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曲边梯形的面积及定积分定义

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一元函数积分学第2-5节定积分

一元函数积分学第2-5节定积分

把区间 [a, b] 分成 n个
小区间 [ xi-1 , xi ]，
y
长度为 D xi xi - xi-1;
(2) 近似替代
在每个小区间 [ xi-1 , xi ]
上任取一点 xi，
o a b x1 x2 xi-1xixi xn-1
x
以 [ xi-1, xi ]为底，f (xi ) 为高的小矩形面积为 Ai f (xi )Dxi
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx.
(a < b)
证 - f (x) f (x) f (x),
b
b
b
- a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx,
即 b a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx .
说明：| f ( x)|在区间[a, b]上的可积性是显然的.
则对于每一个取定的 x值，定积分都有一个对应值，
所以它在 [a, b]上定义了一个函数，
记为：
故 a a2 - x2 dx a 2
0
4
a
表示半径为 a 的圆面积的四分之一(第一象限部分)
用上述方法求定积分只适用于特殊情形,
一般情形,需另谋出路 —— 牛—莱公式
四、定积分的性质 和牛顿—莱布尼茨公式
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b
b 时， a
f
在区间[a, b]上至少存在一个点x ，
使
f
(x)
b
1 -
a
b
a
f
(
x)dx,

曲边梯形的面积,定积分的概念

曲边梯形的面积,定积分的概念
n
1 1 1 5 lim 1 1 2 n 3 n 2n 3
O
y
y f ( x)
a b
y f ( x)
x
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。 —— 以直代曲
y
O
a
b
x
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
y
因此, 我们有理由相 信, 这个曲边三角形 的面积为:
S lim S n
n
y x2
O
1 n
2 n
k n
n n
x
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲 边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近 曲边梯形的面积.
y = f ( x) y
A1 O a b x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
y = f ( x) y
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f ( x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
显然， S Si
i 1
n
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间 i 1 i 2 , v t t 2 的值变化很 上，可以认为函数 n n 小， 近似的等于一个常数， 不妨认为它近似的等于左端

2定积分定义

2定积分定义
a1dx = a dx = b a .
b b
b
b
b
b
b
b
c
b
f ( x)dx .
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f ( x)dx 0 (a<b).
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
b
a f ( x)dx a g ( x)dx (a<b).
1 11 = 1 ( 1 x ) dx = . 0 2 2
1
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三、定积分的性质
两点规定
(1)当 a=b 时, (2)当 a>b 时,
a f ( x)dx = 0 ; a f ( x)dx = b
b a
b
f ( x)dx .
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三、定积分的性质
• 性质1 1 性质
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三、定积分的性质
• 性质1 1 性质 •性质2 2 性质 •性质3 3 性质
a [ f ( x) g ( x)]dx = a f ( x)dx a g ( x)dx . a kf ( x)dx = k a f ( x)dx . >>> a f ( x)dx = a f ( x)dx c
n
于是

i n 1 x n e dx = lim e 0 n i =1

n 2 1 1 1 = lim (e n e n e n ) n n n
1 e n [1 e]
1 = lim n n

4-2定积分

4-2定积分
否则，只要有一个发散，就称 f ( x)dx发散.
无穷限积分的几何意义 若f ( x) 0, x [a, ), f ( x)dx收敛的几何意义 :
a
曲线y f ( x),直线x a与x轴之间向右无限
延伸的阴影区域有面积,并以 lim A f ( x)dx极 A a
i 1
极限存在,并且其极限值与[a, b]的分割法
以及 i的取法无关, 则该极限值称为函数
f ( x)区间在[a, b]上的定积分,记作 :积分和
积分上限
即
b a
n
f ( x)dx lim
n ( 0)
i 1
f (i )xi
积分下限 被 积 函 数
被积
积分
表变
达 式
量
[a, b] 为积分区间
反常积分,简称无穷限积分,
记作
J f ( x)dx, a
并称 f ( x)dx收敛.否则称 f ( x)dx发散.
a
a
f ( x)dx lim A f ( x)dx .
a
A a
f ( x)dx lim A f ( x)dx .
注意：
(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与 积分变量的字母无关.
b f (x)dx b f (t)dt b f (u)du
a
a
a
(2)在定义中区间的分法和i的取法是任意的.
(3)当函数f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时, 称f ( x)在区间[a, b]上可积.

