曲边梯形面积与定积分(二)教案

曲边梯形的面积教学目标：1. 理解曲边梯形的概念。

2. 学会计算曲边梯形的面积。

3. 能够应用计算公式解决实际问题。

教学重点：1. 曲边梯形的概念。

2. 计算曲边梯形面积的公式。

教学难点：1. 理解曲边梯形的面积计算过程。

2. 应用公式解决实际问题。

教学准备：1. 教学PPT。

2. 教学素材（曲边梯形图形、计算工具）。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾梯形的面积计算方法。

2. 提问：如果梯形的边变成曲线，我们如何计算它的面积呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍曲边梯形的概念。

2. 讲解曲边梯形面积的计算公式。

3. 举例说明曲边梯形面积的计算过程。

1. 学生独立完成练习题，巩固曲边梯形面积的计算方法。

2. 教师选取部分学生的作业进行点评。

四、拓展应用（10分钟）1. 学生分组讨论，思考曲边梯形面积计算在实际问题中的应用。

2. 各组汇报讨论成果，分享实际问题解决方案。

五、总结与反思（5分钟）1. 学生总结本节课所学内容，分享自己的学习收获。

2. 教师对学生的表现进行评价，并提出改进意见。

教学评价：1. 课后作业完成情况。

2. 课堂练习的正确率。

3. 学生对实际问题解决方案的合理性。

六、案例分析（10分钟）1. 教师展示曲边梯形面积计算在实际工程、地理等领域的应用案例。

2. 学生分析案例，理解曲边梯形面积计算的重要性。

七、练习与巩固（15分钟）1. 学生完成课后练习题，巩固曲边梯形面积计算方法。

2. 教师选取部分学生的作业进行点评，解答学生的疑问。

八、小组讨论（15分钟）1. 学生分组讨论，思考如何优化曲边梯形面积计算方法。

2. 各组汇报讨论成果，分享优化方案。

1. 学生总结本节课所学内容，分享自己的学习收获。

2. 教师对学生的表现进行评价，并提出改进意见。

十、课后作业（课后自主完成）1. 完成课后练习题，巩固曲边梯形面积的计算方法。

2. 思考曲边梯形面积计算在实际问题中的应用，选取一个实例进行分析。

曲边梯形的面积教学设计宁波滨海国际合作学校汪庆东一、教学内容解析本节课是人教A版选修2-2第一章第5节的内容。

该内容不在浙江省高考范围之列，本节课作为一节数学拓展课，主要让学生学会曲边梯形的面积的求法，了解定积分的实际背景，同时让学生了解微积分及割圆术等数学历史，旨在帮助学生了解以曲代直及无限逼近这两种重要的数学思想，进一步拓展学生视野，增强学生学习数学的兴趣。

基于以上分析，教学内容应在类比和转化的方法引领下，引导学生利用分割与无限逼近的思想解决生活当中的曲边梯形的面积的求法。

重点是探究求曲边梯形面积的方法难点是把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。

二、教学目标设置1、知识与技能目标：（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景；（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限；（3）了解割圆术、微积分创立的背景，了解相关数学史。

2、过程与方法目标：（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想；（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观目标：（1）在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的；（2）通过相关数学史教学，让学生感受数学来源于生活并服务于生活的工具作用。

三、学情分析本节课的教学对象是高一年级学生，且本节课不作为高考考试内容，而高一学生对本节课的认知基础有限，根据分析学生在本节课之前已经具备的认知基础有：1. 学生学习过匀速直线运动的位移公式及其几何意义；2. 高一上学期学习了匀加速直线运动的位移公式，并初步了解其公式推导过程中的分割思想；3. 对割圆术求圆周率的方法有少部分的了解。

四、教学策略分析课堂教学以学生为中心，突出合作学习，探究学习和自主学习。

师生合作探究，通过匀速直线运动位移的几何意义匀加速直线运动的位移公式的推导变速运动位移公式的求解，通过师行合作，共同完成新知学习。

1.4.1曲边梯形的面积与定积分一． 学习目标：通过实例，从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想初步了解定积分的概念。

