y -+=，由2220,4,tx y x y -+=⎧⎨=⎩消去y 得2240x tx --=， 所以122x x t +=，124x x =-．又()()()()12121211PQ PQ x t x t y y ⋅=--+++ ()2121212221122tx tx x x t x x t ++⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()21212122222t t x x t x x t x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121244t x x t x x t x x t x x =-++++++2212144t x x t ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭0=，所以12PQ PQ ．3．（2021·安徽高三开学考试（理））已知中心在坐标原点O ，焦点在xC 过点1)2.（1）求C 的标准方程；（2）是否存在不过原点O 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，使得直线OP ､PQ ､OQ 的斜率成等比数列､若存在，求k 的值及m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，12k =±，m的取值范围为(1)(1,0)(0,1)-⋃-⋃⋃.【详解】（1）设C 的标准方程为22221x y a b +=（a >b >0），由题意得，222223114a b cc e a a b ⎧=+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴C 的标准方程为2214x y +=（2）联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=（m ≠0）， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则122841km x x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+∴2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++∵OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，∴2OP OQ PQ k k k ⋅=，∴21212y y k x x ⋅=， ∴21212y y k x x =，∴12()0k x x m ++=，∴228041k mm k -+=+，解得12k =± ∵22222(8)4(41)4(1)16(41)0km k m k m ∆=-+⨯-=-+>， ∴2224120k m m -+=->，解得m <， ∵120x x ≠，∴210m -≠，解得1m ≠±.综上，12k =±，m的取值范围为(1)(1,0)(0,1)-⋃-⋃⋃.4．（2021·全国高三专题练习）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F右侧的点，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（12）16. 【详解】 （1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-，进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444M N M N A M A M AM MN A M N M A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴=（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t t t+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---=所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++===+， ()332331122216AMNtS t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16.5．（2021·全国高三月考（理））已知抛物线()220x py p =>上一点()02,P y 到其焦点F 的距离为2，过点(),0T t ()0t >作两条斜率为1k ，2k 的直线1l ，2l 分别与该抛物线交于A ，B 与C ，D 两点，且120k k +=，FAB FCD S S =△△．（Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）求实数t 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）()()0,11,2【详解】（Ⅰ）由抛物线()220x py p =>上一点()02,P y 到其焦点F 的距离为2，所以004222py py =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2p =， 故抛物线的方程为24x y =；（Ⅱ）设直线()11:l y k x t =-，与抛物线24x y =联立，可得211440x k x k t -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则1214x x k +=，1214x x k t =，所以12AB x =-== 点F 到直线1l的距离为1d =，所以111122FABSAB d k t =⋅=⨯=+，同理可得2FCDSk t =+，因为120k k +=，且FAB FCD S S =△△所以12k t k t+=+，整理可得：()22121k t -=，即21212k t=-，所以22t <，所以0t <<由211122221644016440k k t k k t ⎧∆=-⨯>⎨∆=-⨯>⎩可得221k t >， 即2212t t >-，即()2210t ->，所以1t ≠， 综上所述，t 的取值范围为()()0,11,2．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟预测）已知抛物线()21:20C y px p =>和右焦点为F 的椭圆222:143x y C +=．如图，过椭圆2C 左顶点T 的直线交抛物线1C 于,A B 两点，且2AB TA =．连接AF 交2C 于两点,M N ，交1C 于另一点C ，连BC ，Q 为BC 的中点，TQ 交AC 于D ．（1）证明：点A 的横坐标为定值；（2）记CDT ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S，若12S S = 【答案】(1)证明见解析;(2)2124y x =. 【详解】(1)证明：由题意知，()2,0T -，直线TA 的斜率存在设为k ，()()1122,,,A x y B x y ，不妨设直线TA 的方程为()()20y k x k =+>，与抛物线方程联立得()222y k x y px ⎧=+⎨=⎩，整理得，()22224240k x k p x k +-+=，则21212224,4p k x x x x k -+==，因为2AB TA =， 所以1213y y =，则21122219x y x y ==，设()10x a a =>，则29x a =，则21294x x a==，则23a =或23-(舍去)，所以123x =，即点A 的横坐标为定值.(2)由(1)知，()28,,6,833A k B k ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F ，则直线AF 的方程为()81y k x =-- ，与椭圆联立得()2214381x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=--⎩，整理得()22223256512256120k x k x k +-+-=，设()()3344,,,M x y N x y ，则2234342251225612,32563256k k x x x x k k -+==++， 则()22121643256k MN k++，直线AF 与抛物线联立得()2281y px y k x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，整理得，()2222641282640k x k p x k -++=，设()55,C x y ，则5213x ⋅=，所以532x =，即3,42C k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则15,24Q k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以直线TQ 的方程为()8223k y x =+，与直线AF 联立得()()822381k y x y k x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩， 解得2124x y k⎧=⎪⎨⎪=⎩，则21,24D k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即CD ==T 到AF的距离1d ==，Q 到AF的距离2d =，则1112S CD d =，2212S MN d =，所以12CD S S MN =2121643256k k =++，整理得，24252563584190k k ⨯+-=，解得21256k =，则116k =， 所以21,36A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又21,36A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上，则212263p ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，解得148p =.则抛物线的方程为2124y x =. 7．（2021·全国高三专题练习（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB ∆面积的最大值． 【答案】（1）2p =；（2）【详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =； （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=， 所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ，点P 到直线AB的距离为d =所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△， ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=8．（2021·浙江省杭州第二中学高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p=>经过点(2,，P 是圆()22:11M x y ++=上一点，PA 、PB 都是C 的切线．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程； （2）求PAB ∆的面积的最大值．【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =，准线方程为1x =-；（2）【详解】（1）将点(2,的坐标代入抛物线C 的方程为228p ⨯=，解得2p =， 所以，抛物线C 的方程为24y x =，该抛物线的准线方程为1x =-；（2）先证明抛物线C 在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为00220x y y x -+=.证明如下：由于点()00,Q x y 在抛物线C 上，则2004y x =，联立2004220y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩，可得200202y y y x -+=，即220020y y y y -+=，则2200440y y ∆=-=，所以，抛物线C 在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为00220x y y x -+=. 设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,P x y ，则直线PA 的方程为11220x y y x -+=，直线PB 的方程为22220x y y x -+=，因为点P 在直线PA 、PB 上，所以，31313232220220x y y x x y y x -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程33220x y y x -+=，由于两点确定一条直线，故直线AB 的方程为33220x y y x -+=，联立2334220y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩，消去x 可得233240y y y x -+=，由韦达定理可得1232y y y +=，1234y y x =，所以，12AB y y -=点P 到直线AB的距离为d =所以，()3223311422PABS AB d y x =⋅==-△， 另一方面，()22233333342439y x x x x x -=---=-++，其中320x -≤≤， 所以，当32x =-时，2334y x -取得最大值8，因此，()3322233114822PABS y x =-≤⨯=△9．（2021·广东汕头·高三三模）已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-，且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点，过点P 作轨迹E 的两条切线，切点分别为A 、B . ①求证：直线AB 过定点； ②求证：PCA PCB ∠=∠.【答案】（1）28x y =；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【详解】（1）依题意知：M 到()0,2C 的距离等于M 到直线2y =-的距离，∴动点M 的轨迹是以C 为焦点，直线2y =-为准线的抛物线，设抛物线方程为()220x py p =>，则22p=，则4p =，即抛物线的方程为28x y =， 故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：28x y =；（2）①由28x y =得：218y x =，14y x '∴=，设2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2221,8B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，(),2P t -，其中12x x ≠，则切线PA 的方程为()2111184x y x x x -=-，即2111148y x x x =-，同理，切线PB 的方程为2221148y x x x =-， 由21122211481148y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121228x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1212228x x t x x +⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，即1212216x x t x x +=⎧⎨=-⎩，2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()222121,8B x x x x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为()222121121111888x x y x x x x x --=--，化简得121288x x x x y x +=-， 即24ty x =+， 故直线AB 过定点()0,2； ②由①知：直线AB 的斜率为4AB t k =， （i ）当直线PC 的斜率不存在时，直线AB 的方程为2y =，PC AB ∴⊥，PCA PCB ∴∠=∠； （ii ）当直线PC 的斜率存在时，(),2P t -、()0,2C ，∴直线PC 的斜率2240PC k t t --==--，414AB PC t k k t-∴⋅=⨯=-， PC AB ∴⊥，PCA PCB ∴∠=∠.综上所述：PCA PCB ∠=∠得证.10．（2021·河南郑州·高三三模（理））已知抛物线2:4C x y =和圆()22:11E x y ++=，过抛物线上一点()00,P x y ，作圆E 的两条切线，分别与x 轴交于,A B 两点.（1）若切线PB 与抛物线C 也相切，求直线PB 的斜率； （2）若02y ≥，求PAB ∆面积的最小值. 【答案】（1）3±；（2）最小值为2. 【详解】（1）由题意，可设切线PB 的方程为y kx m =+，代入抛物线的方程得2440x kx m --=， 由相切的条件得：216160k m ∆=+=，即20k m +=，由直线与圆相切可得圆心到直线距离1d ==，即222k m m =+，∴230m m +=，可得3m =-或0m =，∵当0m =时，有PB 的方程为0y =，此时(0,0)P 与圆E 的有且仅有一条切线， ∴3m =-，舍去0m =，故23k =，即3k =±.（2）设切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，圆心到直线距离1d ==，整理得222000000(1)(22)20k x x y x k y y --+++=，而220004(2)0x y y ∆=++>(02y ≥)，设PA ，PB 斜率分别为12,k k ，则20000012122200222+,,11x y x y y k k k k x x ++=⋅=-- 令y =0，得000012,A B y yx x x x k k =-=-，0000120000121212000|||()()|||||y y y y k k AB x x y y k k k k k k -=---=-=⋅==00011||22PABSAB y y =⋅== 令222(6)(),2(2)y y y f y y y +=≥+，2232(4+18()0(2)y y y f y y +'=>+），则()f y 在[2,)+∞上单调递增，即min ()(2) 4.f y f ==∴PABS的最小值为2.11．（2021·浙江高三三模）如图，已知抛物线C ：214y x =，点()()000,1A x y y ≥为抛物线上一点，过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线，8OM NO =，过点N 的直线l 交抛物线于点E ，F ，直线AE ，AF 的斜率分别为1k ，2k ，满足120k k +=.（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程； （2）求点A 到直线l 的距离的最小值.【答案】（1）焦点坐标()0,1，准线方程1y =-；（2. 【详解】（1）抛物线的标准方程为24x y =，所以其焦点坐标()0,1，准线方程1y =-；（2）已知204x y =，则点A 处的切线方程：20024x x y x =-，因为过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线所以()202222004124x t x t x x x t t t ⎧-⎪⋅=-⎪⎪-⎨⎪⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，化简得：224200030216x t t x x +--=.由0t >得：)200202x t y t -==-+> 设()11,E x y ，()22,F x y ，则由120k k +=得：1020044x x x x +++=，即0122x x x -=+， 所以021212EF x y y k x x -==--，由8OM NO =得0,8t N ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，直线l ：028x t y x =--，则023y d =23[)01,y ∈+∞上单调递增所以，当01y =时，min d =此时，直线l 与抛物线相交.12．（2021·四川泸州·高三三模（理））从抛物线24y x =上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P ．（1）求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；（2）过点()2,0M 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ，探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由． 【答案】（1）曲线P 的方程为2y x =，曲线P 是焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线；（2）存在；圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【详解】（1）设抛物线2y x =上的任意点为()00,S x y ，垂线段的中点为(),x y ，故002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，则002x x y y =⎧⎨=⎩，代入2004y x =得()224y x =，得曲线P 的方程为2y x =， 所以曲线P 是焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线；（2）若直线l 与x 轴重合，则直线l 与曲线P 只有一个交点，不合乎题意.设直线l 的方程为2x ty =+，根据题意知0t ≠，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立22y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得220y ty --=，280t ∆=+>，则12y y t +=，122y y ⋅=-，则12A y y B =-=且线段AB 中点的纵坐标为1222y y t +=，即2121222222x x y y t t ++=⋅+=+， 所以线段AB 中点为22,22t t M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，可设直线CD 的方程为1x y m t =-+，则21222t t m t ⎛⎫+=-⨯+ ⎪⎝⎭，故252t m +=， 联立22152y x t x y t ⎧=⎪⎨+=-+⎪⎩，得()222250ty y t t +-+=，设()33,C x y 、()44,D x y ，则341y y t +=-，()234152y y t ⋅=-+，故34y CD =-线段CD 中点为22151,222t N tt ⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 假设A 、B 、C 、D 四点共圆，则弦AB 的中垂线与弦CD 中垂线的交点必为圆心， 因为CD 为线段AB 的中垂线，则可知弦CD 的中点N 必为圆心，则12AN CD =， 在Rt AMN △中，222AN AM MN =+，所以22212CD AM MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()()222222221111111121018442222t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故4228810t t t +--=，即()()24264222198880t t t t t t t t -+++--==， 解得21t =，即1t =±，所以存在直线l ，使A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为弦CD 的中点N ， 圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．13．（2021·浙江高三期末）如图，已知抛物线21:C x y =在点A 处的切线l 与椭圆222:12x C y 相交，过点A 作l 的垂线交抛物线1C 于另一点B ，直线OB （O 为直角坐标原点）与l 相交于点D ，记()11,A x y 、()22,B x y ，且1>0x ．（1）求12x x -的最小值； （2）求DO DB的取值范围．【答案】（1）2；（2）40,17⎛⎫⎪⎝⎭．【详解】 （1）对函数2yx 求导得2y x '=，所以抛物线1C 在点A 处的切线方程为()1112y y x x x -=-，即2112y x x x =-，联立21122212y x x x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2234111188220x x x x x +-+-=， 所以()()62411164418220x x x ∆=-+->，解得2104x <<所以直线AB 的方程为2111122y x x x =-++， 联立21121122y x x x x y⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得23111220x x x x x +--=，所以12112x x x +=-，所以12111222x x x x -=+≥=，当且仅当112x =时取等号， 所以12x x -的最小值为2；（2）记点O 、B 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，所以21d =，211211214124x x x x d ⎫++=⎪⎭，所以()4112222121441414DOd x DB d x x ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为2104x <<2114x +，所以222440,1714DODBx ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以DO DB 的取值范围为40,17⎛⎫⎪⎝⎭．14．（2021·河北沧州·高三二模）已知(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数14-，设动点P 的轨迹为曲线1C .抛物线22:2(0)C x py p =>与1C 在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线1C 于点B 交抛物线2C 于点E (点,B E 不同于点A ). （1）求曲线1C 的方程.（2）是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）221(2)4x y x +=≠±；（2）存在，p【详解】解：（1）设动点()(),2P x y x ≠±，则2PM yk x =+，2PN y k x =-. 14PM PN k k =-，1224y y x x ∴⋅=-+-，即22144y x =--， 即221(2)4x y x +=≠±， ∴曲线C 1的方程为221(2)4x y x +=≠±. （2）设()1111,(0,0)A x y x y >>，()22,B x y ，()00,E x y ，显然直线l 存在斜率， 设:(0,0)l y kx m k m =+≠≠，()2222244,148440,x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 122814km x x k -∴+=+，02414kmx k -=+. 又2222,2()220,x py x p kx m x pkx pm y kx m ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩，102x x pm ∴=-，21124142142km k x pm x p k k ⎛⎫-+∴=-⇒=⎪+⎝⎭，因此有0k >，2422221,442,x x y x p x py ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩，42422221421442k p k k p k p ⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝⎭∴+= ⎪⎝⎭， 224224141422p k k k k ∴=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设222214112224222k k t k k k ⎛⎛⎫+⎛⎫=+=⋅ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=， 当且仅当122k k =时取等号，即当12k =时取等号， 则2224411()24p t t t ==++-，当4t ≥时，211()2024t +-≥，当12k =，即4t =时，2p 取得最大值，最大值为15，即p =此时A ⎝⎭，直线l 不过点M ，N . 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p . 15．（2021·湖南长沙·高三模拟预测）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点(),1m 在抛物线C 上，该点到原点的距离与到C 的准线的距离相等． （1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且与以焦点F 为圆心2为半径的圆交于M ，N 两点，点B ，N 在y 轴右侧．①证明：当直线l 与x 轴不平行时，AM BN ≠②过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，求DAM △与DBN 的面积之积的取值范围．【答案】（1）28x y =；（2）①证明见解析；②[)16,+∞． 【详解】（1）由题意可得2212m pp ⎧==+，解得4p =， 所以抛物线C 的方程为28x y =．（2）由（1）知，圆F 方程为：()2221x y +-=， 由已知可设:2l y kx =+，且()11,A x y ，()22,B x y ，由228y kx x y=+⎧⎨=⎩得28160x kx --=，设()00,Q x y 是抛物线C 上任一点，则2QF ==，故抛物线与圆相离．①证明：当直线l 与x 轴不平行时，有0k ≠， 由抛物线定义知，12AF y =+，22BF y =+． 所以()()22AM BN AF BF -=---()()121222AF BF y y kx kx =-=-=+-+12k x x =-=80k =>，所以AM BN ≠②由（1）知抛物线方程为218y x =．所以14y x '=．所以过点A 的切线()2111111:84l y x x x x -=-，即2111148y x x x =-．同理可得，过点B 的切线2l 为2221148y x x x =-． 由1l ，2l 方程联立，得222112211188x y x y x x x x -=-+，解之，得12128D y x x ==-，又得()()22212111048x x x x x ---=，所以1242D x xx k +==．()4,2D k -到:2l y kx =+的距离d =()()22AM BN AF BF ⋅=--()()122222y y =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()222121212148864x x y y x x ==⨯==，从而1122QAM QBN S S AM d BN d ⋅=⋅△△()22214161164d d k =⨯==+≥． 16．（2021·浙江高三专题练习）已知椭圆22:14x T y +=，抛物线2:2M y px =的焦点是F ，且动点()1,G t -在其准线上.（1）当点G 在椭圆T 上时，求GF 的值；（2）如图，过点G 的直线1l 与椭圆T 交于,P Q 两点，与抛物线M 交于,A B 两点，且G 是线段PQ 的中点，过点F 的直线2l 交抛物线M 于,C D 两点.若//AC BD ，求2l 的斜率k 的取值范围.【答案】（1）GF =2）k >k <【详解】 解：（1）由已知12p=，2p =，则()1,0F ， 因为G 在椭圆T 上，所以2114t +=，所以234t =，所以GF =； （2）设()1:1l x m y t +=-，2:1l x ny =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为G 是PQ 的中点，所以114t m -⋅=-，且2114t +<， 所以4m t =①，且234t <②， 由()241y x x m y t ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩消去x 得24440y my mt -++=，则()21610m mt ∆=-->③，且12y y -=由241y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y ny --=，所以34y y -=因为//AC BD ，所以132444y y y y =++，即1234y y y y -=-， 所以2222122n m mt t =--=-④， 由①②③解得213124t <<， 由④得207n <<，即217k >，所以k >k <17．（2021·河南高三月考（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且点F 与圆()22:41M x y ++=1． （1）求p ；（2）已知直线:4l y kx =+与C 相交于A ，B 两点，过点B 作平行于y 轴的直线BD 交直线:4l y '=-于点D ．问：直线AD 是否过y 轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由． 【答案】（1）2p =；（2）直线AD 恒过定点()0,0． 【详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，FM F ∴与圆M11，解得2p =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()2,4D x -，由24,4,x y y kx ⎧=⎨=+⎩得24160x kx --=， 0∴∆>，且124x x k +=，1216x x =-，()12124kx x x x ∴=-+， 又直线AD 的方程为()121244y y x x x x ++=--， 令0x =，得()212144x y y x x ++=-，114y kx =+，()()21122212184844x kx x x x y x x x x +-++∴+===--，0y ∴=，故直线AD 恒过定点()0,0．18．（2021·上海市实验学校高三月考）已知直线2y x =与抛物线:Γ()220y px p =>交于1G ，2G 两点，且12G G ，过椭圆221:143x y C +=的右顶点Q 的直线l 交于抛物线Γ于A ，B 两点.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若射线OA ，OB 分别与椭圆1C 交于点D ，E ，点O 为原点，ODE ，OAB 的面积分别为1S ，2S ，问是否存在直线l 使213S S =？若存在求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（3）若P 为2x =-上一点，PA ，PB 与x 轴相交于M ，N 两点，问M ，N 两点的横坐标的乘积M N x x ⋅是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.【答案】（1）24y x =（2）不存在，理由见解析；（3）M N x x ⋅是定值，且定值为4，理由见解析. 【详解】（1）设()111,G x y ，()222,G x y ，由222y xy px =⎧⎨=⎩可得2420x px -=，所以10x =，22p x =，所以()10,0G ，2,2G p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12G G =0p >，所以2p =，所以抛物线Γ的方程为24y x =；（2）椭圆的右顶点为()2,0Q ，设直线:l 2x my =+，()33,A x y ，()44,B x y ， 将:l 2x my =+代入24y x =可得：2480y my --=， 所以344y y m +=，348y y =-， 假设存在，设()55,D x y ，()66,E x y ， 射线OA ：33233344y y y x x xy x y === ，由3224143y x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得：2523643364y y ⨯=+，同理可得2624643364y y ⨯=+， 11sin 2S OD OE DOC =∠，21sin 2S OA OB AOB =∠， 所以342156OA OB y y S S OD OE y y ==⋅ ， 所以()()()2234222156********64643643364364y y S S y y y y y y ⎛⎫=== ⎪⨯⨯⎝⎭⨯++()()()22222343496436464931616644812164999y y y y m m +⨯++⨯++++===⨯， 所以211133S S ≥>，所以不存在直线l ，使213S S =； （3）设()02,P y -，则()3003:22y y PA y y x x --=++， 令0y =可得：()030332M y y x y x y -=+①， 同理可得：()040442N y y x y x y -=+②，两式相乘可得()()()()030404403322M N y y y y x x y x y y x y --=++()2222223434034034433400433424244444y y y y y x x y x y x y y y y y y y y y ⎛⎫⋅=+++=+⋅+⋅+ ⎪⨯⎝⎭()()2342234003434003434244164y y y y y y y y y y y y y y y y +⎛⎫⎡⎤=++=-++ ⎪⎣⎦⎝⎭即()()()203040034344M N y y y y x x y y y y y y ⎡⎤--=-++⎣⎦，所以()()220034340034344M N y y y y y y x x y y y y y y ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎣⎦⎣⎦， 即()()22000048448M N y my x x y my --=--，当点P 不在直线AB 上时，200480y my --≠，所以4M N x x =，当点P 在直线AB 上时，2M N Q x x x ===，所以4M N x x =， 综上所述：M N x x ⋅是定值，且定值为4.19．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦． （1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4． 【详解】（1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-， （2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-，即2440b b -+=，解得：2b = 所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0， 设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ， 则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-， 所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k +用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMNSFM FN =====224≥⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．20．（2021·浙江高三模拟预测）已知点F 为抛物线C ：214y x =的焦点，点()0,4D ，点A 为抛物线C 上的动点，直线l ：y t =截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值.（1）求t 的值；（2）如图，直线l 交y 轴于点E ，抛物线C 上的点B 满足AB 的中垂线过点D 且直线AB 不与x 轴平行，求ABE 的面积的最大值.【答案】（1）3t =；（2【详解】解：（1）()0,4D ，设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AD 的中点为20044,22x x C ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2r =设截得的弦为GH ，圆心C 到弦的距离为d .则2222200022244414442x x x GH r d t ⎛⎫⎛⎫+- ⎪+ ⎪⎝⎭=-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭，()222011242444t GH x t -⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭与0x 无关3t ⇒=. （2）由上题可得()0,3E ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 线段AB 中点为G ，直线AB 的斜率存在且不等于0， 设直线AB ：y kx m =+，联立直线与抛物线方程得：224404y kx mx kx m x y =+⎧⇒--=⎨=⎩， 由2016160k m ∆>⇒+>，由韦达定理可得：124x x k +=，124x x m =-， 21242y y k m +=+,则AB 的中点为()22,2G k k m +则AB 的中垂线为()()2122y k m x k k-+=--， 代入()0,4D ，得222m k =-则124AB x x =-=E AB d -=则(21142322122S AB d m k =⋅⋅=⋅=-=+=记2t k =，()()()2212f t t t =-+，()()()7612f t t t '=-+，70,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递增，7,26t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递减，76t =，即276k k =⇒=时，ABES 此时13m =-满足0∆>，所以ABES。

