高二数学曲边梯形面积与定积分1

定积分1.复习不定积分的观点.2.讲解新课2.1 两个引例引例 1曲边梯形的面积由连续曲线y f ( x) （ f x0 ）和 x a, x b 及 y 0围成的平面图形AabB 称为曲边梯形（如图5-1 ）．因为曲边梯形在底边上各点处的高 f ( x) 在区间a,b 上是不停变化的，因此它的面积不可以由公式A底×高求得 . 为了计算曲边梯形的面积，我们能够先将它切割成若干个小曲边梯形，在小曲边梯形中 f ( x) 的变化很小，能够用相应的小矩形近似取代，用全部小矩形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积. 明显，切割的越细，近似程度就越高，当无穷细分时，全部小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精准值.依据以上剖析，我们按下边的方法求曲边梯形的面积.设函数 f (x) 在区间a, b 上连续，且 f x0 .在 [ a, b] 上任取n 1 个内分点：a x0 x1 x2x n 1x nb ，将区间 a, b切割为 n 个小区间:图 1[ x0 , x1],[ x1, x2 ], K ,[ x n 1 , x n ] ，记每一小区间长度为i i i 1 ，过分点x i (i1,2, , n)作 x 轴的垂线，将曲边梯形x x xAabB 分割为n个小曲边梯形；设A i表示第i个小曲边梯形的面积，则曲边梯形AabB AabB 的面积为A n. 在每个小区间x i , x i 1i，以 x i为底边，A i上随意取一点k1f ( i ) 为高作小矩形，则小矩形的面积为 f ( i ) x i，当x i很小时，有A i f (i ) xi( i 1,2,L, n )若分点越多，x i就越小，上式的近似程度就越高，小矩形的面积总和也就越靠近于曲边梯形AabB 的面积.即nA f i x i，i1此为曲边梯形面积的近似值．若用max{x i} 来表示全部小区间中的最大区间长度，当分1i a点数无穷增大且趋于零时，该近似值就趋近于曲边梯形AabB 的面积 A ，即nnA A i.lim f i x ik10i 1n我们把极限 lim f i x i称之为曲边梯形的面积．0i 1引例 2 变速直线运动的行程设质点运动的速度函数v v t是连续变化的且大于零，考虑从时辰 a 到时辰b所走过的行程 s ．我们仍旧采纳切割的方法：（ 1 ）用分点：a t0t1 t2tn 1t n b 将时间区间 [a, b] 分红 n 个小区间:t i 1 ,t i(i 1,2,,n) ，每个小区间的长度记为t i t i t i 1 (i 1,2,, n) ．（ 2）近似取代：在每一时间区间内任取一时辰i，则质点在该时间区间走过的行程近似为s i v i t i，(i1,2,, n)（ 3）乞降：将每个时间区间上质点所经过的行程的近似值累加起来，就获得时间区间[a,b] 上质点所经过的行程s 的近似值，即n ns s i v i t ii 1i 1（4）取极限：当分点无穷增添时，记小区间最大的一个长度为max{t i } ，当1 i an时，则和式v i t i的极限就是质点从时辰 a 到时辰 b 的行程，即i 1ns lim0i 1vit i定积分的定义以上两个例子的实质意义不一样，但办理问题的思想方法是同样的，最后所获得的结果都归纳为乞降式的极限. 数学大将这种和式的极限称作为定积分.定义1设函数 f (x)在 [a, b]上有定义，任取分点a x0x1x2x n 1x n b将 [ a, b]分红n 个小区间[ x i1, x i ](i1,2,., n) ，记x i x i x i 1(i1,2,., n)为区间长度，max{ x i } ，并在每个小区间上任取一点i ( x i 1 i x i ) ，得出乘积 f ( i ) x i1 i a的和式nf ( i )x ii 1若0 时，和式的极限存在，且此极限值与区间[a, b]的分法及点i的取法没关，则f ( x) 在 [ a, b] 上的定积分，记为b称这个极限值为函数 f ( x)dx ，即ab na f (x)dx limf (i ) x i.(1)0i 1这里 f ( x) 称为被积函数， f ( x)dx 称为被积表达式，x 叫积分变量， [ a,b] 叫积分区间，a 称为积分下限，b称为积分上限.若 f (x) 在a,b上的定积分存在，则说 f ( x) 在 [ a, b]上可积 .A b依据定义，在上述例中的曲边梯形的面积用定积分能够表示为 f (x)dx ；变速as b直线运动的质点的行程能够表为：v(t )dt .a对于定积分的定义，有以下说明：(1)定积分的值只与被积函数、积分区间相关，与积分变量的符号没关. 