二．【使用说明及学法指导】1.先精读一遍教材，用红色笔进行勾画，再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答提出的问题；2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范，A 层完成所有题目，对于选做部分BC 层可以不做；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑； 三．自学指导：1、 定积分的概念：设函数y=f （x ）定义在区间[a,b]上用分点a=x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n =b ，把区间[a,b]分为n 个小区间，其长度依次为△x i =x i ＋1－x i ，i=0,1,2，…，n －1，记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点ξ，作和式 当λ→0时，如果和式的极限存在，把和式In 的极限叫做，记作即： 其中 叫做被积函数， 叫积分下限， 叫积分上限， 叫做被积式，此时称函数f （x ）在区间 [a,b]上可积。

2、定积分的几何意义：当函数f （x ）在区间[a,b]上恒为正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是：【预习自测】 （1）1xdx ⎰12x dx ⎰ （2）1xdx ⎰21xdx ⎰（3）2204x dx -⎰22dx ⎰【我的疑惑】课中案一.【教学重点与难点】：重点:定积分的概念，体会如何把曲线围成区域的面积转化为矩形面积的和。

难点：如何把曲线围成区域的面积转化为矩形面积的和。

二．合作、探究、展示例1、利用定积分定义计算：（1）1xdx ⎰（2）baCdx ⎰，C 为常数例2、利用定积分的几何意义计算： （1）2224x dx --⎰（2）1201x dx -⎰【总结反思】三.课堂检测（1）下列定积分为1是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+10)1(C ．dx ⎰101D ．dx ⎰1021(2)利用定积分表示图中四个图形的面积：【课堂小结】1.知识方面2.数学思想方法课后案1,利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？（1）3π40sin d x x ⎰； （2）01e d xx -⎰； （3）1213ln d x x ⎰．2,利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小．10d x x ⎰，120d x x ⎰，130d x x ⎰。