3.3抛物线 期末复习拔高卷一、单选题 1．抛物线214x y =的焦点到准线的距离为 A ．18B ．12C ．2D ．82．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知抛物线28y x =的焦点为,F P 为该抛物线上的一动点，()6,3A 为平面上的一定点，则PA PF +的最小值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．144．试在抛物线24y x =-上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()2,1A -的距离之和最小，则最小值为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．5．点P 到点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭、(),2B a 及到直线12x =-的距离都相等，如果这样的点P 恰好只有一个，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．1±C ．12D ．12±6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，||8AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q ．下列说法正确的是( ) A ．QA QB ⊥B ．AOB (O 为坐标原点)的面积为C ．112||||AF BF += D ．若()1,1M ，P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为527．以下五个关于圆锥曲线的命题中：①平面内到定点A （1，0）和定直线l ：2x =的距离之比为12的点的轨迹方程是22143x y +=； ①点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是()3,6A ，则PA PM +的最小值是6；①平面内到两定点距离之比等于常数λ（0λ>）的点的轨迹是圆；①若动点(),M x y 24x y =--，则动点M 的轨迹是双曲线；①若过点()1,1C 的直线l 交椭圆22143x y +=于不同的两点A ，B ，且C 是AB 的中点，则直线l 的方程是3470x y +-=．其中真命题个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（ ） A ．63,925⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,21-C ．63,2125⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]3,27二、多选题9．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，P 为C 上一点，下列说法正确的是（ ） A ．C 的准线方程为116y =-B ．直线1y x =-与C 相切C ．若()0,4M ，则PM 的最小值为D ．若()3,5M ，则PMF △的周长的最小值为1110．与直线0x y +仅有一个公共点的曲线是 A ．221x y += B ．2212x y +=C ．221x y -=D ．2y x =11．（多选）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P ，Q 在l 上的射影为1P ，1Q ，则下列说法正确的是（ ）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．若()0,1M ，则12PM PP +≥D ．1190PFQ ∠=︒12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：=1x -是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线” 三、填空题13．设抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，准线为l ，点A 为抛物线C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B 、D 两点，若120BFD ∠=，ABD ∆的面积为p =_______.14．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 向y 轴正方向发出的两条光线a ，b 分别经抛物线上的A ，B 两点反射，已知两条入射光线与x 轴所成锐角均为60°，且323FA FB +=，则p =______．15．若过抛物线2y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角π4θ≥，点A 在x 轴上方，则FA 的取值范围是______．16．给定曲线族()()24sin 2cos 68sin cos 10x y θθθθ-+-++=，θ为参数，则这些曲线在直线2y x =上所截得的弦长的最大值是_____四、解答题17．求满足下列条件的曲线的标准方程：(1)长轴在x 轴上，长轴的长为12，离心率为23的椭圆的标准方程； (2)准线方程为=2y -的抛物线的标准方程；(3)焦点()12,0F -，()22,0F ，一个顶点为()1,0的双曲线的标准方程. 18．动圆P 与定圆A ：2221x y 外切，且与直线l ：1x =相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．19．已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点在x 轴上，且抛物线上的点(4)M m ，到焦点的距离是5.(1)求该抛物线的标准方程和m 的值；(2)若过点(20)，的直线l 与该抛物线交于A ，B 两点，求证：OA OB ⋅为定值. 20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.21．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点()4,4M 在C 上.(1)求以MF 为直径的圆E 的方程：(2)若直线l 交抛物线C 于异于M 的P ，Q 两点，且直线MP 和直线MQ 关于直线4x =对称，直线PQ 被圆E 所截得的弦长为PQ 的方程.22．已知抛物线()2:20C y px p =>上的任意一点到焦点的距离比到y 轴的距离大12.(1)求抛物线C 的方程；(2)过抛物线外一点(),P m n 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，若三角形ABP 的重心G 在定直线3:2l y x=上，求三角形ABP 面积的最大值。

专题14 抛物线目录一览2023真题展现考向一 直线与抛物线真题考查解读近年真题对比考向一 抛物线的性质考向二 直线与抛物线命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 直线与抛物线1．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第10题）设O 为坐标原点，直线y =x ﹣1）过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与C 交于M 两点，l 为C 的准线，则（ ）A ．p ＝2B ．|MN |=83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形【答案】AC解：直线y =x ﹣1）过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，可得p2=1，所以p ＝2，所以A 正确；抛物线方程为：y 2＝4x ，与C 交于M ，N 两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x 2﹣10x +3＝0，x M +x N =103，所以|MN |＝x M +x N +p =163，所以B 不正确；M ，N 的中点的横坐标：53，中点到抛物线的准线的距离为：1+53=83，所以以MN 为直径的圆与l 相切，所以C 正确；3x 2﹣10x +3＝0，不妨可得x M ＝3，x N =13，y M ＝﹣x N =|OM ||ON |=|MN |=163，所以△OMN 不是等腰三角形，所以D 不正确．【命题意图】考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】抛物线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l 不经过点F ”，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点F 在直线l 上，点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线．②定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M ；一个定点F (抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F 的距离二、抛物线的方程及简单几何性质(p)(p )(p)(p)设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程k 2x 2＋2(km －p )x ＋m 2＝0.(1)若k ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．四、弦长问题过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么线段AB 叫做焦点弦，如图：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .注：(1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)．（5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB |x 1－x 2|，或|AB |y 1－y 2|.②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .考向一 抛物线的性质2．（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M （p ，0）．若|AF |＝|AM |，则（ ）A．直线AB的斜率为2B．|OB|＝|OF|C．|AB|＞4|OF|D．∠OAM+∠OBM＜180°【解答】解：如图，∵F（，0），M（p，0），且|AF|＝|AM|，∴A（，），由抛物线焦点弦的性质可得，则，则B（，﹣），∴，故A正确；，|OF|＝，|OB|≠|OF|，故B错误；|AB|＝＞2p＝4|OF|，故C正确；，，，，|OM|＝p，∵|OA|2+|AM|2＞|OM|2，|OB|2+|BM|2＞|OM|2，∴∠OAM，∠OBM均为锐角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正确．故选：ACD．3．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为，则p＝（ ）A．1B．2C．2D．4【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点（，0）到直线y＝x+1的距离为，可得，解得p＝2．故选：B．4．（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF 与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为 ．【解答】解：法一：由题意，不妨设P在第一象限，则P（，p），k OP＝2，PQ⊥OP．所以k PQ＝﹣，所以PQ的方程为：y﹣p＝﹣（x﹣），y＝0时，x＝，|FQ|＝6，所以，解得p＝3，所以抛物线的准线方程为：x＝﹣．法二：根据射影定理，可得|PF|2＝|FO||FQ|，可得p2＝，解得p＝3，因此，抛物线的准线方程为：x＝﹣．故答案为：x＝﹣．考向二直线与抛物线5.（多选）（2022•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（ ）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为，选项A错误；由于A（1，1），B（0，﹣1），则，直线AB的方程为y＝2x﹣1，联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，则x1+x2＝k，x1x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y1＝y2＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；＝，选项D正确．故选：BCD．根据近几年考题推测考查内容抛物线的定义、方程、性质，以小题出现，常规题，难度中等．一．抛物线的标准方程（共1小题）1．（2023•道里区校级二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），则此抛物线的标准方程为 ．【解答】解：抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），设抛物线y2＝﹣2px，可得9＝6p，所以2p＝3，所以抛物线的标准方程y2＝﹣3x．故答案为：y2＝﹣3x．二．抛物线的性质（共39小题）2．（2023•海淀区一模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则|PF|＝（ ）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵抛物线方程为2＝4x，∴，又点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，∴|PF|＝＝5．故选：D．3．（2023•润州区校级二模）图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点P到该抛物线焦点F的距离为（ ）A．225m B．275m C．300m D．350m【解答】解：令抛物线方程为x2＝2py且p＞0，由题设，（250，156.25）在抛物线上，则312.5p＝2502，解得，又P（x P，y P）且y P＝125，则P到该抛物线焦点F的距离为米．故选：A．4．（2023•郑州模拟）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），一条平行于y轴的光线，经过点A（1，4），射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|+|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是（ ）A．B．y1C．y＝﹣2D．y＝﹣4【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以，得p＝2，所以抛物线的准线方程为y＝﹣1．故选：B．5．（2023•红山区模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，点M（x1，y1），N （x2，y2）在抛物线C上，若（y1﹣2y2）（y1+2y2）＝48，则＝（ ）A．4B．2C．D．【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，则p＝4，C：y2＝8x，依题意，，而，，故8x1﹣32x2＝48，即8x1+16＝32x2+64，则x1+2＝4（x2+2），故．故选：A．6．（2023•河南模拟）设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足PQ∥x轴．若|PQ|＝|QF|，则|PF|＝（ ）A．2B．C．3D．【解答】解：依题意有|PQ|＝|QF|＝|PF|，则△PQF为等边三角形，又PQ∥x轴，所以|PF|＝|PQ|＝4|OF|＝2．故选：A．7．（2023•四川模拟）抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线x﹣y+3＝0与C交于A，B两点，则△ABF的面积为（ ）A．4B．8C．12D．16【解答】解：∵抛物线C：x2＝4y的焦点F为（0，1），又易知直线x﹣y+3＝0与y轴交点P为（0，3），联立，可得x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴△ABF的面积为＝＝8，故选：B．8．（2023•乌鲁木齐三模）“米”是象形字．数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝﹣2px（p＞0）和C2：y2＝2px（p＞0）构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若PF1＝3PQ＝6，则p＝（ ）A．4B．6C．8D．10【解答】解：因为3PQ＝6，即PQ＝2，由抛物线的对称性知x P＝﹣1，由抛物线定义可知，，即，解得p＝10，故选：D．9．（2023•平罗县校级模拟）已知抛物线C：y2＝20x的焦点为F，抛物线C上有一动点P，Q（6，5），则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）A．10B．16C．11D．26【解答】解：设抛物线C的准线为l，作PT⊥l于T，由抛物线的定义知|PF|＝|PT|，所以，当P，Q，T三点共线时，|PF|+|PQ|有最小值，最小值为．故选：C．10．（2023•新疆模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x【解答】解：抛物线的准线方程为x＝−，根据抛物线的定义可知，抛物线C上任意一点到准线的距离比到y轴的距离大1，则＝1，所以，p＝2，因此，抛物线C的方程为y2＝4x．故选：C．11．（2023•河南模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，且点A（4，4）在抛物线上，则点A到准线l的距离为（ ）A．5B．4C．3D．2【解答】解：由题意知16＝8p，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，则抛物线的准线l为x＝﹣1，所以点A到抛物线准线的距离为4﹣（﹣1）＝5．故选：A．12．（2023•海淀区校级三模）已知抛物线y＝ax2（a＞0），焦点F到准线的距离为1，若点M在抛物线上，且|MF|＝5，则点M的纵坐标为　．【解答】解：抛物线的标准方程为，其焦点为，准线方程为，由抛物线的焦点F到准线的距离为1，得，可得，所以，抛物线的标准方程为x2＝2y，其准线方程为，设点M（x0，y0），由抛物线的定义可得，解得．故答案为：．13．（2023•3月份模拟）已知点M为抛物线y2＝8x上的动点，点N为圆x2+（y﹣4）2＝5上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为 ．【解答】解：已知点M为抛物线y2＝8x上的动点，点N为圆x2+（y﹣4）2＝5上的动点，由题意可得圆x2+（y﹣4）2＝5的圆心坐标为（0，4），半径为，抛物线y2＝8x的焦点坐标为F（2，0），过M作MQ垂直y轴交y轴于点Q，由抛物线的定义可得|MQ|+|MN|＝|MF|+|MN|﹣2＝＝，当且仅当A、M、N、F共线时取等号，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为．故答案为：．14．（2023•兴国县模拟）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0）的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若，O 为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）A．B．C．D．4【解答】解：依题意，＝1，可得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．依题意可知DE与抛物线的准线x＝﹣1垂直，在直角三角形ABD中，|AD|＝|BD|，则∠BAD＝，∠ABD＝∠DEB＝∠AFx＝，所以直线AB的方程为y＝（x﹣1），由，消去y并化简得3x2﹣10x+3＝0，易得Δ＞0，x A+x B＝，则|AB|＝x A+x B+p＝+2＝，原点（0，0）到直线x﹣y﹣＝0的距离d＝，所以S＝|AB|•d＝××＝．△AOB故选：B．15．（2023•重庆模拟）已知点P为抛物线y2＝2px（p＞0）上一动点，点Q为圆C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若|PQ|+d的最小值为2，则p＝（ ）A．B．p＝1C．p＝2D．p＝4【解答】解：画出图形，如图所示：易知圆C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（﹣1，4），半径r＝1，由抛物线的定义可知：点P到y轴的距离d＝|PF|﹣，所以|PQ|+d＝|PQ|+|PF|﹣，由图可知：当C，Q，P，F共线，且P，Q在线段CF之间时，PQ+PF最短，而|CF|＝，故有|PQ|+|PF|﹣＝|CF|﹣r﹣＝2，即，解得：p＝4．故选：D．16．（2023•武昌区校级模拟）已知抛物线和，若C1和C2有且仅有两条公切线l1和l2，l1和C1、C2分别相切于M，N点，l2与C1、C2分别相切于P，Q两点，则线段PQ与MN （ ）A．总是互相垂直B．总是互相平分C．总是互相垂直且平分D．上述说法均不正确【解答】解：抛物线＝（x+1）2﹣1，，两曲线分别是y＝x2经过平移、对称变换得到的，则两曲线的大小与形状相同，且具有中心对称性，∵l1和l2是它们的公切线，l1和C1、C2分别相切于M，N两点，l2和C1、C2分别相切于P，Q两点，∴M，N关于对称中心对称，P，Q关于对称中心对称，线段PQ与MN互相平分．故选：B．17．（2023•武汉模拟）设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P 作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝（ ）A．3B．6C．9D．12【解答】解：设准线与x轴的交点为M，由题意可知，F（，0），准线l方程为x＝﹣，在Rt△QMF中，∠QFM＝60°，|MF|＝3，∴|QF|＝6，∵PQ垂直于准线l，∴∠PQF＝∠QFM＝60°，由抛物线的性质可知，|PQ|＝|PF，∴△PQF为等边三角形，∴|PF|＝|QF|＝6．故选：B．18．（2023•晋中二模）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若|NF|＝|MN|，则|MF|＝（ ）A．B．1C．D．4【解答】解：根据题意可得p＝2，∴抛物线焦点F为（1，0），准线l为x＝﹣1，设准线l与x轴的交点为E，如图所示，由题知MN⊥l，由抛物线的定义可知|MN|＝|MF|，因为|NF|＝|MN|，所以△MNF是正三角形，则在Rt△NEF中，因为MN∥EF，所以∠EFN＝∠MNF＝60°，所以|MF|＝|NF|＝2|EF|＝2p＝4．故选：D．19．（2023•湖北模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A，B是其准线上的两个动点，且FA⊥FB，线段FA，FB分别与抛物线C交于P，Q两点，记△PQF的面积为S1，△ABF 的面积为S2，当时，|AB|＝ ．【解答】解：设l PQ：x＝ky+m，P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立直线PQ与抛物线方程得y2﹣4ky﹣4m＝0，则y1+y2＝4k，y1⋅y2＝﹣4m由FA⊥FB可得：，即（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣y1y2，化简得m2﹣6m+1＝4k2，又，则，同理，可得y A y B＝＝﹣4，而，即，所以m＝，k2＝所以|AB|＝|y A﹣y B|＝|+|＝||＝||＝．