即b bf (t )dt b f ( x)dxa f (u)du .a a(2) 定义中要求a b ，若 a b 、 a b 时有以下规定：当 a b 时，b af ( x) f ( x) ，a b即交换定积分的上、下限，定积分要变号.当 a b 时，a0.f ( x)dxa在如何的条件下， f ( x) 在a,b上的定积分必定存在呢？有下边的定理：定理 1假如 f ( x) 在a, b上连续，则 f ( x) 在a, b上可积.定理 2假如 f ( x) 在a, b上有界，且只有有限个中断点，则 f ( x) 在a, b上可积.由此可知，初等函数在其定义区间内都是可积的.定积分的几何意义在议论曲边梯形面积时，假设 f x 0 ，曲边梯形的图形在x 轴的上方，则积分值是正bf ( x)dx A 0 ；的，即ab A ；若 f x0 ，图形在 x 轴的下方，则积分值是负的，即 f x dxa( )nx i若 f x在 [a,b] 上有正有负时，则积分值就表示曲线lim f ( i )0i 1y f x在 x 轴上方和 x 轴下方的面积的代数和.如图 2所示 .例 1用定积分表示图中暗影部分的面积.解 (1)2x2 dx ；(2)A1A 1 x2 dx .图 211图 2图 3图 4例 2利用定积分的几何意义，说明22 的建立．xdx2y x x2，y0 围解的几何意义是由曲线，成的图形的面积S ，如图5-5所示，求得面积为S2，故20xdx 2．定积分的性质设 f x 、 g x 在 a, b 区间上可积，则依据定义可推证定积分有以下的性质：图 5性质 1b ba . 1dx dx ba a性质 2常数因子可直接提到积分符号前方.b bkf (x)dx k f (x)dx .a a性质 3代数和的积分等于积分的代数和，即b b b[ f ( x) g( x）]dxf ( x)dx g( x) dx .a a a这一结论能够推行到有限多个函数代数和的状况.性质 4对随意的点 c ，有b c ba f ( x)dxf ( x) dxf (x)dx .ac这一性质称为定积分的可加性，不论ca, b 仍是 ca,b ，性质均建立假如在 a,b 上有 fxgb f ( x)dxb性质 5x ，则g ( x)dx .aa 特别地，当 fx0 时，bf ( x)dx 0 . a性质 6 （估值定理）若函数f x 在区间 a,b上的最大值与最小值分别为M 和 m ，则m(b a)bM (b a) .f (x)dxa这是因为 mf ( x)bmdxbf ( x) dxbM ，由性质 5得a Mdx ，再由性质 1 和性质aa2 即可得结论 .性质 7( 积分中值定理 )设 f (x) 在闭区间a,b 上连续，则起码存在一点a,b ，bf b a .使f (x)dxa其几何意义是：设 f x0 ，则由曲线 y f ( x) ，直线 x a, x b 及 x 轴所围成的曲边梯形面积等于以区间[ a,b] 为底，以 f ( ) 为高的矩形abcd 的面积 ( 如图 6 所示 ). 我们称f ( )1bx 在 a, b 上的均匀值 .b f ( x)dx 为 fa ay f ( x)图 6例 3 比较以下各对积分值的大小：1x 2dx 与1 1 1(1)0xdx ； (2)10xdx 与5xdx .解 (1)0,1 上 x2x ，所以1 1 xdx .因为在x 2 dx0,1 上 10x5x，所以11 (2) 因为在10 xdx5x.例 43e xdx 的值．预计定积分1解因 f ( x)e x 是指数函数，由指数函数的性质知，f ( x) 在 [1,3] 上的最大值为 e 3 ，最小值为 e ，由性质６有e(31)3e3 (3 1），e x dx12e 32e3.即e x dx1小结定积分的观点（1）定积分的实质背景是解决已知变量的变化率，求它在某范围内的积累问题．经过“切割，局部以不变代变得微量近似，乞降得总量近似，取极限得精准总量”的一般解决过程，最后抽象获得定积分的观点．即b n． f ( x) dx limf (i ) x ia0i 1（ 2）据定积分的定义，在[ a，b] 上连续非负函数的定积分总表示由y=f ( x)， x=a， x=b与x 轴围成的单曲边梯形的面积，获得定积分b f ( x )dx的几何意义是由y=f ( x)，x=a x=ba，与 x 轴围成地区的代数面积．（3）定积分是一个数，不定积分是一个函数的原函数的全体．所以，定积分和不定积分是两个完整不一样的观点．4．部署作业（略）。