曲边梯形的面积教材分析本节的主要内容是定积分的引入、定积分的定义和几何意义、定积分的基本性质．教科书在对两类典型问题——求曲边梯形的面积和求变速运动物体的位移进行详细讨论的基础上，抽象、概括出它们的共同本质特征，进而引入定积分的概念及其几何意义，最后给出定积分的基本性质．在本节的开头，教科书提出了如何计算平面“曲边图形”的面积、如何求变速直线运动物体的位移、如何求变力所作的功等问题，并猜测解决它们的基本思想方法，即将求“曲边图形”的面积转化为求“直边图形”的面积，利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题，从而引发学生学习定积分知识的兴趣．为了研究问题的方便，教科书在描述连续函数意义的基础上，将本节研究对象限定在连续函数的范围内．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标通过探求曲边梯形的面积使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，为理解定积分的概念及几何意义奠定基础．过程与方法目标理解求曲边梯形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．重点难点重点：了解定积分的基本思想——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤．难点：理解对过程中所包含的基本的微积分思想——“以直代曲”．教学方法探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生探究讨论→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．教具准备多媒体课件引入新课1．我们学过如何求正方形、长方形、三角形等图形的面积，这些图形都是由直线段围成的．那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？比如山东省地图的面积．物理中，我们知道了匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等，能否利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题？为此，我们需要学习新的数学知识——定积分．2．如果函数y＝f(x)在某一区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把函数y＝f(x)称为区间I上的连续函数(不加说明，下面研究的都是连续函数)．探究新知提出问题1：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y＝f(x)的一段，我们把由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积呢？活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生合作、讨论、交流．请同学提出自己的想法，只要切实可行即可．学情预测：学生可能想到下面的方法：方法(1)将图形放在网格纸上，也即将图形进行分割，看它有多少个“单位面积”．方法(2)将图形从里(或外)面用规则图形(或规则图形的组合)进行逼近．方法(3)将图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内投“点”(如豆子等)，当点数P足够大时，统计落入阴影图形中的点数A，则图形的面积与正方形面积的比约为A∶P.方法(4)将图形用一个正方形围住，均匀铺满细沙，分别称得正方形内沙重P、所求图形内沙重A，则图形的面积与正方形面积的比约为A∶P.活动成果：在众多方法中出现“分割”的思想．设计意图其中方法(1)、(2)蕴含积分的基本思想，方法(3)是随机模拟的方法，称为“蒙特卡罗方法”，方法(4)是伽利略测量摆线与直线围成的面积时所用的方法，也是统计学中常用的一种思想方法．根据学生反馈的情况有选择性地进行点评，提高学生的学习兴趣，并进一步筛选出本节所用的思想方法．提出问题2：图中阴影部分是由抛物线y＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形，求它的面积S.提出问题3：曲边梯形与“直边图形”有何区别？能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？活动设计：学生先独立思考，必要时，允许合作讨论．教师巡视指导．学情预测：学生的说法可能会有很多种，教师从中提炼本节的基本思想．活动结果：得出“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段，进一步引出“以直代曲”思想的应用，教师将各个学生或学习小组的图分别展示，然后让全班学生比较，选择适当的图形，以使近似计算简便、步骤简洁．最终师生达成一致意见，选定两种方案：不足近似与过剩近似．提出问题4：若采用“分割”法求曲边梯形的面积，应分割成多少个？活动结果：教师引导，学生探究．分割越多越好，分割越“细”，结果越精确．把区间[0,1]分成许多个小区间，进而把曲边梯形拆为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确．当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S.也即：用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．提出问题5：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？ 活动结果：教师引导学生得出“取极限”． 设计意图让学生体会极限思想的价值，尤其是在定积分中的作用． 提出问题6：求曲边梯形面积的步骤是什么？ 活动结果：教师引导学生梳理步骤： (1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间： [0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[n －1n，1]，记第i 个区间为[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n)，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .显然，S ＝i ＝1n ΔS i .(2)近似代替记f(x)＝x 2.如图(1)所示，当n 很大，即Δx 很小时，在区间[i －1n ，in ]上，可以认为函数f(x)＝x 2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点i －1n处的函数值f(i －1n)．