故答案为：．20．（2023•包河区模拟）已知F为抛物线C：y2＝4x的交点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 ．【解答】解：如图所示，l1⊥l2，直线l1与C交于点A，B，直线l2与C交于点D，E，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为：y＝x﹣1，联立方程组，整理可得：y2﹣4y﹣4＝0，设D（x1，y1），E（x2，y2），所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，则|DE|＝＝，所以|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，故答案为：16．21．（2023•天山区校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，若|AF|﹣|BF|＝，则|＝ ．【解答】解：由对称性，不妨设A在第一象限，设θ＝∠AFx，由由角平分线定理．故答案为：2．22．（2023•龙岗区校级一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，PF交C于M，N两点，且满足，则|NF|＝　．【解答】解：抛物线C：y2＝4x，则，准线方程为x＝﹣1，由于，所以F是MP的中点，设P（﹣1，t），而F（1，0），所以M（3，﹣t），将M点坐标代入抛物线方程得t2＝12，不妨设，则．设，由于M，N，F三点共线，所以，整理得，解得舍去），所以，所以．故答案为：．23．（2023•江西模拟）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2＝8x，平行于x轴的光线从点M（12，2）射出，经过C 上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则|MB|＝（ ）A．6B．8C．D．29【解答】解：由M（12，2），可得A的纵坐标为2，设A（m，2），则4＝8m，解得，由题意反射光线经过抛物线y2＝8x的焦点（2，0），所以直线AB的方程为，整理可得，由，消去y整理得2x2﹣17x+8＝0，解得，x2＝8，则，所以B（8，﹣8），所以．故选：C．24．（2023•平江县校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0的垂线，垂足为P，则|MF|+|MP|的最小值为（ ）A．B．C．5D．3【解答】解：∵抛物线C的方程为y2＝4x，∴F（1，0），抛物线C的准线方程为x＝﹣1，∵方程（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0可化为y﹣1＝（1﹣a）（x﹣2），∴（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0过定点B（2，1），设P（x，y），设F，B的中点为A，则，因为FP⊥BP，P为垂足，∴，所以，即点P的轨迹为以A为圆心，半径为的圆，过点M作准线x＝﹣1的垂线，垂足为M1，则|MM1|＝|MF|，∴|MF|+|MP|＝|MM1|+|MP|，又，当且仅当M，P，A三点共线且P在M，A之间时等号成立，∴，过点A作准线x＝﹣1的垂线，垂足为A1，则，当且仅当A1，M，A三点共线时等号成立，∴，当且仅当A1，M，P，A四点共线且P在M，A之间时等号成立，所以|MF|+|MP|的最小值为，故选：A．25．（2023•张家口三模）已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝λ|BF|＝λ，则λ＝（ ）A．1B．C．3D．4【解答】解：如图，过A作AA1准线于A1，过B作BB1准线于B1，由抛物线C：y2＝3x的焦点，准线方程为，由抛物线的定义可得，所以，代入抛物线方程得，若，直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即，联立，得16x2﹣40x+9＝0，则，所以，则；若，直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即，联立，得16x2﹣40x+9＝0，则，所以，则；综上，λ＝3．故选：C．26．（2023•商丘三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣1，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，点P在l上的射影为P1，则下列结论错误的是（ ）A．若x1+x2＝5，则|PQ|＝7B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥D．过点M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣1，所以，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，焦点F（1，0），若直线的斜率存在，设y＝k（x﹣1），由，消去y，整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以，x1x2＝1，对于A选项：若x1+x2＝5，则|PQ|＝x1+x2+2＝7，故A选项正确；对于B选项：取PQ的中点N，N在l上的投影为N′，Q在l的投影为Q′，根据抛物线的性质|PP1|＝|PF|，|QQ′|＝|QF|，NN′为梯形的中位线，故，故B选项正确；对于C选项：M（0，1），，故C选项正确；对于D选项：过M（0，1）且与抛物线相切的直线有两条，过M（0，1）且与x轴平行的直线与抛物线相交有且有一个交点，所以至多有三条，故D选项错误．故选：D．27．（2023•徐汇区校级三模）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长|AB|＝（ ）A．16B．26C．14D．24【解答】解：由题意可得，F（0，﹣2），则p＝4，抛物线C的方程为x2＝﹣8y．设直线AB的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝﹣，y2＝﹣，由y＝﹣，得y′＝﹣．∴在点A处的切线方程为y﹣y1＝﹣（x﹣x1），化简得y＝﹣x+，①同理可得在点B处的切线为y＝﹣x+，②联立①②得x M＝，由M的横坐标为4，得x1+x2＝8．将AB的方程代入抛物线方程，可得x2+8kx﹣16＝0．∴x1+x2＝﹣8k＝8，得k＝﹣1．∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝﹣1×8﹣4＝﹣12．得|AB|＝p﹣（y1+y2）＝4﹣（﹣12）＝16．故选：A．28．（2023•琼海校级模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到其焦点的距离为4，则p＝（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为点在y2＝2px（p＞0）上，所以4p＝2pm，得到m＝2，又点到其焦点的距离为4，根据抛物线定义知，得到p＝4，故选：D．29．（2023•沙坪坝区校级二模）已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线的左焦点，点P为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若P到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．x2﹣y2＝2D．2x2﹣2y2＝1【解答】解：由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以双曲线的左焦点坐标为（﹣1，0），所以双曲线的c＝1．又因为点P为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若P到抛物线焦点的距离为5，所以x P+1＝5，所以x P＝4，代入抛物线方程即可得P（4，4）．因为P（4，4）在双曲线的渐近线方程上，所以a＝b，又因为双曲线中，c2＝a2+b2，所以，所以双曲线的方程为：2x2﹣2y2＝1．故选：D．30．（2023•浙江模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的斜率为（ ）A．B．±1C．±2D．【解答】解：设|AB|＝2r（2r≥4），AB的中点为M，MN⊥y轴于点N，过A，B作准线x＝﹣1的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示．由抛物线的定义知2（|MN|+1）＝|AA1|+|BB1|＝|AF|+|BF|＝|AB|＝2r，则|MN|＝r﹣1，所以，即16r2﹣50r+25＝0，解得或（舍去），故M的横坐标为．设直线l：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝k（x﹣1）代人y2＝4x，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，则，解得k＝±2．故选：C．31．（2023•香洲区校级模拟）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧组成，如图所示．假设圆弧所在圆的方程为C：（x+25）2+（y﹣2）2＝162，若某运动员在起跳点M以倾斜角为45o且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）A．y2＝﹣32（x﹣1）B．C．x2＝﹣32（y﹣1）D．x2＝﹣36y+4【解答】解：∵某运动员在起跳点M以倾斜角为45o且与圆C相切的直线方向起跳，∴k CM＝﹣1，∴直线CM所在的方程为：y﹣2＝﹣（x+25），代入（x+25）2+（y﹣2）2＝162，解得或（舍），∴点M的坐标为（﹣16，﹣7）．设抛物线方程为：y＝ax2+c，则y′＝2ax|x＝﹣16＝﹣32a＝1，∴，又，解得c＝1，∴该抛物线的轨迹方程为．故选：C．32．（2023•武功县校级模拟）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，若|FA|•|FB|＝3，则p＝　．【解答】解：由题意知F（，0），AB的方程为y＝（x﹣），代入C的方程，得3x2﹣5px+＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝；因为|FA|＝+x1，|FB|＝+x2，且|FA|⋅|FB|＝3，所以（+x1）（+x2）＝3，整理得以+•（x1+x2）+x1x2＝3，所以+•+＝3，结合p＞0，解得p＝．故答案为：．33．（2023•招远市模拟）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过点F的直线交C 于M，N两点，直线MD垂直x轴，|MF|＝3，则|NF|＝　．【解答】解：由题意得，因为直线MD垂直于x轴，D（p，0），准线方程为，所以M点的横坐标为p，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据抛物线的定义知，解得p＝2，则C：y2＝4x，则F（1，0），可设直线MN的方程为x﹣1＝my，联立抛物线方程有可得y2﹣4my﹣4＝0，Δ＝16m2+16＞0，y1y2＝﹣4，则，则32x2＝16，解得，则．故答案为：．34．（2023•武昌区校级模拟）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点（与坐标原点O均不重合），且OA⊥OB，抛物线的焦点为F，记△AOB、△AOF、△BOF的面积分别为S1，S2，S3，若满足S1＝6S2+3S3，则直线l的方程为　．【解答】解：由已知可设直线OA方程为y＝kx，又OA⊥OB，OB方程为，由，解得，由，解得B（4k2，﹣4k），，，令y＝0，得x＝4，∴直线l与x轴交点M（4，0），，．，∵S1＝6S2+3S3，∴，解得，，∴直线l的方程，即或．35．（2023•保定三模）设O为坐标原点，点A（2，4），B在抛物线y2＝2px（p＞0）上，F为焦点，M是线段BF上的点，且，则当直线OM的斜率最大时，点F到OM的距离为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵A（2，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，∴p＝2，则抛物线方程为y2＝8x，求得F（2，0），设M（x0，y0），当y0＜0时，k OM＜0，当y0＞0时，k OM＞0．则要求直线OM的斜率的最大值，有y0＞0．设B（m，n），∵，∴（x0﹣m，y0﹣n）＝2（2﹣x0，﹣y0），则，∵B在抛物线上，∴n2＝8m，得9＝8（3x0﹣4），即，∵y0＞0，∴＝，当且仅当，即时等号成立，故直线OM的斜率的最大值为，此时直线OM的方程为，则点F到OM的距离为．故选：D．36．（2023•湖北模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，的中点纵坐标为，则p＝　．【解答】解：设过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，AB 的中点纵坐标为y0＝，抛物线的焦点为F（，0），直线l的斜率不为零，可设直线l的方程：x＝my+，由，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝2p（x1﹣x2），所以＝＝＝＝，所以直线l的方程为x＝y+，所以AB中点的横坐标为x0＝×+＝，所以|AB|＝x1+x2+p＝2x0+p＝2×+p＝5，2p2﹣5p+4＝0，解得p＝2或p＝．故答案为：2或．37．（多选）（2023•道里区校级四模）已知A，B是抛物线C：y2＝6x上的两动点，F是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）A．直线AB过焦点F时，以AB为直径的圆与C的准线相切B．直线AB过焦点F时，|AB|的最小值为6C．若坐标原点为O，且OA⊥OB，则直线AB过定点（3，0）D．若直线AB过焦点F，AB中点为P，过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q，则直线AQ与抛物线相切【解答】解：∵抛物线C方程为：y2＝6x，∴2p＝6，∴p＝3，∴＝，∴焦点F（，P），准线l为：x＝，对A，B，D选项，∵直线AB过焦点F，∴设直线AB方程为x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点P为（x0，y0），联立，可得y2﹣6my﹣9＝0，∴，∴，∴|AB|＝x1+x2+p＝6m2+3+3＝6（m2+1）≥6，（当且仅当m＝0时取等），∴B选项正确；又P到准线l的距离d＝＝＝3（m2+1）＝|AB|，∴以AB为直径的圆与C的准线相切，∴A选项正确；若直线AB过焦点F，AB中点为P，过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q，则Q（，3m），∴＝，又，∴3m＝，∴＝，对y2＝6x两边关于x求导可得：2yy′＝6，∴，抛物线C：y2＝6x在A（x1，y1）处的切线斜率为＝k AQ，∴直线AQ与抛物线相切，∴D选项正确；对C选项，设AB直线为x＝my+t，（t≠0），联立，可得y2﹣6my﹣6t＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴，又OA⊥OB，∴，即（x1，y1）•（x2，y2）＝0，∴x1x2+y1y2＝0，∴t2﹣6t＝0，又t≠0，∴t＝6，∴AB直线为x＝my+6，∴直线AB过定点（6，0），∴C选项错误．故选：ABD．38．（2023•河南模拟）已知点P（1，a）（a＞1）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，过P作圆（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为﹣1，若F为C的焦点，点M（x，y）为C上的动点，点N是C的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）A．B．2C．D．【解答】解：由题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线x＝1对称，所以k PA+k PB＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x P，y P），则，同理可得，，则，得，所以y1+y2＝﹣2y P，由，得y P＝p．将（1，p）代入抛物线C的方程，得p2＝2p，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x．设∠MNF＝θ，作MM1垂直准线于M1，由抛物线的性质可得|MM1|＝|MF|，所以，当cosθ最小时，的值最大，所以当直线MN与抛物线C相切时，θ最大，即cosθ最小．由题意可得N（﹣1，0），设切线MN的方程为x＝my﹣1，联立方程组消去x，得y2﹣4my+4＝0，由Δ＝16m2﹣16＝0，可得m＝±1，将m＝±1代入y2﹣4my+4＝0，可得y＝±2，所以x＝1，即M的坐标为（1，±2），所以，|MM1|＝1﹣（﹣1）＝2，所以的最大值为．故选：A．39．（2023•达州模拟）点A（x0，y0）（x0＞1，y0＜0），B，C均在抛物线y2＝4x上，若直线AB，AC分别经过两定点（﹣1，0），M（1，4），则BC经过定点N．直线BC，MN分别交x轴于D，E，O为原点，记|OD|＝a，|DE|＝b，则的最小值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题易知直线AB，AC斜率均存在，设直线AB方程为，由，消x得，即，由韦达定理得，所以，代入y2＝4x，得到，所以，设直线方程为，由，消x得，即，由韦达定理得，所以，又因为，所以，代入y2＝4x，得到，所以，所以直线BC的斜率为，所以BC的方程为，即所以，即，故直线BC过定点N（1，1），令y＝0，得到，所以，所以，又因为x0＞1，y0＜0，所以，所以，又|OD|＝a，|DE|＝b，所以，又由柯西不等式知，当且仅当，即时，取等号，所以，即．故选：D．40．（2023•鲤城区校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则sin∠PMN的最小值为 ．【解答】解：由y2＝4x得F（1，0），由题意知直线l的斜率不为0，所以设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x得y2﹣4my﹣4＝0，则由韦达定理得，所以，所以|AB|＝x1+x2+p＝4m2+4，所以|PM|＝＝2m2+2，又P点到y轴的距离d＝＝2m2+1，所以sin∠PMN＝＝＝1﹣，所以当m＝0时，sin∠PMN取得最小值．故答案为：．三．直线与抛物线的综合（共20小题）41．（2023•遂宁模拟）已知定点D（2，0），直线l：y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线y2＝4x交于两点A，B，若∠ADB＝90°，则|AB|＝（ ）A．4B．6C．8D．10【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，由题意得Δ＞0，故，则，又，则x1x2﹣2（x1+x2）+y1y2+4＝0，即，解得，则，则．故选：C．42．（2023•贵州模拟）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若A （1，2），则|AB|＝（ ）A．9B．7C．6D．5【解答】解：由题意直线l的斜率必存在，抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），设直线l：y＝k（x﹣2），则，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝4，又A（1，2），则x1＝1，x24，k2＝8，|AB|＝•＝3×3＝9．故选：A．43．（2023•黄州区校级三模）抛物线C：y2＝2px的准线与x轴交于点M，过C的焦点F作斜率为2的直线交C于A、B两点，则tan∠AMB＝（ ）A．B．C．D．不存在【解答】解：抛物线C：y2＝2px的焦点F（，0），M（﹣，0），可知AB方程y＝2（x﹣），AB的方程与y2＝2px联立，消去y可得4x2﹣6px+p2＝0，可得x＝或，∴A（，），B（，），∴k AM＝＝，k BM＝﹣，∴tan∠AMB＝＝＝4．故选：C．44．（2023•深圳模拟）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k（x+1）与C交于A，B两点（A 在B的左边），则4|AF|+|BF|的最小值是（ ）A．10B．9C．8D．5【解答】解：由题知C的焦点，F（1，0），准线为x＝﹣1，如图，作AM⊥准线，BN⊥准线，l：y＝k （x+1）过定点（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得k2（x2+2x+1）﹣4x＝0，即k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，∴，又∵|AF|＝|AM|＝x1+1，|BF|＝|BN|＝x2+1，∴，当且仅当4x1＝x2时取等，故选：B．45．（2023•万州区校级模拟）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，作倾斜角为的直线l交C于A，B两点，交C的准线于点M，若（O为坐标原点），则线段AB的长度为（ ）A．8B．16C．24D．32【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），作倾斜角为的直线l：y＝（x﹣），抛物线的准线方程为x＝﹣，可得M（﹣，），又，可得＝，解得p＝4，，消去y可得x2﹣28x+4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝28，所以|AB|＝x1+x2+p＝28+4＝32．故选：D．46．（2023•茂名二模）已知抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若且，则λ＝ ．【解答】解：设准线与x轴的交点为K，作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，则BB1∥FK∥AA1．根据抛物线定义知|BB1|＝|BF|，|AA1|＝|AF|，又若，且，因为BB1∥FK∥AA1，设|BF|＝m，则，∴，又p＝3，解得m＝2，∴|AF|＝λ|FB|＝2λ，所以|BA|＝2+2λ，因为BB1∥FK∥AA1，所以，∴，解得λ＝3．故答案为：3．47．（2023•昆明一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，经过抛物线上一点P，作斜率为的直线交C 的准线于点Q，R为准线上异于Q的一点，当∠PQR＝∠PQF时，|PF|＝ ．【解答】解：不妨令R为过P点垂直于准线的垂足，又∠PQR＝∠PQF，即QF为∠FQR角平分线，Q是斜率为的直线与抛物线准线的交点，则P在第一象限内，而PR⊥QR，且|PR|＝|PF|，根据角平分线性质知：PF⊥QF，如上图示，令且m＞0，则直线PQ为，令x＝﹣1，则，由，整理可得3m3﹣8m2+12m﹣32＝（m2+4）（3m﹣8）＝0，则，故故答案为：．48．（2023•江西二模）2022北京冬奥会顺利召开，滑雪健将谷爱凌以2金1银的优秀成绩书写了自己的传奇，现在她从某斜坡上滑下，滑过一高度不计的滑板后落在另一斜坡上，若滑板与水平地面夹角的正切值为，斜坡与水平地面夹角的正切值为，那么她最后落在斜坡上速度与水平地面夹角的正切值为（ ）（不计空气阻力和摩擦力）A．3B．C．D．4。