三角函数的定积分计算与曲边梯形面积应用三角函数是数学中的一种重要函数类型，它在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍三角函数的定积分计算方法，以及如何利用三角函数求解曲边梯形的面积。

一、三角函数的定积分计算定积分是微积分中的一个重要概念，表示曲线下的面积。

对于三角函数来说，我们可以利用其周期性和性质进行定积分的计算。

1. 正弦函数的定积分计算正弦函数的定义域是整个实数集，其周期为2π。

对于正弦函数sin(x)，其定积分可以表示为∫sin(x)dx。

利用正弦函数的性质可以得到该定积分的计算方法。

我们知道，正弦函数的一个周期(0到2π)的定积分为0，即∫[0,2π]sin(x)dx = 0。

由于正弦函数是周期性函数，所以在每个周期内的定积分都是相等的。

例如，要计算∫[0, 4π]sin(x)dx，可以将其分解成四个周期内的定积分的和：∫[0, 2π]sin(x)dx + ∫[2π, 4π]sin(x)dx + ∫[4π, 6π]sin(x)dx + ∫[6π,8π]sin(x)dx。

由于每个周期内的定积分都为0，所以该定积分的结果为0。

2. 余弦函数的定积分计算与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期性函数，其周期为2π。

对于余弦函数cos(x)，其定积分可以表示为∫cos(x)dx。

同样地，余弦函数一个周期(0到2π)内的定积分为0，即∫[0,2π]cos(x)dx = 0。

由于余弦函数也是周期性函数，所以在每个周期内的定积分都是相等的。

例如，要计算∫[0, 6π]cos(x)dx，可以将其分解成三个周期内的定积分的和：∫[0, 2π]cos(x)dx + ∫[2π, 4π]cos(x)dx + ∫[4π, 6π]cos(x)dx。

由于每个周期内的定积分都为0，所以该定积分的结果为0。

二、曲边梯形的面积应用曲边梯形是一个由曲线和直线围成的四边形，其中有一条边为曲线边，其余三条边为直线边。

对于曲边梯形的面积计算，我们可以利用三角函数进行求解。

课堂探究1探究一 求曲边梯形的面积1．求曲边梯形的面积时要按照分割—近似代替—求和—取极值这四个步骤进行．2．近似代替时，能够用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．3．求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，12＋22＋…＋n2＝n n ＋12n ＋16等． 【典型例题1】 用曲边梯形面积的运算方法求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝3x 所围成图形的面积．思路分析：严格按照分割—近似代替—求和—取极限这四个步骤进行运算求解．解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n)． 每个小区间的长度为Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为ΔSi(i ＝1,2，…，n)．(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积．ΔSi ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n ＝3n2(i －1)(i ＝1,2，…，n)． (3)求和：∑i ＝1n ΔSi ＝∑i ＝1n 3n2(i －1)＝3n2[1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n . (4)取极限：S ＝lim n →＋∞ ∑i ＝1n 3n2(i －1)＝lim n →＋∞ 32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32. 故所求面积等于32.探究二 用定积分的定义求定积分用定积分的定义求定积分与求曲边梯形的面积的步骤是相同的，即分割—近似代替—求和—取极限．其中，被积函数确实是曲边梯形的曲边对应的函数，积分的上、下限分别是曲边梯形中垂直于x 轴的两条直线与x 轴交点的横坐标值，面积的值确实是相应定积分的值．【典型例题2】 用定义求定积分∫10(x2＋2x)dx.解：设f(x)＝x2＋2x.①将区间[0,1]平均分成n 等份，则Δxi ＝1n .第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2,3，…，n)． ②取ξi ＝i n ，则f(ξi)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n ＝1n2i2＋2n i ， 因此f(ξi)·Δxi ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2i2＋2n i 1n ； ③Sn ＝∑i ＝1n f(ξi)·Δxi ＝∑i ＝1n 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2i2＋2n i ＝∑i ＝1n 1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n2＋22n2＋…＋n2n2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2n ＋…＋n n ＝n ＋12n ＋16n2＋n ＋1n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n . ④当n →＋∞时，Sn ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n →43，即lim n →＋∞Sn ＝43， 因此∫10(x2＋2x)dx ＝lim n →＋∞Sn ＝43.探究三 定积分几何意义的应用1．定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是：介于x ＝a ，x ＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x 轴上方部分面积为正，x 轴下方部分的面积为负．2．定积分几何意义的应用要紧有两个方面：一是将求平面图形的面积问题转化为求相应的函数的定积分问题；二是将一些求专门函数的定积分问题转化为求相应平面图形的面积问题．3．求定积分值的时候，要注意结合函数图象的对称性求解．【典型例题3】 用定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)∫21xdx ；(2)∫2－24－x2dx ；(3)∫π－πsin xdx ；(4)∫2π0cos xdx.思路分析：画出相应被积函数的图象，再依照定积分的几何意义求解． 解：(1)定积分∫21xdx 的值确实是由直线y ＝x ，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成图形的面积，那个地点恰好是一个直角梯形，其面积为S ＝12(1＋2)×1＝32，因此∫21xdx ＝32.(2)被积函数y ＝4－x2表示的曲线是圆心在原点，半径为2的上半圆，由定积分的几何意义知定积分运算的是半圆的面积，因此有∫2－24－x2d x ＝π·222＝2π.(3)函数y＝sin x在区间[－π，π]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称(如图)，由在x轴上方和下方面积相等的两部分构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即∫π－πsin xdx＝0.(4)由函数y＝cos x图象(如图)的对称性可知，x轴上方和下方的面积0cos xdx＝0.相等，因此∫2π探究四定积分性质的简单应用应用定积分的性质能够解决定积分的运算问题，但要注意这些性质的逆用和变形应用．【典型例题4】求解下列各题：(1)若∫b a[f(x)＋g(x)]dx＝2，∫b a g(x)dx＝－3，则∫b a4f(x)dx＝________ __.(2)已知∫3－2f(x)dx＝5，∫30f(x)dx＝4，则∫0－2[－f(x)]dx＝_________ _.思路分析：利用定积分的性质进行求解．解析：(1)由于∫b a[f(x)＋g(x)]dx＝∫b a f(x)dx＋∫b a g(x)dx，因此∫b a f(x)dx＝∫b a[f(x)＋g(x)]dx－∫b a g(x)dx＝2－(－3)＝5，因此∫b a4f(x)dx＝4∫b a f(x)dx＝4×5＝20.(2)由于∫3－2f(x)dx＝∫0－2f(x)dx＋∫30f(x)dx，因此∫0－2f(x)dx＝∫3－2f(x)dx－∫30f(x)dx＝5－4＝1，故∫0－2[－f(x)]dx＝－∫0－2f(x)dx＝－1.答案：(1)20(2)－1探究五易错辨析易错点：对定积分与曲边梯形面积的关系明白得不清而出错【典型例题5】用定积分表示曲线y＝sin x与直线x＝－π，x＝0，y ＝0所围成图形的面积．错解：所求面积为∫0－πsin xdx.错因分析：没有分析曲线y＝sin x的位置，盲目套用定积分与曲边梯形面积的关系导致错误．事实上，图形在x轴下方，故其面积应等于定积分的相反数．∫0－πsin xdx.正解：所求面积为－∫0－πsin xdx，或||。