从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边(如图(2))．这样，在区间[i －1n ，in ]上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，即在局部小范围内“以直代曲”，则有(1)(2)ΔS i ≈ΔS i ′＝f(i －1n )·Δx ＝(i －1n )2·Δx ＝(i －1n )2·1n (i ＝1,2，…，n)．①(3)求和由①，图(2)中阴影部分的面积S n 为 ΔS n ＝i ＝1n ΔS i ′＝∑i ＝1nf(i －1n )·Δx ＝i ＝1n (i －1n )2·1n＝0·1n ＋(1n )2·1n ＋…＋(n －1n )2·1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝1n 3(n －1)n (2n －1)6＝13(1－1n )(1－12n)． 从而得到S 的近似值S ≈S n ＝13(1－1n )(1－12n )．(4)取极限分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份(如图(3))，可以看到，当n 趋向于无穷大，即Δx 趋向于0时，S n ＝13(1－1n )(1－12n)趋向于S ，从而有S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞∑i ＝1nf(i －1n )·1n ＝lim n →∞ 13(1－1n )(1－12n )＝13.(3)我们还可以从数值上看出这一变化趋势：提出问题7：在“近似代替”中，如果认为函数f(x)在区间[i －1n ，in ]上的值近似地等于右端点i n 处的函数值f(i n )，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？如果不是在区间的两个端点取，而是在每一个区间中间取任意一点作为高，会有怎样的结果？学情预测：学生的说法可能会有多种，对此再组织学生交流讨论． 设计意图认识“有限”和“极限”的区别，并进一步认识所得极限值和面积的关系． 归纳总结：求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割．在区间[a ，b]等间隔地插入n －1个点，将它们等分成n 个小区间[x i －1，x i ](i ＝1,2，…，n)，区间[x i －1，x i ]的长度Δx i ＝x i －x i －1.第二步：近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和． 第四步：取极限．理解新知1．根据以上步骤，求曲边梯形面积的流程图为：分割→近似代替→求和→取极限.利用这种方法可以解决任意封闭图形的面积问题． 2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值．运用新知1求y ＝2x －x 2，y ＝0,0≤x ≤2所围成的曲边梯形面积． 解：(1)分割在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,2]等分成n 个小区间： [0，2n ]，[2n ，4n ]，…，[2(n －1)n，2]．记第i 个区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2，…，n)，其长度为Δx ＝2i n －2(i －1)n ＝2n.分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .显然，S ＝1nii S=∆∑.(2)近似代替∵y ＝2x －x 2，当n 很大，即Δx 很小时，在区间[2(i －1)n ，2in ](i ＝1,2，…，n)上，可以认为函数y ＝2x －x 2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点2(i －1)n 处的函数值2[2(i －1)n ]－[2(i －1)n ]2.这样，在区间[2(i －1)n ，2in ]上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝{2[2(i －1)n ]－[2(i －1)n ]2}·Δx ＝{2[2(i －1)n ]－[2(i －1)n ]2}·2n .①(3)求和由①，右上图中阴影部分的面积S n 为S n ＝1ni i S =∆∑′＝∑i ＝1n{2[2(i －1)n ]－[2(i －1)n ]2}·2n＝∑i ＝1n4·i －1n ·(1－i －1n )·2n ＝8n 3∑i ＝1n [n(i －1)－(i －1)2]＝8n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]－8n3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝8n 2n (n －1)2－8n 3(n －1)n (2n －1)6.从而得到S 的近似值S ≈S n ＝8n 2n (n －1)2－8n 3(n －1)n (2n －1)6.(4)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞∑i ＝1n[8n 2n (n －1)2－8n 3(n －1)n (2n －1)6]＝43.点评：巩固求曲边梯形面积的方法，通过学生熟悉的函数模型构造曲边梯形，体会方法步骤的“程序化”及解题思路“四步曲”．巩固练习求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积S. 答案：S ＝83.点评：规范步骤，注意计算过程． 变练演编1．直线x ＝1，x ＝__________，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为21. 2．已知f(x)＝__________，求直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(选择一个你熟悉的函数填上，并试求其结果)答案：1.4 2.答案略．点评：1.训练逆向思维，进一步熟练解题步骤．2．有选择性地选取学生所提出的熟知的函数进行训练．设置本组问题，意在增加问题的多样性、趣味性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和逆向性，长期坚持，学生不仅会加深对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题．。