一． 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。

高考数学专题练习-抛物线含解析一、选择题(本大题共20小题，共100.0分)1.一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（）A.h2B.2h2C.h2D.h22.若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A.2B.C.D.3.已知抛物线y2=2px的焦点为F，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且A（1，2），+=，则BC边所在的直线方程为（）A.2x-y-2=0B.2x-y-1=0C.2x+y-6=0D.2x+y-3=04.抛物线y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为N，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，若，则|AF|-|BF|=（）A.2B.3C.4D.55.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点P是抛物线C上一点，过P 作PM⊥l，垂足为M，记与MN交于点T，若|NF|=2|PF|，且△PNT的面积为，则p=（）A. B.2 C. D.6.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为（）A. B. C.或 D.7.过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l与C及其准线分别相交于A、B、D三点，则的值为（）A.2或B.3或C.1D.4或8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，倾斜角为钝角的直线l过F且与C交于A，B两点，若|AB|=，则l的斜率为（）A.-1B.-C.-D.-9.正三角形ABC的两个顶点A，B在抛物线x2=2py（p＞0）上，另一个顶点C是此抛物线焦点，则满足条件的三角形ABC的个数为（）A.0B.1C.2D.310.已知直线l：y=kx-k与抛物线C：y2=4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则实数k等于（）A. B.±1 C. D.±211.设F是抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.212.过抛物线C：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与C相交于A，B两点，与C的准线交于点D，若|AB|=|BD|，则直线l的斜率k=（）A. B.±3 C. D.13.已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线的右焦点，则此抛物线的方程是（）A.y2=2xB.y2=4xC.y2=10xD.y2=20x14.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线-=1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.2D.15.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，倾斜角为钝角的直线l过F且与C交于A，B两点，若|AB|=，则l的斜率为（）A.±B.-C.±D.-16.抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x2+y2=1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是（）A. B. C. D.17.过抛物线y2=4x焦点的直线l交抛物线于P（x1，x2），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|PQ|=（）A.9B.8C.8D.618.已知O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，直线l：y=m（x-1）与抛物线交于A，B两点，点A在第一象限，若|FA|=3|FB|．则m的值为（）A.3B.C.D.19.已知F是抛物线x2=8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|=（）A.4B.5C.6D.720.抛物线y2=-4x的焦点坐标为（）A.（0，-2）B.（-2，0）C.（0，-1）D.（-1，0）二、填空题(本大题共20小题，共100.0分)21.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过抛物线上点P（2，y0）的切线为l，过点P作平行于x轴的直线m，过F作平行于l的直线交m于M，若|PM|=5，则p的值为______ ．22.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），P，Q是C上任意两点，点M（0，-1）满足，则p的取值范围是 ______ ．23.已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，-a）（a＞0）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，a），连接BP，BQ．且QB，QP与x轴分别交于M，N两点，如果QB的斜率与PB的斜率之积为-3，则∠PBQ= ______ ．24.已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足=3，若弦AB的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为 ______ ．25.斜率为k（k＞0）的直线l经过点F（1，0）交抛物线y2=4x于A，B两点，若△AOF 的面积是△BOF面积的2倍，则k= ______ ．26.已知点P（2，1）是抛物线上x2=4y上的一点，点M，N是抛物线上的动点（M，N，P 三点不共线），直线PM，PN分别交y轴于A，B两点，且|PA|=|PB|，则直线MN的斜率为 ______ ．27.已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为______ ．28.抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P（m，1）到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为 ______ ．29.若抛物线y2=8x上的点P到焦点的距离为6，则P到y轴的距离是 ______ ．30.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l，若l与圆x2+y2+6x+5=0的交点为A，B，且|AB|=2．则p的值为 ______ ．31.圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为______ ．32.过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|= ______ ．33.在平面直角坐标系x O y中，抛物线y2=4x的焦点到其准线的距离为 ______ ．34.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为 ______ ．35.抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为 ______ ．36.以抛物线y2=4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的渐近线方程为______ ．37.已知点，点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若|PF|+|PM|的最小值为5，则p的值为 ______ ．38.若点A（-6，y）在抛物线y2=-8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为 ______ ．39.已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点 ______ ．40.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，且被双曲线解得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为 ______ ．三、解答题(本大题共20小题，共240.0分)41.在平面直角坐标系x O y中，抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交C 于A，B两点，交x轴于点D，B到x轴的距离比|BF|小1．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若S△BOF=S△AOD，求l的方程．42.已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点D（2，0）的直线l与抛物线C 交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）已知O为原点，求证：∠MON为定值．43.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=2与y的轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|．（1）求C的方程；（2）边焦点F的直线l斜率为-1，判断C上是否存在两点M，N，使得M，N关于直线l 对称，若存在，求出|MN|，若不存在，说明理由．44.已知圆M：（x-a）2+（y-b）2=9，M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，圆M过原点且与C的准线相切．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）点Q（0，-t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y=-t上运动，过点P作C 的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO=∠BQO（其中O为坐标原点）．45.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是F，点D（1，y0）是抛物线上的点，且|DF|=2．（I）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过定点M（m，0）（m＞0）的直线与抛物线C交于A，B两点，与y轴交于点N，且满足：=λ，=μ．（i）当m=时，求证：λ+μ为定值；（ii）若点R是直线l：x=-m上任意一点，三条直线AR，BR，MR的斜率分别为k AR，k BR，k MR，问是否存在常数t，使得．k AR+k BR=t•k MR．恒成立？若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．46.已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若y轴上存在一点M（0，m）（m＞0），使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的值；（3）在抛物线C上存在点D（x3，y3），满足x3＜x1＜x2，若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求△ABD面积的最小值．47.如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q．（Ⅰ）当直线MQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求的最小值．48.如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB和曲线DE分别是顶点在路面A、E的抛物线的一部分，曲线BCD是圆弧，已知它们在接点B、D处的切线相同，若桥的最高点C到水平面的距离H=6米，圆弧的弓高h=1米，圆弧所对的弦长BD=10米．（1）求弧所在圆的半径；（2）求桥底AE的长．49.已知圆O：x2+y2=1和抛物线E：y=x2-2，O为坐标原点．（1）已知直线l和圆O相切，与抛物线E交于M，N两点，且满足OM⊥ON，求直线l的方程；（2）过抛物线E上一点P（x0，y0）作两直线PQ，PR和圆O相切，且分别交抛物线E于Q，R两点，若直线QR的斜率为，求点P的坐标．50.已知直线l过点P（2，0），斜率为，直线l和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）点M的坐标；（2）线段AB的长|AB|．51.已知动点P到点（，0）的距离比它到直线x=-的距离小2．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）记P点的轨迹为E，过点S（2，0）斜率为k1的直线交E于A，B两点，Q（1，0），延长AQ，BQ与E交于C，D两点，设CD的斜率为k2，证明：为定值．52.如右图抛物线顶点在原点，圆（x-2）2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．53.已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，且经过点（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，且满足⊥，求直线l的方程．54.已知平面内一动点M到点F（1，0）距离比到直线x=-3的距离小2．设动点M的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，过点B作直线：x=-1的垂线，垂足为D，设A（x1，y1），B（x2，y2）．求证：①x1•x2=1，y1•y2=-4；②A、O、D三点共线（O为坐标原点）．55.已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，E上一点（3，m）到焦点的距离为4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程．56.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，-2）（1）求抛物线的标准方程．（2）如果直线y=x+m与这个抛物线交于不同的两点，求m的取值范围．57.（1）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在直线2x-y-4=0上，求p的值；（2）已知双曲线的渐近线方程为，准线方程为，求双曲线的标准方程．58.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，抛物线与双曲线交点为，求抛物线方程和双曲线方程．59.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l．⊙F与C交于A，B两点，与x轴的负半轴交于点P．（Ⅰ）若⊙F被l所截得的弦长为，求|AB|；（Ⅱ）判断直线PA与C的交点个数，并说明理由．60.已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=-1的距离相等．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．【答案】1.B2.D3.B4.C5.D6.C7.D8.D9.C 10.C 11.A 12.D 13.D 14.A 15 .D 16.B 17.B 18.C 19.D 20.D21.622.（0，2]23.24.y2=8x25.226.-127.28.x2=16y29.430.4或831.（x±1）2+（y-）2=132.1233.234.435.436.y=37.2或638.839.（1，0）40.y=±x41.解：（Ⅰ）解法一：抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，），C的准线方程为，（1分）由抛物线的定义，可知|BF|等于点B到C的准线的距离．（2分）又因为点B到x轴的距离比|BF|小1，所以点B到x轴的距离比点B到抛物线准线的距离小1，（3分）故，解得p=2，所以C的方程为x2=4y．（4分）解法二：C的焦点为，（1分）将代入x2=2py，得x=p或x=-p，故，因为点B到x轴的距离比|BF|小1，，即，（2分）解得p=2，所以C的方程为x2=4y，（3分）经检验，抛物线的方程x2=4y满足题意．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得C的焦点为F（0，1），设直线l的方程为y=kx+1（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．则．（5分）联立方程组消去y，得x2-4kx-4=0．（6分）△=（-4k）2-4×1×（-4）=16k2+16＞0，由韦达定理，得x1+x2=4k，x1x2=-4．（7分）设点O到直线l的距离为d，则，．又S△BOF=S△AOD，所以|BF|=|AD|．（8分）又A，B，D，F在同一直线上，所以，即，（9分）因为，（10分）所以，整理，得16k4+16k2-1=0，故，解得，（11分）所以l的方程为．（12分）42.解：（1）将E（2，2）代入y2=2px，得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为（，0），准线方程x=-；．…（3分）（2）证明：设A（，y1），B（，y2），M（x M，y M），N（x N，y N），因为直线l不经过点E，则直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-2），与抛物线方程联立得到，消去x，整理得：ky2-2y-4k=0，则由韦达定理得：y1+y2=，y1y2=-4，…（6分）直线AE的方程为：y-2=（x-2），即y=（x-2）+2，令x=-2，得y M=，…（9分）同理可得：y N=，…（10分）又∵=（-2，y M），=（-2，y N），则•=4+y M y N=4+×，=4+=4+=0…（13分）∴OM⊥ON，即∠MON为定值．…（14分）．方法二：证明：设A（，y1），B（，y2），M（x M，y M），N（x N，y N），设直线l方程为x=my+2，于抛物线方程联立得，整理得：y2-2my-4=0，则由韦达定理得：y1+y2=2m，y1y2=-4，…（6分）直线AE的方程为：y-2=（x-2），即y=（x-2）+2，令x=-2，得y M=，…（9分）同理可得：y N=，…（10分）又∵=（-2，y M），=（-2，y N），则•=4+y M y N=4+×，=4+=4+=0…（13分）∴OM⊥ON，即∠MON为定值．…（14分）43.解：（1）设Q（x0，2），P（0，2）代入由y2=2px（p＞0）中得x0=，所以|PQ|=，|QF|=+，由题设得+=2×，解得p=-2（舍去）或p=2．所以C的方程为y2=4x．（2）设直线l的方程为x+y-1=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则k MN=，MN的中点T的坐标为（，），∵M，N关于直线l对称，∴MN⊥l，∴=1①，∵中点T在直线l上，∴=-+1②，由①②可得y1+y2=4，y1y2=4，∴y1，y2是方程y2-4y+4=0的两个根，此方程有两个相等的根，∴C上不存在M，N，使得M，N关于直线l对称．44.解：（I）解法一：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，且圆半径为3，故，（1分）因为圆过原点，所以a2+b2=9，所以，（2分）又a2=2pb，所以，（3分）因为p＞0，所以p=4，所以抛物线C方程x2=8y．（4分）解法二：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，圆M必过抛物线的焦点，（1分）又圆M过原点，所以，（2分）又圆的半径为3，所以，又a2=2pb，（3分）又，得p2=16（p＞0），所以p=4．所以抛物线C方程x2=8y．（4分）解法三：因为圆M与抛物线准线相切，所以，（1分）且圆过又圆过原点，故，可得，（3分）解得p=4，所以抛物线C方程x2=8y．（4分）（Ⅱ）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，-t），C方程为，所以，（5分）∴抛物线在点A处的切线的斜率，所以切线PA方程为：，即，化简得，（6分）又因过点P（m，-t），故可得，，（7分）即，同理可得，（8分）所以x1，x2为方程x2-2mx-4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=-4t，（9分）因为Q（0，-t），所以，（10分）化简=．（11分）所以∠AQO=∠BQO．（12分）解法二：依题意设点P（m，-t），设过点P的切线为y=k（x-m）-t，所以，所以x2-4kx+4km+4t=0，所以△=16k2-4（4km+4t）=0，即k2-km-t=0，（5分）不妨设切线PA、PB的斜率为k1、k2，点A（x1，y1），B（x2，y2），所以k1+k2=m，k1•k2=-t，又，所以，所以，（6分）所以x1=2k1，，即点，同理点，（7分）因为Q（0，-t），所以，同理，（9分）所以=+=，（11分）所以∠AQO=∠BQO．（12分）45.解：（I）∵点D（1，y0）是抛物线上的点，且|DF|=2．∴1+=2，解得p=2．∴抛物线C的标准方程为y2=4x．（II）证明：（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），当m==1时，M（1，0），直线AB的斜率存在且不为0，可设直线AB的方程为：x=ty+1（t≠0），可得N．联立，可得：y2-4ty-4=0，∴y1+y2=4t，y1y2=-4．∵=λ，=μ，∴=λ（-y1），=μ（-y2），∴λ+μ=-1--1-=-2-=-2-=-1．为定值．（ii）先取特殊情况探索三条直线AR，BR，MR的斜率之间的关系，当AB⊥x轴时，设A（m，y0），B（m，-y0），R（-m，y3），则k AR=，k MR=，k BR=，则k AR+k BR=2•k MR．下面证明一般情况成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），R（-m，y3），直线AB的斜率不等于0，可设直线AB的方程为：x=ty+m．联立，化为：y2-4ty-4m=0，∴y1+y2=4t，y1y2=-4m．则k AR=，k MR=，k BR=，则k AR+k BR=+=，又，．代入可得：k AR+k BR=，把y1+y2=4t，y1y2=-4m代入化简可得：k AR+k BR==2•k MR．综上可得：三条直线AR，BR，MR的斜率满足k AR+k BR=2•k MR．46.解：（1）设抛物线的C方程x2=2py（p＞0），则焦点F（0，），准线方程：y=-，过点Q向准线l作垂线，垂足为Q1，由抛物线的定义可得：丨QF丨=丨QQ1丨，∴2-（-）=3，p=2，∴抛物线方程：x2=4y；（2）设直线AB的方程：y=kx+m，则，整理得：x2-4kx-4m=0，则x1+x2=4k，x1x2=-4m，由AB为直径的圆经过原点，则⊥，•=0，则x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0∴（1+k2）×（-4m）+km×4k+m2=0，整理得m2-4m=0，解得：m=4或m=0，由m＞0，则m=4，∴m的值4；（3）设直线AB的斜率为k，k＞0，其方程y-y1=k（x-x1），即y=kx+y1-kx1，∴，整理得：x2-4kx+4kx1-4y1=0，∴x1+x2=4k，x2=-x1+4k，丨AB丨2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]，=（1+k2）[（4k）2-4x1（-x1+4k）]，=4（1+k2）（x12-4kx1+4k2），同理丨AD丨=4[1+（-）2][x12-4（-）x1+4（-）2]，=4（1+）（x12+x1+），由丨AB丨=丨AD丨，则丨AB丨2=丨AD丨2，4（1+k2）（x12-4kx1+4k2），=4（1+）（x12+x1+），整理得：x1==k-，则丨AB丨2=4（1+k2）[（k-）2-4k（k-）+4k2]=4（1+k2）（k+）2，丨AB丨=2（k+），丨AD丨2=4（1+）[（k-）2+（k-）+]4（1+）（k+）2，丨AD丨=2（k+），∴△ABD面积S=×丨AB丨×丨AD丨=×2（k+）×2（k+），==2（k+）3≥2（2）3=16，当且仅当k=时，即k2=1，即k=1，取等号，∴△ABD面积的最小值16．47.解：（Ⅰ）设点，由x2=2py（p＞0）得，，求导，而直线MQ的斜率为1，∴且，解得：．∴抛物线的标准方程：x2=4y；…（4分）（Ⅱ）因为点M处的切线方程为：，即，根据切线又与圆相切，得d=r，即，化简得，4p2=x04-4x02＞0，解得：丨x0丨＞2，由方程组，解得：Q（，），由丨PQ丨=丨x P-x Q丨=丨x0-丨=（x02-2），点F（0，）到切线PQ的距离d===，则S1=丨PQ丨•d=（x02-2），S1=丨OF丨•丨x Q丨=，∴====++3≥2+3，当且仅当=时，取“=”号，即x02=4+2，此时p=，所以的最小值为．…（12分）48.解：（1）设弧所在圆的半径为r（r＞0），由题意得r2=52+（r-1）2，则r=13，即弧所在圆的半径为13米．…（4分）（2）以线段AE所在直线为x轴，线段AE的中垂线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．∵H=6米，BD=10米，弓高h=1米，∴B（-5，5），D（5，5），C（0，6），设所在圆的方程为x2+（y-b）2=r2，（r＞0），则，，∴弧的方程为x2+（y+7）2=169（5≤y≤6）…6分设曲线AB所在抛物线的方程为：y=a（x-m）2，…（8分）由点B（-5，5），在曲线AB上∴5=a（5+m）2， …（10分）又弧与曲线段AB在接点B处的切线相同，且弧在点B处的切线的斜率为，由y=a（x-m）2，y′=2a（x-m），2a（-5-m）=，2a（5+m）=-，…（12分）由 得m=-29，A（-29，0），E（29，0）∴桥底AE的长为58米；…（13分）答：（1）弧所在圆的半径为13米；（2）桥底AE的长58米．（答和单位各1分）…（14分）49.解：（1）设l：y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），由l和圆O相切，得．∴b2=k2+1．由消去y，并整理得x2-kx-b-2=0，∴x1+x2=k，x1x2=-b-2．由OM⊥ON，得，即x1x2+y1y2=0．∴x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0．∴，∴（1+k2）（-b-2）+k2b+b2=0，∴b2（-b-2）+（b2-1）b+b2=0．∴b2+b=0．∴b=-1或b=0（舍）．当b=-1时，k=0，故直线l的方程为y=-1．（2）设P（x0，y0），Q（x1，y1），R（x2，y2），则．∴．设l QR：y-y0=k1（x-x0），由直线和圆相切，得，即．设l PR：y-y0=k2（x-x0），同理可得：．故k1，k2是方程的两根，故．由得，故x0+x1=k1．同理x0+x2=k2，则2x0+x1+x2=k1+k2，即．∴，解或．当时，；当时，y0=1．故或．50.解：（1）∵直线l过点P（2，0），斜率为，设直线的倾斜角为α，tanα=，sinα=，cosα=，∴直线l的参数方程为（t为参数）（*）∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得8t2-15t-50=0，且△=152+4×8×50＞0，设这个一元二次方程的两个根为t1、t2，由根与系数的关系，得t1+t2=，t1t2=-，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，因为中点M所对应的参数为，将此值代入直线l的参数方程的标准形式中，得M（，）．（2）|AB|=|t2-t1|==．51.（Ⅰ）解：∵动点P到点（，0）的距离比它到直线x=-的距离小2，∴动点P到点（，0）的距离与它到直线x=-的距离相等，∴动点P的轨迹是以点（，0）为焦点的抛物线，∴动点P的轨迹方程为y2=2x；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则直线AB的方程为y=k1（x-2），代入抛物线方程中，得，∴y1+y2=，y1y2=-4直线AC，BD过点Q（1，0），同理可得y1y3=y2y4=-2，∴y3=-，，∴k2===-=2k1，∴=2．52.解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵圆（x-2）2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，∴p=4．∴抛物线的方程为：y2=8x；（Ⅱ）依题意直线AB的方程为y=2x-4设A（x1，y1），D（x2，y2），则，得x2-6x+4=0，∴x1+x2=6，|AD|=x1+x2+p=6+4=10．|AB|+|CD|=|AD|-|CB|=10-4=6．53.解：（Ⅰ）由题意可知设椭圆的标准方程：（a＞b＞0），则a=2，将A2（，）代入，则b=1，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）方法一：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），由⊥，则x1x2+y1y2=0（*），由，消去x，得得（m2+4）y2+2my-3=0，△=16m2+48＞0∴y1+y2=-，y1y2=-，①x1x2=（1+my1）（1+my2）=1+m（y1+y2）+m2y1y2；=1+m×（-）+m2（-），=，②（9分）将①②代入（*）式，得+（-）=0，解得m=±，存在直线l满足条件，且直线l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．方法二：当直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1），与C1的交点为M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，消去y并整理得（1+4k2）x2-8k2x+4（k2-1）=0，于是x1+x2=，x1x2=．①∴y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=k2[-+1]=-．② 由⊥，则•=0，即x1x2+y1y2=0（*），将①②代入③式，得+（-）==0，解得k=±2，∴存在直线l满足条件，且直线l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．54.解：（1）根据题意，点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-3的距离小1，即点M到点F（1，0）的距离与其到直线x=-1的距离相等，则点M的轨迹为抛物线，且其焦点为F（1，0），准线为x=-1，则其轨迹方程为y2=4x；…（6分）（2）①联立直线x=my+1与抛物线的方程，可得y2-4my-4=0，∴y1•y2=-4，x1•x2=1 …（9分）②设D（-1，y2），则k AO-k OD===0，所以A、O、D三点共线．…（12分）55.解：（Ⅰ）法一：抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为，由已知…（2分）解得P=2或P=-14∵P＞0，∴P=2∴E的方程为y2=4x．…（4分）法二：抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线方程为，由抛物线的定义可知解得p=2∴E的方程为y2=4x．…（4分）（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F（1，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则…（6分）两式相减．整理得∵线段AB中点的纵坐标为-1∴直线l的斜率…（10分）直线l的方程为y-0=-2（x-1）即2x+y-2=0…（12分）法二：由（1）得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F（1，0）设直线l的方程为x=my+1由消去x，得y2-4my-4=0设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB中点的纵坐标为-1∴解得…（10分）直线l的方程为即2x+y-2=0…（12分）56.解：（1）因为抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，-2），则抛物线的焦点在y的负半轴上，∴可设它的标准方程为：x2=-2py（p＞0），又因为点M在抛物线上，则3=-2p×（-2），解得：p=，∴椭圆的标准方程：x2=-y；（2）将直线方程代入抛物线方程：，整理得2x2+x+m=0，则△=b2-4ac=3-8m＞0，解得：m＜，m的取值范围（-∞，）．57.解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（p，0），又焦点在直线2x-y-4=0上，∴2p-0-4=0，解得p=2，（2）由题意知双曲线标准方程为：+=1，（a，b＞0）．∴=，=，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，∴所求双曲线标准方程为-=158.解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．设抛物线方程为y2=4cx，∵抛物线过点，6=4c•．∴c=1，故抛物线方程为y2=4x．又双曲线过，∴=1．又a2+b2=c2=1，∴a2=或a2=9（舍）．∴b2=，故双曲线方程为：4x2-=1．59.解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），∵⊙F被l所截得的弦长为，∴圆的半径为=3，∴⊙F的方程为（x-1）2+y2=9，与y2=4x联立可得A（2，2），B（2，-2），∴|AB|=4；（Ⅱ）（x-1）2+y2=9，令y=0，可得P（4，0），∵A（2，2），∴直线PA与C的交点个数为2．60.解：（Ⅰ）设动点M（x，y），由抛物线定义可知点M的轨迹E是以N（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为y2=4x．（Ⅱ）点N在以PA为直径的圆C上．理由：由题意可设直线l'：x=my+n，由可得y2-4my-4n=0（*），因为直线l'与曲线E有唯一公共点A，所以△=16m2+16n=0，即n=-m2．所以（*）可化简为y2-4my+4m2=0，所以A（m2，2m），令x=-1得，因为n=-m2，所以所以NA⊥NP，所以点N在以PA为直径的圆C上．【解析】1. 解：由题意，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为y=ax2（a＜0），则将（，-h）代入可得a=-，∴该抛物线拱的面积为h×3h+==2h2，故选B．建立坐标系，设抛物线方程为y=ax2（a＜0），将（，-h）代入可得a=-，该抛物线拱的面积为h×3h+，即可得出结论．解决该试题的关键是利用定积分表示出抛物线拱的面积，然后借助于定积分得到结论．2. 解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=-，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．3. 解：A代入抛物线方程可得p=2，∴抛物线方程为y2=4x，F（1，0），∵+=，∴BC经过AF的中点（1，1），设直线方程为x=my+1-m，代入抛物线方程y2=4x，可得y2-4my-4+4m=0，∴4m=2，∴m=，∴直线方程为x=y+，即2x-y-1=0，故选B．A代入抛物线方程可得p=2，可得抛物线的方程，+=，BC经过AF的中点（1，1），设直线方程为x=my+1-m，代入抛物线方程y2=4x，可得y2-4my-4+4m=0，利用韦达定理，求出m，即可得出结论．本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查向量知识，属于中档题．4. 解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），假设直线AN的斜率k存在，设AB方程为：y=k（x-1），，整理得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），∵，则∠NBF=90°，∴（x1-1）（x1+1）+y12=0，∴x12+y12=1，∴x12+4x1-1=0（x1＞0），∴x1=-2+，∵x1x2=1，∴x2=2+，∴|AF|-|BF|=（x2+1）-（x1+1）=4，故选C．设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，分别求得A和B点横坐标，根据抛物线的焦半径公式，即可求得则|AF|-|BF|．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5. 解：如图所示，NF=∵|NF|=2|PF|，∴PM=PF=，由得x P=p∵PM∥NF，∴，∴s△NPT：s△NFT=1：2，∵△PNT的面积为，∴△PNF的面积为3×=9由，得，∵在抛物线y2=2px（p＞0）上，即，解得p=．故选：D由NF|=2|PF|，得x P=p，由，得s△NPT：s△NFT=1：2，由，得，，点P在抛物线y2=2px（p＞0）上，即，解得p．6. 解：如图，点A在第一象限．过A、B分别作抛物线的垂线，垂足分别为D、E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=2|BF|，∴|AD|=|CE|=2|BE|，即B为CE中点，∴|AB|=3|BC|，在R t△ABC中，|AC|=2|BC|，∴直线l的斜率为=2；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为-2，∴直线l的斜率为±2，故选：C．当点A在第一象限，通过抛物线定义及|AF|=2|BF|可知B为CE中点，通过勾股定理可知|AC=2|BC|，进而计算可得结论．本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．7. 解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），过A和B分别做准线的垂线，垂足分别为A′，B′，则直线AB的方程：y=（x-）设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：y2-py-p2=0，则y1+y2=p，y1y2=-p2，设=λ，（-x1，-y1）=（x2-，y2），则-y1=λy2，由=++2=-，∴-λ-+2=-，整理得：λ2-17λ+4=0，解得：λ=4或λ=，当λ=4时，丨AF丨=4丨BF丨，则丨AB丨=5丨BF丨，由抛物线的定义可知：丨BF丨=丨BB′丨，由直线AB的斜率为，则sin∠∠BDB′=，即sin∠BDB′==，∴丨BD丨=丨BB′丨=丨BF丨，丨AD丨=丨AB丨+丨BD丨=，∴的值4，当λ=，4丨AF丨=丨BF丨，则丨AB丨=5丨AF丨，由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AB′丨，由直线AB的斜率为，则sin∠∠ADF′=，即sin∠ADF′==，∴丨AD丨=丨AB′丨=丨AF丨，丨BD丨=丨AB丨+丨AD丨=，∴的值，故选D．设抛物线方程，代入椭圆方程，设=λ，根据向量数量积的坐标运算，即可求得λ的值，分类讨论，根据抛物线的定义及相似性，即可求得丨BD丨及丨AD丨，即可求得的值．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．8. 解：由y2=4x，得F（1，0），设AB所在直线方程为y=k（x-1），联立y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．∵|AB|=，∴2++2=，∵倾斜角为钝角，∴k=-，故选D．由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式得答案．本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．9. 解：由抛物线x2=2py（P＞0）的焦点F（0，），等边三角形的一个顶点位于抛物线x2=2py（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称两个边的斜率k=±tan60°=±，其方程为：y=±x+，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．满足条件的三角形ABC的个数为2，故选C．由题意可知：x2=2py（P＞0）的焦点F（0，），则两个边的斜率k=±tan60°=±，其方程为：y=±x+，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．满足条件的三角形ABC的个数为2，本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性，考查数形结合思想，属于基础题．10. 解：抛物线C：y2=4x的焦过抛物线的焦点，过N做NN′⊥准线x=-1，垂足为N′，由抛物线的定义，丨NN′丨=丨NF丨，由∠N′NM与直线l倾斜角相等，由，则cos∠N′NM==，则tan∠N′NM=±，∴直线l的斜率k=±，故选：C．由题意可知直线l过抛物线的焦点，由∠N′NM与直线l倾斜角相等，根据抛物线的定义即可求得tan∠N′NM，即可求得k的值．本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，考查数形结合思想，属于中档题．11. 解：由题意得F（，0），准线为x=-，设双曲线的一条渐近线为y=x，则点A （，），由抛物线的定义得|PF|等于点A到准线的距离，即=+，∴=1，e==，故选A．求出抛物线的焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义得到=+，利用离心率的定义求得双曲线的离心率．本题考查抛物线的定义和双曲线、抛物线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，利用抛物线的定义得到=+，是解题的关键．12. 解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为A′，B′，过B作AA′的垂线BH，在三角形ABH中，∠BAH等于直线AB的倾斜角，其正切值即为丨k值，由抛物线的定义可知：设|BF|=n，B为AD中点，根据抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AA′丨，丨BF丨=丨BB′丨，丨BB′丨=丨AA′丨，可得2|BF|=|AA′|，即|AF|=2|BF|，∴|AF|=2n，|AA′|=2n，|BF|=n，∴|AH|=n，在直角三角形ABH中，tan∠BAH===2，则直线l的斜率k=2；同理求得：直线l的斜率k=-2；故选：D．在三角形ABH中，∠BAH等于直线AB的倾斜角，其正切值即为k值，利用在直角三角形ABN中，tan∠BAH=，从而得出直线AB的斜率．本题主要考察了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题，属于中档题．13. 解：双曲线的右焦点为（5，0）由题意，设抛物线方程为y2=2px（p＞0）∵抛物线的焦点为双曲线的右焦点∴∴p=10所以抛物线方程为y2=20x故选D．先求双曲线的焦点坐标，再假设抛物线的方程，利用抛物线的焦点为双曲线的右焦点，可求抛物线方程．本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的焦点坐标，考查待定系数法求抛物线的标准方程，属于基础题．14. 解：依题意知抛物线的准线x=-2，代入双曲线方程得y=±•，不妨设A（-2，）．∵△FAB是等腰直角三角形，∴=p=4，求得a=，∴双曲线的离心率为e====3，故选：A．先求解准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为4，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB 为等腰直角三角形，属于中档题．15. 解：由y2=4x，则焦点F（1，0），设AB所在直线方程为y=k（x-1），联立y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+，∵|AB|=，∴2++2=，解得：k=±，∵倾斜角为钝角，∴k=-，故选D．由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式得答案．本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是。

抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（ ）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为 抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴 上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（ ）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（ ）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（ ）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（ ）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（ ）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（ ）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（ ）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（ ）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（ ）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（ ）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（ ）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（ ）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。

专题41抛物线基础巩固检测题(解析版)一、单选题1.过抛物线十=4》的焦点F 的直线交抛物线于AB 两点，若F 是线段AB 的中点,则 |AB |=()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【分析】依据题意可知线段AB 为抛物线的通径可得结果. 【详解】由题可知：线段为抛物线的通径 所以|AB| = 4 故选：D2. F 为抛物线y2=2px(p>0)上一点，点尸到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,则P=()【答案】D 【分析】由抛物线：/=2px(p>0)可得准线/的方程为：x = --|,设点P(x,y),再由点尸到 抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,可得x + ^ = 10, y = ±6,再与抛物线方 2 程y2=2px(p 〉0),联立解方程组，即可求解.【详解】 解：由题意可得：抛物线V=2px(p>0)的准线/的方程为：x =-宣设点P(x, y),又因点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6, 即。

的值分别为18或2.故选：D. 【点睛】B. 4C. 4 或9D. 2或18所以有， 》+农102y = ±6 ,解得＜y 2 =2 pxx = l 、或＜ [p = 18|x = 9[P = 2‘A. 2本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题.3.已知抛物线方程为必=4>,则该抛物线的焦点坐标为( )A. (0,-1)B. ^-―C.D. (0,1)【答案】D【分析】根据抛物线方程求出。

=2，即可得抛物线的焦点坐标.【详解】由抛物线方程x2=4y可知2p = 4,所以p = 2,又抛物线的焦点在V轴正半轴上，所以该抛物线的焦点坐标为(0,1).故选：D4.已知抛物线C:x2=2py(p〉0)的焦点在直线x+y-1 = 0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60。

的直线交抛物线C于A、8两点，则|仙|=( )A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】C【分析】直线x+y-l =。

(1)若1l 过抛物线C 的焦点，且垂直于(2)若直线1l 的斜率k ∈2MN MQ =，且MNQ △【答案】(1)22y x =1(1)若B为线段AC的中点，求直线(2)若正方形DFMN的边长为实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出【答案】(1)22；λ=，理由见解析(2)存在2（1）由已知可得DN为抛物线的准线．（2）λ=，使得k1＋k2＝λk3，理由如下：存在2(1)若抛物线2C的焦点正好为椭圆1C的上顶点，求(2)椭圆1C与抛物线2C在第一象限的交点为于点Q，交抛物线2C于点M（Q，M值，并求当p取最大时直线l的斜率．(1)证明：以DE为直径的圆经过点(1)求点P的纵坐标的取值范围；(2)设D是抛物线2Γ上一点，且位于椭圆PCD的面积存在最大值．【答案】(1)3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；32⎛⎫(1)当k 取不同数值时，求直线l 与抛物线公共点的个数；(2)若直线l 与抛物线相交于A 、B (3)在x 轴上是否存在这样的定点均能使得MA MB k k ⋅为定值，若有，找出满足条件的点【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)存在，()0,0M （1）420240x y x y -+-=+-=(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：1x 、0x 、2x 成等差数列，(3)若A ，F ，B 三点共线，求出动点【答案】(1)焦点坐标为()0,1F ，准线方程为(2)证明见解析(3)1y =-，4（1）(1)抛物线的标准方程为24x y =,于是焦点坐标为(1)若抛物线2C 的焦点恰为椭圆1C (2)若椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为交抛物线2C 于M ，且AM MB =，求【答案】(1)28y x =(2)p 的最大值为3540，此时直线(1)求抛物线的方程；(2)若||||AB CD =，求凹四边形OEBC 面积的最小值．【答案】(1)24y x =(2)324+①若0m ≤，2(22)S m =++②若0m >，((21)2S m ⎡=+⎢⎣综上所述，凹四边形OEBC 面积的最小值是。

抛物线y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x22py ( p0)( p0)( p0)( p0)y y yyl l lFOx O F x F O xO x Fl定义范围对称性焦点极点离心率准线方程极点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A( x1 , y1 )焦点弦长AB 平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。

{ M MF =点 M到直线 l 的距离 }x 0, y R x 0, y R x R, y 0x R, y0对于 x 轴对称对于 y 轴对称(p,0)(p,0)(0,p)(0,p ) 2222焦点在对称轴上O (0,0)e=1pxp p p x y2y222准线与焦点位于极点双侧且到极点的距离相等。

p2ppAFp pAFp AF x1x1AF y1y1 2222( x1x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 )p ( x1x2 )pyA x1 , y1o FxB x2 , y2焦点弦AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线l相切A(x1, y1 ) 2 p 2 p若 AB 的倾斜角为若 AB 的倾斜角为，则 AB，则 ABB(x2 , y2 )sin 2cos2p22x1x2y1 y2p4切线方程11AF BF AB2AF BF AF ? BF AF ? BF py0 y p( x x0 )y0 y p( x x0 )x0 x p( y y0 )x0 x p( y y0 )一．直线与抛物线的地点关系直线，抛物线，，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k≠ 0 时，＞0，直线 l 与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线 l 与抛物线相切，一个切点；＜ 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不必定）二．对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线 l ：y kx b抛物线， ( p0)①联立方程法：y kx bk2 x22(kb p)x b20y2 2 px设交点坐标为(,y1), B( x2 , y2 ) ，则有0, 以及 x1x2 , x1 x2，还可进一步求出A x1y1 y2kx1 b kx2 b k (x1x2 ) 2b，y1 y2( kx1b)(kx2b) k 2 x1 x2kb( x1x2 ) b2在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方1.订交弦 AB的弦长AB 1 k 2 x1x2 1 k 2(x1x2 )24x1x2 1 k 2a或1121 k 2AB1k 2 y1y21k 2( y1y2 ) 4 y1 y2ab. 中点M (x0, y0) , x0x1x2，y0y1y222②点差法：设交点坐标为 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，代入抛物线方程，得y12 2 px1y22 2 px2将两式相减，可得( y1y2 )( y1y2 ) 2 p(x1 x2 )y1y2 2 px1x2 y1 y2a.在波及斜率问题时，k AB 2 py1y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ，y1y2 2 p2p p ，x1x2y1 y2 2 y0y0即 k AB p ，y0同理，对于抛物线x 22(p0)，若直线 l 与抛物线订交于A、, y0 ) py B 两点，点M ( x0是弦 AB 的中点，则有 k AB x1 x22x0x0 2 p 2 p p（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上，那么点P 到点 Q （ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和获得最小值时，点P 的坐标为。

专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p =.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2＝4yB ．y 2＝4xC ．x 2＝8yD ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D.4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ）A.216y x =- B.28y x=- C.216y x= D.24y x=【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴．而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-，则42p=，即8p =．故抛物线的方程为216y x =．故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______.【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥=故答案为：32．8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=，所以12126,1x x x x +==，所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ，所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=，故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________.【答案】答案见解析 答案见解析【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值.【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能，当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >），此时准线方程为2p y =，由抛物线定义知(3)52p--=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y =-，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax =（0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =；92m =-，22y x =-；12m =，218y x =；12m =-，218y x =-；m =±28x y =-.故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y =-.10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-=【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()3.3FC =-- ，由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC=又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC = g g ，整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-，所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=o ，则FM 等于（ ）A ．2BC．D ．4【答案】D 【分析】练提升设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a = ，可得1cos ,2FM a <>= ，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求得FM 的值.【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则21cos ,2FM a <= ，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x =+=.故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A.B.D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠= ，所以||4,||2QF QM m ==，所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=，所以03x =，0y =，所以sin sin NP MNF NFP NF ∠=∠===所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--，即20x y +-=，故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x 由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ，同理2=CD x ，所以12cos 01︒⋅=⋅⋅== AB CD AB CD x x .故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x =C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误.【详解】双曲线2C 的离心率为2e =，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误；由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确；抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确．故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -=C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m+=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ．【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错；对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =，易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果.【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+，易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值，所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，)a b +，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)a b +=，即MN AB的最大值为9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭．过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+．再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=，∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--，所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+p =（ ）A ．1B ．2C．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d 解得：2p =(6p =-舍去).故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D|AB ．则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±,不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ = ，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=-u u u r 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅= 2602p p ⨯-=,0,3p p >∴=Q ，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．（2020·山东海南省高考真题）C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =-代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-=解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y m λλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩，012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142, 22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-+222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤，所以，p，此时A .法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m x m+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…，所以当m t ==时，p .。

目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11抛物线大题专练（一）1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．3．如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．5．已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．6．已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．7．已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．8．抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．抛物线大题专练（二）10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．11．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．12．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．13．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．14．如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）当直线过点M（p，0）时，证明y1．y2为定值；（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l′交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．16．（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．17．（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．19．（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．20．（2014•江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．抛物线大题专练（三）21．（2014•杭州二模）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．22．（2014•包头一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．23．（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．24．（2014•长沙二模）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．25．（2015•上海模拟）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．26．（2014•乌鲁木齐三模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点过F，过H（﹣，0）引直线l交此抛物线于A，B两点．（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；（2）若p=2，点M在抛物线上，且+=t，求t的取值范围．27．（2014•太原二模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l1与抛物线交于不同的两点A、B，直线l2与抛物线交于不同的两点C、D．（Ⅰ）当l1过F时，在l1上取不同于F的点P，使得=，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若l1与l2相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|•|QB|=a|QC|•|QD|，求实数a的值．28．（2014•合肥一模）已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny﹣m=0（m，n为常数且m≠0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）O为抛物线的顶点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：为定值．29．（2014•呼和浩特一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当圆E的面积最小时，求E的方程．30．（2014•普陀区一模）已知点P（2，0），点Q在曲线C：y2=2x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．抛物线大题专练参考答案与试题解析1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1，与抛物线方程联立，求出k的范围，利用，即可求出点A的纵坐标y1的取值范围．解答：解：（1）由定义得，则抛物线C的方程：x2=y（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1联立方程得x2﹣kx+k﹣1=0，A（k﹣1，（k﹣1）2），△1＞0即k≠2同理B（﹣k﹣1，（﹣k﹣1）2），△2＞0即k≠﹣2，令，则所以k＞2或，所以点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（2015•淮安一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．解答：解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．所以，故的为定值2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．（2014•九江三模）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）利用•+•=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线l1、l2的方程．解答：解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．4．（2014•浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=，可得b=﹣2p﹣2mp，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，∴直线x=2p与抛物线y2=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，﹣2p），∴三角形ABO是Rt△，∴过A，B，O三点的圆方程是：（x﹣2p）2+y2=4p2；（Ⅱ）设点，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，由方程组消去x可得y2﹣2mpy﹣2pb=0，故y1+y2=2mp，y1y2=﹣2pb，这样，tan==即1=，所以b=﹣2p﹣2mp，∴直线AB的方程可以写成为：x=my﹣2p﹣2mp，即x+2p=m（y﹣2p），∴直线AB过定点（﹣2p，2p）．点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．5．（2014•广州二模）已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，可求a的值；（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定S，T的坐标，根据|ST|=2，即可求直线l1的方程；（3）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标．解答：解：（1）∵点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，∴a=4．…（1分）（2）由（1）得抛物线E的方程为x2=4y．设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，，y=kx+1代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4=0，解得．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．…（2分）直线AB的斜率，故直线AB的方程为．…（3分）令y=﹣1，得，∴点S的坐标为．…（4分）同理可得点T的坐标为．…（5分）∴=．…（6分）∵，∴．由，得20k2=16k2+16，解得k=2，或k=﹣2，…（7分）∴直线l1的方程为y=2x+1，或y=﹣2x+1．…（9分）（3）设线段ST的中点坐标为（x0，﹣1），则=．…（10分）而|ST|2=，…（11分）∴以线段ST为直径的圆的方程为=．展开得．…（12分）令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=﹣3．…（13分）∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，﹣3）．…（14分）点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2015•兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．解答：解：①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴又得，∴所以依题意，∴p=4∴抛物线方程为y2=8x﹣﹣﹣﹣（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y2=8x②当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：∴=﹣﹣﹣﹣（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为∵，∴△ABS面积的最大值为．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（2015•路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得﹣1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=，得S△AOB=|AB|d=4．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）联立得：y2+8y﹣8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0==﹣4．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y1|=4，又|AB|==．所以|AB|=2r，即=8，解得b=﹣．所以x0==2b+8=，所以圆心为（，﹣4）．故所求圆的方程为（x﹣）2+（y+4）2=16．．（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，∴b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞﹣2，∴﹣2＜b＜0，直线l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，g′（b）=3b2+4b=3b（b+），∴g（b）在（﹣2，﹣）增函数，在（﹣，0）是减函数，∴g（b）的最大值为g（﹣）=．∴当b=﹣时，△AOB的面积取得最大值．点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．8．（2015•大庆二模）抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；（Ⅱ）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线CD的斜率．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆N：+y2=1，∴c2=a2﹣b2=﹣1=，∴椭圆的左焦点为F1（﹣，0），∴﹣=﹣，则p=1．故M：y2=2x；（Ⅱ）由题意知，A（a，2a），∵|OA|=t，∴a2+2a=t2．由于t＞0，故有t=①由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为+=1．又∵A在直线BC上，故有+=1．将①代入上式，得：+=1，解得c=a+2+．又∵D（a+2，2），∴直线CD的斜率为：k CD====﹣1．点评：本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题．9．（2015•黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1．设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），通过换元，令t=∈[，]，即可得出|+|2的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆C过点（1，），∴，又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2．故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1…（5分）（Ⅱ）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky﹣1=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将①2÷②得+2=﹣⇒λ++2=…（8分）由λ∈[﹣2，﹣1]得﹣≤λ++2≤0⇒﹣≤≤0，0≤k2≤…（9分）=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），+=（x1+x2﹣4，y1+y2）x1+x2﹣4=k（y1+y2）﹣2=﹣，|+|=+==16﹣+令t=∈[，]，|+|2=8t2﹣28t+16∴t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2，进而求出x1x2，根据向量数量积运算公式，可得•的值与k1无关；（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=﹣4，同理可得y2y4=﹣4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．解答：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2（m≠0）．…（1分）将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4my﹣8=0．…（2分）从而y1y2=﹣8，于是，…（3分）∴与k 1无关．…（5分）（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4）．则．…（8分）设直线AM的方程为x=ny+1（n≠0），将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4ny﹣4=0∴y1y3=﹣4．同理可得y2y4=﹣4．…（10分）故，…（11分）由（Ⅰ）知，y1y2=﹣8，∴为定值．…（12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．11．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x 1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9．由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=．则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．12．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由（1）得，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=16（1+m2），|AB|2=（y1﹣y2）2+（x1﹣x2）2=（y1﹣y2）2+（）2=y1﹣y2）2[1+（）2]=16（1+m2）2，即有|AB|=4（1+m2），由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|﹣|CD|=|AB|﹣|CD|，又CD为圆x2+y2﹣2x=0的直径，即有|CD|=2，则4（1+m2）=6，解得，m=，则直线l的方程是x+y﹣=0或x﹣y﹣=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•衡水模拟）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．（2015•郴州二模）如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r====|O1O2|，即可证明；（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4=0，可得根与系数的关系，由x2=4y，可得．可得k MA•k MB==﹣1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3﹣（﹣1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程．（3）假设存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，设=λ，可得，，设C（x3，y3），D （x4，y4）．利用向量的坐标运算可得x1=﹣λx2，x4=﹣λx3．把x1=﹣λx2代入根与系数的关系可得．把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k2+6）x2+6kx﹣1=0，把根与系数的关系与x4=﹣λx3联立可得，联立解得即可．解答：（1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．则r====|O1O2|，∴r=|O1O2|，∴以AF为直径的圆与x轴相切；（2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．。