lim[
0
f
(1
)x1

f
(2 )x2

人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张

人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张

n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
10
S第1个黄色矩形
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
凡 事 都是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看 到 不 同 的 结果 。 若 能 把 一 些 事 看 淡 了 ，就 会 有 个 好 心 境 ， 若 把 很 多事 看 开 了 ， 就 会有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹 如 月 缺 月 圆那 样 寻 常 ， 让 得 失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那 样 自 然 ， 不 计 较， 也 不 刻 意 执 着； 让 生 命 中 各 种 的 喜 怒 哀 乐 ， 就 像 风 儿一 样 ， 来 了 ， 不 管 是 清 风 拂面 ， 还 是 寒 风 凛 冽 ， 都 报 以自 然 的 微 笑 ， 坦然 的 接 受 命 运 的 馈 赠 ， 把 是 非 曲 折 ， 都当 作 是 人
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1

3.3定积分的概念与性质、计算(一)

3.3定积分的概念与性质、计算(一)
0
i 1 n
总存在， 则称函数 f(x) 在区间 a , b 上可积， 并称极限I为函数 f(x) 在区间 a , b上的定积分， 记为 f x dx ,即
b a
I f x dx lim f i xi .
b a
n
0
i 1
注意: 0 不能换成 n .
该区间上各个时刻的速度，即
si v( i )ti ( i 1, 2, , n)
③求和.
s si v ( i )t i
i 1 i 1 n n
④取极限. s lim
0
v( )t
i 1 i
n
i
max ti
1 i n
A lim f i xi ( max{xi })
c b a c

c
a b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
b c
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
c b
a c
b c
a
b
a
c
性质4 如果在区间 a , b 上，f ( x ) g( x )，则
y
y f x 0
A i
即
a
Ai f i xi ( i 1, 2, , n)
O
x0 x1 x2
…
xi 1 xi
…
xn 1
b xn x
③求和
n i 1
i
f 1 x1 f 2 x2 f ( n )xn f i xi A

5_1 定积分的概念与性质


被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
a f (x) dx a f (t) d t a f (u) d u
定积分的几何意义:
曲边梯形面积
曲边梯形面积的负值
y
A1
a
A2
A3
A5
A4
bx
b
a f (x) d x A1 A2 A3 A4 A5
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
则有
ab
c
c
b
c
a f (x)dx a f (x)dx b f (x)dx
b
c
c
a f (x)dx a f (x)dx b f (x)dx
c
b
a f (x)dx c f (x)dx
5. 若在 [a , b] 上
则
n
证: f (i ) xi 0
y o a x1 xi1 xi
i
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: 1) 大化小.
n 个小段
将它分成 在每个小段上物体经
过的路程为
2) 常代变.
得
si v(i )ti (i 1, 2,, n)