曲边梯形的面积教学目标：1. 理解曲边梯形的概念及其在几何中的应用。

2. 学会计算曲边梯形的面积。

3. 能够运用曲边梯形的面积公式解决实际问题。

教学重点：1. 曲边梯形的概念及面积公式的理解。

2. 计算曲边梯形面积的方法。

教学难点：1. 理解曲边梯形面积公式的推导过程。

2. 应用面积公式解决实际问题。

教学准备：1. 教学PPT。

2. 几何画图工具。

教学过程：第一章：曲边梯形的概念1.1 引入梯形的概念，让学生回顾梯形的特征。

1.2 引导学生思考梯形边界的变化，引入曲边梯形的概念。

1.3 通过PPT展示曲边梯形的图像，让学生观察其特征。

1.4 举例说明曲边梯形在现实生活中的应用。

第二章：曲边梯形的面积公式2.1 引导学生思考曲边梯形面积的计算方法。

2.2 利用几何画图工具，展示曲边梯形的面积计算过程。

2.3 推导出曲边梯形的面积公式。

2.4 通过PPT动画演示，让学生加深对面积公式的理解。

第三章：计算曲边梯形的面积3.1 给出一个曲边梯形，让学生应用面积公式进行计算。

3.2 引导学生思考如何确定曲边梯形的各个参数。

3.3 让学生自主计算曲边梯形的面积，并进行解答。

3.4 分析学生的解答，指出可能存在的问题。

第四章：曲边梯形面积公式的应用4.1 给出一个实际问题，让学生应用曲边梯形面积公式进行解决。

4.2 引导学生思考如何将实际问题转化为曲边梯形问题。

4.3 让学生自主解决实际问题，并进行解答。

4.4 分析学生的解答，指出可能存在的问题。

第五章：总结与拓展5.1 总结本节课的主要内容，让学生回顾所学知识点。

5.2 引导学生思考曲边梯形面积公式的局限性。

5.3 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

5.4 布置课后作业，巩固所学知识。

教学反思：本节课通过讲解、演示、练习等多种教学方法，让学生掌握曲边梯形的面积计算方法及其应用。

在教学过程中，注意引导学生思考，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

通过实际例子，让学生感受曲边梯形在现实生活中的应用，提高学生的学习兴趣。

1．5.1 曲边梯形的面积 教学目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方式，成立微积分的概念的熟悉基础. 教学重点：了解定积分的大体思想“以直代曲” “逼近”的思想.
教学难点：“以直代曲” “逼近”的思想的形成求和符号∑
教学进程：
温习引入 问题一：你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？
问题二：圆的面积是如何求得的？
问题三：如图：阴影部份类似于一个梯形，但有一边是曲线y =f (x )的一段.咱们吧由直线x =a ，x =b
(a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？ 问题四：可否将求曲边梯形的面积转化为求“直边梯形”面积？ 问题五：求曲边梯形面积时，能否对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？如何减少误差？ 问题六：对每一个小曲边梯形如何“以直代曲” 问题七：如何从曲边梯形的近似值求出曲边梯形的面积？ 问题八：具体如何实施“以直代曲”和“逼近”的思想求曲边梯形面积？
问题九： 样？作为近似值，情况又怎处的函数值吗？去任意个值也是的值吗？若能求出，这，用这种方法能求出处的函数值等于右端点上的值近似地，，在区间果认为函数在“近似代替”中，如)(],1[31)(),21](,1[
)(2i i f n i n i S n i f n i n i n i n i x x f ξξ-∈=-=
归纳：如何求曲边梯形的面积？
小结：
1.求曲边梯形面积的思想方式是什么？
2.具体步骤是什么？
3.最终形式是什么？。

1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分【提出问题】如上图，函数f(x)=x2与g(x)=2x-0.5交点为A（0.29，0.09），B（1.71，2.91），过点A做x轴的垂线交x轴为点C，过点B做x轴的垂线交x轴为点D。

问题1：直角梯形ACDB的面积是多少？根据梯形面积公式易得，直角梯形ACDB的面积是2.13.曲线y=f(x)与平行于y轴的两条直线x=a，x=b和x轴所围成的图形，称为曲边梯形．问题2：函数f(x)=x2与x=0.29，x=1.71和x轴所围成的曲边梯形面积怎么求呢？提示：既然直角梯形的面积我们可以求，那么曲边梯形能否转化为直角梯形（曲化直）。

我们知道任意多边形都可以分割成一些三角形，通过计算这些三角形面的和就可以得出这个多边形的面积，是否可以使用类似的方法计算由曲线围成的区域的面积（分割）。

下面我们举例来研究这个问题。

【解决问题】求由抛物线y＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的图形面积．将区间[0,1] 等分为n个小区间，0＝x0<x1<x2<…<x n－1<x n＝1，其中x i＝in(i＝0,1,2，…，n)，Δx i＝1n(i＝1,2,3，…，n)，在每个小区间[x i－1，x i]上取右端点ξi＝x i(i＝1,2，…，n)．于是曲线之下小矩形的面积为ξi 21n (i ＝0，1,2，…，n-1)所以曲线之下小矩形的面积和为S n =(0n ) 2∙1n +(1n ) 2∙1n +(2n ) 2∙1n +…+(n−1n ) 2∙1n=02+12+22+⋯+(n−1)2n 3=16(1−1n )(2−1n )由此得到S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞16(1−1n)(2−1n)＝13.从图形上看，当n 越来越大时，划分越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形面积相差越来越小，当n 趋于正无穷时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此可以将13视为此曲边三角形的面积。