精选 27 抛物线（解答题）1．利用根与系数关系法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 x1, y1 , x2, y2 ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x（或 y ）的一元二次方程，必要时计算 ；（3）列出根与系数关系；（4）将所求问题或题中的关系转化为关于 x1 x2, x1x2 （或 y1 y2, y1y2 的形式)；（5）代入根与系数关系求解． 2．定点问题的常见解法：（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参 数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．1．已知 F 是抛物线 C ：y2 2px p 0 的焦点，M 3,t 是抛物线上一点，且 MF 4．（1）求抛物线 C 的方程；（2）直线 l 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，若 OAOB 4（ O 为坐标原点），则直线 l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．【答案】（1） y2 4x ；（2）直线 l 会过定点；定点为 2, 0 ．【解析】（1）由 y2 2 px 可知抛物线的准线方程为 x p ， 2因为| MF | 4 ，根据抛物线的定义可知 3 ( p ) 4 ，所以 p 2 ， 2所以抛物线 C 的方程为 y2 4x ．（2）设 A x1, y1, B x2, y2 ，直线 l : x ny m ，联立x ny y24xm，消去x并整理得y24ny4m0 ，所以y1y24ny1y2 4m ，所以 x1x2 (ny1 m)(ny2 m) n2 y1y2 mn(y1 y2 ) m2由 OAOB 4 得 x1x2 y1y2 4 ，所以 n2 y1y2 mn(y1 y2 ) m2 y1y2 4， 所以 n2 1 y1 y2 mn y1 y2 m2 4 0 ，所以 4m(n2 1) 4mn2 m2 4 0，所以 m2 4m 4 0 ，m 2 l : x ny 2 ，恒过 2, 0 ．2．已知直线 y 2x mm 0 与抛物线 y2 4x 交于 A、B 两点，（1）若 OA OB ，求 m 的值；（2）以AB为边作矩形ABCD，若矩形ABCD的外接圆圆心为 1 2,2 ，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）-8；（2）30．【解析】（1） y 2x m 与 y2 4x 联立得 y2 2y 2m 0由0得m1 2，设A x1,y1 ,B x2 ,y2 ，则y1y22,y1y22m因为 OA OB ，所以 OAOB 0 所以 0 x1x2 y1y2 y1 y2 162 y1y2 ，所以 y1y2 16 所以 2m 16 m 8 ，满足题意．（2）设弦 AB 的中点为 M，则 yMy1 2y2 1 ，xMyM m 21 m 2，设圆心T 1 2,2 因为TM AB所以12 1 1 m21所以 m 4 ，22则M 5 2,1，所以MT5 ，所以 CB 2 5所以 y1 y2 y1 y2 2 4y1y2 4 8m 6 所以 AB 1 1 22 y1 y235所以面积为 AB CD 30 ．3．设抛物线 C ：y2 2 px（ p 0）的焦点为 F ，点 P4, m 是抛物线 C 上一点，且 PF 5 ．（1）求抛物线 C 的方程；（2）设直线 l 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，若 AF BF 6 ，求证：线段 AB 的垂直平分线过定点．【答案】（1） y2 4x ；（2）证明见解析． 【解析】（1）由抛物线的焦半径公式可得 PF 5 4 p ，解得 p 22即抛物线 C 的方程为 y2 4x ；（2）当直线 l 的斜率存在时，设 l : y kx m ， A x1, y1, B x2, y2 ，y2 4x 由可得 k2x2 2km 4 x m2 0 ， y kx m所以 k0，2km 424k 2m20，即 km1，x1x24 2km k2，因为AFBF 6 ，所以 x1 x2 2 6 ，所以 x1 x24 2km k24m2 2k k所以线段 AB 的中点坐标为 2,2k m ，所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y 2k m 1 x 2，k即 y 1 x 2 2k m 1 x 4 1 x 4 ，所以过定点 4, 0 ，kkkk k当直线 l 的斜率不存在时也满足.综上：线段 AB 的垂直平分线过定点 4, 0 ．4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(-2，1)，P 是动点，且 kOP kOA kPA. （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过 A 作斜率为 1 的直线与轨迹 C 相交于点 B，点 T(0，t)(t>0)，直线 AT 与 BT 分别交轨迹 C 于点 A1B1, 设直线 A1B1 的斜率为 k，是否存在常数 λ，使得 t=λk，若存在，求出 λ 值，若不存在，请说明理由．【答案】（1） x2 4y ；（2）存在 3 满足条件．【解析】（1）设 P(x, y)，由题意可得 kOPy x， kOA1 2，kPAy 1 x2，而 kOP kOAkPA．所以y x1 2y 1 x2，整理可得 x2 4y ，所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2 4y ；（2）由题意直线 AB 的方程为 y 1 x 2 ，即 y x 3 ，代入曲线 C 中可得 x2 4x 12 0 ，解得 x 6 或 x 2 ，所以可得 B(6,9) ，直线 AT 的方程为 y t 1 x t ，代入抛物线的方程： x2 2(t 1)x t 0， 2所以，所以，所以，所以 ，，直线 的方程为，与抛物线联立，所以，所以，，所以，，由题意可得，所以，由题意，所以 3 ．所以存在 3 满足条件．5．已知抛物线 y2=2px(p>0)上的点 T(3，t)到焦点 F 的距离为 4． （1）求 t，p 的值； （2）设抛物线的准线与 x 轴的交点为 M，是否存在过点 M 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点(点 B 在点 A 的右侧)，使得直线 AF 与直线 OB 垂直？若存在，求出△AFB 的面积，若不存在， 请说明理由．【答案】（1），p=2；（2）存在，△AFB 的面积 ．【解析】（1）由题意及抛物线的定义得，则 p=2，所以抛物线的方程为 y2 4x ，因为点 T 在抛物线上，故，解得．（2）由（1）易得 M(-1，0)，F(1，0)． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设存在直线 l 满足题意，设其方程为 x=my-1(m≠0)，将其代入 y2 4x 得，由 Δ=16m2-16>0，得 m>1 或 m<-1．又直线 AF 与直线 OB 垂直，易知直线 AF 与直线 OB 的斜率都存在，所以 kAF·kOB=-1，即，所以，解得．又，解得所以满足条件的直线 l 的方程为此时，满足 Δ>0， ． ，，又点 F 到直线 l 的距离，所以△AFB 的面积．6．已知抛物线 C : y2 2 px 的焦点为 F 1,0，斜率为 k 的直线 l1 过点 P0, mm 0 ，直线 l1 与抛物线 C 相交于 A ， B 两点．（1）求抛物线 C 的方程；（2）直线 l2 过点 P0, mm 0 ，且倾斜角与 l1 互补，直线 l2 与抛物线 C 交于 M ， N 两点，且 FAB 与 FMN 的面积相等，求实数 m 的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，抛物线 C : y2 2 px 的焦点为 F 1, 0，可得，解得 p 2 ，所以抛物线的方程为．（2）根据题意，令，，联立方程组，整理得，可得，所以，，用 代 ，可得 所以，，化简得，又由，可得，所以，解得，又由、构成直线 l1 、 l2 不过点，即，所以实数 m 的取值范围．7．已知点 F 1, 0，直线 l : x 1， M 为直角坐标平面上的动点，过动点 M 作 l 的垂线，垂足为点 Q ，且满足 QF (MQ MF) 0 ，记 M 的轨迹为 C ．（1）求 C 的方程；（2）若过 F 的直线与曲线 C 交于 P ，Q 两点，直线 OP ，OQ 与直线 x 1 分别交于 A ，B两点，试判断以 AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1） y2 4x ；（2）是，和．【解析】（1）设， 点 F 1,0，直线 l : x 1，，因为．， C 的方程为 y2 4x ．（2）设直线 PQ 的方程为，，，联立，整理得，，，，直线 OP 的方程为，同理：直线 OQ 的方程为，令 x 1 得，，，设 AB 中点 的坐标为，则，，所以．．圆的半径为．所以以 AB 为直径的圆的方程为．展开可得，令，可得，解得 或．从而以 AB 为直径的圆经过定点和．8．已知曲线 C 在 y 轴的右侧， C 上每一点到点 F 1, 0的距离减去到 y 轴的距离差都是 1．（1）求曲线 C 的方程； （2）若直线 m 过原点，直线 l 与 m 垂直相交于点 P ，l 与曲线 C 相交于 A, B 两点，| OP |1，AP PB 1 ，问这样的直线 l 是否存在？若存在，求出该直线 l 的方程，不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在；直线或．【解析】（1）由 C 上每一点到点的距离减去到 y 轴的距离差都是 1 知C 上每一点到点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义知 C 的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为 y2 4x ，又 C 在 y 轴的右侧，故，所以；（2）设这样的直线 l 存在，当 l 不存在斜率时，直线 m 为 x 轴，由| OP |1，程为 ，此时，，，不符合题目条件．当 l 存在斜率时，设其方程为，知l 方由| OP |1知 O 到 l 距离为 1，所以，所以①将代入有：，令，，则：，又| OP |1， AP PB 1 ，，所以，所以所以所以，所以 ，，所以，所以，②联立①②解得或，综上所述，存在直线或满足条件．9．已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，过点 P2,0 的直线交抛物线 C 于 A x1, y1 和 B x2, y2 两点．（1）当 x1 x2 4 时，求直线 AB 的方程； （2）若过点 P 且垂直于直线 AB 的直线 l 与抛物线 C 交于 C, D 两点，记 ABF 与 CDF 的面积分别为 S1, S2 ，求 S1S2 的最小值．【答案】（1）；（2）12．【解析】 （1）由直线 AB 过定点 P2,0 ，可设直线方程为．联立消去 x ，得，由根与系数关系得，所以．因为 x1 x2 4 ．所以，解得．所以直线 AB 的方程为．（2）由（1），知 ABF 的面积为因为直线 与直线 AB 垂直，且当时，直线 AB 的方程为，则此时直线 l 的方程为但此时直线 l 与抛物线 C 没有两个交点，所以不符合题意，所以．因此，直线 的方程为． ， ．同理， CDF 的面积．所以，当且仅当，即，亦即时等号成立．10．已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 经过点 (2, 2 2).（1）求抛物线 C 的方程及其相应准线方程； （2）过点 E(2, 0) 作斜率为 k1, k2 的两条直线分别交抛物线于 M , N 和 P,Q 四点，其中k1 k2 1．设线段 MN 和 PQ 的中点分别为 A, B, 过点 E 作 ED AB, 垂足为 D. 证明：存在定点T , 使得线段TD 长度为定值．【答案】（1） y2 4x ；准线；（2）存在，【解析】（1）将点代入抛物线 C : y2 2 px( p 0) ，可得，解得 p 2 ，所以抛物线方程： y2 4x ，准线．（2）由题意可得直线 MN ：，直线 PQ ：，联立，整理可得，设，，则，，所以，同理，，设， AB ：，：，联立，解得，，整理可得，即，所以点 D 的轨迹是个圆，故 的坐标为，线段TD 长度为定值．11．已知抛物线 Ci y2 2 px( p 0) 过点 1,1 ，（1）求物线 C 的方程； （2） O 为坐标原点，A､B 为抛物线 C 上异于原点 O 的不同两点，直线 OA,OB 的斜率分别为 k1, k2 ，若 k1k2 2 ，求证：直线 AB 过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）因为抛物线 Ci y2 2 px( p 0) 过点 1,1 ，所以，解得，所以抛物线 C 的方程为．（2）设点 A ､ B 的坐标分别为，所以，由题意有，得，①当直线 AB 的斜率不存在时，此时，直线 AB 的方程为，②当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为，联立方程，消去 后整理为，可得，得，直线 AB 的方程为，可化为，由①②知直线 AB 过定点．12．已知抛物线 C : x2 2 py （ p 0 ）的焦点为 F ，且经过点 P(2,1) ．（1）求抛物线 C 的方程，及其准线方程；（2）设直线 l 过点 (0, 2) ，且与抛物线 C 交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，若 OAB 的面积为 8，求直线 l 的方程；（3）过点 (2, 0) 的直线 m 与抛物线 C 交于不同的两点 M 、N ，若 FM FN 0 ，求直线 m的斜率的取值范围．【答案】（1）， y 1；（2）；（3）．【解析】（1）由已知可知， 抛物线方程，准线方程 y 1；（2）设 A x1, y1, B x2, y2 ，设直线 l 的方程与抛物线方程联立，，得，，解得，所以直线方程为（2）设直线方程，， ；，得，，解得，且，，，，，解得或综上可知或，因为，所以直线 m 的斜率的取值范围是 13．已知抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的焦点到直线 l : y x 的距离为 2 ．8（1）求抛物线 C 的方程；（2）如图，若N 1 2,0 ，直线l与抛物线C相交于A, B 两点，与直线 l相交于点 M，且 | AM || MB | ，求 ABN 面积的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的焦点坐标为，焦点到直线 l : y x 的距离为 2 ，8抛物线 C 的方程为．（2）由题意可设，直线将直线 l 的方程代入抛物线的方程，消去 y ，得．， ．直线 l 与抛物线 C 相交于 A, B 两点，设 A x1, y1, B x2, y2 ，则．是线段 AB 的中点，． ，代入，解得．又，，，或．直线 l 的方程为．点 N 到直线 AB 的距离，又，．令，则， ．或，，，即．面积的取值范围为．14．如图，已知点 P(4, 4) 在抛物线 M : y2 2 px( p 0) 上，过点 P 作三条直线 PA, PB, PC ， 与抛物线 M 分别交于点 A, B,C ，与 x 轴分别交于点 D, E,G ，且| DE || EG | ．（1）求抛物线 M 的方程；（2）1 设直线 PA, PC 斜率分别为 k1, k2 ，若 k11 k2 1，求直线 PB 的方程；（3）设PBC，四边形PABC面积分别为S1, S2 ，在（2）的条件下，求S1 S2的取值范围．【答案】（1） y2 4x ；（2）；．【解析】（1）由题知，抛物线 M : y2 2 px( p 0) 上有一点 P(4, 4) ，，即抛物线 M 的方程为 y2 4x ；（2）设其中 ，则所以由题意，，即，E(2, 0) ， 直线方程为， ；（3）由（2）知， E(2, 0)则 方程为，即， ，由，得，，即，而 方程为，即，同理可得，点 A 到直线 PB 的距离为，点 C 到直线 PB 的距离为，记，设过点 P 的抛物线 M 的切线 l 为由，得，，由 ，得，所以切线方程为，令，得，所以要使过 P 点的直线与抛物线有两个交点，则有，．15．已知抛物线 C 的顶点在原点 O ，准线为 x 1 ．2（1）求抛物线 C 的标准方程； （2）点 A ， B 在 C 上，且 OA OB ，OD AB ，垂足为 D ，直线 OD 另交 C 于 E ，当 四边形 OAEB 面积最小时，求直线 AB 的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设抛物线 C 的标准方程为 y2 2px p 0 ，由抛物线的准线方程为 x 1 ，可得 2，解得，故抛物线 C 的标准方程为．（2）先证直线 AB 过定点 2, 0 ．设直线 AB 的方程为，，，由 OA OB ，可得，所以，可得，解得，联立方程组，整理得，可得，所以，解得，故直线 AB 过定点 2, 0 ．由已知再设直线 AB 的方程为，则直线 OD 的方程为 y 1 x ， k联立方程组，可得，解得，所以，所以 联立方程组， ，整理得，所以，又由，所以所以设，则，由，，易知 在递减，在上递增，因此在取最小值，从而面积取得最小值，此时，故直线 AB 的方程为．16．给定抛物线 C : y2 4x ， F 是抛物线 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A ､ B 两 点， O 为坐标原点． （1）设 l 的斜率为 1，求以 AB 为直径的圆的方程； （2）设 FA 2 BF ，求直线 l 的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，得，直线 l 的方程为．代入抛物线方程 y2 4x ，得，设 A ， B 两点坐标为 ， ， ， ， AB 中点 M 的坐标为 ， ，因为 ，所以，，且所以圆心为，由抛物线定义，得（其中．所以以 AB 为直径的圆的方程为；（2）因为，三点 A ， F ， B 共线且点 A ， B 在点 F 两侧，所以设 A ，B 两点坐标为 ， ， ， ，则，，，，所以①，设直线 AB 的方程为或 （不符合题意，舍去）．代入抛物线方程 y2 4x ，得，因为直线 l 与 C 相交于 A ， B 两点，所以 k 0 ， ，，，②由①②，得方程组，故直线 l 的方程为．17．已知曲线 C 上的动点 M 到 y 轴的距离比到点 F (1，0)的距离小 1， （1）求曲线 C 的方程；（2）过 F 作弦 PQ、RS ，设 PQ、RS 的中点分别为 A、B ，若 PQ RS 0 ，求| AB | 最小时，弦 PQ、RS 所在直线的方程；（3）在（2）条件下，是否存在一定点T ，使得 AF TB FT ？若存在，求出 T 的坐标，若不存在，试说明理由．【答案】（1） y2 4x ；（2）或；（3）存在，T (3，0)．【解析】（1）因为曲线 C 上的动点 M 到 y 轴的距离比到点 F (1，0)的距离小 1，所以 M 到的距离等于到直线的距离，所以曲线 C 是以 F 为焦点、直线为准线的抛物线，所以抛物线的方程为 y2 4x ．（2）设，代入 y2 4x 得：，由根与系数关系得，，，，，只要将 A 点坐标中的 k 换成 ，得，，（当且仅当 k 1 时取“=”）所以，| AB | 最小时，弦 PQ、RS 所在直线的方程为，即或．（3），即三点共线，是否存在一定点T ，使得 AF TB FT ，即探求直线 AB 是否过定点 ，由（2）知，直线 AB 的方程为即， 直线 AB 过定点(3，0)，故存在一定点T (3，0)，使得18．已知圆 C ： x2 y 12 r2 r 1 ，设 A 为圆 C 与 y 轴负半轴的交点，过点 A 作圆C 的弦 AM ，并使弦 AM 的中点 B 恰好落在 x 轴上，点 M 的轨迹为曲线 E ．设 Q 为直线y 1上的动点， F 0,1．（1）求曲线 E 的方程；（2）过点 Q 作曲线 E 的切线，切点分别为 D ， G ，证明： FQ DG ；（3）求 QDG 面积的最小值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）4．【解析】（1）设，由题知 AM 的中点，，则，，由圆的性质知，所以，即，所以曲线 E 的方程为（2）设，，，焦点 F 0,1，求导得，则切线 的方程为．，又，所以切线 的方程为，同理，切线 的方程为，又两切线都过点，所以，则直线 的方程为，由消y得，故，则，则，，所以，所以 FQ DG ．（3）由（2）知，直线 恒过焦点 F 0,1， FQ DG ，由抛物线定义得，，所以 QDG 的面积：，当时， QDG 面积取得最小值 4．19．已知抛物线 C 的顶点在原点，对称轴是 x 轴，并且经过点 1, 2 ，抛物线 C 的焦点为F，准线为 l．（1）求抛物线 C 的方程；（2）过 F 且斜率为 3 的直线 h 与抛物线 C 相交于两点 A、B，过 A、B 分别作准线 l 的垂 线，垂足分别为 D、E，求四边形 ABED 的面积．【答案】（1） y2 4x ；（2）【解析】（1）根据题意，设抛物线为因为点 1, 2 在抛物线上，所以（2）由（1）可得焦点，准线为过 F 且斜率为 3 的直线 的方程为，，即，所以抛物线的方程为 y2 4x ．，不妨设 A x1, y1 ，B x2, y2 ，，由，得，所以，，代入，得，，所以，，所以，，，所以直角梯形 ABED 的面积为．20．已知抛物线 C : y2 2px p 0 的焦点为 F ，点 F 到直线 x y 1 0 的距离为 2 ．（1）求抛物线 C 的方程；（2）点 O 为坐标原点，直线 l1 、l2 经过点 M 1,0 ，斜率为 k1 的直线 l1 与抛物线 C 交于 A 、两点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，记，若，求的最小值． 【答案】（1）；（2）的最小值为． 【解析】（1）抛物线的焦点的坐标为，点到直线的距离为，因为，所以． 所以抛物线的方程为；（2）设点、，联立方程，消去后整理为，由题意得， 所以或，所以， 又，， 所以， ．同理． 所以 ． （当且仅当或取等号）．所以的最小值为． B 2k 2l C D E MA MB MD ME λ=⋅⋅⋅1212k k =-λ24y x =λF F 10x y -+=C 24y x =()11,A x y ()22,B x y y λ。

江苏高考复习抛物线专题练习（带答案）(2)若p=2，AOB(O是坐标原点)为钝角，求直线AB在x轴上的截距的取值范围.[解] (1)设直线AB在x轴上的截距为t，则可设直线AB的方程为x=my+t.代入y2=2px得y2=2p(my+t)，即y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以t=1，即直线AB 恒过定点(1,0).(2)因为AOB为钝角，所以0，即x1x2+y1y20.y=2px1，y=2px2，yy=2px12px2，于是x1x2===t2，故x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t0，得00)把点P(-2，-4)代入得(-4)2=-2p(-2).解得p=4，抛物线方程为y2=-8x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py(p0)，把点P(-2，-4)代入得(-2)2=-2p(-4).解得p=.抛物线方程为x2=-y.综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.[答案] y2=-8x或x2=-y4.(2019广东高考)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时，求|AF||BF|的最小值.[解题思路] (1)由点到直线的距离求c的值，得到F(0，c)后可得抛物线的方程;(2)采用设而不求策略，先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合导数求切线PA，PB的方程，代入点P 的坐标，根据结构，可得直线AB的方程;(3)将|AF||BF|转化为关于x(或y)的函数，再求最值.[解] (1)依题意，设抛物线C的方程为x2=4cy(c0)，由点到直线的距离公式，得=，解得c=1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x2=4y.(2)由x2=4y，得y=x2，其导数为y=x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x=4y1，x=4y2，切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以和为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由消去x并整理得到关于y的方程为y2+(2y0-x)y+y=0.由一元二次方程根与系数的关系得y1+y2=x-2y0，y1y2=y.所以|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0-y0-2=0，即x0=y0+2，所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+，所以当y0=-时，|AF||BF|取得最小值，且最小值为.江苏2019-2019高考复习抛物线专题练习及答案的所有内容就是这些，更多精彩内容请持续关注查字典数学网。