定积分与曲边梯形面积的关系
定积分和曲边梯形面积有着密切的关系。

对于一个连续的函数
$f(x)$，我们可以将其在$x\in[a,b]$的区间上分成许多小的梯形形状，将梯形的面积加起来即可得到曲边梯形的面积，即：
$$S=\sum_{i=1}^{n}(\frac{f(x_{i-1})+f(x_{i})}{2})(x_{i}-
x_{i-1})$$
其中，$n$表示我们分割的梯形数量，$x_{i}$表示分割后的小区
间的右端点，$x_{i-1}$则表示左端点。

$(\frac{f(x_{i-
1})+f(x_{i})}{2})$则表示这个小梯形的高，$(x_{i}-x_{i-1})$表示
它的底边长度。

可以发现，将$n$增加到无限大时，曲边梯形面积就会趋于某个
定值$S$，这个定值就是$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分。

我们可以
用积分符号表示为：
$$S=\int_{a}^{b}f(x)dx$$
因此，我们可以通过定积分来求解曲线的面积问题，从而将几何
问题转化为数学问题，达到简便、准确的目的。

预习导航1．函数的极值(1)已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点．如果在x0附近都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．(2)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．思考1 (1)极大值(极小值)是否就是函数在定义域内最大的值(最小的值)?(2)函数是否一定存在极值？若存在，是否是唯一的？(3)极大值是否一定比极小值大？(4)函数的极值点是否可以出现在区间的端点？提示：(1)极值是一个局部概念．由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．(2)在一个给定的区间上，函数可能存在若干个极值，也可能不存在极值；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．(4)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．2．求函数y＝f(x)极值的步骤第1步：求导数f′(x)；第2步：求方程f′(x)＝0的所有实数根；第3步：考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．思考2 (1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了．但对可导函数来说，极值点处的导数值一定等于0.3．函数的最值函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值．点拨函数极值与最值的联系与区别：(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值最多只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值．(3)极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得．有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不是在端点处取到，则一定是某个极值．4．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤第1步：求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点．第2步：计算函数f(x)在区间(a，b)内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．思考3如果函数f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数，如何求其最值？提示：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到．当f(x)在闭区间[a，b]上递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间[a，b]上递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值．点拨函数f(x)在开区间上最值的求法：如果要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与闭区间加以区别．由于是开区间，所以函数的最值不能在端点处取得，而只能在极值点处取得，当函数在开区间上只有一个极值时，这个极值也必然是最值．如果在无穷区间(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．此外，还要注意研究函数值的变化趋势，必要时应画出函数的大致图象，结合图象分析函数的最值．。