《曲边梯形的面积》教学设计一、教学内容解析本节课是人教A 版选修2-2第一章第五节《定积分的概念》的起始课．曲边梯形的面积是定积分概念的几何背景，求曲边梯形面积的过程蕴涵着定积分的基本思想方法，为引入定积分的概念和体会定积分的基本思想奠定基础．二、学生学情分析本节课的教学对象是北京市示范校的学生．学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生学习过如何估计和计算不规则图形的面积，比如通过割补的方法将不规则图形转化为若干规则图形来计算面积；在学习算法时了解了割圆术的基本思想和操作方法．二是学生学习过数列求和的基本知识，学生也在课后思考中见过222(1)(21)126n n n n =+++++这个结论．三是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识．学生在本节课学习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，近似代替”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算．二是对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值．三、教学目标设置根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，我确定了本节课的教学目标： 1. 理解并会初步应用求曲边梯形面积的一般方法——“分割—近似代替—求和—取极限”．2. 经历求曲边梯形面积的过程，体验“以直代曲”和“无限逼近”的思想方法，感受数学中的转化与化归思想．3. 通过曲边梯形的面积这一实例，了解定积分的几何背景，借助几何直观体会定积分的基本思想．本节课的重点是：探究求曲边梯形面积的方法．本节课的难点是：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法．四、教学策略分析根据本节课的教学内容、学生情况和教学目标，教学中采用“教师设疑引导，学生自主探究”的教学方法．通过问题串激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高．针对本节课的重点——探究求曲边梯形面积的方法，教学中采用从一般到特殊再到一般的教学过程，先通过讨论一般的曲边梯形如何以直代曲，再通过特例应用实施，小结步骤，最后进行一般推广，共性归纳，从而逐步强化求曲边梯形面积的方法和步骤，突出教学重点．本节课的难点之一就是如何“以直代曲”．针对这个难点，教学中采取两个措施．一是引导学生在回顾割圆术的过程中思考：为什么用正多边形计算圆的面积？为什么让边数逐次加倍？怎样才能“越来越接近”？通过以上几个问题的讨论使学生对割圆术的认识不仅仅停留在思想和方法层面，同时使学生对具体的操作程序有一定的认识．二是通过分组的方式让学生进行自主探究，通过分析和比较各种方案优劣繁简，为后面的具体操作奠定基础．本节课的另一个难点是对“极限”和“无限逼近”的理解．针对这个难点，教学中先分别采用图形、数表两种方式呈现逐渐细分和无限逼近的过程，再在此基础上引出取极限的方法，使学生从感性认识上升到理性认识的过程水到渠成．五、教学过程为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，根据“启发性原则”和“循序渐进原则”，我把教学过程设计为“问题引入，明确主题；类比探究，形成方法；特例应用，细化操作；一般推广，提炼本质”四个阶段．（一）问题引入，明确主题这一阶段的教学任务是：1.让学生了解什么样的图形叫做曲边梯形？曲边梯形和直边图形的区别是什么？2.让学生明确本节课的主题和研究方向：如何求曲边梯形的面积？能不能把曲边梯形面积问题转化成我们熟悉的直边图形面积问题？（二）类比探究，形成方法这一阶段的主要问题是如何获得解决曲边梯形面积问题的思想以及把思想转化为可操作的方法．为了使学生不偏离本节课主要任务，这一阶段采取“启发式”的教学方法，分三个步骤进行教学．