3.3抛物线（精讲）考点一抛物线的标准方程【例1-1】（2023春·江西吉安·高二校联考期末）若点(2,1)-A 在抛物线20y px +=上，则该抛物线的准线方程为（）A ．12y =B ．18y =C ．12x =D ．18x =【答案】A【解析】因为点(2,1)-A 在抛物线20y px +=上，所以120p -+=，得12p =，所以抛物线方程为22x y =-，所以抛物线的准线方程为12y =，故选：A 【例1-2】（2023·陕西榆林）以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点()1,P m 到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（）A ．28y x =B ．212y x =C ．28y x=D ．212y x=【答案】C【解析】根据题意，可设抛物线的方程为22(0)y px p =>，由抛物线的定义知132p+=，即4p =，所以抛物线方程为28y x =．故选：C ．【例1-3】（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，C 上一点()()000,0M x x x ≠满足||5MF =，则抛物线C 的方程为（）A ．22y x =B ．2y x =C ．28y x=D ．24y x=【答案】D【解析】依题意得2002x px =，因为00x ≠，所以02x p =.又0||52pMF x =+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.故选：D 【一隅三反】1．（2023秋·高二课时练习）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点()1,2-，则它的方程是（）A ．212x y =或24y x =-B ．24y x =-或22x y=C ．212=-x yD ．24y x=-【答案】A【解析】当抛物线的焦点在x 轴上时，设抛物线的方程为()220y px p =->．因为抛物线过点()1,2-，记为点P ，如图，所以()2221p =--，所以2p =、所以抛物线的方程为24y x =-；当抛物线的焦点在y 轴上时，设抛物线的方程为()220x py p =>．因为抛物线过点()1,2-，所以()2122p -=⋅，所以14p =，所以抛物线的方程为212x y =．故选：A..2．（2023·陕西汉中）已知抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点()0,2P x ，若点P 到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为．【答案】28x y=【解析】因为抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点()0,2P x ，所以可设抛物线：22x py =.由抛物线的定义可得：242p+=，解得：4p =.所以抛物线的方程为：28x y =.故答案为：28x y =.3．（2023春·云南保山·高二统考期末）过点()1,4-，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是.【答案】214x y=-【解析】设方程为2(0)x ny n =≠，则有21(4)n =-，解得14n =-，即有214x y =-.故答案为：214x y =-.考点二抛物线定义及应用【例2-1】（2023春·河南开封）已知抛物线2:4E x y =，圆()22:31C x y +-=，P 为E 上一点，Q 为C 上一点，则PQ 的最小值为（）A ．5B ．1C ．D ．3【答案】B【解析】由题意知(0,3)C ，1r =，设()00,P x y ，则204x y =，所以PC ===，故当01y =时，min PC =min min 1PQ PC r =-=.故选：B.【例2-2】（2023·海南·海南中学校考模拟预测）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:2l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和2l 距离之和的最小值是（）A 1+B ．2C ．165D ．3【答案】D【解析】由题可知1x =-是抛物线24y x =的准线，设抛物线的焦点为F ，则()1,0F ，所以动点P 到2l 的距离等于P 到1x =-的距离加1，即动点P 到2l 的距离等于1PF +.所以动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为焦点F 到直线1:4360l x y -+=的距离加1，即其最小值是406135-++=.故选：D【例2-3】（2023·西藏日喀则）已知点P 为抛物线220y px p =>（）上一动点，点Q 为圆221)24):((C x y ++-=上一动点，点F 为抛物线的焦点，点P 到y 轴的距离为d ，若PQ d +的最小值为3，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】圆221)24):((C x y ++-=的圆心(2,4)C -，半径1r =，抛物线220y px p =>（）的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，则由抛的线的定义可知点P 到y 轴的距离为2p d PF =-，所以2P pQ F d PQ P =+-+，由图可知，当,,,C Q P F 共线，且,P Q 在线段CF 上时，PQ PF +最短，而22162p CF ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为322p pPQ PF CF r +-=--=，22161322p p ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，解得2p =，故选：B【一隅三反】1．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知F 是抛物线C ：22y px =的焦点，点()2,P t 在C 上且4PF =，则F 的坐标为（）A ．()2,0B ．()2,0-C ．()4,0D ．()4,0-【答案】A【解析】因为F 是抛物线C ：22y px =的焦点，所以,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又4PF =，由抛物线的定义可知242pPF =+=，解得4p =，所以()2,0F .故选：A2．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点P 在C 上，若点()6,3Q ，则PQF △周长的最小值为（）．A ．13B ．12C ．10D ．8【答案】A【解析】224y x =⨯，故()2,0F ,记抛物线C 的准线为l ，则l ：2x =-，记点P 到l 的距离为d ，点()6,3Q 到l 的距离为d '，则()()22623058513PQ PF QF PQ d d ++=+-++=+'-=.故选：A.3．（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4,M 是抛物线C 上一点，若()2,3A ，则MF MA +的最小值为（）A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】D【解析】由焦点F 到其准线的距离为4,得4p =；设,M A 在准线:2l x =-上的射影为11,M A 如图,则MA MF +112+2=4MA MM AA =+≥=，当且仅当1,,A M A 共线时取得等号．所以所求最小值是4．故选：D ．4．（2023·浙江·校联考二模）已知直线1:3460l x y --=和直线2:2l y =-，拋物线24x y =上一动点P 到直线1l 直线2l 的距离之和的最小值是（）A ．2B ．3C ．115D ．3716【答案】B【解析】由题意可得：拋物线24x y =的焦点()0,1F ，准线:1l y =-，设动点P 直线12,,l l l 的距离分别为12,,d d d ，点F 到直线1l 的距离分别为32d =，则211d d PF =+=+，可得1213113d d d PF d +=++≥+=，当且仅当点P 在点F 到直线1l 的垂线上且P 在F 与1l 之间时，等号成立，动点P 到直线1l 直线2l 的距离之和的最小值是3.故选：B.考点三直线与抛物线的位置关系【例3-1】（2023广东深圳）设直线:1l y kx =+，抛物线2:4C y x =，当k 为何值时，l 与C 相切？相交？相离？【答案】当1k =时，l 与C 相切；当1k <时，l 与C 相交；当1k >时，l 与C 相离.【解析】：联立方程，得21,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩消去y 并整理，得22(24)10k x k x +-+=.当0k ≠时，方程22(24)10k x k x +-+=为一元二次方程.所以22(24)416(1)k k k ∆=--=-.当Δ0=，即1k =时，l 与C 相切；当0∆>，即1k <且0k ≠时，l 与C 相交；当Δ0<，即1k >时，l 与C 相离.当0k =时，直线l 的方程为1y =，显然与抛物线C 交于点1,14⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，当1k =时，l 与C 相切；当1k <时，l 与C 相交；当1k >时，l 与C 相离.【例3-2】（2023秋·高二课时练习）（多选）设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率可以是（）A ．2-B ．-1C ．1D ．2【答案】BC【解析】 抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，∴准线为2x =-，Q 点的坐标()2,0-，又直线l 过点Q ，且斜率必存在，∴可设l ：()2y k x =+，联立()228y k x y x⎧=+⎨=⎩，可得()22224240k x k x k ++=-，当0k =时，得0x =，即交点为()0,0，当0k ≠时，由0∆≥得，即()224162160k k --≥，解得，10k -≤<或01k <≤，综上，k 的取值范围是[]1,1-．故选：BC.【一隅三反】1．（2023·内蒙古呼和浩特）过点()0,6与抛物线224y x =只有一个交点的直线有（）条.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意可知点()0,6在抛物线224y x =外故过点()0,6且与抛物线224y x =只有一个公共点时只能是：①过点()0,6且与抛物线224y x =相切，此时有两条直线；②过点()0,6且平行对称轴x 轴，此时有一条直线；则过点()0,6与抛物线224y x =只有一个交点的直线有3条.故选：C ．2．（2022·全国·高二专题练习）直线()12y k x =-+与抛物线24x y =的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【解析】直线()12y k x =-+过定点()1,2，∵2142<⨯，∴()1,2在抛物线24x y =内部，∴直线()12y k x =-+与抛物线24x y =相交，故选：A ．3．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知过点()0,1P 的直线l 与抛物线24y x =相交于不同的两点，k 为直线斜率，则k 的取值范围为.【答案】()(),00,1-∞⋃【解析】直线l 的方程为：1y kx =+，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，化为()222410k x k x +-+=，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的两点，0Δ0k ≠⎧∴⎨>⎩，即016160k k ≠⎧⎨-+>⎩，解得1k <，且0k ≠．∴斜率k 的取值范围是()(),00,1-∞⋃．故答案为：()(),00,1-∞⋃．4．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）写出一条过点()1,2A 且与抛物线C ：24y x =仅有一个公共点的直线方程：.【答案】2y =（或10x y -+=，答案不唯一）【解析】当l 平行于x 轴时，l 与C 只有一个公共点，此时方程为2y =；当l 与抛物线相切时，l 与C 只有一个公共点，设直线l 方程为1(2)x m y -=-，联立方程得24840y my m -+-=，由()()2448401m m m ∆=---=⇒=，此时直线l 的方程为10x y -+=.故答案为：2y =（或10x y -+=，答案不唯一）.考点四弦长【例4-1】（2023·陕西延安）已知抛物线C ：()220y px p =>的准线方程为=1x -．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线l ：1y x =-交抛物线C 于A 、B 两点，求弦长AB ．【答案】(1)24y x =(2)8【解析】（1）由抛物线C ：()220y px p =>的准线方程为=1x -，得12p=，2p ∴=．∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得2610x x -+=，则126x x +=，121=x x ．又 直线l 过抛物线C 的焦点，1228AB x x ∴=++=．【例4-2】（2023春·黑龙江·高二校联考开学考试）已知直线l 过抛物线C ：24y x =的的焦点且与C 交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标3，则AB =．【答案】8【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12236x x +=⨯=，抛物线24y x =中24,2p p ==，所以121262822A p px x x x p B +++=++=+==．故答案为：8．【例4-3】（2023·陕西渭南）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 交C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，若8AB =，则2212y y +=（）A ．8B ．12C ．16D ．24【答案】D【解析】由抛物线2:4C y x =可知2p =，由抛物线的定义可得121228AB x x p x x =++=++=，即126x x +=，又()()1122,,,A x y B x y 在抛物线2:4C y x =上，2211224,4y x y x ∴==，()222112442x y x y ∴+=+=.故选：D.【一隅三反】1．（2023春·上海长宁·高二校考期中）已知抛物线24y x =与过焦点的一条直线相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点M 的横坐标为32，则弦AB 的长||AB =【答案】5【解析】由题意抛物线焦点(1,0)F ，且直线AB 斜率不为0，设:1AB x ty =+，联立抛物线得2440y ty --=，0∆>，故4A B y y t +=，4A B y y =-，所以3()2232A B A B x x t y y +=++=⨯=，即214t =，则||||52A B AB y y =-===.故答案为：52．（2023秋·山西大同·高二统考期末）（多选）经过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则下列说法中正确的是（）A ．当AB 与x 轴垂直时，AB 最小B ．112AF BF p+=C ．以弦AB 为直径的圆与直线2px =-相离D ．212y y p=-【答案】ABD【解析】如图，设直线AB 为2p x my =+，联立22y px =，得222p y p my ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即2220y pmy p --=，所以122y y pm +=，212y y p =-，故D 正确，()121212222p pAB x x p my my p m y y p =++=++++=++，将122y y pm +=代入得222AB m p p =+，故当0m =时，AB 取得最小值2p ，此时直线AB 与x 轴垂直，故A 正确，()()122212121212211111122m y y p p p AF BF my p my p m y y mp y y p x x +++=+=+=+++++++，代入122y y pm +=，212y y p =-，得222211222m p p AF BF m p p p++==+，故B 正确，设AB 的中点为M ，则以弦AB 为直径的圆的圆心为M ，半径为2AB 分别过,,A B M 作抛物线的垂线，垂足分别为,,P Q S ,由抛物线的定义知AP AF =，BF BS =，则()()111222MQ AP BS AF BF AB =+=+=,故以弦AB 为直径的圆与直线2px =-相切，C 错误，故选：ABD3．（2023春·四川·高二统考期末）已知直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点.(1)若直线l 过点()4,1Q ，且倾斜角为45 ，求AB 的值；(2)若直线l 过点()4,1Q ，且弦AB 恰被Q 平分，求AB 所在直线的方程.【答案】(1)(2)4150x y --=【解析】（1）因直线l 的倾斜角为45 ，所以直线l 的斜率tan 451k == ，又因直线l 过点()4,1Q ，所以直线l 的方程为：14y x -=-，即3y x =-，联立28y x =得21490x x -+=，设(),A A A x y ，(),B B B x y ，所以14A B x x +=，9A B x x =，所以8A B =（2）因A 、B 在抛物线2:8C y x =上，所以28A A y x =，28B B y x =，两式相减得：2288A B A B y y x x -=-，得888422A B A B A B Q y y x x y y y -====-+，故直线l 的斜率为4，所以直线l 的方程为：()144y x -=-，即4150x y --=考点五抛物线有关的轨迹【例5】（2023秋·福建宁德·）已知圆F ：2211216x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与定直线l ：14x =-，动圆P 与圆F 外切且与直线l 相切，记动圆P 的圆心P 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为.【答案】22y x=【解析】设(),P x y ，动圆P 与圆F 外切且与直线l 相切，则有1144x =+，化简得22y x =.故曲线C 的方程为22y x =.故答案为：22y x =【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）在平面坐标系中，动点P 和点(3,0)(3,0)M N -、满足||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为．【答案】212y x=-【解析】由题意(6,0),(3,),(3,)MN MP x y NP x y ==+=-，由||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=得6(3)0x +-=，化简得212y x =-．故答案为：212y x =-．2．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设O 为坐标原点，()2,0F ，点A 是直线2x =-上一个动点，连接AF 并作AF 的垂直平分线l ，过点A 作y 轴的垂线交l 于点P ，则点P 的轨迹方程为．【答案】28y x=【解析】如图，由垂直平分线的性质可得PA PF =，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标为()2,0F ，故4,28p p ==，点P 的轨迹方程为28y x =.故答案为：28y x=3．（2022·全国·高三专题练习）已知点(2,0)A ，,B C 在y 轴上，且4BC =，则ABC 外心的轨迹S 的方程；【答案】24y x=【解析】设ABC 外心为G ，且()G x y ,，(0,)B a ，(0,4)C a +，由G 点在BC 的垂直平分线上知2y a =+由22GA GB =，得2222(2)()x y x y a -+=+-故2222(2)2x y x -+=+即点G 的轨迹S 为：24y x =，故答案为：24y x =.考点六抛物线的实际应用【例6】（2023·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm ，碗盖口直径为8cm ，碗体口直径为10cm ，碗体深6.25cm ，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8.25cm【答案】C【解析】以碗体的最低点为原点，向上方向为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．设碗体的抛物线方程为22x py =（0p >），将点()5,6.25代入，得252 6.25p =⨯，解得2p =，则24x y =，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h ()cm ，则两抛物线在第一象限的交点为()4,3h -，代入到24x y =，解得()2443h =-，解得7h =．故选：C 【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A ．27cm 4B ．9cm2C ．27cm 8D ．23cm 6【答案】C【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得A 的坐标为9,32⎛⎫⎪⎝⎭．设抛物线的标准方程为()220x py p =>，则8164p =，解得278p =．故该抛物线的焦点到准线的距离为27cm 8．故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是80cm ，灯深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离为（）A ．20cmB ．10cmC ．30cmD ．40cm【答案】B【解析】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示，由题意可得()40,40A .设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，于是240240p =⋅，解得20p =.所以抛物线的焦点到顶点的距离为102p=，即光源到反射镜顶点的距离为10cm .故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线2y ax =的一部分，其焦点坐标为()0,2-．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（）A ．18米B ．21米C ．24米D ．27米【答案】C【解析】依题意知，抛物线2y ax =，即21x y a=，因为抛物线的焦点坐标为()0,2-，所以124a =-，所以18a =-，所以抛物线方程为218y x =-，令18.2y =-，则2145.6144x =≈，解得12x ≈±，所以校门位于地面宽度最大约为24米.故选：C.。

考点52 抛物线1．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二）已知过抛物线2:4C y x =焦点的直线交抛物线C 于P ,Q两点,交圆2220x y x +-=于M ,N 两点,其中P , M 位于第一象限,则14||||PM QN +的值不可能为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】作图如下：可以作出下图，由图可得，可设PF m =，QF n =，则1PM m =-，1QN n =-，24y x =，2p ∴=，根据抛物线的常用结论，有1121m n p+==， 1m nmn+∴=，则m n mn +=， 14||||PM QN ∴+1411m n =+--4545()1m n m n mn m n +-==+--++ 又11(4)1(4)()m n m n m n +⋅=+⋅+441m n n m =+++452m n n m≥+⋅ 得49m n +≥，454m n ∴+-≥ 则14||||PM QN +的值不可能为3，答案选A2．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C，若4BC BF =，且6AF =，则p 为（ ）A ．94B ．92C ．9D ．18【答案】B 【解析】设准线与x 轴交于点P ，作BH 垂直于准线，垂足为H由4BC BF =，得：45BH BC PF CF == 由抛物线定义可知：BF BH =，设直线l 倾斜角为θ由抛物线焦半径公式可得：41cos 5pBF BF PF p p θ+===，解得：1cos 4θ= 46131cos 3144p p p AF p θ∴=====--，解得：92p = 本题正确选项：B3．（陕西省2019届高三年级第三次联考理）已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】∵抛物线的准线：，它正好经过双曲线的下焦点，∴准线被双曲线截得的弦长为，∴，∴，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为.故应选D.4．（陕西省2019届高三年级第三次联考理）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（）A．B．C．1 D．3【答案】B【解析】∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，设，，根据抛物线的定义可得，，∴.解得，∴线段的中点横坐标为，∴线段的中点到准线的距离为.故应选B.5．（四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学理）已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为( )．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的坐标为，过作的垂线，垂足为,根据抛物线的定义可知,所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，故本题选B.6．（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的焦点到准线距离为（）A．2 B．2或4 C．8 D．8或16【答案】A【解析】设点的坐标为，,抛物线的焦点，抛物线的准线为，由抛物线的定义可知：①，因为以为直径的圆过点，所以有，代入①中得，，抛物线的焦点到准线距离为2，故本题选A.7．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学理）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则该抛物线的标准方程为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的准线方程，∵抛物线上的点到其焦点的距离为，∴，∴，即该抛物线的标准方程为，故选：A8．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）已知抛物线22x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N是直线2y =上的两点，且2MN =，MNP ∆的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ．45B ．25C ．23D ．13【答案】A 【解析】由题意，22p = ，则122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，由抛物线的定义得，点P 到准线12y的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3'2PP = . 当点,M N 在P'的同一侧（不与点P'重合）时，352=622PM PN MN ++>++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由()22223322=622PM PN MN x x ⎛⎫⎛⎫++=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍去，综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以24552sin MPN <==，故选A. 9．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作'AA l ⊥，垂足为'A .若四边形'AA PF 的面积为14，且3cos '5FAA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ） A ．28y x = B ．24y x =C ．22y x =D ．2y x =【答案】B 【解析】作出图形如下所示，过点F 作''FF AA ⊥，垂足为'F .设'3AF x =，因为3cos '5FAA ∠=，故5AF x =，'4FF x =，由抛物线定义可知，'5AF AA x ==，则''2A F x p ==，故2px =.四边形'AA PF 的面积()52''21422p p p PF AA PA S ⎛⎫+⋅ ⎪+⋅⎝⎭===，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =. 故选：B10．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2B 2C ．22D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴22AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.11．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M 在C 上，直线MF 与l 交于点N ．若3MFO π∠=，则MF MN = A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】作MQ 垂直l 于Q ，则在RT △MQN 中，2MQN π∠=，6MNQ π∠=，所以12MF MQ MN MN ==．选C ． 12．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）设抛物线24y x =的焦点为F ，已知点1,4M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2N b ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,P c ，()4,Q d 都在抛物线上，则,,,M N P Q 四点中与焦点F 距离最小的点是（ ） A ．M B ．N C ．PD ．Q【答案】A 【解析】抛物线24y x =的焦点为F(1,0)，准线方程为1x =-；则点1,4M a ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离为15||(1)44MF =--=，点1,2N b ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离为13||(1)22NF =--=，点P(1, c)到焦点F 的距离为|P F|=1-(-1)=2 点Q(4, d)到焦点F 的距离为|Q F|=4-(-1)=5； 所以点M 与焦点F 的距离最小. 故选：A13．（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）A ．()1,0B ．2,0C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】抛物线24y x =的标准方程为214x y =，故其焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭，故选D. 14．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）A ．B ．8C ．D ．4【答案】C 【解析】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1． 由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|==故选：C ．15．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，()02,M y -是C 上一点，且2MF =．（1）求C 的方程；（2）过点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 两点作抛物线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）24x y =（2）见解析 【解析】（1）解：根据题意知，042py =① 因为2MF =，所以022py +=② 联立①②解得01,2y p ==． 所以抛物线C 的方程为24x y =． （2）四边形PAQB 存在外接圆．设直线AB 方程为1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=， 设点()()1122,,,A x y B x y ，则216160k ∆=+>， 且4,42121-==+x x k x x所以()212||41AB x k =-=+，因为2:4C x y =，即24x y =，所以'2x y =．因此，切线1l 的斜率为112x k =，切线2l 的斜率为222xk =， 由于121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB △是直角三角形， 所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是圆的直径， 所以点Q 一定在PAB △的外接圆上，即四边形PAQB 存在外接圆． 又因为()241AB k =+，所以当0k =时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．16．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）已知抛物线22(0)y px p =>上一点3,2M m ⎛⎫⎪⎝⎭到它的准线的距离为52． （1）求p 的值；（2）在直线l 上任意一点(),2P a -作曲线C 的切线，切点分别为,M N ，求证：直线MN 过定点． 【答案】（1）2；（2）证明见解析. 【解析】（1）抛物线220y px p =（＞）的准线为2px =-, 由已知得32M m ，⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离为52∴35222p += ∴2p =（2）证明：由已知可设112222l x m y l x m y =+=+：，：由,2142y x x m y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩化简得21480y m y --= 设1122Ax y C x y （，），（，） ，则1214y y m += ∴12M y m =，又2122M x m =+，即()211222M m m +，同理可得：()222222N m m +，∴()()()211222122122102222MN m m k m m m m m m -==+≠++-+ ∴()211121222MN y m x m m m -=--+：即()1212122y x m m m m =-++∵12l l ， 的斜率之积为-2∴12112m m ⋅=-即1212m m =- ∴()1213MN y x m m ：=-+即直线MN 过定点30（，）当120m m +=时，不妨设1200m m ＞，＜则1222m m ==-直线MN 也过点()30，综上，即直线MN 过定点()30，． 17．（北京市人大附中2019届高三高考信息卷三理科）已知抛物线2:2C y px =过点(2,2)M ，,A B 是抛物线C 上不同两点，且AB OM （其中O 是坐标原点），直线AO 与BM 交于点P ，线段AB 的中点为Q . （Ⅰ）求抛物线C 的准线方程； （Ⅱ）求证：直线PQ 与x 轴平行.【答案】(1) 12x =-.(2)见解析.【解析】（Ⅰ）由题意得22=4p ，解得1p =． 所以抛物线C 的准线方程为122p x =-=-． （Ⅱ）设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由AB OM 得1AB OMk k ==，则212221212122y y y y y y -==+-，所以212y y +=． 所以线段AB 中点Q 的为纵坐标1Q y =． 直线AO 方程为121122y y x x y y ==┅①直线BM 方程为()()222222222222y y x x y y --=-=-+-┅② 联立①②解得1{ 21y x y ==，即点P 的为纵坐标1P y =．如果直线BM 斜率不存在，结论也显然成立．18．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)数学理）已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求AF ；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于,M N 两点，设()00,M x y ，当[]03,4y ∈时，求MN 的最大值．【答案】（1）252；（2）1355. 【解析】（1）由题意知(0,2)F ，所以4p =. 所以抛物线C 的方程为28x y =.将28x y =与224x y +=联立得点A 的纵坐标为2(52)A y =，结合抛物线定义得||2522A pAF y =+=. （2）由22x py =得：22x y p=，x y p '=，所以直线l 的斜率为0x p ，故直线l 的方程为()000x y y x x p-=-. 即000x x py py --=. 又由0220||2py ON x p -==+得02084y p y =-且2040y -> 所以2222200||||||4MN OM ON x y =-=+-220000020824244y py y y y y =+-=+-- ()2202200022001644164444y y y y y y -+=+-=+--- 2020641644y y =++-- 令204t y =-，0[3,4]y ∈，则[5,12]t ∈，令64()16f t t t =++，则264()1f t t'=-； 当[5,8]t ∈时()0f t '≤，()f t 单调递减，当(8,12]t ∈时()0f t '>，()f t 单调递增，又64169(5)16555f =++=，64100169(12)16121235f =++=<， 所以max 169()5f x =，即||MN 的最大值为135. 19．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试）已知点为直线上的动点，，过作直线的垂线，交的中垂线于点，记点的轨迹为.（Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）若直线与圆相切于点，与曲线交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线的方程为或【解析】解：（Ⅰ）由已知可得，，即点到定点的距离等于它到直线的距离， 故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴曲线的方程为. （Ⅱ）设，，，由，得，∴， ∴，，即，∵直线与圆相切于点，∴，且，从而，，即：，整理可得，即，∴，故直线的方程为或.20．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且3OA OB ⋅=-． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于P ，Q 两点，记OAB ∆，OPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，证明：221211S S +为定值. 【答案】（1）24y x =；（2）详见解析. 【解析】（1）设直线l ：1x my =+，与22y px =联立消x 得，2220y pmy p --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，122y y p =-.因为g x （），所以()()1112222111OA OB x x y m y y y y y m ⋅++==++()()2121211m y y m y y =++++()()221221213m p pm p =+-++=-+=-，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）由（1）知()1,0M 是抛物线C 的焦点，所以21212244AB x x p my my p m =++=+++=+.原点到直线l的距离d =，所以()21412OABS m ∆=+=因为直线'l 过点()1,0且'l l ⊥，所以OPQS ∆==. 所以()()2222212111144141m S S m m +=+=++. 即221211S S +为定值14. 21．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点． （1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点． 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-， 此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±， 所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).22．（北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三数学理）已知抛物线22(0)x py p =>过点(2,1).（Ⅰ）求抛物线的方程和焦点坐标；（Ⅱ）过点(0,4)A -的直线l 与抛物线交于两点,M N ，点M 关于y 轴的对称点为T ，试判断直线TN 是否过定点，并加以证明.【答案】（Ⅰ）抛物线方程为24x y =，焦点坐标为()0,1（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）因为抛物线22(0)x py p =>过点(2,1)P ，所以24p = 所以抛物线方程为24x y =，焦点坐标为(0,1) （Ⅱ）设直线l 的方程为4y kx =-,由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， 则216640k ∆=->，即||2k > 设1122(,),(,)M x y N x y 则T 11(,)x y - 且12124,16x x k x x +==. 直线212221:()y y TN y y x x x x --=-+ 212221222212212222121222112()1()4()41444 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x y x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+即2144x x y x -=+ 所以，直线TN 恒过定点(0,4).23．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线C 于M ，N 两点，且2MN =． （1）求p 的值；（2）抛物线C 上一点()0,1Q x ，直线:l y kx m =+（其中0k ≠）与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（均与点Q 不重合），设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，1212k k =-．动点H 在直线l 上，且满足0OH AB ⋅=，其中O 为坐标原点．当线段OH 最长时，求直线l 的方程．【答案】(1) 12p = (2) 310y x =- 【解析】（1）抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 方程为2p x y =+联立抛物线方程可得2220y py p --=故：2M N y y p +=，2·M N y y p =- ∴4222M N M N p p MN x x p y y p p ⎛⎫⎛⎫=++=++++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p =． （2）由（1）知抛物线C 方程为2y x =，从而点()1,1Q ，设()11,A x y ，()22,B x y220y kx mky y m y x=+⎧⇒-+=⎨=⎩ ()140*km ∆=->∵0k ≠，∴121y y k +=，12m y y k⋅=． 由1212122212121211111111111112y y y y k k x x y y y y ----=⋅=⋅=⋅=-----++ 可得()121230y y y y +++=，即130m k k++= 从而13m k +=-该式满足()*式∴()31y k x =--即直线l 恒过定点()3,1T -．设动点(),H x y ，∵·0OH AB =，∴()(),?3,10x y x y -+= ∴动点H 在2230x x y y -++=，故H 与T 重合时线段OH 最长，此时直线():331l y x =--，即：310y x =-．24．（山东省青岛市2019届高考模拟检测数学理）已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为，.（1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.（2）见解析【解析】（1）由题知，，所以，因此动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，又知，，所以曲线的标准方程为.又由题知，所以，所以，又因为点在抛物线上，所以，所以抛物线的标准方程为.（2）设，，由题知，所以，即，所以，又因为，，所以，所以为定值，且定值为1.25．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模理）已知抛物线()2:20E y px p =>经过点()1,2A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线1x =对称.（Ⅰ）求抛物线E 的方程及准线方程；（Ⅱ）设直线12,l l 分别交抛物线E 于B C 、两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.【答案】（Ⅰ） 24y x =；准线方程为1x =- ；（Ⅱ）10x y +-=【解析】（Ⅰ）∵抛物线E 过点()1,2A ， ∴24p =，解得2p =，∴抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．（Ⅱ）方法一：不妨设B 在C 的左边，从而可设直线AB 的方程为()12(0)x m y m -=->，即21x my m =-+，由2214x my m y x=-+⎧⎨=⎩消去x 整理得24840y my m -+-=． 设(),B B B x y ，则24B y m +=，故42B y m =-，∴2441B x m m =-+，∴点()2441,42B m m m -+-．又由条件得AB 与AC 的倾斜角互补，以m -代替点B 坐标中的m ， 可得点()2441,42C m m m ++--．∴BC ==，且BC 中点的横坐标为2412B C x x m +=+，∵以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，∴24112BCm++==，解得2m=∴()32B -，()32C +-，∴1BC k =-，∴直线BC的方程为()(23y x -=--+，即10x y +-=． 方法二：设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线12,l l 关于1x =对称，所以AB 与AC 的倾斜角互补， 所以12122212121222224411221144AB AC y y y y k k y y x x y y ----+=+=+=+=--++--，所以124y y +=-，所以1212221212124144BC y y y y k y y x x y y --====--+-．设直线BC 的方程为y x m =-+，由24y x m y x =-+⎧⎨=⎩消去去y 整理得()22240x m x m -++=，所以2121224,x x m x x m +=+=，所以12BC x =-=BC 中点D 的横坐标为1222x x m +=+．因为以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线1x =-相切，所以12122BCx x ++=，即3m +=1m =，所以直线BC 的方程为1y x =-+，即10x y +-=．。