高中数学总结归纳 定积分与曲边梯形的面积

定积分与曲边梯形的面积求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.当函数f(x)在区间〔a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下，定积分⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x=a,x=b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．那么在一般情形下，定积分⎰badx x f )(的几何意义是曲线y=f(x)，两条直线x ＝a,x ＝b 与x 轴所围成的各部分面积的代数和.本文主要探讨定积分与曲边梯形面积的关系.一. 利用定积分的定义求曲边梯形的面积例1.利用定积分的定义求由直线x=1,x=2和y=0及曲线y=x 3围成的图形的面积． 分析:画出草图,形象直观,帮助解题.对定积分定义的理解程度决定了解题的成败. 解：（1)分割把求面积的曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，用分点把区间［1,2］等分成n个小区间每个小区间的长度为过各分点作x 轴的垂线，把曲线梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作△S 1 ,△S 2，…,△S n ．（2)近似代替取各小区间的左端点ξi ，用以点ξi 的纵坐标(ξi )3为一边，以小区间长△x=n1为其邻边的小矩形面积近似代替第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为：(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即（4）求极限当分点数目愈多，即△x 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD 的面积S.因此∞→n 即△x →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积点评: (1)据定义求定积分的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限． (2)独立研究一个这种例题，是学习定积分过程中必需的，重点在于体验其中的数学思想．二、利用微积分基本定理求曲边梯形的面积 1.以x 为积分变量例2.求由抛物线y=x 2-1，直线x=2,y=0所围成的图形的面积． 分析：首先要较准确地画出图形，尤其是公共点． 解：首先画出如图所示的阴影部分就是所求作的图形． 由x 2-1=0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(-1,0)和(1,0)所求图形分成两块，分别用定积分表示面积为：因为1)3(,1)3(2323-='--='-x x x x x x ，所以 dx x dx x ⎰⎰---+-112112)1(|1|=dx x dx x ⎰⎰-+--212112)1(|1|=213113|)3(|)3(x x x x -+-- =1-31+1-31+38-2-(31-1)=38, 即所围成的三角形面积为38．点评：在[-1,1]上, 抛物线在x 轴下方,这时有两种办法表示，其面积表示其一是dx x ⎰--112|1|,其二是dx x ⎰---112)]1(0[．2. 以y 为积分变量例3求曲线y=2x 与直线y=x-4围成的图形面积．分析：首先正确画出抛物线和直线的大致图象（关键点要尽可能准确），如果选择积分变量为x ，则要将区域分成两块才行，而如果选择积分变量y,如图,问题便很简单．解：由⎩⎨⎧-==,4,22x y x y 解得⎩⎨⎧-==,2,2y x 和⎩⎨⎧==.4,8y x 即A,B 两点的纵坐标分别是-2和4. 因此所求的面积为因为,24)642(232y y y y y -+='-+所以 S=4232422|)642(]2)4[(---+=-+⎰y y y dy y y =18.点评：由本题可看出，如果采用x 作为积分变量，积分的运算量会增加，可见，认真审题，找出最佳的方法是很重要的．三、逆用曲边梯形的面积求定积分 例4.求定积分⎰---12))1(1(dx x x 的值.解析:⎰---12))1(1(dx x x 表示圆(x-1)2+y 2=1（y ≥0）的一部分与直线y=x 所围成的图形（如图所示）的面积，因此⎰---12))1(1(dx x x =2141121412-=⨯⨯-⨯ππ. 点评: 本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由⎰---12))1(1(dx x x 联想到圆(x-1)2+y 2=1（y ≥0）的一部分与直线y=x ，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算.这也是数学结合思想的又一体现。

1.4.1曲边梯形面积与定积分

k n
1 (n 1)n(2n 1)
n3
6
n
1 6
1
1 nLeabharlann 21 n.
x
n
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分 （2）近似代替 (3)求和 （4）取极限
割把这些矩形面积相加
y
作为整个曲边形面积S
的近似值。
有理由相信，分点 越来越密时，即分割 越来越细时，矩形面 积和的极限即为曲边 形的面积。
曲边梯形面积与定积分
高二数学组
一. 求曲边梯形的面积
①曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲
线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形
叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
y = f(x) y
b
S
f (x)dx；
a
根据定积分的定义右边图形的面积为
S
1
f (x)dx
1 x2dx 1
0
0
3
y
f(x)=x2
1
S1 3
O
x
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
b
f(x)dx
b
b
f (t)dt
f(u)du。
a
a
a
（2）定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.
三.定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b