1.温故知新，铺垫思想问题1：我们在以前的学习经历中有没有用直边图形的面积计算曲边图形面积这样的例子？问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么要逐次加倍正多边形的边数？设计意图：通过问题1引导学生回忆割圆术的作法，通过问题2并结合计算机模拟割圆术，引导学生思考割圆术中的思想方法——“以直代曲”和“无限逼近”．2.类比迁移，分组探究问题3：能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题转化为直边图形的面积问题？进而尽可能有规律地减小误差，使得直边图形的面积越来越接近曲边梯形的面积？学生活动：学生四人一组分组讨论．设计意图：通过问题3让学生有的放矢，明确解决问题的方向．通过分组探究发挥学生的主观能动性．由于在一般的曲边梯形中不能构造出正多边形这么规则的图形，所以不能简单地模仿割圆术的作法，需要在理解割圆术思想的前提下灵活地迁移和应用．3.汇报比较，形成方法学生活动：同学代表汇报讨论结果．问题4：请比较不同方案的区别，哪种方案既实现了“以直代曲”和“逐步逼近”，又更便于实际操作？设计意图：学生通过讨论、汇报等方式认识到各种不同方案在实际操作中的差别，引导学生选择便于操作的方案，培养学生化繁为简的意识． （三）特例应用，细化操作这一阶段的主要任务是具体地应用前面讨论和比较得出的解决曲边梯形面积的可行方案，把思想转化成具体可操作的步骤，在具体操作中体会思想的重要性．首先给出具体问题：如何求由直线0y =，1x =和曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积．针对这个具体问题，设计了以下几个问题：问题1：为了逐步减小误差，需要对曲边梯形进行分割，具体怎样分割？iS ∆121 i i n n nn nn-2y x =2y x=yyxx1OO问题2：对每个小曲边梯形如何以直代曲？问题3：如何得到整个曲边梯形的近似值？设计意图：分割和近似代替的方案在前面一个阶段已经解决，问题1—3主要是引导学生在具体问题中对方案进行细化操作，初步经历分割、近似代替及求和的过程．问题4：直边图形的面积和怎样才能越来越接近曲边梯形面积的准确值？能否得到准确值？1.图形方式用几何画板动态演示矩形不足近似和矩形过剩近似的逼近过程，让学生从图形上直观地感知：当n越来越大，分割越来越细时，两种方案面积的近似值越来越接近准确值．8n=16n=32n=in n21in-⎛⎫⎪⎝⎭in n2in⎛⎫⎪⎝⎭2.数表方式借助计算机计算两种方案的近似值，观察两个近似值在n 越来越大时的变化趋势，发现两个近似值都越来越接近于一个常数．问题5：从图形直观上和数值的变化趋势上，我们发现：当n 无限增大时，近似值会无限接近于一个常数，这个常数就是曲边梯形面积的精确值．那我们能不能直接从近似值的代数表达式中直接得到这一结论呢？3.取极限的方式学生比较容易接受的10()n n→→∞，所以引导学生对两个近似值的代数式进行适当的变形：()()31211111(1)(2)66n n n n n n -⋅⋅-⋅=--， ()()31211111(1)(2)66n n n n n n⋅+⋅+⋅=++， 进而发现两个近似值会无限接近13这个常数．设计意图：这是本节课的难点之一，教学中先分别用图形、数表两种方式呈现逐渐细分和无限逼近的过程，再在此基础上引出取极限的方法，使学生经历从直观到抽象的过程，实现从感性到理性的过渡．问题6：我们用每一个小区间的左、右端点的函数值1()i f n -和()if n作为近似值计算面积，如果取任意1[,]i i in nξ-∈处的函数值()i f ξ来计算小曲边梯形面积的近似值，情况又怎样？设计意图：借助几何直观，引导学生发现曲边梯形的面积与近似代替在每个小区间上选取的点无关．问题7：回顾求曲边梯形面积的整个过程，你能概括出求这个曲边梯形面积的方法吗？设计意图：引导学生回顾求曲边梯形面积的过程，并概括求曲边梯形面积的方法、步骤以及其中蕴含的数学思想，初步形成解决曲边梯形面积问题的一般方法。