目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11抛物线大题专练（一）1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．3．如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．5．已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．6．已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．7．已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．8．抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．抛物线大题专练（二）10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．11．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．12．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．13．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．14．如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）当直线过点M（p，0）时，证明y1．y2为定值；（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l′交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．16．（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．17．（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．19．（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．20．（2014•江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．抛物线大题专练（三）21．（2014•杭州二模）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．22．（2014•包头一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．23．（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．24．（2014•长沙二模）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．25．（2015•上海模拟）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．26．（2014•乌鲁木齐三模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点过F，过H（﹣，0）引直线l交此抛物线于A，B两点．（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；（2）若p=2，点M在抛物线上，且+=t，求t的取值范围．27．（2014•太原二模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l1与抛物线交于不同的两点A、B，直线l2与抛物线交于不同的两点C、D．（Ⅰ）当l1过F时，在l1上取不同于F的点P，使得=，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若l1与l2相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|•|QB|=a|QC|•|QD|，求实数a的值．28．（2014•合肥一模）已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny﹣m=0（m，n为常数且m≠0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）O为抛物线的顶点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：为定值．29．（2014•呼和浩特一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当圆E的面积最小时，求E的方程．30．（2014•普陀区一模）已知点P（2，0），点Q在曲线C：y2=2x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．抛物线大题专练参考答案与试题解析1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1，与抛物线方程联立，求出k的范围，利用，即可求出点A的纵坐标y1的取值范围．解答：解：（1）由定义得，则抛物线C的方程：x2=y（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1联立方程得x2﹣kx+k﹣1=0，A（k﹣1，（k﹣1）2），△1＞0即k≠2同理B（﹣k﹣1，（﹣k﹣1）2），△2＞0即k≠﹣2，令，则所以k＞2或，所以点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（2015•淮安一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．解答：解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．所以，故的为定值2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．（2014•九江三模）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）利用•+•=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线l1、l2的方程．解答：解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．4．（2014•浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=，可得b=﹣2p﹣2mp，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，∴直线x=2p与抛物线y2=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，﹣2p），∴三角形ABO是Rt△，∴过A，B，O三点的圆方程是：（x﹣2p）2+y2=4p2；（Ⅱ）设点，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，由方程组消去x可得y2﹣2mpy﹣2pb=0，故y1+y2=2mp，y1y2=﹣2pb，这样，tan==即1=，所以b=﹣2p﹣2mp，∴直线AB的方程可以写成为：x=my﹣2p﹣2mp，即x+2p=m（y﹣2p），∴直线AB过定点（﹣2p，2p）．点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．5．（2014•广州二模）已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，可求a的值；（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定S，T的坐标，根据|ST|=2，即可求直线l1的方程；（3）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标．解答：解：（1）∵点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，∴a=4．…（1分）（2）由（1）得抛物线E的方程为x2=4y．设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，，y=kx+1代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4=0，解得．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．…（2分）直线AB的斜率，故直线AB的方程为．…（3分）令y=﹣1，得，∴点S的坐标为．…（4分）同理可得点T的坐标为．…（5分）∴=．…（6分）∵，∴．由，得20k2=16k2+16，解得k=2，或k=﹣2，…（7分）∴直线l1的方程为y=2x+1，或y=﹣2x+1．…（9分）（3）设线段ST的中点坐标为（x0，﹣1），则=．…（10分）而|ST|2=，…（11分）∴以线段ST为直径的圆的方程为=．展开得．…（12分）令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=﹣3．…（13分）∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，﹣3）．…（14分）点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2015•兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．解答：解：①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴又得，∴所以依题意，∴p=4∴抛物线方程为y2=8x﹣﹣﹣﹣（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y2=8x②当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：∴=﹣﹣﹣﹣（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为∵，∴△ABS面积的最大值为．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（2015•路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得﹣1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=，得S△AOB=|AB|d=4．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）联立得：y2+8y﹣8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0==﹣4．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y1|=4，又|AB|==．所以|AB|=2r，即=8，解得b=﹣．所以x0==2b+8=，所以圆心为（，﹣4）．故所求圆的方程为（x﹣）2+（y+4）2=16．．（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，∴b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞﹣2，∴﹣2＜b＜0，直线l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，g′（b）=3b2+4b=3b（b+），∴g（b）在（﹣2，﹣）增函数，在（﹣，0）是减函数，∴g（b）的最大值为g（﹣）=．∴当b=﹣时，△AOB的面积取得最大值．点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．8．（2015•大庆二模）抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；（Ⅱ）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线CD的斜率．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆N：+y2=1，∴c2=a2﹣b2=﹣1=，∴椭圆的左焦点为F1（﹣，0），∴﹣=﹣，则p=1．故M：y2=2x；（Ⅱ）由题意知，A（a，2a），∵|OA|=t，∴a2+2a=t2．由于t＞0，故有t=①由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为+=1．又∵A在直线BC上，故有+=1．将①代入上式，得：+=1，解得c=a+2+．又∵D（a+2，2），∴直线CD的斜率为：k CD====﹣1．点评：本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题．9．（2015•黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1．设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），通过换元，令t=∈[，]，即可得出|+|2的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆C过点（1，），∴，又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2．故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1…（5分）（Ⅱ）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky﹣1=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将①2÷②得+2=﹣⇒λ++2=…（8分）由λ∈[﹣2，﹣1]得﹣≤λ++2≤0⇒﹣≤≤0，0≤k2≤…（9分）=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），+=（x1+x2﹣4，y1+y2）x1+x2﹣4=k（y1+y2）﹣2=﹣，|+|=+==16﹣+令t=∈[，]，|+|2=8t2﹣28t+16∴t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2，进而求出x1x2，根据向量数量积运算公式，可得•的值与k1无关；（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=﹣4，同理可得y2y4=﹣4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．解答：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2（m≠0）．…（1分）将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4my﹣8=0．…（2分）从而y1y2=﹣8，于是，…（3分）∴与k 1无关．…（5分）（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4）．则．…（8分）设直线AM的方程为x=ny+1（n≠0），将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4ny﹣4=0∴y1y3=﹣4．同理可得y2y4=﹣4．…（10分）故，…（11分）由（Ⅰ）知，y1y2=﹣8，∴为定值．…（12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．11．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x 1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9．由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=．则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．12．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由（1）得，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=16（1+m2），|AB|2=（y1﹣y2）2+（x1﹣x2）2=（y1﹣y2）2+（）2=y1﹣y2）2[1+（）2]=16（1+m2）2，即有|AB|=4（1+m2），由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|﹣|CD|=|AB|﹣|CD|，又CD为圆x2+y2﹣2x=0的直径，即有|CD|=2，则4（1+m2）=6，解得，m=，则直线l的方程是x+y﹣=0或x﹣y﹣=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•衡水模拟）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．（2015•郴州二模）如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r====|O1O2|，即可证明；（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4=0，可得根与系数的关系，由x2=4y，可得．可得k MA•k MB==﹣1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3﹣（﹣1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程．（3）假设存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，设=λ，可得，，设C（x3，y3），D （x4，y4）．利用向量的坐标运算可得x1=﹣λx2，x4=﹣λx3．把x1=﹣λx2代入根与系数的关系可得．把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k2+6）x2+6kx﹣1=0，把根与系数的关系与x4=﹣λx3联立可得，联立解得即可．解答：（1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．则r====|O1O2|，∴r=|O1O2|，∴以AF为直径的圆与x轴相切；（2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．。

抛物线分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a ＝________.解析 抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，由条件得2＝－14a ，a ＝－18.答案 －182．(2012·惠州调研)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p ＝________.解析 因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4. 答案 43．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p ＝________.解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，所以3＋p2＝4，解得p ＝2.答案 24．(2013·广州调研)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．解析 由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，又由PM ＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝12×5×4＝10.答案 105．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________. 解析 ∵y 2＝4x ，∴p ＝2，F (1,0)，又∵AF ＝2，∴x A ＋p2＝2，∴x A ＋1＝2，∴x A ＝1.即AB⊥x 轴，F 为AB 的中点．∴BF ＝AF ＝2. 答案 26．(2012·福州质检)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析 由于抛物线y ＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )．则FA →＝(x A －1，y A )，FB →＝(x B －1，y B )，FC →＝(x C －1，y C )，由FA →＋FB →＋FC →＝0，所以x A ＋x B ＋x C ＝3，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝3＋3＝6. 答案 6二、解答题(每小题15分，共30分)7．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程． 解 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以p ＝2c ，所以抛物线方程为y 2＝4cx .因为抛物线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，所以6＝4c ·32，所以c ＝1.故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，所以94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，所以代入得94a 2－61－a 2＝1，所以a 2＝14或a 2＝9(舍)，所以b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y23＝1.8．(2010·湖北)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足x －12＋y 2－x ＝1(x >0)，化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m . ①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)， FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0. ②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1<0⇔ y 1y 2216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0， ③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线， 都有FA →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·徐州一中检测)点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使PF ＋PA 最小，则相应P 的坐标为________．解析 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时PF ＋PA 最小． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，142. (2012·郑州一测改编)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________． 解析 作AM ，BN 垂直于准线，准线与x 轴交点为E ，设|BF |＝t ，则|BC |＝2t . 则可得BC BC ＋BF ＋AF ＝BN AM ，即2t 2t ＋t ＋3＝t3，解得t ＝1.又BC BC ＋BF ＝BN FE ，即22＋1＝1P， ∴P ＝32.∴抛物线方程为y 2＝3x .答案 y 2＝3x3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M 、N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 必与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题是________(填序号)．解析 因为PF ＝MF ＝NF ，故∠FPM ＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而可知∠MPN ＝90°，故①正确，②错误：令直线PM 的方程为y ＝x ＋p2，代入抛物线方程可得y 2－2py ＋p 2＝0，Δ＝0，所以直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误． 答案 ①③4．(2012·南京29中模拟)已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为________． 解析 如图，过点A 作AB ⊥l 于点B (l 为准线)，则由抛物线的定义，得AB ＝AF .因为AK ＝2AF ，所以AK ＝2AB ，所以∠AKF ＝∠AKB ＝45°，设A (2t 2,4t )，由K (－2,0)，得4t 2t 2＋2＝1，得t ＝1，所以S △AKF ＝12×4×4＝8. 答案 85．(2012·江苏百校联考)如图，已知中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆T 过点M (2,1)，离心率为32；抛物线C 顶点在原点，对称轴为x 轴且过点M .(1)当直线l 0经过椭圆T 的左焦点且平行于OM 时，求直线l 0的方程；(2)若斜率为－14的直线l 不过点M ，与抛物线C 交于A 、B 两个不同的点，求证：直线MA ，MB 与x 轴总围成等腰三角形．解 (1)由e ＝c a ＝32，可设椭圆T 方程为x 24b 2＋y 2b2＝1，将M (2,1)代入可得b 2＝2，∴椭圆T 的方程为x 28＋y 22＝1.因此左焦点为(－6，0)，斜率kl 0＝k OM ＝12，∴直线l 0的方程为y ＝12(x ＋6)，即y ＝12x ＋62.(2)抛物线C 的方程为y 2＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2， k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝12y 2＋y 1＝－14，∴y 1＋y 2＝－2.k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝12y 1＋1＋12y 2＋1＝y 1＋y 2＋22y 1＋1y 2＋1＝0，∴直线MA ，MB 与x 轴总围成等腰三角形．6. (2012·苏中三市调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F (1,0)，过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与BC 交于点N .(1)求抛物线的标准方程；(2)求证：MN ⊥x 轴；(3)若直线MN 与x 轴的交点恰为F (1,0)，求证：直线AB 过定点． 解 (1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由题意，得p2＝1，即p ＝2.∴抛物线的标准方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且y 1>0，y 2>0. 由y 2＝4x (y >0)，得y ＝2x ，∴y ′＝1x.∴切线AC 的方程为y －y 1＝1x 1(x －x 1)，即y －y 1＝2y 1(x －x 1)．整理，得yy 1＝2(x ＋x 1)， ①且C 点坐标为(－x 1,0)．同理得切线BD 的方程为yy 2＝2(x ＋x 2)， ②且D 点坐标为(－x 2,0)． 由①②消去y ，得x M ＝x 1y 2－x 2y 1y 1－y 2.又直线AD 的方程为y ＝y 1x 1＋x 2(x ＋x 2)，③ 直线BC 的方程为y ＝y 2x 1＋x 2(x ＋x 1)．④由③④消去y ，得x N ＝x 1y 2－x 2y 1y 1－y 2.∴x M ＝x N ，即MN ⊥x 轴．(3)由题意，设M (1，y 0)，代入(2)中的①②， 得y 0y 1＝2(1＋x 1)，y 0y 2＝2(1＋x 2)，∴A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程y 0y ＝2(1＋x )． ∴直线AB 的方程为y 0y ＝2(1＋x )． 故直线AB 过定点(－1,0).。

2022年高考数学基础题型重难题型突破类型九抛物线的焦点弦问题【方法总结】直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目．【典例1】如图，过抛物线y 2＝2PX(P>0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M、N 两点，自M、N 向准线L 作垂线，垂足分别为M 1、N 1(Ⅰ)求证：FM 1⊥FN 1:(Ⅱ)记△FMM 1、、△FM 1N 1、△FN N 1的面积分别为S 1、、S 2、，S 3，试判断S 22＝4S 1S 3是否成立，并证明你的结论。

【典例2】如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82 的焦点F，且与抛物线交于A 、B 两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。

【典例3】(1)(2021·陕西模拟)已知F 是抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，过F 的直线与抛物线交于A，B 两点，AB 的中点为C，过C 作抛物线准线的垂线交准线于C′，若CC′的中点为M(1,4)，则p 等于()A．4B．8C．42D．82(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A，B 两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于()A．4B.92C．5D．6【典例4】已知抛物线C：y 2＝8x，P 为C 上位于第一象限的任一点，直线l 与C 相切于点P，连接PF 并延长交C 于点M，过P 点作l 的垂线交C 于另一点N，求△PMN 的面积S 的最小值．【拓展训练】1．设F 为抛物线C：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为()A.334B.938C.6332D.942．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A，B 两点，则|AF||BF|的值等于()A.13B.23C.34D.433．已知抛物线C：y 2＝8x 的焦点为F，点M(－2,2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A，B 两点，若∠AMB＝90°，则k 等于()A.2B.22C.12D．24.如图，已知点F(1,0)为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，过点F 的直线交抛物线于A，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q，且Q 在点F 右侧，记△AFG，△CQG 的面积为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．类型九抛物线的焦点弦问题【方法总结】直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目．【典例1】如图，过抛物线y 2＝2PX(P>0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线L 作垂线，垂足分别为M 1、N 1(Ⅰ)求证：FM 1⊥FN 1:(Ⅱ)记△FMM 1、、△FM 1N 1、△FN N 1的面积分别为S 1、、S 2、，S 3，试判断S 22＝4S 1S 3是否成立，并证明你的结论。