高等数学-第五章-定积分


则有
ab
c
c
b
c
a f (x)dx a f (x)dx b f (x)dx
b
c
c
a f (x)dx a f (x)dx b f (x)dx
c
b
a f (x)dx c f (x)dx
6. 若在 [a , b] 上
则
a<b
n
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
d (x)
dx a
f (t) d t
f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
f
(t) d t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
例1. 求
0
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
x
ba n
,
xi a i x (i 0,1, ,n)
记 f (xi ) yi (i 0,1, ,n)
1. 左矩形公式
O a xi1xi
bx
ab f (x)dx y0x y1x yn1x
2. 右矩形公式
ba n
(
y0
y1
yn1)
ab f (x)dx y1x y2x ynx
)
故
π 2 0
2
dx
π
2 f (x) dx
0
π
2 1dx
0
即
1
π
2 0
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(1)分割
3
在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小 区间：
i 1 i 记第i个区间为[ , ](i 1,2,, n), n n
i i 1 1 其长度为x n n n
(2)近似代替、作和
i 取i (i 1,2,, n), 则 n n n 1 i i 31 3 x dx Sn f ( )x ( ) 0 n n i 1 i 1 n
O
a 1 x1 2 x2
xi-1 i xi
xn-1 b x
•把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形．
•任取i [xi1，xi ] ，以f ( i) xi近似代替第i个窄曲边梯形的面 积． •曲边梯形的面积近似为：A
f ( )x
i 1 i
n
i
．
分割
近似代换
n
求和
取极限
•曲边梯形的面积近似为：
1 1 2 1 n 3 2 4 i 4 n (n 1) n 4 n i 1 1 1 2 (1 ) 4 n
（2）取极限
x dx lim S
3 0 n
1
n
1 1 2 1 lim (1 ) n 4 n 4
定积分的性质:
（ ） kf ( x)dx k f ( x)dx(k为常数) 1
微积分在几何上有两个基本问题
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；
2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。
y y
y
0
x
0
x
o
x
直线
几条线段连成的折线
曲线？
1.5.1曲边梯形的面积
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三
角形）面积S是多少？
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲)
y
演示
O
1
x
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从 而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示 小曲边梯形的面积
f (1 )x1 f (2 )x2 f (3 )x3 f (n )xn
1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ], [ , ], , [ , ], , [ , ], n n n n n n n
S1 , S2 , , Si , , Sn .则S Si
i 1
n
（2） 近似代替
i 1 i 1 2 1 Si Si ' f ( )x ( ) n n n （3）求和
f ( )x
i 1 i
i
．
ba S lim f ( i ) n n i 1
n
（类似方法求汽车行驶的路程）
如果函数f ( x)在区间[a, b]上连续，用分点 a x0 x1 xi1 xi xn b
将区间[a, b]等分成n个小区间，在每个小区间 [ xi1 , xi ]上任取一点i (i 1,2,, n), 作和式 ba f (i )x n f (i ) i 1 i 1
表示了曲边梯形面积的近似值
演示
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面方案“以直代曲”的具体操作过程
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
i i 1 1 每个区间的长度为 x n n n 过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
3 2 0 3
(2) (8 x 21x 12 x 15)dx
3 3 0
3
作 业
回家好好复习总结！
同学们再见！
定积分 f ( x)dx 的几何意义：
a
b
如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,
那么定积分 f ( x)dx 表示
a b
由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)
所围成的曲边梯形的面积。
例1 利用定积分的定义，计算 x dx的值。
3 0
1
解：令f ( x) x
Sn Si '
i 1
n
i -1 1 n i -1 2 1 f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 1 2 2 2 2 3 [0 1 2 (n 1) ] n Nhomakorabean
（4）取极限
当分割无限变细，即 x 0(亦即n )时， 1 2 2 1 1 2 2 [0 1 2 (n 1) ] 3 (n 1)n (2n 1) 3 n n 6 1 1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n 3 1 1 1 1 所以S lim S n lim (1 )(1 ) ， n 2n 3 x 0 x 0 3 1 即所求曲边三角形的面 积为 。 3
a a b b
（2） [ f1 ( x) f 2 ( x)]dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx
a a a
b
b
b
（3） f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a a c
b
c
b
(其中a c b)
1 2 3 15 例2 已知 x dx , x dx , 0 4 1 4 2 7 4 2 56 2 x dx , x dx , 1 3 2 3
分割 近似代替 求和 取极限
•在 [a, b]中任意插 入 n 1个分点． •得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , · ·n)． ·, •区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y = f(x) y f(i)
f(2) f(1) f(i)xi
1 3
求（ ） 3 x dx 1
3 0
2
(2) 6 x dx
2 1
4
(3) (3 x 2 x )dx
2 3 1
2
9 已知 dx 3, xdx , 0 0 2 3 3 81 2 3 0 x dx 9,0 x dx 4 ,
3 3
求 (1) (4 x 3x 6 x 8)dx
n n
当n 时，上述和式无限接近某个常数， 这个常数叫做函数f ( x)在区间[a, b]上的定积分， 记作 f ( x)dx,即
a b

b
a
ba f ( x)dx lim f (i ) n n i 1
n
这里，a和b分别叫做积分下限和 积分上限。区间[a, b]叫做积分区间， 函数f ( x)叫做被积函数，x叫做积分变量， f ( x)dx叫做被积式。